conférence de Roland Charnay concernant la géométrie à l`école.
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Conférence pédagogique Géométrie au cycle 3 Roland Charnay Les champs « géométrie » et « grandeurs et mesures » représentent 1/5 à 1/4 du temps des mathématiques à l’école primaire. Au collège, en 6° cela représente la moitié . De quoi parle t-on de l’école au collège dans le champ « géométrie ? - Du spatial au géométrique : Exemple 1 : Soient deux maisons et une rivière. Quel est le plus court chemin pour quelqu’un qui part de la première maison, va à la rivière chercher de l’eau et rentre dans la deuxième maison ? Il y a 3 modes de résolution : - pratique par essais et erreurs en réalisant les trajets et en les comparant - pratique sur le papier (au cycle 3) toujours essais erreurs. A* * B - mathématique en utilisant des connaissances mathématiques On passe là du réel à la géométrie et on fait bien la distinction entre résolution expérimentale et démonstration. Exemple 2 : Comparaison d’aires : les deux triangles latéraux ont-ils la même aire ? Il y a 4 modes de résolution : - perceptive : estimation (école) - pratique : découpage, collage (école) - pratico-mathématique : mesure, calcul, formule (collège) - mathématique : raisonnement (collège) La géométrie de l’école au collège : De l’école au collège on passe par 3 sortes de géométries et chaque fois cela demande aux élèves un changement de point de vue. Les difficultés des élèves sont réelles car les ruptures sont implicites. Au cycles 1 et 2 : C’est la géométrie de la perception. Est vrai ce qui est vu comme tel : un carré, un rectangle… La boîte à outils pour la géométrie est l’œil. A la fin du cycle 2 et au cycle 3 : C’est la géométrie instrumentée. L’élève doit dire pourquoi c’est un carré. Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d’instruments. La boîte à outils pour la géométrie, ce sont les instruments. Au collège : C’est la géométrie déductive. Est vrai ce qui est démontré. La boîte à outils de la géométrie, ce sont les théorèmes. Pour aider les élèves à passer de la géométrie instrumentée à la géométrie déductive, on leur proposera dans certaines situations d’effectuer un travail géométrique sur un dessin à main levé. Exemple de la reconnaissance du carré : - Au CP, le carré qui est reconnu comme carré est celui placé dans la situation prototypique. - Au CE2, le carré placé dans une situation non prototypique devrait l’être aussi. Au CE2 s’opère le passage délicat entre la 1° et la 2° géométrie (perception /instrumentation) : un carré est logiquement un rectangle mais n’en est pas un visuellement. - En 6°, devrait être reconnu un carré tracé à main levée avec le codage angle droit et côtés égaux. : c’est le codage qui dit que c’est un carré. Quelques repères pour l’enseignement : L’évolution d’une notion : la perpendicularité du CE1 au collège. (dans l’esprit des projets de cycles où les différents aspects s’enrichissent au fil des années) 1° étape au CE1 : L’angle droit est lié au « coin » du carré. Situation 1 : Reconnaître les carrés parmi des figures dessinées. Les élèves reconnaissent le carré sur un quadrillage mais pour les autres sur papier uni, il y a débat. Le seul moyen de lever la controverse est l’utilisation du gabarit (avant l’équerre). Ce gabarit est un carré reconnu, un « «coin » de carré…) Situation 2 : Retrouver des angles droits dans d’autres figures en s’aidant des gabarits qu l’on s’est donné. Situation 3 : Des jeux de portraits sur des figures géométriques. 2° étape au CE2 : Des gabarits aux équerres On aura dans la boîte à outils différentes sortes d’équerres fabriquées (en carton) : équerre ordinaire sans graduations, équerre en L ou T. Ces équerres serviront à identifier les angles droits, reconnaître des figures, en construire. 3° étape au CE2 : La perpendicularité. A - Point de départ : en sciences, les élèves découvrent l’horizontale avec le niveau à bulle et la verticale avec le fil à plomb. B - Faire le lien avec l’angle droit . Retrouver la trace du fil à plomb lorsqu’on fait coïncider cette ligne avec le niveau à bulle. Les élèves travaillent à plat . La vérification se fait au tableau avec l’horizontale et le fil à plomb. * C – Définition : Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont deux droites perpendiculaires. 4° étape au CE2 : Enrichir la perpendicularité Tracer, identifier 1 - à vue, à main levée 2 – avec l’équerre Ici on revient de l’instrumenté (phase précédente) au perceptif. Autre image de la perpendicularité : le pliage Sur une feuille aux contours irréguliers, est tracée une droite ; on demande aux élèves de plier pour avoir deux droites perpendiculaires. Il y a deux stratégies : plier une fois en faisant coïncider les extrémités de la droite tracée et plier deux fois d’abord en suivant la droite tracée puis en repliant en faisant coïncider les bords. 5° étape au CM1 : L’angle droit parmi d’autres angles ; l’angle droit vaut ¼ de tour On propose une figure constituée de 4 angles différents. Il s’agit de trouver un moyen de tracer 4 segments qui déterminent 4 angles égaux. On observe 3 manières de faire : - Un angle est construit puis un deuxième mais sans méthode qui permette de s’assurer de l’efficacité de la construction. - Tracé d’un angle droit, puis un autre….mais sans lien avec la perpendicularité. - Tracé de deux droites perpendiculaires. On conclut à la fin de la séance : Deux droites perpendiculaires déterminent 4 angles droits. C’est une étape importante. 6° étape au CM2 : La perpendicularité comme outil - pour le parallélisme : Construire une droite parallèle à d et passant pas A ; à l’école primaire, on utilise plutôt l’écart constant. - pour la symétrie : Construire le symétrique par rapport à une droite d’une figure qui a des angles droits. 7°étape au CM2 : Un nouvel aspect de la perpendicularité Situation 1 : Trouver le point de la droite d le plus proche de A • A Situation 2 : Ecrire une méthode qui permet de trouver du premier coup le point d’une droite qui est le plus proche d’une point qui n’est pas sur la droite 8° étape au CM2 : Réinvestir - dans l’espace ordinaire pour décrire une figure pour reproduire une figure pour construire une figure o d’après une description o d’après un schéma Exemple : Sur un papier uni, construire en vraie grandeur, la figure qui correspond à ce schéma (réalisé à main levée) Au collège : - Tracé à la règle et au compas (médiatrice) Mesure : 90 ° - rapporteur Double perpendicularité et parallélisme Perpendicularité et distance d’un point à une droite Perpendicularité et Pythagore Perpendicularité et demi cercle Quelques éléments de la discussion : - - Pas de définition de la droite à l’école primaire : trop complexe En géométrie, la proximité entre le réel et la représentation induit les élèves en erreur. Les maths ont été inventés pour résoudre des problèmes du réel. Puis les mathématiciens ont posé des problèmes internes aux mathématiques. L’école doit gérer le rapport entre la géométrie de l’école (théorique) et le monde extérieur. La manipulation de l’équerre doit être traitée comme un geste conceptuel dans le projet de réaliser un angle droit, de tracer une perpendiculaire. Plus je comprends, mieux j’apprends. Pertuis le 29 novembre 2006 Notes prises par Nicole Reboul.
