n - ENS-phys

Chapitre X
THÉORIE DES PERTURBATIONS
STATIONNAIRES
Chapitre X
THÉORIE DES PERTURBATIONS
STATIONNAIRES
X.1 : Position du problème
POSITION DU PROBLÈME
Même en dimension finie, il est en général impossible de trouver de façon
analytique (voire numérique) les états propres exacts d’un système quantique.
Exemple du magnétisme quantique. Quel est l’état fondamental d’un ensemble
d’atomes de spin ½ occupant les nœuds d’un réseau tridimensionnel 10x10x10 ?
Hamiltonien d'Heisenberg : Hˆ = - g ∑ Sˆ i ·Sˆ j
⟨i, j⟩
Espace de Hilbert de dimension 21000.
Impossible de stocker le hamiltonien ou un vecteur d’état dans la mémoire d’un
ordinateur !
DÉVELOPPEMENT PERTURBATIF
ˆ Hˆ + Hˆ
Hypothèse : H
=
0
1
 On suppose que l'on connaît les états propres et les valeurs propres de Hˆ 0
 Η1=λ où λ est un petit paramètre de sorte que le spectre de H reste
proche de celui de H0.
 On suppose que les vecteurs propres et les valeurs propres de H
peuvent être développés en série entière par rapport à λ.
Exemple pour l’atome d’hydrogène :
 Atome d’hydrogène en champ magnétique/électrique faible (Effet
Zeeman/Stark).
Deux atomes loin de l’autre (interaction van der Waals).
Corrections au potentiel coulombien en 1/r (corrections relativistes, taille finie
du proton)…
| ϕ n ⟩ : base d'états propres de Hˆ 0 
 ⇒ Hˆ 0 | ϕ n ⟩ =En | ϕ n ⟩
Valeur propre associée : En




k =0
λ ) | ψ n (λ )⟩ Wn (λ ) | ψ n (λ )⟩
 ⇒ Hˆ (=
∞
Valeur propre associées : Wn (λ ) = ∑ λ kWn( k ) 

k =0
| ψ n (λ )⟩
=
∞
(k )
k
ˆ
|
λ
ψ
∑
n ⟩ : Etat propre de H
Identification terme à terme du développement :
(0)
(0)
(0)
|
|
Hˆ=
ψ
⟩
W
ψ
0
n
n
n ⟩
Hˆ 0 | ψ
(k )
n
⟩=
+ Aˆ | ψ
⟩
( k −1)
n
k
k'
( k −k ′)
|
W
ψ
∑ n n ⟩
k ′= 0
Chapitre X
THÉORIE DES PERTURBATIONS
STATIONNAIRES
X.2 : Cas d’un état non-dégénéré
DÉVELOPPEMENT À L’ORDRE 2 EN λ
Hypothèse : la valeur propre En est non-dégénérée.
 | ψ n ⟩= | ϕ n ⟩
(0)
(1)
 Wn
=
⟨ϕ n | Aˆ | ϕ n ⟩
⟨ϕ m | Aˆ | ϕ n ⟩
⟩ iθ | ϕ n ⟩ + ∑ |ϕ m ⟩
 | ψ=
Em − En
m =/ n
(1)
n
(2)
n
 W
| ⟨ϕ m | Aˆ | ϕ n ⟩ |2
=∑
En − Em
m =/ n
ˆ | ϕ ⟩ |2
|
ϕ
|
H
⟨
W=
En + ⟨ϕ n | Hˆ 1 | ϕ n ⟩ + ∑ m 1 n + ...
n
En − Em
m =/ n
La contribution à l’ordre 2 au décalage
de l’état fondamental est-elle:
68%
1. De signe quelconque
2. Toujours positive
3. Toujours négative
19%
1.
14%
2.
3.
EXEMPLE 1 : EFFET DE TAILLE FINIE DU
PROTON.
muon
mµ ≈ 207 me : le muon orbite plus près du proton.
Hydrogène :
rp = 0.8775(51) fm
Hydrogène muonique:
rp = 0,84087 ( 39 ) fm
LKB 2009.
Densité de charge du proton : ρ (r ).
3
d
∫ rρ (r) = −qe
Proton ponctuel : ρ (r ) = − qeδ (r )
ρ (r )
ε0
U (r ) = Potentiel électrostatique du proton. ∇ 2U =
−
U 0 (r ) = −
qe
4πε 0 r
: potentiel électrostatique d'un proton ponctuel.
2
2
ˆ
p
ˆ
p
Hˆ
=
+ qeU (rˆ ) =+ qeU 0 (r ) + qe (U (r ) − U 0 (r ))

2µ
2µ



Hˆ 1
Hˆ 0
Décalage en énergie du niveau nS (diagonalisation dans le sous-espace l=0):
δ EnS ≈ ⟨ nS | Hˆ 1 | nS ⟩ qe ∫ d 3 r | ψ nS (r ) |2 (U (r ) − U 0 (r ) )
=
qe2
≈
| ψ nS (0) | 2 ⟨ r 2 ⟩
6ε 0
⟨r 2 ⟩ =
3
2
r
r
d
ρ
(
)
r
∫
3
d
∫ rρ (r)
=−
1
3
2
d
r
ρ
(
r
)
r
qe ∫
EXEMPLE 2 : EFFET STARK DE L’ATOME
D’HYDROGÈNE
Atome d’hydrogène dans un champ électrique uniforme.
Potentiel électrostatique : V (r ) = −E ·r
2
2
ˆ
p
e
Hamiltonien : Hˆ =
− − qerˆ·E
2me r
λ =E
− qe zˆ =
− dˆz (Dipôle électrique)
Aˆ =
| ⟨ n, , m | qe zˆE |1S ⟩ | 2
E1S = −Ry + ⟨1S | − qe zˆE |1S ⟩ +
∑
E1S − En , ,m
( n , , m ) =/ (1,0,0)
L’élément de matrice <nlm|r|n’l’m’>
est nul lorsque
1. l et l’ ont même parité
2. l et l’ sont de parités opposées.
61%
39%
1.
2.
Règles de sélection :
E1S =
−Ry −
χ
2
E2
qe2 | ⟨ n,1,0 | zˆ |1S ⟩ |2
χ = 2∑
En ,1,0 − E1S
n≥ 2
Lien avec la polarisabilité électrique : ⟨ dˆz ⟩ =χ E
Effet Stark
J. Stark, Nobel 1919.
EFFET STARK DANS LES PUITS QUANTIQUES
SEMI-CONDUCTEURS.
CE QU’IL FAUT RETENIR
• L’effet d’une perturbation H1 sur un état non-dégénéré déplace son
énergie de
ˆ | ϕ ⟩ |2
|
|
ϕ
H
⟨
δ En = ⟨ϕn | Hˆ 1 | ϕn ⟩ + ∑ n 1 m + ...
En − Em
m =/ n
A VENIR
• Perturbations dégénérées.
• Addition de moments cinétiques quantiques
• Structure hyperfine des alcalins