Fiche 030 - Droites remarquables dans un triangle

Coll`ege Anna de Noailles - 19600 LARCHE Fiche n°030
DROITES REMARQUABLES
DANS UN TRIANGLE
5°
LES M´ EDIATRICES.
Propri´et´e :
Les trois m´ediatrices des cˆot´es d’un triangle sont concourantes en un
point Oqui est le centre du cercle circonscrit au triangle (cercle
passant par les trois sommets du triangle).
Pour obtenir le centre de ce cercle, il suffit donc de tracer deux
m´ediatrices : le centre cherch´e est leur point d’intersection.
O
A
B
C
LES HAUTEURS.
D´efinition :
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au cˆot´e oppos´e.
Un triangle poss`ede donc trois hauteurs, une pour chaque sommet.
A′
A
B C
Triangle ayant trois angles aigus :
les hauteurs traversent le triangle.
C′
B′
A
B C
Triangle ayant un angle obtus (angle A) :
les hauteurs issues de Bet de C
ne traversent pas le triangle.
Les points A′,B′et C′trac´es s’appellent «pieds »des hauteurs correspondantes.
Propri´et´e des hauteurs :
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un mˆeme point Happel´e orthocentre.
H
A
B C
Si le triangle n’a pas d’angle obtus,
l’orthocentre est plac´e `a l’int´erieur du triangle.
H
A
B C
Si le triangle poss`ede un angle obtus
(ici l’angle de sommet A),
l’orthocentre est plac´e `a l’ext´erieur du triangle.
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Coll`ege Anna de Noailles - 19600 LARCHE Fiche n°030
LES M´ EDIANES.
D´efinition :
Dans un triangle, une m´ediane est une droite qui passe par un sommet
et par le milieu du cˆot´e oppos´e.
A
B
C
B′
Propri´et´e des m´edianes.
A
B
C
A′
B′
C′
GLes trois m´edianes d’un triangle sont concourantes en
un point appel´e «centre de gravit´e »du triangle.
4°
LES BISSECTRICES.
Voir fiches 012 et M202.
Propri´et´e des bissectrices.
I
A B
C
A′
B′
C′
Les trois bissectrices int´erieures des angles d’un triangle
sont concourantes en un point Iqui est le centre du
cercle inscrit dans le triangle (cercle tangent aux trois
cˆot´es du triangle).
Pour tracer ce cercle, il suffit donc de tracer deux bis-
sectrices pour obtenir le centre Ipuis tracer un segment
joignant perpendiculairement le point `a l’un des cˆot´es
pour obtenir le rayon.
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