QUESTION 1 :

PHY-144
Préparatoire 2 (solution)
QUESTION 1 :
a) le déplacement = la surface sous la courbe du graphique v(t).
1
1
x  (2 m/s  0 m/s)(1s  0s)+2m/s(3s  1s)+ (3 m/s - 2 m/s)(3s  1s)+3m/s(5s  3s)
2
2
1
+ (3 m/s  0 m/s)(7s  5s)
2
x  15 m ou x  +15 m i
b) l’accélération est la pente du graphique v(t).
De t = 0 à t = 1s : a  (2 m/s  0 m/s)  2 m/s2
(1s  0s)
De t = 1 à t = 3s : a  (3 m/s  2 m/s)  0,5 m/s2
(3s  1s)
De t = 3 à t = 5s : a  (3 m/s  3 m/s)  0 m/s2
(5s  3s)
(0
m/s
 3 m/s)
De t = 5 à t = 7s : a 
 1,5 m/s2
(7s  5s)
Graphique de a(t) :
1
QUESTION 2 :
P
i
P
i
x =0m
Policier : v = 0 m/s
P
i
a = 6 m/s
P
i
ti =0s
x Pf = ?
v fP = ?
MRUA
2
i
a Pf = 6 m/s
A
x Ai = ?
A
Auto : v i = ?
A
i
MRUA
a = 1.5 m/s
2
2
tf = ? f
x Af = ?
vfA = ?
a fA = 1.5 m/s
x+
2
a) Évaluez la position et la vitesse de l’auto lorsque le policier démarre :
On choisit t = 0 s lorsque le policier démarre; à cet instant, l’auto a accéléré depuis 3
secondes, avec une accélération de 1,5 m/s2 et une vitesse initiale de 3 m/s.
Donc, à l’instant ti = 0 s, on calcule :
1,5
2
xA  0 m  3m s 3s 
m s 2   3 s   15, 75 m
i
2
A
2
v  3 m s  1,5 m s   3 s   7,5 m / s
i
b) Calculez le temps écoulé entre le départ du policier et le moment où celui-ci
rattrape l’auto :
Lorsque le policier rejoint l’auto, à l’instant tf inconnu, les deux véhicules occupent la
même position, à savoir : x Af  x Pf , avec :
x Af  15, 75 m  7,5 m s   t f  ti  
2
1,5
m s 2   t f  ti 
2
2
6
x Pf  0 m  0 m s   t f  ti   m s 2   t f  ti 
2
D’où on tire l’équation quadratique suivante : 2, 25 t 2f  7,5 t f 15,75  0
La solution mathématique devient : t f 
7,5 
 7,5  4  2, 25 15, 75
2
2  2, 25
Donc : t f  4, 79 s ou  1, 46 s
On choisit la valeur positive; donc t f  4, 79 s .
2
c) Calculez la distance séparant le restaurant du lieu de la rencontre :
À l’instant t f  4, 79 s , on calcule :
x Af  x Pf  68,93 m
d) Calculez la vitesse de l’auto et du policier à cet instant :
À l’instant t f  4, 79 s , on calcule :
v Pf  0 m s  6 m s 2  4, 79 s   28, 76 m s  103,5 km h
v Af  7,5 m s  1,5 m s 2  4, 79 s   14, 69 m s  52,9 km h
QUESTION 3 :
y
y i = 50 m
v i = -10 m/s
ti =0s
a = - g = -9.81 m/s
Montre :
2
(MRUA)
tf = ?
yf = 0 m
vf = ?
Sol
a) Calculer le temps de vol de la montre, à savoir t Mf
La montre est soumise à une chute libre, avec une vitesse initiale de 10 m/s vers le sol, à
partir d’une hauteur initiale de 50 m.
2
g
y f  yi  v yi  t f  ti    t f  ti 
2
On pose donc :
2
9,81
0 m  50 m   10 m s   t f 
m s 2 t f 
2
on calcule : t f 
10 
 10  4  4,905 50  4,37 s
2
2  4,905
ou  2,33 s
on conserve tf positif, à savoir : t f  2,33 s
3
b) Calculer la vitesse de la montre juste avant de toucher le sol, à savoir
v Mf
:
À l’instant t f  2,33 s , on calcule : vMf  10 m s  9,81m s2  2,33 s  32,86 m s ,
le signe négatif de la vitesse indique que la montre tombe.
c) Combien de temps, après l’impact au sol de la montre, le parachutiste touche-t-il
le sol ?
y
y i = 50 m
v i = -10 m/s
ti =0s
Parachutiste :
a = 0 m/s 2
tf = ?
yf = 0 m
vf = -10 m/s
(MRU)
Sol
Comme le parachutiste est animé d’un mouvement de chute avec une vitesse constante,
donc avec une accélération nulle, on peut évaluer son temps de vol t Pf .
On pose :
y Pf  yiP  viP  t Pf  tiP 
0 m  50 m   10 m s   t Pf
On calcule : t Pf  5 s
Donc le parachutiste touche le sol 2,67 s (5 s – 2,33 s) après la montre.
4
QUESTION 4 :
y
ti =0s
xi = 0 m
yi = ?
vx i = 75 cos(30) m/s
vy i = -75 sin(30) m/s
ay= - g = -9.81 m/s
30
2
(MRUA)
Vi
ax= 0 m/s 2 (MRU)
tf = ?
x f = 500 m
yf = 0 m
vx f = v x i
vy f = ?
x
a) Déterminez la hauteur de l’avion si le paquet doit être largué 500 m devant le
camp :
Le mouvement vertical du paquet est une chute libre;
2
g
On pose : y f  yi  v yi  t f  ti    t f  ti  avec : vyi  vi sin  30  37,5 m s
2
Le temps de vol tf est déterminé en examinant le mouvement horizontal du paquet, à
savoir :
x f  xi  vxi  t f  ti  avec vxi  vi cos  30  64,95 m s
x f  xi
500 m  0 m
 7, 7 s
vxi
64,95 m s
9,81
2
m s 2  7, 7 s 
Et puisque : 0m  yi   37,5 m s  7, 7 s  
2
On pose alors :  t f  ti  

alors : yi  579,3 m
b) Calculez le temps de vol du paquet :
Le temps de vol tf a été calculé à la question précédente, à savoir :
t
f
 ti  
x f  xi
vxi

500 m  0 m
 7, 7 s
64,95 m s
5
c) Calculez la vitesse d’impact du paquet au sol (grandeur et orientation) :
On pose la vitesse d’impact (vecteur) v f  vxf  v yf
où :
vxf  vxi  vi cos  30  64,95 m s
v yf  v yi  g  t f  ti   37,5 m s  9,81 m s 2  7, 7 s  113, 0 m s
On calcule alors la grandeur de la vitesse d’impact (théorème de Pythagore)
vf 
 v
xf
   v    130,34 m s
2
2
y
yf
Et son orientation (relativement au sol) :
 v yf
v
 xf
  tan 1 

  60,1

vx f
x

vy f
Vf
d) Les coordonnées du paquet (x,y) 4 secondes avant son impact au sol :
On calcule donc les coordonnées xf et yf à l’instant tf = 7,7 s – 4 s = 3,7 s, en posant les
équations suivantes :
x f  xi  vxi  t f  ti   0 m  64,95 m s  3, 7 s  240,3 m
y f  yi  v yi  t f  ti  
2
g
9,81
2
t f  ti   579,3 m   37,5 m s   3, 7 s 
m s 2  3, 7   373, 4 m

2
2
e) Calculez la vitesse du paquet (grandeur et orientation) à cet instant :
On pose la vitesse d’impact (vecteur) v f  vxf  v yf
où :
vxf  vxi  vi cos  30   64,95 m s
v yf  v yi  g  t f  ti   37,5 m s  9,81 m s 2  3, 7 s  73,8 m s
On calcule alors la grandeur de la vitesse d’impact (théorème de Pythagore)
vf 
 v
xf
   v    98,3 m s
2
2
yf
6
y
Et son orientation (relativement au sol) :
vx f
 v yf
v
 xf
  tan 1 

  48, 6

x

vy f
Vf
QUESTION 5 :
DA
A
Courroie C 1
DB
B
moteur
électrique
Courroie C2
DE
E
DH
H
a) Calculer le rayon de la poulie A si elle tourne 2 fois plus vite que la poulie B :
On pose : vA = vB, d’où : A  RA  B  RB avec : A  2 B
R
120 mm
 60 mm
On calcule alors : 2 B  RA  B  RB d’où : RA  B 
2
2
On demande aussi de calculer le rayon de la poulie H si elle tourne 1,5 fois moins vite
que la poulie E :
On pose : vH = vE, d’où : H  RH  E  RE avec : E  1,5H
On calcule alors : H  RH  1,5H  RE d’où : RH  1,5 RE  1,5 60 mm  90 mm
b) On a un MCUA, avec les données suivantes :
Initial :
ti = 0 s; iB  iE  2000 RPM  209, 4 rad s
7
Final :
tf = 5 s;  Bf   Ef  5000 RPM  523,6 rad s
1) Calculez l’accélération angulaire  de chaque poulie (rad/s2) :
Les poulies B et E sont mues par l’arbre du moteur; donc :  B   E
On pose :  Bf  iB   B  t f  ti   523, 6 rad s  209, 4 rad s   B  5 s 
D’où :  B   E  62,8 rad s 2
La poulie A est reliée à la poulie B par une courroie; donc : aTA  aTB
  RB
Donc :  A  RA   B  RB   A  B
 125, 6 rad s 2
RA
La poulie H est reliée à la poulie E par une courroie; donc : aTH  aTE
  RE
Donc :  H  RH   E  RE   H  E
 41,9 rad s 2
RH
2) Calculez l’accélération linéaire tangentielle aT à la circonférence de chaque poulie
(m/s2) :
On calcule :
aTA  aTB   B  RB  62,8 rad s 2  0,12 m  7,54 m s 2
aTH  aTE   E  RE  62,8 rad s 2  0, 06 m  3, 77 m s 2
3) Calculez l’accélération linéaire aT des courroies C1 et C2 (m/s2) :
On note que la courroie C1 est reliée aux poulies A et B.
On pose donc : aTC1  aTA  aTB  7,54 m s 2
On note que la courroie C2 est reliée aux poulies H et E.
On pose donc : aTC 2  aTH  aTE  3, 77 m s 2
4) Calculez la vitesse angulaire  de chaque poulie (en RPM) à l’instant t = 3 s :
Les poulies B et E sont mues par l’arbre du moteur; elles sont soumises au même MCUA.
Donc :
 Ef   Bf  iB   B  t f  ti   209, 4 rad s  62,8 rad s 2  3 s   397,9 rad s  3799, 7 RPM
Et la poulie A tourne 2 fois plus vite que la poulie B.
Donc :  fA  2  Bf  7599,3 RPM
Et la poulie H tourne 1,5 fois moins vite que la poulie E.
8
Donc :  
H
f
 Ef
1,5
 2533,1 RPM
5) Calculez la vitesse linéaire tangentielle vT à la circonférence de chaque poulie
(m/s) à l’instant t = 3 s :
On calcule :
vTA  vTB  B  RB  397,9 rad s  0,12 m  47, 7 m s
vTH  vTE  E  RE  397,9 rad s  0, 06 m  23,9 m s
6) Calculez la vitesse linéaire tangentielle vT des courroies C1 et C2 (m/s) à l’instant t
=3s:
On note que la courroie C1 est reliée aux poulies A et B.
On pose donc : vTC1  vTA  vTB  47, 7 m s
On note que la courroie C2 est reliée aux poulies H et E.
On pose donc : vTC 2  vTH  vTE  23,9 m s
7) Le nombre de tours effectués par les poulies A et H entre les instants 0 s et 3 s :
Les poulies A et H sont toutes deux soumises à un MCUA.
On pose donc, pour la poulie A :   i  
A
f
A
A
i
t
f
 ti  
A
2
t
f
 ti 
2
Et on calcule :
 fA  0 rad  2  209, 4 rad s  3 s  
125, 6 rad s 2
2
 3 s   1821.6 rad  289.9 tours
2
Et on pose, pour la poulie H :  fH  iH  iH  t f  ti  
H
2
t
f
 ti 
2
Et on calcule :
209, 4 rad s
41,9 rad s 2
2
 fH  0 rad 
3 s  
 3 s   607, 4 rad  96, 7 tours
1,5
2
9