introduction au vocabulaire de la logique

1ère S. ch1. Introduction à la logique.
J. TAUZIEDE.
- 1 -
INTRODUCTION AU VOCABULAIRE DE LA LOGIQUE.
I- IMPLICATION- EQUIVALENCE.
1°) Proposition.
Définition 1. On appelle proposition mathématique, une phrase ou un énoncé qui peut être
vrai ou faux dans le cadre d’une théorie.
Exemple 1.
• « 1000>10 » est un énoncé vrai.
• « 1000 est impair » est faux.
• « 1000 est un grand nombre » ne veut rien dire car « grand » par rapport à quoi ?
2°) Implication.
Définition 2. On dit que la proposition (P) implique la proposition (Q) et on note
( ) ( )
QP ⇒
, pour signifier que lorsque
( )
P
est vraie, alors
( )
Q
l’est aussi.
Remarque.
•
( )
P
s’appelle l’hypothèse et
( )
Q
la conclusion.
• On dit aussi que
( )
Q
est une conséquence de
()
P
.
•
()
P
est une condition suffisante pour
( )
Q
et
( )
Q
est une condition nécessaire pour
( )
P
ce qui signifie qu’il faut que
( )
Q
soit vraie pour que
( )
P
le soit.
Exemples
• Si (j’habite à Paris) alors (j’habite en France).
Il est nécessaire d’habiter en France pour habiter Paris ou bien encore, il est suffisant
d’habiter Paris pour habiter en France.
• Si
( )
2=x
alors
()
4
2=
x
.
• Si
( )
DC
AB =
alors (ABCD est un parallélogramme).
3°) Implication réciproque.
Définition 3. Soit l’implication
( ) ( )
QP ⇒
; alors l’implication
( ) ( )
PQ ⇒
est appelée
implication réciproque de la proposition
( ) ( )
QP ⇒
.
Exemple.
L’implication réciproque de si
()
DCAB =
alors (ABCD est un parallélogramme) est si
(ABCD est un parallélogramme) alors
( )
DCAB =
.

- 2 -
Attention. La réciproque d’une implication n’est pas toujours vraie.
• En reprenant l’exemple de la proposition [Si (j’habite à Paris) alors (j’habite en
France)], la réciproque qui est [Si (j’habite en France) alors (j’habite à Paris)] est
fausse (on peut habiter en France sans habiter Paris).
• Prenons comme implication : (L’entier naturel n est divisible par 6)⇒ (l’entier naturel
est divisible par 3) elle est vraie, mais (l’entier naturel est divisible par 3) ⇒ (L’entier
naturel n est divisible par 6) est fausse. En effet 15 est divisible par 3 mais n’est pas
divisible par 6.
Remarque. On vient de trouver un contre-exemple à notre proposition ; ainsi, lorsqu’on
suppose qu’une proposition mathématique est fausse, on se doit d’exhiber un contre-exemple.
4°) Equivalence.
Définition 4. On dit que deux propositions
( )
P
et
( )
Q
sont équivalentes lorsque l’on a
simultanément :
( ) ( )
[ ]
QP ⇒
et
( ) ( )
[ ]
PQ ⇒
. On note alors
() ( )
QP ⇔
.
Remarques.
• On dit que [
()
P
équivaut à
( )
Q
] ou bien encore que [
( )
P
si et seulement si
( )
Q
].
• On dit que
( )
P
(respectivement
( )
Q
) est une condition nécessaire et suffisante pour
( )
Q
(respectivement
( )
P
).
• Ne jamais utiliser les symboles ⇒ et ⇔ dans un texte en français. Le premier a le sens
de « donc » et non pas d’ « alors ».
Exemple.
(ABC est un triangle équilatéral) ⇔ (
°=
=
=60
ˆ
ˆ
ˆC
B
A
).
(J’habite le département 94) si et seulement si (j’habite le val de Marne).
II- CONJONCTION – DISJONCTION.
1°) « Et » ; « Ou ».
Définition 1 de la conjonction « et ».
Si (P) et (Q) sont deux propositions, leur conjonction est la proposition notée (P et Q) qui est
vraie si et seulement si les deux propositions (P) et (Q) sont toutes les deux vraies.
Exemples.
• « 1000>10 » et « 1000 est un entier pair) est vraie.
• « j’habite à Brest » et « j’habite à Marseille » est fausse.
• « Le triangle ABC est équilatéral » et « l’angle
CA
Bˆ
mesure 60 degré » est fausse.

1ère S. Ch1. Introduction à la logique.
- 3 -
Définition 2 de la disjonction « ou ».
Si (P) et (Q) sont deux propositions, leur disjonction est la proposition notée (P ou Q) qui est
vraie si et seulement si l’une au moins des deux propositions (P) ou (Q) est vraie.
Exemples.
• « 1000>10 » ou « 1000 est un entier pair) est une proposition vraie.
• « 1000
≤
10 » ou « 1000 est impair » est une proposition fausse.
• Si a et b sont deux réels,
()
()
0
et
0
0
2
2==
⇔=
+ba
ba
est une proposition vraie.
• Si a et b sont deux réels
( ) () ( ) ( ) ( )
[ ]
0et
0
ou
0
et
0
ou
0
et 00ou 00 =
==
≠
≠=⇔==⇔
=b
a
ba
b
abaab
III- ENSEMBLES.
1°) Elément d’un ensemble.
Définition 1. Pour le mathématicien Cantor, un ensemble est une « collection d’objets ».
Définition 2 (de l’appartenance à un ensemble).
Soit E un ensemble et x un objet. On dit que x appartient à l’ensemble E, et on note x∈E, pour
signifier que l’objet x est un élément de E.
Lorsque x n’est pas un élément de E, on note : x∉E.
E
2°) Sous ensemble.
Définition 3.
Soient E et F deux ensembles. On dit que l’ensemble F
est inclus dans l’ensemble E et on note F ⊂ E, lu F
inclus dans E, si tout élément de F est un élément de E.
On dit que F est un sous-
ensemble ou une partie de
l’ensemble E.
Exemple. On peut donner l’inclusion qui existe entre les différents ensembles que vous avez
étudié au collège et au lycée : ⊂⊂⊂⊂⊂.
x
y
Ici,
x∈E
y∉E
F
E

- 4 -
Exemple 2.
Considérons l’ensemble des mammifères.
L’ensemble constitué des humains ou d’une partie des humains est un sous ensemble de
l’ensemble des mammifères. Si on note H l’ensemble des humains et M l’ensemble des
mammifères alors, H⊂M.
En notant R l’ensemble des reptiles, on a : R ⊄M (mais aussi M⊄R).
Définition 4.
Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si ils ont exactement les mêmes éléments,
on note E=F.
Propriété.
Soient E et F deux ensembles : [(E=F)⇔(E⊂F et F⊂E].
Remarque. Cette propriété est très importante car elle indique comment démontrer que deux
ensembles sont égaux ; Il s’agit de démontrer une double inclusion.
On peut soit raisonner directement sur les ensembles, soit raisonner sur les éléments des
ensembles en montrant que, tout élément de E est un élément de F et que tout élément de F
est un élément de E.
Exemple.
Considérons l’ensemble E constitué des élèves de la classe de 1ère L spé math du lycée Epin et
l’ensemble F constitué des deux éléments Aurélia et Stéphanie.
Lorsqu’un ensemble contient un nombre fini d’éléments que l’on peut lister, on écrit les
éléments de cet ensemble entre accolades, ainsi F={Aurélia ; Stéphanie}.
Pour montrer que E=F c’est à dire que l’ensemble des élèves de 1ère L spé math n’est autre
que l’ensemble constitué des deux éléments Aurélia et Stéphanie, il faut appliquer la
propriété, c’est à dire, montrer une double inclusion.
• Montrons que E⊂F.
E (ensemble des élèves de première L qui font spé math) est constitué de deux
éléments (car seul 2 élèves sur 10 en première L font spé math) qui sont Aurélia et
Stéphanie donc (Aurélia∈F et Stéphanie∈F). Ainsi {Aurélia ; Stéphanie}⊂F soit
encore E⊂F.
• Montrons que F⊂E.
Aurélia et Stéphanie sont deux élèves de la classe de première L qui suivent l’option
math donc Aurélia∈E et Stéphanie∈E. Or, F={Aurélia ; Stéphanie} donc F⊂E.
• Comme E⊂F et F⊂E on en déduit que E=F.
Remarque. Un ensemble qui ne possède qu’un seul élément est appelé un singleton.
Si A est un ensemble constitué d’un seul élément a, l’ensemble A peut être caractérisé d’une
autre façon en écrivant {a}. ainsi, A={a}.
Attention à ne pas confondre :
• l’élément : a est un élément de A (c’est le seul d’ailleurs) et on note a∈A.
• et le singleton {a} qui est un ensemble.
• Dans IR, un intervalle réduit à un seul élément est un singleton.

1ère S. Ch1. Introduction à la logique.
- 5 -
Exercice. Déterminer l’ensemble des solutions dans IR, si elles existent, des équations
suivantes :
•
( ) ( )
1
01 −
=⇔=+ x
x
Conclusion :
{ }
1
−=
IR
S
.
•
( )( )
[]
0
21 =−+ xx
⇔ [(x+1=0) ou (x−2=0)] ⇔ [(x=−1) ou (x=2)]
{}
2
;
1−
=
IR
S
.
Définition 5.
On appelle ensemble vide, et on note ∅, l’ensemble qui ne contient aucun élément.
Exemples.
i- Existe t-il un ensemble constitué de nombres réels à la fois strictement négatifs et
strictement positifs ? la réponse est bien sûr négative, cet ensemble est donc
l’ensemble vide.
On peut écrire cela de la façon suivante : {x∈/x>0 et x<0}=∅.
ii- Le système suivant
{
01 0 =+ > xx
⇔
{
1
0
−=
>
x
x
est un système impossible dans IR d’où
∅
=
IR
S
.
Exercice.
Déterminer l’ensemble A des entiers naturel qui sont à la fois pairs et impairs.
La question est de chercher s’il existe un entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n :
n=2p et n=2p+1.
Cela amène à résoudre : existe-t-il un entier naturel p tel que : 2p=2p+1
0=1 impossible.
Conclusion : A=∅.
Notation commode.
Soient E et F deux ensembles. On note (x;y)∈E×F pour signifier que x∈E et y∈F, dans cet
ordre.
Si E=F, on note (x;y)∈E2.
IV- LES QUANTIFICATEURS.
1°) Quantificateur universel.
Définition 1.
Soit E un ensemble et (P) une proposition. Si pour tout élément x de E, la proposition P(x) est
vraie, on écrit : ∀x∈E, P(x).
Le symbole ∀ est appelé quantificateur universel et se lit « Pour tout » ou « quel que soit ».
Exemple : ∀x∈[0;1] : x2≤x.
Pour démontrer cela, appliquer la méthode : pour comparer deux réels, on étudie le signe de la
différence.