DM4 Conduction thermique

DM4
Conduction thermique-EM
TSI2
Exercice 1 : Conduction thermique dans une barre calorifugée
On se propose de déterminer l’évolution spatio-temporelle de la température ( , ) dans une barre
cylindrique homogène, de longueur , de section , de capacité thermique massique
et de masse
volumique . Cette tige possède des parois calorifugées l’isolant ainsi de l’extérieur. La conduction
thermique est donc interne et supposée être suivant l’axe
de la tige car √ ≪ .
( , )
On suppose que le profil initial des températures ( , 0) est linéaire.
( , 0)
A) Résolution analytique
1) Effectuer un bilan enthalpique local décrivant le refroidissement isobare de cette tige et
écrire l’équation de la chaleur sous la forme donnée ci-dessous. On explicitera
1
−
=0
.
2) Montrer, par un bilan enthalpique sur la tige complète, que la température à l’équilibre est
donnée par
= ∫
3) En déduire que
( , 0)
.
=
Dans la suite, on note ( , ) = ( , ) −
4) Montrer alors que
5) Montrer que
=
. On va chercher des solutions du type
=−
avec
> 0 constante.
( , ) peut s’écrire sous la forme
précisera alors les expressions de
et
( ) = ( )× ( ).
( et
( , )=
(
)+
(
)
. On
sont des constantes que l’on ne cherchera
pas à exprimer pour cette question)
6) Ecrire les conditions aux limites traduisant l’absence de flux thermique en
7) En déduire alors que
8) En déduire que
l’expression de
est quantifié et vérifie
( , )=
et
cos(
en fonction de
=
avec
= 0 et
=
∗
ℕ.
) décrit une solution particulière. On donnera
et
La linéarité de l’équation de la chaleur permet d’affirmer que la solution générale
obtenue par combinaison linéaire de solutions particulaires obtenues précédemment :
( , ) sera
DM4
Conduction thermique-EM
( , )=
cos(
TSI2
)
A l’aide des travaux de Fourier et des conditions initiales imposées, on peut exprimer le coefficient
associé à chaque solution particulière :
( , )=
9) On donne
= 100
.
.
2(
−
,
)
(1 − (−1) )
= 500 .
.
et
)
cos(
= 10
.
,
= 20
. En utilisant
l’expression de la solution générale, estimer le temps caractéristique pour lequel la
température devient uniforme.
On donne le programme Python permettant la représentation graphique de
( , ).
10) Interpréter l’intérêt des lignes 31 et 32
11) Donner le nombre de solutions particulières effectivement considérées.
DM4
Conduction thermique-EM
TSI2
On donne ci-dessous le graphe obtenu.
12) Commenter le profil initial et final des températures que ce graphe propose.
B) Résolution numérique approchée
On rappelle l’équation de la chaleur vérifiée par ( , ):
−
1
=0
1) Par une analyse dimensionnelle, donner l’expression du temps caractéristique
de
en fonction
et de la constante de diffusion
Il est ensuite courant « d’adimensionner » l’équation de la chaleur précédente en effectuant les
changements de variables suivants :
-
=
-
=
2) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par ( ,
).
On peut résoudre numériquement le problème de la barre calorifugée par la méthode d’Euler. On
possède alors à une double discrétisation :
-
On divise la tige de longueur en
intervalles équidistants de .
On échantillonne également temporellement pendant une durée
secondes et un nombre
toutes les
fois.
La situation revient donc à traiter un tableau à 2 dimensions auquel on affecte à chaque cellule une
fonction (
,
) donnant la température associée (où 0 ≤
≤
− 1 est l’indice affecté à la
DM4
Conduction thermique-EM
portion de tige étudiée et 0 ≤
≤
TSI2
− 1 est l’indice affecté à l’instant d’étude). Dans cette
description, on a alors :
(
( , )
≡
′
,
+ 1) − (
,
), (
,
)
),
− 1,
et
4) Traduire les conditions aux limites du système en utilisant ( , 0), ( , 1) et
( , ( − 1)), ( , ( − 2) )
5) Que traduisent les lignes de codes 41 et 42 ?
3) Exprimer (
+ 1,
) en fonction de (
,
+ 1), (
6) On donne ci-dessous le résultat de la simulation. Critiquer le résultat obtenu.
DM4
Conduction thermique-EM
TSI2
( , )
Exercice 2 : Utilisation du modèle du fil infini
A) Théorie
Soit un cylindre infini, conducteur, de rayon
et chargé uniformément en surface avec une densité
. On donne au milieu une permittivité diélectrique
.
1) En utilisant le théorème de Gauss, exprimer le champ électrique ⃗ ( ) en tout point
distance radiale
de
en repérage cylindrique. On présentera un raisonnement appuyé d’un
schéma.
2) Exprimer le potentiel électrostatique ( ) associé en tout point
à une constante
près.
3) En déduire, pour
> , que ( ) = −
ln +
B) Electro-érosion
L’électro-érosion est un procédé d’usinage qui consiste à enlever de la matière dans une pièce en
utilisant des décharges électriques. La méthode consiste à faire pénétrer un fil conducteur dans
une pièce métallique massive tout en imposant une différence de potentiel entre eux, l’ensemble
étant plongé dans un liquide isolant (souvent de l’huile). Lorsque le fil est suffisamment proche de
la surface de la pièce, un arc électrique apparaît entre les deux et la pièce est creusée au niveau
du point d’impact de l’arc.
DM4
Conduction thermique-EM
TSI2
Le fil possède un diamètre noté . Il crée dans le pièce une entaille de largeur
(voir schéma). On
suppose le fil assez long pour pouvoir négliger les effets de bords. Par ailleurs, le champ électrique
entre le fil et la pièce (dans la zone (Z) repérée par des flèches) est supposée radial et ne dépend
que de la distance (notée ) au centre du fil. On suppose que l’huile présente entre le fil et la pièce
se comporte du point de vue électrostatique comme le vide en remplaçant la permittivité du vide
par le produit
, étant la permittivité relative de l’huile (grandeur sans dimension).
Sachant que les arcs électriques dans l’huile se produisent si le champ électrique le long de l’arc
est supérieur à
= 100 .
, calculer la tension minimale
à appliquer pour pouvoir faire
une entaille de diamètre
= 10μ
avec un fil de diamètre
= 5μ . On prendra un potentiel nul
sur la surface du fil.
C) Effet couronne
Dans le cas des lignes à hautes tensions (THT), le champ électrique est si élevé qu’il crée dans l’air
ambiant des mini-décharges électriques, à l’origine d’un grésillement acoustique audible. Dans
certaines conditions (notamment lors d’orages), il peut même apparaître un halo lumineux bleu
autour des câbles (voir photo).
Ce phénomène de décharge, appelé effet couronne, est à éviter car il provoque des pertes d’énergie
(qui s’ajoutent aux pertes par effets Joule).
On considère trois câbles parallèles (supposés infiniment longs), de rayon , formant un triangle
équilatéral de côté ≫ (voir figure suivante) et transportant un courant triphasé.
DM4
Conduction thermique-EM
TSI2
Les potentiels des câbles C1, C2 et C3 valent respectivement :
( )=
),
cos(
( )=
cos
−
2
,
3
( )=
cos
+
2
3
1) Que vaut le potentiel maximal du câble C1 ?
2) Que valent, à cette même date, le potentiel des deux autres câbles ?
3) Si
est la densité surfacique de C1, que valent, à cette même date, la densité surfacique
des deux autres câbles ?
Dans toutes la suite, on se placera dans cette situation en utilisant les résultats de
l’électrostatique (les résultats obtenus seront tout de même généralisable au cas réel variable
dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires)
4) Exprimer le potentiel total
surfacique
( ) en
en fonction de
(voir schéma) et de la densité
du câble C1 en imposant un potentiel total nul à l’infini. L’air sera assimilé à
du vide.
( )≈
5) Montrer que
de
en fonction de
ln
,
si
est à proximité du câble C1 ? En déduire l’expression
et
6) Que vaut le champ électrique
( ) si
est à proximité du câble C1 ?
7) On considère une ligne THT de tension sinusoïdale à 50Hz et de valeur maximale 400kV
avec
=2
et
=2
. Calculer l’épaisseur minimale
d’isolant à mettre autour des
câbles conducteurs pour que le champ électrique superficiel dans l’air entourant le câble
gainé soit inférieur à 20kV/cm (champ de claquage de l’air)