introduction au vocabulaire de la logique

1ère S.
ch1. Introduction à la logique.
J. TAUZIEDE.
INTRODUCTION AU VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE.
I-
IMPLICATION- EQUIVALENCE.
1°) Proposition.
Définition 1. On appelle proposition mathématique, une phrase ou un énoncé qui peut être
vrai ou faux dans le cadre d’une théorie.
Exemple 1.
• « 1000>10 » est un énoncé vrai.
• « 1000 est impair » est faux.
• « 1000 est un grand nombre » ne veut rien dire car « grand » par rapport à quoi ?
2°) Implication.
Définition 2. On dit que la proposition (P) implique la proposition (Q) et on note
( P ) ⇒ ( Q ) , pour signifier que lorsque ( P ) est vraie, alors ( Q ) l’est aussi.
Remarque.
• ( P ) s’appelle l’hypothèse et ( Q ) la conclusion.
• On dit aussi que ( Q ) est une conséquence de ( P ) .
• ( P ) est une condition suffisante pour ( Q ) et ( Q ) est une condition nécessaire pour
( P ) ce qui signifie qu’il faut que ( Q ) soit vraie pour que ( P ) le soit.
Exemples
• Si (j’habite à Paris) alors (j’habite en France).
Il est nécessaire d’habiter en France pour habiter Paris ou bien encore, il est suffisant
d’habiter Paris pour habiter en France.
• Si ( x = 2 ) alors x 2 = 4 .
•
(
)
(
)
Si AB = DC alors (ABCD est un parallélogramme).
3°) Implication réciproque.
Définition 3. Soit l’implication ( P ) ⇒ ( Q ) ; alors l’implication
implication réciproque de la proposition ( P ) ⇒ ( Q ) .
Exemple.
(Q ) ⇒ ( P )
est appelée
(AB = DC ) alors (ABCD est un parallélogramme) est si
(ABCD est un parallélogramme) alors ( AB = DC ).
L’implication réciproque de si
-1-
Attention.
La réciproque d’une implication n’est pas toujours vraie.
• En reprenant l’exemple de la proposition [Si (j’habite à Paris) alors (j’habite en
France)], la réciproque qui est [Si (j’habite en France) alors (j’habite à Paris)] est
fausse (on peut habiter en France sans habiter Paris).
• Prenons comme implication : (L’entier naturel n est divisible par 6)⇒ (l’entier naturel
est divisible par 3) elle est vraie, mais (l’entier naturel est divisible par 3) ⇒ (L’entier
naturel n est divisible par 6) est fausse. En effet 15 est divisible par 3 mais n’est pas
divisible par 6.
Remarque. On vient de trouver un contre-exemple à notre proposition ; ainsi, lorsqu’on
suppose qu’une proposition mathématique est fausse, on se doit d’exhiber un contre-exemple.
4°) Equivalence.
Définition 4. On dit que deux propositions ( P ) et ( Q ) sont équivalentes lorsque l’on a
simultanément : [( P ) ⇒ ( Q ) ] et [( Q ) ⇒ ( P ) ] . On note alors ( P ) ⇔ ( Q ) .
Remarques.
• On dit que [ ( P ) équivaut à ( Q ) ] ou bien encore que [ ( P ) si et seulement si ( Q ) ].
• On dit que ( P ) (respectivement ( Q ) ) est une condition nécessaire et suffisante pour
( Q ) (respectivement ( P ) ).
• Ne jamais utiliser les symboles ⇒ et ⇔ dans un texte en français. Le premier a le sens
de « donc » et non pas d’ « alors ».
Exemple.
(ABC est un triangle équilatéral) ⇔ ( Aˆ = Bˆ = Cˆ = 60° ).
(J’habite le département 94) si et seulement si (j’habite le val de Marne).
II-
CONJONCTION – DISJONCTION.
1°) « Et » ; « Ou ».
Définition 1 de la conjonction « et ».
Si (P) et (Q) sont deux propositions, leur conjonction est la proposition notée (P et Q) qui est
vraie si et seulement si les deux propositions (P) et (Q) sont toutes les deux vraies.
Exemples.
• « 1000>10 » et « 1000 est un entier pair) est vraie.
• « j’habite à Brest » et « j’habite à Marseille » est fausse.
• « Le triangle ABC est équilatéral » et « l’angle BAˆ C mesure 60 degré » est fausse.
-2-
1ère S.
Ch1. Introduction à la logique.
Définition 2 de la disjonction « ou ».
Si (P) et (Q) sont deux propositions, leur disjonction est la proposition notée (P ou Q) qui est
vraie si et seulement si l’une au moins des deux propositions (P) ou (Q) est vraie.
Exemples.
• « 1000>10 » ou « 1000 est un entier pair) est une proposition vraie.
• « 1000 ≤ 10 » ou « 1000 est impair » est une proposition fausse.
• Si a et b sont deux réels, a 2 + b 2 = 0 ⇔ ( a = 0 et b = 0 ) est une proposition vraie.
• Si a et b sont deux réels
( ab = 0 ) ⇔ ( a = 0 ou b = 0 ) ⇔ [( a = 0 et b ≠ 0 ) ou ( a ≠ 0 et b = 0 ) ou ( a = 0 et b = 0 )]
)
(
III-
ENSEMBLES.
1°) Elément d’un ensemble.
Définition 1. Pour le mathématicien Cantor, un ensemble est une « collection d’objets ».
Définition 2 (de l’appartenance à un ensemble).
Soit E un ensemble et x un objet. On dit que x appartient à l’ensemble E, et on note x∈E, pour
signifier que l’objet x est un élément de E.
Lorsque x n’est pas un élément de E, on note : x∉E.
E
x
y
Ici,
x∈E
y∉E
2°) Sous ensemble.
Définition 3.
Soient E et F deux ensembles. On dit que l’ensemble F
est inclus dans l’ensemble E et on note F ⊂ E, lu F
inclus dans E, si tout élément de F est un élément de E.
On dit que F est un sous-ensemble ou une partie de
l’ensemble E.
E
F
Exemple. On peut donner l’inclusion qui existe entre les différents ensembles que vous avez
étudié au collège et au lycée : ⊂⊂⊂⊂⊂.
-3-
Exemple 2.
Considérons l’ensemble des mammifères.
L’ensemble constitué des humains ou d’une partie des humains est un sous ensemble de
l’ensemble des mammifères. Si on note H l’ensemble des humains et M l’ensemble des
mammifères alors, H⊂M.
En notant R l’ensemble des reptiles, on a : R ⊄M (mais aussi M⊄R).
Définition 4.
Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si ils ont exactement les mêmes éléments,
on note E=F.
Propriété.
Soient E et F deux ensembles : [(E=F)⇔(E⊂F et F⊂E].
Remarque. Cette propriété est très importante car elle indique comment démontrer que deux
ensembles sont égaux ; Il s’agit de démontrer une double inclusion.
On peut soit raisonner directement sur les ensembles, soit raisonner sur les éléments des
ensembles en montrant que, tout élément de E est un élément de F et que tout élément de F
est un élément de E.
Exemple.
Considérons l’ensemble E constitué des élèves de la classe de 1ère L spé math du lycée Epin et
l’ensemble F constitué des deux éléments Aurélia et Stéphanie.
Lorsqu’un ensemble contient un nombre fini d’éléments que l’on peut lister, on écrit les
éléments de cet ensemble entre accolades, ainsi F={Aurélia ; Stéphanie}.
Pour montrer que E=F c’est à dire que l’ensemble des élèves de 1ère L spé math n’est autre
que l’ensemble constitué des deux éléments Aurélia et Stéphanie, il faut appliquer la
propriété, c’est à dire, montrer une double inclusion.
• Montrons que E⊂F.
E (ensemble des élèves de première L qui font spé math) est constitué de deux
éléments (car seul 2 élèves sur 10 en première L font spé math) qui sont Aurélia et
Stéphanie donc (Aurélia∈F et Stéphanie∈F). Ainsi {Aurélia ; Stéphanie}⊂F soit
encore E⊂F.
• Montrons que F⊂E.
Aurélia et Stéphanie sont deux élèves de la classe de première L qui suivent l’option
math donc Aurélia∈E et Stéphanie∈E. Or, F={Aurélia ; Stéphanie} donc F⊂E.
• Comme E⊂F et F⊂E on en déduit que E=F.
Remarque. Un ensemble qui ne possède qu’un seul élément est appelé un singleton.
Si A est un ensemble constitué d’un seul élément a, l’ensemble A peut être caractérisé d’une
autre façon en écrivant {a}. ainsi, A={a}.
Attention à ne pas confondre :
• l’élément : a est un élément de A (c’est le seul d’ailleurs) et on note a∈A.
• et le singleton {a} qui est un ensemble.
• Dans IR, un intervalle réduit à un seul élément est un singleton.
-4-
1ère S.
Ch1. Introduction à la logique.
Exercice.
Déterminer l’ensemble des solutions dans IR, si elles existent, des équations
suivantes :
• ( x + 1 = 0 ) ⇔ ( x = −1)
Conclusion : S IR = {− 1} .
• [( x + 1)( x − 2 ) = 0] ⇔ [(x+1=0) ou (x−2=0)] ⇔ [(x=−1) ou (x=2)] S IR = {− 1;2} .
Définition 5.
On appelle ensemble vide, et on note ∅, l’ensemble qui ne contient aucun élément.
Exemples.
iExiste t-il un ensemble constitué de nombres réels à la fois strictement négatifs et
strictement positifs ? la réponse est bien sûr négative, cet ensemble est donc
l’ensemble vide.
On peut écrire cela de la façon suivante : {x∈/x>0 et x<0}=∅.
ii-
{
{
Le système suivant x x+ 1> =0 0 ⇔ xx => −01 est un système impossible dans IR d’où
S IR = ∅ .
Exercice.
Déterminer l’ensemble A des entiers naturel qui sont à la fois pairs et impairs.
La question est de chercher s’il existe un entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n :
n=2p et n=2p+1.
Cela amène à résoudre : existe-t-il un entier naturel p tel que :
2p=2p+1
0=1 impossible.
Conclusion : A=∅.
Notation commode.
Soient E et F deux ensembles. On note (x;y)∈E×F pour signifier que x∈E et y∈F, dans cet
ordre.
Si E=F, on note (x;y)∈E2.
IV-
LES QUANTIFICATEURS.
1°) Quantificateur universel.
Définition 1.
Soit E un ensemble et (P) une proposition. Si pour tout élément x de E, la proposition P(x) est
vraie, on écrit : ∀x∈E, P(x).
Le symbole ∀ est appelé quantificateur universel et se lit « Pour tout » ou « quel que soit ».
Exemple :
∀x∈[0;1] : x2≤x.
Pour démontrer cela, appliquer la méthode : pour comparer deux réels, on étudie le signe de la
différence.
-5-
Soit x∈[0;1]. On a x 2 − x = x( x − 1) .
Un tableau de signes pour des élèves de seconde ou le théorème sur le signe du trinôme du
second degré, affirme que x 2 − x est de signe négatif à l’intérieur des racines que sont 0 et 1
ce qui démontre que : ∀x∈[0;1] : x2≤x.
On a aussi, ∀x∈[1;+∞[ : x≤x2.
2°) Quantificateur existentiel.
Définition 2.
Soit E un ensemble et (P) une proposition. S’il existe au moins un élément x de E tel que la
proposition P(x) est vraie, on écrit : ∃x∈E, P(x).
Le symbole ∃ est appelé quantificateur existentiel et se lit « il existe au moins. »
(
)
La proposition ∃x ∈ IR : x 2 > 4 est vraie puisque satisfaite pour x=3 par exemple. On a
32 = 9 et 9 > 4 mais, on ne peut pas écrire ∀x ∈ IR : x 2 > 4 . En effet, l’inégalité x 2 > 4
n’est pas satisfaite pour x=1 par exemple.
(
)
Remarque.
Lorsqu’il n’existe qu’un seul élément de l’ensemble E vérifiant la proposition (P), on note
(∃ ! x ∈ E : P(x )) .
Exemple. Dans IR, l’équation x( x + 1) = 0 admet deux solutions qui sont 0 et −1 mais dans
l’ensemble IN des entiers naturels, il n’existe qu’une unique solution à l’équation à savoir,
x=0. On note : (∃ ! x ∈ IN : x( x + 1) = 0 ) .
V-
NEGATION D’UNE PROPOSITION.
1°) Négation.
Définition 1.
Si (P) est une proposition, sa négation est la proposition notée (P), lue non P, qui est vraie si
et seulement si P est fausse.
Remarque de notation : on note aussi P la négation de la proposition P.
Exemples :
• (1000>10) est une proposition vraie ; sa négation est (1000≤10) est une proposition
fausse.
• (1000 est un entier impair) est une proposition fausse ; sa négation (1000 est un entier
pair) est une proposition vraie.
• (Le tableau de la classe est noir) est une proposition dont la négation est (le tableau de
la classe n’est pas noir).
-6-
1ère S.
Ch1. Introduction à la logique.
2°) Négation de la proposition [(P) et (Q)].
Définition 2.
Soient (P) et (Q) deux propositions. La négation de la proposition [(P) et (Q)] est la
proposition [(P) ou (Q)].
Exemple.
• La négation de la proposition (Il pleut et je n’habite pas en Bretagne) est (il ne pleut
pas ou j’habite en Bretagne).
• La négation de la proposition (le triangle ABC est rectangle isocèle) est la proposition
(le triangle ABC est non rectangle ou non isocèle) c’est à dire 3 cas possibles.
3°) Négation de la proposition [(P) ou (Q)].
Définition 3.
Soient (P) et (Q) deux propositions. La négation de la proposition [(P) ou (Q)] est la
proposition [(P) et (Q)].
Exemple.
La négation de la proposition : « la carte tirée d’un jeu de carte est un pique ou une figure »
est « la carte tirée n’est pas un pique et n’est pas une figure ».
La négation de la phrase « J’habite à Paris ou j’habite à Brest » est « je n’habite pas Paris et je
n’habite pas à Brest ».
4°) Négation d’une implication.
Définition 4.
La négation d’une proposition [(P)⇒(Q)] est la proposition [(P) et (Q)] c’est à dire que P est
vraie et simultanément Q est fausse.
Exemple : la négation de la proposition « Si j’habite à Paris alors j’habite en France » est
« j’habite Paris et je n’habite pas en France ».
On rencontre en mathématique des raisonnements reposant sur cette définition. Ils sont
appelés raisonnements par l’absurde.
Un exercice classique consistant à montrer que 2 est irrationnel peut se démontrer en
effectuant un raisonnement par l’absurde. On suppose que 2 est rationnel donc peut s’écrire
sous forme d’une fraction irréductible. On aboutit alors à une contraction en montrant que la
fraction est simplifiable.
-7-
4°) Négation d’une proposition universelle.
Définition 5.
La négation d’une proposition universelle : «∀x∈E, x vérifie une propriété P(x) » est la
proposition « ∃x∈E tel que x ne vérifie pas la propriété P(x) ».
Exemple.
La négation de la proposition :
« Tous les candidats au baccalauréat auront leur bac » est la proposition :
« il existe au moins un candidat au baccalauréat qui n’aura pas son bac ».
Remarque.
Pour prouver qu’une proposition avec un quantificateur universel n’est pas vraie, il suffit
d’exhiber un contre-exemple c’est à dire de trouver un élément qui contredit la proposition.
Exemple.
Montrer que la fonction f définie sur IR par f ( x ) = x 2 + x n’est pas paire.
On rappelle qu’une fonction f est paire si et seulement si elle vérifie les deux propriétés :
iPour tout réel x de son domaine de définition, l’opposé de x, c’est à dire −x est
aussi dans le domaine de définition,
iiEt que la propriété f (− x ) = f ( x ) doit être satisfaite.
Or, la fonction f est définie sur IR, donc si on prend un réel x dans IR, son opposé y’est aussi.
Toutefois f (− 1) = 1 + (− 1) = 0 et f (1) = 1 + 1 = 2 comme 0≠2 on a f (− 1) ≠ f (1) ce qui
prouve que la fonction f n’est pas paire.
En revanche, si f avait été une fonction paire, on ne pouvait pas se contenter de quelques
exemples, il fallait raisonner en prouvant la propriété pour tout réel x ; comme par exemple
avec f ( x ) = x 2 + x .
On a f (− x ) = (− x ) + − x = (− 1) × ( x ) + − 1 × x = 1 × x 2 + 1 × x = x 2 + x = f ( x )
2
2
2
Ce qui prouve bien que pour tout réel x : f (− x ) = f ( x ) et montre que f est une fonction paire
sur IR.
Prendre des exemples n’était pas suffisant et ce qui justifie la remarque sur certaines copies :
« un exemple ne constitue pas une démonstration »
On prendra donc garde dans les énoncés de définition au théorème, aux hypothèses faisant
intervenir des « Pour tout » « quel que soit » etc..
5°) Négation d’une proposition existentielle.
Définition 6.
La négation d’une proposition existentielle : «∃x∈E, x vérifie une propriété P(x) » est la
proposition « ∀x∈E, x ne vérifie pas la propriété P (x) ».
Exemple.
La négation de la proposition : « il existe un entier n tel que l’écriture décimale de n2 se
termine par 3 » est « un tel entier n’existe pas » c’est à dire :
« pour tout entier n, l’écriture décimale de n2 ne se termine pas par 3 ».
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1ère S.
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6°) Contraposée d’une implication.
Définition 7.
Soient (P) et (Q) deux propositions et supposons [(P)⇒(Q)].
La contraposée de la proposition [(P)⇒(Q)] est la proposition [(Q)⇒(P)].
Exemple.
• La contraposée de la proposition : (Si j’habite à Brest alors j’habite en France) est la
proposition (Si je n’habite pas en France alors je n’habite pas à Brest).
• Soit la proposition [(ABC est un triangle rectangle en A)⇒(ABC est un triangle tel que
AB2+AC2=BC2) ; sa contraposée est la proposition : [(ABC est un triangle tel que
AB2+AC2≠BC2)⇒(ABC n’est pas un triangle rectangle en A)]
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