L2:Examen Examende deMécanique mécaniquedu dusolide solidedu 4/11/2013 L2S3: 4/11/2013: Corrigé Exercice 3. Petites oscillations d'une bille dans un bol u uz g uy ur R N ux y bol fixe T I m g x Soit R le référentiel galiléen dans lequel le bol est fixe RO ; u x ; uy ; u z . On utilise des coordonnées polaires r ; centrées en O de base { u r ; u } , voir figure. de la bille : a) Vecteur instantané de rotation u Le mouvement de chaque point de la bille est dans un plan perpendiculaire à l'axe Oz , donc ∥ z et on peut écrire : =u z . u (1) OC = R−b u r donc la vitesse de C dans R est v C = R−b ̇ Soit I le point de contact entre la bille et le bol. Il n'y a pas de glissement donc le point I1 de la bille qui coïncide avec I à un instant donné à une vitesse nulle ( = vitesse du bol). I1 et C sont deux points d'un solide indéformable (la bille) donc d'après la formule de Varignon : v C − v I1 = d I C = ∧ I 1C = u z ∧b − u r = − b u dt 1 Avec (1) on obtient : R−b ̇u = −b u ,donc = − (2) R−b = − R−b ̇ u z (3) ̇ ainsi b b b) Étude par le principe fondamental de la dynamique : Bilan des forces (extérieures) sur la bille : • • Poids de la bille, m g , dont le point d'application est le centre de masse de la bille C. = N T , dont le point d'application est I Force de contact du bol sur la bille, R =−N u r et le frottement T =T u . avec N Remarque : Il n'y a pas de glissement donc le frottement est statique, donc on ne connaît pas la norme ∥ doit être vérifiée, avec le de T , on sait seulement que la condition de non glissement ∥T ∥∥ N coefficient de frottement statique entre la bille et le bol. b.1) Théorème du moment cinétique barycentrique Dans le référentiel barycentrique R* C ; ux ; uy; u z , le mouvement de la bille est une rotation de vitesse angulaire autour de l'axe fixe C u z ; ainsi le moment cinétique barycentrique de la bille * est L =J u z . Le théorème du moment cinétique barycentrique s'écrit : d * L = CC∧m g CI ∧ N CI ∧T dt uz = b u r∧T u = b T u z , donc avec (3) on a −J R−b ̈ = b2 T soit J ̇ 1/2 (4) b.2) L'accélération du centre de masse de la bille est obtenue en dérivant (1) et le PFD dans référentiel galiléen R s'écrit : m d T v C = m R−b ̈ u −m R−b2 ̇ ur = m g N dt En projetant sur u r et u on obtient : −m R−b2 ̇ = m g cos − N m R−b ̈ = −m g sin T (5) (6) d'après (4) et (6) : m R−b ̈ = −m g sin − J différentielle dont t est solutions est : R− ̈ or b2 7 R−b ̈ g sin = 0 5 J = 2 m b2 donc l'équation 5 (7) 7 R−b ̈ g ≃ 0 , dont les 5 5g solutions sont : t = Asin t avec A et constantes et = . 2 R−b b.3) Pour des petits angles : sin ≃ et l'équation (7) devient 2 La période des oscillations est donc T = = 2 2 R−b . 5g Remarque : Ce n'est pas avec la vitesse angulaire de la bille ! c) Étude par l'énergie : * b.1) Dans R* l'énergie cinétique de la bille en rotation autour de C ; u z est E C = son énergie cinétique dans R est donné par le théorème de König : E c = En utilisant (1), la valeur de J et (3) on obtient : E c = soit E c = 7 m R−b2 ̇2 10 1 J 2 , 2 1 mv C 2 E *C . 2 1 1 m R−b2 ̇2 m R−b 2 ̇ 2 , 2 5 (8) b.2) Puissance des forces sur la billes : • Puissance du poids : P poids = m g .v C = −m g sin R−b ̇ • est nulle car N est perpendiculaire au déplacement. La puissance de N • Puissance du frottement : P frot. = T . vg = 0 car la vitesse de glissement est nulle. Théorème de la puissance cinétique dans le référentiel R galiléen : D'après (8) et (9) : d E = dt C (9) ∑ P forces ext. 7 7 m R−b2 2 ̈ ̇ = −m g sin R−b ̇ soit R−b ̈ g sin = 0 5 10 On retrouve bien l'équation différentielle du mouvement trouvée question b.2). 2/2