CHAPITRE 5 – DROITES & SYSTEMES CLASSE DE SECONDE C. JOURDAIN I – Equations de droites m, p, m’, p’, c désignent des réels. 1) Caractérisation analytique d’une droite Propriété : Dans un repère, l’ensemble d des points M(x ;y) tels que (1) : y = m x + p ou bien tels que (2) : x = c, est une droite. Démonstration : (1) d est la représentation graphique d’une fonction affine, (2) d est l’ensemble des points d’abscisse c (et d’ordonnée donc d coupe l’axe des ordonnées au point B(0, p). quelconque). Donc d est parallèle à l’axe des ordonnées. d est la droite d’équation : y = m x + p d est la droite d’équation : x = c Coefficient directeur Propriété réciproque : Ordonnée à l’origine Dans un repère, toute droite d a une équation soit de la forme y = m x + p soit de la forme : x = c. Démonstration : On note A(xA, yA) et B(xB, yB) deux points distincts de la droite d. Le point M(x, y) appartient à la droite d si, et seulement si, les vecteurs Error!Error!, et Error! Error! sont colinéaires, c’est-à-dire : (y – yA)(xB – xA) – (x – xA)(yB – yA) = 0 Si xB xA (c’est-à-dire d non parallèle à l’axe des ordonnées), l’équation s’écrit : y = Error! x + Error! et cette équation est de la forme : y = m x + p. Si xB = xA (c’est-à-dire d parallèle à l’axe des ordonnées), alors yB yA (car A et B sont distincts) et l’équation s’écrit : x = xA, soit sous la forme x = c. Exercice : 1] Soit d : y = 5x – 1, les points A(–10,2 ; –52) et B(362,4 ; 1810,9) appartiennent-ils à d ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2] Tracer dans le repère ci-dessous les droites : d1 : y = Error! x – 2 .………………… ……………………………………………………………………………………………………… d2 : y = – 4 ………………………………………………………………………………………………………………………… d3 : x = 7 …………………………………………………………………………………………………………………… 3] Déterminer l’équation de la droite (AB) si A(2, –1) et B(3, 5) …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… Faire les exercices : n°2, 3, 5, 6 p 298 – n°7, 12 p 299 2) Droites parallèles 1 Propriété : CHAPITRE 5 – DROITES & SYSTEMES CLASSE DE SECONDE C. JOURDAIN Dans un repère, deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur. Démonstration : Soit d : y = m x + p et d’ : y = m’ x + p’. A(0, p) et B(1, m + p) sont deux points de la droite d. A’(0, p’) et B’(1, m’ + p’) sont deux points de la droite d’. d et d’ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs Error!Error! et Error!Error! sont colinéaires, c’est-à-dire si : 1 m = 1 m’, soit si m = m’. Exercice : 4] Déterminer l’équation de la droite d passant par C(1, 2) et parallèle à la droite (AB) de l’exercice 3] et tracer les deux droites dans le repère ci-dessous. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… Faire les exercices : n°15 p 299 – n°18, 21 p 300 Devoir Maison noté : n°25 et 26 p 300 II – Systèmes d’équations linéaires a, b, c, a’, b’, c’ sont des réel 1) Système de deux équations à deux inconnues (S) est le système { a x + b y = c ;a’ x + b’ y = c’ d’inconnues x et y. Une solution du système (S) est un couple (x, y) vérifiant les deux équations. Résoudre le système (S), c’est déterminer tous les couples solutions. 2) Nombre de couples solutions et interprétation graphique Par la suite, nous supposerons que b 0 et b’ 0. Résoudre le système (S) précédent revient à résoudre Error!. Dans un repère, on note d et d’ les droites d’équations respectives (1) et (2). Pour connaître le nombre de solutions du système (S), on étudie la position relative des droites d et d’. On distingue deux cas : 1. si d et d’ sont parallèles, alors – Error! = – Error! soit Error! = Error! ce qui donne : a b’ = a’ b, soit : ab’ – a’b = 0 2. si d et d’ non parallèles, alors ab’ – a’b 0 d et d’ sont sécantes en M0 d et d’ sont strictement parallèles d et d’ sont confondues 2 CHAPITRE 5 – DROITES & SYSTEMES CLASSE DE SECONDE C. JOURDAIN a b’ – b a’ 0 Le système (S) a un seul couple solution : a b’ – b a’ = 0 Le système (S) n’a pas de couple solution Le système (S) a une infinité de couples (x0, y0) Remarque : solutions. Lorsque b = 0 ou b’ = 0, au moins l’une des deux droites est parallèle à l’axe des ordonnées, il est alors facile de connaître la position relative de d et d’. 3) Résolution du système (S) Exercices : 1] Résoudre le système : { 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 6. 10 21 6 35 = 210 210 = 0, donc le système admet : soit 0 solution, soit une infinité. Or (1,0) est manifestement solution de la deuxième équation, mais pas de la première. Conclusion : le système n’a pas de solutions. 2] Résoudre le système : { 10 x + 35 y = 30 ;6 x + 21 y = 18. 10 21 6 35 = 210 210 = 0, or (3,0) est solution du système. Conclusion : le système admet une « droite » de solutions, à savoir l’ensemble des couples (x ;y) tels que : 10 x + 35 y = 30 . (ou 6 x + 21 y = 18, car on passe de l’une à l’autre en multipliant par un réel : 0,6). 3] Résoudre le système : { 2 x + y = 2 ;5 x + 4 y = 1. 2 4 5 1 3, est non nul. Le système admet donc une unique solution. On le résous par l’une des deux méthodes suivantes : Par substitution : Isolons y dans (1) : y = 2 x 2. Reportons cette expression dans (2) : 5 x + 4 ( 2 x 2) = 1, soit : 3 x 8 = 1. On multiplie (1) par 4 et (2) par 1. on a donc : { 8 x 4 y = 8 ;5 x + 4 y = 1. En additionnant on obtient : 3 x = 9, soit x = 3, Résolvons l’équation : x = 3 puis y = 4. et par suite : y = 4. Par combinaison : Le problème de ce type de rédaction est le manque de rigueur, ce qui nous force a devoir vérifier nos calculs : Vérification : 2(3) + (4) = 6 + 4 = 2 donc la 1ère équation est vérifiée. 5(3) + 4(4) = 15 + 16 = 1 donc la 2ème équation est vérifiée en même temps. Conclusion : le système admet une unique solution : ( 3 ;4). Cette méthode « longue » de rédaction et peu rigoureuse, est remplacée par une rédaction utilisant les équivalences : 4) Résolution d’un système de deux équations à deux inconnues : Méthode par substitution : (ex. type) 3 CHAPITRE 5 – DROITES & SYSTEMES CLASSE DE SECONDE C. JOURDAIN On se propose de résoudre le système suivant : { 2 x – 3 y = 4 ;4 x + y = 1 1ère étape : choisir la ligne dans laquelle isoler notre inconnue (ici, y est seul sur la 2ème ligne) règle : pour plus de clarté, les calculs se font sur la 2ème ligne, et on écrit sur la 1ère les résultats trouvés. 2 ème étape : remplacer l’inconnue, ici y par sa nouvelle valeur dans la ligne restante : règle : pour éviter toute erreur, remplacer l’inconnue par des parenthèses et y écrire la nouvelle valeur 3ème étape : simplifier et résoudre cette équation en gardant toujours le système : 4 ème étape : intervertir les deux lignes et remplacer la valeur trouvée dans la ligne restante puis simplifier 5ème étape : Rédiger une phrase en français en conclusion du problème : { 2 x – 3 y = 4 ;4 x + y = 1 { y = 1 – 4 x; 2 x – 3 y = 4 { y = 1 – 4 x; 2 x – 3 (1 – 4 x) = 4 { y = 1 – 4 x;2 x – 3 +12 x = 4 { y = 1 – 4 x;14 x = 7 Error! Error! Error! Le système admet une unique solution : le couple (x ,y) = Error!. Faire les exercices : n°27, 28, 29 p 300 – n°45, 46, 47, 48, 50 p 302 Devoir Maison noté : n°85 p 306 – n°90, 91 p 307 4