DM4 Conduction thermique

DM4 Conduction thermique-EM TSI2
Exercice 1 : Conduction thermique dans une barre calorifugée
On se propose de déterminer l’évolution spatio-temporelle de la température (,) dans une barre
cylindrique homogène, de longueur , de section , de capacité thermique massique  et de masse
volumique . Cette tige possède des parois calorifugées l’isolant ainsi de l’extérieur. La conduction
thermique est donc interne et supposée être suivant l’axe  de la tige car √ ≪ .
On suppose que le profil initial des températures (,0) est linéaire.
A) Résolution analytique
1) Effectuer un bilan enthalpique local décrivant le refroidissement isobare de cette tige et
écrire l’équation de la chaleur sous la forme donnée ci-dessous. On explicitera .
−1  = 0
2) Montrer, par un bilan enthalpique sur la tige complète, que la température à l’équilibre est
donnée par =
∫(,0)
.
3) En déduire que =
Dans la suite, on note (,)= (,)−. On va chercher des solutions du type ()= ()×().
4) Montrer alors que 
=  = − avec  > 0 constante.
5) Montrer que (,) peut s’écrire sous la forme (,)= ()+()
. On
précisera alors les expressions de  et  ( et  sont des constantes que l’on ne cherchera
pas à exprimer pour cette question)
6) Ecrire les conditions aux limites traduisant l’absence de flux thermique en  = 0 et  = 
7) En déduire alors que  est quantifié et vérifie  = 
 avec ℕ∗.
8) En déduire que (,)= 
cos () décrit une solution particulière. On donnera
l’expression de  et  en fonction de  et 
La linéarité de l’équation de la chaleur permet d’affirmer que la solution générale (,) sera
obtenue par combinaison linéaire de solutions particulaires obtenues précédemment :
(,)
(,0)

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(,)= 
cos ()
A l’aide des travaux de Fourier et des conditions initiales imposées, on peut exprimer le coefficient
 associé à chaque solution particulière :
(,)=2(−)
(1−(−1))
cos()
9) On donne  = 100..,  = 500..et  = 10., = 20. En utilisant
l’expression de la solution générale, estimer le temps caractéristique pour lequel la
température devient uniforme.
On donne le programme Python permettant la représentation graphique de (,).
10) Interpréter l’intérêt des lignes 31 et 32
11) Donner le nombre de solutions particulières effectivement considérées.

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On donne ci-dessous le graphe obtenu.
12) Commenter le profil initial et final des températures que ce graphe propose.
B) Résolution numérique approchée
On rappelle l’équation de la chaleur vérifiée par (,):
−1  = 0
1) Par une analyse dimensionnelle, donner l’expression du temps caractéristique  en fonction
de  et de la constante de diffusion 
Il est ensuite courant « d’adimensionner » l’équation de la chaleur précédente en effectuant les
changements de variables suivants :
- =
- =
2) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par (,).
On peut résoudre numériquement le problème de la barre calorifugée par la méthode d’Euler. On
possède alors à une double discrétisation :
- On divise la tige de longueur  en  intervalles équidistants de .
- On échantillonne également temporellement pendant une durée  toutes les 
secondes et un nombre  fois.
La situation revient donc à traiter un tableau à 2 dimensions auquel on affecte à chaque cellule une
fonction (,) donnant la température associée (où 0 ≤  ≤ −1 est l’indice affecté à la

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portion de tige étudiée et 0 ≤  ≤ −1 est l’indice affecté à l’instant d’étude). Dans cette
description, on a alors :
(,)
′ ≡(, +1)−(,)
3) Exprimer ( + 1,) en fonction de (,), (, +1), ( −1,), et 
4) Traduire les conditions aux limites du système en utilisant (,0),(,1) et
(,(−1)), (,(− 2) )
5) Que traduisent les lignes de codes 41 et 42 ?
6) On donne ci-dessous le résultat de la simulation. Critiquer le résultat obtenu.

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Exercice 2 : Utilisation du modèle du fil infini
A) Théorie
Soit un cylindre infini, conducteur, de rayon  et chargé uniformément en surface avec une densité
. On donne au milieu une permittivité diélectrique .
1) En utilisant le théorème de Gauss, exprimer le champ électrique 
⃗
() en tout point  de
distance radiale  en repérage cylindrique. On présentera un raisonnement appuyé d’un
schéma.
2) Exprimer le potentiel électrostatique () associé en tout point  à une constante 
près.
3) En déduire, pour  > , que ()= −ln + 
B) Electro-érosion
L’électro-érosion est un procédé d’usinage qui consiste à enlever de la matière dans une pièce en
utilisant des décharges électriques. La méthode consiste à faire pénétrer un fil conducteur dans
une pièce métallique massive tout en imposant une différence de potentiel entre eux, l’ensemble
étant plongé dans un liquide isolant (souvent de l’huile). Lorsque le fil est suffisamment proche de
la surface de la pièce, un arc électrique apparaît entre les deux et la pièce est creusée au niveau
du point d’impact de l’arc.
(,)