Corrigé
L2: Examen de mécanique du solide 4/11/2013
L2S3: Examen de Mécanique du solide du 4/11/2013: Corrigé
Exercice 3. Petites oscillations d'une bille dans un bol
Soit R le référentiel galiléen dans lequel le bol est fixe
RO;ux;uy;uz.
On utilise des coordonnées polaires
r ;
centrées en O de base
{ur;u},
voir figure.
a) V ecteur instantané de rotation
de la bille :
Le mouvement de chaque point de la bille est dans un plan perpendiculaire à l'axe
Oz
, donc
∥uz
et on peut écrire :
=uz
.
OC= R−b
ur
donc la vitesse de C dans R est
vC= R−b˙
u
(1)
Soit I le point de contact entre la bille et le bol. Il n'y a pas de glissement donc le point I1 de la bille
qui coïncide avec I à un instant donné à une vitesse nulle ( = vitesse du bol).
I1 et C sont deux points d'un solide indéformable (la bille) donc d'après la formule de Varignon :
vC−vI1 = d
dt
I1C=
∧
I1C= uz∧b−ur = − bu
(2)
Avec (1) on obtient :
R−b˙
u= −bu
,donc
= −R−b
b˙
ainsi
= −R−b
b˙
uz
(3)
b) Étude par le principe fondamental de la dynamique :
Bilan des forces (extérieures) sur la bille :
•Poids de la bille,
mg
, dont le point d'application est le centre de masse de la bille C.
•Force de contact du bol sur la bille,
R=
N
T
, dont le point d'application est I
avec
N=−Nur
et le frottement
T=Tu
.
Remarque : Il n'y a pas de glissement donc le frottement est statique, donc on ne connaît pas la norme
de
T
, on sait seulement que la condition de non glissement
∥
T
∥
∥
N
∥
doit être vérifiée, avec
le
coefficient de frottement statique entre la bille et le bol.
b.1) Théorème du moment cinétique barycentrique
Dans le référentiel barycentrique
R*C ;ux;uy;uz
, le mouvement de la bille est une rotation de
vitesse angulaire
autour de l'axe fixe
Cuz
; ainsi le moment cinétique barycentrique de la bille
est
L*=Juz
.
Le théorème du moment cinétique barycentrique s'écrit :
d
dt
L*=CC∧mg
CI∧
N
CI∧
T
soit
J˙
uz=bur∧Tu=bT uz
, donc avec (3) on a
−JR−b¨
= b2T
(4)
1/2
uz
R
g
bol fixe
x
y
ux
uy
mg
N
T
ur
u
I
6
1
/
6
100%
