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Terminale ES
Contrôle de mathématiques
Durée 2 heures, la calculatrice est autorisée.
Il y a deux exercices à traiter ; un sur chaque page.
Exercice 1
La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque.
Pour l’ouverture prévue le 1er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de
l’ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.
Partie A
Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et
d’acheter 6 000 ouvrages neufs.
On appelle un le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013+n). On
donne u0 = 42.
1. Justifier rigoureusement que, pour tout entier naturel n, on a un+1 = 0,95 un + 6.
2. On propose ci-dessous un algorithme en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet
algorithme.
Variables : U, N
Initialisation :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
Traitement :
Tant que U < 100
U prend la valeur U  0,95+6
N prend la valeur N + 1
Fin du Tant que
Sortie
Afficher N.
À l’aide de sa calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
Partie B
La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4 000 nouveaux
ouvrages par an au lieu des 6 000 prévus.
On appelle vn le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1er janvier de l’année (2013+n).
1. Identifier et écrire la ligne qu’il faut modifier dans l’algorithme pour prendre en compte ce
changement.
2. On admet que vn+1 = vn  0,95 + 4 avec v0 = 42.
On considère la suite (wn) définie, pour tout entier n, par wn = vn − 80.
(a) Exprimer wn+1 à l’aide de vn+1.
(b) Exprimer wn+1 à l’aide de vn.
(c) Exprimer vn à l’aide de wn.
(d) En déduire que wn+1 = 0,95wn.
3. Montrer que (wn) est une suite géométrique ; préciser sa raison son premier terme w0.
4. Montrer que, pour tout entier naturel n : vn = 80 − 38  (0,95)n .
5. Calculer les quatre premiers termes de la suite (vn). Quel semble être le sens de variation de cette
suite ?
6. À l’aide de la calculatrice, décrire le comportement sur une longue période des termes de la suite (vn).
Expliquer par une phrase l’interprétation pour la bibliothèque.
1
Partie C, fait suite à la partie B
1) La médiathèque ne peut contenir plus de 60 000 ouvrages.
Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l’algorithme 2 permet de déterminer l’année où le
nombre d’ouvrages disponibles au 1er janvier aura atteint la capacité maximale de la médiathèque.
Expliquer pourquoi les algorithmes 1 et 3 ne donneront pas le résultat attendu.
Algorithme 1
Algorithme 2
Algorithme 3
Variables :
U, N
Initialisation :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
Traitement :
Tant que U < 60
U prend la valeur U1,05+4
N prend la valeur N + 1
Fin du Tant que
Sortie
Variables :
U, N
Initialisation :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
Traitement :
Tant que U < 60
U prend la valeur U 0,95+4
N prend la valeur N + 1
Fin du Tant que
Sortie
Variables :
U, N
Initialisation :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
Traitement :
Tant que U < 60
U prend la valeur U0,95+ 4
Fin du Tant que
N prend la valeur N + 1
Sortie
Afficher N.
Afficher N.
Afficher N.
2) À l’aide de sa calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
Exercice 2
On considère la fonction f définie sur [- 4 ; 7] par f(x) = x3 – 3x² - 24x + 10.
1. Montrer que f ‘(x) = 3(x + 2)(x – 4).
2. Dresser le tableau de variations complet de f sur son domaine c’est-à-dire avec notamment les
images aux bornes du domaine.
3. Démontrer qu’il existe une unique valeur x1 dans [- 2 ; 4] tel que f(x1) = 0.
4. Donner un encadrement de x1 entre deux entiers consécutifs.
5. Les variations montrent que f s’annule une fois en x0 entre – 4 et – 2, puis encore une fois en x2
entre 6 et 7. À l’aide de la calculatrice donner une valeur approchée de x0 et de x2 à 0,1 près.
6. Dresser le tableau de signes de f sur [- 4 ; 7].
2
Correction
Exercice 1
Partie A
1. un désigne le nombre d’ouvrages au premier janvier 2013 + n. Après diminution de 5 %, le nombre de livres
est de (1 – 5/100) un = 0.95 un. IL y a l’ajout 6 (mille) livres ce qui donne le nombre de livres l’année suivante :
un+1 = 0.95 un + 6.
2. C’est un algorithme de calcul de valeur de seuil.
Ce programme affiche la plus petite valeur de N qui permet à la suite (u) de dépasser 100.
C’est le rang de la première année qui verra la bibliothèque d’avoir plus de 100 000 livres.
L’algorithme affiche N = 27.
Partie B
1. Il faut remplacer « « U prend la valeur U  0.95 + 6 » par « U prend la valeur U  0.95 U + 4 ».
2. Comme d’habitude :
(a) wn+1 = vn+1 – 80
(b) wn+1 = 0.95 vn + 4 – 80 = 0.95 vn  76
(c) vn = wn + 80
(d) wn+1 = 0.95 (wn + 80) – 76 = 0.95 wn ++76 – 76 = 0.95 wn ; c’est ce qui est demandé.
3. La relation précédente montre que (wn) est géométrique de premier terme w0 =v0  80 = - 38 et de raison
q = 0.95. On sait alors que wn = - 38  0.95n.
4. On déduit par 2. (c) : vn = 80  38  0.95n.
5. V le tableau de valeurs, la suite semble croissante.
n
0
1
2
3
4
v(n)
42
43,9
45,705
47,41975 49,0487625
6. À l’aide de l’éditeur de table, il semble que les termes de vn tendent vers 80 pour de grandes valeurs de n.
Ainsi, on peut penser le nombre de livres finisse par se rapprocher de 80 000 unités.
Partie C
1. Pour l’algorithme 1, l’expression « U prend la valeur 1.05 U + 4 correspond a une augmentation de 5 % et
non une diminution.
Pour le numéro 3, l’instruction « N prend la valeur N + 1 » est à l’extérieur de la boucle TANT QUE ; la valeur
renvoyée sera toujours de 0+1 = 1 !
2. La valeur renvoyée est 13.
3
Exercice 2
1. f ‘(x) = 3x² - 6x – 24 = 3(x²  2x – 8) et on vérifie que (x + 2)(x – 4) se développe en x² - 2x – 8.
2. Comme d’habitude :
x
−∞
4
−2
f‘
+∞
0
3.
0
38
+∞
f
−∞



−70
f(- 2) = 38 > 0, et f(4) = - 70 < 0 ; f change de signes sur [- 2 ; 4],
f est continue sur [- 2 ; 4] car elle y est dérivable,
f est strictement décroissante sur [- 2 ; 4].
Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, 0 admet un antécédent unique par f dans
[- 2 ; 4].
4. A l’aide de la calculatrice : x0 = 0.3993 … d’où x1  [0 ; 1.
5. x0 ≈ −3.8 et x2 ≈ 6.4.
6. A l’aide du tableau de variations :
x
Signe de f(x)
x0
-

x1
+
x2

+
+
4