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MUSIQUE DE CHAMBRE A AIR
avec
ALLEGRO, MODERATO ET PIANO
Pour se rendre à la salle de concert où ils risquent d'être en retard, trois musiciens, Allegro, Moderato et Piano,
doivent traverser un pont. Allegro, le plus vif, peut le traverser en 2 minutes. Moderato, moins sportif en 5
minutes seulement. Piano, quant à lui, se limitera à 10 minutes pour cause d'embonpoint. Heureusement, ils
disposent aussi d'une mobylette capable de faire le parcours en 1 minute mais incapable d'accueillir un second
passager. Comment notre trio va-t-il procéder pour franchir le pont en un minimum de temps ? Et quel est ce
temps minimal ?
Voici les 10 bonnes réponses proposées :
1. Daniel Dubuisson
Je prends pour unité de longueur la longueur du pont et pour unité de temps la minute. L'énoncé suggère que les
mouvements sont uniformes et se font aux vitesses respectives, en pont par minute, de 1/2 pour A(llegro), 1/5
pour M(oderato), 1/10 pour P(iano) et 1 pour la mobylette.
Voici une solution qui permet au trio de franchir le pont en 2 minutes 55,2 secondes. Il faut suivre le mouvement
sur le graphique musiciens.gif joint : temps en abscisse, distance en ordonnée. Le mouvement de A est en rouge,
celui de M en vert et celui et P en bleu.
A l'instant 0, A et M partent à pied et P part en mobylette.
P abandonne la mobylette au point du pont d'abscisse t (0 < t < 1) (point a du graphique) et termine le trajet à
pied. Lorsque A découvre la mobylette (point b du graphique), il rebrousse immédiatement chemin avec, puis
l'abandonne au point du pont d'abscisse s (0 < s < t, et on trouvera aussi en cours de calcul s >= t/2) (point c du
graphique), puis termine le trajet à pied. Lorsque M découvre la mobylette (point d du graphique), il l'enfourche
pour terminer le trajet.
On calcule alors s et t de façon que les trois musiciens arrivent simultanément (point e du graphique). J'ai
supposé que cette simultanéité permettait de perdre le moins de temps possible, mais je ne peux pas prouver que
ma méthode permet d'obtenir la traversée la plus rapide.
On écrit les équations des mouvements, et on trouve s = 12/25 et t = 59/75. La traversée dure alors 73/25
minutes, soit 2 minutes 55,2 secondes.
Voici les coordonnées des points du graphique pour vérifier :
a (59/75 , 59/75) ; b (118/75, 59/75) ; c (47/25 , 12/25) ; d (12/5 ,12/25) ; e (73/25, 1).

2. Eric Bazin
Remarque : nos musiciens ont interet a etre aussi de bon mathematiciens !
Quelques notations :
On fixe arbitrairement la longeur L du pont a 10 unités de distance.
On mesure les temps en minutes et les vitesses en unité de distance par minute.
Ainsi, d'après l'énnoncé,
- la vitesse de Piano est VP=1 (10 minutes pour parcourir le pont)
- la vitesse de Moderato est VM=2 ( 5 minutes pour parcourir le pont)
- la vitesse d' Allegro est VA=5 ( 2 minutes pour parcourir le pont)
- la vitesse de la moto est Vm=10 ( 1 minutes pour parcourir le pont)
Voici la chronologie des évenements :
à T0 : départ de M et A à pied et de P en moto , pendant une durée t1.
à T1=T0+t1 : P laisse la moto où il se trouve (L1) ; A, M et P continuent à pied pendant une durée t2.
à T2=T1+t2 : A arrive à la moto (en L1), la prend et fait demi-tour ; M et P continuent à pied et A en moto
pendant une durée t3.
à T3=T2+t3 : A laisse la moto où il se trouve (L2) et refait demi-tour ; A, M, P vont à pied pendant une durée t4.
à T4=T3+t4 : M arrive à la moto (en L2), la prend ; M continue en moto et A et P vont à pied pendant une durée
t5.
à T5=T4+t5 : par une heureuse coincidence (!), A, M et P arrivent ensembles au bout du pont.
Inconnues : t1,t2,t3,t4,t5,L1,L2
A déterminer : T=T5-T0=t1+t2+t3+t4+t5
Equations :
- trajet de P :
Du départ à L1 : L1=Vm*t1 ; soit (1) L1=10*t1
De L1 à l'arrivée : L-L1=VP*(t2+t3+t4+t5) ; soit (2) 10-L1=T-t1
- trajet de A :
Du départ à L1 : L1=VA*(t1+t2) ; soit (3) L1=5*(t1+t2)
De L1 à L2 (en sens inverse) : L1-L2=Vm*t3 soit (4) L1-L2=10*t3
De L2 à l'arrivée : L-L2=VA*(t4+t5) soit (5) 10-L2=5*(t4+t5)
- trajet de M :
Du départ à L2 : L2=VM*(t1+t2+t3+t4) ; soit (6) L2=2*(T-t5)
De L2 à l'arrivée : L-L2=Vm*t5 ; soit (7) 10-L2=10*t5
(On pourrait rajouter le trajet de cette brave moto, qui elle aussi arrive en bout de pont à T5, mais ca n'apporte
rien).
(1) L1=10*t1
(2) 10-L1=T-t1
(3) L1=5*(t1+t2)
(4) L1-L2=10*t3
(5) 10-L2=5*(t4+t5)
(6) L2=2*(T-t5)
(7) 10-L2=10*t5 <=> L2=10-10*t5
En eliminant L1 par (1) et L2 par (7) il reste :
(2) 10-10*t1=T-t1 <=> t1=(10-T)/9
(3) 10*t1=5*(t1+t2) <=> t2=t1
(4) 10*t1-10+10*t5=10*t3 <=> t3=t1-1+t5
(5) 10*t5=5*(t4+t5) <=> t4=t5
(6) 10-10*t5=2*(T-t5) <=> t5=(10-2*T)/8=(5-T)/4
En sommant :
T=t1+t2+t3+t4+t5=t1+t1+t1-1+t5+t5+t5=3*(10-T)/9-1+3*(5-T)/4
36T=120-12T-36+135-27T
75T=219
----------------------------------------------------------------------

=> T = 219/75 = 2.92 minutes = 2 minutes, 55 secondes, 2 dixiemes <=
----------------------------------------------------------------------
On pourrait s'arreter là. Je ne resiste pas cependant à terminer les calculs :
t1=t2=(10-T)/9=0.7866_
t4=t5=(5-T)/4=0.52
t3=t1+t5-1=0.3066_
L1=10*t1=7.866_
L2=10-10*t5=4.8
et a donner un tableau récapitulatif de la position en fonction du temps :
Temps A M P
T0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
T1 0,7867 3,9333 1,5733 7,8667
T2 1,5733 7,8667 3,1467 8,6533
T3 1,8800 4,8000 3,7600 8,9600
T4 2,4000 7,4000 4,8000 9,4800
T5 2,9200 10,0000 10,0000 10,0000
A noter : il existe une situation très semblable (avec le même temps total), dans lequel les rôles de M et P sont
inversés :
Temps A M P
T0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
T1 0,5200 2,6000 5,2000 0,5200
T2 1,0400 5,2000 6,2400 1,0400
T3 1,3467 2,1333 6,8533 1,3467
T4 2,1333 6,0667 8,4267 2,1333
T5 2,9200 10,0000 10,0000 10,0000

3. Roger Deherder
Les 3 musiciens peuvent traverser le pont en 73/25 minutes (soit 2,92 minutes).
Stratégie à suivre:
Ils partent tous trois en même temps, A(llegro) et M(oderato) à pied, et P(iano) en mobylette.
P abandonne la mobylette aux 59/75ème du pont et continue à pied.
Lorsque A arrive à la hauteur de la mobylette, il ramène celle-ci aux 12/25ème du pont, et repart à pied vers le
bout du pont.
Lorsque M atteint le point où A a laissé la mobylette, il la prend et rejoint le bout du pont.
Cette stratégie conduira chacun des 3 musiciens à atteindre le bout du pont après 73/25 minutes.
Calculs:
Pour les calculs ci-dessous, je choisis pour unité de longueur le "pont", et pour unité de vitesse le "pont par
minute". Ainsi, les vitesses (à pied) des trois musiciens sont respectivement 1/2, 1/5 et 1/10 pont/minute, et la
vitesse à mobylette est de 1 pont/minute. Les temps sont calculés par la formule : temps = espace/vitesse.
Temps de parcours de A (un tronçon de 59/75 à la vitesse de 1/2, un tronçon de 59/75 - 12/25 à la vitesse de 1 et
un tronçon de 1 - 12/25 à la vitesse de 1/2): 2(59/75) + 1(59/75 - 12/25) + 2(1 - 12/25) = 73/25
Temps de parcours de M (un tronçon de 12/25 à la vitesse de 1/5 et un tronçon de 1 - 12/25 à la vitesse de 1):
5(12/25) + 1(1 - 12/25) = 73/25
Temps de parcours de P (un tronçon de 59/75 à la vitesse de 1 et un tronçon de 1 - 59/75 à la vitesse de 1/10):
1(59/75) + 10(1 - 59/75) = 73/25
Pour être tout-à-fait complet, il faut encore vérifier que la mobylette se trouvera bien aux endroits voulus lorsque
A et M atteindront ces endroits. Pour A c'est évident (A et P démarrent en même temps et vont directement vers
les 59/75, mais P est plus rapide que A, puisque en mobylette). A ramène la mobylette au point 12/25 après un
temps = 2(59/75) + 1(59/75 - 12/25) = 141/75, tandis que M atteint ce point au temps 5(12/25) = 12/5, qui lui est
supérieur. Ceci garantit donc que la mobylette sera bien présente là où M en a besoin.
Remarque finale:
Il est évident que les valeurs où laisser la mobylette (les 59/75 et les 12/25 du pont) ne "tombent pas du ciel" !
Une fois fixée la stratégie (à savoir que P utilise la mobylette jusqu'à un point x, et que A la ramène de x à un
point y), on calcule les temps mis par A, M et P en gardant x et y comme inconnues. En égalant ces 3 temps, on
trouve dès lors un système de deux inconnues en x et y qu'il suffit de résoudre.
Ceci m'assure que dans le cadre de la stratégie fixée, ma solution est la meilleure possible. Par contre, en dehors
d'une réflexion critique ayant emporté mon "intime conviction", je ne dispose d'aucun argument scientifique
démontrant rigoureusement qu'il n'y a pas d'autre stratégie, qui serait plus efficace.

4. Jean Diet
Intuitivement j'adopterais la stratégie suivante :
Le plus lent, Piano, prends la mobylette qu'il laisse au point X et termine à pied.
Pendant ce temps les deux autres commencent à marcher.
Le plus rapide, Allegro, va arriver le premier en X. Il monte sur la mobylette et revient en direction de son
collègue Moderato. Mais il s'arrête avant de le rencontrer en un point Y où il dépose la mobylette et fait demi-
tour pour terminer la traversée du pont à pied.
Quand Moderato arrive en Y, il monte sur la mobylette et finit son parcours ainsi.
Notons x et y les abscisses respectives des points X et Y. On prendra la longueur du pont comme unité.
Compte tenu du scénario décrit ci-dessus exprimons les temps Ta, Tm et Tp mis respectivement par Allegro,
Moderato et Piano pour traverser le pont :
Ta = 2x + (x-y) + 2(1-y) = 3x - 3y +2
Tm = 5y + (1-y) = 4y + 1
Tp = x + 10(1-x) = 10 - 9x
On sent que le temps de franchissement sera minimal si les trois musiciens arrivent en même temps. Si par
exemple Piano arrive le premier, cela veut dire qu'il a abandonné la mobylette trop loin ce qui a retardé Allegro
etc...
Une étude mathématique, que je n'ai pas le courage de développer ici, confirme cette intuition.
Résolvons donc le système de deux équations linéaires à deux inconnues :
Ta = Tm ; Ta = Tp.
On trouve : x = 59/75 = 0,79 ; y = 12/25 = 0,48 et Ta = Tm = Tp = 73/25
= 2,92 minutes.
Mon temps minimal est donc 2 minutes et 55,2 secondes.