Brachitochrone

LECTURE
Ph. Georges Maths 1/5
M
La brachistochronie
Quelle trajectoire permet le temps de parcours le plus court entre 2 points dans un plan vertical ?
En 1638, GALILEE (1564-1642) montra que la ligne droite ne convenait pas mais pensait plutôt à un
arc de cercle. A la fin du XVIIe, Jacob BERNOULLI (1684-1705) posa correctement le problème dans
l’Acta Eruditorum. Les mathématiciens les plus brillants du XVIIe et du XVIIIe siècle : les
BERNOULLI, NEWTON, LEIBNITZ, L'HOSPITAL… résolurent ce problème. La courbe permettant de
minimiser la durée du parcours est un arc de cycloïde renversée.
La cycloïde est une courbe générée par
un point d’un cercle en rotation sur un plan
(ici le point M).
Cette courbe, du grec kuklos : cercle, roue,
n'était donc pas connue des Grecs. Elle a été
étudiée par Charles Bouvelles en 1501, Mersenne et Galilée en 1599, Roberval en 1634, Toricelli en
1644 etc...!
Ce problème est appelé problème de brachistochrone. Le mot brachistochrone vient du grec
brakhisto signifiant « le plus court » et chronos signifiant « le temps ». Il fut ainsi nommé par Jean
BERNOULLI (1667-1748).
L’expérience mesure les durées de chute d’une bille roulant sans glissement le long d’une
trajectoire brachistochrone et le long d’une droite
1. Équation de la cycloïde
L’équation paramétrique d’une cycloïde est : { x = a (
– sin ) ;;y = a(1 – cos ).
La courbe considérée passe par les points O(0, 0) et A(xA,yA) et a une tangente verticale au point O.
Le paramètre varie de 0 à 2 afin de ne considérer qu’une seule arche de cycloïde.
On considère la fonction f du paramètre définie par : f( ) =
Error!
.
On obtient : f( ) =
Error!
Ce qui donne pour le point A(xA,yA) : f(
A) =
Error!
A
O
O
xA
yA

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Ph. Georges Maths 2/5
Pour déterminer le paramètre
A, il faut résoudre l’équation
Error!
=
Error!
, ce qui n’est pas
réalisable « à la main ». On utilise une résolution graphique ou un programme informatique.
Finalement, on parvient à la détermination du coefficient a de la cycloïde avec une des deux
équations paramétriques : a =
Error!
ou a =
Error!
.
2. Calcul des durées de chute
Nous calculons la durée de chute entre les points O et A pour les deux trajectoires : la cycloïde et le
segment de droite [OA], d’abord dans l’hypothèse du point matériel puis dans celle d’une boule
roulant sans glissement.
Les frottements sont négligés dans toute l’étude.
21. Étude d’un point matériel
211. Trajectoire : la cycloïde
Le point matériel, de masse m, est abandonné sans vitesse initiale à l’instant t = 0 au point O. Les
frottements étant négligés, le système est conservatif. L’énergie mécanique E est égale à la somme
de l’énergie cinétique
Error!
mv 2 et de l’énergie mécanique – mgy : E =
Error!
mv 2 – mgy
L’énergie mécanique est nulle au point O et en tout point de la trajectoire d’où :
Error!
mv 2 –
mgy = 0
La vitesse v du point matériel devient donc : v 2 = 2gy
Compte tenu de l’expression de y par l’équation de la cycloïde : v 2 = 2g(1 – cos ) (1)
En utilisant l’abscisse curviligne s de la trajectoire cycloïdale, par définition, on écrit :
v 2 =
2
d
d
t
s
et
2
22
d
d
d
d
d
d
t
y
t
x
t
s
(2)
L’équation paramétrique de la cycloïde permet d’écrire :
Error!
= a
Error!
(1 – cos ) et
Error!
= a
Error!
sin
Reportés dans la relation (1), on obtient :
2
d
d
t
s
= 2 a
2
d
dt
(1 – cos ) (3)
Les relations (1) et (3) donnent :
2
d
dt
=
Error!
d’où
Error!
=
Error!
.
La durée de chute, sur la cycloïde, du point O vers le point A est : tc =
Error!
A. (4)
(
A paramètre du point A)
212. Trajectoire : la droite
L’expression de la vitesse est comme précédemment v 2 = 2gy car cette vitesse ne dépend que de
la différence d’altitude entre le point de départ et le point d’arrivée.
Pour la trajectoire rectiligne, nous avons
Error!
=
Error!
, d’où : v 2 = 2g
Error!
x (5)
L’abscisse curviligne s le long du segment de droite est aussi :
2
22
d
d
d
d
d
d
t
y
t
x
t
s

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Ph. Georges Maths 3/5
O
A
La cycloïde est une
courbe brachistochrone.
or
Error!
=
Error!
Error!
d’ou :
2
d
d
t
s
=
2
21
d
d
A
A
x
y
t
x
(6)
A partir des relations (5) et (6) et de la définition de la vitesse instantanée v 2 =
2
d
d
t
s
:
v 2 =
2
21
d
d
A
A
x
y
t
x
puis 2g
Error!
x =
2
21
d
d
A
A
x
y
t
x
Dont on extrait :
Error!
= A
Error!
avec
A
A
A
A
x
y
x
y
g
1
2
A
(7)
Avec la relation (7), on obtient dt =
Error!
et après intégration la durée de chute td : td =
Error!
Error!
.
En utilisant l’angle
O de la figure et en remarquant que
Error!
=
Error!
, quelques calculs
trigonométriques élémentaires permettent d’obtenir : td =
Error!
Error!
.
21. Étude pour une bille
Il est peu réalisable de faire glisser sans frottement un mobile suivant une trajectoire donnée.
On considère donc une bille de masse m et de rayon R. Le moment d’inertie I de cette bille par
rapport à l’un de ses diamètres est : I =
Error!
mR 2.
L’énergie cinétique du solide est alors : EC =
Error!
mv 2 +
Error!
I
2 (
: vitesse
angulaire de la bille)
Dans le cas du roulement sans glissement, la relation entre la vitesse de son centre de gravité et sa
vitesse angulaire est : v = R .
On a donc : EC =
Error!
mv 2 +
Error!
I
Error!
soit : EC =
Error!
(m +
Error!
) v 2 puis
EC =
Error!
m(1 +
Error!
) v 2
Par rapport à l’étude du point matériel, l’énergie cinétique diffère du facteur (1 +
Error!
) =
Error!
.
Le calcul des temps de chute, compte tenu de cette remarque, est immédiat est donne :
tc-bille =
Error!
A et td-bille =
Error!
Error!
Remarque : la prise en compte de l’énergie cinétique de rotation conduit à des durées de chute 15 %
plus élevées que celle obtenue dans le cadre de la mécanique du point.
3. Expérience
L’expérience permet de mesurer les durées de chutes entre deux points O et A d’une bille
abandonnée sans vitesse initiale au point O, le long d’une trajectoire cycloïdale et le long d’une
trajectoire rectiligne.

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Ph. Georges Maths 4/5
Avec le programme informatique, on détermine le paramètre de la cycloïde passant par le point
A(1,6 m ; 0,5 m).
A
4,13 rad (La trajectoire sera supérieure à une demi cycloïde car
A > )
Le coefficient de la cycloïde est : a 0,322.
Le tableau de valeurs de la cycloïde permet le tracé de la courbe sur une planche fixée
verticalement.
Les trajectoires (cycloïde et droite) sont matérialisée par des tubes électriques en PVC de 13,4 mm
de diamètre interne.
Les billes métalliques sont de masse 2 g et de diamètre 8 mm.
La mesure est assurée par des chronomètres numériques au millième de seconde. Des détecteurs
optiques par coupure de faisceau sont placés aux deux extrémités des trajectoires.
TEMPS DU CHUTE CYCLOIDE (POINT MAT.) : 0.748452641 S
TEMPS DU CHUTE DROITE (POINT MAT.): 1.07040629 S
VITESSE FINALE EN A : 3.13209195 M/S = 11.275531 KM/H
ECART SUR LES TEMPS DU CHUTE (POINT MAT.): 0.321953647 S

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Ph. Georges Maths 5/5
Conclusion
C'est une courbe brachistochrone, c'est-à-dire qu'une cycloïde représente la courbe sur
laquelle doit glisser sans frottement et sans vitesse initiale, un point matériel pesant placé dans
un champ de pesanteur uniforme de sorte que son temps de parcours soit minimal parmi
toutes les courbes joignant deux points fixés. Autrement dit, c'est la courbe de descente la plus
rapide pour aller d'un point A à un point B.
TABLEAU DE VALEURS DE LA CYCLOÏDE
x y
0.00000 0.00000
0.00001 0.00064
0.00011 0.00254
0.00036 0.00571
0.00085 0.01013
0.00166 0.01578
0.00286 0.02264
0.00453 0.03068
0.00674 0.03987
0.00956 0.05018
0.01307 0.06157
0.01732 0.07398
0.02238 0.08737
0.02832 0.10169
0.03518 0.11688
0.04302 0.13288
0.05190 0.14963
0.06184 0.16707
0.07290 0.18511
0.08511 0.20370
0.09851 0.22275
0.11311 0.24220
0.12895 0.26196
0.14604 0.28196
0.16439 0.30213
0.18401 0.32237
0.20490 0.34261
0.22706 0.36277
0.25048 0.38277
0.27515 0.40254
0.30106 0.42198
0.32817 0.44104
0.35647 0.45962
0.38592 0.47767
0.41648 0.49510
0.44812 0.51185
0.48079 0.52785
0.51444 0.54304
0.54901 0.55736
0.58446 0.57076
0.62071 0.58317
0.65772 0.59455
0.69541 0.60486
0.73370 0.61405
0.77255 0.62210
0.81185 0.62896
0.85156 0.63461
0.89158 0.63902
0.93183 0.64219
0.97225 0.64410
1.01275 0.64473
1.05324 0.64410
1.09366 0.64219
1.13392 0.63902
1.17394 0.63461
1.21364 0.62896
1.25295 0.62210
1.29179 0.61405
1.33009 0.60486
1.36777 0.59455
1.40478 0.58317
1.44104 0.57076
1.47648 0.55736
1.51106 0.54304
1.54470 0.52785
1.57737 0.51185
1.60901 0.49510