SITUATION DE CONJECTURE G1 Manifestation s observables d’un niveau… Critère d’évaluation A B C C3 C2 C4 C5-C1 Tu sais que la somme des mesures des angles intérieurs de tous les triangles est de 1800. Tu sais également que pour tous les quadrilatères cette valeur est de 3600. Qu’en est-il pour tous les autres polygones à « n » côtés? À toi de jouer au mathématicien et de découvrir une formule mathématique qui permet de déterminer la somme des mesures des angles intérieurs de n’importe quel polygone, peu importe son nombre « n » de côtés. Cette formule algébrique (qui sera ta conjecture) doit tenir compte du nombre de côtés du polygone et doit te permettre de trouver rapidement la somme des angles intérieurs. 180 0 360 0 Ton raisonnement doit être convaincant et prouver que ta formule fonctionne pour tous les polygones ! 1. La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180o. 2. La somme des angles intérieurs d’un quadrilatère est de 360o. 3. ON a des polygones à « n » côtés. 1. La somme des angles intérieurs des polygones à « n » côtés. 2. Une formule unique qui donne la réponse pour tous les polygones. 1 D Mon idée de départ est : Mon sentiment de départ (mon feeling). Que l’on peut faire des bons de 180o à chaque fois que l’on ajoute un côté. J’essaie de vérifier mon idée et d’expliquer ce que je fais : Je fais des exemples, Je cherche des règles, Je teste ce que je trouve… Je vérifie 1180o +180o 360o Je constate qu’il y a un bon de 1800 d’un polygone à l’autre. +180o 540o +180o 2- J’explique 1- Je construis plusieurs polygones et je mesure les angles. 720o Si j’ai 3 côtés, alors 1800. Si j’ai 4 côtés, alors 3600. Si j’ai 5 côtés, alors 5400. Etc. 2- Je constate encore. Il y a peut-être un lien avec le triangle. Avec des bonds de 1800, il y a peut-être un lien avec le triangle qui lui en a 1800. 35 X 1800 = 900o 5400 3 X 1800 = 540o 3- En divisant le pentagone en 5 triangles à partir du centre, on n’obtient pas la bonne réponse. Mais en divisant le pentagone en 3 triangles à partir d’un sommet, on obtient la bonne réponse. 2 Je formule une conjecture? Je confirme, je raffine ou je change mon idée de départ. Idéalement avec un énoncé plus mathématique. Que la somme des angles intérieurs d’un polygone est 1800 fois le nombre de côtés moins 2. Ou Que la somme des angles intérieurs d’un polygone est (n – 2) X 1800 où n est le nombre de côtés du polygone. Je convaincs : J’explique et je défends davantage ma conjecture. Dans un hexagone, il y a 4 triangles issus d’un même sommet. Alors 1800 X (6 –2 ) = 180o X 4 = 720o 720o Est-ce que cette formule fonctionne aussi pour les triangles et pour les quadrilatères? Avec les triangles : (3 – 2) X 180o = 180o Super et avec les quadrilatères : (4 – 2) X 180o = 360o Oui, la formule fonctionne avec les triangles et les quadrilatères. 3