Chapitre 3 PRINCIPES DE BASE DE LA MECHANIQUE QUANTIQUE

Chapitre 3
PRINCIPES DE BASE DE LA
MECHANIQUE QUANTIQUE
Comme mentionné dans le premier chapitre, toutes les réactions chimiques consistent en des
modifications du nuage électronique qui entoure le noyau. Il est donc primordial de savoir décrire
les propriétés et le comportement des électrons dans un système chimique. La mécanique clas-
sique (Kepler, Galilée, Newton, ...) décrit avec succès le mouvement des corps macroscopique,
mais échoue pour décrire le comportement des électrons. Ces derniers peuvent par contre être
décrit de manière satisfaisante par la mécanique quantique. Nous allons donc présenter dans ce
chapitre les principes de base de la mécanique quantique.
La physique quantique est apparue dans les année 1920 avec des physiciens tel que Bohr, de
Broglie, Dirac, Heisenberg, Pauli, Planck et Schrödinger. Jusqu’à cette époque, il était possible
de décrire tout les phénomènes physiques connus soit comme des particules, soit comme des
ondes, avec les lois de la physique classique. La découverte de nouveaux phénomènes tels que
l’effet photoélectrique a conduit au développement d’une physique révolutionnaire qui trans-
forma notre vision du monde. Du fait que cette nouvelle physique est souvent contre intuitive,
elle n’a pas été acceptée immédiatement et a passionné de nombreux physiciens.
Le but principal de ce chapitre est d’introduire les concepts de base de la mécanique quantique
et dans quelle mesure celle-ci diffère de la mécanique classique. Ce chapitre nous donnera aussi
les bases pour aborder au chapitre suivant la structure électronique des atomes.
3.1 Notions mathématiques utiles
Comme première introduction, vous pouvez trouver à l’adresse suivante un court résumé de
notions mathématiques pouvant être utiles pour mieux comprendre ce chapitre.
http ://lcbcpc21.epfl.ch/Course/aimf/aimf_math.pdf
Ces notions ne font pas directement partie de l’examen, mais sont un bon moyen de rafraîchir
quelques notions connues. A l’exceptions des opérateurs, tout devrait soit avoir été vu au gym-
nase, soit être vu en première année de l’EPFL.
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2CHAPITRE 3. PRINCIPES DE BASE DE LA MECHANIQUE QUANTIQUE
3.2 Mécanique classique : particules et ondes
En physique classique, tous les phénomènes peuvent être décrits à l’aide soit de particules,
soit d’ondes.
3.2.1 Mouvement des particules
Le mouvement d’une particule de masse m, position r0et vitesse v0est complètement déter-
miné et est décrit à l’aides des lois de Newton à chaque instant tsi nous connaissons la force
totale fagissant sur la particule.
FIG. 3.1 – Mouvement d’une particule de masse m
position =~r(t) = ~r0+~v0t+1
2~at2(3.1)
vitesse =~v(t) = d~r(t)
dt =~v0+~at (3.2)
accélération =~a(t) = d~v
dt =d2~r dt2(3.3)
~
f=m~a Ecin =1
2mv2=p2 2m(3.4)
En mécanique classique, la position et la vitesse d’une particule sont tous
les deux exactement déterminés en tout temps. L’énergie d’une particule
est une fonction continue de la vitesse de cette particule.
3.2.2 Phénomènes ondulatoires
Tous les phénomènes de la mécanique classique ne sont pas décrits par des particules. Ils
peuvent aussi être décrits par des ondes. Une onde est une déformation qui se propage à travers
l’espace ou l’espace-temps suivant une fonction déterminée, en transférant souvent de l’énergie.
Par exemples, les vagues à la surface de l’eau illustrées sur la figure 3.2 sont un phénomène
ondulatoire.
Les ondes peuvent être d’une part mécaniques, comme l’exemple ci-dessus ou comme les
ondes sonores, qui ne sont rien d’autre que la variation périodique de la pression de l’aire, et

3.2. MÉCANIQUE CLASSIQUE : PARTICULES ET ONDES 3
FIG. 3.2 – Ondes à la surface de l’eau
d’autre part elles peuvent être des radiations électromagnétiques, illustrées sur la figure 3.3,
comme par exemple la lumière, qui peut se propager sans matière (dans le vide).
Comme représenté sur la figure 3.4, selon sa longueur d’onde, une onde électromagnétique
peut être un rayon γ, un rayon x, un rayon UV, infra-rouge, une micro-onde, une onde radio ou
même de la lumière visible.
Nous allons maintenant faire une brève description mathématique d’une onde. L’onde la plus
simple est une oscillation harmonique, obtenue par exemple lorsqu’une masse mest suspendue
sous un ressort à la position x0d’équilibre et sous l’influence de la gravité g.
−mg =kx0(3.5)
Si on tire sur la masse en allongeant le ressort, on obtient une force proportionnelle à l’élonga-
tion du ressort ∆x=x−x0.
f=−k∆x(3.6)
Lorsqu’on relâche la masse, le ressort oscille autour de sa longueur d’équilibre x0de façon
périodique. En reportant le déplacement ∆xen fonction du temps, on obtient la figure 3.5 :
FIG. 3.3 – Onde électromagnétique. Les champs électriques et magnétiques oscillent dans des
plans perpendiculaires l’un de l’autre et de la direction de la propagation. (image de wikipédia)

4CHAPITRE 3. PRINCIPES DE BASE DE LA MECHANIQUE QUANTIQUE
FIG. 3.4 – Spectre d’une onde électromagnétique. (image de wikipédia)
FIG. 3.5 – Oscillation harmonique d’une masse sous un ressort.

3.2. MÉCANIQUE CLASSIQUE : PARTICULES ET ONDES 5
Avec f=ma, on en déduit l’équation différentielle suivante :
−md2∆x(t)
dt2=−k∆x
qui a comme solution possible une simple fonction trigonométrique :
x(t) = Asin(ωt +δ)
En insérant cette dernière dans l’équation différentielle, on obtient :
−mAω2sin(ωt) = −kAsin(ωt)⇒ω=rk
m
où ωest la vitesse angulaire ou pulsation (l’évolution de l’angle, en radian, en fonction du
temps). Aest l’amplitude,δla phase et x(t)la fonction d’onde. Une autre caractéristique d’une
onde est la période T[s], qui correspond au temps qui sépare deux points équivalents, par
exemple deux maximums (voir sur la figure). La fréquence, en [Hertz](= [s−1]), notée ν, qui
correspond donc au nombre d’oscillations par seconde, est l’inverse de la période.
ν=1
T[Hz](3.7)
La longueur d’onde, notée λ, est la distance, en mètres, entre deux points équivalents. La
célérité, ou vitesse, de l’onde, notée c, est, comme son nom l’indique, la vitesse de propagation de
l’onde. On en déduit la relation 3.8.
c=λ
T=λν hm si(3.8)
Remarque
La célérité cne correspond à la vitesse de la lumière, aussi notée c, uniquement dans le cas d’une onde
électromagnétique. Dans ce cas, c∼
=3·108[m
s], soit environ un milliard de km/h. Par contre, pour une
onde sonore par exemple, c∼
=344 [m
s]dans l’aire, tandis que c∼
=927 [m
s]dans l’hélium (d’où une voix
aiguë après avoir respirer de l’hélium).
3.2.3 Interférences et diffractions
La théorie ondulatoire classique peut expliquer des phénomènes inexplicables avec la méca-
nique classique des particules, comme par exemple les phénomènes d’interférences et de diffrac-
tions d’ondes. On dit qu’il y a interférence lorsque deux ondes ou plus se superposent. Selon la
phase, l’interférence peut être constructive (les amplitude s’additionnent) ou destructive (les am-
plitudes se soustraient). La figure 3.6 illustre les interférences extrêmes de ces deux cas lorsque la
vitesse angulaire, l’amplitude et la longueur d’onde sont identique pour les deux ondes interfé-
rant. L’amplitude de l’onde qui résulte variera entre 0hors phase (ou déphasé) et 2Aen phase.