equations differentielles

EQUATIONS DIFFERENTIELLES
I) Rappels
Les primitives usuelles :
xα↔
Error!
+K sur
Error!
Mais :
α ⁄↔⁄
Error!
+K
Les deux cas particuliers :
' ↔
Error!
+K
Error!
↔ln|
Error!
|+K
Les nouveaux amis :
Error!
↔Arctan(x)+K
Error!
↔Arcsin(x)+K
Théorème : (admis pour l'instant !)
Soit f:Df↔
Ë
définie, continue, dérivable (et même Cõ). On
suppose ┐x☻Df, f'(x)=0. Alors f est constante par intervalle.
II) Les équations différentielles linéaires d’ordre 1
Soit I un intervalle.
Soit a:I↔
Ë
une fonction définie continue.
Soit (E) une équation, définie, on dit que (E) est linéaire
d'ordre 1 sans second membre si et seulement si (E) est de la
forme :
y'+a(x)y=0
↔On dit que (E) est linéaire d'ordre 1 avec second membre si et
seulement si (E) est de la forme :
y'+a(x)y=b(x)
A. ESSM
↔Equation différentielle, linéaire sans second membre :
On veut résoudre y'+a(x)y=0
# Brouillon :
# idée : On veut y:I↔
Ë
ð on isole y
# ┐x :
# y'(x)+a(x)y(x)=0
#
Error!
=-a(x) y(x)ý0 ????
# ln|y(x)|=A(x) primitive de a(x) sur I
# y(x)=exp[A(x)]
####################################################
Théorème :
Soit I un intervalle.
Soit a:I↔
Ë
, une fonction définie, continue. Soit (E),
l'équation différentielle : y'+a(x)=y
Les solutions de (E) sont de la forme :
y:I↔
Ë
x→λexp[A(x)]
Où A est une primitive de a(x) sur I et λ une constante
qui ne dépend pas

de x. ie : └λ tel que : ┐x☻I:y(x)=λexp[A(x)]
Démonstration :
On veut résoudre une équation différentielle :
ie : On doit construire, une solution.
Montrer └ une solution de la forme :
↔Direct (c'est le brouillon) il n'est pas possible
de rendre le brouillon rigoureux !
↔Référence (φ'=0 sur I ð φ=Ç;K) Boooff mais on a
que ça :s
↔Transmission : Euh on transmet quoi ???
On va se ramener au théorème du rappel :
φ'=0 sur I ð φ=Ç;K
Soit y:I↔
Ë
une solution potentielle de (E).
L'objectif est de trouver la forme de y : on va se
ramener au théorème précédent : il fait une fonction φ.
On pose :
φ:I↔
Ë
x→
Error!
=y(x)exp[-A(x)]
où [A:I↔
Ë
] est une primitive de –a(x) sur I. (A
existe cf théorie de l'intégration)
φ est bien définie car ┐ , exp( ) ý0, φ est continue
dérivable.
┐x☻I, φ'(x)=...=0
Donc φ est constante sur I.
Ainsi si y est une solution de (E) alors y est de la
forme.
└λ tel que ┐x☻I, y(x)=λexp[A(x)]
Reste à vérifier que :
y:x→λexp[A(x)] est solution de E.
y'(x)=...
y'(x)+a( x)y(x)=...=0
Exemple :
y'+xy=0, c'est une équation différentielle linéaire du
1er ordre.
# Brouillon
#
Error!
=x ln|y|=-
Error!
# y(x)=
Error!
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
↔ Comme
Error!
est une primitive de [x→-x] on sait └λ☻
Ë
.
┐x☻
Ë
, y(x)=
Error!
(On détermine λ avec les conditions initiales).
- xy'+y=0 c'est une équation différentielle linéaire
d'ordre 1.
On se ramène aux conditions du théorème, ie : on doit
isoler y'.
On se place sur I+=]0;+õ[ ou I-=]-õ;0[.
Sur I±, on a :
(E)ñy'+
Error!
y=0
# Brouillon
# y'=-
Error!
Error!
=-
Error!
# ln|y|=-ln|x|
# y=λexp[-ln|x|]
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
↔Comme [x→-ln|x|] est une primitive de
Error!
sur
Error!
on └λ± tel que :
┐x☻I±, y(x)=λ±exp[-ln|x|]

y(x) =λ±exp
Error!
=
Error!
Ainsi :
└λ+ tel que ┐x>0 y(x)=
Error!
└λ- tel que ┐x<0 y(x)=
Error!
Question : Peut-on raccorder les solutions afin d'avoir
une solution sur
Ë
?
B. Equations différentielles linéaires avec second membre (EASM)
Théorème :
Soit I un intervalle.
Soient
Error!
et
Error!
deux fonctions, définies,
continues sur I.
Soit l'équation différentielle linéaire du 1er ordre.
y'+a(x)y=b(x) (E)
Les solutions de (E) sont les sommes :
↔d'une solution particulière
Error!
↔de la solution générale
Error!
de l'ESSM,
y'+a(x)y=0
Démonstration :
Soit y:I↔
Ë
une solution quelconque de (E).
Soit y0:I↔
Ë
une solution particulière de (E).
┐x☻I :
y'+ax(x)y=b(x)
y0'+a(x)y0=b(x)
On fait la différence :
[ ]
y'−y0' +a(x)[ ] y−y0=0
Ainsi Å;[ ] y−y0 est solution de l'ESSM :
ñÅ;y−Å;y0=g ñ Å;y=Å;y0+g
Comment trouver une solution particulière entier y0 ?
↔On trouve une solution particulière évidente
Exemple :
xy'+y=1
y0=I↔
Ë
ie : y0=Ç;1 est une solution évidente
x→1
grâce à l'étude précédent on connaît l'ESSM.
Ainsi :
└λ+ tel que x>0 y(x)=1+
Error!
└λ- tel que x>0 y(x)=1+
Error!
↔L'abominable méthode de variation de la constante.
On veut résoudre sur I :
y'+a(x)y=b(x)
ESSM : y'+a(x)y=0↔└λ tel que ┐x☻I
y(x)=λexp[A(x)]
L'idée est de chercher y0 de la forme.
y0:x→λ(x)exp[A(x)]
^--- La constante est remplacée par une
fonction
On a :
y0(x)=λ(x)exp[A(x)]
y0'(x)=λ'(x)exp[A(x)]+λ(x)[exp(A(x))]'

NE SURTOUT PAS CALCULER LA DERIVEE !!
On a ainsi :
y0'(x)+a(x)y0=λ'(x)exp[A(x)]+
λ(x)[(exp[A(x)])'+a(x)exp[A(x)]]
Ainsi : y0'(x)+a(x)y0=b(x)
ñλ'(x)exp[A(x)]=b(x)
ñλ'(x)=b( x)exp[-A(x)]
On primitive (ce n'est pas toujours simple) et
on en déduit λ(x).
Au final :
y0:x→λ(x)exp[A(x)]
Exemple sportif :
(x−1)y'+y=28x+8 (E).
↔C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 1
avec second membre, la solution est la somme :
↔L'ESSM
↔Solution Particulière
On se place sur I-=]-õ;+1[ ou I+=]1;+õ[
↔ESSM :
#
Error!
=-
Error!
=
Error!
# ln|y|=-ln|1−x|
# # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Comme [x→-ln|1−x|] est une primitive de
Error!
sur
I+ ou I-.
On sait :
└λ± tel que ┐x☻I±
y(x) =λ±exp[-ln|1−x|]
=
Error!
1-x est de signe constant
sur I±
=
Error!
↔Solution particulière évidente :
Le 2ème membre est polynomial de degré 1ðOn cherche
y0 de la forme :
y0:x→ax+b
y0'(x)=a
y0(x)=ax+b
Autres exemple : Cas particulier : perte du degré :
tentative du 2nd degré :
(1−x)y0'+y0 =(1−x)a+(ax+b)
=x[a-a]+a+b
=a+b=28x+8
Retour à l'exo :
(x−1)y0'+y0 =(x−1)a+(ax+b)
=x[a+a]−a+b=28x+8
{a+a=28;-a+b=8ñ{a=14;b=22 YOUKII
!!!!!!!!
↔La méthode de variation de la constante :
On cherche y0 de la forme :
y0:x→
Error!
y0'(x)=
Error!
+λ(x)
Error!
'
y0'+
Error!
=
Error!
+λ(x)
Error!
ð0 car x→
Error!
est solution de l'ESSM
Ainsi :
Error!
=
Error!
ðλ'(x)=-b(x)=-28x+8
Ainsi λ(x)=-28x²+8x
Ainsi :

y0:x→
Error!
est une solution particulière (trèèèèès
moche).
Remarque :
Soit (E), l'équation différentielle.
y'+a(x)y=b(x)
Les solutions sont la somme (ou superpositions) :
↔Une solution particulière [ ] y0=x→y0(x)
↔La solution générale de l'ESSM
Ainsi :
└λ☻
Ë
tel que : (On a λ qui ne dépend pas de x)
┐x☻I , y(x)=y0(x)+λexp[A(x)]
On détermine λ avec la condition initiale.
Moralité:
Il existe une unique solution à l'équation
différentielle :
{y'+a(x)y=b(x);y(25)=8
On a unicité lorsqu'on se donne une condition
initiale.
III) Equation différentielle du 1er ordre à coefficient
constant.
On veut résoudre.
y'+ay=b(x)
^------ne dépend point de x
Théorème :
Une équation différentielle linéaire à coefficient constant est
une équation différentielle linéaire. Donc la théorie
s'applique : les solutions sont la somme (ou superposition) :
↔Une solution particulière
↔La solution générale de l'ESSM
ESSM :
# y'+ay=0
#
Error!
=-a
# ↔ primitive : -ax
# # # # # # # # # # # #
Comme [x→ax] est une primitive de [x→-a] sur
Ë
, on sait
que └λ☻
Ë
tel que : ┐x☻
Ë
, g(x)=λe-ax.
Solution particulière :
↔Variation de la constante
↔Si b(x)=Polynôme
On cherche y0(x)=Polynôme
↔Si b(x)=Polynôme×eαx
On cherche y0(x)=Polynôme×eαx
Exemple :
y'+2y=cos(3x)
(1) On identifie le problème : c'est une équation
différentielle à coeff. constant.
(2) Description du résultat :
Les solutions sont de la forme d'une somme d'une
solution particulière et de la solution de l'ESSM.
ESSM :
Soit [y:x→g(x)] est solution de l'ESSM, on sait :
└λ☻
Ë
tel que ┐x☻
Ë
, g(x)=λe-2x.
Solution particulière :
Comme le second membre est trigo, on résoud :
y'+ay=ei3x=cos(3x)+isin(3x)
La solution particulière sera la partie réelle de (E')
On cherche une solution de la forme :
y0:x→μe-i3x
attention : μ appartient à
Ê
à priori !!!
y0'(x)=μ(3i)e3ix
Ainsi :