Correction du Devoir surveillé 3 : nombres et

Classe : 2nde 4
2Correction du Devoir surveillé 3 : nombres et équations/inéquations le 20/11/2006
Partie 1 : calculs sur les nombres
Exercice 1 : ( 2,5 points)
x
x
-2 x + 13
x ( -2x + 13 )
−
0
–
+
-
13/2
+
+
+
0
0
0
0
+
+
–
–
Décomposer 1008 et 1512 en produit de facteurs
premiers : 1008 = 24 x 32 x7 et 1512 = 23 x 33 x 7
A = Error! = Error! = Error!
A n’est pas un nombre rationnel, il est irrationnel.
Exercice 2 : ( 4 points)
Simplifier au maximum les écritures suivantes en montrant les étapes de calcul :
B = Error! - Error! = Error! -Error! = Error!
C= Error! + Error! x Error! = Error! + Error! = Error! + Error! = Error!
D = Error! = Error! = Error! = Error! = Error!
B est un nombre décimal : il y a une puissance de 10 au dénominateur.
C n’ est pas un nombre décimal : le dénominateur est un multiple de 3 ( il faut seulement 2 et 5).
Exercice 3 : ( 2 points)
Soit φ = Error!.
Arrondi au millième de φ  1,618 .
2
Calculer la valeur exacte de φ2 = Error! = Error! = Error! = Error!.
Partie 2 : équations et inéquations :
Exercice 4 : ( 2,5 points)
L’étude du signe de l’expression B(x) a
permis d’établir le tableau ci-dessous :
x
signe de
B(x)
–
B(1) = 0
–5 et 3 sont les solutions de l’équation B(x) = 0
B(0) > 0
Si x < -5 alors B(x) < 0
L’ensemble des solutions de B(x) ≤ 0 est ]– ; –5 [  [3 ; +[.
–5
–
║
1
–
0
3
+
0
+
–
vrai
faux
faux
vrai
faux
Exercice 5 : Résoudre les équations suivantes : ( 5 points)
a) Error! = 0 Le dénominateur s’annule lorsque 2x - 8 = 0 soit x = 4. On cherche les solutions différentes de 4.
L’équation donne x + 8 = 0 soit x = - 8. S = {8}.
b) (2x + 1)² - (x – 3)² = 0 soit ((2x + 1) + (x - 3)) x((2x + 1) - (x - 3)) = 0 et (2x + 1 + x - 3)(2x + 1 - x + 3)=0
soit ( 3x – 2 )(x + 4) = 0 donc 3x-2 = 0 ou x + 4 = 0 soit x = Error! ou x = -4. S = { - 4 ; Error! }
c) (x – 4)(2x + 3) = (x – 4)(x – 7) soit (x – 4)(2x + 3) - (x – 4)(x – 7) = 0 puis (x – 4)[(2x + 3) - (x – 7)] = 0
donc ( x-4)(2x+3 –x + 7 ) = 0 et (x-4) ( x + 10 ) = 0 . Donc x-4=0 ou x+10 = 0 soit x = 4 ou x = - 10
S = { -10 ; 4}
Exercice 6 : Résoudre les inéquations suivantes : ( 5 points)
6x+4>8x–5
donc 6x – 8x > - 5 – 4 soit –2x > -9 et x < Error! . Donc S = ] -  ; Error! [
(2x – 3)(–x + 5) > –15
( on commence par développer)
donc - 2x² + 10x + 3x – 15 > -15 soit –2x² +13x> 0 et x ( -2x + 13 ) > 0
-2 x + 13 >0 lorsque x < Error!
S = ] 0 ; Error! [
c) Error!  2
que l’on transforme en Error! - 2 x Error!  0 soit Error!  0 ouError!  0
x + 3 > 0 donne x > -3
2 – x > 0 donne 2 > x
x
x+3
2–x
Error!
−
–3
–
2
+
0
+
0
+
+
+
–
+
–
S = ] -  ; -30]  ] 2 ; +  [