equations differentielles

EQUATIONS DIFFERENTIELLES
I)
Rappels
Les primitives usuelles :
x α ↔Error!+K sur Error!
Mais :
α
⁄↔⁄
Error!+K
Les deux cas particuliers :
'
↔Error!+K
Error!↔ln|Error!|+K
Les nouveaux amis :
Error!↔Arctan(x)+K
Error!↔Arcsin(x)+K
Théorème : (admis pour l'instant !)
õ
Soit f:Df ↔Ë définie, continue, dérivable (et même C ). On
suppose ┐x☻Df , f'(x)=0. Alors f est constante par intervalle.
II)
Les équations différentielles linéaires d’ordre 1
Soit I un intervalle.
Soit a:I↔Ë une fonction définie continue.
Soit (E) une équation, définie, on dit que (E) est linéaire
d'ordre 1 sans second membre si et seulement si (E) est de la
forme :
y'+a(x)y=0
↔On dit que (E) est linéaire d'ordre 1 avec second membre si et
seulement si (E) est de la forme :
y'+a(x)y=b(x)
A. ESSM
↔Equation différentielle, linéaire sans second membre :
On veut résoudre y'+a(x)y=0
# Brouillon :
#
idée : On veut y:I↔Ë ð on isole y
#
┐x :
#
y'(x)+a(x)y(x)=0
#
Error!=-a(x)
y(x)ý0 ????
#
ln|y(x)|=A(x)
primitive de a(x) sur I
#
y(x)=exp[A(x)]
####################################################
Théorème :
Soit I un intervalle.
Soit a:I↔Ë, une fonction définie, continue. Soit (E),
l'équation différentielle : y'+a(x)=y
Les solutions de (E) sont de la forme :
y:I↔Ë
x→ λexp[A(x)]
Où A est une primitive de a(x) sur I et λ une constante
qui ne dépend pas
de x. ie : └λ tel que : ┐x☻I:y(x)=λexp[A(x)]
Démonstration :
On veut résoudre une équation différentielle :
ie : On doit construire, une solution.
Montrer └ une solution de la forme :
↔Direct (c'est le brouillon) il n'est pas possible
de rendre le brouillon rigoureux !
↔Référence (φ'=0 sur I ð φ= Ç;K) Boooff mais on a
que ça :s
↔Transmission : Euh on transmet quoi ???
On va se ramener au théorème du rappel :
φ'=0 sur I ð φ= Ç;K
Soit y:I↔Ë une solution potentielle de (E).
L'objectif est de trouver la forme de y : on va se
ramener au théorème précédent : il fait une fonction φ.
On pose :
φ:I↔Ë
x→ Error!= y(x)exp[-A(x)]
où [A:I↔Ë] est une primitive de –a(x) sur I. (A
existe cf théorie de l'intégration)
φ est bien définie car ┐
, exp
( )ý0,
φ est continue
dérivable.
┐x☻I, φ'(x)=...=0
Donc φ est constante sur I.
Ainsi si y est une solution de (E) alors y est de la
forme.
└λ tel que ┐x☻I, y(x)= λexp[A(x)]
Reste à vérifier que :
y:x→λexp[A(x)] est solution de E.
y'(x)=...
y'(x)+a(x)y(x)= ...=0
Exemple :
y'+xy=0, c'est une équation différentielle linéaire du
1er ordre.
# Brouillon
#
Error!= x
ln|y|=- Error!
#
y(x)= Error!
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
↔ Comme Error! est une primitive de [x→-x] on sait └λ☻Ë.
┐x☻Ë, y(x)= Error!
(On détermine λ avec les conditions initiales).
- xy'+y=0 c'est une équation différentielle linéaire
d'ordre 1.
On se ramène aux conditions du théorème, ie : on doit
isoler y'.
On se place sur I+=]0;+õ[ ou I-=]-õ;0[.
Sur I±, on a :
(E)ñy'+Error!y =0
# Brouillon
#
y'=- Error! Error!=-Error!
#
ln|y|=-ln|x|
#
y=λexp[-ln|x|]
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
↔Comme [x→-ln|x|] est une primitive de Error! sur
on └λ± tel que :
┐x☻I±, y(x)=λ±exp[-ln|x|]
Error!
y(x) =λ±expError!
= Error!
Ainsi :
└λ+ tel que ┐x>0 y(x)= Error!
└λ- tel que ┐x<0 y(x)= Error!
Question : Peut-on raccorder les solutions afin d'avoir
une solution sur Ë ?
B. Equations différentielles linéaires avec second membre (EASM)
Théorème :
Soit I un intervalle.
Soient Error! et Error! deux fonctions, définies,
continues sur I.
Soit l'équation différentielle linéaire du 1er ordre.
y'+a(x)y=b(x) (E)
Les solutions de (E) sont les sommes :
↔d'une solution particulière Error!
↔de la solution générale Error! de l'ESSM,
y'+a(x)y=0
Démonstration :
Soit y:I↔Ë une solution quelconque de (E).
Soit y0:I↔Ë une solution particulière de (E).
┐x☻I :
y'+ax(x)y=b(x)
y0'+a(x)y0=b(x)
On fait la différence :
[y'−y0']+a(x)[y− y0]=0
Ainsi Å;[y−y ] est solution de l'ESSM :
0
ñ Å ;y− Å;y0=g ñ Å ;y = Å;y0+g
Comment trouver une solution particulière entier y0 ?
↔On trouve une solution particulière évidente
Exemple :
xy'+y=1
y0 =I↔Ë ie : y0=Ç;1 est une solution évidente
x→1
grâce à l'étude précédent on connaît l'ESSM.
Ainsi :
└λ+ tel que x>0 y(x)=1+ Error!
└λ- tel que x>0 y(x)=1+ Error!
↔L'abominable méthode de variation de la constante.
On veut résoudre sur I :
y'+a(x)y=b(x)
ESSM : y'+a(x)y=0↔└λ tel que ┐x☻I
y(x)= λexp[A(x)]
L'idée est de chercher y0 de la forme.
y0:x→λ(x)exp[A(x)]
^--- La constante est remplacée par une
fonction
On a :
y0(x)=λ(x)exp[A(x)]
y0'(x)=λ'(x)exp[A(x)]+λ(x)[exp( A(x))]'
NE SURTOUT PAS CALCULER LA DERIVEE !!
On a ainsi :
y0'(x)+a(x) y0=λ'(x)exp[A(x)]+
λ(x)[(exp[A(x)])'+a(x)exp[A(x)]]
Ainsi : y0'(x)+a( x)y0=b(x)
ñλ'(x)exp[A(x)]=b(x)
ñλ'(x)=b(x)exp[-A(x)]
On primitive (ce n'est pas toujours simple) et
on en déduit λ(x).
Au final :
y0:x→λ(x)exp[A(x)]
Exemple sportif :
(x−1)y'+y=28x+8 (E).
↔C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 1
avec second membre, la solution est la somme :
↔L'ESSM
↔Solution Particulière
On se place sur I-=]-õ;+1[ ou I+=]1;+õ[
↔ESSM :
#
Error!=-Error!=Error!
#
ln|y|=-ln|1−x|
# # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Comme [x→-ln|1−x|] est une primitive de Error! sur
I+ ou I-.
On sait :
└λ± tel que ┐x☻I±
y(x) =λ±exp[-ln|1−x|]
= Error!
1-x est de signe constant
sur I±
= Error!
↔Solution particulière évidente :
Le 2ème membre est polynomial de degré 1ðOn cherche
y0 de la forme :
y0:x→ax+b
y0'(x)=a
y0(x)=ax+b
Autres exemple : Cas particulier : perte du degré :
tentative du 2nd degré :
(1−x)y0'+y0 =(1−x)a+(ax+b)
=x[a-a]+a+b
=a+b=28x+8
Retour à l'exo :
(x−1)y0'+y0 =(x−1)a+(ax+b)
=x[a+ a]−a+b=28x+8
{a+a=28;-a+ b=8ñ { a=14;b=22
YOUKII
!!!!!!!!
↔La méthode de variation de la constante :
On cherche y0 de la forme :
y0:x→ Error!
y0'(x)= Error!+ λ(x)Error!'
y0'+Error!= Error!+ λ(x)Error!
ð0 car x→Error!
est solution de l'ESSM
Ainsi :
Error!= Error!
ðλ'(x)=-b(x)=-28x+8
Ainsi λ(x)=-28x²+8x
Ainsi :
y0:x→Error!
est une solution particulière (trèèèèès
moche).
Remarque :
Soit (E), l'équation différentielle.
y'+a(x)y=b(x)
Les solutions sont la somme (ou superpositions) :
↔Une solution particulière [y0=x→y0(x)]
↔La solution générale de l'ESSM
Ainsi :
└λ☻Ë tel que : (On a λ qui ne dépend pas de x)
┐x☻I , y(x)=y0(x)+λexp[A(x)]
On détermine λ avec la condition initiale.
Moralité:
Il existe une unique solution à l'équation
différentielle :
{y'+a(x)y= b(x);y(25)=8
On a unicité lorsqu'on se donne une condition
initiale.
III) Equation différentielle
constant.
du 1er ordre à coefficient
On veut résoudre.
y'+ay=b(x)
^------ne dépend point de x
Théorème :
Une équation différentielle linéaire à coefficient constant est
une équation différentielle linéaire. Donc la théorie
s'applique : les solutions sont la somme (ou superposition) :
↔Une solution particulière
↔La solution générale de l'ESSM
ESSM :
# y'+ay=0
# Error!=-a
#
↔ primitive : -ax
# # # # # # # # # # # #
Comme [x→ax] est une primitive de [x→- a] sur Ë, on sait
que └λ☻Ë tel que : ┐x☻Ë, g(x)=λe - ax .
Solution particulière :
↔Variation de la constante
↔Si b(x)=Polynôme
On cherche y0(x)=Polynôme
↔Si b(x)=Polynôme×e αx
On cherche y0 (x)=Polynôme×e αx
Exemple :
y'+2y=cos(3x)
(1)
On identifie le problème : c'est une équation
différentielle à coeff. constant.
(2)
Description du résultat :
Les solutions sont de la forme d'une somme d'une
solution particulière et de la solution de l'ESSM.
ESSM :
Soit [y:x→g(x)] est solution de l'ESSM, on sait :
└λ☻Ë tel que ┐x☻Ë, g(x)=λe -2x .
Solution particulière :
Comme le second membre est trigo, on résoud :
y'+ay=e i3x =cos(3x)+isin(3x)
La solution particulière sera la partie réelle de (E')
On cherche une solution de la forme :
y0:x→μe - i3x
attention : μ appartient à Ê à priori !!!
y0'(x)=μ(3i)e 3ix
Ainsi :
y0'(x)+2y0=μ3ie 3ix +2μe 3ix = e 3ix
On a donc :
μ(3i+2)=1
μ= Error!= Error!
Ainsi y0(x)=Error!
Ainsi :
Re (y0(x))=Error!cos(3x)+Error!sin(3x)
IV)
Equation différentielle d'ordre 2 à coefficient
constant.
A. Sans second membre
On veut résoudre :
y''+ay'+by=0 (E)
On a ici a et b CONSTANTES !!
Définition : On appelle équation caractéristique de (E)
l'équation :
x²+ax+b=0
Théorème : Soit (E) l'équation différentielle.
y''+ay+b=0
Soit r+ et r- les racines (éventuellement complexe)
de l'équation caractéristique de (E). Alors les
solutions de (E) sont la combinaison linéaire de 2
solutions particulières.
[ x→exp[ r+x ] ] et [ x→exp[ r-x ] ]
ie : └ (λ,μ)☻˲ ou ʲ
Tel que ┐x☻Ë, y(x)=λe r x + μe r x
La démonstration est la même que pour les suites
d'ordre 2.
Lemme 1 :
Å;y et Å;y solutions de (E) :
1
2
ðλ Å;y +μ Å;y est solution de (E)
+
1
-
2
Démonstration facile :
Å;Y=λ Å;y +μ Å;y
1
2
Ä;Y'=...
Ä;Y''=....
Y''+aY'=bY=...=0
Lemme d'unicité (Impossible à démontrer à notre
niveau) :
Å;y et Å;y vérifient (E)
1
2
y1(0)=y2(0)
y1'(0)=y2'(0)
ð Å;y = Å;y
1
2
Avec ces 2 lemmes, on obtient exactement la même
démonstration qu'avec les suites récurrentes
linéaires d'ordre 2.
Exemple :
y''+2y'+2y=0
(1) C'est une équation différentielle linéaire du
2nd ordre à coefficient constant !
Equation caractéristique :
X²+2X+2=0
Δ=b²−4ac=4−4×2=-4
Ainsi :
r±=Error!= -1±i
(2) La forme des solutions :
On sait que :
└(λ,μ)☻ʲ tel que :
┐x☻Ë, y(x)=λe (-1+ i) x + μe (-1− i) x
On détermine λ et μ avec les conditions
initiales.
Si on veut des expressions réelles :
e (-1+ i) x =e - x (cosx+isinx)
e (-1− i) x =e - x (cosx−sinx)
Ainsi :
y(x) =λe - x (cosx+isinx)+μe - x (cosx−sinx)
=(λ+μ)e - x cosx+i(λ−μ)e - x sinx
=αe - x cosx+βe - x sinx
B. Théorie avec second membre
Théorème :
Soit (E) l'équation :
y''+ay'+by=φ(x)
Les solutions sont la somme (ou superposition) !
↔D'une solution particulière [y0:x→y0(x)]
↔De la solution générale de l'ESSM
C'est toujours pareil !
Soit Å;y une solution quelconque.
Soit Å;y0 une solution particulière.
{y''+ay'+by=φ(x);y0''+ay0'+by0=φ(x)
On fait la différence et on pose : Y=y−y0
D'où : Y''+aY'+bY=0
Comment trouver une solution particulière :
Si on a φ(x) de la forme polynôme ou polynôme×e αx ,
on fait comme avec le premier degré. Mais si on
a un beau ln(x) : ON PLEURE !
Exemple :
y''+ω²y=e x cosx+ sinx
1: Identification du problème
.......BLABLA.........
ESSM :
Equation caractéristique :
X²+ω²=0ñX=±iω
Les solutions de l'ESSM :
└(λ,μ)☻ʲ tel que :
┐x☻Ë, g(x)
=λe iω + μe - iω
=(λ+μ)cosωx+i(λ−μ)sinωx
=αcosωx+βsinωx
Solution particulière :
Le 2nd membre est une somme.
Donc on superpose deux solutions
particulières
1: y''+ω²y=e ix
On cherche y1(x)= ke ix
y1'=...
y2''=...
y1''+ω²y=...=e ix
2: y''+ω²y=e x e ix = e (1+ i) x
On cherche y2 de la forme :
y2(x)= Ke (1+ i) x
y2'(x)=K(1+i)e (1+ i) x
y2''(x)=K(1+i)²e (1+ i) x
y2''+ω²y2=...= e (1+ i) x