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MUSIQUE DE CHAMBRE A AIR
avec
ALLEGRO, MODERATO ET PIANO
Pour se rendre à la salle de concert où ils risquent d'être en retard, trois musiciens, Allegro, Moderato et Piano,
doivent traverser un pont. Allegro, le plus vif, peut le traverser en 2 minutes. Moderato, moins sportif en 5
minutes seulement. Piano, quant à lui, se limitera à 10 minutes pour cause d'embonpoint. Heureusement, ils
disposent aussi d'une mobylette capable de faire le parcours en 1 minute mais incapable d'accueillir un second
passager. Comment notre trio va-t-il procéder pour franchir le pont en un minimum de temps ? Et quel est ce
temps minimal ?
Voici les 10 bonnes réponses proposées :
1. Daniel Dubuisson
Je prends pour unité de longueur la longueur du pont et pour unité de temps la minute. L'énoncé suggère que les
mouvements sont uniformes et se font aux vitesses respectives, en pont par minute, de 1/2 pour A(llegro), 1/5
pour M(oderato), 1/10 pour P(iano) et 1 pour la mobylette.
Voici une solution qui permet au trio de franchir le pont en 2 minutes 55,2 secondes. Il faut suivre le mouvement
sur le graphique musiciens.gif joint : temps en abscisse, distance en ordonnée. Le mouvement de A est en rouge,
celui de M en vert et celui et P en bleu.
A l'instant 0, A et M partent à pied et P part en mobylette.
P abandonne la mobylette au point du pont d'abscisse t (0 < t < 1) (point a du graphique) et termine le trajet à
pied. Lorsque A découvre la mobylette (point b du graphique), il rebrousse immédiatement chemin avec, puis
l'abandonne au point du pont d'abscisse s (0 < s < t, et on trouvera aussi en cours de calcul s >= t/2) (point c du
graphique), puis termine le trajet à pied. Lorsque M découvre la mobylette (point d du graphique), il l'enfourche
pour terminer le trajet.
On calcule alors s et t de façon que les trois musiciens arrivent simultanément (point e du graphique). J'ai
supposé que cette simultanéité permettait de perdre le moins de temps possible, mais je ne peux pas prouver que
ma méthode permet d'obtenir la traversée la plus rapide.
On écrit les équations des mouvements, et on trouve s = 12/25 et t = 59/75. La traversée dure alors 73/25
minutes, soit 2 minutes 55,2 secondes.
Voici les coordonnées des points du graphique pour vérifier :
a (59/75 , 59/75) ; b (118/75, 59/75) ; c (47/25 , 12/25) ; d (12/5 ,12/25) ; e (73/25, 1).
2. Eric Bazin
Remarque : nos musiciens ont interet a etre aussi de bon mathematiciens !
Quelques notations :
On fixe arbitrairement la longeur L du pont a 10 unités de distance.
On mesure les temps en minutes et les vitesses en unité de distance par minute.
Ainsi, d'après l'énnoncé,
- la vitesse de Piano est VP=1 (10 minutes pour parcourir le pont)
- la vitesse de Moderato est VM=2 ( 5 minutes pour parcourir le pont)
- la vitesse d' Allegro est VA=5 ( 2 minutes pour parcourir le pont)
- la vitesse de la moto est Vm=10 ( 1 minutes pour parcourir le pont)
Voici la chronologie des évenements :
à T0
: départ de M et A à pied et de P en moto , pendant une durée t1.
à T1=T0+t1 : P laisse la moto où il se trouve (L1) ; A, M et P continuent à pied pendant une durée t2.
à T2=T1+t2 : A arrive à la moto (en L1), la prend et fait demi-tour ; M et P continuent à pied et A en moto
pendant une durée t3.
à T3=T2+t3 : A laisse la moto où il se trouve (L2) et refait demi-tour ; A, M, P vont à pied pendant une durée t4.
à T4=T3+t4 : M arrive à la moto (en L2), la prend ; M continue en moto et A et P vont à pied pendant une durée
t5.
à T5=T4+t5 : par une heureuse coincidence (!), A, M et P arrivent ensembles au bout du pont.
Inconnues : t1,t2,t3,t4,t5,L1,L2
A déterminer : T=T5-T0=t1+t2+t3+t4+t5
Equations :
- trajet de P :
Du départ à L1 : L1=Vm*t1 ; soit (1) L1=10*t1
De L1 à l'arrivée : L-L1=VP*(t2+t3+t4+t5) ; soit (2) 10-L1=T-t1
- trajet de A :
Du départ à L1 : L1=VA*(t1+t2) ; soit (3) L1=5*(t1+t2)
De L1 à L2 (en sens inverse) : L1-L2=Vm*t3 soit (4) L1-L2=10*t3
De L2 à l'arrivée : L-L2=VA*(t4+t5) soit (5) 10-L2=5*(t4+t5)
- trajet de M :
Du départ à L2 : L2=VM*(t1+t2+t3+t4) ; soit (6) L2=2*(T-t5)
De L2 à l'arrivée : L-L2=Vm*t5 ; soit (7) 10-L2=10*t5
(On pourrait rajouter le trajet de cette brave moto, qui elle aussi arrive en bout de pont à T5, mais ca n'apporte
rien).
(1) L1=10*t1
(2) 10-L1=T-t1
(3) L1=5*(t1+t2)
(4) L1-L2=10*t3
(5) 10-L2=5*(t4+t5)
(6) L2=2*(T-t5)
(7) 10-L2=10*t5 <=> L2=10-10*t5
En eliminant L1 par (1) et L2 par (7) il reste :
(2) 10-10*t1=T-t1
<=> t1=(10-T)/9
(3) 10*t1=5*(t1+t2)
<=> t2=t1
(4) 10*t1-10+10*t5=10*t3 <=> t3=t1-1+t5
(5) 10*t5=5*(t4+t5)
<=> t4=t5
(6) 10-10*t5=2*(T-t5) <=> t5=(10-2*T)/8=(5-T)/4
En sommant :
T=t1+t2+t3+t4+t5=t1+t1+t1-1+t5+t5+t5=3*(10-T)/9-1+3*(5-T)/4
36T=120-12T-36+135-27T
75T=219
----------------------------------------------------------------------
=> T = 219/75 = 2.92 minutes = 2 minutes, 55 secondes, 2 dixiemes <=
---------------------------------------------------------------------On pourrait s'arreter là. Je ne resiste pas cependant à terminer les calculs :
t1=t2=(10-T)/9=0.7866_
t4=t5=(5-T)/4=0.52
t3=t1+t5-1=0.3066_
L1=10*t1=7.866_
L2=10-10*t5=4.8
et a donner un tableau récapitulatif de la position en fonction du temps :
Temps
A
M
P
T0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
T1 0,7867 3,9333 1,5733 7,8667
T2 1,5733 7,8667 3,1467 8,6533
T3 1,8800 4,8000 3,7600 8,9600
T4 2,4000 7,4000 4,8000 9,4800
T5 2,9200 10,0000 10,0000 10,0000
A noter : il existe une situation très semblable (avec le même temps total), dans lequel les rôles de M et P sont
inversés :
Temps
A
M
P
T0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
T1 0,5200 2,6000 5,2000 0,5200
T2 1,0400 5,2000 6,2400 1,0400
T3 1,3467 2,1333 6,8533 1,3467
T4 2,1333 6,0667 8,4267 2,1333
T5 2,9200 10,0000 10,0000 10,0000
3. Roger Deherder
Les 3 musiciens peuvent traverser le pont en 73/25 minutes (soit 2,92 minutes).
Stratégie à suivre:
Ils partent tous trois en même temps, A(llegro) et M(oderato) à pied, et P(iano) en mobylette.
P abandonne la mobylette aux 59/75ème du pont et continue à pied.
Lorsque A arrive à la hauteur de la mobylette, il ramène celle-ci aux 12/25ème du pont, et repart à pied vers le
bout du pont.
Lorsque M atteint le point où A a laissé la mobylette, il la prend et rejoint le bout du pont.
Cette stratégie conduira chacun des 3 musiciens à atteindre le bout du pont après 73/25 minutes.
Calculs:
Pour les calculs ci-dessous, je choisis pour unité de longueur le "pont", et pour unité de vitesse le "pont par
minute". Ainsi, les vitesses (à pied) des trois musiciens sont respectivement 1/2, 1/5 et 1/10 pont/minute, et la
vitesse à mobylette est de 1 pont/minute. Les temps sont calculés par la formule : temps = espace/vitesse.
Temps de parcours de A (un tronçon de 59/75 à la vitesse de 1/2, un tronçon de 59/75 - 12/25 à la vitesse de 1 et
un tronçon de 1 - 12/25 à la vitesse de 1/2): 2(59/75) + 1(59/75 - 12/25) + 2(1 - 12/25) = 73/25
Temps de parcours de M (un tronçon de 12/25 à la vitesse de 1/5 et un tronçon de 1 - 12/25 à la vitesse de 1):
5(12/25) + 1(1 - 12/25) = 73/25
Temps de parcours de P (un tronçon de 59/75 à la vitesse de 1 et un tronçon de 1 - 59/75 à la vitesse de 1/10):
1(59/75) + 10(1 - 59/75) = 73/25
Pour être tout-à-fait complet, il faut encore vérifier que la mobylette se trouvera bien aux endroits voulus lorsque
A et M atteindront ces endroits. Pour A c'est évident (A et P démarrent en même temps et vont directement vers
les 59/75, mais P est plus rapide que A, puisque en mobylette). A ramène la mobylette au point 12/25 après un
temps = 2(59/75) + 1(59/75 - 12/25) = 141/75, tandis que M atteint ce point au temps 5(12/25) = 12/5, qui lui est
supérieur. Ceci garantit donc que la mobylette sera bien présente là où M en a besoin.
Remarque finale:
Il est évident que les valeurs où laisser la mobylette (les 59/75 et les 12/25 du pont) ne "tombent pas du ciel" !
Une fois fixée la stratégie (à savoir que P utilise la mobylette jusqu'à un point x, et que A la ramène de x à un
point y), on calcule les temps mis par A, M et P en gardant x et y comme inconnues. En égalant ces 3 temps, on
trouve dès lors un système de deux inconnues en x et y qu'il suffit de résoudre.
Ceci m'assure que dans le cadre de la stratégie fixée, ma solution est la meilleure possible. Par contre, en dehors
d'une réflexion critique ayant emporté mon "intime conviction", je ne dispose d'aucun argument scientifique
démontrant rigoureusement qu'il n'y a pas d'autre stratégie, qui serait plus efficace.
4. Jean Diet
Intuitivement j'adopterais la stratégie suivante :
Le plus lent, Piano, prends la mobylette qu'il laisse au point X et termine à pied.
Pendant ce temps les deux autres commencent à marcher.
Le plus rapide, Allegro, va arriver le premier en X. Il monte sur la mobylette et revient en direction de son
collègue Moderato. Mais il s'arrête avant de le rencontrer en un point Y où il dépose la mobylette et fait demitour pour terminer la traversée du pont à pied.
Quand Moderato arrive en Y, il monte sur la mobylette et finit son parcours ainsi.
Notons x et y les abscisses respectives des points X et Y. On prendra la longueur du pont comme unité.
Compte tenu du scénario décrit ci-dessus exprimons les temps Ta, Tm et Tp mis respectivement par Allegro,
Moderato et Piano pour traverser le pont :
Ta = 2x + (x-y) + 2(1-y) = 3x - 3y +2
Tm = 5y + (1-y) = 4y + 1
Tp = x + 10(1-x) = 10 - 9x
On sent que le temps de franchissement sera minimal si les trois musiciens arrivent en même temps. Si par
exemple Piano arrive le premier, cela veut dire qu'il a abandonné la mobylette trop loin ce qui a retardé Allegro
etc...
Une étude mathématique, que je n'ai pas le courage de développer ici, confirme cette intuition.
Résolvons donc le système de deux équations linéaires à deux inconnues :
Ta = Tm ; Ta = Tp.
On trouve : x = 59/75 = 0,79 ; y = 12/25 = 0,48 et Ta = Tm = Tp = 73/25
= 2,92 minutes.
Mon temps minimal est donc 2 minutes et 55,2 secondes.
5. Marc Ménard
Pour atteindre ce temps minimal, il ne faut pas qu’un des trois musiciens soit en attente avant que tous soient
rendus. Il faut que les trois musiciens se déplacent en tout temps. Si Allegro ne touchait pas à la mobylette, il y
aurait nécessairement un des deux autres qui marcherait plus de la moitié du chemin. Le temps total serait donc
nécessairement supérieur à 2 minutes et Allegro arriverait le premier. Pour optimiser le temps, les trois
comparses doivent arriver en même temps. Donc pour aider ses deux comparses à arriver plus rapidement à
destination, Allegro devra ramener la mobylette vers le point de départ. Un des deux plus lents, disons Piano,
devra partir en mobylette et parcourir une certaine distance puis la laisser là le temps qu’Allegro l’atteignent
pour la rapprocher de Moderato. Allegro repartira ensuite à pied et laissera la mobylette sur place le temps que
Moderato l’atteignent et la prennent pour se rendre à la salle.
Soit
x : le temps en mobylette pour Piano
y : le temps en mobylette pour Moderato
Les temps sont en minutes.
Le temps que prendra Piano pour atteindre la salle sera donné par la formule suivante :
T(P) = x + 10(1-x) = 10 – 9x
Pour Moderato, on aura :
T(M) = y + 5(1-y) = 5 – 4y
Allegro aura couru pendant 2x minutes pour se rendre à la mobylette, aura roulé pendant (x+y-1) minutes puis
marchera pendant 2y minutes pour se rendre à la salle. Le temps total sera donc :
T(A) = 2x + x+y-1 + 2y = 3x + 3y – 1
Comme on veut que tous arrivent au même moment, on a T(P) = T(M) = T(A). Donc :
T(P) = T(M)
10 – 9x = 5 - 4y
4y = 9x – 5
y = (9x – 5)/4
T(P)
10 – 9x
10 – 9x
40 – 36x
59
x
=
=
=
=
=
=
T(A)
3x + 3y –1
3x + 3(9x - 5)/4 – 1
12x + 27x – 15 – 4
75x
59/75
y = (9x – 5)/4 = (9*59/75 –5)/4 = (177 – 125)/100 = 52/100 = 13/25
Le temps en mobylette de Allegro est :
x + y – 1 = (59 + 39) /75 – 1 = (98-75)/75 = 23/75
Le temps total est :
T = 5 – 4y = 5 – 52/25 = (125 – 52)/25 = 73/25 = 2 23/25
Convertissons maintenant ces temps en secondes
x = 60 * 59/75 = 236/5 = 47,2 secondes
y = 60 * 13/25 = 156/5 = 31,2 secondes
All :60* 23/75 = 92/5 = 18,4 secondes
T = 2 minutes + (60 * 23/25) secondes = 2minutes + 276/5 secondes = 2 minutes 55,2 secondes
6. Jean-Marie RETIERE
Je fais partir le plus lent, piano que j'appellerai P, avec la mobylette et il parcourt une distance x avant de la
laisser pour terminer la traversée à pied.
Le plus rapide, Allegro que j'appellerai A, arrivera à pied à cette mobylette le premier et la ramènera vers le
dernier compère en parcourant une distance y puis repartira vers leur destination à pied.
Enfin, Moderato que j'appelleari M, parti à pied lui aussi, prendra la
mobylette laissée par A et terminera le parcours avec cette dernière.
Si je prend leur temps de traversée en secondes et si j'utilise 1000
comme unité de longueur du pont; tout ceci peut s'écrire :
P = (x*60 +(1000-x)*600) / 1000
A = (120000 + 180 y) / 1000
M = ((x - y )*300 + ( 1000 - x + y)*60) / 1000
Pour que le temps soit le plus petit possible, il faut qu'ils arrivent
en même temps c'est à dire que P = A = M
soit en résolvant le système d'équation :
x = 786,66 et y = 306,68
Donc P parcourera 786,66/1000 en mobylette et le reste à pied ce qui lui prendra donc : 175 secondes et
20/100ème.
A lui parcourera 786,66/1000 à pied, puis reviendra sur ses pas avec la mobylette sur 306,88/1000 et enfin
terminera à pied ce qui lui prendra donc 175 secondes et 20/100ème
Enfin, M parcourera 479,98/1000 à pied et le reste en mobylette ce qui lui prendra 175 secondes et
19/100ème.
Le temps minimum est donc : 2 minutes 55 secondes et 20/100ème
7. Michel Gaydier
On commence bien évidemment par coller Piano sur la mobylette histoire qu'il ne ralentisse pas trop la bande et
tout le mode démarre ensemble. Quand 2 minutes après le départ, Allegro arrive à son tour, et histoire de ne pas
attendre à rien faire, il repart avec la mobylette chercher Moderato, qu'il rejoint 30s plus tard au milieu du pont,
Moderato finissant la traversée en mobylette et en 30s et Allegro pour sa part ayant besoin de 1 minute pour
revenir à son tour. Ca nous fait 3 mn 30 en tout, ce qui est déjà bien, mais essayons de faire mieux.
On est pour ça obligé de supposer qu'il n'y a pas de voleur de mobylette qui traine. Dès lors, Piano peut poser sa
mobylette à une fraction de pont x, et finir à pieds. En choisissant x astucieusement, la fin du trajet se fera en
temps masqué, et Allegro récupèrera la mobylette plus vite. De son coté, Piano bouclera son trajet en x + 10(1-x)
soit 10-9x.
A t=2x, Allegro arrive à la mobylette, l'enfourche, et fait demi tour pour récupérer Moderato. Il se rejoignent à
x/2 du début du pont à t=5x/2 (Moderato a parcouru x/2 à la vitesse de 1/5, Allegro x à la vitesse de 1/2
et x/2 à la vitesse de 1). Moderato va pouvoir repartir en Mobylette, et Allegro à pieds. Mais histoire d'optimiser
encore un peu, et sous réserve toujours qu'il n'y ait pas de voleur de mobylette à l'horizon, Moderato va
poser la mobylette en y, finir à pieds, et arrivé en y, Allegro va repartir en Mobylette. On aura optimisé s'ils
arrivent ensemble, et vu leurs vitesses respectives, y doit partager la distance restante 1-x/2 dans un rapport 4-1,
donc y = 4/5+x/10 et le temps d'arrivée commun à Moderato et Allegro est de (8x+9)/5.
On sera au mieux de cette méthode si Piano a le bon goût d'arriver en même temps que ses petits camarades,
donc on a 10-9x = (8x+9)/5 soit x = 41/53, ce qui nous donne un temps de parcours de 161/53 soit 3+2/53 on
encore 3mn, 2s, 26 centièmes et quelques. Quand à démontrer que c'est la meilleure solution...
8. Christian Revillard
Proposons : Temps : 2 minutes 55 secondes et 2 dixièmes.
Comment ? Exprimons les temps en 75èmes de seconde et les distances parcourues en 75èmes de pont.
1) Piano prend la mobylette à t=0, et roule dessus jusqu'à t=59. Ses camarades avancent à pied.
Positions à t=59 :
Allegro : 59/2=29,5
Moderato : 59/5=11,8
Piano : 59
Mobylette : 59
2) Tout le monde avance à pied, jusqu'à ce qu'Allegro atteigne la mobylette, à t=2*59=118
Positions à t=118 :
Allegro : 59
Moderato : 118/5=23,6
Piano : 59+59/10=64,9
Mobylette : 59
3) Allegro recule en mobylette pendant une durée de 23. Les autres avancent. Positions à t=141
Allegro : 36
Moderato : 141/5=28,2
Piano : 64,9+23/10=67,2
Mobylette : 36
4) Tout le monde avance, jusqu'à ce que Moderato atteigne la mobylette, à t=141+(36-28,2)*5=180
Positions à t=180
Allegro : 36+39/2=55,5
Moderato : 36
Piano : 67,2+39/10=71,1
5) Moderato prend la mobylette, et les autres marchent jusqu'au bout du pont, qu'ils atteignent tous à t=219
Positions à t=219
Allegro : 55,5+39/2=75
Moderato : 36+39=75
Piano : 71,1+39/10=75
Temps nécessaire : 219/75 = 73/25 secondes, soit 2 minutes 55 secondes et 2 dixièmes.
Ces valeurs proviennent de la résolution du système :
a : distance parcourue en mobylette par Allegro
m : distance parcourue en mobylette par Moderato
p : distance parcourue en mobylette par Piano
hypothèse : La mobylette arrive au bout du pont. Il ne semble pas être judiciux de la laisser en route : a+m+p=1
hypothèse : On obtient un temps optimal si tout le monde arrive en même temps (est-ce vrai ? Comment le
montrer rigoureusement ?)
t=|a| + 2|1-a|
t=|m| + 5|1-m|
t=|p| + 10|1-p|
Une première résolution avec a,m,p entre 0 et 1 aboutissait à une contradiction (a<0). Une deuxième avec a<0 et
m,p entre 0 et 1, soit le système
a+m+p=1
2-3a=5-4m
2-3a=10-9p
me donne les valeurs de a,m,p utilisées ci-dessus :
a=-23/75
m=39/75
p=59/75
Qui dit mieux ?
9. Daniel Collignon
Prenons pour unités de référence :
- longueur du pont = 1 l
- vitesse à moto pour traverser le pont = 1 l / min
Notons :
- x = a, m ou p, où a, m, p désignent Allegro, Moderato ou Piano
- dx = instant où x part du début du pont
d = min(da,dm,dp)
- ax = instant où x arrive de l'autre côté du pont
a = max(aa,am,ap)
- tx = temps mis par x pour traverser le pont = ax - dx
- t'x = tx + dx - d = ax - d >= tx
- vx = vitesse de x à pied (va = 1/2, vm = 1/5, vp = 1/10)
- px = distance parcourue à pied par x (px >= 0)
- mx = distance parcourue à moto par x (mx >= 0)
* Comment définir le temps du trio pour franchir le pont ?
On se place au début du pont et on déclenche le chronomètre au départ du premier des trois (d).
On arrête le chronomètre à l'arrivée du dernier des trois de l'autre côté du pont (a).
Le temps du trio pour franchir le pont vaut donc t = a - d que l'on va chercher à minimiser.
* Le trio a intérêt à partir en même temps.
t = max(aa,am,ap)-d
t = max(aa-d,am-d,ap-d)
t = max(t'a,t'm,t'p)
t >= max(ta,tm,tp) avec égalité ssi da=dm=dp
Le but est donc désormais de minimiser t = max(ta,tm,tp)
* Le trio a intérêt à arriver en même temps.
t = max(ta,tm,tp) >= (ta+tm+tp)/3 avec égalité ssi ta=tm=tp
* Le trio a intérêt à toujours se déplacer.
tx >= px/vx + mx/1
1er scenario :
< x >< y ><1-x-y>
A mmmmmmmpppppppppppppp
M pppppppmmmmmmmppppppp
P ppppppppppppppmmmmmmm
Quitte à permuter les tronçons, on peut supposer par exemple que :
A parcourt x en moto et 1-x à pied
M parcourt y en moto et 1-y à pied
P parcourt 1-x-y en moto et x+y à pied
ta=tm=tp <=> x+2(1-x) = y+5(1-y) = 1-x-y+10(x+y)
<=> 2-x = 5-4y = 1+9(x+y)
<=> x-4y = -3 et 9x+13y = 4
<=> x = -23/49 et y = 31/49
Le problème est que x doit être positif.
Dans ce cas, on sature la contrainte en x=0 (ta=2)
Le problème est que dans ce cas, on a y=4/13 et tm=tp=49/13 > ta.
Voyons si l'on peut faire mieux...
2nd scenario :
< x ><1-x-y>< y >
A pppppppppppppp
mmmmmmm
pppppppppppppp
M mmmmmmmmmmmmmmppppppp
P pppppppmmmmmmmmmmmmmm
A profite de son avance pour apporter la moto à un des deux autres.
Quitte à permuter x et y, on peut supposer par exemple que :
A parcourt 1-y à pied, puis 1-x-y en moto, puis encore 1-x à pied
M parcourt 1-y en moto, puis y à pied
P parcourt x à pied, puis 1-x en moto
ta=tm=tp <=> 2(1-y)+1-x-y+2(1-x) = 1-y+5y = 10x+1-x
<=> 5-3(x+y) = 1+4y = 1+9x
<=> 4y = 9x et 12x+3y = 4
<=> x = 16/75 et y = 36/75
Dans ce cas, ta=tm=tp=73/25 # 2 min 55 sec 20 1/100sec
Reste à vérifier la réalité de cette configuration, car la contrainte relative à la moto est délicate à modéliser (cf
pièce jointe).
M part en moto et parcourt 39/75 l en 39/75 min ; il laisse la moto puis parcourt 36/75 l en 180/75 min.
A part à pied et parcourt 39/75 l en 78/75 min ; il récupère la moto laissée là par M et parcourt dans l'autre sens
23/75 l en 23/75 min ; il continue à pied et parcourt 59/75 l en 118/75 min.
P part à pied et parcourt 16/75 l en 160/75 min ; il récupère la moto laissée là par A et parcourt 59/75 l en 59/75
min.
M laisse la moto à 39/75 min. A la récupère à 78/75 min et la laisse à 101/75 min. P la récupère enfin à 160/75
min.
Naturellement tout ceci suppose que personne ne vienne voler la moto restée sans surveillance quelques instants
:o)
Intuitivement ce second scenario semble optimal à moins qu'il y ait une stratégie différente (genre une astuce qui
m'aurait échappé...)
10. Marian Marinescu
Réponse : temps_minimal = 73/25 minutes
Notons : A,B respectivement les points de départ et d'arrivée du pont.
P1 = 2 = temps de traversée du pont par Allegro à pied
P2 = 5 = temps de traversée du pont par Moderato à pied
P3 =10 = temps de traversée du pont par Piano à pied
Tb = 1 = temps de traversée du pont en mobylette
Tm = 223/71 = temps minimal de traversée du groupe
0)i0=0 : Tout le monde part en même temps de A vers B :
Moderato avec la mobylette, les autres à pied.
1)i1=13/25 minutes :
Moderato laisse la mobilette et continue à pied vers B.
2)i2=26/25 minutes :
Allegro arrive à la mobillette, monte dessus et se dirige vers A
3)i3=101/75
Allegro laisse la mobilette, se retourne vers B.
4)i4=
Piano arrive à la mobylette monte dessus et va vers B
5)i5 = 73/25 : tout le monde est en B
Justification : L = la longueur du pont ,
Vb= vitesse de la mobylette, donc Tb = L/Vb
Pour chaque personnage k=1,2,3 on a la démarche suivante :
- Vk = vitesse à pied , donc Pk = L/Vk
- Mk = distance cumulée à mobylette dans le sens A --> B
- Nk = distance cumulée à mobylette dans le sens B --> A
(afin de faciliter la traversée des retardataires..)
- L-Mk+Nk= distance cumulée à pied dans le sens A --> B
- Tk = temps de traversée :
Tk = Mk/Vb + Nk*(1/Vb + 1/Vk) + (L-Mk)/Vk
On note Yk = Mk/L , Xk = Nk/L , donc
Tk = Yk*(Tb-Pk) + Xk*(Tb+Pk) + Pk
Pour le temps minimal il faut Tm=T1=T2=T3 (1)
D'autre part pour la solution optimale on a
L = M1 + M2 + M3 - N1 - N2 - N3 ===> 1 = Y1+Y2+Y3-X1-X2-X3 (2)
avec Yk,Xk positifs ou nuls
De (1) on déduit :
Tm = Tk ===> Yk = (Pk-Tm)/(Pk-Tb) + Xk*(Tb+Pk)/(Pk-Tb) (3)
On remplace dans (2):
Tm*(1/(P1-Tb) + 1/(P2-Tb) + 1/(P3-Tb)) =
= -1 + P1/(P1-Tb) + P2/(P2-Tb) + P3/(P3-Tb) +
+ 2*Tb*(X1/(P1-Tb) + X2/(P2-Tb) + X3/(P3-Tb))
ou encore :
Tm*(1+1/4+1/9) = -1 + 2 + 5/4 + 10/9 + 2*(X1 + X2/4 + X3/9)
ou encore : Tm*(49/36)= 121/36 + 2*(X1 + X2/4 + X3/9)
ou encore (4) Tm = 121/49 + (72/49)*(X1 + X2/4 + X3/9)
Comme Yk >=0 de (3) on déduit : Xk >= (Tm-Pk)/(Tb+Pk)
Minimiser Tm ===> X1=(Tm-P1)/(Tb+P1)=(Tm-2)/3 , X2=0 , X3=0
On en déduit :
Tm = 121/49 + (72/49)*(Tm-2)/3 ===> Tm =73/25