Énoncer

Spé ψ 2004-2005
Devoir n°8
OPTIQUE
Ce problème traite de l’observation de deux étoiles Ea et Eb à l’aide d’une lunette astronomique munie d’un détecteur puis de l’effet de la turbulence atmosphérique sur une observation stellaire faite avec un
interféromètre de Michelson.
NB : la distance algébrique entre un point M et un point N est notée MN .
Grandeurs physiques :
8
Vitesse de la lumière : c = 3,00×10 m.s–1 ;
Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.K–1.mol–1 ;
Masse molaire de l'hydrogène atomique : MH = 1 g.mol–1
Partie I
ÉTUDE GEOMETRIQUE
Les deux étoiles Ea et Eb sont considérées ponctuelles et à l’infini, séparées par une distance angulaire θ, l’étoile Ea étant située dans la direction de l’axe optique de la lunette.
On néglige dans cette partie les effets de la diffraction. On considère une lunette astronomique d’axe
optique z’z (figure 1) constituée d’un objectif assimilé à une lentille mince convergente L1 de diamètre
D1 = 50 cm et de distance focale image f’1 = 7,5 m associé à une lentille divergente L2 de distance focale
image f’2 = –0,025 m . On désigne respectivement par O1 et O2, par F1 et F’1, F2 et F’2, les centres optiques,
les foyers objet et image des lentilles L1 et L2 .
1) Quelle est la forme et la direction des faisceaux lumineux des ondes 1 et 2, respectivement émises
par les étoiles Ea et Eb, lorsqu’elles parviennent sur la lunette ?
2) On appelle A1 l’image de l’étoile Ea à travers la lentille L1. De même, B1 désigne l’image de Eb à
travers L1 .
a) Dans quel plan se situent A1 et B1 ? Donner la distance algébrique A1 B1 .
b) La lentille L2 est placée peu avant le plan où se forment les images Al et B1. On appelle
respectivement A2 et B2, les images de Ea et Eb à travers la lunette. Sachant que
A2 B2
= 2 exprimer et calA1 B1
culer la distance O2 A1 .
3) On définit la distance focale f’ de la lunette par la relation A2 B2 = f 'θ .
a) Calculer la distance focale f ’ de la lunette.
b) Exprimer A1 A2 . Comment évolue l’encombrement de la lunette par rapport au cas où
seule la lentille L 1 existerait ? Quel est l’intérêt de la lentille L 2 ?
4) On place dans le plan où se forment les images A2 et B2, une caméra à DTC (Dispositif à Transfert de Charge). Ce récepteur d’images est composé d’une matrice rectangulaire de 768×512 détecteurs
élémentaires, appelés pixels, de forme carrée, de côtés a1 = 9 µm. On suppose que la lunette est librement
orientable.
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Une image parfaite à travers la lunette d’un point situé à l’infini, produit sur le détecteur un signal
donnant une image dont la dimension ne peut être inférieure à la taille d’un pixel. Exprimer et calculer en
seconde d’arc, la limite de perception angulaire θMIN due au récepteur d’image. Quelle est la plus grande
valeur décelable θMAX en minute d’arc ?
Partie II
POUVOIR SEPARATEUR DE LA LUNETTE DU A LA DIFFRACTION
A.Préliminaires
On considère une onde plane monochromatique de longueur d’onde l éclairant dans le plan xy un
diaphragme D de centre O dont la pupille est caractérisée en chaque point M(x, y) par un coefficient de
transmission en amplitude complexe t(x, y) . On étudie l’éclairement en un point P d’un plan Σ0 dont
l’intersection avec l’axe z’z est notée O ’ (figure 2).
1) Énoncer le principe de Huygens-Fresnel. On se place dans le cadre de la diffraction à l’infini.
Quelles hypothèses doit-on faire sur les distances OM, O’P et OO’ ?
2) Afin d’observer la figure de diffraction à
l’infini, on place une lentille convergente L 3 de foyer
image F’ 3 , de distance focale image f’3 derrière
r
l’ouverture diffractante. On considère les rayons
difu(α , β, γ )
r
fractés dans la direction du vecteur unitaire u de coordonnées (α, β, γ) (figure 3). Dans quel plan π convergent ces rayons ? On associe un système d’axes X, Y à
ce plan. Exprimer les coordonnées (X P , Y P ) du point P
où convergent ces rayons en fonction de α, β.
3) Dans le cas d’une onde incidente plane sur le
diaphragme D, de direction caractérisée par un vecteur
r
unitaire u I de coordonnées (αI, β I, γI), le principe de
Huygens-Fresnel permet d’écrire, en attribuant une
phase nulle en P à l’onde qui provient de O, l’amplitude
F 2πbur − urg. OM I
JJ dS où K
complexe A(P) de l’onde au point P, sous la forme A( P ) = K zz t ( x , y ) expG j
GH
λ
K

→
I
1
1
D
est une constante, d S un élément de la surface de la pupille entourant M, l’intégrale étant étendue à toute la
surface du diaphragme.
On déplace le diaphragme D parallèlement à lui-même, dans le même plan, le centre du diaphragme
occupant alors une position C. On appelle (dX, dY) les coordonnées de C ; montrer que l’amplitude en P peut alors
s’écrire : A ’(P) = A(P) e jh ( d X ,d Y ) et exprimer la fonction h(dX, dY) sous la forme
d’un produit scalaire de 2 vecteurs que l’on précisera.
B. Application : diffraction par la lunette
1) On place devant l’objectif L I de la lunette un écran comportant une
ouverture ayant la forme d’un carré centré en O de côtés parallèles aux axes x et
y, de dimension a =
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D1
(figure 4). On considère l’étoile E a seule supposée
2
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ponctuelle. On utilise un filtre sélectif permettant d’assimiler l’étoile E a à une source qui émet une onde monochromatique de longueur d’onde λ.
a) Quel est l’élément diffractant ? Exprimer l’amplitude diffractée A(X P, Y P) par l’ouverture
r
carrée dans la direction de vecteur unitaire u de coordonnées (α, β, γ) , en un point P du plan focal image de
l’objectif L 1.
b) Donner alors l’éclairement Ea( X P, Y P) en P sous la forme :
Ea( X P, Y P) = EaMAX.g ( X P) . g ( Y P) .
Exprimer et tracer g(X). Donner EaMAX en fonction de K1 et a.
c) Montrer que la figure de diffraction est formée d’une tache centrale brillante entourée de
lumière plus faible répartie en franges (pieds de la figure de diffraction). Où se situe le centre de la figure de
diffraction ? Quelle est la valeur de X pour laquelle g(X) s’annule pour la première fois ? En déduire la largeur de la tache centrale.
d) Comment évolue la figure de diffraction lorsque l’ouverture carrée devient une fente de
dimension a X suivant l’axe x et a Y suivant y, avec a Y >> a X. Exprimer alors l’amplitude diffractée A(XP) et
l’éclairement E(XP) en un point P de l’axe X.
2) L’étoile Eb située à la distance angulaire θ de l’étoile Ea est observée à l’aide de la lunette toujours
munie de l’ouverture carrée de telle façon que l’image géométrique B1 de Eb à travers l’objectif L1 se forme sur
l’axe F’ 1 X. L’étoile E b est également assimilée à une source lumineuse ponctuelle monochromatique de lonr
gueur d’onde λ émettant une onde plane caractérisée par le vecteur unitaire u I de coordonnées (α I , β I, γI).
a) Donner la relation entre α I , β I, γI et θ.
b) En supposant que seule l’étoile E b est observée, exprimer l’éclairement Eb(X p, Y p) en P.
Quel est le centre et l’allure de la tache de diffraction ?
3) Les étoiles Ea et Eb sont observées simultanément et sont d’éclat comparable.
a) Ea et E b étant deux sources incohérentes, que peut-on dire de l’éclairement total dans le plan
focal image de L1 ? Quelle est l’allure de la figure de diffraction ?
b) Sachant que deux taches de diffraction apparaissent comme séparées lorsque le maximum
central de l’une coïncide avec le premier minimum nul de l’autre suivant l’axe X, estimer le plus petit écart
angulaire θ1 décelable (en seconde d’arc) que l’on appelle pouvoir de séparation de la lunette pour la longueur
d’onde λ = 0,68 µm .
c) En supposant que L2 ne limite pas le faisceau, comparer la dimension d’un pixel et la largeur
de la tache centrale de diffraction formée sur le détecteur. Conclusion ?
Partie III
MESURE D’UNE DISTANCE ANGULAIRE
On considère une onde plane monochromatique de longueur d’onde λ se propageant suivant l’axe z’z en
direction de la lunette. On place un écran opaque percé de 2 fentes de largeur b suivant x, d’écartement variable d
suivant x devant l’objectif de la lunette toujours muni de l’ouverture, de forme carrée, de côté a du B.1, avec
a >> b. On appelle C1 et C2 les centres des deux
fentes (figure 5). On attribue une phase nulle au
point P du plan focal de l’objectif à l’onde qui provient de C1.
1-a) Calculer l’amplitude complexe en un
point P de l’axe X, notée A ’1(X p) de l’onde
difr
fractée par la fente 1 dans la direction u de vecteur unitaire (α, β, γ) .
b) Exprimer l’amplitude en P,
notéerA ’2 (X p) de l’onde diffractée dans la direction u par la fente 2 en fonction de A ’1(X p) et
d’une fonction que l’on exprimera.
c) Que peut-on dire de la figure
de diffraction donnée par chacune des fentes
considérées séparément ?
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2-a) Sachant que les deux fentes, éclairées par une même onde, se comportent comme des sources
cohérentes, montrer que l’éclairement en P est donné par :
ET(Xp) = 2E(Xp).g1(Xp)
E(Xp) étant l’éclairement diffracté par chaque fente si elle était seule et g1(Xp) une fonction à préciser.
b) Tracer ET(Xp). Montrer que l’on obtient des franges d’interférences « à l’intérieur de la
figure de diffraction ». Calculer l’interfrange. Que se passe-t-il si les fentes sont infiniment fines ?
3) On se place dans l’hypothèse où les fentes sont infiniment fines et on observe à l’aide de la lunette les étoiles voisines Ea et Eb .
a) Quelle est la distance dans le plan focal de L1 entre les centres des figures d’interférences
données par Ea et Eb ? On fait varier la distance d. Quelle est la condition pour observer le brouillage des
franges ?
b) Donner alors la relation entre θ et d. Quelle est la valeur de d qui permet de déceler la
distance angulaire θ2 la plus petite ? Calculer θ2 et l’interfrange correspondante, pour λ = 0,68 µm.
Comment pourrait-on améliorer la résolution angulaire du système, c’est-à-dire diminuer encore θ2 ?
Partie IV
REALISATION D’UN INTERFEROGRAMME
Dans tout ce qui suivra on notera σ le nombre d'onde, à savoir l'inverse de la longueur d'onde λ . On
exprimera ce nombre en m-1
1) La figure 6 correspond au montage de principe
d'un interféromètre de Michelson. Les miroirs sont réglés
de telle façon que l'on observe (les anneaux d'interférence
circulaires sur l'écran E placé dans le plan focal de la
lentille L, de distance focale image f’.
a) Quel est le rôle de la lame L semi-réfléchissante SR ? Quel est celui de la lentille L ?
b) Montrer qu'avec ce montage la moitié
du flux incident est irrémédiablement perdue.
2) La différence de marche , différence entre les
deux chemins optiques pour un rayon entrant perpendiculairement au miroir (1), est notée D; pour un rayon
entrant avec une inclinaison i on rappelle que la différence de marche est alors donnée par δ(i) = D.cos(i) .
a) L'interféromètre est éclairé par une
Figure 6
source étendue, supposée strictement monochromatique
de nombre d'onde σ0. On suppose la tache centrale en F’ brillante. Exprimer le rayon r1 du premier anneau
sombre, en fonction de σ0 , D et f’. Faire un schéma de ce que l'on observe sur l'écran.
b) La source est l'image d'une étoile, telle celle fournie par un télescope. Cette image est
étalée par la diffraction mais surtout par la turbulence atmosphérique, ce qui donne des rayons entrant dans
l'interféromètre d'inclinaisons diverses mais faibles. Quelle est la figure d'interférence observée en fonction
de D en présence d'un filtre interférentiel qui sélectionne une très étroite bande passante autour d'un nombre
d'onde σ0 donné.
3) On éclaire l'interféromètre par une source mono chromatique, de nombre d'onde σ0. Un détecteur
est placé au foyer F’ de la lentille L. Ce détecteur délivre un signal S(D), proportionnel à l'intensité lumineuse au point F’. Ce signal sera appelé dans la suite interférogramme. Il dépend de la différence de marche
D.
a) Montrer que S(D) est donné par : S(D) = S0.[1 + cos (2π.σ0.D)].
b) Quelle est la période de l'interférogramme?
4) On illumine l'interféromètre par une source présentant un doublet de nombres d'onde σ1 et σ2 voisins. Chacune des raies est supposée monochromatique et leurs intensités sont égales.
a) Déterminer l'expression de l'interférogramme S(D) correspondant. Mettre en évidence
deux périodes caractéristiques dans S(D).
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b) Application numérique : Représenter l'allure de l'interférogramme pour le doublet du sodium : λ1 = 589,0 nm et λ2 = 589,6 nm.
Partie V
EFFET DE LA TURBULENCE ATMOSPHERIQUE
1) L'interféromètre reçoit le flux d'une étoile, objet à l'infini, collecté par un télescope. On suppose le système optique du collecteur équivalent au montage de la figure 6. Ce montage est dit afocal : le foyer image
de L1 est confondu avec le foyer objet de L2. La lentille L1 représente le
miroir primaire du télescope. de diamètre a. La lentille L2 alimente l'interféromètre : le flux issu de L2 est divisé par la première lame semi-réfléchissante de la figure 6.
a) Justifier l'intérêt de ce montage afocal pour alimenter
l'interféromètre.
b) Exprimer le grandissement angulaire G en fonction des
Figure 7
distances focales images f’1 et f’2 des lentilles L1 et L2.
c) Déterminer la taille b du faisceau en sortie du collecteur,
en fonction de G et du diamètre a du collecteur. En déduire le diamètre minimal des pièces optiques de l'interféromètre. Le calculer pour a = 3,30 m et G = 165.
2) La tache image de l'étoile n'est en fait ni limitée par la seule diffraction du collecteur, ni stable. La
turbulence de l'atmosphère terrestre dévie et étale le faisceau stellaire incident. On s'intéresse principalement
à la déviation atmosphérique du faisceau incident, notée i0 et l'on suppose la source toujours ponctuelle.
a) Déterminer l'angle i sous lequel l'interféromètre voit les rayons d'une source stellaire, en
fonction de i0 et du grossissement G (grandissement angulaire) du télescope collecteur de lumière.
b) Estimer la différence de marche δ(i), en fonction de la différence de marche sous incidence nulle δ0 et de l'angle i .
c) Exprimer la condition sur l'inclinaison maximale admissible dans l'instrument, pour que
les fluctuations en différence de marche restent inférieures à une fraction α de longueur d'onde.
d) Application numérique : On fixe α au plus égal à 5% pour des conditions de turbulence
moyenne i0 = 1’’; on donne D0 = 0,8 cm et σ0 = 2×106 m–1. Estimer le grandissement G maximal.
Partie VI
ÉLARGISSEMENT ET DECALAGE POSSIBLES DES RAIES SPECTRALES.
Une cause possible d'élargissement ou de décalage (en nombre d'onde) d'une raie spectrale est associée au mouvement relatif de la source et de l'observateur (effet
Doppler). Soit ν0 la fréquence d'émission d'une source au repos.
Dans toutr ce qui suit, lorsque la source (S) se déplace à la vitesse
relative V par rapport à l'observateur (O), on admettra que celui-ci
V
<< 1 ) par :
c
r
V .cos(θ)
ν − ν0 = ν0
où c est la vitesse de la lumière, V = V et θ
c
r
l'angle entre la direction de propagation et V (figure 3).
reçoit un rayonnement de fréquence ν donnée (pour
Figure 8
On étudie ici quelques conséquences de cet effet Doppler sur
l'interférogramme d’une raie spectrale.
1) À la surface d’une étoile, les atomes (majoritairement de
l’hydrogène) sont supposés former un gaz parfait à l’équilibre thermodynamique de température T.
a) Quelle est la vitesse quadratique moyenne VT d’un atome de cette étoile ?
b) La dispersion des vitesses entraîne par conséquent un élargissement .∆σK de la raie symétrique autour de la valeur σ0. Donner l’ordre de grandeur de ∆σK en fonction de σ0, VT et c.
c) Application numérique : Évaluer ∆σK pour T = 6000 K et σ0 = 2×106 m–1.
2) La rotation de l'étoile est un paramètre dont il faut tenir compte. On note Ψ l'angle entre la direction de visée et l'axe de rotation stellaire.
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a) Pour quelle valeur de Ψ l'influence de la rotation sur la largeur de raie sera-t-elle nulle ?
maximale ? Dans ce dernier cas, expliquer qualitativement pourquoi la rotation de l'étoile, phénomène parfaitement déterminé, conduit à un élargissement de la raie d'émission analogue à celui associé aux mouvements erratiques des atomes et analysé dans la question précédente.
b) Toujours dans le cas d'une influence maximale de la rotation, évaluer la contribution de la
rotation stellaire ∆σROT à la largeur de raie en fonction de la vitesse équatoriale de rotation VROT de la surface
de l'étoile. Pour quelle vitesse équatoriale de rotation ce dernier terme est-il comparable à ∆σK ?
c) Application numérique : Dans ce dernier cas, calculer VROT pour une étoile dont la température de surface est TS = 6000 K.
2) On désire utiliser l'interféromètre comme sismomètre pour détecter les mouvements oscillatoires
de la surface stellaire. Une oscillation sismique est assimilée à une variation ∆v(t) de la vitesse apparente
vers l'observateur de l'ensemble de la couche externe de l'étoile. On suppose cette variation sinusoïdale,
d'amplitude ∆V, de pulsation. Cette utilisation ne requiert que l'enregistrement de l'interférogramme pour une
valeur optimisée de la différence de marche notée D0.
b
c
En l'absence de signal sismique, l'interférogramme est S ( D0 ) = SC 1 + C ( D0 ).cos 2 πσ 0 D0
C ( D0 ) =
b
g
sin πD0 . ∆σ
(où ∆σ est la largeur de la raie observée).
πD0 . ∆σ
gh avec
a) Montrer qu'à l'instant t, l'interférogramme peut être mis sous la forme
c
b
S ( D0 ) = SC 1 + C ( D0 ).cos 2 πσ 0 D0 + ϕ(t )
gh
où ϕ(t) est le déphasage de l'interférogramme donné par l'expression : ϕ(t ) = 2 πD0 σ 0 .
∆v (t )
c
b) Montrer que cette relation implique, pour une détection optimale, le choix d'une différence de marche D0 la plus grande possible. En déduire un ordre de grandeur de la différence de marche optimale pour une étoile de température T0, en supposant négligeables les effets de rotation.
c) Montrer alors que le principe instrumental conduit à mesurer un déphasage ϕ d'amplitude
de l'ordre de
∆v
.
VT
3) Au décalage Doppler sismique du spectre stellaire, enregistré sur une nuit entière, se superposent
diverses contributions.
a) Estimer succinctement l'influence du mouvement de rotation de la Terre pour une observation menée dans un observatoire situé à la latitude λ. L'amplitude et la pulsation de l'oscillation sismique
sont typiquement de l'ordre de 10 cm.s–1 et 10–2 rad.s–1..
b) Montrer que la turbulence atmosphérique conduit à une mesure de vitesse parasite δv telle
que
δv i 2
= .
c
2
c) Application numérique : Calculer δv pour i0 =1’’ et un grossissement G égal à 165. L'instrument est conçu pour la mesure de vitesses sismiques dont l'amplitude est de l'ordre de 10 cm. s–1 . Est-il
nécessaire de prévoir, pour alimenter l'interféromètre, un dispositif corrigeant les fluctuations dues à la turbulence atmosphérique?
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