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Université des Sciences et Technologies de Lille 8 septembre 2009
Licence Sciences et Technologies. Unité : Forces-Champs-Énergie
(Durée : 2h. Tous documents, calculatrice et téléphone non autorisés)
EXERCICE I : MOUVEMENT EN SPIRALE
Un point M décrit une courbe plane (voir la figure 1 attachée à la fin du sujet) dont les équations
sont données en coordonnées polaires (ρ, θ) sous forme paramétrique en fonction de t :
ω=θ =ρ
−
t
be
kt
,
où b ω et k sont des constantes positives.
1/ Écrire le vecteur OM dans la base polaire )u ,u(
θρ
.
2/ Obtenir θ
ρ
ud et θ
θ
ud en fonction des vecteurs unitaires de la base polaire.
3/ Déterminer le vecteur vitesse v du point M dans la base polaire )u ,u(
θρ
. Calculer sa norme.
4/ Déterminer le vecteur accélération a du point M dans la base )u ,u(
θρ
. Calculer sa norme.
On travaille ensuite dans la base de Serret-Frenet )u ,u(
nt
associée aux coordonnées intrinsèques.
Le vecteur accélération du point M peut s’écrire
n
n
t
t
uauaa += .
5/ En utilisant les résultats précédents, calculer la composante
t
a du vecteur accélération.
6/ Exprimer
a en fonction de aa = et de
t
a . En déduire l’expression de la composante
a du
vecteur accélération.
7/ Calculer le rayon de courbure Rc de la trajectoire.
8/ Compléter la figure 1, à rendre avec votre copie, avec les éléments suivants : OM, )u ,u(
θρ
,
)u ,u(
nt
, v,
t
a ,
a, et a .
EXERCICE II : DÉRAPAGE CONTRÔLÉ ?
Une voiture automobile de masse M roulant sur un circuit à la vitesse constante v, aborde différents
virages de rayon de courbure moyen Rc et d’axe vertical ∆.
I - Quelle est la nature du mouvement de la voiture dans ces virages ? En déduire la direction, le
sens et la norme de l’accélération a que subit la voiture dans ces virages.
II - Un premier virage comporte une piste horizontale et
sèche. Il existe alors une force de frottement statique
f
F entre la piste et les pneus de la voiture qui
empêche celle-ci de déraper latéralement :
f
F est
contenue dans le plan de la piste et est située dans le
plan
z
u ,u
ρ
du repère cylindrique
z
u ,u ,u
θρ
attaché au centre de gravité de la voiture ; le
coefficient de frottement statique est
µs
.
a - Définir le référentiel galiléen, faire le bilan des
forces qui s’exercent sur la voiture, les représenter
sur un schéma et écrire l’équation vectorielle qui
exprime le principe fondamental de la dynamique.
R
ρ
u
z
u
θ
u