Primitive d`une fonction

T Bac Pro date :
Ph. Georges Maths 1/4
Primitive d’une fonction sur un intervalle
I- Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que F’ = f sur I.
Exemple : on considère la fonction f définie sur I; R par : f(x) = 3x 2 – 2x + cos x
Trouver une primitive F de f sur I; R.
La primitive F convient : F(x) = x 3 – x 2 + sin x.
En effet, pour tout x I; R, la fonction F est dérivable (comme somme de fonction qui le sont) et
on a : F’(x) = 3x 2 – 2x + cos x = f(x)
Remarquons que si l’on avait choisi pour F la fonction définie par F(x) = x 3 – x 2 + sin x + 24, nous
aurions encore eu une candidate satisfaisante. Donc si f admet une primitive, alors elle en admet une
infinité.
Remarque : la définition reste valable si I est une partie (non vide) de I; R.
II- Théorème
Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I.
Soient F et G deux primitives de la fonction f sur l’intervalle I.
Alors F et G diffèrent d’une constante : F(x) = G(x) + c (c I; R) pour tout x I
Démonstration :
Puisque F et G sont des primitives de f sur I, on a :
F’ = G’ = f sur I
Par conséquent : F’ – G’ = 0 sur I
Or, les seules fonctions qui ont une dérivée nulle sont les fonctions constantes
1
, donc on a, sur I :
F – G = c où c est une constante
Graphiquement, dans un repère orthonormal
(O;
Error!
,
Error!
), les représentations graphiquesCF
etCG se correspondent par une translation de
vecteur c
Error!
.
1
Ce résultat se démontre à l’aide du théorème des accroissements finis.
En effet, soit f une fonction définie sur I et à dérivée identiquement nulle sur I, alors si a et b sont deux points
quelconques de I, d'après le théorème des accroissements finis nous avons :
f(b) – f(a) = 0 (b – a) et donc f(b) = f(a), a et b I
y
c
Error!
x
O
b
a
CF
Error!
CG

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Ph. Georges Maths 2/4
III- Tableau des primitives usuelles
Les résultats de ce tableau vérifient F’ = f sur l’intervalle I considéré.
Fonction f
Fonction primitive F
(c : constante)
Intervalle I
f(x) = k (constante)
F(x) = kx + c
I; R
f(x) = x
F(x) = Error! x 2 + c
I; R
f(x) = ax + b
F(x) = Error! ax 2 + bx + c
I; R
f(x) = x n
(n
Error!
+ et n
– 1)
F(x) = Error! + c
I; R si n > 0
] –  ; 0[ ou ]0 ; + [ si n  – 2
f(x) = Error!
F(x) = 2 x + c
]0 ; + [
f(x) = cos x
F(x) = sin x + c
I; R
f(x) = sin x
F(x) = – cos x + c
I; R
f(x) = 1 + tan 2 x = Error!
F(x) = tan x + c
]
Error! + k ; Error! + (k +
1) [
k
Error!
f(t) = cos ( t + )
( 
0)
F(x) = Error! sin (t + ) + c
I; R
f(t) = sin ( t + )
( 
0)
F(x) = – Error! cos (t + ) + c
I; R
f(x) = e x
F(x) = e x + c
I; R
f(x) = Error!
F(x) = ln x + c
]0 ; + [

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Ph. Georges Maths 3/4
Exemple : trouver une primitive
 Fonction g définie sur I = ]–
Error!
;
Error!
[ par : g(x) = tan 2 x
Posons : h(x) = g(x) + 1 = 1 + tan 2 x
Une primitive H de h sur I est définie par :
H(x ) = G(x) + x = tan x où G est une primitive de g sur I
D’où : G(x) = H(x) – x soit : G(x) = tan x – x
 Fonction f définie sur J = ]0 ;
Error!
[ par : f(x) = 2 sin (3x) – 3 cos (2x) + 4 + tan 2 x –
Error!
+
Error!
Une primitive F de f sur J est définie par :
F(x) = –
Error!
cos (3x) –
Error!
sin (2x) + 3x + tan x – 6
Error!
–
Error!
(+ c)
IV- Opérations sur les primitives
Opérations sur les primitives
u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I
Fonction
Une primitive
Conditions
u’ + v’
u + v
ku’ (k : constante)
ku
u’u n
(n
Error!
et n
– 1)
Error!
u  0 sur I si n  0
Error!
2 u
u > 0 sur I
Error!
– Error!
v  0 sur I
u’e u
e u
Error!
ln u
ln (– u)
si u > 0 sur I
si u < 0 sur I
u’(v’ Error! u)
v Error! u
Exemple :
Trouver une primitive F de la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f(x) =
Error!
La fonction f est de la forme u’u. Donc F est de la forme
Error!
u 2 : F(x) =
Error!
(ln x) 2 + c
Exercice :
Soit F la fonction définie sur ]0 ; + [ par : F(x) =
Error!
x
Error!
.

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Ph. Georges Maths 4/4
Calculer F’(x). Qu’a-t-on démontré ? (Que F est la primitive de f(x) =
x
.)
V- Théorème : Primitive définie par une condition initiale
Soit f une fonction définie sur un intervalle I admettant des primitives sur I.
Soient x0 I et y0 I; R.
Il existe une unique primitive F de f satisfaisant la condition initiale F(x0) = y0.
Démonstration :
Soit G une primitive de f sur I (existe par hypothèse).
D’après le théorème II-, toutes les primitives F de f sur I sont de la forme F = G + c (ou c est une
constante).
La condition F(x0) = y0 impose c = y0 – G(x0).
La constante c est déterminée de manière unique, ce qui démontre le théorème.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur I; R par : f(x) =
Error!
.
Trouver l’unique primitive F de f sur I; R telle que F(0) = 4.
Remarquons que f(x) peut s’écrire : f(x) =
Error!
.
On reconnaît l’expression dérivée de x 2 + 1.
Les primitives F de f sur I sont de la forme : F(x) = x 2 + 1 + c.
La condition initiale F(0) = 2 s’interprète par 0 2 + 1 + c = 4, d’où c = 3.
La primitive cherchée est la fonction F définie par F(x) = x 2 + 1 + 3.
Remarque : une question légitime qui se pose dans ce paragraphe est la suivante : une fonction admet-
elle toujours des primitives ? La réponse est non en général. Cependant si la fonction est continue…
Eh bien c’est ce que nous allons voir dans le paragraphe suivant.