Séance : algèbre générale, arithmétique

Maths - MP 933
Chauffe pour l’oral
Séance : algèbre générale, arithmétique
Lundi 18 juin
1
Le cours
Rien de très nouveau en seconde année il me semble...
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Les exercices
2.1
Récolte 2011
Exercice 1 Mines 2009
Nous sommes aujourd’hui le mardi 14 juillet 2009. Quel jour sera-t-on le 14 juillet 2010 ?
Exercice 2 Mines 2010
Nous sommes aujourd’hui le mercredi 14 juillet 2010. Quel jour sera-t-on le 14 juillet 2011 ?
Exercice 3 Mines 2011
Nous sommes aujourd’hui le jeudi 14 juillet 2011. Quel jour sera-t-on le 14 juillet 2012 ?
stephane@euler:~$
July 2013
Su Mo Tu We Th Fr
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7 8 9 10 11 12
14 15 16 17 18 19
21 22 23 24 25 26
28 29 30 31
cal july 2013
Sa
6
13
20
27
Exercice 4 TPE
Trouver le ppcm des ordres des éléments de Sn .
Pfff... déjà, déterminer l’ordre d’une permutation dont on connaît la décomposition en produit de
cycles.
Exercice 5 TPE
X
X
Soit G un sous-groupe fini de GLn (R) tel que
tr(g) = 0. Montrer que
g = 0.
g∈G
g∈G
Indication : on pourra utiliser le fait que pour tout h ∈ G, l’application g 7→ h ◦ g est une permutation
de G.
Exercice 6 TPE
√
√
On pose, pour n ∈ N, an et bn les deux entiers tels que (1 + 2)n = an + bn 2.
1. Montrer l’existence et l’unicité des an et bn .
2. Montrer que pour tout n > 1, an et bn sont premiers entre eux.
an
3. Étudier la suite
bn n∈N
Exercice 7 TPE
Déterminer les sous-groupes multiplicatifs de U (complexes de module 1)
NDLR : le mot «fini» n’aurait-il pas été oublié ?
1
Exercice 8 ? ? ?
Le théorème de Lagrange (l’ordre de tout sous-groupe divise l’ordre du groupe) est rappelé par l’examinateur.
Soit G un groupe fini. On définit Z son centre (les éléments qui commutent avec tous les autres), C
est l’ensemble des couples (x, y) ∈ G2 qui commutent, et en fin pour x ∈ G, Cx désigne l’ensemble des
éléments de G qui commutent avec x.
1. Montrer que Z et les Cx sont des sous-groupes de G.
|G|
est premier. Montrer que G est commutatif (on pourra considérer un élément
2. On suppose que
|Z|
x ∈ G \ Z). Conclusion ?
NDLR : façon très compliquée de prouver ce qu’on obtiendrait en regardant droit dans les yeux les
deux inclusions strictes Z ( Cx ( G...
5
2
3. En utilisant les Cx , montrer : |C| 6 |G| .
8
4. Question probable suivante : exhiber un cas d’égalité.
1
2
5. Question improbable suivante : montrer que si G est non commutatif et que |C| > |G| , alors |C|
2
1
2
est de la forme 1 + k |G| , avec k un entier supérieur ou égal à 3 !
2
Exercice 9 TPE
1. Résoudre x2011 + 2y 2011 = 3 dans Z/7Z.
2. Résoudre x2011 + 2y 2011 = 3x2 dans Z/7Z.
Exercice 10 Centrale 2009
Quels sont les sous-groupes finis de (C∗ , ×) ?
Exercice 11 Mines 2009
Soit G un groupe fini tel que pour tout g ∈ G, g 2 = eG . Montrer qu’il existe n ∈ N tel que G est
isomorphe à Zn2 .
On prend le plus gros sous-groupe H de G qui soit de cette forme : si ce n’est pas G, on prend z 6∈ H, et
alors H + zH ∼ Zn+1
...
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Exercice 12 Mines 2010
Le cycle (1 2 3 · · · n) admet-il une racine carrée dans Sn ?
Exercice 13 Agrégation 2010 :-)
Montrer que pour tout σ ∈ Sn , il existe deux cycles ϕ1 et ϕ2 tels que σ = ϕ1 ◦ ϕ2 .
2.2
Recueil CCP
Exercices 18, 19, 20 de la partie algèbre.
3
Ordre d’apparition à l’écran
Nous traiterons a priori les exercices dans l’ordre suivant (entre crochets : le recueil CCP) :
3(...), [18], 4, [20], 12, 6, 9, 10, 7, [19]
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