Modèle mathématique.

CHAPITRE 5 – DROITES & SYSTEMES
CLASSE DE SECONDE
C. JOURDAIN
1
I – Equations de droites
m, p, m’, p’, c désignent des réels.
1) Caractérisation analytique d’une droite
Propriété : Dans un repère, l’ensemble d des points M(x ;y) tels que (1) : y = m x + p ou bien tels que (2) : x = c, est une droite.
Démonstration :
(1) d est la représentation graphique d’une fonction affine,
donc d coupe l’axe des ordonnées au point B(0, p).
d est la droite d’équation : y = m x + p
(2) d est l’ensemble des points d’abscisse c (et d’ordonnée
quelconque). Donc d est parallèle à l’axe des ordonnées.
d est la droite d’équation : x = c
Propriété réciproque : Dans un repère, toute droite d a une équation soit de la forme y = m x + p soit de la forme : x = c.
Démonstration :
On note A(xA, yA) et B(xB, yB) deux points distincts de la droite d.
Le point M(x, y) appartient à la droite d si, et seulement si, les vecteurs
Error!Error!
, et
Error!
Error!
sont colinéaires,
c’est-à-dire : (y – yA)(xB – xA) – (x – xA)(yB – yA) = 0
 Si xB  xA (c’est-à-dire d non parallèle à l’axe des ordonnées), l’équation s’écrit : y =
Error!
x +
Error!
et cette équation est de la
forme : y = m x + p.
 Si xB = xA (c’est-à-dire d parallèle à l’axe des ordonnées), alors yB  yA (car A et B sont distincts) et l’équation s’écrit : x = xA, soit
sous la forme x = c.
Exercice : 1] Soit d : y = 5x – 1, les points A(–10,2 ; –52) et B(362,4 ; 1810,9) appartiennent-ils à d ?
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2] Tracer dans le repère ci-dessous les droites :
d1 : y =
Error!
x – 2 .…………………
………………………………………………………………………………………………………
d2 : y = – 4 …………………………………………………………………………………………………………………………
d3 : x = 7 ……………………………………………………………………………………………………………………
3] Déterminer l’équation de la droite (AB) si A(2, –1) et B(3, 5)
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Faire les exercices : n°2, 3, 5, 6 p 298 – n°7, 12 p 299
2) Droites parallèles
Coefficient
directeur
Ordonnée à
l’origine

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Propriété : Dans un repère, deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur.
Démonstration : Soit d : y = m x + p et d’ : y = m’ x + p’.
A(0, p) et B(1, m + p) sont deux points de la droite d.
A’(0, p’) et B’(1, m’ + p’) sont deux points de la droite d’.
d et d’ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs
Error!Error!
et
Error!Error!
sont colinéaires, c’est-à-dire si : 1  m = 1  m’,
soit si m = m’.
Exercice : 4] Déterminer l’équation de la droite d passant par C(1, 2) et parallèle à la droite (AB) de l’exercice 3] et tracer les
deux droites dans le repère ci-dessous.
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Faire les exercices : n°15 p 299 – n°18, 21 p 300
Devoir Maison noté : n°25 et 26 p 300
II – Systèmes d’équations linéaires
a, b, c, a’, b’, c’ sont des réel
1) Système de deux équations à deux inconnues
(S) est le système { a x + b y = c ;a’ x + b’ y = c’ d’inconnues x et y.
 Une solution du système (S) est un couple (x, y) vérifiant les deux équations.
 Résoudre le système (S), c’est déterminer tous les couples solutions.
2) Nombre de couples solutions et interprétation graphique
Par la suite, nous supposerons que b  0 et b’  0.
Résoudre le système (S) précédent revient à résoudre
Error!
.
Dans un repère, on note d et d’ les droites d’équations respectives (1) et (2).
Pour connaître le nombre de solutions du système (S), on étudie la position relative des droites d et d’. On distingue deux cas :
1. si d et d’ sont parallèles, alors –
Error!
= –
Error!
soit
Error!
=
Error!
ce qui donne : a  b’ = a’  b, soit : ab’ – a’b = 0
2. si d et d’ non parallèles, alors ab’ – a’b  0
d et d’ sont sécantes en M0
d et d’ sont strictement parallèles
d et d’ sont confondues

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a b’ – b a’  0
a b’ – b a’ = 0
Le système (S) a un seul couple solution :
(x0, y0)
Le système (S) n’a pas de couple solution
Le système (S) a une infinité de couples
solutions.
Remarque : Lorsque b = 0 ou b’ = 0, au moins l’une des deux droites est parallèle à l’axe des ordonnées, il est alors facile de
connaître la position relative de d et d’.
3) Résolution du système (S)
Exercices : 1] Résoudre le système : { 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 6.
10  21  6  35 = 210  210 = 0, donc le système admet : soit 0 solution, soit une infinité. Or (1,0) est manifestement solution de la
deuxième équation, mais pas de la première.
Conclusion : le système n’a pas de solutions.
2] Résoudre le système : { 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 18.
10  21  6  35 = 210  210 = 0, or (3,0) est solution du système.
Conclusion : le système admet une « droite » de solutions, à savoir l’ensemble des couples (x ;y) tels que : 10 x + 35 y = 30 .
(ou 6 x + 21 y = 18, car on passe de l’une à l’autre en multipliant par un réel : 0,6).
3] Résoudre le système : { 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1.
2  4  5  1  3, est non nul. Le système admet donc une unique solution.
On le résous par l’une des deux méthodes suivantes :
Par substitution :
Isolons y dans (1) : y =  2 x  2.
Reportons cette expression dans (2) : 5 x + 4 (  2 x  2) = 1,
soit :  3 x  8 = 1.
Résolvons l’équation : x = 3
et par suite : y = 4.
Par combinaison :
On multiplie (1) par  4 et (2) par 1. on a donc :
{  8 x  4 y = 8 ;5 x + 4 y = 1.
En additionnant on obtient : 3 x = 9,
soit x = 3,
puis y = 4.
Le problème de ce type de rédaction est le manque de rigueur, ce qui nous force a devoir vérifier nos calculs :
Vérification : 2(3) + (4) =  6 + 4 =  2 donc la 1ère équation est vérifiée.
5(3) + 4(4) = 15 + 16 = 1 donc la 2ème équation est vérifiée en même temps.
Conclusion : le système admet une unique solution : ( 3 ;4).
Cette méthode « longue » de rédaction et peu rigoureuse, est remplacée par une rédaction utilisant les équivalences :
4) Résolution d’un système de deux équations à deux inconnues : Méthode par substitution : (ex. type)

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On se propose de résoudre le système suivant : { 2 x – 3 y = 4 ;4 x + y = 1
1ère étape : choisir la ligne dans laquelle isoler notre incon-
nue (ici, y est seul sur la 2ème ligne)
règle : pour plus de clarté, les calculs se font sur la 2ème
ligne, et on écrit sur la 1ère les résultats trouvés.
2ème étape : remplacer l’inconnue, ici y par sa nouvelle valeur
dans la ligne restante :
règle : pour éviter toute erreur, remplacer l’inconnue par
des parenthèses et y écrire la nouvelle valeur
3ème étape : simplifier et résoudre cette équation en gardant
toujours le système :
4ème étape : intervertir les deux lignes et remplacer la valeur
trouvée dans la ligne restante puis simplifier
5ème étape : Rédiger une phrase en français en conclusion du
problème :
{ 2 x – 3 y = 4 ;4 x + y = 1 
{ y = 1 – 4 x; 2 x – 3 y = 4
 { y = 1 – 4 x; 2 x – 3 (1 – 4 x) = 4
 { y = 1 – 4 x;2 x – 3 +12 x = 4
 { y = 1 – 4 x;14 x = 7
Error!
Error!
Error!
Le système admet une unique solution :
le couple (x ,y) =
Error!
.
Faire les exercices : n°27, 28, 29 p 300 – n°45, 46, 47, 48, 50 p 302
Devoir Maison noté : n°85 p 306 – n°90, 91 p 307