1 Intégrale d`une fonction continue par morceaux sur un segment

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016
Résumé de cours sur l’intégration
Le programme de première année se limite à l’intégration des fonctions continues par morceaux
sur un segment, donc pas d’intégrales impropres.
Questions de cours
1. Convergence des sommes de Riemann dans le cas où f est de classe C 1
2. inégalité de Cauchy-Schwarz.
3. inégalité de Taylor-Lagrange à partir de Taylor avec reste intégral
4. Les fonctions k-lipschitziennes sont uniformément continues
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Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
1. Notion de fonction continue par morceaux : une fonction f : [a, b] → R est dite continue par
morceaux s’il existe une subdivision σ = (x0 , . . . , xn ) de [a, b] telle que pour tout k ∈ J0, n − 1K,
f est continue sur ]xk , xk−1 [ et admet une limite finie à droite en xk−1 et une limite finie à gauche
en xk .
CEX : la fonction g définie par g(x) =
1
x
si x ∈]0, 1] et g(0) = 1 n’est pas Cpm.
Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée. Une combinaison linéaire de
fonctions Cpm est encore Cpm.
2. On admet (on utilise pour cela la notion de continuité uniforme que l’on voit en fin de chapitre)
R
que l’on peut définir sur un segment [a, b] l’intégrale d’une fonction f Cpm. On la note [a,b] f .
Ainsi pour justifier l’existence de l’intégrale d’une fonction f sur un segment, il suffit de montrer
que f est Cpm Rsur [a, b]. Dans la pratique, on montre que la fonction est prolongeable par
continuité. Ex : 01 sinx x dx existe car sinx x ∼ 1.
0
3. Propriétés de l’intégrale
(a) Linéarité :
R
[a,b] (λf
+ g) = λ
R
[a,b] f
+
(b) positivité : si f > 0 sur [a, b], alors
(c) croissance : si f > g sur [a, b], alors
(d) l’inégalité triangulaire : |
(e) Relation de Chasles.
Z
[a,b]
f| 6
Exemple : déterminer la limite de In =
R
R
[a,b] g
[a,b] f
R
Z
[a,b] f
[a,b]
R1
0
>0
|f |
>
R
[a,b] g
sin(xn )ex dx.
4. Fonctions positives dont l’intégrale est nulle :
Proposition 1 Soit f : [a, b] → R positive et continue. Si
R
[a,b] f
= 0, alors f = 0.
Attention ce résultat est faux si f n’est pas
continue (prendre f définie sur [0, 1] par f (x) = 0
R
pour x ∈]0, 1] et f (0) = 1, on a f > 0 et [0,1] f = 0 mais f 6= 0).
On
utilise aussi cette proposition
ainsi : si f : [a, b] → R est continue, positive et non nulle, alors
R
R
n x dx > 0.
sin
f
>
0.
Exemple
:
[0,π/2]
[a,b]
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5. Extension de la définition
(a) Notation
Rb
a
f (t) dt avec a et b dans un ordre quelconque.
(b) Intégrale d’une fonction f : [a, b] → C continue par morceaux. On pose
Z
b
f=
a
Exemples :
2
R
π
2
0
eit dt et
Z
b
Re(f ) + i
a
Z
b
Im(f ).
a
R1
dx
0 x−(1+i)
Comment calculer l’intégrale d’une fonction continue ?
1. Définition d’une primitive, deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une
constante.
Exemples :
• x 7→ arctan x est une primitive de x 7→
1
.
1+x2
• Si u est une fonction dérivable ne s’annulant pas, une primitive de
u′
u
est ln |u|.
2. Théorème fondamental de l’analyse :
R
Théorème 2 Si f est une fonction continue sur I et a ∈ I, la fonction Fa : x 7→ ax f (t) dt est
l’unique primitive de f s’annulant en a, en particulier c’est une fonction de classe C 1 sur I et
Fa′ (x) = f (x).
On en déduit que pour calculer une intégrale, il suffit de chercher des primitives !
Corollaire 3 Pour toute primitive F de f , si b ∈ I, on a
Exemple :
R1
1
0 1+x2
dx = arctan 1 − arctan 0 = π4 .
Rb
a
f (t) dt = F (b) − F (a).
3. Deux outils fondamentaux :
• l’intégration par parties (IPP) Applications :
– calcul de primitives comme ln, arctan ou x 7→ x2 ex (double IPP).
– obtention de relation de récurrence pour des suites définies par des intégrales comme
celles de Wallis par exemple
• le changement de variable. Exemples :
– (*)
si f est continue et paire (resp. impaire) sur [−a, a], alors
Ra
−a f = 0).
– Si f est T périodique, on a
Rb
a
f=
R b+T
a+T
f et
R a+T
a
f=
RT
0
Ra
−a f
= 2
Ra
0
f (resp.
f.
4. Cas des fractions rationnelles : pour cela on décompose en éléments simples.
Exemple : calcul de
R
dx
.
x3 −1
5. Calculs approchés d’intégrales : méthode des rectangles
On subdivise [a, b], et sur chaque intervalle de la subdivision, on approxime f par une fonction
constante. L’intégrale cherchée est ainsi approximée par une somme Rd’aires de rectangles, que
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l’on appelle sommes de Riemann, par exemple pour pour estimer 01 e−t dt.
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Proposition 4 Soit f : [a, b] → R continue.
(a) On a
n
X
b−a
b−a
b−a X
b − a n−1
f (a + k
) = lim
f (a + k
)=
n→+∞ n
n→+∞ n
n
n
k=0
k=1
lim
Rb
(b) Si de plus f est de classe C 1 , alors l’erreur |
sup[a,b] |f ′ |.
a
|
{z
Rn
f − Rn | est majorée par
}
Z
b
f.
a
M1 (b−a)2
2n
où M1 =
Si l’on approxime f sur chaque intervalle de la subdivision par une fonction affine (resp. une
fonction polynomiale de degré 2), on obtient la méthode des trapèzes (resp. méthode de Simpson),
méthodes plus précises, l’erreur est en O( n12 ) (resp. O( n14 )).
Cette proposition peut aussi s’utiliser dans l’autre sens et permet de calculer des limites de
suites qui sont des sommes de Riemann. On a alors souvent [a, b] = [0, 1]. Exemple : la suite
1
1
1
+ n+2
+ · · · + 2n
converge vers ln 2.
un = n+1
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Applications ou compléments
1. Étude de fonctions du type φ : x 7→
Z
v(x)
f (t) dt .
u(x)
On utilise pour cela le corrolaire suivant du théorème fondamental de l’analyse : (*) si f est
continue sur I, et si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle J à valeurs dans I, alors
la fonction φ : x 7→
Z
v(x)
u(x)
f (t) dt est de classe C 1 sur J et φ′ (x) = f (v(x))v ′ (x) − f (u(x))u′ (x).
2. La comparaison série intégrale : si f est une fonction continue positive et monotone, il
faut savoir dans le cadre d’exercice comparer la nature des suites
sn =
n
X
f (k)
Vs
In =
k=1
On montre ainsi
Hn =
n
X
1
k=1
n
∼
Z
1
n
Z
n
f (t) dt.
1
dt
= ln n.
t
3. Inégalité de Cauchy-Schwarz
→
→
Cette inégalité est d’origine géométrique : si −
u et −
v sont des vecteurs, alors
→
→
→
→
|−
u ·−
v | 6 k−
u kk−
v k.
Ici le produit scalaire des q
fonctions f et g est l’intégrale < f, g >=
Rb
√
2
f est kf k = < f, f > =
a f (t) dt.
Rb
a
Proposition 5 Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b]. Alors
s
Z
sZ
Z b
b b
f2
g2 .
f g 6
a
a
a
De plus, il y a égalité ssi f et g sont proportionnelles.
f (t)g(t) dt et la norme de
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Formules de Taylor
1. Formules globales
Théorème 6 (Formule de Taylor avec reste intégral) : si f est de classe C n+1 sur un
intervalle I et a ∈ I, alors :
∀x ∈ I,
f (x) =
n
X
f (k) (a)(x − a)k
+
k!
k=0
Z
x
a
(x − t)n f (n+1) (t)
dt.
n!
Remarque : cette formule est globale, elle permet d’approcher la fonction f par une fonction
polynomiale de degré n. Le reste représente l’erreur commise dans cette approximation.
Il est impératif de retenir que le cas n = 0 redonne le théorème fondamental de l’analyse. Si l’on
sait borner les dérivées n-ièmes, alors on a un contrôle du reste, c’est l’objet de la proposition
suivante :
Théorème 7 (Inégalité de Taylor-Lagrange) : soit f de classe C n+1 sur un intervalle I, a
et x deux points de I. Si f (n+1) est bornée par Mn+1 entre a et x, alors :
n
X
f (k) (a)(x − a)k Mn+1 |x − a|n+1
.
6
f (x) −
k!
(n + 1)!
k=0
Autre formulation : il existe un réel Kax borné par Mn+1 tel que :
f (x) =
n
X
f (k) (a)(x − a)k
k!
k=0
+
(x − a)n+1 x
Ka .
(n + 1)!
Quelques applications :
• obtenir des inégalités globales : par exemple, on a ∀x ∈ R+ , | sin x − x +
• des développements en série entière :
∀x ∈ R, ex =
x3
6 |
6
x4
24 .
+∞
X
xk
.
k!
k=0
2. Formule locale : formule de Taylor-Young
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Complément : continuité uniforme
Définition 8 Soit f une fonction définie de I dans R, f est dite uniformément continue sur I si :
∀ε > 0, ∃α > 0 |
∀(x, y) ∈ I 2 , (|x − y| 6 α) ⇒ (|f (x) − f (y)| 6 ε).
On voit tout de suite qu’une fonction uniformément continue sur I est continue sur I, puisque la
continuité de f sur I s’écrit
∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃α > 0 |
∀y ∈ I, (|x − y| 6 α) ⇒ |f (x) − f (y)| 6 ε.
La différence essentielle entre les deux définitions provient du fait que α est défini pour un x fixé
dans le cas de la continuité simple (et donc dépend de x), tandis qu’il est valable sur tout l’intervalle
I dans le cas de la continuité uniforme. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme est une
propriété globale.
Le théorème suivant très positif, nous dit que sur un segment, continue ou uniformément c’est
pareil.
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Théorème 9 (Théorème de Heine) Toute fonction réelle continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment.
Preuve : hors-programme par l’absurde à l’aide du théorème de Bolzano-Weierstrass. Exemples :
1. (⋆) Les fonctions k-lipschitziennes sont uniformément continues.
2. La fonction racine carrée est uniformément continue sur [0, 1] d’après Heine mais n’est pas
lipschitzienne sur [0, 1] car possède une «tangente verticale» en 0.
3. La fonction x 7→ x2 n’est pas uniformément continue sur R. Moralement, lorsque x et y grandissent, l’accroissement x2 − y 2 «vertical» grandit trop vite par rapport à l’accroissement «horizontal» x − y, ce sera une obstruction au fait que la fonction carrée puisse être uniformément
continue 1 , au voisinage de +∞. En effet, soit α > 0. Il existe n ∈ N tel que n1 < α. Alors en
posant xn = n + n1 et yn = n, on a |xn − yn | = n1 < α mais |x2n − yn2 | = 2 + n12 > 2, ce qui
contredit la définition d’uniforme continuité.
1. On peut prouver que si f est uniformément continue sur R, alors elle a une croissance sous-linéaire, i.e. il existe
des réels a et b tel que : ∀x ∈ R, |f (x)| 6 a|x| + b