chap dérivation - Maths M. Chenivesse

chap dérivation
I Dérivée en un point
1) Définition-taux de variation
Soit f une fonction définie sur [a , a+h] ou [a + h ; a]
Le taux de variation de f en a est
Error!
, s’il tend vers L lorsque h tend vers 0, on dit que f est dérivable
en a et que le nombre dérivé de f en a est L ,noté f ’(a).
Propriété :
Dans les mêmes conditions, f est dérivable en a si et seulement
si il existe un nombre L et une fonction  tels que f( a+h ) = f(a)
+ h L + h  (h) avec lim;h  0  ( h) = 0
2) Tangente en un point
Dans les mêmes condition, si f est dérivable en a, la courbe Cf admet au
point A (a ; f(a)) une tangente de coefficient directeur f ’(a)
Application à la construction d’une courbe Cf : f(x) = x²
Calculer f ‘ (0) , f ‘ (1) et f ‘ (2)
Placer les trois points de Cf d’abscisse respectif 0 ; 1 et 2 puis
les tangentes à la courbe en ces points.
Compléter la courbe par symétrie
Une équation de la tangente est y = f ‘ (a) ( x – a ) + f(a)
dem : y = f ‘(a) x + p , A(a ; f(a) ) appartient à la tangente.
exemple : avec l’exemple ci-dessus, en 1 , y = 2 (x-1)+1 soit y = 2x-1
cas particulier : si f ‘ ( a ) = 0 , Cf admet au point d’abscisse a est tangente parallèle à l’axe des ordonnées.
3) Approximation affine
f(a)
h (h)
h L
a
a + h
f(a + h)
f(a) + h L

On dit que f( a) + h f ‘ (a) est la meilleure
approximation affine f(a+h) pour h proche de 0.
remarque : c’est la meilleur
Exemple : f(x) = x ( x  0)
f ’ ( 1 ) =
Error!
car
Error!
x
Error!
=
Error!
Donc f( 1 + h )  1 +h
Error!
soit 1+h  1 +h
Error!
exemples : 11  1 + 0.1 *
Error!
 1,05 Calculer une valeur approchée de
Error!
,
Error!
Cas les plus utilisé :
(1+h)²  1 + 2h
Error!
 1 – h
Error!
 1 +
Error!
h

II Fonction dérivée
1) Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable sur I, si f est dérivable en tout point de I.
La fonction dérivée de f sur I est la fonction, notée f ‘, qui à tout x de I, associe le réel f ’(x)
rem : par abus de langage, on dit que f ‘ est la dérivée de f.
2) Quelques fonctions de références
fonction f
fonction dérivée f ‘
ensemble de
définition de f’
f : x Error! k
0
f : x Error! x
1
f : x Error! Error!
Error!
*
f : x Error! Error!
Error!
]0 ; +  [ !
3) Opérations sur les fonctions dérivables
propriété1 : Soient u ,v deux fonction dérivables sur I, et k un nombre réel.
 alors la fonction u + v est dérivable, de dérivée ( u +v )’ = u ‘ + v’
 alors la fonction u v est dérivable, de dérivée ( u v)’ = u ‘ v + u v’
 alors la fonction k u est dérivable, de dérivée (k u )’ = k u ‘
dém : k u = u v donc k’ =0
Exemples:a) f(x) = x – 5 f est la somme de deux fonctions dérivables sur , elle est donc dérivable sur 
et f ’ (x) = 1 – 0 = 1
b) Soit f définie par f(x) = x x f est le produit de deux fonctions dérivables sur  elle est donc
dérivable sur 
f = u v avec u(x) = x et v( x)= x u’(x) = 1 et v’ (x )=
Error!
donc f ’(x) = u’(x) v(x) +u(x) v’(x) = 1  x + x
Error!
=
Error!Error!
c) f(x) = 3 x f = k x , comme la fonction x
Error!Error!
est dérivable sur +* , f aussi
et f ‘ (x) = 3x
Error!
Conséquences :
fonction f
fonction dérivée f ‘
ensemble de
définition de f’
f : x Error! a x + b
a
f : x Error! x²
2 x
f : x Error! x3
3 x3
f : x Error! xn avec n  *
n xn-1
Propriété 2 : (inverse d’une fonction) Soit v une fonction dérivable sur I, telle que v
ne s’annule pas sur I
alors la fonction
Error!
est dérivable sur I, de dérivée (
Error!
)’ = -
Error!
Exemple : Soit la fonction f définie par f(x) =
Error!
, Df =  -{
Error!
}
On peut écrire f =
Error!
avec v(x) = -3x+5,
la fonction v est dérivable et ne s’annule pas sur Df et v’(x) = -3.
donc la fonction est dérivable et pour tout x de Df, f ‘ ( x ) = -
Error!
= -
Error!
=
Error!
Propriété 3 : (quotient de deux fonctions) Soit u et v deux fonction dérivable sur I,
telle que v ne s’annule pas sur I
alors la fonction
Error!
est dérivable sur I, de dérivée (
Error!
)’ =
Error!
dem : idée :
Error!
= u 
Error!
,… donc (
Error!
)’ = u’ (
Error!
) + u (
Error!
)’
Exemple: Soit la fonction définie sur I = -{ -1} par f(x) =
Error!
On peut écrire f =
Error!
avec u(x) = 4x-6 et v (x) =x+1
u et v sont dérivables sur I et v ne s’annule pas sur I, donc f est dérivable sur I, u’(x) =4 et v’ (x) = 1
f ’(x)=
Error!
=
Error!
=
Error!
4) Cas des polynômes

propriété : tout polynôme est dérivable sur , sa dérivée est un polynôme.
Exemple : f :x
Error!
5x5 –3 x 2 +1. f est fonction polynôme, elle est donc dérivable sur  et
f ’(x) = 5 ( 5x4) –3 ( 2x) +0 = 25 x4 – 6x
Propriété: toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.
Exemple : Soit la fonction définie sur I = -{ 1} par f(x) =
Error!
f est une fonction rationnelle définie sur I, elle est donc dérivable sur I
On peut écrire f =
Error!
avec u(x) = 2x2 + 1 et v (x) =x+1
u’(x) =4x et v’ (x) = 1
f ’(x)=
Error!
=
Error!
=
Error!
5) Récapitulatif et complément
fonction
fonction dérivée
ensemble de définition
x Error! a x + b
x Error! a
x Error! x n avec n  
*
x Error! n x n-1
 si n > 0 ,
* si n <0
x Error! Error!
x Error! - Error!
*
x Error! Error!
x Error! Error!
 +*
x Error! sin x
x Error! cos x
x Error! cos x
x Error! - sin x
u + v
u’ + v’
k u
k u’
u v
u’ v + u v’
Error!
- Error!
Error!
Error!
g(ax+b)
a g’ ( a x+ b)
6) Dérivée de f : x
Error!
g(ax+b)
Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J , telle que pour tout x de I, a x + b appartienne à I
alors pour tout x de I, f’(x) = a g’ ( a x+ b)
Exemples : a ) Soit f : x
Error!
(-5 x + 6 ) 4 , définie sur , f(x) = g ( -5x+6)avec g(x) =x4
x   , -5x +6  ; g est un polynôme, dérivable sur ,donc f aussi . g’(x)= 4 x3
Donc f ’(x) = -5 g’(x) = -5  [4 ( -5 x + 6)3] = -20 ( -5 x + 6)3
b) Soit f la fonction définie sur  par f(x) = sin( 2 x + 3)
x   , 2x +3  ; sin est dérivable sur  , donc f aussi . sin’ (x ) = cos(x)
donc f ‘ (x ) = 2 cos( 2x+3)
c) Soit f : x
Error!
Error!
, définie sur [ - 2 ; +  [ . f (x) = g(x+1) avec g : x
Error!
Error!
2x+ 4 > 0 x > - 2 donc,
x  ] - 2 ; +  [ , x + 2  ] 0 ; +  [ , g est dérivable sur ] 0 ; +  [ , g’(x) =
Error!
donc f est dérivable sur ] - 2 ; +  [, et x  , f ‘ (x ) = 2  g’ ( 2x+4) = 2 
Error!
III Application