Ondes électromagnétiques dans le vide (PC*)

Ondes électromagnétiques dans le
vide (PC*)
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Ondes électromagnétiques dans le vide
I – Les équations de propagations du champ EM dans le vide :
Obtention des équations de propagation du champ EM :
2
2
∂ E
1
∂j
∂ B
∆E − ε 0 µ 0 2 =
grad ρ + µ 0
∆B − ε 0 µ 0 2 = − µ 0 rot j
;
ε0
∂t
∂t
∂t
Dans une région sans charges ni courants ( ρ = 0 et j = 0 ) :
∂ E
2
∆E − ε 0 µ 0
∂t
2
=0
∂ B
2
et
2
∆B − ε 0 µ 0
∂t 2
=0
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Ces équations sont les équations de propagation du champ EM.
Si l’on note s(t) l’une des six coordonnées des champ EM (Ex,…., Bx,…),
alors :
∆s − ε 0 µ 0
∂2s
∂t
2
=0
soit
∆s −
1 ∂2s
2
v ∂t
2
=0
(
1
v
2
= ε 0 µ0 )
C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes,
encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIIIème siècle pour
modéliser les vibrations d’une corde tendue.
Les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de
célérité v.
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II – Ondes planes EM dans le vide :
1 – Ondes planes électromagnétiques :
u
Une onde plane EM de direction de propagation z est une structure du
champ EM dans laquelle les coordonnées des champs E et B sont des
fonctions de la forme :
 z
s( z, t ) = f  t − 
 c
Toute coordonnée du champ a, à un instant donné, même valeur en tout point
d’un plan z = cste.
Un tel plan, orthogonal à la direction de propagation u z , est appelé plan
d’onde.
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2 – Caractère transverse d’une onde plane dans le vide :
E
Plan d’onde
z=cste
c uz
E
z
B
c uz
B
Le champ EM est uniforme dans un plan d’onde
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 z
E x ( z, t ) = E x  t − 
 c
et
 z
B x ( z, t ) = B x  t − 
 c
On constate, de manière symbolique, que :
∂
=0
∂x
;
∂
=0
∂y
;
∂
1 ∂
=−
c ∂t
∂z
Ainsi, l’opérateur gradient (ou le vecteur nabla) peut s’écrire :
1 ∂ grad = ∇ = −
uz
c ∂t
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u z .E = 0
u z .B = 0
et
E = B ∧ c uz
ou
u z B=
∧E
c
E
Plan d’onde
z=cste
c uz
E
z
B
c uz
B
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III – Ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) :
1 – Solutions sinusoïdales de l’équation de propagation de
d’Alembert :
On se limite ici à des solutions harmoniques de l’équation de d’Alembert,
c’est-à-dire des solutions de la forme :
z 

s ( x, t ) = A cos ω (t − ) 
c 

Ces solutions correspondent à des ondes planes progressives harmoniques
(OPPH).
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s( x, t ) = A cos(ωt − kz ) )
En notation réelle, le champ électrique pourra s’écrire :
z
E ( z , t ) = E 0 cos(ω (t − )) = E 0 cos(ωt − kz )
c
Avec :
ω
k = ku z = u z
c
(vecteur d’onde)
En notation complexe, on notera le champ EM sous la forme :
i (ωt − kz )
E ( z, t ) = E 0 e
et
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i (ωt − kz )
B (z , t ) = B 0 e
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Si la direction de l’onde est quelconque, dans la direction du vecteur unitaire
u :
i (ωt −k.r )
E ( x, y , z , t ) = E 0 e
et
i (ωt − k.r )
B(x, y, z , t ) = B 0 e
où :
k =ku
( u vecteur unitaire donnant le sens de propagation) est le vecteur d’onde et :
r = OM
(O, origine du repère et M le point d’observation).
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2 – Structure des ondes planes progressives monochromatiques :
k .E = 0
et
B=
k
1 ∧E = u∧E
ω
c
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k .B = 0
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3 – Propagation de l’énergie :
La densité d’énergie uem pour une onde plane progressive vaut :
u em
1 2
1 2
= ε0E +
B
2
2µ 0
Vecteur de Poynting :
Vecteur de Poynting moyen et puissance moyenne reçue par un détecteur :
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Ordres de grandeur :
• Amplitudes des champs EM d’un faisceau laser :
Un laser hélium-néon émet un faisceau cylindrique de section droite 1 mm 2 et
de puissance 1 mW. Il produit une onde polarisée rectilignement. Déterminer
l’amplitude des champs EM.
L’onde est quasi-plane sinusoïdale car la largeur du faisceau est bien supérieure
à la longueur d’onde. Les champs EM valent :
E0 =
2µ 0 cP
= 8,7.10 2 V .m −1
S
;
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E0
B0 =
= 2,9.10 −6 T
c
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IV – Polarisation des ondes EM :
1 – Représentation vectorielle réelle d’une onde plane progressive
monochromatique :
On considère une onde EM plane progressive monochromatique de pulsation
ω se propageant dans le vide.
2 – Polarisation d’une onde plane progressive monochromatique
E x = E 0 x cos(ωt )
E y = E 0 y cos(ωt − ϕ )
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• Polarisation rectiligne :
La polarisation rectiligne correspond au cas où le champ électrique garde une
direction constante au cours du temps, que l’on peut choisir parallèle à l’axe
(Ox) :
E = E 0 cos ωt u x
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• Polarisation circulaire :
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Application : décomposition d’une onde à polarisation rectiligne
comme la superposition de deux ondes circulaires :
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• Polarisation elliptique :
E x = E 0 x cos(ωt )
E y = E 0 y cos(ωt − ϕ )
 Ex

E
 0x
2

 Ex
 − 2

E

 0x
 E y

 E
 0 y

 Ey
 cos ϕ + 

 E0 y


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2

 = sin 2 ϕ


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