Equations de Dirac dans un espace

Equations de Dirac dans un espace-temps
courbe : Mécanique quantique
Mayeul Arminjon
CNRS (Sect. 2)
Labo. “Sols, Solides, Structures – Risques”, Grenoble
CITV, Aix-en-Provence, 31 août - 4 septembre 2009
Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Position du problème
I
I
Dans le travail précédent, on a obtenu deux équations de
Dirac alternatives dans un espace-temps courbe, en
appliquant directement la correspondance
classique-quantique. On a donc trois éqs de Dirac.
Il faut donc étudier la mécanique quantique associée à
chacune de ces trois éqs :
• définition du courant de probabilité & sa conservation,
• définition du produit scalaire pertinent,
• l’opérateur hamiltonien & son hermiticité (ou pas).
I
Beaucoup peut être fait simultanément pour les trois
versions, car elles ont la même forme. Les conclusions
qualitatives pour les trois versions sont assez similaires, avec
des différences non-négligeables.
2
Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
3 équations de Dirac ds un espace-temps courbe
Les 3 équations de Dirac gravitationnelles ont la même forme :
γ µ Dµ ψ = −imψ,
(1)
où γ µ = γ µ (X) (µ = 0, ..., 3) = chp de matrices complexes 4 × 4
définies sur l’E-T (V, gµν ), t.q.
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν 14 ,
µ, ν ∈ {0, ..., 3}
(14 ≡ diag(1, 1, 1, 1));
(2)
et où ψ est un chp de bispineurs pour l’éq usuelle
(Dirac-Fock-Weyl ou DFW) mais est un chp de 4-vecteurs pour
les deux éqs alternatives, fondées sur la représentation
tensorielle des chps de Dirac (TRD);
et Dµ est une dérivée covariante, associée à une connexion
spécifique. Pour DFW : “connexn de spin”, dépend du chp (γ µ ).
3
Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Outil commun : les matrices hermitisantes
Pour DFW, on définit γ µ = aµα γ ]α , où uα = aµα ∂µ est une
tétrade orthonormée. Il faut étudier l’influence du choix de
matrices de Dirac “plates” (γ ]α ) et de la tétrade (uα ). On
devrait pouvoir utiliser tout choix possible de (γ ]α ).
Pour TRD, le 4-uplet (γ µ ) forme un tenseur, donc n’est pas fixé.
Vrai même pour (γ ]α ) si on définit encore γ µ = aµα γ ]α .
Solution : utiliser la matrice hermitisante = une matrice 4 × 4 A
t.q.
A† = A,
(Aγ µ )† = Aγ µ µ = 0, ..., 3,
(3)
où M † ≡ M ∗ T = conjugué hermitien de la matrice M . Pour les
choix usuels (γ ]α ) (Dirac, “chiral”, Majorana), A = γ ]0 .
Nous avons prouvé l’existence de A et de B (pour matrices αµ ).
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Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Définition du courant de probabilité
Dans l’E-T plat, le courant est défini sans ambiguı̈té comme
J µ = ψ † Aγ µ ψ.
(4)
La définition (4) est généralement-covariante : J µ est un
4-vecteur, pour DFW et pour TRD. Elle reste donc vraie pour un
E-T courbe (V, gµν ). (Mais γ µ , A dépendent de X ∈ V.)
Le courant (4) est indépendant du choix des matrices de Dirac :
si on passe d’un chp (γ µ ) à un autre (γ̃ µ ), le nouveau se déduit
du premier par une transformation de similarité locale
(=dépendant de X ∈ V):
∃S = S(X) ∈ GL(4, C) :
γ̃ µ (X) = S −1 γ µ (X)S,
µ = 0, ..., 3,
(5)
Avec ψ̃ = S −1 ψ et à = S † AS , on obtient bien J˜µ = J µ .
5
Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Condition de conservation du courant
Theorème 1. Considérons l’éq de Dirac générale (1) ds un E-T
courbe – donc, soit DFW, soit une des deux équations TRD. Pour
que toute solution ψde (1) vérifie la conservation du courant
Dµ J µ = 0,
(6)
Dµ (Aγ µ ) = 0.
(7)
il faut et il suffit que
Corollaire 1. Pour DFW, on peut prendre comme chp de
matrice hermitisante A(X), la matrice constante A] , i.e., une
matrice hermitisante pour les matrices “plates” γ ]α . Alors la
conservation du courant est vraie pour toute solution de
l’équation DFW.
(M.A.– F. Reifler, arXiv:0807.0570, gr-qc)
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Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Champs de coefficients admissibles
Selon le Theorème 1, les chps de coeffs possibles (γ µ , A) de l’éq
de Dirac ne sont pas tous physiquement admissibles, mais
seulement ceux qui, en + de la relation d’anticommutation (2),
vérifient l’éq de chp (7), assurant la conservation du courant.
Appelons “admissibles” de tels systèmes (γ µ , A) de champs.
Exemple : ds l’ E-T plat, on peut considérer les chps γ µ qui sont
constants en coordonnées cartésiennes (et donc aussi le chp
A). Ils vérifient la condn (7) pour la conservatn du courant.
Si l’on choisit le chp γ µ “au hasard”, les solutions de l’éq de
Dirac (1) ne vérifient généralement pas la condition (7) ni la
conservation du courant, même ds l’E-T plat – sauf pour DFW.
7
Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
L’opérateur hamiltonien dépend du référentiel
L’éq de Dirac (1) se met sous la forme “Schrödinger” :
∂ψ
i
= Hψ,
∂t
(t ≡ x0 ),
H ≡ mα0 − iαj Dj − i(D0 − ∂0 ),
(8)
(9)
où
α0 ≡ γ 0 /g 00 ,
αj ≡ γ 0 γ j /g 00 .
(10)
Pour que les hamiltoniens H and H0 , avant et après un
changemt de carte, soient équivalents comme opérateurs, le
changemt de carte doit être spatial : x00 = x0 , x0j = f j ((xk )).
Alors, les 2 membres de l’éq de Schrödinger (8) sont “scalaires”
pour DFW, et “vectoriels” pour TRD : H dépend du référentiel
(congruence 3D de lignes d’univers) considéré. Fait général.
8
Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Condition d’hermiticité du hamiltonien
Théorème 5. Une condition nécessaire pour que le produit
scalaire de deux fonctions d’onde indépendantes de t soit
indépendant de t et que de plus le hamiltonien H soit un
opérateur hermitien, est que le produit scalaire ait la forme
Z
√
†
0
(ψ | ϕ) ≡
(11)
ψ Aγ ϕ −g d3 x.
Théorème 6. Soit un chp de coeffs (γ µ , A) vérifiant les deux
conditions d’admissibilité (2) and (7). Pour que le hamiltonian
de Dirac (9) soit hermitien pour le produit scalaire (11), il faut et il
suffit que
`√
´
0
∂0
−g Aγ = 0.
(12)
Pb : Conditn pas stable par les transfos de similarité locales !!
9
Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Instabilité de l’hermiticité : cas de DFW
For DFW, all local similarity transformations are admissible, since
condition (7) is always satisfied [with the choice A(X) ≡ A] : see
Corollary 1]. Moreover, in very general coordinates,pthe tetrad
(aµα ) may be chosen to satisfy a0j = 0. Then a00 = g 00 from
the orthonormality of the tetrad. Take for “flat” matrices γ ] α
standard Dirac matrices, for which A = γ ]0 . Thus
p
0
]0 0 ]0
B ≡ A γ = γ (a 0 γ ) = g 00 14 .
(13)
The hermiticity condition (12) then reduces to Leclerc’s (2006) :
p
∂0 ( −g g 00 ) = 0.
(14)
But, after a local similarity S, the condition (12) becomes
p
∂0 ( −g g 00 S † S) = 0,
(15)
which cannot be satisfied if (14) is, and if moreover S † S = F (t).
10
Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Condition d’invariance du hamiltonien par une
similarité locale (DFW)
On cherche quand une similarité locale S(X), appliquée au
champ des matrices de Dirac γ µ , laisse H [éq (9)] invariant :
H̃ = S −1 H S.
(16)
C’est un calcul sans malice. Pour DFW, les matrices de la
connexion, Γµ ≡ Dµ − ∂µ , changent :
Γ̃µ = S −1 Γµ S + S −1 (∂µ S).
(17)
On trouve simplement que la CNS pour avoir (16) est que S(X)
ne dépende pas du temps, ∂0 S = 0. Dans le cas général
gµν,0 6= 0, tous les chps possibles γ µ dépendent de t : pas
moyen de trouver une classe de chps γ µ s’échangeant avec
∂0 S = 0. I.e.: le hamiltonien de Dirac n’est pas unique.
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Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Condition d’invariance de l’opérateur Energie
(DFW)
Lorsque le hamiltonien H n’est pas hermitien, on doit utiliser
l’opérateur Energie. Coı̈ncide avec la partie hermitienne de H :
”
`√
´
i
1“
−1
‡
E=H+ √
B ∂0
−g B =
H + H , B ≡ Aγ 0 . (18)
2 −g
2
Un calcul sans plus de malice donne la condition d’invariance
de E (pour DFW) :
B(∂0 S)S
−1
ˆ
˜
ˆ
˜
−1 †
−1 a
− B(∂0 S)S
≡ 2 B(∂0 S)S
= 0.
(19)
Les similarités locales S(X) vérifiant (19) sont très particulières. Il
y a donc un problème d’unicité sérieux pour DFW (et aussi pour
les éqs alternatives, TRD). Le spectre de E serait-il lui-même
non-unique? Ce serait trop grave, non? Et pourtant...
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Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Expression explicite de l’opérateur Energie (DFW)
Expression générale du changement de E par similarité locale :
δE ≡ S ẼS
−1
− E = −iB
−1
ˆ
˜
−1 a
B(∂0 S)S
.
(20)
Prenons encore une tétrade t.q. a0j = 0, d’où (13) et donc
ˆ
˜
−1 a
δE = −i (∂0 S)S
.
(21)
(∂0 S)S −1 = élément générique de G, alg. de Lie de Spin(1, 3) –
dont les sαβ ≡ [γ ]α , γ ]β ] (α < β) forment une base. Ainsi
3
h
ia
X
δE = −i ωαβ sαβ = −i
ωjk sjk
(22)
j,k=1
et, en fn de la Lorentz locale L(X) qui définit S(X) = S(L(X)),
les 6 coeffs ωαβ = −ωβα dépendent arbitrairement de X ∈ V.
13
Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Cas où les matrices de Dirac sont les “chirales”
Si les matrices de Dirac γ ]α sont les “chirales”, on a
0
1
3
X
N
0
1~
jk
@
A
δE = −i
ωjk s =
σ
,
N ≡ − θ.~
2
0 N
j,k=1
(23)
où θ~ ≡ (θk ) avec θ1 ≡ ω23 (circulaire), et où ~
σ ≡ (σk ) avec σk =
matrices de Pauli. En fn des 3 réels ωjk , 1 ≤ j < k ≤ 3, la
matrice N parcourt toutes les matrices hermitiennes 2 × 2 de
trace nulle. Une telle matrice a 2 valeurs propres µ ∈ R et −µ,
et une base orthogonale de vecteurs propres, resp. u ∈ C2 pour
µ et v pour −µ.
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Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Non-unicité du spectre (DFW)
Une petite perturbation : S(ε, X) = I + ε (δS)(X) + O(ε2 )
modifie chaque valeur propre de E : δλ = (ψ | δE(ε)ψ) + O(ε2 )
avec ψ la fonction propre pour l’état non perturbé. Avec (23)
et en décomposant : ψ = (φ, χ), on trouve :
Z
Z
p
(24)
δλ =
ψ † δE ψ −g g 00 d3 x = (φ† N φ + χ† N χ) dV.
Soit µ > 0. ∀x ds la variété espace M, soit N = N (x) t.q. φ(x) soit
vecteur propre de N (x) pour la valeur propre µ, d’où
φ† N φ = µ φ† φ,
χ† N χ ≥ −µ χ† χ,
(25)
et ≥ devient = seult si χ(x)⊥φ(x). Ainsi δλ > 0 sauf si i)
R †
R †
χ(x)⊥φ(x) p.p. et ii) φ φ dV = χ χ dV. Rare ! i) ⇒ J µ genre
lumière p.p., impossible si m > 0 . cqfd.
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Equations de Dirac dans un espace-temps courbe : Mécanique quantique
Conclusion
I
I
I
I
I
Les 3 éqs de Dirac gravitationnelles étudiées ensemble,
grâce à la matrice hermitisante A.
La conservation du courant exige l’équation matricielle
Dµ (Aγ µ ) = 0. Ainsi, les chps a priori possibles de matrices
de Dirac ne sont pas tous admissibles (sauf pour DFW).
`√
´
0
La condition d’hermiticité est ∂0
−g Aγ = 0. Elle n’est
pas stable par les transformations de similarité admissibles.
L’ opérateur hamiltonien H n’est pas unique : il dépend du
choix admissible du chp de matrices de Dirac. Idem pour
l’opérateur Energie E. Vrai pour DFW et pour TRD.
Le spectre de E lui-même n’est pas unique. Tous ces
résultats sont déjà vrais ds E-T plat en référentiel non inertiel.
16