Correction du Devoir surveillé 3 : nombres et

2Correction du Devoir surveillé 3 : nombres et équations/inéquations le 20/11/2006 Classe : 2nde 4
Partie 1 : calculs sur les nombres
Exercice 1 : ( 2,5 points) Décomposer 1008 et 1512 en produit de facteurs
premiers : 1008 = 24 x 32 x7 et 1512 = 23 x 33 x 7
A =
Error!
=
Error!
=
Error!
A n’est pas un nombre rationnel, il est irrationnel.
Exercice 2 : ( 4 points)
Simplifier au maximum les écritures suivantes en montrant les étapes de calcul :
B =
Error!
-
Error!
=
Error!
-
Error!
=
Error!
C=
Error!
+
Error!
x
Error!
=
Error!
+
Error!
=
Error!
+
Error!
=
Error!
D =
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
B est un nombre décimal : il y a une puissance de 10 au dénominateur.
C n’ est pas un nombre décimal : le dénominateur est un multiple de 3 ( il faut seulement 2 et 5).
Exercice 3 : ( 2 points)
Soit φ =
Error!
.
Arrondi au millième de φ 1,618 .
Calculer la valeur exacte de φ2 =
Error!
2 =
Error!
=
Error!
=
Error!
.
Partie 2 : équations et inéquations :
Exercice 4 : ( 2,5 points)
L’étude du signe de l’expression B(x) a
permis d’établir le tableau ci-dessous :
B(1) = 0
vrai
–5 et 3 sont les solutions de l’équation B(x) = 0
faux
B(0) > 0
faux
Si x < -5 alors B(x) < 0
vrai
L’ensemble des solutions de B(x) ≤ 0 est ]– ; –5 [  [3 ; +[.
faux
Exercice 5 : Résoudre les équations suivantes : ( 5 points)
a)
Error!
= 0 Le dénominateur s’annule lorsque 2x - 8 = 0 soit x = 4. On cherche les solutions différentes de 4.
L’équation donne x + 8 = 0 soit x = - 8. S = {8}.
b) (2x + 1)² - (x – 3)² = 0 soit ((2x + 1) + (x - 3)) x((2x + 1) - (x - 3)) = 0 et (2x + 1 + x - 3)(2x + 1 - x + 3)=0
soit ( 3x – 2 )(x + 4) = 0 donc 3x-2 = 0 ou x + 4 = 0 soit x =
Error!
ou x = -4. S = { - 4 ;
Error!
}
c) (x – 4)(2x + 3) = (x – 4)(x – 7) soit (x – 4)(2x + 3) - (x – 4)(x – 7) = 0 puis (x – 4)[(2x + 3) - (x – 7)] = 0
donc ( x-4)(2x+3 –x + 7 ) = 0 et (x-4) ( x + 10 ) = 0 . Donc x-4=0 ou x+10 = 0 soit x = 4 ou x = - 10
S = { -10 ; 4}
Exercice 6 : Résoudre les inéquations suivantes : ( 5 points)
6 x + 4 > 8 x – 5 donc 6x – 8x > - 5 – 4 soit –2x > -9 et x <
Error!
. Donc S = ] - ;
Error!
[
(2x – 3)(–x + 5) > –15 ( on commence par développer)
donc - 2x² + 10x + 3x – 15 > -15 soit –2x² +13x> 0 et x ( -2x + 13 ) > 0
-2 x + 13 >0 lorsque x <
Error!
S = ] 0 ;
Error!
[
c)
Error!
2 que l’on transforme en
Error!
- 2 x
Error!
0 soit
Error!
0 ou
Error!
0
x
–
–5
1
3
+
signe de
B(x)
–
║
–
0
+
0
–
x
− 0 13/2 +
x
–
+
+
-2 x + 13
+
+
–
x ( -2x + 13 )
-
+
–
0
0
0
0

x + 3 > 0 donne x > -3
2 – x > 0 donne 2 > x
x
− –3 2 +
x + 3
–
+
+
2 – x
+
+
–
Error!
-
+
–
S = ] - ; -3 ]  ] 2 ; + [
0
0
0