conférence de Roland Charnay concernant la géométrie à l`école.

Conférence pédagogique
Géométrie au cycle 3
Roland Charnay
Les champs « géométrie » et « grandeurs et mesures » représentent 1/5 à 1/4 du temps des
mathématiques à l’école primaire. Au collège, en 6° cela représente la moitié .
De quoi parle t-on de l’école au collège dans le champ « géométrie ?
- Du spatial au géométrique :
Exemple 1 : Soient deux maisons et une rivière. Quel est le plus court chemin pour quelqu’un
qui part de la première maison, va à la rivière chercher de l’eau et rentre dans la deuxième
maison ?
Il y a 3 modes de résolution :
- pratique par essais et erreurs en réalisant les trajets et en les comparant
- pratique sur le papier (au cycle 3) toujours essais erreurs.
A *
* B
- mathématique en utilisant des connaissances mathématiques
On passe là du réel à la géométrie et on fait bien la distinction entre résolution expérimentale
et démonstration.
Exemple 2 : Comparaison d’aires : les deux triangles latéraux ont-ils la même aire ?
Il y a 4 modes de résolution :
- perceptive : estimation (école)
- pratique : découpage, collage (école)
- pratico-mathématique : mesure, calcul, formule (collège)
- mathématique : raisonnement (collège)

La géométrie de l’école au collège :
De l’école au collège on passe par 3 sortes de géométries et chaque fois cela demande aux
élèves un changement de point de vue. Les difficultés des élèves sont réelles car les ruptures
sont implicites.
Au cycles 1 et 2 : C’est la géométrie de la perception.
Est vrai ce qui est vu comme tel : un carré, un rectangle…
La boîte à outils pour la géométrie est l’œil.
A la fin du cycle 2 et au cycle 3 : C’est la géométrie instrumentée.
L’élève doit dire pourquoi c’est un carré.
Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d’instruments.
La boîte à outils pour la géométrie, ce sont les instruments.
Au collège : C’est la géométrie déductive.
Est vrai ce qui est démontré.
La boîte à outils de la géométrie, ce sont les théorèmes.
Pour aider les élèves à passer de la géométrie instrumentée à la géométrie déductive, on leur
proposera dans certaines situations d’effectuer un travail géométrique sur un dessin à main
levé.
Exemple de la reconnaissance du carré :
- Au CP, le carré qui est reconnu comme carré est celui placé dans la situation
prototypique.
- Au CE2, le carré placé dans une situation non prototypique devrait l’être aussi. Au
CE2 s’opère le passage délicat entre la 1° et la 2° géométrie (perception
/instrumentation) : un carré est logiquement un rectangle mais n’en est pas un
visuellement.
- En 6°, devrait être reconnu un carré tracé à main levée avec le codage angle droit et
côtés égaux. : c’est le codage qui dit que c’est un carré.
Quelques repères pour l’enseignement :
L’évolution d’une notion : la perpendicularité du CE1 au collège.
(dans l’esprit des projets de cycles où les différents aspects s’enrichissent au fil des années)
1° étape au CE1 : L’angle droit est lié au « coin » du carré.
Situation 1 : Reconnaître les carrés parmi des figures dessinées.
Les élèves reconnaissent le carré sur un quadrillage mais pour les autres sur papier uni, il y a
débat.
Le seul moyen de lever la controverse est l’utilisation du gabarit (avant l’équerre). Ce
gabarit est un carré reconnu, un « «coin » de carré…)

Situation 2 : Retrouver des angles droits dans d’autres figures en s’aidant des gabarits qu
l’on s’est donné.
Situation 3 : Des jeux de portraits sur des figures géométriques.
2° étape au CE2 :
Des gabarits aux équerres
On aura dans la boîte à outils différentes sortes d’équerres fabriquées (en carton) : équerre
ordinaire sans graduations, équerre en L ou T.
Ces équerres serviront à identifier les angles droits, reconnaître des figures, en construire.
3° étape au CE2 :
La perpendicularité.
A - Point de départ : en sciences, les élèves découvrent l’horizontale avec le niveau à bulle
et la verticale avec le fil à plomb.
B - Faire le lien avec l’angle droit .
Retrouver la trace du fil à plomb lorsqu’on fait coïncider
cette ligne avec le niveau à bulle.
Les élèves travaillent à plat . La vérification se fait au
tableau avec l’horizontale et le fil à plomb.
C – Définition : Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont deux droites
perpendiculaires.
4° étape au CE2 :
Enrichir la perpendicularité
Tracer, identifier
1 - à vue, à main levée
2 – avec l’équerre
Ici on revient de l’instrumenté (phase précédente) au perceptif.
*

Autre image de la perpendicularité : le pliage
Sur une feuille aux contours irréguliers, est tracée une droite ; on demande aux élèves de
plier pour avoir deux droites perpendiculaires.
Il y a deux stratégies : plier une fois en faisant coïncider les extrémités de la droite tracée et
plier deux fois d’abord en suivant la droite tracée puis en repliant en faisant coïncider les
bords.
5° étape au CM1 :
L’angle droit parmi d’autres angles ; l’angle droit vaut ¼ de tour
On propose une figure constituée de 4
angles différents. Il s’agit de trouver un moyen de
tracer 4 segments qui déterminent 4 angles égaux.
On observe 3 manières de faire :
- Un angle est construit puis un deuxième mais sans méthode qui permette de s’assurer
de l’efficacité de la construction.
- Tracé d’un angle droit, puis un autre….mais sans lien avec la perpendicularité.
- Tracé de deux droites perpendiculaires.
On conclut à la fin de la séance : Deux droites perpendiculaires déterminent 4 angles droits.
C’est une étape importante.
6° étape au CM2 :
La perpendicularité comme outil
- pour le parallélisme :
Construire une droite parallèle à d et passant pas A ; à l’école primaire, on utilise plutôt
l’écart constant.
- pour la symétrie :
Construire le symétrique par rapport à une droite d’une figure qui a des angles droits.

7°étape au CM2 :
Un nouvel aspect de la perpendicularité
Situation 1 :
Trouver le point de la droite d le plus proche de A
• A
Situation 2 : Ecrire une méthode qui permet de trouver du premier coup le point d’une droite
qui est le plus proche d’une point qui n’est pas sur la droite