TP Théorème de Fourier 2007

TP – Théorème de Fourier
Dans ce TP, vous allez manipuler des signaux périodiques et étudier leurs spectres. Vous utiliserez pour cela le logiciel
Synchronie 2003.
Exercice 1 Prise en main du logiciel Synchronie
1.1. Préambule : Notion de signal échantillonné
Un logiciel n’est pas capable de manipuler un signal continu s(t), constitué par définition d’une infinité de points. Par
conséquent, il manipule un signal échantillonné, séch(t), c’est-à-dire une succession de valeurs du signal, prélevées à
intervalle de temps régulier, noté Te. Te est la période d’échantillonnage, et Fe = 1/Te la fréquence d’échantillonnage.
Ainsi Synchronie manipule un signal discret : il relie les échantillons pour donner un aspect continu aux courbes.
s(t)
séch(t)
0
Te
2Te 3Te
t
1.2. Lancement du logiciel
Dans le menu démarrer, Programmes  Synchronie 
Ou double-cliquez sur l’icône Synchronie 2000 du bureau.
Répondez OK à l’information « Synchronie n’a pas détecté de carte d’acquisition ».
Une fois le logiciel lancé, trois onglets apparaissent à l’écran : un onglet Calcul, un onglet Tableur et un onglet n°1
(pour Fenêtre n°1), qui est la feuille sélectionnée par défaut au lancement.
Fenêtre n°1
A. Quidelleur
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1.3. Réglage du nombre d’échantillons et de la période d’échantillonnage
Dans la barre de commande en haut de l’écran, cliquez sur Paramètres, puis sur l’onglet Acquis de la fenêtre qui
apparaît.
Nombre d’échantillons n (choisir 200)
Période d’échantillonnage Te (choisir 200µs)
Durée totale d’acquisition (=n.Te)
1.4. Simulation de signaux échantillonnés
Placez-vous dans la feuille Calcul. Elle vous permet de simuler des signaux dans un langage de programmation très
intuitif, propre au logiciel.
L’écran est partagé en trois parties :
Le haut de l’écran qui comprend la barre d’outils et la barre de commandes.
La gauche de l’écran dans laquelle vous taperez les lignes de programmation nécessaires pour chaque utilisation.
La droite de l’écran où s’afficheront des indications de calculs.
Barres d’outils et de commandes
Indications
de calculs
Lignes de programmation

Exemple
Tapez dans la partie gauche de l’écran : s=2*t
Cliquez sur Calculer  Exécuter dans la barre de commandes.
Apparaît alors à droite de l’écran l’indication Table[200], ce qui signifie que 200 calculs viennent d’être effectués (on a
programmé 200 échantillons).
A. Quidelleur
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Remarquez qu’en programmation il faut définir toute variable avant de l’utiliser. Ici la variable s est définie à partir du
nombre 2 et de la variable t. Cette dernière n’a pas été définie, c’est une variable prédéfinie. Vérifiez-le en cliquant sur
Examiner dans la barre de commandes. Un tableau répertoriant les variables prédéfinies et les variables définies par
l’utilisateur apparaît.
Nombre prédéfini 
Période d’échantillonnage prédéfinie Te
Nombre de points prédéfini 
Variable prédéfinie temps
Variable définie dans la feuille Calcul
La variable temps est notée T, l’ordinateur ne différentie pas les minuscules des majuscules.
1.5. Visualisation des résultats de calculs
Placez-vous dans la feuille Tableur. En cliquant sur l’onglet Variables Ajouter, vous faites apparaître une fenêtre
répertoriant toutes les variables, prédéfinies ou non.
Variables utilisées en acquisition
(inutilisées en simulation)
Cliquez sur la variable dont vous souhaitez obtenir les valeurs, par exemple la variable T. Cliquez ensuite sur Ajouter.
L’ensemble des valeurs calculées apparaît à l’écran. Recommencez pour la variable s.
1.6. Affichage du graphe de s
On souhaite afficher le graphe de s en fonction de t. Pour cela, placez-vous dans la feuille n°1 et cliquez dans la barre
de commande sur Paramètres. Les onglets Courbes et Fenêtres vont nous intéresser.
Cliquez sur la fiche Courbes, puis cochez la fenêtre 1.
A. Quidelleur
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On choisit d’afficher le graphe de s
… dans la fenêtre n°1
Cliquez sur Fenêtres, vous pouvez alors
Choisir la variable que vous souhaitez mettre en abscisse pour la fenêtre n°1 (généralement ce sera la variable t)
Régler les échelles en abscisses et en ordonnées.
Vous pouvez afficher plusieurs signaux (simulés au préalable dans la feuille de calcul) dans plusieurs fenêtres, il suffit de
les définir dans le menu Courbes.
1.7. Quelques remarques pratiques…
Pour commencer, retenez bien ces quelques règles de syntaxe !
Synchronie comprend les parenthèses ( ), mais vous ne pouvez pas les remplacer par des crochets [ ]
Dans toutes les multiplications doivent figurer le signe *
-

Le nombre  est prédéfini : il est symbolisé par les lettres pi
Si on note mathématiquement le signal s(t), on ne doit pas faire figurer « (t) » dans Synchronie ! Le signal sera
désigné par « s ».
Exercice
Définissez dans la feuille Calcul le signal s1( t )  2  cos 2  200t   1 et affichez sa représentation temporelle dans la
feuille Courbe.
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2. Etude du théorème de Fourier
2.1. Le signal carré
Choisissez 1000 points de simulation et une période d’échantillonnage de 200µs.
2

si n est impair et positif
bn 
On pose 
n

bn  0 si n est pair et positif
Dans la feuille Calcul, définissez les signaux suivants (disponibles dans le fichier carre.txt) :
y0  0
y 1  b1  sin 2    50  t 
y 2  b 2  sin 2    2  50  t 
y 3  b 3  sin 2    3  50  t 
y 4  b 4  sin 2    4  50  t 

y 19  b19  sin 2    19  50  t 
z 3  y 0  y1  y 2  y 3
z 11  y 0  y 1  y 2    y 11
z 19  y 0  y 1  y 2    y 19
Enregistrez ces calculs.
1) Visualisez z3, z11 et z19.
2) Quelle est la fréquence de ces signaux ?
3) Observez l’allure de ces trois signaux. A votre avis, que faudrait-il taper dans la feuille Calcul pour pouvoir simuler
ensuite un signal parfaitement carré ?
4) Dans la feuille Calcul, modifiez seulement y0 : y0 = 3.
a) Visualisez z19 sur l’écran.
b) Que représente y0 pour le signal z19 ?
Retenez : Si on modifie de x unités la valeur moyenne d’un signal, sa courbe représentative est translatée verticalement
de x unités.
2.2. Spectres de signaux périodiques
5) Sans utiliser Synchronie, représentez les spectres an et bn du signal z3.
6)
Synchronie permet de représenter les spectres des signaux définis dans la feuille Calcul. Voici la procédure :
-
Simulez le signal dans la feuille Calcul et affichez sa courbe représentative dans la fenêtre n°1 par exemple.
-
Dans la fenêtre n°1, sélectionnez le menu traitement. Analyse de Fourier.
-
Dans le menu Signal à analyser, sélectionnez le signal voulu.
-
Dans les options avancées, désélectionnez Amplitude et cochez Série Cosinus et Série Sinus.
-
Cliquez sur Calculer : les spectres an (« série cosinus ») et bn (« série sinus ») s’affichent dans deux nouvelles
fenêtres.
A. Quidelleur
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
-
-
Remarques
Si vous souhaitez afficher à l’écran les spectres de plusieurs signaux, cliquez sur Nouveau avant Calculer.
Pour relever les coefficients des spectres, il est préférable d’utiliser l’onglet Tableau à la lecture graphique. Affichez
les variables F, S_Cos et S_Sin.
Pour que le tracé des spectres soit correct, il faut afficher à l’écran un nombre entier de périodes du signal.
Attention au choix du nombre de points de simulation et de la période d’échantillonnage…
7) Chargez dans Synchronie les signaux étudiés au précédent et affichez les spectres du signal z3. Vérifiez qu’ils sont
conformes au tracé effectué précédemment.
8) Créez un nouveau signal u19 = 2*z19 et visualisez ses spectres.
9) Visualisez dans le Tableur les coefficients de Fourier de z19 et u19 : qu’ont subi les coefficients de Fourier quand
on a multiplié le signal par 2 ?
On retiendra : Si multiplie par un réel k non nul un signal décomposable en série de Fourier, ses coefficients a 0, an et bn
sont aussi multipliés par k.
2.3. Effet d’un déphasage
Effacez les courbes précédentes.
Choisissez 1024 points de simulation et une période d’échantillonnage de 200µs.
Vous aller étudier deux signaux :
s1 = CRENEAU(1,256) + CRENEAU(513,768)
s2 = CRENEAU(1,64) + CRENEAU(321,576) + CRENEAU(833,1024)
10) Affichez s1 à l’écran. Quelle est la fréquence fondamentale F de s1 ?
11) Affichez ses spectres an et bn. Relevez dans la feuille Tableur les valeurs des coefficients an et bn du signal s1 jusqu’à
a5 et b5, ainsi que leurs fréquences associées (complétez le tableau ci-dessous).
Remarque : Quand un coefficient de Fourier est nul, Synchronie le fait bien figurer dans le tableau de valeurs mais
pas sur le spectre.
n
nF
(en Hz)
Signal s1
an
Signal s2
bn
an
bn
0
1
2
3
4
5
12) Affichez s2 à l’écran (avec s1). s1 et s2 sont de même nature, mais l’un est retardé : lequel ? Mesurez ce retard.
13) Affichez les spectres an et bn de s2. Pour cela, placez-vous dans la fenêtre 1. Allez dans Analyse de Fourier,
demandez à ce que le signal s2 soit analysé. Sélectionnez les options Série sinus et Série cosinus, puis cliquez sur
Nouveau et sur Oui. Enfin, cliquez sur Calculer.
Remarque : Le logiciel a changé les noms des spectres de s1 en S_module1, S_Cos1 et S_Sin1 et a donné aux trois
spectres de s2 les noms S_module, S_Cos et S_Sin.
14) Affichez les valeurs des coefficients de Fourier des spectres de s2 dans la feuille Tableur et complétez le tableau 1.
15) Comparez les spectres de s2 à ceux de s1. Sont-ils semblables ?
A. Quidelleur
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