Equations de Dirac dans un espace

Equations de Dirac dans un espace-temps
courbe : M´ ecanique quantique
Mayeul Arminjon
CNRS (Sect. 2)
Labo. “Sols, Solides, Structures – Risques”, Grenoble
CITV, Aix-en-Provence, 31 aoˆ ut - 4 septembre 2009

Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : M ´ ecanique quantique 2
Position du probl` eme
IDans le travail pr ´ ec ´ edent, on a obtenu deux ´ equations de
Dirac alternatives dans un espace-temps courbe, en
appliquant directement la correspondance
classique-quantique. On a donc trois ´ eqs de Dirac.
IIl faut donc ´ etudier la m ´ ecanique quantique associ ´ ee ` a
chacune de ces trois ´ eqs :
•d´ efinition du courant de probabilit ´ e & sa conservation,
•d´ efinition du produit scalaire pertinent,
•l’op ´ erateur hamiltonien & son hermiticit ´ e(ou pas).
IBeaucoup peut ˆ etre fait simultan ´ ement pour les trois
versions, car elles ont la mˆ eme forme. Les conclusions
qualitatives pour les trois versions sont assez similaires, avec
des diff ´ erences non-n ´ egligeables.

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3´ equations de Dirac ds un espace-temps courbe
Les 3 ´ equations de Dirac gravitationnelles ont la mˆ eme forme :
γµDµψ=−imψ,(1)
o` uγµ=γµ(X)(µ= 0, ..., 3) = chp de matrices complexes 4×4
d´ efinies sur l’E-T (V, gµν ), t.q.
γµγν+γνγµ= 2gµν 14, µ, ν ∈ {0, ..., 3}(14≡diag(1,1,1,1));
(2)
et o` uψest un chp de bispineurs pour l’ ´ eq usuelle
(Dirac-Fock-Weyl ou DFW) mais est un chp de 4-vecteurs pour
les deux ´ eqs alternatives, fond ´ ees sur la repr ´ esentation
tensorielle des chps de Dirac (TRD);
et Dµest une d ´ eriv ´ ee covariante, associ ´ ee ` a une connexion
sp ´ ecifique. Pour DFW : “connexnde spin”, d ´ epend du chp (γµ).

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Outil commun : les matrices hermitisantes
Pour DFW, on d ´ efinit γµ=aµ
αγ]α, o`
uuα=aµ
α∂µest une
t´ etrade orthonorm ´ ee. Il faut ´ etudier l’influence du choix de
matrices de Dirac “plates” (γ]α)et de la t ´ etrade (uα). On
devrait pouvoir utiliser tout choix possible de (γ]α).
Pour TRD, le 4-uplet (γµ)forme un tenseur, donc n’est pas fix ´ e.
Vrai mˆ eme pour (γ]α)si on d ´ efinit encore γµ=aµ
αγ]α.
Solution : utiliser la matrice hermitisante = une matrice 4×4A
t.q.
A†=A, (Aγµ)†=Aγµµ= 0, ..., 3,(3)
o` uM†≡M∗T= conjugu ´ e hermitien de la matrice M. Pour les
choix usuels (γ]α)(Dirac, “chiral”, Majorana), A=γ]0.
Nous avons prouv ´ e l’existence de Aet de B(pour matrices αµ).

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D´ efinition du courant de probabilit´ e
Dans l’E-T plat, le courant est d ´ efini sans ambigu¨ ıt ´ e comme
Jµ=ψ†Aγµψ.(4)
La d ´ efinition (4) est g ´ en ´ eralement-covariante : Jµest un
4-vecteur, pour DFW et pour TRD. Elle reste donc vraie pour un
E-T courbe (V, gµν ). (Mais γµ,Ad´ ependent de X∈V.)
Le courant (4) est ind ´ ependant du choix des matrices de Dirac :
si on passe d’un chp (γµ)` a un autre (˜γµ), le nouveau se d ´ eduit
du premier par une transformation de similarit ´ e locale
(=d ´ ependant de X∈V):
∃S=S(X)∈GL(4,C) : ˜γµ(X) = S−1γµ(X)S, µ = 0, ..., 3,
(5)
Avec ˜ ψ=S−1ψet ˜ A=S†AS , on obtient bien ˜ Jµ=Jµ.