VOCABULAIRE DE GEOMETRIE PLANE

Mathématiques :
Triangles, quadrilatères et cercles
Fiche de vocabulaire
VOCABULAIRE DE GEOMETRIE PLANE
Généralités....................................................................................................................... 2
1) Nom des polygones courants ............................................................................. 2
2) Qu’est-ce qu’un polygone ?................................................................................ 2
La médiatrice d’un segment ............................................................................................. 3
Cercle et disque ............................................................................................................... 3
1) Le disque ? Une surface ! Et le cercle ? Une ligne ! ........................................... 3
2) Points cocycliques.............................................................................................. 3
Les angles........................................................................................................................ 4
1) Aigu ou obtus ? .................................................................................................. 4
2) La bissectrice d’un angle .................................................................................... 4
3) Angles adjacents ................................................................................................ 4
4) Angles complémentaires .................................................................................... 4
5) Angles supplémentaires ..................................................................................... 5
6) Angles opposés par le sommet .......................................................................... 5
7) Angles alternes-internes..................................................................................... 5
8) Angles correspondants ...................................................................................... 5
9) Somme des angles d’un triangle ........................................................................ 6
Les types de triangles ...................................................................................................... 7
1) Le triangle isocèle .............................................................................................. 7
2) Le triangle équilatéral ......................................................................................... 7
3) Le triangle rectangle........................................................................................... 7
4) Le triangle isocèle rectangle ............................................................................... 7
Les droites remarquables dans le triangle ........................................................................ 8
1) Les médiatrices du triangle et le cercle circonscrit.............................................. 8
2) Les médianes du triangle et le centre de gravité du triangle ............................... 8
3) Les hauteurs du triangle et l’orthocentre ............................................................ 9
4) Les bissectrices intérieures du triangle et le cercle inscrit .................................. 9
5) La symétrie du triangle isocèle ......................................................................... 10
6) Les 3 symétries du triangle équilatéral ............................................................. 10
Les quadrilatères............................................................................................................ 11
1) Les trapèzes .................................................................................................... 11
2) Le parallélogramme ......................................................................................... 12
3) Le losange ....................................................................................................... 13
4) Le rectangle ..................................................................................................... 14
5) Le carré............................................................................................................ 14
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Mathématiques :
Triangles, quadrilatères et cercles
Généralités
1) Nom des polygones courants
On classe les polygones en fonction du nombre de leurs côtés, donc du nombre de leurs
sommets. Voici les plus courants :
3 côtés
4 côtés
5 côtés
6 côtés
8 côtés
10 côtés
Triangle
Quadrilatère
Pentagone
Hexagone
Octogone
Décagone
Un polygone est régulier si tous ses côtés sont isométriques et si tous ses angles ont
même mesure. Les sommets d’un tel polygone sont cocycliques (le polygone régulier est
inscriptible dans un cercle). Un triangle équilatéral, un carré sont des polygones réguliers.
2) Qu’est-ce qu’un polygone ?
L’expression « polygone ABCDE » peut être interprétée différemment suivant le contexte.
ABCDE est la liste ordonnée des 5 points ABCDE est la ligne formée des segments
A, B, C, D et E.
[AB], [BC], [CD], [DE] et [EA].
Cette ligne est dite ligne polygonale.
ABCDE est la surface comprise à l’intérieur
ABCDE est l’ensemble des 5 droites (AB), de la frontière formée des segments [AB],
(BC), (CD), (DE), (EA).
[BC], [CD], [DE] et [EA].
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Mathématiques :
Triangles, quadrilatères et cercles
La médiatrice d’un segment
La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points équidistants des extrémités A
et B. Autrement dit :
Le point M appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB.
 La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant
par le milieu de ce segment.
 Les « médiatrices d’un triangle » sont les médiatrices des côtés de ce triangle.
Cercle et disque
1) Le disque ? Une surface ! Et le cercle ? Une ligne !
Le disque est la surface dont la frontière est le cercle.
Le centre du cercle est un point du disque, mais n’est pas un point du cercle.
Les mots rayon et diamètre désignent, suivant le contexte, soit les segments de droite,
soit les mesures de ces segments.
2) Points cocycliques
Plusieurs points sont dits cocycliques s’ils appartiennent à un même cercle (cette notion
ne prend sons sens qu’à partir de 3 points).
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Triangles, quadrilatères et cercles
Les angles
1) Aigu ou obtus ?
 Angle aigu < angle droit (90°) < angle obtus
 L’angle plat (180°) est la réunion de 2 angles droits.
 L’angle plein (360°) est la réunion de 2 angles plats, donc de 4 angles droits. C’est
un « tour ».
2) La bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est l’ensemble des points équidistants des côtés de l’angle. La
bissectrice est axe de symétrie de l’angle.
3) Angles adjacents
Deux angles adjacents sont de même sommet et ont un côté commun. On suppose en
général qu’ils sont extérieurs l’un à l’autre.
4) Angles complémentaires
Deux angles sont complémentaires si leur somme fait un angle droit (90°). Ces angles ne
sont pas nécessairement adjacents.
Dans un triangle rectangle, les deux angles (autres que l’angle droit) sont complémentaires.
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Triangles, quadrilatères et cercles
5) Angles supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires si leur somme fait un angle plat (180°).
6) Angles opposés par le sommet
Deux droites sécantes définissent deux couples d’angles opposés par le sommet.
Deux angles opposés par le sommet sont isométriques (ils ont même mesure).
7) Angles alternes-internes
La droite sécante aux deux droites parallèles définit des paires d’angles égaux, dits alternesinternes.
8) Angles correspondants
La droite sécante aux deux parallèles définit des paires d’angles égaux, dits correspondants.
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Triangles, quadrilatères et cercles
9) Somme des angles d’un triangle
La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
L’explication s’appuie sur les propriétés des angles alternes internes.
Cas particuliers : triangle rectangle, triangle équilatéral, triangle isocèle.
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Les types de triangles
1) Le triangle isocèle
Le triangle isocèle a deux côtés de même mesure. Il a deux angles de même mesure.
2) Le triangle équilatéral
Le triangle équilatéral a ses 3 côtés de même mesure. Ses 3 angles mesurent chacun 60°.
3) Le triangle rectangle
Le triangle rectangle est un demi-rectangle. Il a un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit
s’appelle l’hypoténuse (attention à l’orthographe).
4) Le triangle isocèle rectangle
Le triangle isocèle rectangle est un demi carré. Il a un angle droit, et les deux côtés de
l’angle droit sont isométriques.
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Triangles, quadrilatères et cercles
Les droites remarquables dans le triangle
1) Les médiatrices du triangle et le cercle circonscrit
Les médiatrices du triangle sont les médiatrices des côtés du triangle. Les 3 médiatrices d’un
triangle sont concourantes.
Construire deux médiatrices suffit pour
obtenir le point de concours.
Le point de concours des 3 médiatrices est
le centre du cercle circonscrit au triangle.
Ce cercle passe par les 3 sommets du
triangle.
2) Les médianes du triangle et le centre de gravité du triangle
La médiane [AA’] est le segment joignant le sommet A au milieu A’ du côté opposé [BC]. Les
3 médianes d’un triangle sont concourantes.
Le point de concours des 3 médianes est le centre de gravité du triangle (ou barycentre du
triangle). Ce point est situé sur chaque médiane aux 2/3 à partir du sommet.
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Triangles, quadrilatères et cercles
3) Les hauteurs du triangle et l’orthocentre
La hauteur [AK] est le segment d’extrémité A et perpendiculaire au côté opposé [BC].
Les 3 hauteurs
concourantes.
d’un
triangle
sont
Le point de concours des 3 hauteurs est
l’orthocentre du triangle.
L’orthocentre n’est pas le centre d’un cercle
particulier.
4) Les bissectrices intérieures du triangle et le cercle inscrit
Le point de concours des 3 bissectrices intérieures est le centre du cercle inscrit dans le
triangle.
Construire deux bissectrices suffit pour Le cercle inscrit dans le triangle est tangent
obtenir le point de concours.
aux 3 côtés du triangle.
Le centre du cercle inscrit dans le triangle
est situé à la même distance de chaque côté
du triangle.
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Triangles, quadrilatères et cercles
5) La symétrie du triangle isocèle
Cercles inscrit et circonscrit d’un triangle isocèle :
On retrouve la symétrie axiale ayant pour axe la médiatrice relative à la base du triangle
isocèle.
6) Les 3 symétries du triangle équilatéral
Cercles inscrit et circonscrit d’un triangle équilatéral :
La figure admet 3 symétries axiales ayant chacune pour axe une médiatrice du triangle. Les
deux cercles sont de même centre (les médiatrices sont également bissectrices).
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Triangles, quadrilatères et cercles
Les quadrilatères
1) Les trapèzes
Un trapèze est un quadrilatère non croisé ayant deux côtés parallèles.
 Les côtés parallèles sont les « bases » du trapèze.
 Parallélogrammes, losanges, rectangles et carrés sont des cas particuliers de
trapèzes.
Un trapèze est l’intersection d’un secteur angulaire et d’une bande à bords parallèles.
Un trapèze rectangle est un trapèze ayant deux angles droits.
Un trapèze isocèle est un trapèze ayant un axe de symétrie.
 Les côtés « obliques » sont donc isométriques.
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2) Le parallélogramme
Il existe plusieurs définitions possibles du parallélogramme. En voici quatre :
1. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux deux à
deux (définition).
2. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux
(définition).
3. Un parallélogramme est l’intersection de deux bandes à bords parallèles (définition).
4. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leurs
milieux (définition).
 Rectangles et carrés sont des cas particuliers de parallélogrammes.
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Triangles, quadrilatères et cercles
3) Le losange
Un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs égaux. Donc les 4 côtés
d’un losange sont égaux.
Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu (comme pour tout parallélogramme) et
elles sont perpendiculaires entre elles (sans être nécessairement égales entre elles).
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4) Le rectangle
Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit. Un rectangle a donc 4 angles
droits.
Le rectangle est inscrit dans un cercle ; les diagonales en sont les diamètres. Le centre de ce
cercle est aussi appelé centre du rectangle.
5) Le carré
Voici deux définitions possibles du carré :
1. Un carré est un rectangle ayant deux côtés consécutifs égaux (définition).
2. Un carré est un losange ayant un angle droit (définition).
Le carré cumule les propriétés :




du trapèze
du parallélogramme
du losange
et du rectangle.
Le carré est inscrit dans un cercle. Le centre de ce cercle est aussi appelé centre du carré.
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