Exercices 7

MPSI
CHAPITRE 7
EXERCICES
7-1 Association de miroirs
+
S2
C1C2
S1
(M2)
(M1)
On réalise un système optique centré constitué par l'association du miroir concave M 1, de centre C1 de sommet S1, et du
miroir M2, de centre C2, de sommet S2, de même axe optique, disposés comme sur la figure ci-dessus.
Le miroir M1 est percé d'un petit trou permettant à la lumière de le traverser près de son sommet, mais qui ne modifie pas
ses propriétés.
Les distances focales f1 et f2 des deux miroirs sont telles que |f1| = 3 m et |f2| = 2.0 m. On note d = S1S 2 . (Le dessin cidessus n'est pas une construction exacte).
1)
Déterminer d pour que tout rayon incident, parallèle à l'axe optique et réfléchi par les deux miroirs, passe par S 1.
2)
Vérifier le calcul par une construction graphique à l'échelle 0,02 pour les segments parallèles à l'axe optique. (L'échelle
dans la direction perpendiculaire à l'axe optique sera prise bien plus grande).
7-2 Cavité confocale
Une cavité confocale est constituée de deux miroirs identiques concaves M1 et M2 face à face, de même rayon R, de
même axe optique  et dont les foyers sont confondus. On place un objet AB à l'intérieur de la cavité perpendiculairement à .
B

S2
S1
+
A
(M1)
(M2)
1)
Construire géométriquement les quatre images successives obtenues, la première réflexion ayant lieu sur M2. Le résultat
dépend-il de la position de l'objet AB ?
2)
On considère un rayon lumineux, incliné d'un angle 1 sur l'axe optique, émis d'un point B et dont le support passe par le
point I1 de M1 distant de y0 de l'axe optique.
Exprimer en fonction de 1, y0 et R dans les conditions de Gauss, les angles 2, 3, 4 que font les rayons réfléchis avec 
à l'issue respectivement de la 1ère, 2ème puis 3ème réflexion.
3)
Conclure quant à la localisation du rayon à l'intérieur de la cavité optique.
7-3 Télescope Hipparcos (D'après écrit Mines sup 2000 filière PCSI option PC)
On propose de modéliser le télescope d'Hipparcos par un miroir concave M C de rayon R = 2 800 mm avec un miroir plan
de renvoi (voir figure ci-dessous). On note S le sommet du miroir concave. La lumière subit deux réflexions et passe par un orifice
dans le miroir concave pour atteindre le détecteur. Celui-ci est constitué d'une grille et de cellules CCD permettant de repérer la
position de l'image. La grille comporte N = 2 688 fentes équidistantes de L = 8,2 µm.
S
x
(MP)
y
(MC)
On considère une étoile visée dans la direction Sx. L'axe Sx est orienté vers l'étoile.
1)
Déterminer l'abscisse x de l'image E1, de l'étoile E donnée par le miroir MC
2)
On note a la distance séparant le miroir plan et le sommet du miroir concave. Déterminer une condition sur a pour que
l'image finale E2 se forme sur le détecteur placé à l'arrière du miroir concave.
3)
Déterminer la largeur angulaire C du champ observé. Calculer C en degré.
4)
En réalité, Hipparcos réalise une mesure de position relative des étoiles. Le télescope vise deux directions symétriques
par rapport à Sx présentant un angle  = 58 °. C'est un système de deux miroirs plans M1, M2 qui permet d'obtenir les images des
deux étoiles sur le détecteur (voir figure ci-dessous). Le télescope tourne autour d'un axe de direction fixe Sz.
Déterminer l'angle 0 des miroirs M1 et M2 avec l'axe Sx du télescope.
sens de rotation
du satellite
E
(M1)
0

S
x
(MP)
(M2)
y
(MC)
E'
5)
Déterminer le déplacement angulaire 1, d'un rayon lumineux réfléchi par le miroir M1 lorsque le satellite tourne d'un
angle . Préciser le sens de déplacement des rayons réfléchis par M1 et M2.