Séance : algèbre générale, arithmétique

Maths - MP 933 Chauffe pour l’oral
Séance : algèbre générale, arithmétique
Lundi 18 juin
1 Le cours
Rien de très nouveau en seconde année il me semble...
2 Les exercices
2.1 Récolte 2011
Exercice 1 Mines 2009
Nous sommes aujourd’hui le mardi 14 juillet 2009. Quel jour sera-t-on le 14 juillet 2010 ?
Exercice 2 Mines 2010
Nous sommes aujourd’hui le mercredi 14 juillet 2010. Quel jour sera-t-on le 14 juillet 2011 ?
Exercice 3 Mines 2011
Nous sommes aujourd’hui le jeudi 14 juillet 2011. Quel jour sera-t-on le 14 juillet 2012 ?
stephane@euler:~$ cal july 2013
July 2013
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Exercice 4 TPE
Trouver le ppcm des ordres des éléments de Sn.
Pfff... déjà, déterminer l’ordre d’une permutation dont on connaît la décomposition en produit de
cycles.
Exercice 5 TPE
Soit Gun sous-groupe fini de GLn(R)tel que X
g∈G
tr(g)=0. Montrer que X
g∈G
g= 0.
Indication : on pourra utiliser le fait que pour tout h∈G, l’application g7→ h◦gest une permutation
de G.
Exercice 6 TPE
On pose, pour n∈N,anet bnles deux entiers tels que (1 + √2)n=an+bn√2.
1. Montrer l’existence et l’unicité des anet bn.
2. Montrer que pour tout n>1,anet bnsont premiers entre eux.
3. Étudier la suite an
bnn∈N
Exercice 7 TPE
Déterminer les sous-groupes multiplicatifs de U(complexes de module 1)
NDLR : le mot «fini» n’aurait-il pas été oublié ?
1

Exercice 8 ? ? ?
Le théorème de Lagrange (l’ordre de tout sous-groupe divise l’ordre du groupe) est rappelé par l’examina-
teur.
Soit Gun groupe fini. On définit Zson centre (les éléments qui commutent avec tous les autres), C
est l’ensemble des couples (x, y)∈G2qui commutent, et en fin pour x∈G,Cxdésigne l’ensemble des
éléments de Gqui commutent avec x.
1. Montrer que Zet les Cxsont des sous-groupes de G.
2. On suppose que |G|
|Z|est premier. Montrer que Gest commutatif (on pourra considérer un élément
x∈G\Z). Conclusion ?
NDLR : façon très compliquée de prouver ce qu’on obtiendrait en regardant droit dans les yeux les
deux inclusions strictes Z(Cx(G...
3. En utilisant les Cx, montrer : |C|65
8|G|2.
4. Question probable suivante : exhiber un cas d’égalité.
5. Question improbable suivante : montrer que si Gest non commutatif et que |C|>1
2|G|2, alors |C|
est de la forme 1 + 1
2k|G|2, avec kun entier supérieur ou égal à 3!
Exercice 9 TPE
1. Résoudre x2011 + 2y2011 = 3 dans Z/7Z.
2. Résoudre x2011 + 2y2011 = 3x2dans Z/7Z.
Exercice 10 Centrale 2009
Quels sont les sous-groupes finis de (C∗,×)?
Exercice 11 Mines 2009
Soit Gun groupe fini tel que pour tout g∈G,g2=eG. Montrer qu’il existe n∈Ntel que Gest
isomorphe à Zn
2.
On prend le plus gros sous-groupe Hde Gqui soit de cette forme : si ce n’est pas G, on prend z6∈ H, et
alors H+zH ∼Zn+1
2...
Exercice 12 Mines 2010
Le cycle (1 2 3 ··· n)admet-il une racine carrée dans Sn?
Exercice 13 Agrégation 2010 :-)
Montrer que pour tout σ∈ Sn, il existe deux cycles ϕ1et ϕ2tels que σ=ϕ1◦ϕ2.
2.2 Recueil CCP
Exercices 18, 19, 20 de la partie algèbre.
3 Ordre d’apparition à l’écran
Nous traiterons a priori les exercices dans l’ordre suivant (entre crochets : le recueil CCP) :
3(...),[18],4,[20],12,6,9,10,7,[19]
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