Mécanique, cinématique, énergie
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OC Physique astronomie, introduction mécanique page 1 Cinématique La vitesse Définition : distance parcourue temps de parcours ou bien, la vitesse moyenne peut-être exprimée à l’aide des symboles : l vm t vitesse scalaire moyenne Transformation d’unités de vitesse : m/s km/h 1,00 0,278 0,515 3,60 1,00 1,85 mille marin/h (nœuds) 1,94 0,540 1,00 Vitesse instantanée. La notation delta, variation d’une quantité. Pour indiquer le changement d’une valeur ; le totalisateur d’une voiture indique 16 354 km au début d’un trajet, puis 16 421 km à la fin. La distance parcourue est la variation de la position du véhicule : l l final l initial 16 421 km 16 354 km 67 km Si l’heure de départ de la voiture était midi et qu’elle est arrivée à destination à 13h24, on définit la durée du trajet : t t final t initial 13h 24 12h 00 1,40 h et sa vitesse moyenne est alors donnée par la relation : l 67 km vm 47,9 km h t 1,40 h La vitesse instantanée. C’est la vitesse indiquée par le compteur de vitesse. Elle est valable à l’instant où on lit l’instrument. On peut la mesurer, dans une expérience, en chronométrant un chariot se déplaçant sur une distance très courte. Elle est définie comme une limite (en fait, on utilise la notion de dérivée, que vous aborderez en mathématiques plus tard) : l v lim t 0 t La vitesse est une grandeur vectorielle. En effet, il faut toujours tenir compte de sa direction pour connaître exactement le déplacement. L’accélération C’est le taux de variation de la vitesse. variation de vitesse accélérati on moyenne temps écoulé v v f vi am t t f t i OC Physique astronomie, introduction mécanique page 2 Le mouvement rectiligne uniforme. On parle d’un tel mouvement lorsque la vitesse de l’objet est constante. On parle de x 0 pour décrire la position de l’objet au temps t=0 s, également v 0 est sa vitesse en t=0 s. Position en fonction du temps 80 70 60 distance (m) 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 temps (s) Vitesse en fonction du temps 12 10 vitesse (m/s) 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 temps (s) Sur ce graphique, l’aire sous la courbe entre deux instants quelconques est la hauteur (la vitesse) multiplié par la longueur (donc la durée) c’est à dire la distance parcourue. Equation : x x 0 vt 8 OC Physique astronomie, introduction mécanique page 3 Le mouvement rectiligne uniformément accéléré. L’accélération est constante. Ce mouvement est très courant, à condition que l’on puisse négliger les frottements de l’air. C’est le mouvement d’un chariot qui est tiré par un contrepoids. C’est aussi le mouvement d’un objet en chute libre. Distance en fonction du temps 12 10 distance (m) 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 temps (s) Vitesse en fonction du temps 3 vitesse (m/s) 2 1 0 0 1 2 3 4 temps (s) Comme pour le mouvement uniforme, la distance parcourue est la surface sous la courbe de ce graphique. Cette surface est celle d’un triangle, la hauteur (vitesse au temps t) multiplié par la base (le temps) divisé par deux. Comme l’accélération est le taux de variation de vitesse et qu’elle est constante, elle représente la pente de la droite du graphique de la vitesse. Equations : 1 x v v0 t 2 v v0 v v 0 at a t x x 0 v0 t 12 at 2 des équations précédentes, on tire : x v 0 t 12 at 2 ou bien et on peut montrer que v 2 v 02 2a x x0 OC Physique astronomie, introduction mécanique page 4 La chute libre d’un corps dans le vide. Les objets lancés retombent sur le sol de la Terre avec une accélération constante, dirigée vers m le bas ; g 9,81 2 . La valeur de cette accélération dépend à la fois de la pesanteur et de la s m rotation de la Terre. Cette valeur est, pour l’équateur g 9,78 2 et pour le pôle nord s m g 9,83 2 . Les variations sont donc faibles. En revanche, si on considère la chute des corps s m sur une autre planète ou astre, cette valeur peut être franchement différente ( g Lune 1,6 2 ). s Pour poser les équations de la chute libre, on considère un axe y vertical, dirigé vers le haut. L’accélération est ainsi comptée négativement car elle est dirigée vers le bas. L’origine de l’axe est fixée lorsque l’objet est à la position de départ ( t 0 ). Equations : v v 0 gt y v0 t 12 gt 2 v 2 v02 2 gy Si on lance une balle vers le haut, il peut être intéressant de découvrir l’altitude maximale atteinte par le projectile. La condition à satisfaire est de trouver une vitesse ascensionnelle nulle à cet endroit. v 02 y max 2g OC Physique astronomie, introduction mécanique page 5 Exercices. 1. La Lune décrit autour de la Terre une orbite circulaire de 3,84 108 m de rayon, en 27,3 jours. Calculer sa vitesse orbitale moyenne en m/s. 2. La pluie tombe verticalement à 10 m/s. Un tube est fixé sur un chariot qui roule horizontalement à 20 m/s. De quel angle doit-on incliner le tube pour que les gouttes ne touchent pas les parois ? 3. D’après le graphe x(t), trouvez la vitesse moyenne entre les instants : a) 0 et 2 s, b) 1 et 3 s, estimez la vitesse instantanée aux instants c) 1 s, d) 2 s, e) 3 s. 4. D’après le graphe, déterminer a) les instants où la particule est au repos, b) l’instant évent. de changement de sens, c) l’accélération moyenne entre 1 et 4 s. 5. Sur le graphe, y a-t-il des instants pour lesquels les conditions sont vérifiées ? a) v x 0, a x 0 ; b) v x 0, a x 0 ; c) v x 0, a x 0 exercice 7 6. A l’aide du graphe estimez a) le déplacement entre 2 et 3 s ; b) la vitesse moyenne durant les trois premières secondes. 7. Une Jaguar peut atteindre, départ arrêté, la vitesse de 48,3 km/h en 3,80 s. Calculer son accélération moyenne. 8. Une balle sort à la vitesse de 900 m/s du canon de 60 cm d'une carabine Winchester. Déterminer: (a) son accélération; (b) la durée du trajet dans le canon. exercice 8 9. Une particule située 5 m à l'est de l'origine se déplace vers l'ouest à 2 m/s. Cinq secondes plus tard, elle se trouve à 11 m à l'est de l'origine. Quelle était son accélération ? 10. Si un objet peut accélérer de façon continue à 10 m/s2 , quelle distance va-t-il parcourir et quel temps lui faudra-t-il pour atteindre: (a) la vitesse du son, 330 m/s; (b) la vitesse de libération d'une fusée de l'attraction terrestre, 11,2 km/s; exercice 9 (c) 3 10 7 m s c'est-à-dire 10% de la vitesse de la lumière? (On suppose qu'il part du repos.) 11. De l'eau jaillit verticalement d'un tuyau placé au niveau du sol et atteint une hauteur de 3,2 m. (a) À quelle vitesse sortelle du tuyau ? (b) Pendant combien de temps une goutte d'eau reste-t-elle en l'air ? 12. Une pierre lancée verticalement vers le haut à partir du sol monte jusqu'à une hauteur de 25 m. Quelle hauteur exercice 10 atteindrait-elle sur la Lune si elle était lancée avec la même vitesse initiale ? L'accélération due à la pesanteur sur la Lune vaut 1 6 de celle sur la Terre. 13. Une balle de tennis tombe d'une hauteur de 5 m et rebondit jusqu'à une hauteur de 3,2 m. Si elle est en contact avec le sol pendant 0,036 s, quelle est son accélération moyenne durant cette période? 14. À partir des données envoyées par l'engin spatial Voyager en 1979, l'ingénieur Linda Morabito a découvert sur Io, un satellite de Jupiter, la première activité volcanique extraterrestre. Le panache de l'éruption s'élevait à 280 km d'altitude environ. Sachant que l'accélération de la pesanteur à la surface d'Io vaut 1,8 m s 2 et supposant qu'elle demeure constante, déterminer : (a) la vitesse à laquelle les débris étaient projetés (b) le temps qu’il leur fallait pour atteindre la hauteur maximale. OC Physique astronomie, introduction mécanique page 6 Les lois de Newton En 1687, Newton énonça sa première loi du mouvement, qu’il déduit des travaux de Galilée et de Descartes : Première lo i de Newton Tout corps conserve son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme à moins que des forces n’agissent sur lui et ne le contraignent à changer d’état. Cette loi fait intervenir une propriété appelée inertie : Inertie L’inertie d’un corps est sa tendance à résister à toute variation de son état de mouvement. En d’autres termes, un objet a tendance à rester au repos s’il est au repos et à rester en mouvement à vitesse constante s’il est en mouvement. La première loi implique donc qu’une variation de vitesse (une accélération) est produite par une force. vitesse de déplacement traction frottement Lorsqu’on exerce une traction sur le bloc représenté, on peut le déplacer sur la droite. Il est soumis à deux forces, l’une de traction dans la ficelle, l’autre de frottement sur le sol. Si les modules de ces forces sont identiques, le bloc se déplace à vitesse constante. vitesse Si on fait tourner une pierre attachée à une corde, sa trajectoire sera circulaire, la vitesse de la pierre sera dirigée selon la tangente en tout point. A cause de son inertie, la pierre a tendance à poursuivre son chemin en ligne droite. La traction dans la ficelle l’empêche de suivre ce trajet naturel d’inertie. Si la corde lâche, la pierre ne sera plus soumise à aucune force et ainsi, elle obéira à la première loi de Newton. La force est perçue comme une poussée ou une traction. On peut distinguer des forces de contact : exercées par les cordes, des ressorts, de frottement et des forces d’action à distance : la gravitation comme l’interaction de la Terre et du Soleil, les forces électriques ou magnétiques. La masse est définie intuitivement par Newton comme la quantité de matière d’un corps. Cette définition ne permet pas d’établir des comparaisons entre les corps. C’est pourquoi la première loi de Newton nous donne une meilleure définition : Masse La masse d’un corps est la mesure de son inertie, c’est-à-dire de sa résistance aux variations de vitesse. OC Physique astronomie, introduction mécanique page 7 Une fois l’étalon de mesure choisi, le kilogramme, on peut le comparer à n’importe quel autre pour déterminer la masse de n’importe quel autre corps. Fnette ma Deu xième loi de Newton L’unité de la force est le ne wton noté N. m 1N 1kg 2 s La force nette ou force totale est la somme des forces qui agissent sur un objet : Fnette F Exemples La poussée totale des réacteurs d’un Boeing 747 est de 8,8 105 N . La masse de l’avion au décollage est de 3,0 10 5 kg . Quelle est son accélération au décollage ? Si l’avion part du repos, quelle sera sa vitesse après 10 s ? On néglige les forces de frottement. Une automobile de 1200 kg est sur une plaque de verglas (pas de frottement). On lui attache deux cordes et on exerce les forces F1 800 N à 35° nord par rapport à l’est et F2 600 N à 25° sud par rapport à l’est. Quelle est l’accélération de l’auto ? 1 2 Le poids Le poids d’un objet est la force gravitationnelle qui agit sur lui. mg On confond souvent les notions de masse et de poids. La première est la mesure de l’inertie d’un objet, la seconde la force gravitationnelle exercée sur un corps. La masse est une grandeur scalaire intrinsèque pour un objet. Le poids est une grandeur vectorielle, qui dépend de l’endroit où nous sommes situé (en fait dépend de g). Représentation de quelques forces : a) une voiture accélérant b) chute libre c) idem avec frottement d) un objet posé sur la table Une force est toujours exercée par un corps sur un autre. On ne peut pas parler de la force d’un corps. On pousse une voiture qui nous résiste. FAB désigne la force exercée sur l’objet A par l’objet B. Troisième loi de Newton Si une force est exercée par un objet sur un autre, une force égale en module est exercée par le second objet sur le premier, de sens opposé. FAB FBA OC Physique astronomie, introduction mécanique FPT page 8 Il y a attraction entre l’homme et la Terre. FTP est la force subie par la Terre due au personnage. FPT est la force subie par le personnage due à la Terre. FTP Exercices. 1. Calculer la force constante nécessaire pour faire accélérer une voiture de 1225 kg dans chacun des cas suivants : (a) elle part du repos et atteint 96 km/h en 10 s ; (b) elle freine, passant de 112 km/h au repos en 64 m. Quelle est, dans chaque cas, l’origine de la force ? 2. Une personne baisse de 15 cm son torse de 50 kg et saute verticalement. Si le torse s’élève 40 cm au dessus de sa hauteur normale, trouver la grandeur de la force exercée sur le torse au niveau de la hanche par la partie inférieur du corps. 3. Une fusée Saturn V a une masse de 2,7 10 6 kg et une poussée de 3,3 10 7 N . Quelle est son accélération verticale initiale? 4. Une fillette tombe d'une plate- forme située à 1,0 m au-dessus du sol. Calculez la force exercée sur son torse de 40 kg lorsqu'elle touche le sol.- (a) en pliant les genoux et en arrêtant le torse sur 30 cm; (b) avec raideur en arrêtant le torse sur 4 cm. 5. Une corde légère peut supporter une tension maximale de 600 N. Avec quelle accélération minimale une personne de 75 kg peut-elle descendre en glissant le long de la corde? 6. Un bulldozer jouet (B) de 0,7 kg pousse une petite voiture (V) de 0,2 kg qui roule librement sur le sol (S) avec une accélération de 0,5 m s 2 . Déterminez la valeur et le sens de la composante horizontale de chacune des forces suivantes: (a) FBS ; (b) FVS ; (c) FBV . ( FAB désigne la force exercée sur A par B.) 7. Une parachutiste de 60 kg et son parachute de 7 kg tombent à une vitesse constante de 6 m/s. Déterminez: (a) la force exercée par le parachute sur la parachutiste; (b) la force exercée par l'air sur le parachute. (On néglige la force exercée par l'air sur la parachutiste) OC Physique astronomie, introduction mécanique page 9 Mouvement circulaire Accélération radiale. Soit une particule se déplaçant à vitesse constante v sur un cercle de rayon r. Supposons que, durant un court intervalle de temps t , son vecteur position tourne de l'angle , et que le déplacement de la particule, r r2 r1 , soit vertical. Comme v est toujours perpendiculaire à r , les directions de ces deux vecteurs varient selon le même angle durant un intervalle de temps quelconque. Sur le diagramme vectoriel de l'équation v 2 v 1 v , nous voyons que v 2 v 1 v . La direction de v est horizontale et radiale vers l'intérieur, confondue avec la bissectrice de l'angle à l'intérieur du cercle. Les triangles OPQ et ABC sont deux triangles isocèles ayant les mêmes angles. Donc, r r v v v et nous en tirons v r r v v 2 Puisque r vt , nous voyons que t r Cette accélération est appelée radiale, car elle est toujours dirigée selon un rayon. Comme son sens pointe vers le centre, on l’appelle également accélération centripète. v D'après la définition a , nous savons que l'accélération t radiale est ar v2 r La période T est le temps nécessaire pour effectuer une révolution, c'est-à-dire pour parcourir 2r une distance égale à 2r ; la vitesse est donc v . Ainsi : T ar 4 2 r T2 EXEMPLE: Un pilote effectue en avion un virage circulaire horizontal avec une accélération centripète de 5g. Si la vitesse de l'avion est égale à Mach 2 (deux fois la vitesse du son, qui vaut 340 m/s), quel est le rayon du virage? OC Physique astronomie, introduction mécanique La force de gravitation La loi de gravitation universelle a été énoncée par Newton en 1687 dans le but d’expliquer le mouvement des planètes autour du Soleil. Il existe, selon cette loi, une force d’attraction entre deux objets ponctuels de masse m : M m F G 2 r où G 6,67 10 11 N m 2 / kg 2 page 10 m M r En particulier, le poids d’un objet posé à la surface de la Terre peut se calculer grâce à cette formule. Applications : 1. Calculer la force d’attraction exercée par la Lune sur la Terre. 2. Extraire l’expression de g et calculer sa valeur à l’aide des informations suivantes : M Terre 5.97 10 24 kg , RTerre 6370 km m MT RT Orbites de satellites en mouvement circulaire On suppose que la masse du corps central (Terre, Soleil) est beaucoup plus grande que la masse du corps en orbite (satellite, planète). Cela nous permet de traiter le corps central comme fixe. On néglige aussi les forces d’amortissement (frottement d’air dans les cas d’orbites basses). Selon la deuxième loi de Newton, on peut écrire : F ma GMm mv 2 r2 r GM La vitesse orbitale est donc : v orb r 2r La période de l’orbite est : T de sorte que : v orb 2 T r3 GM Que l’on peut exprimer ainsi : T 2 4 2 3 r GM T2 ou bien : 3 il s’agit de la troisième loi de Kepler, établie en 1619. r Application : Calculer le rayon de l’orbite d’un satellite géostationnaire. OC Physique astronomie, introduction mécanique page 11 Les lois de Kepler PREMIERE LOI OU LOI DES ORBITES ( 1605) : DANS LE REFERENTIEL HELIOCENTRIQUE, L'ORBITE DE CHAQUE PLANETE EST UNE ELLIPSE DONT L'UN DES FOYERS EST OCCUPE PAR LE SOLEIL. Ellipse : F et F' sont les foyers ; 2a représente le grand axe , 2b le petit axe de l'ellipse M est la position du satellite et dans le cas d 'une ellipse on a : MF + MF' = Constante. DEUXIEME LOI OU LOI DES AIRES (1604) : LE MOUVEMENT DE CHAQUE PLANETE EST TEL QUE LE SEGMENT DE DROITE RELIANT LE SOLEIL ET LA PLANETE BALAIE DES AIRES EGALES PENDANT DES DUREES EGALES TROISIEME LOI OU LOI DES PERIODES (1618) : POUR TOUTES LES PLANETES, LE RAPPORT ENTRE LE CUBE DU DEMI GRAND AXE (r) DE LA TRAJECTOIRE ET LE CARRE DE LA PERIODE (T) EST LE MEME. Cette constante est indépendante de la masse de la planète. Pour les différentes planètes du système solaire on a : OC Physique astronomie, introduction mécanique page 12 Exercices 1. On fait tournoyer une pierre de 0,5 kg à l’aide d’un fil de 80 cm. Calculer la force exercée par le fil si la pierre tourne à raison de 1 tour par seconde. On néglige la pesanteur. 2. Une voiture entre dans un virage de 30 m de rayon. L’adhérence maximale des pneus est de 4'000 N. Calculer la vitesse maximale à laquelle la voiture peut négocier cette courbe sans déraper. 3. Calculer la valeur de force qui retient la Terre dans son orbite autour du Soleil. 4. Calculer la force de gravitation exercée entre deux homme de 80 kg chacun distants de 20 cm. 5. Calculer la valeur de l’accélération d’un objet qui tombe à la surface de la Lune, de Mars. 6. Que devient la vitesse orbitale d’un satellite, en mouvement circulaire, s’il s’éloigne de la Terre ? 7. La lune Io de Jupiter est en orbite circulaire de rayon 4,22 10 5 km avec une période de 1,77 jour. Calculer la masse du Jupiter à l’aide de ces données. 8. Saturne est éloignée du Soleil environ 9,5 fois plus que ne l’est la Terre. Calculer sa période orbitale. 9. Calculer la vitesse d’un satellite géostationnaire. 10. Calculer la période de la station orbitale internationale sachant qu’elle vole au dessus de nos têtes à une altitude de 300 km OC Physique astronomie, introduction mécanique page 13 Le travail et l’énergie cinétique En principe, les lois de Newton permettent de résoudre tous les problèmes de la mécanique classique. Il faut alors connaître les positions, vitesses initiales des particules d’un système ainsi que toutes les forces sur agissent sur elles et on peut prévoir l’évolution du système. Dans la pratique, on connaît souvent mal les forces qui agissent dans une situation donnée. Une approche différente permet de résoudre les problèmes plus simplement. On s’appuie à ce moment sur les notions de travail et d’énergie. Le travail d’une force constante Les travail W effectué par une force constante F dont le point d’application subit un déplacement s est défini par : F W Fs cos où est l’angle entre F et s . Seule la composante de F sur s , c’est à dire F cos , contribue au travail effectué. Unité : Le joule (J), 1 J 1 N m Cas simple : déplacement d’un objet sur une table. s Comment considérer le travail de la force nécessaire à soutenir un poids de 5 kg dans la main pendant 3 minutes ? Le travail net Lorsque plusieurs forces agissent sur un corps, on peut calculer le travail effectué par chacune d’entre elles. Le travail net (total) effectué sur le corps est égal à la somme algébrique des travaux. W NET F1 s1 F2 s 2 F3 s 3 Si le corps subit une translation pure (pas de rotation ni de déformation), le travail net est alors : W NET FNETTE s Le théorème de variation de l’énergie cinétique Limitons-nous au cas d’une force constante et d’un mouvement de translation en une dimension. W NET FNETTE x OC Physique astronomie, introduction mécanique page 14 La deuxième loi de Newton nous permet d’écrire ici : W NET ma x et comme, par hypothèse, l’accélération est constante, on peut utiliser : v 2f v i2 2 a x f x i d’où l’on extrait : a v 2f v i2 2x et ainsi : W NET 12 mv 2f 12 mv i2 On appelle énergie cinétique la grandeur scalaire : E c 12 mv 2 On peut alors exprimer l’équation d’avant : W NET Ec Cette équation est appelée théorème de variation de l’énergie cinétique. Bien que cette relation ait été établie pour une force constante en une dimension, elle reste valable pour une force variable en trois dimensions. Application : Le moteur d’un véhicule exerce une force constante de 300 N sur 80 m. Calculer la vitesse du véhicule s’il démarre. Travail effectué par la force de pesanteur OC Physique astronomie, introduction mécanique page 15 Exercices : 1. Dans le cas d’un mouvement circulaire, que pouvez-vous dire du travail de la force centripète F ? ________________________________________________________________________________ 2. Une voiture de 1000 kg roule sur une route horizontale. Le conducteur effectue un freinage d’urgence, sa vitesse passe de 100 km/h à 30 km/h sur une distance de 50 m. a) Calculer le travail effectué par les freins. b) Calculer l’intensité de la force de freinage. ________________________________________________________________________________ 3. Une voiture de 1,3 tonnes gravit une montagne en parcourant 35 km sur une route dont l’inclinaison moyenne est de 6%. Le véhicule grimpe à vitesse constante et il subit une force de frottement constante de 200 N. Calculez le travail de chacune des forces qui agissent sur la voiture. ________________________________________________________________________________ 4. On pousse une voiture de 800 kg, à vitesse constante de 10 m/s, sur une distance de 500 m. La force de frottement est constante, elle vaut 300 N. a) Calculer le travail requis pour pousser cette voiture en admettant que la route est horizontale. b) Calculer le travail requis pour pousser cette voiture lorsqu’elle monte, la route est inclinée et forme un angle de 3,5° avec l’horizontale. c) Calculer le travail requis pour pousser cette voiture lorsqu’elle descend, la route est inclinée et forme un angle de 3,5° avec l’horizontale. ________________________________________________________________________________ 5. Un parachutiste de 80 kg saute d’un avion depuis une altitude de 1500 m. Il ouvre son parachute et tombe à la vitesse constante de 5 m/s. a) Calculer le travail effectué par la résistance de l’air pendant sa chute. b) Lors de l’atterrissage, il fléchit les jambes et s’abaisse ainsi de 80 cm. Calculer la force moyenne exercée par ses jambes lors du contact avec le sol. La puissance La puissance mécanique traduit le rythme auquel un moteur délivre une quantité de travail. Pour un quantité de travail W effectué dans un intervalle de temps t , la puissance moyenne est définie par : Pmoy W t On peut écrire aussi la puissance à partir de la force moyenne effectuant le travail : OC Physique astronomie, introduction mécanique page 16 Pmoy Fmoy v Applications : 1 Calculer la vitesse maximale d’une voiture, lors d’un déplacement horizontal. Sa force de frottement est donnée par la relation f r 12 SC x v2 et on néglige le frottement de roulement. S est la surface frontale de la voiture (3 m2 ), Cx 0, 26 le coefficient de forme, kg 1, 25 3 la masse volumique de l’air. La puissance du moteur est de 125 chevaux. m 2 Une pompe pousse l’eau d’un puits profond de 20 m à raison de 10 kg/s et la déverse à la vitesse de 6 m/s. Quelle la puissance du moteur ? Exercices : 6. Une automobile de 1000 kg a besoin de 8950 W pour rouler à la vitesse constante de 80 km/h sur une route horizontale. Quelle serait la puissance requise pour gravir, à la même vitesse, un plan incliné de 10° ? (On suppose que le frottement dû à la route et à la résistance de l’air est constant) 7. Un ascenseur de 2000 kg est attaché à un contrepoids de 1800 kg. Quelle puissance le moteur doit- il fournir pour faire monter l'ascenseur à la vitesse de 0,4 m/s ? 8. Une sauterelle (de masse voisine de 3 g) peut se propulser du repos à 3,4 m/s en 4 cm. Évaluez la puissance moyenne fournie par ses pattes. 9. Une Chevrolet a besoin de fournir 15 kW aux roues pour maintenir une vitesse de 80 km/h. (a) Quel est le module de la force de friction s'exerçant sur l'automobile ? (b) D'où vient cette force ? 10. En 1970, une voiture propulsée par fusée atteignait une vitesse record de 1002 km/h. Son moteur exerçait une poussée de 58 kN. Quelle était sa puissance maximale ? 11. Quelle est la puissance moyenne fournie par un haltérophile qui soulève 250 kg sur une distance de 2,1 m en 3 s ? 12. Un parachutiste en chute libre de masse 60 kg tombe à la vitesse limite de 55 m/s. Quelle est la puissance dissipée par la résistance de l'air ? 13. Un exercice vigoureux requiert un rythme métabolique (libération d'énergie chimique emmagasinée) de 600 kcal/h. Combien de temps faut- il pour perdre 0,1 kg si le métabolisme de 1 g de graisse libère 9 kcal ( 3,76 10 4 J )? 14. Un champion cycliste peut fournir de manière soutenue une puissance de 370 W pendant 10 min. Quelle distance peut-il parcourir à vitesse constante si la force de traînée a un module de 18,5 N ? OC Physique astronomie, introduction mécanique page 17 Conversions d’unités : Transformations à connaître : 1 Wh 3600 Ws 3600 J 1 kWh 1000 Wh Préfixes et symboles : Préfixes Symboles Multiples kilo k 103 méga M 106 giga G 109 tera T 1012 peta P 1015 exa E 1018 FACTEURS DE CONVERSION 1 1 1 cal kWh ch = = = 4,185 3'600 736 J kJ W = 860 kcal (cheval-vapeur métrique) Rendement et transformation d’énergie Le rendement d’une machine est le rapport : Putile Pconsommée ou bien Econsommée Eutile machine Eutile Edissipée Econsommée Le rendement s’exprime en pour-cent (sans unité). L’énergie étant conservée, l’énergie consommée est égale à la somme des énergies utiles et dissipées. Econsommée Eutile Edissipée Exemples de rendements : Centrale thermique ou nucléaire Centrale hydroélectrique Moteur d’automobile, réacteur d’avion Moteur électrique Pile électrique Panneau solaire photovoltaïque Panneau solaire thermique Ampoule Tube au néon 30 % 85 % 20-30 % 75-95 % 90 % 15 % 80-90 % 5% 20 % Exercices 15. Une grue est équipée d'un moteur de 5 kW. Combien de temps lui faut- il pour soulever une charge de 1 tonne à une hauteur de 12 m si le rendement du moteur est de 80% ? 16. La puissance fournie aux roues d'une voiture est de 40 kW. Sachant que le moteur a un rendement de 25 %, calculer : a) la puissance chimique consommée par le moteur ; b) le nombre de kg d'essence consommés par heure si 1 kilo d'essence fournit une énergie de 4,4 10 7 joules. OC Physique astronomie, introduction mécanique page 18 17. L'énergie électrique utilisée par une lampe à incandescence provient d'une centrale thermique. De la chaleur produite à la centrale, à la lumière (rayonnement visible) produite par la lampe, indiquer les transformations d’énergie et le rendement global. 18. Pour cuire une choucroute, en branchant la cuisinière sur la même puissance, il faut 60 minutes avec une marmite à vapeur et 150 minutes dans une casserole. a) Quelle est l'économie de temps réalisée avec une marmite à vapeur ? b) Quel pourcentage d'économie d'énergie est réalisé avec une marmite à vapeur ? c) Pour quelle raison une marmite à vapeur cuit-elle plus vite les aliments ? 19. L’énergie contenue dans l'essence est de 3,4 10 7 J L . On considère une automobile dont le taux de consommation est de 12 km/L à 100 km/h. Si la puissance mécanique fournie à cette vitesse est de 18,5 kW, quel est le rendement du moteur ? L’énergie potentielle Si l’énergie cinétique d’un système est attribuable au mouvement, l’énergie potentielle est attribuable à la position de cet objet. Pour soulever une gomme du sol jusqu’à une certaine hauteur, il faut soit la ramasser avec la main, soit la projeter avec une énergie cinétique initiale suffisante. Si la gomme revient à son point de départ, elle a la même grandeur de vitesse que lorsqu’elle a été lancée. L’énergie cinétique initiale est en quel que sorte emmagasinée puis restituée à nouveau sous forme d’énergie cinétique. La gomme, lorsqu’elle est à une certaine hauteur, possède donc quelque chose qu’elle n’a pas au sol, l’énergie potentielle. On peut définir l’énergie potentielle en fonction du travail extérieur. Si l’objet est déplacé à vitesse constante, le travail extérieur accroît l’énergie potentielle. WEXT E p E p ( f ) E p ( i ) Comme seule la différence d’énergie potentielle intervient, on peut choisir l’endroit où Ep 0 . L’énergie potentielle d’un objet est le travail extérieur fournit à l’objet pour l’amener, à vitesse constante, d’un point de référence à énergie potentielle nulle, au point considéré. Les forces conservatives Montée s V1 h f Descente s f V2 h Nous avons montré que le travail effectué sur un corps par la force de gravité, W g mg ( y f y i ) , ou le travail effectué par la force de rappel d'un ressort, 1 Wres k ( x 2f x i2 ) , 2 dépend uniquement des positions initiale et finale et non du trajet parcouru. Par contre, le travail effectué par la force de frottement, par exemple sur un bloc qui glisse sur un sol rugueux dépend OC Physique astronomie, introduction mécanique page 19 de la longueur du parcours et pas seulement des bornes. La force de gravité et la force exercée par un ressort idéal sont appelées forces conservatives, alors que la force de frottement est une force non conservative. Les expressions de W g et de Wres montrent également que si le point final coïncide avec le point initial, alors Wg 0 et Wres 0 . Autrement dit, le travail effectué sur un parcours fermé est nul. Par exemple, si l'on considère un bloc qui, après avoir été projeté vers le haut d'un plan incliné sans frottement, revient à son point de départ (figure), le travail effectué par la force de gravité sur le bloc pendant son déplacement vers le haut est Wg mgh et pendant son déplacement vers le bas, Wg mgh . Le travail sur l'ensemble du trajet est Wg 0 . Si le plan incliné est rugueux, le travail effectué par la force de frottement pendant le déplacement vers le haut est W f fs et pendant le déplacement vers le bas, W f fs . Le travail pour l'ensemble du trajet est alors W f 2 fs . Ainsi: lorsqu'une particule est en mouvement sous l'action d'une force conservative entre A et B (figure), le travail effectué sur la particule par la force conservative est le même pour le trajet 1 et pour le trajet 2: W A(1) B W A(2 ) B Le travail effectué par une force conservative est indépendant de la trajectoire. Si l'on inverse le sens du parcours sur la trajectoire 2 à la figure, la force ne change pas mais chaque déplacement infinitésimal est dirigé dans le sens opposé. Le signe du travail va donc changer : W A(2 ) B WB(2 ) A On peut alors écrire : W A(1) B W B( 2) A 0 Le travail effectué par une force conservative sur une trajectoire fermée quelconque est nul. Pour que le travail effectué par une force conservative ne dépende pas de la trajectoire, la force doit dépendre uniquement de la position, et non de la vitesse ni du temps. La force magnétique sur une charge en mouvement et la résistance d'un fluide dépendent de la vitesse, et sont donc des forces non conservatives. La force exercée par une main peut varier dans le temps; ce n'est donc pas non plus une force conservative. L’énergie potentielle et les forces conservatives Puisque E c 0 dans la définition de l'énergie potentielle de la première équation, le travail total effectué sur la particule par la force extérieure ( W EXT ) et par la force intérieure conservative ( Wc ) est nul. Autrement dit, WEXT Wc 0 . On peut donc définir la variation d'énergie potentielle en fonction du travail effectué par la force conservative : OC Physique astronomie, introduction mécanique page 20 E p Wc Cette équation est préférable à la précédente parce qu'elle ne fait pas intervenir d'agent extérieur. Elle n'exige pas non plus que la particule se déplace à vitesse constante. La variation d'énergie potentielle lorsqu'une particule se déplace du point A au point B est égale au travail effectué par la force conservative correspondante, précédé du signe moins. On ne peut définir l'énergie potentielle que pour une force conservative, car le travail effectué par une telle force est le seul qui ne dépende pas de la trajectoire. Les fonctions énergie potentielle Energie potentielle de pesanteur : Le travail de la force de pesanteur est : W g mg ( y f y i ) si bien que E p Wg , en choisissant E p 0 pour y=0, on a : E p mgy Energie potentielle du ressort : Le travail de la force du ressort est : 1 Wres k ( x 2f x i2 ) si bien que E p W res , en 2 choisissant E p 0 pour x=0 la position du repos du ressort, on a : Ep 1 2 kx 2 L’énergie potentielle d’un ressort est une fonction parabolique du déplacement x à partir de la position d’équilibre. Exemples : Un homme de 75 kg monte, à vitesse constante, un escalier de 3 m de haut. a) Quel est son gain d’énergie potentielle ? b) Sachant qu’un gramme de graisse libère environ 37'700 J, quelle est la perte de poids associée à cet exercice ? Quelle est la quantité de travail nécessaire pour faire passer l’allongement d’un ressort de 0,33 m à 0,50 m ? ( k 12 N m ). La conservation de l’énergie mécanique Dans le cas d’une particule soumise uniquement à des forces conservatives, on peut combiner le théorème d’énergie cinétique et la définition de l’énergie potentielle : Wnet E c E p Wc comme : Wnet Wc , on a que E c E p on peut écrire la relation ainsi : Ec ( 2) E c (1) ( E p ( 2) E p (1)) en regroupant les termes de même situation : Ec (1) E p (1) E c ( 2) E p ( 2) on peut écrire, à l’aide de l’éne rgie mécanique : Em (1) Em ( 2) car Em Ec E p OC Physique astronomie, introduction mécanique page 21 Le principe de conservation de l'énergie mécanique permet souvent d'aborder les problèmes de façon plus simple que ne le fait l'application directe des lois de Newton. Il offre plusieurs avantages. Premièrement, alors que la force est un vecteur, le travail et l'énergie sont des scalaires, plus faciles à manier. Deuxièmement, on ne doit considérer que les états initial et final d'un système, ce qui évite de devoir tenir compte de l'évolution du système dans le temps. Troisièmement, la notion d'énergie est utile, même lorsque la deuxième loi de Newton n'est pas facilement applicable. Par exemple, en physique et en chimie modernes, on peut mesurer les énergies des atomes et des molécules mais non les forces mises en jeu. La pesanteur L’énergie mécanique : 1 Em mv 2 mgy 2 Le principe de conservation permet de poser l’équation : 1 2 1 mvi mgyi mv 2f mgy f 2 2 où i représente la position initiale et f la position finale. Le ressort L’énergie mécanique : 1 1 Em mv 2 kx 2 2 2 Le principe de conservation permet de poser l’équation : 1 2 1 2 1 1 mvi kxi mv 2f kx 2f 2 2 2 2 Pour appliquer le principe de conservation de l’énergie mécanique, il faut : s’assurer qu’aucun travail ne sera effectué par des forces non conservatives plusieurs particules peuvent contribuer à l’énergie cinétique, il peut y avoir plusieurs type d’énergie potentielle (on somme les énergies) il faut préciser la position de référence où E p 0 lorsque plusieurs corps sont reliés par une corde, la corde transfert l’énergie mécanique d’un corps à l’autre. Il faut appliquer le principe de conservation à l’ensemble du système et non à chaque corps séparément. L’énergie mécanique et les forces non conservatives Si des forces non conservatives entrent en jeu, on peut utiliser le théorème de variation de l’énergie cinétique : Wnet Wc Wn . c E c et comme E p Wc , on peut écrire : E p Wn . c E c E p (1) E p ( 2) Wn . c Ec ( 2) E c ( 2) d’où on tire : Wn . c E c E p et le théorème de variation de l’énergie mécanique : OC Physique astronomie, introduction mécanique page 22 Wn . c E m Energie potentielle de gravitation L’expression E p mgh n’est valable qu’au voisinage de la Terre, lorsque la force de gravitation peut-être supposée constante. Si la particule considérée s’éloigne notablement de la surface de la Terre, ou si l’on suppose un mouvement dans le système Solaire, on utilisera l’expression de l’énergie potentielle de gravitation : Mm r Cette définition suppose que le zéro de l’énergie potentielle est choisi à r=. Le signe moins signifie qu’un agent extérieur doit effectuer un travail sur les particules pour augmenter la distance qui les sépare. Cette équation est valable non seulement pour des particules ponctuelles, mais aussi pour des sphères de masse uniformément répartie. Dans ce cas, r désigne la distance séparant les centres des sphères. E p G L’énergie mécanique En supposant que l’une des masses est beaucoup plus grande que l’autre, ( M m ) 1 Mm Em mv 2 G 2 r Exemple Calculer l’énergie mécanique de la navette spatiale (97’524 kg) qui gravite autour de la Terre à une altitude de 300 km. La vitesse de libération Une particule au repos à la surface de la Terre ou en orbite stable autour de la Terre est dans un état lié. Nous allons essayer de déterminer la valeur minimale de sa vitesse initiale pour que la particule puisse quitter le champ gravitationnel de la Terre, sans qu'elle ait besoin d'une force de propulsion après le lancement. Une fusée qui s'éloigne de la Terre remonte un puits d'énergie potentielle. Pour devenir une particule non liée, elle doit recevoir suffisamment d'énergie cinétique initiale pour pouvoir atteindre le point d'énergie potentielle maximale avec une vitesse égale ou supérieure à zéro. Dans le cas de la gravitation, la valeur maximale de l'énergie potentielle est zéro au point r . Une particule est donc liée si son énergie mécanique est négative et elle est non liée si Em E p Ec 0 . Si la fusée est lancée avec la vitesse de libération minimale v lib , elle atteindra r avec une vitesse nulle, c'est-à-dire avec Em ( f ) 0 . Son énergie initiale à la surface de la Terre est Em ( i ) 1 2 M m mvlib G T 2 RT En posant Em ( f ) Em (i ) 0 , on trouve OC Physique astronomie, introduction mécanique v lib page 23 2GM T RT On remarque que la vitesse de libération ne dépend pas de la masse de la fusée. Pour une particule à la surface de la Terre, v lib 11,2 km s par rapport au centre de la Terre et ne dépend pas de la direction dans laquelle la particule est lancée. Exemples Une fusée est lancée verticalement avec une vitesse égale à la moitié de sa vitesse de libération. Quelle est son altitude maximale en fonction du rayon de la Terre RT ? On néglige la rotation de la Terre. Quel devrait être le rayon du Soleil pour que la vitesse de libération soit la vitesse de la lumière c ? Une étoile à neutron d’une masse 5 M, mais un rayon de 20 km tourne sur elle- même 600 fois par seconde (record observé par l’observatoire de Genève en février 2005). Calculer la vitesse de libération à sa surface et la vitesse de la matière qui tourne avec l’étoile en surface. Exercices 1. Deux blocs, m1 1,5 kg et m2 0,8 kg , sont reliés par une corde (figure). La surface horizontale a un frottement de 4,5 N. Si les blocs sont initialement au repos, quel est le module de leur vitesse lorsque m1 a chuté de 30 cm ? 2. Un enfant de 25 kg glisse d'une hauteur de 2,4 m vers le bas d'une pente inclinée à 30°. Le frottement est de 12 N. Quel est le module de sa vitesse en bas de la pente ? 3. On comprime de 24 cm un ressort ( k 8 N m ) à l'aide d'un bloc de 0,3 kg (figure). Lorsqu'on relâche le bloc, celui-ci se déplace de 52 cm avant de s'arrêter. Quel est le frottement cinétique entre le bloc et la surface horizontale ? 4. Calculer l’énergie potentielle d’un atome d’hydrogène à la surface du Soleil. 5. Un projectile est lancé de la surface de la Terre atteint une altitude maximale de 4 RT . Calculer le module de la vitesse initiale (on néglige le mouvement de la Terre et la résistance de l’air). 6. Un satellite est en orbite circulaire stable avec une vitesse v orb . Montrer qu’il lui faut une vitesse 2v orb pour se libérer de son orbite.
