Sujet physique sciences 2011

© Hergé : Objectif Lune
Sciences Physiques
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice est autorisé
Le sujet comporte 10 pages et 1 annexe à rendre avec votre copie
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre
On se propose dans cette épreuve de « revisiter » l’œuvre de Hergé : On a marché sur la Lune
Les trois parties de ce sujet sont totalement indépendantes. Dans la première partie, on s’intéressera aux
caractéristiques du télescope utilisé pour le suivi de la mission lunaire depuis le sol terrestre. Dans la seconde
partie, on étudiera certains aspects de la sortie spatiale effectuée au voisinage de l’astéroïde Adonis par Tintin
et le capitaine Haddock. Pour finir, la troisième partie va permettre d’aborder les moyens de communication
entre la fusée et la Terre.
Partie A : Le suivi de la mission depuis la Terre
Résumé de l'épisode : Avant la mission pour la Lune, une fusée d’essai
contrôlée depuis la Terre est testée afin de valider les choix
technologiques du professeur Tournesol. Le suivi de l’engin est effectué,
entre autre, à l’aide d’un télescope de type Newton situé dans
l’observatoire du centre de contrôle.
Le télescope de Newton décrit figure 1 (en grand en annexe) est constitué
de trois éléments optiques :
 Un miroir sphérique de rayon de courbure
R CS
=
 Un miroir plan incliné de 45° sur l’axe optique du miroir sphérique
 Une lentille convergente de centre O, de distance focale
f
′
, dont l’axe optique est perpendiculaire à celui
du miroir sphérique.
figure 1

A.1: Le miroir sphérique du télescope
On rappelle que dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison d’un miroir sphérique reliant la
position d’un point objet A sur l’axe avec son image A’ est donnée par :
1 1 2
SA SA SC
+ =
′
A.1.1. Expliquer ce qu’est l’approximation de Gauss pour des rayons lumineux incidents sur un système
optique (par exemple une lentille ou un miroir).
A.1.2. Définir et exprimer la position des foyers objet
M
F
et
M
F
′
d’un miroir sphérique. En déduire
l’expression de la distance focale
M M
f SF
= en fonction de R .
A.1.3. Sur la figure 1 (en annexe), trois points situés sur l’axe optique du miroir sphérique sont matérialisés
par des symboles +. Associer à ces points le centre C , le sommet S et le foyer
M
F
du miroir sphérique. Le
miroir étudié est-il concave ou convexe ?
A.1.4. Soit une source ponctuelle placée en A sur l’axe optique du miroir. La distance entre A et le sommet du
miroir S est notée L . Préciser à l’aide d’un raisonnement qualitatif sur la forme de la surface d’onde au niveau
du miroir la condition que doit vérifier L pour considérer que les rayons issus de A forment un faisceau de
rayons parallèles à l’axe.
Dans la suite du problème, on s’intéressera à l’observation de la fusée considérée comme une superposition
d’objets lumineux ponctuels vérifiant la condition de la question A.1.4.
A.2: L’observation de la fusée
A.2.1. Calculer, en radian, l’angle sous lequel on voit la fusée située à proximité de la lune à partir de la Terre
à l’œil nu (c’est à dire l’angle
BOC
= α où
O
désigne l’œil et où
B
et
C
sont deux points extrêmes de la
fusée).
On précise les données suivantes : hauteur de la fusée
70 m
H
=
; distance Terre - Lune
4
38.10 km
L=
A.2.2. L’œil ne peut séparer deux objets que si leurs images sur la rétine sont suffisamment éloignées pour se
former sur deux cellules différentes. Pour un œil normal, la résolution angulaire vaut :
1 d'arc
ε
′
=
. Que peut-
on en conclure ?
On observe maintenant la fusée avec le télescope. L’axe optique du miroir sphérique est dirigé vers le centre
A de la fusée.
A.2.3. Dans quel plan se forme l’image de A à travers le miroir sphérique ?
A.2.4. Tracer soigneusement sur la figure 1 (en annexe) la marche de deux rayons lumineux venant de A à
travers le système optique complet [miroir sphérique - miroir plan - lentille L]. On fera apparaître sur la
construction la position des images intermédiaires : miroir sphérique miroir plan lentille L
1 2
A A A A
∞
′
→ → → .
A.2.5. Le faisceau de sortie est un faisceau parallèle. Que peut-on en déduire quant à la position du foyer
principal objet F de la lentille L ? L’œil doit-il accommoder ?
On considère maintenant un point B situé sur une des extrémités de la fusée. Deux rayons en provenance de
ce point sont représentés sur la figure 2 (en annexe).
A.2.6. Dans quel plan se forme l’image
1
B
de B à travers le miroir sphérique ?
A.2.7. Tracer soigneusement sur la figure 2 (en annexe) la marche des deux rayons lumineux venant de B à
travers le système optique complet [miroir sphérique - miroir plan - lentille L]. On fera apparaître sur la
construction la position des images intermédiaires : miroir sphérique miroir plan lentille L
1 2
B B B B
∞
′
→ → → .

A.2.8. Définir le grossissement angulaire
G
d’un télescope ou d’une lunette astronomique.
A.2.9. Montrer, en procédant à deux symétries planes partielles de la figure 2, que le télescope de Newton est
équivalent à une lunette astronomique formée par l’association de deux lentilles convergentes de distances
focales
M
f
−
et
f
′
.
A.2.10. En déduire l’expression de
G
en fonction de la distance focale de la lentille L et de celle du miroir
sphérique.
A.2.11. Calculer le grossissement minimum
min
Gpermettant d’observer la fusée.
A.3: Résolution théorique du télescope (effets de la diffraction)
On va maintenant tenir compte des effets de la diffraction sur les performances du télescope.
A.3.1. Rappeler de manière concise la signification physique du principe d’Huygens-Fresnel.
On se place dans le cas de la diffraction d’une onde plane monochromatique par une pupille
Σ
contenue dans
le plan ( xOy ) observée à l’infini ou dans le plan focal d’une lentille (dite diffraction de Fraunhofer).
Dans le cas d’une onde incidente normale à la pupille (direction Oz perpendiculaire au plan ( xOy )),
l’expression de l’onde diffractée par
Σ
en un point M situé à l’infini est donnée par :
[ ]
0
2
( , ) exp ( ( ) exp ( )
O
s M t Ks i t M i x y dxdy
π
ω ϕ α β
λ
Σ
= + +
∫∫
avec
2
1
i
= −
, K une constante,
λ
la longueur d’onde dans le vide de l’onde incidente,
α
et
β
les
composantes parallèles à ( Ox ) et ( Oy ) du vecteur unitaire de la direction de l’onde qui émerge de
Σ
vers M et
( )
O
M
ϕ la phase en M de l’onde secondaire émise par le point O de la pupille
Σ
.
A.3.2. On réalise une expérience de diffraction où la pupille est une ouverture rectangulaire de dimensions
(a, b) centrée en O . On observe la figure de diffraction sur un écran noté ( XO’Y ) placé dans le plan focal
d’une lentille convergente de distance focale
f
′
, O’ étant l’intersection de l’axe ( Oz ) avec l’écran et les
directions ( O’X ) et ( O’Y ) étant respectivement parallèles à ( Ox ) et ( Oy ).
a. Schématiser l’expérience dans le plan de coupe ( yOz ) dans lequel doit apparaître au moins deux
rayons sous incidence normale à la pupille ainsi que le point M sur l’écran.
b. Exprimer l’amplitude de l’onde diffractée
( , )
s M t
au point M .
c. Montrer que
α
et
β
s’expriment simplement en fonction des coordonnées du point M ( X , Y ) sur
l’écran et de la distance focale
f
′
de la lentille.
A.3.3. L’intensité lumineuse au point M est donnée par :
( ) ( , ). ( , )
I M s M t s M t
∗
= avec
( , )
s M t
∗
le complexe
conjugué de
( , )
s M t
a. Montrer que l’intensité lumineuse au point M s’écrit :
2 2
0
sin( . ) sin( . )
( , ) .
. .
A X BY
I X Y I A X BY =
on exprimera I
0
, A et B en fonction des données de l’énoncé.
b. Représenter l’allure de la courbe
2
sin( . )
.
A X
A X
en faisant apparaître les caractéristiques importantes
(largeur de la tache centrale, interfrange, etc...) de la figure de diffraction.
c. En vous aidant du schéma de la question A.3.2.a, exprimer l’ouverture angulaire
θ
∆
du faisceau
diffracté en fonction de
λ
et de la largeur de la pupille.
d. Représenter qualitativement l’intensité lumineuse sur l’écran (XO’Y).

© Hergé : Objectif Lune
A.3.4. On modélise le télescope par la lunette astronomique déterminée à la question A.2.9. A savoir, un
doublet afocal constitué par l’objectif (lentille convergente de distance focale
M
f
−
) et l’oculaire (lentille
convergente de distance focale
f
′
), de grossissement angulaire
G
.
Le faisceau incident est issu de l’objet ponctuel A situé à l’infini sur l’axe du télescope.
De plus, l’objectif est limité par sa monture circulaire de diamètre D jouant le rôle de pupille diffractante.
a. En raisonnant sur la largeur du faisceau lumineux au niveau de l’oculaire, expliquer pourquoi le
faisceau incident est essentiellement diffracté par l’objectif.
b. Justifier de manière concise la forme de la tache centrale de la figure de diffraction obtenue.
c. En admettant que le diamètre D de la monture joue le même rôle que la largeur (a ou b) de la pupille
rectangulaire, exprimer l’ouverture angulaire
θ
∆
de faisceau diffracté par la monture.
d. En déduire l’expression de l’ouverture angulaire
θ
′
∆
du faisceau à la sortie de la lunette.
A.3.5. Le critère de Rayleigh indique que les tache-images
A
′
et
B
′
issues des objets ponctuels A et B
peuvent être distinguées si le centre de la tache-image de A est sur la première frange noire de la tache-image
de B.
a. Soit
α
, l’angle sous lequel on voit les points A et B, situés à l’infini, à l’œil nu. Établir l’expression
de la plus petite valeur de
α
pour laquelle les deux objets
A
∞
et
B
∞
sont discernables au moyen de
la lunette.
b. Ce résultat est aussi applicable au télescope de Newton utilisé pour
suivre la fusée. Calculer
min
α
sachant que l’on peut estimer le
diamètre du miroir d’après le dessin, soit
2 m
D
et que
0,6 m
λ µ
=
(correspondant à la sensibilité maximale de l’œil)
c. En comparant ce résultat avec celui des questions précédentes,
discuter la possibilité de suivre la fusée depuis le sol avec ce
télescope.

Partie B : La sortie dans l’espace au voisinage d’Adonis
Résumé de l'épisode : Tintin et ses amis font route vers la
Lune. En plein délire éthylique, Haddock décide de quitter
la fusée pour rejoindre Moulinsart. Il se retrouve alors
flottant dans l'espace, non loin d'Adonis.
Haddock est attiré par la masse de l'astéroïde, autour
duquel il se met à tourner.
Heureusement, Tintin garde la tête froide et propose une
audacieuse solution de secours.
On assimile Adonis à une sphère de centre O, de rayon
350 m
A
R= et de masse
12
1,3.10 kg
A
M= et le
satellite Haddock à un point matériel (S, de masse
100 kg
m
=
) .
On suppose le référentiel Adoniso-centrique R
ac
galiléen.
On note G la constante de gravitation, sa valeur numérique vaut :
11
6,67.10 U.S.I
G
−
=
© Hergé : On a marché sur la Lune