n - ENS-phys

THÉORIE DES PERTURBATIONS
STATIONNAIRES
Chapitre X

THÉORIE DES PERTURBATIONS
STATIONNAIRES
Chapitre X
X.1 : Position du problème

POSITION DU PROBLÈME
Même en dimension finie, il est en général impossible de trouver de façon
analytique (voire numérique) les états propres exacts d’un système quantique.
Exemple du magnétisme quantique. Quel est l’état fondamental d’un ensemble
d’atomes de spin ½ occupant les nœuds d’un réseau tridimensionnel 10x10x10 ?
Espace de Hilbert de dimension 21000.
Impossible de stocker le hamiltonien ou un vecteur d’état dans la mémoire d’un
ordinateur !
,
ˆˆ
ˆ·Hamiltonien d'Heisenberg -: ij
ij
Hg
〈〉
=∑SS

DÉVELOPPEMENT PERTURBATIF
01
ˆˆ ˆ
HH H= +Hypothèse :
0
ˆ
On suppose que l'on connaît les états propres et les valeurs propres de H
On suppose que les vecteurs propres et les valeurs propres de H
peuvent être développés en série entière par rapport à
λ .
Η
1
=λ Âoù λ est un petit paramètre de sorte que le spectre de Hreste
proche de celui de H0.
Exemple pour l’atome d’hydrogène :
Atome d’hydrogène en champ magnétique/électrique faible (Effet
Zeeman/Stark).
Deux atomes loin de l’autre (interaction van der Waals).
Corrections au potentiel coulombien en 1/r (corrections relativistes, taille finie
du proton)…

()
0
()
0
ˆ
)
| () | :
ˆ()| () ()| ()
(Valeur propre assoc iées :
Etat propre de
kk
nn
kn nn
kk
nn
k
H
H
W
WW
ψλ λψ
λψλ λψλ
λλ
∞
=
∞
=
〉= 〉 
⇒ 〉= 〉
=
∑
∑
0
0
ˆˆ|
:| |
Valeur propre associée
base d'éta
:
ts propres de
n
n
n nn
EHE
H
ϕ
ϕϕ
〉=
〉⇒
〉
Identification terme à terme du développement :
(0) (0) (0)
0
ˆ||
n nn
HW ψψ 〉= 〉
( ) ( 1) ' ( )
0
0
ˆ
ˆ|| |
k
k k k kk
n n nn
k
HA W ψψ ψ
′
−−
′=
〉+ 〉= 〉
∑