1 Intégrale d`une fonction continue par morceaux sur un segment

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1
Résumé de cours sur l’intégration
Le programme de première année se limite à l’intégration des fonctions continues par morceaux
sur un segment, donc pas d’intégrales impropres.
Questions de cours
1. Convergence des sommes de Riemann dans le cas où fest de classe C1
2. inégalité de Cauchy-Schwarz.
3. inégalité de Taylor-Lagrange à partir de Taylor avec reste intégral
4. Les fonctions k-lipschitziennes sont uniformément continues
1 Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
1. Notion de fonction continue par morceaux : une fonction f: [a, b]→Rest dite continue par
morceaux s’il existe une subdivision σ= (x0,...,xn) de [a, b] telle que pour tout k∈J0, n −1K,
fest continue sur ]xk, xk−1[ et admet une limite finie à droite en xk−1et une limite finie à gauche
en xk.
CEX : la fonction gdéfinie par g(x) = 1
xsi x∈]0,1] et g(0) = 1 n’est pas Cpm.
Une fonction continue par morceaux sur un segment est bornée. Une combinaison linéaire de
fonctions Cpm est encore Cpm.
2. On admet (on utilise pour cela la notion de continuité uniforme que l’on voit en fin de chapitre)
que l’on peut définir sur un segment [a, b] l’intégrale d’une fonction fCpm. On la note R[a,b]f.
Ainsi pour justifier l’existence de l’intégrale d’une fonction fsur un segment, il suffit de montrer
que fest Cpm sur [a, b]. Dans la pratique, on montre que la fonction est prolongeable par
continuité. Ex : R1
0sin x
xdxexiste car sin x x∼
01.
3. Propriétés de l’intégrale
(a) Linéarité : R[a,b](λf +g) = λR[a,b]f+R[a,b]g
(b) positivité : si f>0 sur [a, b], alors R[a,b]f>0
(c) croissance : si f>gsur [a, b], alors R[a,b]f>R[a,b]g
(d) l’inégalité triangulaire : |Z[a,b]
f|6Z[a,b]|f|
(e) Relation de Chasles.
Exemple : déterminer la limite de In=R1
0sin(xn)exdx.
4. Fonctions positives dont l’intégrale est nulle :
Proposition 1 Soit f: [a, b]→Rpositive et continue. Si R[a,b]f= 0, alors f= 0.
Attention ce résultat est faux si fn’est pas continue (prendre fdéfinie sur [0,1] par f(x) = 0
pour x∈]0,1] et f(0) = 1, on a f>0 et R[0,1] f= 0 mais f6= 0).
On utilise aussi cette proposition ainsi : si f: [a, b]→Rest continue, positive et non nulle, alors
R[a,b]f > 0. Exemple : R[0,π/2] sinnxdx > 0.

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5. Extension de la définition
(a) Notation Rb
af(t) dtavec aet bdans un ordre quelconque.
(b) Intégrale d’une fonction f: [a, b]→Ccontinue par morceaux. On pose
Zb
a
f=Zb
a
Re(f) + iZb
a
Im(f).
Exemples : Rπ
2
0eit dtet R1
0dx
x−(1+i)
2 Comment calculer l’intégrale d’une fonction continue ?
1. Définition d’une primitive, deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une
constante.
Exemples :
•x7→ arctan xest une primitive de x7→ 1
1+x2.
• Si uest une fonction dérivable ne s’annulant pas, une primitive de u′
uest ln |u|.
2. Théorème fondamental de l’analyse :
Théorème 2 Si fest une fonction continue sur Iet a∈I, la fonction Fa:x7→ Rx
af(t)dtest
l’unique primitive de fs’annulant en a, en particulier c’est une fonction de classe C1sur Iet
F′
a(x) = f(x).
On en déduit que pour calculer une intégrale, il suffit de chercher des primitives !
Corollaire 3 Pour toute primitive Fde f, si b∈I, on a Rb
af(t)dt=F(b)−F(a).
Exemple : R1
01
1+x2dx= arctan 1 −arctan 0 = π
4.
3. Deux outils fondamentaux :
• l’intégration par parties (IPP) Applications :
–calcul de primitives comme ln, arctan ou x7→ x2ex(double IPP).
–obtention de relation de récurrence pour des suites définies par des intégrales comme
celles de Wallis par exemple
• le changement de variable. Exemples :
–(*) si fest continue et paire (resp. impaire) sur [−a, a], alors Ra
−af= 2 Ra
0f(resp.
Ra
−af= 0).
–Si fest Tpériodique, on a Rb
af=Rb+T
a+Tfet Ra+T
af=RT
0f.
4. Cas des fractions rationnelles : pour cela on décompose en éléments simples.
Exemple : calcul de Rdx
x3−1.
5. Calculs approchés d’intégrales : méthode des rectangles
On subdivise [a, b], et sur chaque intervalle de la subdivision, on approxime fpar une fonction
constante. L’intégrale cherchée est ainsi approximée par une somme d’aires de rectangles, que
l’on appelle sommes de Riemann, par exemple pour pour estimer R1
0e−t2dt.

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Proposition 4 Soit f: [a, b]→Rcontinue.
(a) On a
lim
n→+∞
b−a
n
n−1
X
k=0
f(a+kb−a
n) = lim
n→+∞
b−a
n
n
X
k=1
f(a+kb−a
n)
|{z }
Rn
=Zb
a
f.
(b) Si de plus fest de classe C1, alors l’erreur |Rb
af−Rn|est majorée par M1(b−a)2
2noù M1=
sup[a,b]|f′|.
Si l’on approxime fsur chaque intervalle de la subdivision par une fonction affine (resp. une
fonction polynomiale de degré 2), on obtient la méthode des trapèzes (resp. méthode de Simpson),
méthodes plus précises, l’erreur est en O(1
n2) (resp. O(1 n4)).
Cette proposition peut aussi s’utiliser dans l’autre sens et permet de calculer des limites de
suites qui sont des sommes de Riemann. On a alors souvent [a, b] = [0,1]. Exemple : la suite
un=1
n+1 +1 n+2 +···+1 2nconverge vers ln 2.
3 Applications ou compléments
1. Étude de fonctions du type φ:x7→ Zv(x)
u(x)
f(t) dt.
On utilise pour cela le corrolaire suivant du théorème fondamental de l’analyse : (*) si fest
continue sur I, et si uet vsont des fonctions dérivables sur un intervalle Jà valeurs dans I, alors
la fonction φ:x7→ Zv(x)
u(x)
f(t) dtest de classe C1sur Jet φ′(x) = f(v(x))v′(x)−f(u(x))u′(x).
2. La comparaison série intégrale : si fest une fonction continue positive et monotone, il
faut savoir dans le cadre d’exercice comparer la nature des suites
sn=
n
X
k=1
f(k) Vs In=Zn
1
f(t) dt.
On montre ainsi
Hn=
n
X
k=1
1
n∼Zn
1
dt
t= ln n.
3. Inégalité de Cauchy-Schwarz
Cette inégalité est d’origine géométrique : si −→ uet −→ vsont des vecteurs, alors
|−→ u·−→ v|6k−→ ukk−→ vk.
Ici le produit scalaire des fonctions fet gest l’intégrale < f, g >=Rb
af(t)g(t) dtet la norme de
fest kfk=√< f, f > =qRb
af2(t) dt.
Proposition 5 Soit fet gdeux fonctions continues sur [a, b]. Alors
Zb
a
fg
6sZb
a
f2sZb
a
g2.
De plus, il y a égalité ssi fet gsont proportionnelles.

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4 Formules de Taylor
1. Formules globales
Théorème 6 (Formule de Taylor avec reste intégral) : si fest de classe Cn+1 sur un
intervalle Iet a∈I, alors :
∀x∈I, f(x) =
n
X
k=0
f(k)(a)(x−a)k
k!+Zx
a
(x−t)nf(n+1)(t)
n!dt.
Remarque : cette formule est globale, elle permet d’approcher la fonction fpar une fonction
polynomiale de degré n. Le reste représente l’erreur commise dans cette approximation.
Il est impératif de retenir que le cas n= 0 redonne le théorème fondamental de l’analyse. Si l’on
sait borner les dérivées n-ièmes, alors on a un contrôle du reste, c’est l’objet de la proposition
suivante :
Théorème 7 (Inégalité de Taylor-Lagrange) : soit fde classe Cn+1 sur un intervalle I,a
et xdeux points de I. Si f(n+1) est bornée par Mn+1 entre aet x, alors :
f(x)−
n
X
k=0
f(k)(a)(x−a)k
k!
6Mn+1|x−a|n+1
(n+ 1)! .
Autre formulation : il existe un réel Kx
aborné par Mn+1 tel que :
f(x) =
n
X
k=0
f(k)(a)(x−a)k
k!+(x−a)n+1 (n+ 1)! Kx
a.
Quelques applications :
• obtenir des inégalités globales : par exemple, on a ∀x∈R+,|sin x−x+x3
6|6x4 24 .
• des développements en série entière :
∀x∈R,ex=
+∞
X
k=0
xk
k!.
2. Formule locale : formule de Taylor-Young
5 Complément : continuité uniforme
Définition 8 Soit fune fonction définie de Idans R,fest dite uniformément continue sur Isi :
∀ε > 0,∃α > 0| ∀(x, y)∈I2,(|x−y|6α)⇒(|f(x)−f(y)|6ε).
On voit tout de suite qu’une fonction uniformément continue sur Iest continue sur I, puisque la
continuité de fsur Is’écrit
∀x∈I, ∀ε > 0,∃α > 0| ∀y∈I, (|x−y|6α)⇒ |f(x)−f(y)|6ε.
La différence essentielle entre les deux définitions provient du fait que αest défini pour un xfixé
dans le cas de la continuité simple (et donc dépend de x), tandis qu’il est valable sur tout l’intervalle
Idans le cas de la continuité uniforme. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme est une
propriété globale.
Le théorème suivant très positif, nous dit que sur un segment, continue ou uniformément c’est
pareil.

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Théorème 9 (Théorème de Heine) Toute fonction réelle continue sur un segment est uniformé-
ment continue sur ce segment.
Preuve : hors-programme par l’absurde à l’aide du théorème de Bolzano-Weierstrass. 
Exemples :
1. (⋆) Les fonctions k-lipschitziennes sont uniformément continues.
2. La fonction racine carrée est uniformément continue sur [0,1] d’après Heine mais n’est pas
lipschitzienne sur [0,1] car possède une «tangente verticale» en 0.
3. La fonction x7→ x2n’est pas uniformément continue sur R. Moralement, lorsque xet ygran-
dissent, l’accroissement x2−y2«vertical» grandit trop vite par rapport à l’accroissement «ho-
rizontal» x−y, ce sera une obstruction au fait que la fonction carrée puisse être uniformément
continue 1, au voisinage de +∞. En effet, soit α > 0. Il existe n∈Ntel que 1
n< α. Alors en
posant xn=n+1
net yn=n, on a |xn−yn|=1 n< α mais |x2
n−y2
n|= 2 + 1
n2>2, ce qui
contredit la définition d’uniforme continuité.
1. On peut prouver que si fest uniformément continue sur R, alors elle a une croissance sous-linéaire, i.e. il existe
des réels aet btel que : ∀x∈R,|f(x)|6a|x|+b