rien transverse

ISRAEL JOURNAL OF MATHEMATICS 101 (1997), 323-347
STABILITt~ DU CARACTl~RE KAHLI~RIEN TRANSVERSE
PAR
A. EL KACIMI ALAOUI* ET B. GMIRA
URA au CNRS GAT n ~ 751, LAMATH, Universitd de Valenciennes, Le Mont Houy
59304 Valenciennes Cedex, France
ABSTRACT
Soient ~" un feuilletage hermitien homologiquement orientable sur une
vari~t~ compacte Met 5vt une d~formation de 5 ~- ~t type diff~rentiable fix~
param~tr~e par un voisinage T de 0 dans R d par des feuilletages transver-
salement holomorphes. On suppose que la m~trique hermitienne transverse
a de ~- -- .To est ks
On montre qu'il existe e > 0 tel que pour tout t E T, Itl < e, le feuilletage
.Tt poss~de une m~trique ks transverse at telle que a0 =- a; en
plus at d~pend diff~rentiablement de t pour It] < e.
Introduction
Soit M une vari~t6 analytique complexe compacte. On appelle d~formation de
M param~tr~e par un voisinage T de 0 dans l'espace R a la donn~e d'une vari~t~
diff~rentiable A4 et d'une submersion C ~162 7r : A4 ) T telle que pour tout t C T,
7c-1(t) = Mt est une vari~t~ analytique complexe compacte avec M0 = M. Pour
t suffisamment proche de 0, Mt est diff~omorphe ~ M; mais pour t aussi proche
de 0 qu'on veut la structure complexe de Mt peut ~tre diff~rente de celle de M.
On peut a|ors se demander s'il existe sur M une propri~t~ g~om~trique qui ne
"disparait" pas par petites d~formations i.e pour t proche de 0. Dans cette direc-
tion Kodaira et Spencer [KS2] ont d~montr~ que si M a une mdtrique kiihldrienne
a alors il existe ~ > 0 et une famille diffdrentiable de mdtriques kiihldriennes at
* Lots de l'~laboration d~finitive de ce travail le premier auteur a s~journ~ au
Centre de Recerca Matemhtica de Barcelona dans le cadre du Semestre
de G~om~trie diff4rentielle qui s'est tenu au printemps-~t~ 1995. I1 remercie
les organisateurs pour leur chaleureuse invitation.
Received June 8, 1995
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sur Mt pour ]t[ < e telle que o'0 = (r. Ce r6sultat a 6t~ g~n6ralis6 dans [Ekl] aux
V-vari6t6s (orbifolds ou vari6t6s de Satak6) complexes. I1 semble alors na-
turel de voir s'il reste encore vrai pour des espaces plus g~ndraux tels que l'espace
des feuilles de certains feuilletages transversalement holomorphes sur des vari6t~s
compactes. La r@onse est non si la d6formation 5rt est quelconque : il a ~t~
construit dans [EN1] une famille analytique (-Ft)tec de feuilletages holomorphes
sur une nilvaridt6 complexe compacte telle que ~'0 est transversalement k/ihl~rien
et pour tout t # 0, .7"t ne poss~de aucune structure k~ihl6rienne transverse. Mais
la r6ponse est oui si la d6formation est ~ type diff~rentiable fix6 i.e il existe
une famille continue de diff6omorphismes ht tels que h~[(.Ft) = 5 c. C'est l'objet
de ce travail.
La d6monstration de Kodaira-Spencer dans le cas classique repose sur des pro-
pri~t6s fortes (qu'ils ont 6tablies) d'une famille diff6rentiable d'op6rateurs forte-
ment elliptiques sur une vari6t6 compacte : continuit6 des ~16ments du spectre,
d6pendance diff6rentiable de l'op6rateur de Green et des op6rateurs de projec-
tion en fonction du param~tre t E T etc... La notre consiste/~ 6tablir les m~mes
propri~t6s pour une famille C ~ d'op6rateurs fortement transversalement el-
liptiques en se basant sur les r6sultats obtenus dans [Ek2].
Dans route la suite )v sera un feuilletage de codimension n (r6elle ou complexe)
sur une vari6t6 M d6fini par un cocycle feuillet6 {Ui, fi, 7ij} off (Ui)iel est un
recouvrement ouvert de M , fi : Ui ~ S une submersion au-dessus d'une n-
vari6t~ transverse S (r6elle ou complexe) et 7~j des diff6omorphismes locaux de
S tels que sur Ui ~ Vj • 0 on ait fj = 7ij o fi. On note T$" le fibr~ tangent s $- et
uF = TM/T.F son fibr~ normal. Quand on exprimera une propri~t~ localement,
ce sera toujours dans un syst~me de coordonn~es locales (Xl,..., Xp, Yl,-.-, Y,~)
(resp. (xl,..., Xp, z~,..., z.) si S est complexe) pour lesquelles le feuilletage est
d~fini par les ~quations dyl ..... dyn = 0 (resp. dz~ ..... dz~ = 0).
Saul mention expresse du contraire, toutes les structures consid~rSes dans ce
travail sont suppos~es ~tre de classe C ~.
1. Structures transverses
Dans cette section nous donnons quelques exemples de structures transverses.
Nous nous sommes limit,s ~ ceUes dont nous aurons besoin par la suite.
1.1. Ddfinition: Une structure transverse ~ $" est une structure sur S invariante
par les diff~omorphismes Iocaux ~,~j.

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1.2. Exemples: (i) Si S est un groupe de Lie et les ?ij des restrictions de
translations s gauche, on dira que ~" est un feuilletage de Lie.
(ii) On dira qu'un champ de vecteurs Y sur M est feuillet~ si pour tout
champ de vecteurs X tangent g 7", le crochet IX, Y] est encore tangent g .T. Le
flot local associ6 ~ un tel champ pr~serve le feuilletage 7-. Les champs tangents
g ~" forment un ideal F(~') du module x(M, 9 r) des champs feuillet~s sur M. Le
quotient x(M/~) = x(M, ~')/F(3 c) est une alg~bre de Lie appel~e l'alg~bre des
champs basiques de 7-. On dira que 7" est transversalement parall~lisable
(T.P en abr~g~) si x(M/.~) est libre de rang n. Cela signifie que la varifit~ S
admet un parall~lisme invariant par les "/ij.
(iii) Supposons S riemannienne et les "[ij des isom~tries locales. On dira alors
que )r est un feuilletage riemannien. Ceci signifie que le fibr~ normal v}"
supporte une m~trique invariante le long des feuilles ou encore que la distance
entre les feuilles est localement constante. Localement cette m~trique s'~crit
(1.1) g(x, y) = ~ giy(y)dyi | dyj.
i,j=l
Sur une vari~t~ fix~e M, tout feuilletage de Lie est transversalement
parall~lisable et tout feuilletage transversalement parall~lisable est ~videmment
riemannien.
La structure d'un feuilletage 9 r riemannien (ou transversalement parall~lisable)
sur une vari~t~ M compacte est d~crite par les th~or~mes qui suivent dfis ~ P.
Molino [Mo].
1.3. THI~,OREME: Supposons jz transversalement parall61isable. Alors
(1) l'adh6rence de toute feuille de • est une sous-vari4t6 de M,
(2) il existe un groupe de Lie Go tel que le feuilletage ~o induit sur chaque
adh6rence est de Lie de groupe Go ~ feuilles denses,
(3) les adh6renees des feuilles forment une fibration localement triviale ~r :
M ~ W au-dessus d'une vari~t6 compacte W; le cocycle de cette fibration
est ~ valeurs dans le groupe Diff(F, 7"0) des diff6omorphismes de la fibre
type F qui respectent le feuilletage Jz o.
La vari~t~ West appel~e la vari~t~ basique de ~ et ~r : M --* W la fibration
basique de F.

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Supposons jr riemannien et pour simplifier transversalement orientable. No-
tons alors M # ~ M le G-fibr~ principal des rep~res orthonorm~s directs trans-
verses h 9 c off G est le groupe SO(n).
1.4. THI~ORI~ME: Le feuilletage jr se rel~ve ~ M # en un feuilletage jr# tel que
(1) dimF # = dim jr et jr# est T.P,
(2) jr# est invariant par l'action naturelle de G sur M #.
La vari~t~ basique de jr# sera par d~finition la vari~t~ basique de jr.
Un autre exemple : si S est une vari~t~ analytique complexe et les 7~j des trans-
formations biholomorphes on dira que • est un feuilletage transversalement
holomorphe. Dans cette situation le fibr~ normal v jr h~rite d'une structure
presque complexe i.e il existe un automorphisme J : v~ --~ v jr invariant le long
des feuilles et v~rifiant j2 = -id.
Si en plus jr est riemannien (de m~trique transverse 7 ~ on pose
(1.2) 7(Y1, Y2)= ~{7~ JY2)+ 7~
pour routes sections Y1, ]I2 de v.~. Clairement 7 satisfait la condition
"7(JY1, JY2) --- ~Y(Y1, Y2),
i.e 7 est une m~trique hermitienne transverse ~ jr. On dira que le feuilletage jr
est hermitien. Posons maintenant
(1.3) w(X, Y) = "~( JX, Y).
Alors west une 2-forme diff~rentielle basique. On dira que jr est transversale-
merit k~ihl~rien si w est ferm~e; dans ce cas on dira que w est une forme de
Kiihler basique pour jr.
Rappelons qu'une forme diff~rentielle c~ est dire basique si elle v~rifie ixo~ =
Lxc~ = 0 pour tout X E F(jr). Une fonction basique est une fonction constante
sur les feuilles; on note Ab l'alg~bre des fonctions basiques sur M. L'espace
~*(M/jr) des formes diff~rentielles basiques muni de la diff~rentielle ext~rieure
est un complexe diff~rentiel (appel~ complexe de de Rham basique); son
homologie H* (M/jr) est appel~e la cohomologie basique de jr.
Si )~ est t~ansversalement holomorphe on a, comme dans le cas classique, une
d~composition
ftr(M/.T) = (~ fffq(M/.T)
p+q=r

Vol. 101, 1997 STABILITI~ DU CARACTI~RE K,~HLI~RIEN TRANSVERSE 327
off gtPq(M/J :) est l'espace des formes basiques de type (p, q). Le complexe de
Dolbeault basique gtpq(Mi.7: ) -5 ~p,q+l(Mi.T. )
est bien d6fini; son homologie est appel6e la cohomologie de Dolbeault
basique de ~'.
Un cas particulier de feuilletage transversalement holomorphe est donn~ par
un feuilletage holomorphe : la vari6t6 M est analytique complexe et les sub-
mersions fi : Ui ~ S sont holomorphes. Donnons un exemple concret d'un tel
feuilletage. Soit M -- C ~+1 - {0} et consid~rons le champ de vecteurs holomorphe
Z d~fini en tout point (zl,..., zn+l) de C ~+l par
0 0
Z(zl .... , zn+l) = o~lz, Oz--~ +"" + C~n+lZn+l Ozn+l
Off (~1,..., ~n+l E C*. Les vari~t~s int~grales de Z d~finissent un feuilletage holo-
morphe de codimension complexe n sur M. On peut choisir les ~1,..., c~+1 de
telle sorte que le champ Z intersecte transversalement la sphere S 2"+1 C C n+l
et y d~finit un flot r~el (i.e un feuilletage de dimension r~elle 1) transver-
salement holomorphe de codimension n. I1 a des orbites ferrules L1,..., L~+I
(diff6omorphes au cercle) donn~es respectivement sur chaque facteur de C ~ par
IZll -~ 1,...,IZn+l I ---- 1. I1 est facile de voir que si tousles ozj sont de
module 1, le riot associ~ ~ Z preserve la m~trique k~hl~rienne standard de C ~+1
qui induit une m~trique k~hl~rienne transverse ~ $" et en fait donc un feuilletage
transversalement k~hl~rien.
2. Op6rateurs transversalement elliptiques
Soit 7 ) : P L M un fibr6 principal de groupe structural G C GL(k,C). Le
groupe G agit ~ droite sur Pet sur son alg~bre de Lie G par la repr6sentation
adjointe. On note )2 le sous-fibr6 vectoriel de TP dont la fibre Vz en un point
z E P est l'espace tangent en z ~ la fibre de P. Une connexion sur 7 ~ est un
sous-fibr6 vectoriel 7-/de TP tel que
(i) pour tout z C P : TzP = V~ 9 Hz,
(ii) pour tout g C Get tout z E P : Hz9 = (Rg),Hz oh Rg est l'action ~ droite
de g sur P.
I1 est bien connu que ~/est le noyau d'une 1-forme invariante w sur P (appel~e
forme de connexion) et ~t valeurs dans ~.