Mesure de la vitesse du son dans un fluide de polaritons excitoniques
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Filière PNS - Physique et Nanosciences 2013-2014 Maëlle Kapfer Mesure de la vitesse du son dans un fluide de polaritons excitoniques Sous la supervision de : Quentin Glorieux, [email protected] Quentin Rafhay, [email protected] Laboratoire Kastler Brossel Universite Pierre et Marie Curie 4, place Jussieu 75005 Paris Remerciements Je remercie mon tuteur de stage Quentin Glorieux, pour avoir répondu à toutes mes questions aussi basiques soient-elles et pour m’avoir appris à réaliser un montage optique correct, ce n’était pas gagné d’avance... Un grand merci aux membres de l’équipe d’optique quantique pour la bonne ambiance tout au long de mon stage, les rires et les échanges, qu’ils concernent la vie, les sciences ou les hippopotames, donc merci à Timothée, Niccolo, Jean-Michel, Salma et Mathieu. Un énorme merci à Nicolas pour son aide, sa conversation et ses réponses à mes questions les plus stupides, et à Thomas pour m’avoir fait découvrir le monde des polaritons et du traitement d’image avec Matlab. Merci aussi à tous les membres du laboratoire qui ont eu la gentillesse de prendre sur leur temps pour me présenter et m’expliquer leurs manip’ et à Monique Granon pour sa réactivité. Je tiens enfin à remercier tout particulièrement l’Hélium qui a su au mieux tester ma patience. i Table des Matières Remerciements i Introduction 2 1 Interaction lumière-matière en microcavité semi-conductrice 1.1 Les excitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Les photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Les polaritons de microcavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fluide quantique de polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 8 . . . . . . . . 10 10 10 11 11 12 12 13 14 2 Travail réalisé 2.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Montage expérimental . . . . . . . . . 2.1.2 Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Imagerie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Courbe de dispersion . . . . . . . . . . 2.2.2 Observation des régimes d’écoulement . 2.2.3 Mesure de la vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perspectives 19 Conclusion 20 A Relation de dispersion des photons de cavité 21 B Section latérale de la cavité semi-conductrice 22 C Montage expérimental 23 D Tableau de résultats des expériences 24 E Mesure d’angle et densité de polariton en imagerie réelle 25 Introduction L’étude des semi-conducteurs est aujourd’hui au centre des recherches scientifiques. Les matériaux aux propriétés semi-conductrices sont grandement utilisés pour les télécommunication, les diodes électroluminescentes et autres microprocesseurs. Les nouveaux enjeux de la recherche dans les semi-conducteurs sont de pouvoir rendre ces matériaux les plus petits possible afin de pouvoir les intégrer à des dispositifs aux aussi les plus petits possible. Ainsi l’intérêt pour les microcavité semi-conductrices est grandissant. On va ici s’intéresser aux polaritons. Ce sont des quasi-particules issues du couplage fort entre exciton (paire électron trou liée par interaction colombienne) et un photon dans une microcavité semi-conductrice. Les polaritons de microcavité on été observés pour la première fois en 1992 par Weisuch [?]. Ces quasi-particules sont des bosons et ont accès à dont la superfluidité [AA09] et la condensation de Bose Einstein [?]. Présentation du laboratoire Fondé en 1951 par Alfred Kastler et Jean Brossel sous le nom de Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de l’ENS, le Laboratoire Kastler Brossel (LKB) est un laboratoire spécialisé en physique fondamentale et systèmes quantiques. Le site de Jussieu, où j’ai réalisé mon stage a ouvert en 1967 [LKB]. Ce laboratoire est une unité mixte de recherche dont les tutelles sont : • le CNRS (Centre national de la recherche scientifique) fondé en 1939. C’est le plus grand organisme français, public de recherche scientifique. • l’UPMC (Université Pierre et Marie Curie). Créée en 1971, cette université accueille 32 000 étudiants, 125 laboratoires en son sein et 4 500 enseignants chercheurs. • l’ENS (Ecole normale supérieure). Etablissements d’enseignement supérieur et de recherche. • le Collège de France, grand établissement de recherche et d’enseignement fondé en 1530 Dirigé par Antoine Heidmann depuis 2012, ce laboratoire compte 3 Prix Nobel de Physique [Nob] : • Alfred Kastler en 1966, pour la découverte et le développement de méthodes optiques pour l’étude des résonances hertziennes dans les atomes. 2 3 • Claude Cohen-Tannoudji en 1997, pour le développement de méthodes pour refroidir et piéger des atomes avec la lumière laser. • Serge Haroche en 2012 pour les méthodes expérimentales révolutionnaires qui ont permis la mesure et la manipulation de systèmes quantiques individuels. Les principaux thèmes de recherche du LKB sont les atomes froids, les lasers à atomes, les fluides quantiques, l’optique quantique, mesures et information quantique... J’ai pour ma part travaillé dans l’équipe d’optique quantique d’Alberto Bramati et Quentin Glorieux. Cette équipe travaille notamment sur l’émission de photons uniques par des nanocristaux semi-conducteurs et les fluides quantiques de polaritons dans les microcavités semi-conductrices. A mon arrivée, cette équipe était composée, en plus des membres permanents qui sont Alberto Bramati, Quentin Glorieux et Elisabeth Giacobino, de deux doctorants et six stagiaires. Le but de mon stage a été de vérifier la dépendance en racine carré de la densité de polaritons de la vitesse du son dans un fluide de polaritons excitoniques. Ce rapport de stage débute par une introduction des concepts nécessaires à la compréhension du sujet sur le couplage entre matière et lumière au sein des microcavités semi-conductrices et le régime Tcherenkov des polaritons. Suite à cela je décris le matériel utilisé pour l’expérience et enfin je présente les résultats obtenus durant le stage sur la mesure de la vitesse du son dans un fluide de polaritons. Chapitre 1 Interaction lumière-matière en microcavité semi-conductrice 1.1 Les excitons Dans un semi-conducteur, seules des bandes d’énergies sont autorisées, séparées par des bandes interdites. On a la possibilité de faire passer un électron de la bande de valence (dernière remplie) à la bande de conduction (première vide) en fournissant à l’électron une énergie supérieure à l’énergie de gap Eg , où Eg définit la largeur de la bande interdite entre bande de valence et bande de conduction. Ce "saut" peut par exemple se produire lors de l’absorption d’un photon. Lorsqu’un électron passe de la bande de valence à la bande de conduction, il laisse un espace vide dans la bande de valence appelé trou de charge et impulsion opposées à celles de l’électron. Un exciton est une quasi-particule formée d’un électron et d’un trou liés par interaction colombienne dans les semi-conducteurs (voir figure 1.1). Cela se produit lorsque l’électron est excité avec une énergie hν < Eg , on observe ainsi des résonances discrètes dans la bande interdite. L’énergie de l’exciton est donnée par 0 Eexc (k) = Eexc + ~2 k 2 2m∗exc (1.1) h , la constante de Planck réduite, m∗exc Avec Eexc (k) l’énergie de l’état excitonique, ~ = 2π la masse effective d’un exciton, k le vecteur d’onde dans le plan du puits quantique. Ce second terme correspond à l’énergie cinétique de l’exciton. On définit b1s,k=0 et b†1s,k=0 respectivement les opérateurs de création et d’annihilation de l’état fondamental de l’exciton. Les excitons sont des bosons à condition que la densité d’excitons par unité de surface, n soit faible. 2 < [b1s,k=0 , b†1s,k=0 ] >= 1 − O(na∗2D (1.2) exc ) 1.2 Les photons Une microcavité semi-conductrice étant constituée d’un puits quantique placé dans une cavité optique, on confine les excitons selon la direction z. Le vecteur d’onde associé 4 5 Figure 1.1 – Dispersion d’un exciton et d’une paire électron trou Cette figure montre bien que l’énergie d’une paire électron trou est plus élevée que celle d’un exciton. L’interaction colombienne qui existe entre l’électron et le trou dans l’exciton permet cette diminution des énergies. Extrait de la thèse de Simon Pigeon [Pig11] kz est donc quantifié tel que : 2πnc (1.3) λ0 avec λ0 la longueur d’onde du faisceau incident. Après calculs (voir Annexe A), on obtient la relation de dispersion pour les photons de cavité : ~2 k2 hcnc Eph (k ) = + (1.4) λ0 2m∗ph kzph = où la masse effective d’un photon est donnée par m∗ph = nc h λ0 c (1.5) Ainsi, la masse effective d’un photon est environ plus petite que celle de l’électron (et donc de l’exciton) de 4 ordres de grandeurs. La masse effective étant liée la courbure de la relation de dispersion autour de k = 0, on va pouvoir considérer que pour des k petits, la relation de dispersion des excitons est constante (voir figure 1.2). 1.3 Les polaritons de microcavité Les polaritons sont des quasi-particules issues du couplage fort entre les excitons confinés dans un puis quantique et les photons de cavité. On note â†k , b̂†k et âk , b̂k les 6 100 70 60 80 50 60 E(meV) E(meV) 40 30 40 20 20 10 0 −500 −400 −300 −200 −100 0 k(µm−1) 100 200 300 400 500 0 −10 −8 −6 −4 −2 0 k(µm−1) 2 4 6 8 Figure 1.2 – Relation de dispersion des photons et des excitons libres, en cavité En rouge est représentée la relation de dispersion des photons de cavité et en bleu celle des excitons lorsqu’aucun couplage n’existe entre ces particules. On remarque bien que lorsque k est petit, la relation de dispersion des excitons est constante. A modifier c’est moche on ne voit rien opérateurs de création et d’annihilation respectivement d’un photon et d’un exciton1 . On décrit le système couplé photon-exciton en première approximation par le Hamiltonien linéaire suivant : X ~ΩR † Hlin = (Eph (k)â†k âk + Eexc (k)b̂†k b̂k + (âk b̂k + b̂†k âk )) (1.6) 2 k avec Eexc (k) et Eph (k) les énergie de l’exciton et du photon et ΩR la fréquence de Rabi du vide2 . Les deux premiers termes de l’Hamiltonien linéaire correspondent respectivement aux photons et excitons de cavité. Le troisième terme traduit l’interaction existant entre ces particules. En introduisant les opérateurs p̂k et q̂k : p̂k = −Ck âk + Xk b̂k (1.7) q̂k = Xk âk + Ck b̂k (1.8) on peut diagonaliser le Hamiltonien de la manière suivante : X Hlin = (E− (k)p̂†k p̂k + E+ (k)q̂k† q̂k ) (1.9) k 1 Les formules de cette partie que leurs démonstrations peuvent être consultées dans le chapitre Resonant excitation case and parametric amplification de la référence [AK03] 2 La pulsation de Rabi rend compte de l’intensité du couplage entre excitons et photons 10 7 Les valeurs propres du Hamiltonien sont : q 1 E+ (k) = (Eph (k) + Eexc (k) + ~ δk2 + Ω2R ) (1.10) 2 q 1 (1.11) E− (k) = (Eph (k) + Eexc (k) − ~ δk2 + Ω2R ) 2 On appelle Ck et Xk les coefficients de Hopfield [Hop58]. Ils traduisent la part photonique (C pour "cavité") et excitonique (X pour eXciton) d’un mode polaritonique. p δk + δk2 + Ω2R 2 Xk = p 2 (1.12) δk + Ω2R Ω2R Ck2 = q p 2 δk2 + Ω2k (δk + δk2 + ΩR 2) (1.13) Xk2 + Ck2 = 1 (1.14) On a toujours : On définit le désaccord cavité-exciton par ~δk = Eph (k) − Eexc (k). A désaccord nul, V] PH Én g [ Cavité ħΩR Exciton PB [μ 1 ] Figure 1.3 – Courbe de dispersion des polaritons En pointillés rouge figure la courbe de dispersion des excitons, en pointillés bleu, celle de la cavité. La courbe PH (polaritons hauts) correspond à la branche haute et PB (polaritons bas), la branche basse. Le dégradé de couleur indique la proportion excitonique ou photonique des polaritons. Ici, le désaccord δ(k = 0) = 0. Extrait de la thèse de Simon Pigeon [Pig11] δ(k = 0) = 0, on trouve l’énergie de Rabi : E+ (0) − E− (0) = ~ΩR . 8 1.4 Fluide quantique de polaritons On regarde ici le comportement d’un fluide quantique au passage d’un obstacle. En effet ce comportement n’est pas similaire à celui observé pour des fluides classiques 3 . On peut par exemple observer le phénomène de superfluidité [AA09]. Ce phénomène a été découvert simultanément en 1938 par J. F. Allen, A. D. Misener et P. Kapitza dans l’Hélium He4 [?, ?]. Ils remarquent qu’en dessous d’une température critique appelée point λ, Tλ = 2.7K le fluide d’Hélium s’écoule avec une viscosité très faible. Le fluide s’écoule alors comme s’il ne voyait pas l’obstacle (voir figure 1.4 a-III pour les polaritons). En augmentant la vitesse du fluide et lorsque l’on arrive à une vitesse d’écoulement du fluide supérieure à la vitesse du son apparaissent alors des solitons [?]. Dans ce régime d’écoulement (appelé régime Tcherenkov en référence au même phénomène qui se produit en électromagnétisme voir Annexe??), on peut calculer la vitesse du son : M= cs vf low = sin(2θ) (1.15) Où M est le nombre de Mach. Enfin dans un fluide de polaritons excitoniques, on la relation suivante d’après [?] : s ~gn cs = (1.16) mpol Le but de ce stage est de vérifier cette dépendance de la vitesse du son en fonction de la racine de la densité de polaritons. 3 Ici "classique" s’oppose à "quantique" 9 Figure 1.4 – Écoulement d’un fluide quantique de polaritons à travers un défaut La figure a-I représente l’écoulement subsonique du fluide polaritonique autour d’un défaut, on observe des fronts d’onde paraboliques. La figure a-II montre la transition entre les régimes subsoniques et superfluide. La figure a-III montre un fluide en régime d’écoulement superfluide : le fluide n’est pas impact par le passage d’un obstacle. La figure b-I montre la transition entre les régimes superfluide et supersoniques. Enfin, les figures b-II et b-III représente un fluide en écoulement dans le régime Tcherenkov, on constate bien l’apparition de fronts d’onde linéaires. Extrait de [AA09] Chapitre 2 Travail réalisé 2.1 2.1.1 Dispositif expérimental Montage expérimental Comme vu lors de la partie précédente, pour pouvoir mesurer la vitesse du son, il va falloir être capable de donner au fluide de polaritons une vitesse supersonique. Pour cela il faut donc pour atteindre des grands k. Le dispositif expérimental, schématisé (voir Annexe C), doit donc nous permettre ceci. Afin de se donner une grande liberté sur l’angle d’incidence, un système 4f, figure 2.1, a été mis en place pour éclairer la microcavité. f 2f f Figure 2.1 – Système optique 4f Avec ce système optique, on peut changer l’angle d’incidence sur la microcavité tout en continuant à l’éclairer. En sortie de fibre, le faisceau laser a une polarisation rectiligne. On règle la polarisation de manière verticale grâce à une lame λ/2, puis la microcavité est excitée par une lumière de polarisation circulaire 1 grâce à la lame λ/4, positionnée à 45˚ de ses axes neutres. 1 Une polarisation circulaire permet de n’exciter que des polaritons de même spin 10 11 2.1.2 Excitation Laser La source laser utilisée est un laser titane-saphir pompé par un laser Nd :YAG (Verdi V10 de Coherent). Ce laser a été conçu par François Biraben au Laboratoire Kastler Brossel. C’est une source accordable continûment entre 820 et 850nm qui possède une puissance de sortie d’environ 800mW à 835nm (dans le mode TEM00 ). La source laser émet un faisceau polarisé linéairement. Le faisceau de sortie est couplé à une fibre monomode afin de n’extraire que le mode TEM00 . En sortie de fibre, on obtient un faisceau laser ayant un profil gaussien. Les données concernant ce laser sont extraites de la thèse de Gaétan Messin [Mes00]. Microcavité semi-conductrice L’échantillon utilisé est une microcavité planaire réalisée par Romuald Houdré à l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne. Il est constitué de miroirs de Bragg : 21 paires de couches alternées GaAs et AlAs sont placées en face avant et 24 paires en face arrière. La face arrière repose sur un substrat de GaAs poli, permettant ainsi de travailler en transmission et non en réflexion. Lors de la fabrication de l’échantillon, un angle de l’ordre de 10−4 degrés a été introduit de telle sorte que l’épaisseur entre les miroirs de Bragg n’est pas une constante de la position. Cet angle a pour effet de faire varier le désaccord δ entre la résonance excitonique et la résonance photonique. Une section latérale de la cavité est représentée en Annexe B. 2.1.3 Imagerie Caméras CCD Les caméras CCD utilisées ont servi à visualiser l’espace réel, l’espace réciproque ainsi que la courbe de dispersion. Les caméras utilisées sont de la marque Princeton Instruments de la gamme eXcelon. Cette caméra est pourvue d’un capteur carré de taille 1024 x 1024 pixels, chaque pixel étant de taille 13 µm x 13 µm. Son efficacité quantique étant de presque 100% à 830nm. Spectromètre Le spectromètre utilisé est un Acton Series SP2750 de la marque Princeton Instruments. Grâce à ce spectromètre on peut réaliser l’image de l’espace réciproque en escamotant un miroir qui réalise l’image du plan de Fourier de la lentille placée devant, ou visualiser la courbe de dispersion. Pour cela, on met en place un réseau blazé ce qui nous donne l’énergie en fonction de la longueur d’onde. La fente d’entrée étant couplée avec une caméra CCD on peut visualiser parfaitement l’espace réciproque et la courbe de dispersion sur le logiciel Winspec. 12 Traitement des images Le logiciel utilisé pour visualiser les images est Winspec développé par Princeton Instrument. Ce logiciel permet de convertir des images en ASCII afin de pouvoir traiter les données sur Matlab par la suite. 2.2 2.2.1 Résultats expérimentaux Courbe de dispersion La première étape a été d’obtenir la courbe de dispersion des polaritons afin de calibrer l’espace des k. On connait la distance entre les deux points d’inflexion de la courbe (qui 1487 1486 1485 1484 E(meV) 1483 1482 1481 1480 1479 1478 1477 −2.25 −1.75 −1.25 −0.75 −0.25 0.25 k(µm−1) 0.75 1.25 1.75 2.25 Figure 2.2 – Dispersion des polaritons bas est d’environ 4 µm−1 [Hiv13]). On peut filtrer grâce à Matlab les couleurs afin de faire apparaître les modes photoniques et de cavité (cf figure 2.3). Les paraboles sont les modes de cavité. Il apparait plusieurs courbes surement à cause des défauts présents dans la cavité et donc des résonances à différentes énergies. Le mode photonique est, à cette échelle, une droite comme vu sur la figure 1.2. 13 1487 1486 1485 1484 E(meV) 1483 1482 1481 1480 1479 1478 1477 −2.25 −1.75 −1.25 −0.75 −0.25 0.25 k(µm−1) 0.75 1.25 1.75 2.25 Figure 2.3 – Dispersion des polaritons bas Cette courbe est identique à la précédente, elle a simplement été filtrée pour voir les modes excitoniques et photoniques. 2.2.2 Observation des régimes d’écoulement Ecoulement à vitesse nulle Cet écoulement correspond à un vecteur d’onde nul k = 0. La vitesse d’écoulement du fluide de polaritons dans la microcavité est donc nulle. La figure 2.4 a. est une image de l’espace réel pour une vitesse d’écoulement nulle du fluide de polaritons. Ecoulement subsonique p Cet écoulement correspond à une vecteur d’onde k 6= 0, où k = kx2 + ky2 et avec une vitesse d’écoulement inférieure à la vitesse du son. La figure 2.4 b. est une image de l’espace réel pour une vitesse d’écoulement subsonique. Ecoulement supersonique - Régime Tcherenkov Cet écoulement correspond à un vecteur d’onde tel que la vitesse d’écoulement du fluide vf low est supérieure à la vitesse du son vs . Dans l’espace réel, le régime Tcherenkov se constate lorsque les front d’onde autour du défaut deviennent linéaires. La figure 2.4 c. est une image de l’espace réel pour une vitesse d’écoulement supersonique. y(m) y(m) y(m) 14 a x(m) b x(m) x(m) Figure 2.4 – Ecoulement pour différentes vitesses de fluide La figure a. montre un défaut autour duquel le fluide de polaritons s’écoule avec une vitesse nulle k = 0. La figure b. montre la propagation avec kx 6= 0 et ky = 0. Enfin la figure c. montre un fluide en écoulement tel que vf low > cs pour k = 1.37 µm−1 Pour pouvoir mesurer la vitesse du son manière précise, il faut pouvoir faire des images de la propagation pour le plus de k supersoniques possible. Dans un premier temps, cette variation de vecteur d’onde devait se faire en bougeant les miroirs M1 et M2 (voir Annexe C). Bouger ces miroirs revient à modifier l’angle d’incidence du laser sur la cavité et donc la valeur du vecteur d’onde. Néanmoins bouger ces miroirs change aussi l’endroit où le laser atteint la cavité : on n’éclaire donc plus la cavité de la même manière, ce qui modifie la manière donc le fluide de polaritons se propage. Il a donc fallu trouver un autre moyen de faire varier le vecteur d’onde sans que le faisceau laser ne bouge. Pour cela j’ai fait varier la fréquence du laser. Si la fréquence du laser varie, l’énergie transporté par le faisceau laser varie et donc le vecteur d’onde varie sans que l’endroit où le faisceau laser atteint la cavité ne change. 2.2.3 Mesure de la vitesse du son Une fois l’espace réciproque calibré et les différents régimes d’écoulement observés, il a fallu trouver un défaut idéal pour faire les images, c’est-à-dire un défaut unique et isolés des autres de sorte que la propagation derrière le défaut ne soit p as perturbée. Pour qu’il y ait un maximum de propagation après le défaut, il faut aussi que le vecteur d’onde soit perpendiculaire au gradient de la cavité car alors l’énergie est constante. La mesure est rendue possible par le fait que les photons qui arrivent sur les CCD ont les mêmes propriétés (impulsion, énergie, vecteur d’onde) que les polaritons de cavité dont ils sont issus. Ainsi avec l’espace réel et l’espace réciproque on peut remonter aux propriétés des polaritons qui sont les propriétés qui nous intéressent. Le but de l’expérience est de vérifier la dépendance de la vitesse du son en racine carré de la densité de polaritons. On a vu précédemment que pour pouvoir mesurer la vitesse du son, il faut se placer en régime Tcherenkov. 15 Données à mesurer Les données dont on a besoin pour mesurer la vitesse du son sont donc : • Le vecteur d’onde k pour obtenir la vitesse du fluide, vf low = ~k m∗ • L’angle formé par les fronts d’onde linéaires, 2θ. Cet angle nous permet de calculer la vitesse du son grâce à la formule 1.15. • La densité de polaritons. On considère qu’un pixel correspond à un photon capté par la caméra CCD. Cette mesure se fait donc une fois les images acquises (voir figure E.1). Protocole de mesure Après avoir trouvé des défauts qui conviennent, il faut ensuite prendre les images. La première étape est la mise à froid de la cavité, on obverse en effet le fluide de polaritons pour des températures inférieures à T = 30K. Néanmoins à ces températures l’image n’a pas la qualité nécessaire pour être traitée. Il faut alors descendre en dessous de T = 10K pour pouvoir commencer la prise d’image. Pour arriver à ces température Pour avoir une estimation précise de la vitesse du son dans le fluide de polaritons, il faut accéder à un maximum de k différents. Ainsi chaque prise d’image se déroule de la même manière : x(m) y(m) y(m) y(m) • Trois images en espace réel : une image du signal, une image des interférences et une image de la référence, x(m) x(m) Figure 2.5 – Images de l’espace réel De gauche à droite, on a : une image du signal, une image des interférences et une image de la référence. Ces images ont été réalisées pour k = 1.27 µm−1 . • Une image de l’espace réciproque, 16 Espace réciproque 100 200 300 ky(µm−1) 400 500 600 700 800 900 1000 100 200 300 400 500 600 kx(µm−1) 700 800 900 1000 Figure 2.6 – Image de l’espace réciproque Image réalisée pour k = 1.27 µm−1 . 17 • Mesure de l’intensité du laser en sortie de fibre optique pour la calibration. On fait ensuite varier la fréquence du laser (et donc k) puis on répète l’opération. Traitement des données Les images sont enregistrés en fichier texte puis traités sur Matlab. Pour traiter les images, j’ai utilisé le code de Thomas Boulier. Ce code permet d’afficher l’intensité (image de l’espace réel) en échelle logarithmique 2 , et de reconstituer l"intensité à partir des interférences. J’ai choisi une série de 9 mesures sur le même défaut avec des vecteurs d’onde k différents pour faire les calculs. En figure 2.7 sont regroupées les neuf images que j’ai utilisé. I II III IV IX V VI VII VIII Figure 2.7 – Images de l’espace réel pour différentes valeurs du vecteur d’onde La densité de polaritons a été calculée grace à Matlab. On utilise la calibration de l’espace réel (un pixel pour un photon) pour déterminer la densité de polaritons dans chacune des neufs images (Voir Annexe E). La question suivante a été la mesure de l’angle 2θ formé par les fronts d’onde linéaires. Deux solutions se sont alors présentées : • Une première méthode qui consiste à mesurer l’angle directement (voir Annexe E), puis calculer la vitesse du son grace à la relation 1.15. • Une deuxième méthode qui consiste à prendre une dizaine de profil de chaque image. Ces profils présentent deux minima qui correspondent aux deux solitons. Pour avoir une estimation précise de ces minima, on modélise deux parties du profil par des polynômes d’ordre deux. On trace ensuite pour chaque image ces minima en fonction de leur position puis une fait une régression linéaire pour avoir finalement l’angle 2θ. 2 La décroissance de l’intensité derrière un défaut étant exponentielle, on peut voir plus de choses en échelle logarithmique 18 A priori ces deux méthodes donnent des résultats très similaires mais la deuxième est bien plus précise. Néanmoins j’ai utilisé la première méthode pour vérifier que l’on avait √ ∼ bien vs = n où n est la densité de polaritons. En Annexe D sont présentés les résultats obtenus après traitement des données. J’ai ensuite tracé l’évolution de la vitesse du son en fonction de la densité de polaritons. Comme les valeurs de vecteur d’onde ne sont pas beaucoup espacées, j’ai pris le logarithme des deux grandeurs précédentes. La théorie est vérifiée si après régression linéaire, la pente de la droite est de 1/2. Après régression Figure 2.8 – Logarithme de la vitesse du son en fonction du logarithme de la densité Le graphique est en échelle logarithmique. linéaire, on trouve un coefficient directeur de 0.464, donc proche de 1/2. La dependance en racine carré de la vitesse du son par rapport à la densité de polaritons semble donc se vérifier. Perspectives Le principal problème rencontré lors des mesures a été d’avoir une "belle" image dans l’espace réel. En effet, sur les images que j’ai pu prendre on constate que les ondes ne se propagent pas autant que voulu (environ 30 µm contre jusqu’à 60 µm [Hiv13]). Ceci est dû à deux choses : un faible temps de vie des polaritons dans la cavité utilisée et un spot laser déformé. Ainsi pour améliorer cette expérience il faudrait revoir le montage. En effet, le spot laser se déforme lorsque l’on augmente k puisqu’avec le système 4f on change l’angle d’incidence du faisceau du la cavité mais aussi sa position. Le temps m’a aussi manqué pour tester la deuxième méthode d’estimation de la vitesse du son. Même si a priori les résultats ne seront pas plus probants avec cette méthode il faut tout de même la tester. 19 Conclusion Avec les résultats obtenus, la relation théorique entre vitesse du son et densité de polaritons semble donc se vérifier. Des améliorations peuvent tout de même être apportées à cette mesure puisque la qualité de l’imagerie en espace réelle est plutôt moyenne quand on la compare à quelques images réalisées pour des thèses. Néanmoins, cette mesure permet de confirmé la théorie et ainsi on pourra estimer de manière plus précise l’interaction polaritons/polaritons α2 . Concernant les conclusions plus personnelles, lors de ce stage, j’ai pu mettre en application ce que j’ai appris au cours de ma deuxième année en PNS puisque la plupart de mon travail sur le traitement de données s’est fait sur Matlab. Il m’a de plus été bénéfique d’avoir déjà fait une séance de travaux pratiques sur la cryogénie et de ne pas être totalement effrayée à la vue d’un bidon d’Hélium... Même s’il a su me jouer des tours. Enfin, ce stage m’a permis de découvrir la vie en laboratoire et de me conforter dans le choix de mon projet professionnel. J’ai en effet énormément apprécié ce stage que se soit par sa thématique son ambiance de travail ou le déroulement général, ce qui est plutôt rassurant. 20 Annexe A Relation de dispersion des photons de cavité Un photon possède un énergie Eph (k ) dans la cavité qui vaut : Eph (k ) = ~ckcav,ph (A.1) q = kz2 + k2 (A.2) q (A.3) Où kcav,ph D’où Eph (k ) = ~c kz2 + k2 Soit pour des petites valeurs de k et en utilisant la condition de quantification 1.3 : Ecav,ph = 2 hcnc ~cλ0 k + λ0 4πnc (A.4) A partir de la relation de dispersion, on peut définir une masse effective du photon dans la cavité : 1 d2 Eph (k ) 1 = (A.5) m∗ph ~2 dk2 D’où la masse effective du photon : m∗ph = 21 nc h λ0 c (A.6) Annexe B Section latérale de la cavité semi-conductrice Figure B.1 – Section latérale de la cavité semi-conductrice Ce schéma montre l’alternance des couches GaAs et AlAs ainsi que l’amplitude du champ électrique au sein de la microcavité. Image tirée de la thèse de Gaétan Messin [Mes00] 22 Annexe C Montage expérimental /2 M1 M2 f=125mm f=100mm f=16mm f=1000mm Figure C.1 – Montage expérimental Ce montage permet l’observation de l’espace réel grâce aux caméras CCD et de l’espace réciproque ainsi que la courbe de dispersion sur le spectromètre. L’angle d’incidence sur la microcavité est réglé par les miroirs M1 et M2. Schéma réalisé grâce à Component library for optics de Alexander Franzen 23 Annexe D Tableau de résultats des expériences Voici les résultats obtenus après traitement des données sur la mesure de k et donc vf low vitesse d’écoulement du fluide de polaritons, le demi angle θ formé par les fronts d’onde linéaires, la densité de polaritons pour chaque image et finalement la vitesse du son. n˚ image 1 2 3 4 5 6 7 8 9 kx 1,3517 1,3103 1,3241 1,2965 1,4552 1,4069 1,3241 1,3517 1,3103 ky 0,7103 0,7379 0,6551 0,6826 0,7379 0,7655 0,6552 0,7241 0,7517 k 1,5270 1,5038 1,4774 1,4653 1,6316 1,6017 1,4774 1,5335 1,5107 24 vf low 17,7 17,4 17,1 16,9 18,9 18,5 17,1 17,7 17,5 θ(˚) 36,535 37,555 38,47 35,445 30,68 34,13 32,515 33,305 38,815 cs 16,2 2,50 11,9 13,1 12,7 7,68 15,2 16,8 1,57 Densité 12,0 14,2 12,4 13,7 17,6 9,57 22,4 12,2 18,8 Annexe E Mesure d’angle et densité de polariton en imagerie réelle Comme on considère qu’on photon correspond à un pixel allumé, on peut mesurer la densité de polaritons de chaque image directement. Figure E.1 – Espace réel en régime Tcherenkov Le carré rouge symbolise la zone prise pour mesurer la densité de polaritons.Image réalisée pour k = 1.33 µm−1 . Pour la première méthode d’estimation de la vitesse du son, on mesurer l’angle 2θ directement sur la figure. 25 26 2θ Figure E.2 – Angle formé par les fronts d’onde linéaire En régime Tcherenkov, l’angle formé par les fronts d’onde est égal à 2θ. Cette image a été réalisée avec k = 1.3 µm−1 . Bibliographie [AA09] S. Pigeon C. Abrados C. Ciuti I. Carusotto R. Houdré E. Giacobino & A. Bramati A. Amo, J. Lefrère. Superfluidity of polaritons in semiconductor cavities. Nature Phys., vol 5, page 805, Sept 2009. [AK03] Guillaume Malpuech Alexey Kavokin. Thin films and nano structures : cavity polaritons. Elsevier, 2003. [Hiv13] Romain Hivet. Solitons, demi-solitons et réseaux de vortex dans un fluide quantique de polaritons. PhD thesis, Université Pierre et Marie Curie, 2013. [Hop58] J.J. Hopfield. Theory of the contribution of excitons to the complex dielectric constant of crystals. Phys. Review, page 1555, Dec 1958. [LKB] Site internet du laboratoire kastler brossel. http ://www.lkb.ens.fr. [Mes00] Gaétan Messin. Luminescence, bruit et effets non linéaires dans les microcavités semi-conductrices. PhD thesis, Université Pierre et Marie Curie, 2000. [Nob] All nobel prizes in physics. www.nobelprize.org. [Pig11] Simon Pigeon. Fluides quantiques et dispositifs à polaritons. PhD thesis, Université Paris Diderot - Paris 7, 2011. 27 Résumé Ce stage porte sur la mesure de la vitesse du son dans un fluide quantique de polaritons excitoniques, particules mi-matière, mi-lumière, en microcavité semi-conductrice. De par leur caractère bosonique ces particules ont accès aux régimes de condensation de BoseEinstein et de superfluidité. Mais pour mesurer la vitesse du son, il faut se placer en régime d’écoulement supersonique afin d’observer l’effet Tcherenkov. Ainsi, nous avons mis au point un dispositif expérimental permettant d’observer l’espace réel et l’espace réciproque de l’échantillon étudié. Ce dispositif doit nous permettre d’atteindre des vitesses de fluide supersoniques, régime dans lequel il nous est possible de mesurer la vitesse du son grâce au nombre de Mach, quotient entre la vitesse du son et celle du fluide et l’angle formé par les fronts d’ondes linéaires qui apparaissent à la traversé d’un défaut en régime Tcherenkov. Mots-clés : polariton, exciton, microcavité semi-conductrice, effet Tcherenkov, nombre de Mach, vitesse du son. Measure of sound velocity in an exciton polariton quantum fluid Abstract This work is devoted to the measure of sound velocity in an exciton polariton, halflight half-matter particles, quantum fluids in semiconductor microcavities. Thanks to their bosonic behavior, it can reach regimes such as Bose-Einstein condensation and superfluidity. So we can observe Tcherenkov effect, the fluid speed has to be higher than the speed of sound. Thus, we have built a set-up that allows us real-space and k-space imaging. This set-up must allow us to reach speed beyond sound velocity. Thanks to Mach number, ration between the sound velocity and the fluid speed and the angle formed by linear waves that appears when the fluid go through a defect in the Tcherenkov regime, we can calculate the speed of sound. Keywords : polariton, exciton, semiconductor microcavity, Tcherenkov effect, Mach number, sound speed.
