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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université DJILLALI LIABBES de SIDI BEL ABBES
Faculté de Technologie
Département d’Hydraulique
Polycopié
Hydraulique Générale
Première partie
Dr ALOUI-LABIOD. Zehour
2016
Avant propos
Cet ouvrage reproduit en le développant le contenu de l‟enseignement dispensé pendant dix
neuf ans à l‟université Djillali LIABBES de SIDI EL ABBES où j‟ai eu la charge et l‟honneur
d‟assurer les cours , travaux Dirigés et travaux pratiques d’Hydraulique Générale.
Cette matière a été complétée et adaptée à la formation des LMD de la faculté de
Technologie, dans la même université.
Le présent ouvrage s‟adresse aux étudiants désirant compléter leurs connaissance en
hydraulique.
Deux tendances pédagogiques complémentaires, consistent soit à introduire le sujet de façon
théorique, soit à montrer comment on peut utiliser expérimentalement des relations pratiques.
Au sens restreint du terme l’Hydraulique associe la théorie pure et l‟expérience.
Après des généralités consacrés au développement de l‟hydraulique à travers les âges, les
chapitres 1 et 2 de ce polycopié traitent simultanément les propriétés des liquides et
l‟hydrostatique. Les chapitres 4, 5, et 6 ont pour objet les écoulements et plus particulièrement
les écoulements dans des conduites fermés remplit de liquide (écoulement en charge).
Enfin nous achevons notre manuscrit par un régime non permanent c‟est le coup de Bélier.
Cet ouvrage de base, d‟une rigueur scientifique et pédagogique, sera inchallah très apprécié
par les enseignants et étudiants.
Dr ALOUI.Zehour
Enseignante au département d‟Hydraulique, Faculté de Technologie
Université Djillali LIABBES de SIDI EL ABBES. ALGERIE
Page 1
Liste des tableaux
Tableau n°1 : Quantités physiques-dimensions et unités
Tableau N°2 : Propriétés physiques de quelques liquides (CRC « Handbook of chemistry and physics ». 19801981, USA)
Tableau n°3 : P op i t s ph si ues de l’eau CRC « Handbook of chemistry and physics ». 1980-1981, USA)
Tableau n°4 : Centres de gravité et moments de quelques surfaces
Tableau n°5 : Rep se tatio
e g ti ue de l’
uatio de Be oulli
Tableau n°6 : quelques valeurs du coefficient de rugosité "k"
Tableau n°7 : a a t isti ues de l’ oule e t des diff e ts zo es et
Tableau n°8 : quelques valeurs de
Tableau n°9 : les paramètres de calcul du coup de Bélier
Page 2
uatio λ = f ℛe ,
k
D
Liste des figures
FIGURE 1 :PROFIL DE VITESSE
FIGURE 2 : VISCOSIMETRE DE SAYBOLT
FIGURE 3 : VISCOSIMETRE ROTATIF
FIGURE 4 : REPRESENTATION DES FORCES D’ATTRACTION
FIGURE 5 : TUBE CAPILLAIRE
FIGURE 6 : REPRESENTATION DES REGIMES DANS UNE CANALISATION
FIGURE 7: REPRESENTATION DE LA PRESSION EN UN POINT
FIGURE 8: TETRAEDRE ELEMENTAIRE
FIGURE 9 :REPRESENTATION DE LA PRESSION
FIGURE 10: PRESSE HYDRAULIQUE
FIGURE 11 : REPRESENTATION DU PARALLELEPIPEDE
FIGURE 12 : LIQUIDE INCOMPRESSIBLE DANS LE CHAMP DE LA PESANTEUR
FIGURE 13 :LIGNES ISOBARES
FIGURE 14 : DIAGRAMME DE LA FORCE DE PRESSION
FIGURE 15: MANOMETRE EN U
FIGURE 16 : DISPOSITION DE LA PROFONDEUR D’EAU
FIGURE 17: RESERVOIR EN DEPLACEMENT
FIGURE 18 : RESERVOIR TOURNANT
FIGURE 19 : FORCE DE POUSSEE SUR UNE PAROI QUELCONQUE
FIGURE 20 : FORCE DE POUSSEE SUR UNE PAROI INCLINEE
FIGURE 21 : FORCE DE POUSSEE SUR UNE PAROI HORIZONTALE
FIGURE 22 : FORCE DE POUSSEE SUR UNE PAROI VERTICALE
FIGURE 23 : EPURE DE LA PRESSION
FIGURE 24 : FORCE DE PRESSION SUR UNE SURFACE COURBE
FIGURE 24 : REPRESENTATION DE LA FORCE DE POUSSEE VERTICALE
FIGURE 25 : CORPS SOLIDE IMMERGE DANS UN LIQUIDE AU REPOS
FIGURE 26 : POUSSEE D’ARCHIMEDE
FIGURE 27 : FLOTTEMENT EN SURFACE
Page 3
FIGURE 28 : EQUILIBRE STABLE
FIGURE 29 : EQUILIBRE IN STABLE
FIGURE 30 : STABILITE DES CORPS FLOTTANTS
FIGURE 31 : DESCRIPTION DE LAGRANGE
FIGURE 32 : LIGNE DE COURANT , TUBE DE COURANT
FIGURE 33 : DEBIT
FIGURE 34 : PARALLELEPIPEDE ELEMENTAIRE DE LIQUIDE
FIGURE 35 : DEBIT A TRAVERS UNE SECTION
FIGURE 36 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE L’EQUATION DE BERNOULLI POUR UN LIQUIDE PARFAIT
FIGURE 37 : SCHEMA DU TUBE DE VENTURI
FIGURE 38 : VIDANGE D’UN RESERVOIR
FIGURE 39 : ECOULEMENT LAMINAIRE ET ECOULEMENT TURBULENT
FIGURE 40: PRINCIPE DE L ’E XPERIENCE DE REYNOLDS
FIGURE 41 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE L’EQUATION DE BERNOULLI POUR UN LIQUIDE REEL
FIGURE 42 : COURANT LIQUIDE
FIGURE 43 : LES COMPOSANTES DE LA PESANTEUR
FIGURE 44 : REPRESENTATION DE LA PRESSION
FIGURE 45 : REPRESENTATION DE LA PROFONDEUR
FIGURE 46 : VARIATION DE LA PERTE DE CHARGE D ’UN ECOULEMENT EN FONCTION DU NOMBRE DE REYNOLDS
FIGURE 47 : VARIATION DE LA PERTE DE CHARGE D’UN ECOULEMENT EN FONCTION DU NOMBRE DE REYNOLDS(EXPERIENCE DE
NIKURADSE )
FIGURE 48 : ELARGISSEMENT BRUSQUE
FIGURE 49 : ENTRE DANS UN RESERVOIR
FIGURE 50 : RETRECISSEMENT D ’UNE SECTION DE CONDUITE
FIGURE 51 : QUELQUES VALEURS DU COEFFICIENT DE PERTE DE CHARGE SINGULIERE
FIGURE 52 : DILATATION DU TUYAU
FIGURE 53 : IMPLOSION OU ECRASEMENT DE LA CONDUITE
FIGURE 54 : CHEMINEE D ’EQUILIBRE
FIGURE 55 : SCHEMA D’UN RESERVOIR ANTI -BELIER
FIGURE 56 : VARIATION DU VOLUME D’AIR DANS UN RESERVOIR ANTI -BELIER
Page 4
Table des Matières
Chapitre 1 : Généralités
1.1
Introduction ................................................................................................................................. 9
1.2
Historique .................................................................................................................................... 9
1.3
Définitions ................................................................................................................................. 13
1.4
Lois de conservation .................................................................................................................. 13
1.5
Dimensions et unités ................................................................................................................. 14
Chapitre 2 : Propriétés des liquides
2.1
Introduction ............................................................................................................................... 16
2.2
Masse et Poids spécifique-Densité ............................................................................................ 16
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
Masse spécifique � ....................................................................................................... 17
Poids spécifique � ........................................................................................................ 17
Densité........................................................................................................................... 17
Volume spécifique �� ................................................................................................. 18
2.3
Compressibilité .......................................................................................................................... 18
2.4
Elasticité .................................................................................................................................. 19
2.5
Viscosité..................................................................................................................................... 19
2.5.1
Définition de la viscosité dynamique – Loi de Newton ................................................. 20
2.5.2
Viscosité cinématique  ................................................................................................ 21
2.5.3
Expérience de Couette .................................................................................................. 22
2.1
Tension de vapeur ..................................................................................................................... 23
2.2
cavitation ................................................................................................................................... 24
2.3
Tension superficielle
2.4
Capillarité................................................................................................................................... 25
2.5
Pression en un point .................................................................................................................. 27
............................................................................................................ 24
2.5.1
Forces de volume .......................................................................................................... 27
2.5.2
Forces de surface ........................................................................................................... 28
2.6
Propriété de la pression en un point ......................................................................................... 29
2.7
Définition de la pression............................................................................................................ 31
Page 5
2.8
Mesures de la pression.............................................................................................................. 32
2.8.1
les manomètres à tubes en U ........................................................................................ 32
2.8.2
Les manomètres métalliques: type manomètre de Bourdon ....................................... 32
2.8.3
Les piézomètres ............................................................................................................. 33
Chapitre 3 : Hydrostatique
1.1
Introduction ............................................................................................................................... 34
3.2.1
Hypothèses .................................................................................................................... 34
3.2.2
Démonstration............................................................................................................... 35
3.2.3
as d’u li uide sou is à la seule a tio de la pesa teu ............................................ 37
3.2.5.1
lignes isobares ....................................................................................................................... 39
3.2.5.2
lignes de séparation de liquides non miscibles ..................................................................... 40
3.2.5.3
Surfaces libres ....................................................................................................................... 40
3.2.5.4
Pression absolue et pression effective .................................................................................. 40
3.3.5
Cas d’u li uide a
l
3.3.6
Cas d’u li uide e
otatio .......................................................................................... 45
3.4
e
lo .................................................................................. 43
Force de pression (force de poussée hydrostatique) sur des parois ........................................ 46
3.4.1
Forces de poussée sur des parois planes en position inclinée ..................................... 47
c) La direction de la force � est normale à la surface � , ce qui est toujours le cas en
hydrostatique. ................................................................................................................................ 51
3.4.2
Forces de poussée sur des parois planes en position horizontale ............................... 52
3.4.3
Forces de poussée sur des parois planes en position verticale..................................... 52
3.4.4
Forces hydrostatiques sur une Paroi à surface courbe ................................................. 54
3.5
Forces hydrostatiques sur des corps immergés ........................................................................ 56
3.5.1
Fo e d’A hi
de ........................................................................................................ 56
3.5.2
Caractéristique d’u
3.5.3
Equilibre des corps immergés ....................................................................................... 58
o ps flotta t ............................................................................... 57
Chapitre 4 : Cinématique
4.1
Introduction ............................................................................................................................... 61
4.2
Mouve e t d’u fluide............................................................................................................. 61
4.2.1
Description de Lagrange ........................................................................................................ 61
4.2.2
Des iptio d’Eule ................................................................................................................ 63
4.3
4.3.1
Définitions ................................................................................................................................. 64
Trajectoire ............................................................................................................................. 64
Page 6
4.3.2
Ligne de courant .................................................................................................................... 64
4.3.3
Débit massique, Qm, et débit volumique, QV ......................................................................... 65
4.4
Equation de continuité .............................................................................................................. 66
4.4.1
Eta lisse e t de l’
uatio .................................................................................................. 66
4.4.2
Cas particuliers ...................................................................................................................... 67
Chapitre 5 : Hydrodynamique
5.1
Introduction ............................................................................................................................... 70
5.2
L’h d od a i ue des li uides pa faits ................................................................................... 70
5.2.1
E uatio s g
ales du
ouve e t
uatio d’Eule ...................................................... 71
5.2.2
E uatio s g
ales du
ouve e t
uatio s d’Eule ..................................................... 72
5.2.3
Equation caractéristique « équation complémentaire » ....................................................... 73
5.2.4
Equation de continuité .......................................................................................................... 73
5.2.5
Equations du mouvement le long de la trajectoire ............................................................... 74
5.2.6
Cas d’u li uide i o p essi le da s le ha ps de la pesanteur-Théorème de Daniel
Bernoulli 76
5.2.7
Rep se tatio de l’
5.2.7.1
Equation de Bernoulli sous forme analytique ....................................................................... 77
5.2.7.2
Equation de Bernoulli sous forme énergétique .................................................................... 77
5.3
uatio de Be oulli ........................................................................... 77
L’h d od a i ue des li uides
els ........................................................................................ 86
Chapitre 6 : Ecoulement dans les canalisations en charge
6.1
Introduction ............................................................................................................................... 92
6.2
E uatio g
ale du ouve e t pe a e t d’u ou a t li uide da s le champ de la
pesanteur .............................................................................................................................................. 93
6.3
Pe te de ha ge le lo g d’u
ou a t li uide pe te de ha ge li
elle-Théorème des
ai es "��" ) ..................... 100
6.3.1.1
P i ipe de l’a al se di e sio
6.3.1.2
Appli atio de l’a al se dimensionnelle en hydraulique.................................................... 101
ou de Vaschy-Buckingham ........ 100
6.3.1.3 Appli atio à l’ ta lisse e t de l’e p essio de la pe te de ha ge da s u
oule e t
rectiligne de section transversale constante ...................................................................................... 102
6.3.1.4
Notion de rugosité............................................................................................................... 104
6.3.3
Analyse des résultats ........................................................................................................... 107
6.4
Perte de charge singulières "��" ............................................................................................. 109
Chapitre 7 : Coup de Bélier
7.1
Introduction ............................................................................................................................. 114
Page 7
7.2
Description du coup de Bélier ................................................................................................. 114
7.7.4.1
Fo tio
e e t d’u
se voi a ti-Bélier ......................................................................... 122
7.7.4.2
Cal ul app o h du volu e d’ai da s le
se voi ............................................................. 122
Page 8
Chapitre 1
Généralités
1.1
Introduction
L‟hydraulique est une science aussi ancienne que la civilisation
humaine puisqu‟elle
commande toutes les utilisations de l‟eau, elle traite les lois de l‟équilibre et du mouvement
des liquides et établit des modes d‟applications de ces lois à la résolution des problèmes
pratiques. Généralement on trouve l‟hydraulique dans plusieurs domaines telle que:
l‟alimentation en eau potable, l‟assainissement, l‟irrigation, le drainage, le traitement des
eaux, l‟épuration des eaux, les ouvrages hydrauliques…etc.
L‟importance de l‟étude de l‟hydraulique devient de plus en plus grande à cause des
problèmes rencontrés dans la pratique comme : le coup de bélier dans les conduites, les ondes
de crue, les inondations, la remonté et pollution des nappes souterraines…etc.
1.2
Historique
On possède de nombreux témoignages de l‟existence d‟ouvrages hydrauliques datant de la
préhistoire, notamment en Egypte et en Mésopotamie où ont été découvert des vestiges
d‟ouvrages d‟irrigation remontant à une période antérieure à 4000 ans avant l‟ère chrétienne.
En Egypte on a retrouvé les traces des canaux d‟assainissement de la vallée du Nil . La
construction de puits en Egypte fût un procédé utilisé postérieurement à la construction de
canaux. Un des premiers rois égyptiens fit construire un barrage en enrochements sur le Nil à
Memphis (ancienne capitale de l‟Egypte, à 22Km au sud du Caire).
En Mésopotamie, la région arrosée par le tigre et l‟Euphrate se prêtait également à l‟utilisation
des eaux pour l‟irrigation ; on y a retrouvé des traces de canaux dont la création remonte à
environ 4000 ans avant l‟ère chrétienne.
En Inde et au Pakistan, des fouilles ont révélée l‟existence de bains alimentés par des tuyaux
et se déversant dans des canalisations souterraines.
En Iran, au moyen orient, et en Afrique du nord des galeries souterraines de captage des
nappes de faible profondeur pour les besoins d‟irrigation datent de cette époque(les foggaras
des oasis saharienne).
Page 9
En définitive l‟hydraulique de l‟antiquité fut un art sans aucune base scientifique, en dehors
du principe d‟approximations successives vers le but cherché. Néanmoins l‟œuvre de ces
anciens constructeurs a permis à leurs successeurs le développement de la science de
l‟hydraulique.
Le développement ultérieur de l‟hydraulique repose essentiellement sur l‟amélioration des
outils mathématiques et sur les notions de la mécanique.
Parmi les nombreux manuscrits d‟Archimède (287-212 av. J-C), de l‟école d‟Alexandrie,
citons une analyse en deux volumes de l‟hydrostatique et de la flottabilité qui renferment la
théorie de la stabilité des corps flottants. Ctesibios inventeur d‟orgues hydrauliques et de la
première pompe aspirante et foulante appartient à la même école (Alexandrie).
L‟hydraulique fut retardée dans son développement jusqu‟au moment où la méthode
expérimentale fit son apparition dans le domaine de la mécanique. En cette période apparut
Léonard de Vinci , savant universellement (1452-1519), il projeta et dirigea des travaux de
canalisations et constructions portuaires en Italie Centrale. Il a établit le projet d‟un canal
reliant la Loire à la Saône. Léonard de Vinci attachait la plus grande importance à
l‟expérience, il écrivit un ouvrage intitulé " Sur le mouvement et la mesure de l‟eau " .
Un mathématicien hollandais de cette époque Simon Stevin (1548-1620 ) publia son ouvrage
d‟hydrostatique en 1586, il expliqua le paradoxe hydrostatique connu sous le nom de
"paradoxe de Stevin".
G.Galillée (1564-1642) examina les lois principales sur la chute des corps.
Evangélista Torricelli (1608-1647) élève de G.Galillée, applique les lois du maître au
mouvement des liquides. Ce ne fut seulement qu‟au milieu du 18ième siècle qu‟on put enfin
comprendre que la formule de Torricelli v =
2gh
s‟appliquait seulement à la section
contractée de la veine.
Edmé Mariotte(1620-1684) fut le premier hydraulicien notable du 17ième siècle qui
n‟apparient pas à l‟école italienne. Son principal ouvrage en matière d‟hydraulique est le
"Traité du mouvement des eaux et des autres corps fluides "publié en 1686, deux ans après sa
mort.
Blaise Pascal (1623-1662) apporta ainsi une très importante contribution à l‟hydraulique en
donnant la forme définitive de l‟hydrostatique. Il établit le postulat fondamental de
l‟hydrostatique.
Newton (1642-1728) exprima la proportionnalité de la contrainte de frottement au gradient
transversal des vitesses.
Page 10
Leibnitz(1646-1716) introduisit le concept des quantité de mouvement (actuellement énergie
cinétique).
Cependant l‟apparition de l‟hydraulique en tant que science avec une base théorique solide
n‟est devenu possible qu‟après les ouvrages de : Daniel Bernoulli (1700-1782), qui publia en
1738 son ouvrage „‟Hydrodynamique‟‟ dans lequel il exposa une équation appelée l‟équation
de Bernoulli.
Léonard Euler (1707-1783), qui fonda définitivement la science de l‟hydrodynamique et les
équations qui régissent l‟écoulement d‟un fluide non visqueux.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) qui développa largement les travaux d‟Euler.
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) contemporain de Lagrange développa surtout la
mécanique céleste.
Au début du 18ième siècle, trois méthodes expérimentales avaient été imaginées par : Galilée,
Newton, Mariotte, Rouse et Robins.
Jean-Charle Borda (1733-1799) a associé l‟étude de l‟écoulement par les ajutages rentrants,
par application des quantités de mouvement, ainsi que la perte de charge résultan d‟un
élargissement brusque.
L‟abbé Charles Bossut (1730-1814) et le conte Du Buat (1734-1809) sont les premiers
fondateurs de la technique expérimentale (père des laboratoires d‟hydraulique).
L‟étude de l‟écoulement dans les canaux et l‟établissement d‟une formule tenant compte de la
résistance opposée par les parois et le fond du canal en régime uniforme, firent l‟objet de
nombreux travaux et recherches. c‟est à ingénieur Antoine Chézy (1718-1798) que revint
l‟honneur d‟établir la première formule d‟écoulement dans les canaux.
Grâce à l‟expérimental plusieurs dispositifs ont apparût tels que : le piézomètre, le tube de
Pitot, le moulinet, le model réduit, et le bassin des carènes.
Adhémar Barré de Saint Venant (1797-1886) étudia l‟écoulement non permanent.
Henri-Emile Bazin (1829-1917) étudia le mouvement uniforme et l‟écoulement par les
déversoirs.
De très nombreux savants (hydrauliciens, mathématiciens et médecins…etc) contribuèrent,
dans plusieurs pays,
au développement de l‟hydraulique tel que Charles- Augustin de
Coulomb (1736-1806), le baron Riche de Prony (1755-1839), Jean-Baptiste Belanger (17891874) , Ludwig Hagen (1797-1884), Jean-Louis Poiseuille ( 1799-1869), Julius Weisbach
(1806-1871), Jean-Claude Barré de Saint Venant (1797-1886), Gaspard-Gustave de Coriolis
Page 11
(1792-1843), Ludwig Hagen (1797-1884) et 60 ans plus tard Reynolds, Jean-Louis Poiseuille
(1799-1869), ….etc.
Julius Weibach (1806-1871) fut le premier à écrire l‟équation de la perte de charge.
George-Gabriel Stokes (1819-1903) introduisit le coefficient de viscosité dynamique et qui
aboutit aux équations classiques de Navier-Stokes concernant les fluides visqueux.
Osborne Reynolds (1842-1912) a réalisé un modèle et a étudié expérimentalement le
mouvement laminaire et le mouvement turbulent. La technique des bassins des carènes pour
l‟essai des modèles de navires fut développé par les deux anglais : William Froude (18101879) et son fils Robert- Edmunt Froude (1846-1924).
Enfin, la fin du 19ième siècle marqua le développement de l‟école américaine, tels que : LesterAllen Pelton (1829-1908), Clemens Hershel (1842-1930)…etc.
Nocolaï Joukowsky (18472-1934) a étudié le phénomène du coup de bélier dans le cas d‟une
manœuvre brusque.
Au début du 20ième siècle, l‟école allemande prit un essor remarquable avec Hubert Engels
(1854-1945), Théodor Rehbock (1864-1950), Hermann Foettinger (1877-1945) (cavitation,
convertisseurs hydraulique de couple), Diétrich Thoma (cavitation et l‟autrichien Victor
Kaplan (1876-1934).
En France, M. Camichel (1871-1966) créa le laboratoire d‟hydraulique de Toulouse. Vers la
même période se créa un autre laboratoire, à Grenoble actuellement devenu SOGREAH (coup
de bélier, régulation des turbines…etc.).
Et après la dernière guerre, parmi les ingénieurs et chercheurs qui ont contribué au
développement du laboratoire de l‟ile de Chatou à proximité de Paris, citons : M.Nizery(19071954), Gridel (1903-1970), Banal, Valembois et Remenieras. Outre les laboratoires, de
nombreuses expériences furent réalisées sur le terrain, notamment dans le domaine de
l‟hydraulique agricole aux états unis et aux Indes.
Sur le plan mathématique, on développa l‟étude analytique du coup de bélier Allievi (18561941).
Cette science étend actuellement ses frontières au delà de son domaine traditionnel. La
recherche hydraulique se développe très largement dans les laboratoires industriels et
universitaires. Aux outils traditionnels tels que les essais sur modèles réduits, sont venues
s‟ajouter les techniques de simulation numérique sur ordinateur.
Page 12
1.3
Définitions
Un fluide est un corps physique sans rigidité dont une des principales propriétés est de subir
de grandes déformations non élastiques sous l‟action de forces extérieures faibles. Cette
propriété que l‟on appelle fluidité, est due à une grande mobilité des particules fluides.
A l‟encontre des solides, un fluide n‟offre aucune résistance aux déformations. Parmi les
fluides, on distingue les liquides et les gaz. En hydraulique on ne s‟intéressent qu‟au liquide.
Un liquide est un fluide particulier. Il nécessite un contenant, sans quoi il “coule”. Il prend la
forme du récipient qui le contient et produit une surface libre quand il est en contact avec
l‟atmosphère. La surface libre est plane et horizontale, si le liquide ne subit que le champ de la
pesanteur et si l‟on néglige la courbure de la terre.
Le liquide parfait est supposé isotrope, c'est-à-dire possédant les mêmes propriétés dans toutes
les directions (sauf pour la cavitation), de plus il est incompressible.
L‟eau est un fluide pratiquement incompressible sauf dans certains cas (coup de bélier par
exemple) .
Les ondes élastiques peuvent se propager au sein des liquides (Par exemple on peut
déterminer la vitesse de propagation d‟une variation de pression dans un liquide).
1.4
Lois de conservation
Les forces qui agissent sur un liquide sont de deux types :
 Les forces de volumes : en hydrodynamique, ce sont les forces de pesanteur, et les
forces d‟inertie (accélération)
 Les forces de surface : en hydrodynamique des liquides parfaits, ce sont les forces
dues à la pression auxquelles s‟ajoutent en hydrodynamique des liquides réels les
forces dues aux frottement.
L‟importance relative des différentes forces agissant sur un liquide est paramétrisée par des
nombres adimensionnels représentant les rapports entre ces forces.
-
Le nombre de Reynolds est le rapport des forces d‟inertie et des forces de frottement.
-
Le nombre de Froude représente le rapport des forces d‟inertie et des forces de
pesanteur.
-
Le nombre d‟Euler est le rapport des forces d‟inertie et des forces de pression.
Grâce à ces nombres adimensionnels, des similitudes hydrodynamiques peuvent être établies
entre des écoulements aux dimensions géométriques différentes.
Page 13
Pour établir les équations du mouvement d‟un fluide, il faut déterminer la relation entre les
différentes forces agissant sur un volume quelconque du liquide.
Pour décrire les mouvements d‟un fluide on applique les trois lois de conservation suivantes :

Conservation de la masse (principe de continuité)

Conservation
de
la
quantité
de
mouvement
(
principe
fondamental
de
l‟hydrodynamique)

Conservation de l‟énergie (premier principe de la thermodynamique)
Et pour compléter ces équations on effectue des essais expérimentaux. C‟est pourquoi on dira
que l‟hydraulique est semi empirique.
1.5
Dimensions et unités
Un système d‟unités est l‟ensemble des unités cohérentes qui expriment un certain nombre de
grandeur physique. La valeur d‟une grandeur dépend donc du système qu‟on a choisi.
Les systèmes d‟unités utilisés habituellement sont basés sur les grandeurs fondamentales.
Toutes les grandeurs physiques sont exprimées par des dimensions et ces dimensions sont
quantifiées par des unités. Actuellement on utilise le système international (SI).
Les unités de base utilisées couramment sont :
Pour la longueur (l) : L en mètre [m]
Pour le temps (t) : T en seconde [s]
Pour la masse(m) : M en kilogramme [Kg]
Pour la température (T) : en degré kelvin [°K]
Toutes les grandeurs physiques s‟expriment en fonction des trois grandeurs fondamentales
(vitesse, force et travail) :
=
Dans le système SI : la vitesse : = [m/s]
Selon la loi de Newton pour le mouvement d‟une masse constante, on écrit :
=
Dans le système SI : Force :
2
×
=N, dit Newton
=
×
2
Dans le système SI : Travail :
2
=[Nm]= [j], dit joule
Page 14
Chaque fois que l‟on écrit une équation physique, on affirme que deux grandeurs sont égales.
Une première condition pour quelles le soient c‟est quelles aient la même nature, c'est-à-dire
les mêmes dimensions .
Une première application de l‟écriture dimensionnelle consiste à vérifier les calculs physiques
par l‟écriture des expressions des deux membres sous forme dimensionnelles. C‟est une
vérification à effectuer de façon permanente.
Une deuxième application consiste à rechercher les dimensions d‟un paramètre nouveau
introduit par l‟expérience
(voir plus loin, la recherche des dimensions de la viscosité
dynamique µ, ou la recherche de l‟expression générale de la perte de charge).
Nous résumons sans le tableau 1, les principales grandeurs physiques
Tableau n°1 : Quantités physiques-dimensions et unités
Grandeur
Symbole
Dimension
Unité SI
Longueur
L
L
M
Temps
T
T
S
Température
T
Surface
S
L2
m2
Volume
V
L3
m3
Vitesse
U
L.T-1
m.s-1
Accélération
G
L·T-2
m.s-2
Force
F
M.L.T-2
Kg. m.s-2 =N
Poids
G
M.L.T-2
Kg. m.s-2 =N
Poids volumique
ɷ
M.L-2.T-2
N.m-3
M.L-3
Kg.m-3
Masse volumique
°K
Débit
Q
L3.T-1
m3.s-1
Pression
P
M.L-1.T-2
N. m-2=Pa
Energie
E
M.L2.T-2
N.m=J
W
2
N.m=J
Travail
Quantité de mouvement
m.U
M.L .T
M.L.T
2
-2
-1
-3
N.s
N.m. s-1=W
Puissance
Pu
M.L .T
Viscosité dynamique
µ
M.L-1.T-1
Kg .m-1 s-1
Viscosité cinématique

L2.T-1
M2 s-1
N : Newton ; Pa : Pascal ; J : joule ;W : Watt ; K : Kelvin
Page 15
Chapitre 2
Propriétés des liquides
2.1
Introduction
Dans l‟établissement des principes de l‟hydraulique, certaines propriétés des fluides jouent un
rôle important, d‟autres seulement un rôle mineur ou aucun rôle du tout.
Tous les fluides possèdent des caractéristiques permettant de décrire leurs conditions
physiques dans un état donné. On essaie d‟exprimer ces caractéristiques, qu‟on appelle
propriétés du fluide, au moyen d‟un nombre limité de base.
En hydrodynamique les propriétés dominantes sont la densité et la viscosité. cette dernière
provoque une dissipation de l‟énergie cinétique de la masse fluide en mouvement, cette
énergie est transformée en chaleur.
Pour un fluide au repos, la viscosité n‟intervient plus, on pourra considérer le fluide au repos
comme un fluide parfait. En hydrostatique, c‟est le poids spécifique qui est la propriété la plus
importante.
La pression de vapeur prend de l‟importance quand interviennent des pressions
manométriques (phénomène de cavitation).
La tension superficielle influe sur les conditions statiques et dynamiques dans les conduits très
étroits, c‟est le phénomène de capillarité.
L‟objet de ce chapitre est de définir les propriétés des liquides.
Ce chapitre permet d‟introduire la notion de pression à partir de l‟analyse des forces agissant à
l‟intérieur des liquides.
La notion de pression est fondamentale. Elle est aussi valable pour un liquide au repos que
pour un liquide en mouvement c'est-à-dire que ce facteur est très important dans tous les
chapitres d‟hydraulique.
2.2
Masse et Poids spécifique-Densité
Dans le champ de la pesanteur on peut remarquer que les fluides sont des corps pesants.
Page 16
Pour caractériser un fluide, il est donc indispensable d‟abord de déterminer sa masse
spécifique et son poids spécifique.
2.2.1
Masse spécifique
La masse spécifique
d‟un corps est la rapport de sa masse et de son volume. C‟est la
mesure de la masse dans une certaine quantité de liquide. Elle correspond aux nombre de
molécules contenues dans le volume. L‟expression dimensionnelle est ML-3.
=
�
(1)
Le liquide est considéré comme homogène si sa masse volumique est égale en tous les points.
La masse volumique de l‟eau ordinaire pure ne diffère pratiquement pas de celle de l‟eau
distillée, et elle est prise pour les calculs hydrauliques égale à 1000 kg / m3 à 4°Celsius ou
encore =1g/cm3, elle varie en fonction de la température.
2.2.2
Poids spécifique
�
Le poids spécifique est la force d‟attraction que la terre exerce sur l‟unité de volume, c‟est le
rapport de son poids G et de son volume V, et en particulier le poids de l‟unité de volume.
=
L‟expression dimensionnelle est :
ML T −2
3
�
(2)
= ML−2 T −2 .
La masse spécifique et le poids spécifique sont liés par la relation suivante
∗
=
est la masse volumique, g ep se te l’a
égale à 10 m/s2 ou 9.81m/s2.
2.2.3
(3)
l atio de la pesa teu o la p e d g
ale e t
Densité
La caractéristique principale d‟un liquide est sa densité, qui forme un champ de densité
scalaire dans l‟espace occupé par ce liquide.
La densité est le rapport du poids ou de masse d‟un corps au poids ou masse d‟un égal volume
d‟eau dans des conditions standard (Pa =1 atm, T= 4°Celsius). Il résulte de cette définition que
la densité est un nombre sans dimensions.
Page 17
=
�
=
(4)
�
Si la température augmente, les molécules du fluide s'écartent et la densité diminue. Si la
température baisse, c'est l'inverse.
L'eau a un comportement exceptionnel ; sa densité est maximale à 4°C (par suite de
changement dans la disposition cristalline des molécules).
2.2.4 Volume spécifique ��
Rep se te le volu e pa asse u itai e, ’est l’i ve se de la
=
L’e p essio dimensionnelle est :
2.3
asse volu i ue
(5)
3
Compressibilité
Pour un liquide, la masse spécifique,
, dépend de la température et de la pression. On
définit la compressibilité volumique qui est le rapport entre la variation de pression et la
variation relative du volume qu‟elle provoque.
�=−
�
=−
�
×
(6)
C‟est la grandeur inverse du coefficient d‟élasticité . Il faut noter que plus le liquide est
élastique, plus sa compressibilité volumique est petite.
Un liquide est incompressible si sa masse volumique
est constante quelque soit la variation
de la pression, ce qui constitue une approximation excellente car est constante.
Dans la plupart des problèmes d‟hydraulique, l‟eau sera supposée pratiquement
incompressible sauf toutefois, pour l‟étude du Coup de Bélier dans les canalisations où la
compressibilité de l‟eau intervient.
Pour l‟eau à la température ordinaire, � =20000 bars, ce qui signifie qu‟une augmentation de
pression de 1 bar entraîne une diminution de volume de 1 20000.
Page 18
2.4
Elasticité
Par analogie avec l‟élasticité d‟un solide, on définit le coefficient d‟élasticité
ou module de
Young par le rapport de l‟augmentation de pression à l‟augmentation relative de volume ou de
masse spécifique, soit :
=−
�
=
−
(7)
Le signe moins(–) indique qu‟une augmentation de pression entraine une diminution de
volume, et donc une augmentation de la masse spécifique.
a les dimensions d‟une pression et s‟exprime dans les mêmes unités. C‟est aussi l‟inverse du
coefficient de compressibilité.
On définit le rapport :
ℒ=
�
(8)
qu‟on appelle célérité (vitesse) du son, dans un milieu fluide de masse volumique, . C‟est la
vitesse à laquelle des perturbations de pression se propagent à travers un fluide non confiné
Un liquide est un fluide occupant un volume déterminé, ou du moins ce volume ne peut varier
que très peu, et seulement sous l‟action de fortes variations de pression et de température.
En général, le principe de conservation de la masse se ramène à celui de la conservation du
volume.
2.5
Viscosité
La viscosité d‟un fluide est la mesure de sa résistance à l‟écoulement. La viscosité détermine
la vitesse de mouvement du fluide (par exemple, la vitesse de déplacement d'une cuillère dans
un bol: plus le liquide est visqueux, plus le mouvement est lent). L'addition d'une faible
quantité de substance en suspension ou en solution peut augmenter grandement la viscosité du
liquide. La viscosité est une propriété intensive qui permet de distinguer un fluide parfait d‟un
fluide réel.
Page 19
2.5.1
Définition de la viscosité dynamique – Loi de Newton
Considérons 2 couches distantes de dz. La force de frottement (force tangentielle) ou tension
de frottement  qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au
glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des
couches soit du, à leur surface S et inversement proportionnelle à dz.
Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une section droite
perpendiculaire à l'écoulement d'ensemble, la courbe représente le profil de vitesse. La vitesse
de chaque couche est une fonction de la distance z de cette courbe au plan fixe.
FIGURE 1 :PROFIL DE VITESSE
Dans un fluide, la force de frottement (force tangentielle) par unité de surface ou tension de
frottement, τ, est proportionnelle au gradient de vitesse de l‟écoulement,
dU
dZ
. La loi de la
viscosité de Newton ou de Stokes s‟exprime comme suite :
τ=
dU
dZ
(9)
Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de
fluide les unes sur les autres. Le déplacement du fluide se fait en couches parallèles,
l‟écoulement est dit laminaire. Le facteur de proportionnalité est le coefficient de viscosité µ,
on écrit alors :
: est la tension de frottement
τ=µ
dU
dZ
Page 20
(10)
: est le facteur de proportionnalité, c‟est la viscosité dynamique ou absolue du fluide.
L‟expression dimensionnelle est : [ ] = M·L-1·T-1.
Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité est le Kg. m-1.s-1. Et dans le système
C.G.S, l‟unité est le poise où 1 poise = 1 gcm-1s-1.
2.5.2
Viscosité cinématique 
La viscosité cinématique, , est définie comme étant le rapport entre la viscosité
dynamique, µ, et la masse volumique, :
=
µ
(11)
L‟expression dimensionnelle est : [] = L2·T-1. Dans le système international (SI), l'unité de
la viscosité n'a pas de nom particulier : (m2/s). Dans le système CGS, l'unité est le Stokes (St)
où 1 Stokes = 1 cm2/s.
D‟une manière générale, le coefficient de viscosité , µ , des liquides est supérieur à celui des
gaz. Par contre leur viscosité cinématique,  , est souvent inférieur à celle des gaz.
La viscosité cinématique des liquides ne dépend guère de la pression, mais elle varie avec la
température . La viscosité cinématique de l‟eau décroit lorsque la température augmente,
tandis que celle de l‟air augmente avec la température.
Les fluides qui obéissent à la loi de Newton, équation 10, sont appelés fluides Newtoniens.
L‟eau et d‟autres liquides ainsi que l‟air (voir tableau 2) appartiennent à cette catégorie.
Certains fluides, tels que la peinture, le plastique liquide…etc ou les suspensions concentrées,
ne se comportent pas selon l‟équation 10, et sont appelés fluides non newtoniens. L‟étude de
ces fluides constitue le domaine de la rhéologie.
La viscosité peut être mesurée au moyen de différents dispositifs :
-
Viscosimètres à tube : dans ce groupe, on trouve les viscosimètres d‟Ostwald, de
Saybolt, d‟Engler et de Redwood. Ces instruments fonctionnent d‟après le principe
d‟écoulement (vidange) non permanent et laminaire d‟un liquide de volume fixe à
travers un orifice. Le temps de vidange permet de mesurer la viscosité dynamique .
Page 21
FIGURE 2 : VISCOSIMETRE DE SAYBOLT
-
Viscosimètres rotatifs: Dans ce groupe, on retrouve les viscosimètres de MacMichael
et de Stormer. Ces instruments sont constitués de deux cylindres concentriques dans
l‟espace entre eux est rempli du liquide considéré. L‟essai repose sur l‟expérience de
Couette.
2.5.3
Expérience de Couette
On considère un fluide remplissant l‟espace délimité par les surfaces solides de deux
cylindres de même axe. On met le cylindre extérieur en rotation avec une vitesse
angulaire constante. Le cylindre intérieur, initialement fixe se met à tourner dans le même
sens. Le fluide en contact avec le cylindre extérieur va y adhérer et par conséquent va être
animé de la vitesse V du cylindre extérieur.
FIGURE 3 : VISCOSIMETRE ROTATIF
Page 22
Le fluide en contact avec le cylindre fixe aura
une vitesse nulle. La viscosité fait naître une force de frottement que l‟on mesure par le
couple M.
Les expériences ont montré que
-
si e est faible par rapport au rayon intérieur r, la courbe représentative de la
variation de la vitesse entre r et r+e est une droite ;
-
Le couple (M) varie proportionnellement à la vitesse et on a :
2
=
2.1
(12)
Tension de vapeur
L‟ébullition est un phénomène de changement d‟état, dans lequel le liquide passe à l‟état de
vapeur. Tous les liquides ont tendance à s‟évaporer ; la phase liquide se transforme en phase
gazeuse. Au cours de cette transformation, les molécules de vapeur exercent une pression
appelée pression de vapeur saturante, Ps. La pression ou tension de vapeur croit avec la
température, et varie pour chaque liquide.
L‟eau bout lorsque la pression absolue, imposée à la surface libre, devient égale(ou inférieure)
à la pression de vapeur, Pv. Le point d‟ébullition dépend de la pression imposée ainsi que de
la température. Dans le cas de l‟eau, la pression de vapeur croît avec une augmentation de la
température (T).
La pression de vapeur saturante pour l‟eau est donnée par la relation empirique suivante
log10
= 22.435 −
: en [N/m2]ou [Pa] ;
2795
T+273.15
− 3.868log10 (T + 273.15)
(13)
T : en °Celsius.
Si, à température constante, on abaisse la pression à la surface d‟un liquide, ce dernier se met
à bouillir lorsqu‟on atteint la pression de vapeur saturante correspondant à cette température.
Dans l‟écoulement des liquides, il peut arriver que la pression en certains points devienne
inférieure à la pression de vapeur saturante. Le liquide entre alors localement en ébullition et
des bulles de vapeur apparaissent au sein même de l‟écoulement. Ce phénomène, appelé
Page 23
cavitation, est le plus souvent nuisible pour les installations où il se produit (canalisation,
pompes, turbine…).
2.2
cavitation
La cavitation est l‟apparition d‟une cavité de vapeur d‟eau qui en se résorbant à grande vitesse
produit des dégradations graves des parois de la conduite sur lesquelles elles peuvent prendre
naissance. La cavitation est influencée par la présence d‟air dissous(25cm3/Litre par exemple
à la température ordinaire sous 2 bars de pression).
On peut définir un paramètre adimensionnel, c‟est le nombre de cavitation :
=
′−
(14)
P ′ : pression absolue ;
PV : pression de vapeur ;
V : vitesse de référence.
Si
= 0, la pression absolue est réduite à la pression de vapeur, et le phénomène de
cavitation apparait.
2.3
Tension superficielle
Une molécule située à l‟intérieur d‟un liquide est soumise à des forces d‟attraction agissante
dans toutes les directions, et la somme vectorielles de celles-ci est nulle. Cependant, une
molécule située à la surface d‟un liquide ou à la surface de séparation de deux liquides non
miscibles n‟est plus soumise à l‟action de forces symétriques, puisqu‟elle n‟est plus entourée
symétriquement par d‟autres molécules de même nature. Ainsi la résultante des forces
moléculaires n‟est plus nulle. La molécule liquide est soumise à une force de cohésion bien
déterminée, dirigée vers l‟intérieur et perpendiculaire à la surface.
La tension ou énergie superficielle se manifeste à la surface libre d‟un liquide ou à la surface
de séparation entre deux fluides non miscibles. c‟est cette force d‟attraction qui donne sa
forme à la surface libre d‟un liquide.
Page 24
Les effets de tension superficielle ne sont pas importants dans les écoulements en eau potable
ou en assainissement et ne sont donc pas pris en compte.
FIGURE 4 : REPRESENTATION DES FORCES D’ATTRACTION
La tension superficielle est le travail nécessaire pour amener à la surface suffisamment de
molécules de l‟intérieur du liquide pour former une nouvelle unité de cette surface. Ce travail
est égal à la force tangentielle de contraction agissant le long d‟un segment de longueur unité
sur la surface. L‟unité de la tension superficielle est donc la force par longueur unitaire ou
énergie par surface unitaire ; dans le système SI, elle a comme unité : [N/m].
La tension superficielle,
, dépend des forces intermoléculaires, de la température et des
surfaces de contact entre les liquides et leur vapeur ou entre deux liquides.
La tension superficielle intervient par exemple dans la montée capillaire des liquides dans les
interstices et formation de gouttelettes ou de bulles d‟air.
2.4
Capillarité
Les phénomènes de capillarité qui se produisent à la surface libre d‟un liquide dans un tube
étroit sont dus à la tension superficielle.
On constate une surélévation de la surface libre avec formation d‟un ménisque concave, si le
liquide mouille la paroi, un abaissement de la surface libre avec formation d‟un ménisque
convexe si le liquide ne mouille pas la paroi.
Une relation entre la hauteur, ∆h, de la montée-le liquide mouille le tube-ou de la dépressionle liquide ne mouille pas le tube- et la tension superficielle,
Page 25
,est donnée par:
∆h =
Rω
cos 
(15)
FIGURE 5 : TUBE CAPILLAIRE
R étant le rayon du tube,  : est l‟angle de raccordement ou de contact du liquide avec la
paroi du tube. Pour l‟angle de contact on donne : Eau/air :  = 0° ; Mercure/air : = 130°
Nous résumons dans le tableau 2 les propriétés de quelques liquides.
Tableau N°2 : Propriétés physiques de quelques liquides (CRC « Handbook of chemistry and
physics ». 1980-1981, USA)
Liquide
(kg / m3 )
 (m2/s)
(N/m )
PV (N / m2 )
× 109 (N / m2 )
(en contact avec l‟air)
Eau
998.2
1.004× 10
1025.0
−6
0.0728
2339.0
2.18
1.2× 10−6
-
-
-
13555.0
1.1× 10−7
0.51
0.17
26.20
788.6
1.5× 10−6
0.023
5860.0
1.21
Glycérine
1257.6
1.2× 10−3
0.063
0.014
4.34
Essence
680.3
4.3× 10−7
-
55200.0
-
(1atm,20°c)
Eau de mer
(1atm,15°c)
Mercure
(1atm,15.6°c)
Alcool éthyle
(96% dans l’eau)
(1atm,20°c)
Page 26
Tableau n°3 : P op i t s ph si ues de l’eau (CRC « Handbook of chemistry and physics ». 1980-1981,
USA)
(kg / m3 )
T (°C)
× 106 (m2/s)
(N/m )
PV (N / m2 )
× 109 (N / m2 )
(en contact avec l‟air)
0
999.8
1.787
0.0756
610
2.00
10
999.7
1.307
0.0742
1228
2.09
20
998.2
1.004
0.0728
2339
2.18
40
992.2
0.658
0.0696
7378
2.26
60
983.2
0.474
0.0662
19923
2.26
80
971.8
0.365
0.0626
47359
2.19
100
958.4
0.294
101360
55200.0
2.08
2.5
Pression en un point
Les forces qui agissent sur un volume fini de liquide sont de deux types :
-
Les forces de volumes;
Les forces de surfaces
2.5.1
Forces de volume
Ces forces sont proportionnelles à la masse du liquide. Ce sont les forces extérieures dues à
l‟action du (ou des) champ(s) de force auquel est soumis le liquide. Elles se composent des
forces suivantes :
-
Les forces de pesanteur provenant de la gravité, ou autre accélérations diverses
(exemple : liquides situés dans les engins mobiles, forces d‟inertie,….) ;
-
Les forces provenant de la variation de la vitesse (V) de la masse (M) du fluide dans
le temps :
exemple : deux réservoirs à la même hauteur, dont l‟un est vide et l‟autre plein, reliés
par une conduite de diamètre constant, horizontal et muni d‟une vanne. A l‟ouverture
de la vanne, il se produit un écoulement. La variation de la vitesse dans le temps
V/t crée au sein de l‟écoulement une force d‟accélération
-
Les forces provenant de la variation de la vitesse (V) de la masse (M) du fluide dans
l‟espace.
Exemple : Prenons une conduite dont l‟écoulement ne varie pas dans le temps
= 0. L‟écoulement étant permanent, le débit est identique en tout point de la
Page 27
canalisation. Or, si la surface A est supérieure à la surface B alors la vitesse en B (Vb)
est supérieur à la vitesse en A (Va). Cette variation de vitesse va engendrer une
accélération qui va générer une force d‟accélération.
FIGURE 6 : REPRESENTATION DES REGIMES DANS UNE CANALISATION
2.5.2
Forces de surface
Les forces de surface sont réparties de façon continue sur les surfaces du liquide étudié et
proportionnelle aux surfaces considérées .
Ces forces intérieures sont dues à l‟action des particules situées de part et d‟autre de chaque
surface étudiée.
Elles peuvent être aussi dues à l‟action des corps (solides ou liquides) limitant la surface
étudiée du liquide. Elles se composent des forces suivantes :

Les forces de pression :La pression (p) est le rapport entre une force F agissant
perpendiculairement à la surface (A) d‟un fluide :

=
Les forces de frottement de viscosité : lorsque les particules d‟un fluide sont en
mouvement relatif, elles génèrent des forces de frottement dues à la viscosité.

Les forces générées par la turbulence : La turbulence joue un rôle majeur dans
l‟écoulement des fluides. Elle a tendance à « freiner » l‟écoulement.
Page 28
2.6
Propriété de la pression en un point
Examinons un corps liquide de volume limité au repos, (il n‟existe pas de forces tangentielles)
et divisons-le en deux parties par un plan. Rejetons une partie et remplaçons son action par la
force F (voir fig.7).
FIGURE 7: REPRESENTATION DE LA PRESSION EN UN POINT
La pression moyenne Pmoy exercée par la force F sur une unité de surface S est définie par
l‟expression suivante :
=
(16)
La limite de ce rapport à la diminution de la surface S jusqu‟à zéro exprime la pression au
point donné :
= limS→∞
(17)
La pression est toujours dirigée suivant la normale intérieure vers la surface d‟action.
Dans un liquide au repos, la pression est indépendante de la direction. Pour démontrer cette
propriété, on considère un petit élément du liquide en forme de tétraèdre élémentaire (Fig.8).
Le tétraèdre est soumis à l‟action des forces superficielles Fx , Fy , Fz et Fn . En plus des ces
forces il y‟a l‟action de la
pesanteur, et des forces d‟inertie (s‟il y‟a mouvement). La
pesanteur et les forces d‟inertie sont des forces de masse.
En désignant le rapport de la résultante des forces de masse à la masse du liquide(accélération
des forces de masse) par N et tenant compte du volume du tétraèdre W :
W=
1
6
.
.
Page 29
(18)
FIGURE 8: TETRAEDRE ELEMENTAIRE
On peut définir la résultante comme
ρ .
Faisant la projection de toutes les forces sur l‟axe Ox, on obtient l‟équation de l‟équilibre sous
la forme suivante :
−
cos( , ) +
=0
(19)
( n,x ) est l‟angle entre la surface ABC et l‟axe Ox.
En désignant la surface OBA par Sx et en divisant l‟équation (16) par Sx , on obtient :
=
Et comme
=
cos( , ) et
=
=
1
2
cos ( , )
(20)
l‟équation (17) prend la forme suivante
.
−
−
1
3
. .
(21)
De la même façon, on obtient les équations correspondant aux axes Oy et Oz. En passant à la
limite à :dx
0, dy→ 0, dz→ 0 , on trouve :
=
=
=
Page 30
(22)
par conséquent, la pression hydrostatique en un point est égale dans toutes les directions. La
pression hydrostatique dans un point donné dépend des coordonnées (position) du point dans
le volume du liquide et de la masse volumique, c‟est-à-dire :
=
2.7
, , ,
(23)
Définition de la pression
a) Dans un fluide réel en écoulement, la pression sur un élément de surface est une
grandeur scalaire et non vectorielle, elle est variable suivant l‟orientation de l‟élément
au sein de la masse liquide. La pression en un point d‟un liquide visqueux (réel) en
mouvement varie suivant la direction dans la quelle on la mesure.
Si le liquide visqueux est au repos, la viscosité n‟intervient plus et la pression en un
point est la même dans toutes les directions autour de ce point.
b) La pression atmosphérique est la pression exercée par l'atmosphère à la surface de la
terre. Elle varie tous les jours légèrement, elle est néanmoins voisine de 1 bar.
L‟unité de la pression est : 1bar=105pascal=1000mbar ; et 1 pascal=1N/m2
c) Dans un liquide, la pression croît de haut en bas (voir figure.9). La pression en
2
2
>
1
1
z
Z
M1(z1)
M2(z2)
FIGURE 9 :REPRESENTATION DE LA PRESSION
d) Un liquide transmet intégralement et dans tous les sens toute augmentation de pression
qu‟il subit (théorème de Pascal).
Exemple : Considérons une presse hydraulique (Figure.10)
Page 31
FIGURE 10: PRESSE HYDRAULIQUE
1
=
2.8
1
1
;
2
= 2,
2
1
=
2
selon le principe de PASCAL et donc ∶ 2 = 1
2
1
Mesures de la pression
Il existe deux catégories principales d'instruments de mesures de pression:
2.8.1
les manomètres à tubes en U
Pour une mesure de pression relative ils sont ouverts à l'atmosphère à une de leurs extrémités
et remplis par un liquide (couramment eau ou mercure). L'autre extrémité est reliée à
l'enceinte dont on veut connaître la pression relative.
Pour une mesure de pression différentielle les deux extrémités du tube sont reliées aux deux
points entre lesquelles on cherche à connaître la pression différentielle. La mesure se lit dans
les deux cas directement par différence de niveau du liquide dans les deux branches de tube.
L‟utilisation de l'eau ou du mercure est fonction du but poursuivi: l'eau convient mieux pour
de faibles pressions (inférieures à 0,1 bar) grâce à une bien meilleure précision. Par contre le
mercure s'impose pour des valeurs supérieure à cause de la très grande taille des tubes
nécessaires
2.8.2
Les manomètres métalliques: type manomètre de Bourdon
Suivant la pression du liquide à l'intérieur du tube métallique, celui-ci va augmenter ou
diminuer son rayon de courbure et ce de manière plus ou moins importante en fonction de la
Page 32
valeur de l'écart entre la pression mesurée et la pression atmosphérique, l'aiguille solidaire du
tube se déplace donc en fonction de la pression mesurée.
2.8.3
Les piézomètres
P
ϖ
C‟est des tubes qui mesurent la hauteur piézométrique ( ). Cette hauteur a les dimensions
d‟une longueur. On définit la hauteur de liquide comme une pression mesurée en hauteur de
liquide de poids spécifique ϖ. La pression atmosphérique mesurée en hauteur d‟eau vaut:
10.33m, et cette même pression mesurée en hauteur de mercure vaut 0.76m
Page 33
Chapitre 3
Hydrostatique
1.1
Introduction
L‟hydrostatique est l‟étude de l‟équilibre du liquide et son interaction avec les corps solides.
On étudie les conditions d‟équilibre des liquides, soit au repos, soit accélérés en blocs. La
force d‟inertie est nulle et la force due à la viscosité ne se manifeste pas, puisqu‟il n‟y a pas de
mouvement relatif entre les particules liquides.
L‟étude de l‟hydrostatique permet de déterminer la pression en chaque point d‟un liquide en
équilibre et donc la répartition des pressions. Elle permet aussi de déterminer les poussées
(forces) crées par l‟existence de ces pressions sur les parois qui contiennent-ou limitent-tout
liquide, ou sur les corps qui y sont immergées.
Ce chapitre aborde l‟étude de la répartition de la pression, notamment en fonction de la
distance verticale, ainsi que des forces en résultant qui se manifestent sur les surfaces et les
corps immergés. La force de pression s‟exerce perpendiculairement à toute surface immergée.
On évaluera les trois caractéristiques des forces hydrostatiques : la grandeur, la direction et le
sens. En plus, on trouvera le point d’application de la force.
2.1
Equation fondamentale de l’hydrostatique
3.2.1 Hypothèses
L‟hydrostatique étudie l‟équilibre des liquides incompressible dans le champs de la pesanteur.
Les hypothèses qui ont permis d‟établir l‟équation fondamentale de la statique des liquides
sont :
-
Liquide incompressible (réel ou parfait), c'est-à-dire
liquide ;
En équilibre
est constante en tous points du
Dans un champ de force � (� représente le champs de la pesanteur)
Page 34
3.2.2 Démonstration
Considérons dans un réservoir un fluide au repos, dont on extrait un petit parallélépipède
d‟axe vertical z. Soit p la pression en son centre, et Ox,Oy,Oz trois axes de coordonnées
rectangulaires auxquels nous rapporterons les points de la masse liquide.
FIGURE 11 : REPRESENTATION DU PARALLELEPIPEDE
Les forces agissantes sont :
 Les forces de volume, il n‟en existe qu‟une seule la force de pesanteur. Les forces
d‟inertie n‟existe pas puisque le fluide est au repos (vitesse nulle).
 Concernant les forces de surface, il s‟agit de la pression, les forces de viscosité et de
turbulence n‟existent pas puisqu‟il n‟y a pas de vitesse relative entre les particules de
fluide.
Le parallélépipède de volume dx. dy. dz se trouve en équilibre sous l‟action des:
-
Forces de volume :
Les projections de la résultante des forces extérieures (de masses) sur les axes Ox,Oy,Oz sont
respectivement :
.F
. Fx . dx. dy. dz
. Fy . dx. dy. dz
. Fz . dx. dy. dz
Page 35
-
Forces de surfaces (intérieures):
Les forces de pressions sur les six faces sont parallèles aux axes, on peut donc en faire
immédiatement les sommes suivant les trois directions OX,OY,OZ.
Les surfaces des faces du parallélépipède sont respectivement égales à :
=
=
=
.
.
.
La somme suivant OX est égale à la somme des forces de pression s‟exerçant sur les faces
ABCD et EFGH.
La somme algébrique de ces deux forces de pression suivant l‟axe OX est :
.
.
Idem suivant OY : −
et OZ : −
−
.
.
.
.
.
+
.
.
=−
.
.
;
.
L‟équation d‟équilibre sur OX, s‟écrit donc : . Fx . dx. dy. dz −
. Fx =
⇒ Fx =
.
1
En projetons également sur les deux autres axes, on obtiendra en définitive :
Fy =
Fz =
1
1
Page 36
.
=0
Fx =
1
1
Fy =
Enfin on obtiendra le système suivant :
Fz =
(24)
1
Ou en notation vectorielle :
1
F = grad p
Le système (24) peut s‟écrire également :
Fx
=
Fy
=
Fz
=
(25)
1
1
(26)
1
Additionnons les trois équations du système (24), nous obtenons :
1
= Fx
+ Fy
+ Fz
(27)
L‟équation différentielle (27) représente l‟équation de la statique des liquides.
3.2.3 cas d’un liquide soumis à la seule action de la pesanteur
Dans le cas d‟un liquide homogène par rapport à la terre, seule la force de gravité agit parmi
les forces extérieures (de volume). OZ est orienté vers le haut .
L‟équation (27) deviendra donc: Fx = 0 ; Fy = 0; et Fz = −g,
et en définitif nous aboutirons à :
1
=−
⟹
= −
⟹
+�
=0
Dans un repère Ox,Oy,Oz (l'axe Oz orienté vers le haut) et dans le champ de la pesanteur,
l‟expression différentielle de la relation fondamentale de l’hydrostatique .s'écrit donc:
Avec :
+�
=0
(28)
= � qui représente le poids volumique du liquide
Page 37
L‟équation (28) est l‟équation fondamentale de l‟hydrostatique , c‟est une équation
caractéristique au liquide.
Après intégration de l‟équation (28) nous aboutirons à :
+ � =constante
(29)
La constante représente la pression atmosphérique
L‟équation (29) permet de déterminer P en fonction de Z si on connait le poids volumique du
liquide � .
p* = p + .g.z = Cte
∗
: est l‟énergie potentielle par unité de volume. Une autre écriture consiste à diviser
l‟équation par .g = �. On écrit fréquemment :
∗
On remarque que
∗
�
�
=
�
+
= Cte
(30)
est homogène à Z c‟est-à-dire à une longueur ce qui offre un moyen
pratique pour la représenter graphiquement. Dans ce cas, la pression P est mesurée en hauteur
de colonne du liquide  .
�
∶ représente la hauteur de pression ou hauteur piézométrique. Cette hauteur peut être
mesurée au biais d‟un piézomètre.
1,0mCE1,0mCE.eau.g 9,81.103 Pa 0,098bar
En pratique, on exprime la pression en bar c‟est un multiple du pascal (N/m2) ou encore en
mètre de colonne d‟eau (CE), 1 bar=105 Pascal= 105N/m2
Le millimètre de mercure:
1mmHg10−3 ×
×
1,33.102 Pa,
10 5
.
. 1000 mmHg
3.2.4 Cas d’un liquide incompressible
En désignant la pression sur la face inférieure de coordonnée z1 , par P1 , et sur la face
supérieure de coordonnée z2 , par P2 .
La masse spécifique  est considérée constante, le liquide est incompressible. D'autre part,
pour des différences d'altitude courantes, sachant que l'accélération de la pesanteur g peut
aussi être considérée constante.
Page 38
FIGURE 12 : LIQUIDE INCOMPRESSIBLE DANS LE CHAMP DE LA PESANTEUR
Dans ce cas
P2 1
P1
=
1
P2
P1
=-g
z2
z1
Et après intégration on obtient:
P2 − P1 = − g(Z2 − Z1 )
Cette relation signifie que la variation de pression entre deux niveaux est proportionnelle à la
différence de hauteur entre ces deux niveaux , cette variation est linéaire
z1 +
P1
g
= z2 +
P2
g
= Cte
(31)
L‟équation (31) représente l‟équation fondamentale de la statique des liquides entre deux
altitudes.
3.2.5
Propriétés liées à l’équation fondamentale de l’hydrostatique
3.2.5.1 lignes isobares
Ces lignes sont définies comme le lieu des points où la pression P possède la même hauteur.
Elles sont déterminées par l‟équation dP =0. D‟après l‟équation de la statique des liquides
1
= Fx
+ Fy
+ Fz
Fx = 0; Fy = 0; Fz = −g (champs de la pesanteur)
Page 39
=0
FIGURE 13 : LIGNES ISOBARES
L‟équation deviendra sous la forme suivante : −
plans horizontaux.
=0 ⟹
=constante, ce sont des
On pourra en conclure que tous les points d‟un plan horizontal sont soumis à la même
pression, c‟est des isobares.
3.2.5.2 lignes de séparation de liquides non miscibles
Quand deux (ou plusieurs) liquides non miscibles sont en équilibre, le liquide ayant la plus
grande masse spécifique est situé en dessous des liquides dont la masse spécifique est plus
faible. La ligne de séparation est horizontale (z=constante)
3.2.5.3 Surfaces libres
Les surfaces libres constituent des cas particuliers des surfaces de séparation de liquides non
miscibles : elles correspondent aux surfaces de séparation des liquides avec les gaz. La
surface libre correspond à la séparation entre le liquide et l‟atmosphère.
La pression dans le liquide en tous les points de la surface libre est égale à la pression du gaz.
−
=0 ⟹
=constante
La surface libre est une surface de niveau particulière, elle est horizontale, c‟est une isobare.
3.2.5.4 Pression absolue et pression effective
La pression absolue est définie par rapport à la pression dans le vide qui correspond à la
pression nulle. On en déduit donc que la pression minimale possible est zéro.
Page 40
La pression relative(effective) se définit par rapport à une référence que l‟on choisi le plus
souvent égale à la pression atmosphérique. Cela consiste finalement à faire une translation du
repère des pressions. La pression nulle est donc équivalente à la pression atmosphérique (Pa).
La pression minimale correspond donc à : -Pa (pression atmosphérique négative).
Prenons par exemple un réservoir où la surface libre est à la pression atmosphérique (Pa).
Appliquons l‟équation 31 entre le point 1 et 2, on a :
z1 +
P2
P1
= z2 +
= Cte
g
g
P1
P2
soit :
g
=
g
ou encore P1 = Pa + gh
+(z2 − z1 )=
Pa
g
+h,
avec Pa = 105 Pa
La pression en 1 est mesurée en pression absolue.
Enfin on pourra dire que la relation entre la pression absolue et la pression effective est :
=
+
La pression relative (effective) est définie comme la pression absolue diminuée de la pression
atmosphérique; cette pression peut donc prendre une valeur positive si la pression absolue est
supérieure à la pression atmosphérique ou une valeur négative si la pression absolue est
inférieure à la pression atmosphérique.
Exemple (1) : Soit un réservoir ouvert en 2, règne la surface atmosphérique, on voudrait
répartir la pression du point 2 jusqu‟au point 1 (figure.14).
La répartition des pressions suivant la hauteur sera donc comme suite (voir figure.14) :
Page 41
FIGURE 14 : DIAGRAMME DE LA FORCE DE PRESSION
La plupart des instruments de mesure fournit une pression relative appelée également pression
manométrique.
Exemple (2) : Considérons le manomètre en U (figure 15), démontrez la relation suivante :
=
FIGURE 15: MANOMETRE EN U
Page 42
=
�
+
,
=
: est la pression atmosphérique
B-B‟ est une isobare et donc
d‟où :
=
′
=
=
�
+
′
=
Exemple (3) : Dans l‟exemple de la figure 16 profondeur H est toujours prise verticalement,
m et non incliné.
FIGURE 16 : DISPOSITION DE LA PROFONDEUR D’EAU
3.3 L’hydrostatique dans d’autres champs de force
l‟équation fondamentale de l‟hydrostatique est aussi valable dans le cas :
-
d‟un liquide accéléré en bloc comme un corps solide
-
d‟un liquide en rotation
3.3.5
Cas d’un liquide accéléré en bloc
Soit un liquide homogène soumis à une accélération constante et horizontale, ax,(voir
figure.17) :
Page 43
R=
R : est la force de volume par unité de masse
−
= 0
−
L‟équation de l‟hydrostatique (équation 27) devient égale à :
=−
+ 0.
x
=−
x
−
−
FIGURE 17: RESERVOIR EN DEPLACEMENT
Les lignes isobares (lignes d‟égales pressions) sont données par
=−
x
+
= 0; donc :
(32)
Selon l‟équation (32), les lignes isobares sont des droites, ayant une pente de −
orthogonales au vecteur R
Le même raisonnement peut aussi se faire pour une accélération constante et verticale.
Dans ce cas, on écrit :
Page 44
x
,
0
0
=
−( +
R=
3.3.6
Cas d’un liquide en rotation
)
Soit un liquide homogène soumis à une rotation uniforme.
Le bilan des forces extérieures qui agissent sont:
-
La force d‟entrainement (ou force centrifuge) vaut ∶
2
La force volumique de pesanteur -g
2
R=
=
0
−
En appliquant l‟équation de l‟hydrostatique (équation 27) on obtient :
2
=
=
+ 0.
2
−
−
(33)
FIGURE 18 : RESERVOIR TOURNANT
Les lignes d‟égales pressions (isobares) sont données par
Page 45
= 0 ; donc :
=
−
2
=0⟹
2
=
2
2
2
=
+Cte
⟹
2
=
2
2
+Cte
(34)
Selon l‟équation (34). Les lignes d‟égale pression sont des paraboles et symétriques par
rapport à l‟axe de rotation.
3.4 Force de pression (force de poussée hydrostatique) sur des parois
L‟étude des forces de surface dans un liquide en équilibre montre, qu‟à l‟équilibre et pour
tous les liquides (parfaits ou réels), la seule force de surface qui s‟exerce est la composante
normale, qui représente la force de poussée hydrostatique.
Les forces hydrostatiques sur une surface proviennent des forces de pressions du fluide
agissant sur cette surface.
Il convient, donc dans un premier temps, de caractériser la pression du fluide sur une surface.
Pour cela, on a besoin de :
-
L‟intensité : la pression dépend de la profondeur d‟eau h. Elle est calculée par la
relation P =
gh.
-
La zone d‟application : la pression s‟applique sur une surface (ds) ;
-
La direction : la pression est toujours perpendiculaire à la surface d‟application.
FIGURE 19 : FORCE DE POUSSEE SUR UNE PAROI QUELCONQUE
Page 46
Le calcul des forces hydrostatiques sur une surface quelconque plongée dans l‟eau, consiste à
déterminer les trois caractéristiques suivantes :
-
L‟intensité de la force de pression, F, qui agit sur une surface, S, est donnée par :
dF = P. dS = . g. h. dS
-
(35)
Le point d‟application de la force de poussée
Le point d‟application de la force de pression, F, est appelé centre de pression ou centre de
poussée.
-
La direction
Dans ce chapitre, on étudiera les forces de poussées hydrostatiques appliquées sur :
1. des surfaces planes en différentes positions (inclinées, horizontales, et verticales)
2. des surfaces quelconques (courbes….etc.)
3.4.1
Forces de poussée sur des parois planes en position inclinée
Dans le cas des surfaces planes, toutes les poussées élémentaires, normales à la surface, sont
donc parallèle entre elles. On connait donc immédiatement la direction de la poussée totale,
, c‟est la normale à la surface considérée, on doit donc déterminer l‟intensité de la force de
poussée.
a) Intensité de la force de poussée hydrostatique
Considérons une paroi de surface
, immergée dans un liquide. Elle est inclinée d‟un angle ,
�, par rapport à l‟horizontale.
La figure (20) représente à gauche la surface immergée et à droite une vue A-A de cette
surface. On définit un repère (x,y) dont l‟axe (x) est sur la surface libre et (y) dirigé vers le bas
et passant par la surface plane. Le point G(xG,yG) est le centre de gravité de la section.
On définit le repère (ξ, η) comme étant une translation du repère (x,y) centré en G.
L‟intensité de la force résultante agissant sur la surface
est définie par:
dF = P. dS = . g. h. dS = . g. y. sin � dS
Page 47
(36)
l‟intensité de la force résultante agissant sur la surface, , est :
F=
S
dF = . g. S (h) dS = . g S (y. sin �) dS
(37)
L‟intégrale représente le moment statique, ou premier moment de la surface, défini comme
suit :
S
h dS = hG . S = yG . sin � . S
FIGURE 20 : FORCE DE POUSSEE SUR UNE PAROI INCLINEE
Page 48
(38)
hG et yG : représentent respectivement la hauteur d‟eau et la coordonnée le long de l‟axe y du
centre de gravité de la surface immergée du centre de gravité de la paroi immergée, G(xG,yG)
F = ϖ.
Où
.
ou F = PG . S
(39)
: est le poids spécifique du liquide
PG est la pression régnant sur le centre de gravité. On en déduit que la pression moyenne sur
la surface est égale à la pression agissant au centre de gravité de cette surface.
: surface de la paroi immergée.
L‟expression (39) est donc valable quelle que soit la forme de la surface S et son angle avec le
plan horizontal de référence.
b) Le point d‟application de la force de poussée hydrostatique ( )
Le point d‟application de la force de poussée hydrostatique ou encore centre de poussée n‟est
pas confondu au centre de gravité de la surface considérée.
Pour déterminer la coordonnée
du centre de poussée , on prend le moment de la force par
rapport à l‟axe x et on écrit :
.
=
Mais avec l‟équation (36) on obtient :
En introduisant = y. sin � et
d‟où on obtient
ϖ
ϖ. sin �
S
y. h. dS = ϖ.
.
=yG . sin � . S, on peut écrire:
.
S
y 2 . dS = ϖ. yp yG . sin �.
Page 49
=
S
y 2 .dS
S
y.dS
=
(40)
.
L‟intégrale au numérateur est le moment d‟inertie ou deuxième moment de la surface par
rapport à l‟axe x :
= S y 2 . dS
(41)
Tandis que le moment d‟inerte par rapport à un axe passant par le centre de gravité, G(xG,yG)
et parallèle à l‟axe x, est donné par :
− y2 . S
=
(42)
: représente le moment d‟inertie de la section suivant les axes
.
En combinant les équations 40, 41 et 42, on obtient :
−
Il faut noter que
centre de gravité.
=
−
.
−
– y 2 .S
=
−
.
=
.
=
.
(43)
0 , donc le centre de poussée est toujours situé au dessous du
On peut écrire la coordonnée horizontale du centre de poussée de façon analogue :
−
=
(44)
.
: est le produit du moment d‟inertie de la surface
Donc, la force de pression sur une surface plane à orientation arbitraire est égale au produit de
la surface de la paroi par la pression que subit son centre de gravité, et est dirigée suivant la
normale intérieure par rapport au palier d‟action.
Page 50
c) La direction de la force � est normale à la surface � , ce qui est toujours le cas en
hydrostatique.
Le tableau suivant fournit le centre de gravité, la surface et l‟inertie pour quelques formes
de surface plane.
Tableau n°4 : Centres de gravité et moments de quelques surfaces
.
2
2
=
;
3
=
′
=
3
3
=
36
= .
=
2
;
3
=
′
=
′
=
2
12
2
=
= ;
4
=
=
=
4
+
2
2 +
3
+
3
2
=
+4 +
36 +
3
2
2
=
2
=
=
′
;
=
=
3
=
Page 51
3
2
3
2
3
2
2
+2
+
;
′
5
4
48 3
=
=
2
5
=
4
16
3
2
3
3.4.2
Forces de poussée sur des parois planes en position horizontale
Considérons une paroi de largeur unitaire et de surface S ( =
× 1), immergée
horizontalement à une profondeur h.
Les pressions relatives aux point 1 et 2 sont égales :
=
1
2
La variation de la pression est proportionnelle à la profondeur :
= ϖ. h
L‟intensité de la force de poussée (pression) hydrostatique sur la paroi horizontale S est la
suivante :
F = PG . S = ϖ. h . S
(45)
FIGURE 21 : FORCE DE POUSSEE SUR UNE PAROI HORIZONTALE
L‟intensité de la force de poussée sur une paroi horizontale correspond au poids de la colonne
de liquide au-dessus de la paroi.
Quelle que soit la forme des réservoirs, s‟ils sont remplis du même liquide,
, jusqu‟à la
même hauteur, h, les fonds de même surface, S, sont soumis à la même force de pression.
Le point d‟application (centre de poussée),
, est confondu avec le centre de gravité , G.
La force s‟applique normalement à la surface.
3.4.3
Forces de poussée sur des parois planes en position verticale
Considérons une paroi (A-B) de largeur unitaire et de surface S et de centre de gravité G,
immergée verticalement.
La Pression atmosphérique = ϖ. h0 = 0
Page 52
La variation de la pression entre les points A et B est linéaire (voir chapitre 3).
Les pressions manométriques aux points A et B sont respectivement
= . .
1,
= . .
2
(46)
FIGURE 22 : FORCE DE POUSSEE SUR UNE PAROI VERTICALE
La force est toujours dirigée suivant la normale intérieure vers le palier d‟action. L‟ épure de
la pression manométrique se présente sous la forme d‟un triangle et l‟épure de la pression
absolue se présente sous la forme d‟un trapèze puisque la pression absolue est supérieure à
celle manométrique d‟une valeur Patm .
FIGURE 23 : EPURE DE LA PRESSION
L‟intensité de la force de poussée hydrostatique sur la paroi verticale AB est :
Page 53
= . = . .
.
(47)
hG : est la profondeur jusqu‟au centre de gravité.
=
1
2
+
Donc l‟équation devient :
=
1
−
2
1
. .
2
1
=
1
+
2
+
2
2
.
La position du point d‟application est donnée par l‟équation (43)
3.4.4
Forces hydrostatiques sur une Paroi à surface courbe
La force hydrostatique s‟appliquant sur une surface courbe peut être obtenue par le calcul des
composantes horizontale et verticale.
L‟intensité de la force
est obtenue ainsi :
=
2
=
+
2
(48)
: est la force de poussée hydrostatique s‟appliquant sur une surface courbe;
: est la composante horizontale de la force de poussée hydrostatique;
: est la composante verticale de la force de poussée hydrostatique ;
FIGURE 24 : FORCE DE PRESSION SUR UNE SURFACE COURBE
La composante horizontale de la force de poussée, Fx , est calculée de la même manière
qu‟une paroi plane en position verticale, elle correspond à la force hydrostatique qui agirait
sur la projection de la surface selon x, soit :
Page 54
=
=ϖ
=ϖ
=
1
2
h1 + h2 Sx
(49)
La composante verticale de la force, FV , est calculée de la même manière qu‟une paroi plane
en position horizontale ; elle correspond à la force hydrostatique qui agirait sur la projection
de la surface selon y, plus le poids du liquide, W, soit :
=
=ϖ
+
=
+
= ϖ 1 Sy + W
L‟intensité de la composante verticale de la force de pression,
(50)
, est donc égale au poids
d‟une colonne verticale de liquide s‟appuyant sur la surface.
On obtient la position du point d‟application de la résultante de la même manière que pour
une paroi plane en position horizontale et une paroi plane en position verticale.
La composante horizontale de la résultante passe donc par le centre de pression de la
projection horizontale de la surface et la composante verticale par celui de la projection
verticale.
La force s‟applique normalement à la surface.
FIGURE 24 : REPRESENTATION DE LA FORCE DE POUSSEE VERTICALE
Si la force
s‟applique verticalement vers le bas (figure 24), on calcule la composante
verticale de la force de pression sur une surface en considérant le volume de la colonne
« réelle » de liquide reposant sur celle-ci.
Page 55
Si par contre la force de pression s‟applique verticalement vers le haut, il faut considérer le
volume d‟une colonne « fictive » de liquide.
L‟intensité de la force dans les deux cas est identique, mais la direction change.
3.5 Forces hydrostatiques sur des corps immergés
3.5.1
Force d’Archimède
Supposons qu‟une surface fermée formant un corps solide de masse volumique s et de
volume V se trouve immergée (entièrement ou partiellement) dans un liquide au repos de
masse volumique
(Figure 25).
FIGURE 25 : CORPS SOLIDE IMMERGE DANS UN LIQUIDE AU REPOS
Les forces verticales qui agissent sur l‟élément du volume sont dues aux pressions
hydrostatiques. La résultante de ces forces est :
=−
avec
2
−
1
=
2
−
1
=
(51)
= dV comme volume élémentaire.
Par intégration sur le volume V, du corps immergé on obtient :
=
=
=
(52)
Page 56
Ceci représente la force nette due à la pression hydrostatique dans la direction verticale,
agissant sur le corps solide immergé, qui est égale et directement opposée au poids du liquide
. Cette force est dirigée vers le haut. On l‟appelle fréquemment ʺ force
déplacé ,
d’Archimède ʺ,
. Il n‟ya évidemment pas de force. L‟équation (52) est valable également
pour un corps partiellement immergé. Dans ce cas, on ne considère que le volume de la partie
immergée pour calculer la force d‟Archimède agissant sur ce corps.
La force d‟Archimède , FA , est appliquée au centre de gravité du liquide déplacé ; on l‟appelle
centre de poussée, C. Pour un corps de poids volumique homogène et entièrement immergé, le
centre de gravité du liquide déplacé, C, est confondu avec le centre de gravité du corps solide.
Il n‟en ai pas de même pour les corps flottants (partiellement immergé)ou les corps de poids
volumique hétérogène.
Remarque :
a) Si le poids du corps
est supérieure à la poussé vertical
, le corps se noie (figure
26.a).
b) Si
=
le corps flotte en état immergé (figure 26.b) (Dans ce cas le flottement est
en plongé et il est en surface à l‟immersion partielle).
c) Si
<
le corps émerge (figure 26.c).
FIGURE 26 : POUSSEE D’ARCHIMEDE
Donc la condition essentielle du flottement est exprimée par :
=
3.5.2
=
(53)
Caractéristique d’un corps flottant
La flottabilité est la poussée verticale, dirigée de bas en haut, qu`un liquide exerce sur un
objet immergé. La flottabilité agit toujours dans la direction opposée à la gravité.
Page 57
Soit un corps symétrique qui se trouve dans les conditions d‟un flottement en surface
(Figure.27)
Le plan de la surface libre traversant le corps s‟appel plan de flottement.
La profondeur d‟enfoncement du point inférieur de la surface mouillée d‟un corps y est
appelée tirant d’eau.
FIGURE 27 : FLOTTEMENT EN SURFACE
Le volume du liquide déplacé par le corps est appelé volume de carène.
3.5.3
Equilibre des corps immergés
Si le corps est en équilibre, le poids du corps FG et la poussée d‟Archimède, FA, sont égaux et
opposés et situés sur la même ligne verticale. Si ces trois conditions ne sont pas satisfaites
(FG ≠ FA ou/ et FG et FA non opposé ou/ et FG et FA non colinéaires verticalement), il en
résulte un mouvement.
Imaginons un corps partiellement ou complètement immergé. La poussée d‟Archimède, FA ,
est égale au poids du corps, FG; de plus, le centre de gravité G et le centre de poussée (centre
de carène), C,
sont sur la même verticale. Selon les positions relatives de ces deux centres,
deux positions d‟équilibre sont possibles.
-
Le centre de gravité, G, est au-dessous du centre de poussée, C (figure. 28). Le corps
est en équilibre stable. La stabilité de ce corps peut être observée en l‟inclinant
-
légèrement d‟un angle, θ, par rapport à la verticale.
Le corps est alors soumis à un couple de redressement qui le fait tourner jusqu‟à ce
qu‟il revienne à sa position initiale.
-
Le centre de gravité, G, est au-dessus du centre de poussée, C(figure. 29). Le corps est
en équilibre instable
Page 58
FIGURE 28 : EQUILIBRE STABLE
L‟instabilité de ce corps peut être observée en l‟inclinant légèrement d‟un angle, θ, par
rapport à la verticale. Le corps est soumis à un couple déstabilisant qui le fait tourner
en augmentant encore plus son inclinaison, jusqu‟à ce qu‟il se trouve en équilibre
stable.
FIGURE 29 : EQUILIBRE INSTABLE
La stabilité est une aptitude d‟un corps flottant déséquilibré de revenir en position initiale
après que les forces provoquant l‟inclinaison cessent d‟agir. Un corps flottant est en équilibre
stable si son centre de gravité, G, est situé au-dessous de son centre de poussée, C. Toutefois,
certains corps flottants peuvent être en équilibre stable même si G est au-dessus de C.
Soit un corps solide (bateau) flottant dans un liquide (figure. 30). Le centre de gravité, G, est
au-dessus du centre de poussée, C ; le corps est donc en équilibre.
On incline légèrement ce corps d‟un angle θ. Dans le référentiel relatif au corps, le centre de
gravité, G, reste dans la même position, mais le centre de poussée s‟est déplacé au point C′
Page 59
«ou C′′». La ligne d‟action de la force d‟Archimède, FA , passant parC′ «ou C′′», coupe la
ligne centrale de section du corps solide au point M, appelé
é
.
Le poids, FG , et la force d‟Archimède, FA , forment un couple autour du métacentre, M.
FIGURE 30 : STABILITE DES CORPS FLOTTANTS
Si l‟inclinaison, θ′ , est faible, le métacentre M′, se situe au dessus du centre de gravité, G.
Cette position est stable. Le corps solide revient à sa position initiale.
Si l‟inclinaison, θ" , est importante, le métacentre M", se situe au dessous du centre de gravité,
G. Cette position est instable. Le corps solide se renverse.
La position du métacentre, M, est calculé ainsi :
MC − GC = MG =
I yy
V
− GC
(54)
: est le moment d‟inertie, de la surface délimitée par la ligne de flottaison ;
V : est le volume du liquide déplacé.
La hauteur métacentrique, MG, constitue le crière de stabilité :
MG > 0
MG = 0
MG < 0
⟹
⟹
⟹
le corps est en position stable
le corps est en position neutre
le corps est en position instable
Page 60
Chapitre 4
Cinématique
4.1
Introduction
C‟est l‟étude du mouvement des liquides sans tenir compte des forces qui lui donnent
naissance. On considère seulement les relations entre les positions des particules fluides et le
temps.
4.2
Mouvement d’un fluide
Le mouvement d‟un fluide est repérable au moyen de variables, ainsi pour décrire le
mouvement d‟un fluide quelconque, on peut employer deux méthodes :
-
la méthode de Lagrange : cette méthode consiste à observer ou à suivre une particule
fluide dans son mouvement.
-
ou la méthode d‟Euler : qui consiste à observer la vitesse des particules passant en un
point déterminé de l‟espace.
4.2.1
Description de Lagrange
Considérons une particule de liquide P, placé en M0(x0; y0; z0) à l‟instant t0. Dans la
description de Lagrange, on suit le mouvement d‟une particule liquide. Par exemple, la
particule de liquide dont il est question précédemment, sera en M(x; y; z) à l‟instant t.
La position de la particule liquide au cours du temps est définie à partir des variables
indépendantes x, y, z et t. On peut déterminer la trajectoire de la particule liquide si l‟on
connaît les fonctions :
=
=
=
0, 0, 0,
0, 0, 0,
(55)
0, 0, 0,
Les positions successives de cette particule fluide au cours du temps décrivent une courbe,
qu‟on appelle trajectoire. On l‟obtient expérimentalement en immergeant dans le fluide des
granulés colorants de même densité que lui . Chaque granulé dessine dans la trajectoire de la
particule fluide qui le contient.
Page 61
⟹
(figure 31)
FIGURE 31 : DESCRIPTION DE LAGRANGE
La vitesse de la particule s‟écrit :
ux
U = uy =
uz
∂x
∂t
∂y
∂t
∂z
(56)
∂t
L‟accélération de la particule est déterminée par :
∂2x
∂u x
a=
∂t
∂u y
∂t
∂u z
∂t
=
∂t 2
∂2y
∂t 2
∂2z
(57)
∂t 2
Par la méthode de Lagrange, on étudie chaque particule fluide individuellement en suivant
son mouvement.
Cependant, dans beaucoup de cas pratiques il n‟est pas très important de connaître la
trajectoire de chaque particule. En considérant le fluide comme un milieu déformable et
continu, l‟intérêt majeur ne se porte pas sur l‟évolution d‟une particule fluide distincte, mais
plutôt sur les propriétés de l‟écoulement en certains points déterminés, c.-à-d dans le champs
Page 62
des vitesses. Il est alors plus intéressant de connaitre la vitesse en un point donné ; on y
parvient au moyen des variables d‟Euler.
4.2.2
Description d’Euler
La représentation d‟Euler est plus simple que celle de Lagrange, elle est plus fréquemment
utilisée.
En un point M(x, y, z) situé à l‟intérieur d‟une masse fluide en mouvement, la vitesse,
V u, v, w , d‟une particule à chaque instant peut être obtenue à partir des variables
indépendantes x, y, z et t par les fonctions suivantes :
g1 x, y, z, t
u
V = v = g 2 x, y, z, t
w
g 3 x, y, z, t
Ce sont les variables d’Eu�er.
(58)
On détermine alors, en fonction du temps, la vitesse, U, des particules fluides qui passent
successivement par ce point M.
La variation totale de vitesse selon x est donnée par :
du =
∂u
∂t
∂t +
∂u
∂x
∂x +
∂u
∂y
∂y +
∂u
∂z
∂z
(59)
Avec du = udt, dy = vdt, dz = wdt
L‟accélération selon x est obtenue de la façon suivante :
du
dt
=
∂u
∂t
+u
∂u
∂x
+v
∂u
∂y
+w
∂w
∂z
(60)
Soit pour le vecteur vitesse, V u, v, w :
dV
dt
=
∂V
∂t
+ V. grad V
(61)
L‟accélération totale se trouve ainsi être la somme d‟une accélération locale et d‟une
accélération convective.
Page 63
A un instant précis, on peut dessiner en chaque point de l‟espace un vecteur représentant la
vitesse en ce point et à cet instant .
L‟ensemble de ces vecteurs est appelé champs des vitesses.
’
⟹
D‟une façon générale, la méthode d‟Euler est plus simple que la méthode de Lagrange, pour
cela nous considérons seulement les variables d‟Euler.
4.3
Définitions
4.3.1
Trajectoire
La trajectoire est l‟ensemble des positons occupées au cours du temps par un même élément
de fluide (figure 31).
4.3.2
Ligne de courant
On appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide
une ligne de courant est une ligne de champs du vecteur vitesse c'est-à-dire une courbe
tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point.
La ligne de courant change d‟un instant à l‟autre sauf dans le cas d‟un écoulement permanent,
elles coïncident avec les trajectoires.
L‟équation de la ligne de courant s‟obtient en résolvant les équations différentielles
suivantes :
=
=
(62)
Toutes les lignes de courant qui s‟appuient sur une courbe fermée constituent un tube de
courant (figure.32).
Le filet de courant est un tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface ΔS. La
section de base ΔS du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide
soit la même en tous ses points (répartition uniforme).
Page 64
FIGURE 32 : LIGNE DE COURANT , TUBE DE COURANT
4.3.3
Débit massique, Qm, et débit volumique, QV
Si un fluide s'écoule dans une conduite avec la vitesse V, il se forme un écoulement de masse
par unité de temps ou un débit massique de la manière suivante :
Qm =
× QV
(63)
Qm : est le débit massique exprimé en Kg/s
: est la masse spécifique du liquide en Kg/m3
QV = A × V
A: est la section de la conduite en m2 ;
V : est la vitesse moyenne de l‟écoulement en m2/s
FIGURE 33 : DEBIT
Page 65
(64)
4.4
Equation de continuité
L‟équation de continuité, qui est une équation fondamentale de la mécanique des fluides,
exprime le principe de conservation de la masse : la variation de masse de fluide d‟un élément
de volume dv pendant un temps dt est égale à la masse de fluide entrante dans ce volume
déduite de la masse de fluide sortante.
Etablissement de l’équation
4.4.1
Pour établir cette équation, considérons un parallélépipède élémentaire de liquide de volume
,
,
centré au point M (figure.34).
La masse fluide contenue dans ce volume, qui était au temps t :
dx dy dz
est devenue après un certain intervalle de temps, dt :
+
∂
dt dx dy dz
∂t
On constate donc une variation de cette masse de :
∂
dx dy dz dt
∂t
(65)
FIGURE 34 : PARALLELEPIPEDE ELEMENTAIRE DE LIQUIDE
Page 66
D‟autre part, la différence des masses fluides entrant par la face (1) et sortant par la face (2)
pendant l‟intervalle de temps, dt , est donnée - en utilisant la définition = – par :
u dy dz dt −
u+
∂( u)
∂( u)
dx dy dz dt = −
dx dy dz dt
∂x
∂x
On fait la même opération pour les faces opposées (3) et (4), ainsi que pour les faces (5) et
(6) ; donc on écrit :
−
−
∂( v)
dx dy dz dt
∂y
∂( w)
dx dy dz dt
∂z
Alors, la somme des masses fluides qui entrent dans le parallélépipède diminuée de celles qui
en sortent, est :
−
∂( u) ∂( v) ∂( w)
+
+
dx dy dz dt
∂y
∂z
∂x
(66)
En égalant les expressions des équations 65 et (66), et après division par dx dy dz dt, on
obtient :
∂
∂t
+
∂
∂x
u +
C‟est l’équation de continuité générale
4.4.2
∂
∂y
v +
∂
∂z
w =0
(67)
Cas particuliers
Si le fluide est en mouvement permanent, la masse volumique, , est indépendante du temps
et l‟équation (67) devient :
∂
∂x
u +
∂
∂y
v +
∂
∂z
w =0
68
Dans le cas d‟un fluide incompressible, la masse volumique,
l‟équation 68 se réduit à :
∂u ∂v ∂w
+ +
=0
∂x ∂y ∂z
ou
Page 67
div V = 0
69
, est constante et
C‟est le flux ou débit à travers une surface.
Où V = (u, v, w) est le vecteur vitesse.
Le mouvement du liquide s‟effectue de telle façon que dans une section transversale plane,
toutes les vitesses sont normales au plan et sont égales entre elles, l‟équation de continuité
peut se mettre sous la forme qui est représenté dans la figure 35.
Soit la vitesse commune des molécules traversant, au temps t, la section plane dont l‟aire, à
cet instant, a pour valeur S (voir figure 35).
FIGURE 35 : DEBIT A TRAVERS UNE SECTION
Introduisons le débit Q à travers la section S, c'est-à-dire le volume de liquide qui traverse
cette section dans l‟unité de temps :
Q = V. S
70
Celui qui, pendant le même temps, sort par la section infiniment voisine et distante de la
première de ds est :
+
La différence de ces deux expressions, soit :
−
représente l‟accroissement de volume entre les deux sections.
Puisque la masse volumique
est supposée constante, cet accroissement de volume ne peut
être égal qu‟au produit de
par l‟accroissement de section pendant le temps
donne la relation :
−
=−
Page 68
, ce qui
Autrement dit le débit varie dans l‟espace (le long de S) pendant que la section varie dans le
temps.
L‟équation précédente s‟écrit encore :
+
=
71
Qui est, dans ce cas, l‟autre forme cherchée de l‟équation de continuité.
∂u ∂w
+
=0
∂x ∂z
Prenons un volume élémentaire, dx dy dz = dV, et multiplions le par l‟équation 69 ;
intégrons ensuite cette quantité par rapport au volume ; on obtient :
div V dV = 0
Selon le théorème de Gauss, on peut transformer une intégrale de volume en intégrale de
surface (fermée).
div V dV =
Vp dS = 0
Où Vp : est la composante de la vitesse qui est perpendiculaire à la surface du volume.
Donc pour un fluide incompressible, l‟interprétation physique est la suivante : Les débits
entrants et sortants à travers une surface quelconque fermée doivent être égaux.
Par définition, le débit total, Q, traversant une surface est donné par :
Vp dS = U × S = Q
72
s
Où U est la vitesse moyenne sur cette surface, S.
L‟équation de continuité est d‟une grande utilité en hydrodynamique.
Considérant un tube de courant de dimensions finies : On prend une conduite de section
variables,
1
et
2
limitée par des parois solides selon l‟équation 72 le débit, Q, passant
au travers des surfaces,
1
et
2
est égale à zéro.
Considérant le débit sortant comme positif et celui entrant comme négatif, on écrit :
On en déduit que :
−Q1 +Q2 =0
Q1 = Q 2 = Q
ou
−v1 A1 + v2 A2 = 0
ou
Page 69
v1 A1 = v2 A2
Chapitre 5
Hydrodynamique
5.1
Introduction
L‟hydrodynamique est une science aussi ancienne que la civilisation humaine. On admet que
l‟appellation hydrodynamique remonte au traité de Daniel BERNOUILLI en 1738.
L‟hydrodynamique fait partie de la mécanique des fluides, qui elle-même est une branche
importante de la mécanique des milieux continus. Elle a pour objet l‟étude des lois du
mouvement des liquides (fluides incompressibles), et de leur interaction avec des corps
solides.
L‟hydrodynamique étudie le mouvement des liquides en tenant compte des forces qui lui
donnent naissance. Elle consiste à étudier le mouvement des particules fluides soumises à un
système de forces. Les forces de compressibilité sont négligées. Si les forces dues à la
viscosité ne se manifestent pas, il n‟y a donc pas de mouvement relatif entre les particules du
liquide, on parle de l‟hydrodynamique des liquides parfaits en mouvement. La présence de la
viscosité induit une perte de charge qui est une transformation irréversible de l‟énergie
mécanique en énergie thermique, on parle alors de l‟hydrodynamique des liquides réels et
incompressibles.
l‟hydrodynamique se divise généralement en deux partie: l’hydrodynamique des liquides
parfaits et celle des
liquides réels. L‟hydrostatique est un cas particulier de
l‟hydrodynamique.
5.2
L’hydrodynamique des liquides parfaits
L‟écoulement d‟un fluide est caractérisé par un champ de vitesse, par la pression et par la
viscosité ; cette dernière est d‟une importance particulière dans l‟étude des écoulements.
La viscosité est une mesure de la résistance d‟un fluide à l‟écoulement ; elle est due au
frottement entre les particules fluides en mouvement.
Un fluide dont la viscosité n‟est pas prise en compte lors de l‟étude de l‟écoulement est dit
non visqueux ou parfait et le mouvement n‟est pas accompagné d‟aucune force de frottement.
Page 70
Les liquides parfaits ont la particularité de ne pas avoir de viscosité et de ne pas développer de
la turbulence. Par contre, un fluide dont la viscosité est prise en compte est dit visqueux ou
réel. La viscosité provoque une dissipation d‟énergie cinétique qui est transformée en chaleur.
5.2.1
Equations générales du mouvement équation d’Euler)
Le liquide est parfait, il n‟ya pas de frottement interne, les forces de frottement de viscosité et
sont nuls. La pression est constante dans toutes les directions autour d‟un point.
En hydrostatique, nous avons établi les équations d‟équilibre d‟un parallélépipède élémentaire
pris dans une masse liquide au repos, c'est-à-dire soumis à l‟action :
-
des forces extérieurs (forces de volumes)
-
des pressions latérales (forces de surface)
l‟équation d‟équilibre hydrostatique a été démontré au chapitre 3. Rappelons que
l‟équation(25), s‟écrit :
1
F = grad p
En hydrodynamique il suffit d‟ajouter, au second membre, la force d‟inertie par unité de
masse, c'est-à-dire l‟accélération absolue, soit −γ, ce qui conduit à l‟équation
fondamentale
1
grad p = F − γ
73
Cette équation projetée sur les trois axes fournit les équations suivantes :
1 ∂P
=X−u
∂X
1 ∂P
∂y
1 ∂P
Ou encore :
∂Z
=
−
= Z−u
X−
Y−
Z−
∂P
=
∂P
=
∂X
∂y
∂u
∂X
∂v
∂X
∂w
∂X
du
− v
−v
−v
∂u
∂y
∂v
∂y
∂u
−w
∂w
−w
∂w
∂y
−w
∂Z
∂v
∂Z
−
−
∂Z
∂u
∂t
∂v
74
∂t
−
∂w
∂t
dt
dv
dt
∂P
dw
=
∂z
dt
Page 71
ou
F − gradp =
dV
dt
75
Ce sont les équations du mouvement ou encore de l‟hydrodynamique des liquides parfais
appelées plus communément équations d’Euler.
L‟interprétation physique de l‟équation (74) dans sa forme vectorielle est :
F
−gradp
+
+
5.2.2
=
dV
dt
=
′
Equations générales du mouvement équations d’Euler
F est le vecteur de force de volume par unité de masse, dont les trois composantes sont
(X,Y,Z). On ne considère que le champ gravitationnel terrestre, soit :
0
= 0
−
F =
g est l‟accélération de la pesanteur L/T 2 , les équations (75) deviennent alors :
du
dt
dv
dt
dw
dt
∂P
= − ∂x
=−
∂P
∂y
==−
(76)
∂P
∂z
− g
les équations (75) sont appelées équations de l’hydrodynamique . Elles ne sont valables que
pour l‟écoulement d‟un liquide parfait à masse volumique constante dans le champ de la
pesanteur.
Le vecteur vitesse avec ses trois composantes, V (u,v,w), est une fonction de l‟espace et du
temps, donc :
= ( , , , )
V =
La dérivée totale de la vitesse,
dV
dt
, s‟écrit :
Page 72
=
∂u
+u
∂u
+v
∂u
+w
=
∂v
+u
∂v
+v
∂v
+w
=
∂w
du
dt
dv
dt
dw
dt
∂t
∂t
∂t
Ou encore :
dV
dt
=
∂V
∂t
∂x
∂x
+u
∂w
∂x
∂y
∂y
+v
∂w
∂y
∂u
∂z
∂v
+w
+ V . grad V
77
∂z
∂w
∂z
(78)
Les différents termes de cette équation représentent :
dV
dt
∂V
∂t
=
accélération =
+ V . grad V
accélération
+
accélération
En utilisant la définition de la dérivée totale de la vitesse, équation (78), les équations de
l‟hydrodynamique, équations (77), s‟écrivent :
∂u
∂u
∂u
∂u
1 ∂P
+u +v +w
=−
∂t
∂x
∂x
∂y
∂z
+u
∂w
+u
∂t
∂t
∂V
∂t
∂v
∂v
∂x
+v
∂w
∂x
∂v
∂y
+v
+w
∂w
∂y
∂v
∂z
+w
=−
∂w
∂z
1 ∂P
=−
∂y
1 ∂P
1
+ V . grad V = grad(p + gh)
∂z
ou
−g
(79)
5.2.3 Equation caractéristique « équation complémentaire »
Comme en hydrostatique , pour un liquide supposé incompressible, cette équation s‟écrit :
=
5.2.4
(80)
Equation de continuité
Cette équation a déjà été établie en cinématique, elle exprime que le fluide reste continu, c'està-dire qu‟il ne peut y avoir ni apport extérieure, ni prélèvement de matière ; la masse se
conserve au cours de l‟écoulement.
Page 73
∂
∂
+
∂t ∂x
u +
∂
∂y
v +
∂
∂z
w =0
Pour un liquide, compte tenu de l‟équation caractéristique
, l‟équation de
=
continuité devient :
∂u ∂v ∂w
+ +
∂x ∂y ∂z
V =0
L‟équation de continuité a été démontré en cinématique, elle peut se mettre sous la forme
suivante :
v1 A1 = v2 A2
En définitive, pour un liquide parfait supposé incompressible, les cinq équations recherchées
sont :
-
Les trois équations d‟Euler (73) ou (74)
-
L‟équation caractéristique (80)
-
L‟équation de continuité
Si l‟écoulement est permanent (constant en fonction du temps), l‟accélération locale est nulle,
∂V
∂t
= 0. Si l‟écoulement est uniforme (constant dans l‟espace), l‟accélération convective est
nulle, V . grad V = 0. Dans un écoulement permanent et uniforme, l‟accélération totale
est donc nulle,
5.2.5
dV
dt
=0
Equations du mouvement le long de la trajectoire
Rappelo s les
uatio s d’Eule :
1
grad p = F − γ
1 ∂P
∂X
1 ∂P
∂y
1 ∂P
∂Z
Considérons les coordonnées de deux points
trajectoire de la molécule liquide qui passe en
et
=X−
=
dt 2
−
= Z−
au temps
Page 74
d2x
′
d2y
dt 2
d2z
dt 2
infiniment voisins situés sur la
et en
′
au temps +
.
Soient :
+
+
é
es coordonnées de
+
Multiplions la première équation du système précédent par
par
′
, la seconde par
, la troisième
et additionnant. Il vient ainsi :
∂P
∂P
du
dv
dw
1 ∂P
dx +
dy + dz = Xdx + Ydy + Zdz − ( dx +
dy +
dz)
∂X
∂y
∂z
dt
dt
dt
Le premier membre de cette équation est égal à :
dx
dt
= u;
dy
dt
= v;
dz
dt
1
ρ
=w
dp −
∂P
∂t
dt
Le deuxième terme du second membre devient donc :
udu + vdv + wdw
( , , ) au temps , on a :
or, si V est la vitesse de la molécule qui passe en
2
=
2
+
2
+
2
donc :
=
+
+
En définitive l‟équation obtenue s‟écrit encore :
1
ρ
dp −
∂P
∂t
dt = Xdx + Ydy + Zdz − Vdv (81)
Cette équation est l‟homologue de celle qui a été établie en hydrostatique
1
ρ
Si le mouvement est permanent1
dp = Xdx + Ydy + Zdz
∂P
∂t
=0
Le mouvement d’un fluide est permanent quand, en un point quelconque de la masse en mouvement, les
molécules qui se succèdent en ce point sont toutes animées de la même vitesse, sont soumises à la même pression
et ont la même masse volumique (exemple :écoulement dans une conduite, ou un canal…). Le régime permanent
exprime une constance dans le temps alors que le régime uniforme exprime une constance dans l’espace.
1
Page 75
et donc :
5.2.6
1
ρ
dp = Xdx + Ydy + Zdz − Vdv
(82)
Cas d’un liquide incompressible dans le champs de la pesanteur-Théorème de
Daniel Bernoulli
Examinons ce que devient l‟équation générale du mouvement permanent (81), lorsque le liquide en
mouvement est soumis à la seule action de la pesanteur, on aura :
X=Y=0
=−
L‟équation (81) s‟écrira :
1
dp = Xdx + Ydy + Zdz − Vdv
ρ
1
dp = −gdz − Vdv
ρ
Intégrons cette équation nous obtenons:
V2
p
+ gz +
= constante
2
ρ
Ou encore :
z+
p
ϖ
+
V2
2g
= constante
(82)
Nous constatons que cette équation est analogue à celle obtenue en hydrostatique :
z+
Il s‟est ajouté le terme
V2
2g
p
= constante
ϖ
homogène à une longueur, qui est la hauteur représentative de la
vitesse. C‟est la hauteur de laquelle devrait tomber la molécule liquide, en chute libre dans le
vide, pour acquérir la vitesse V.
La constante est aussi homogène à une longueur, nous la noterons
On a donc, tout le long de la trajectoire d‟une molécule liquide :
p V2
z+ +
= H = constante
ϖ 2g
Page 76
.
5.2.7
Représentation de l’équation de Bernoulli
L‟équation de Bernoulli peut être représenté soit sous forme analytique, ou énergétique ou
encore sous forme graphique
5.2.7.1
Equation de Bernoulli sous forme analytique
L'équation de Bernoulli s'écrit :
p V2
z+ +
=H
ϖ 2g
rappelons que :
= ∗
Les différents termes de cette équation sont :
z: hauteur de position ; cote géodésique
p
ϖ
: hauteur piézométrique
z+
V2
2g
p
ϖ
: charge hydrostatique
: hauteur du à la vitesse
H: l‟énergie totale ou encore plan de charge, c’est une constante
5.2.7.2
Equation de Bernoulli sous forme énergétique
Pour un fluide parfait, le bilan énergétique est constant en tout point dans une ligne de
courant. L‟équation de Bernoulli peut être représenté sous forme d‟énergie :
1
∗ ∗ V2
+
2
Energie cinétique +
∗g∗z
+
Energie potentielle
p
=
+ pression = constante = la charge
en hydrostatique la vitesse est nulle et donc le premier terme s‟annule, V=0
∗
∗ +
=
on retrouve ainsi le principe fondamentale de l‟hydrostatique.
Page 77
Une particule fluide animée d‟une vitesse V, soumise à une pression P est située à la cote Z
par rapport à un plan horizontal de référence. Possède par unité de poids, les différents types
d‟énergie spécifique ou charges
Tableau n°5 : Rep se tatio
Types d‟énergie spécifique
e g ti ue de l’
uatio de Be oulli
Dénomination
Expression
(énergie par unité de poids)
Position
Cote exprimée en hauteur de fluide
Z
Pression
Pression exprimée en hauteur de
P
ω
fluide
Energie statique(statique des
Hauteur piézométrique (statique
fluides)
des fluides)
Energie cinétique
Hauteur due à la vitesse ou charge
dynamique
Energie totale
5.2.7.3
Charge totale
Z+
P
ω
V2
2g
P
V2
ω
2g
Z+ +
Equation de Bernoulli sous forme graphique
Tous les termes de l‟équation de Bernoulli peuvent être représentés graphiquement pour un
liquide non visqueux (liquide parfait) .(voir figure 36)
Page 78
FIGURE 36 : REPRESENTATION GRAPHIQUE
DE L ’ EQUATION DE B ERNOULLI POUR UN LIQUIDE PARFAIT
5.2.8
Application du théorème de Daniel Bernoulli : cas d’un liquide parfait
5.2.8.1
Tube de venturi
Un tube de Venturi est un tube de section variable, il est limité par les sections S1, S2 , S3,et S4
où les pressions sont respectivement p1 et p2 p3 et p4 (voir figure 37).
Un tel appareil permet de mesurer le débit volumique d'un fluide à partir de la différence de
pression.
L‟effet Venturi peut se produire quand un écoulement rencontre un étranglement, ce qui
engendre une dépression. On peut rencontrer ce phénomène aussi dans les écoulements à
surface libre (exemple :rétrécissement de la section d‟un cours d‟eau) .
Les tubes verticaux sont des prises de pression statique (des piézomètres).
Les sections S1, S2 , S3,et S4 sont connus (caractéristiques du Venturi), les pressions sont
respectivement p1 et p2 p3 et p4 sont mesurées par les piézomètres (hauteurs de liquide dans les
tubes verticaux).
Page 79
FIGURE 37 : SCHEMA DU TUBE DE VENTURI.
L‟équation de Bernoulli entre les sections (1-1) et (2-2) pour un liquide parfait est :
V 21
2g
+
P1
∗g
+ Z1 =
V 22
2g
+
P2
∗g
+ Z2 = H
Z1 et Z2 : Se trouve sur le même plan de référence, donc nous pouvons les éliminer
D‟autre part l‟équation de continuité s‟écrit :
1. 1
=
2. 2
;
2
=
1. 1
2
L‟équation de Bernoulli que nous avons appliqué entre les deux section (1) et (2 devient
alors :
V 21
2g
P2
∗g
−
P1
∗g
+
V12
1
−
2g 2
P1
∗g
1
=
1. 1
2
1. 1
2
2
=
2
2
+
P2
∗g
P2
P1
−
∗g
∗g
: peut être déterminé par les tubes piézométriques
Page 80
∗ g ∗ h1
P1 = Pa +
Pa : est la pression atmosphérique.
P2 = Pa + ∗ g ∗ h2
Les hauteurs d‟eau h1 et h2 sont mesurés par les tubes piézométriques
P1
P2
−
= h2 − h1
∗g
∗g
Nous remplaçons cette dernière équation dans l‟équation précédente nous obtenons :
V12
1
−
2g 2
2
1. 1
P2
P1
−
= h2 − h1
∗g
∗g
=
2
V12
1
−
2g 2
V12
(1 −
2g
2
1. 1
= h2 − h1
2
2
1
) = h2 − h1
2
Et ainsi nous remarquons qu‟il ne nous reste qu‟une seule inconnue c‟est la vitesse au point(1)
V 21
2g
=
h 2 −h 1
1− 1
2
2
; V12 =2g
h 2 −h 1
1− 1
2
et donc
1
=
2g
h2 −h1
2
(1− 1 )
2
2
Le débit total traversant cette conduite est alors :
= 1 2g
5.2.8.2
Vidange d’un réservoir prismatique
h2 − h1
(1 −
1
2
2
)
Considérons un réservoir cylindrique rempli d‟un liquide dans lequel on perce un orifice2.
On fera les hypothèses suivantes :
2
Un orifice est une ouverture de forme régulière pratiqué au fond ou sur l‟une des parois d‟un réservoir .
Page 81
-
La section S du cylindre est très grande devant la section de l‟orifice :
(
0
:section de l’orifice ;
0
:section du réservoir)
-
On néglige la viscosité
-
On considère que le liquide est incompressible
à la sortie de l‟orifice.
1. On cherche à calculer le débit
Appliquons l‟équation de Bernoulli entre la surface libre, point (1), et l‟orifice point (2) :
1+
Au niveau de la surface libre :
1
=
1
∗
+
2
1
2
=
2+
2
∗
+
2
2
2
(c‟est la charg3e sur l‟orifice)
P1 =Patm (Patm : est la pression atmosphérique)
1
est négligeable, 1 ~ 0 , car pour un réservoir de grande dimension l‟écoulement est
négligeable par rapport à la sortie c'est-à-dire au niveau de l‟orifice et ainsi 1 = 0
FIGURE 38 : VIDANGE D’UN RESERVOIR
au niveau de l‟orifice:
2
= 0 c‟est sur le plan de référence
2 = Patm
(Patm : est la pression atmosphérique)
La charge est la hauteur d‟eau au dessus du centre de gravité de l‟orifice. Elle provoque l‟écoulement du fluide
incompressible
3
Page 82
2= ?
Nous obtenons:
V2 =
2 est
(formule de Torricelli4)
2gh
(83)
dite la vitesse théorique.
En pratique cette formule est applicable à condition que la charge sur l‟orifice (H) soit grande
devant la taille de l‟orifice. On remarquera que la vitesse a la même expression que celle de la
chute libre d‟un point matériel dans le champ de pesanteur.
La vitesse du jet est en faite égale à
=
2gh
est le coefficient de vitesse
Sachant qu‟au niveau de l‟orifice il existe une contraction de la veine liquide et ainsi on
pourra dire que la section de la veine liquide ou encore du jet5 est représentée par :
=
0
=
0
2
=
0
Le débit volumique d‟écoulement vaut donc :
×
=
: est le coefficient de vitesse
: est le coefficient de contraction
Enfin nous obtenons :
2
4
(83)
En 1643 Evangelista Torricelli a établit que le carré de la vitesse d'écoulement d'un fluide sous l'effet de la
pesanteur est proportionnel à la hauteur de fluide située au-dessus de l'ouverture par laquelle il s'échappe du
cylindre qui le contient.
5
On appelle jet un tube de courant qui sort de l‟orifice
Page 83
: est le coefficient de débit, il est inférieur à 1. Ce coefficient est déterminé
expérimentalement, il varie avec la forme, les dimensions, l‟orientation de l‟orifice
(horizontal, ou vertical), l‟acuité de ses arêtes et la charge.
2. On cherche à calculer le temps de vidange d‟un réservoir quelconque muni d‟un
orifice
Soit un réservoir non alimenté, rempli à une hauteur H au dessus du centre de gravité de
l‟orifice. Après l‟ouverture de l‟orifice, le niveau va s‟abaisser progressivement et le régime
ne sera donc plus permanent.
Si la section du réservoir est toujours assez grande pour que les vitesses des molécules
liquides à l‟intérieur du réservoir soient constamment négligeables quand le niveau s‟abaisse,
on a constamment pour toute hauteur d‟eau h :
=
Pendant le temps
0
le niveau s‟abaissent de
2
l‟aire de la surface libre pour cette
; soit
hauteur h. L‟équation de continuité s‟écrit :
=−
Ou
0
2 dt = −
Le temps nécessaire pour qu‟un niveau de liquide qui se trouve à une hauteur
un niveau
2,
en supposant que
est constant
1
0
2 dt = −
Ce qui donne :
Page 84
2
1
s‟abaisse à
2
1
=
0
2g
1
Et le temps T nécessaire à la vidange complète sera donc:
1
=
0
2g
0
L‟intégrale du second membre dépend de la loi
= f( )c'est-à-dire de la forme du réservoir.
3. On cherche à calculer le temps de vidange complet d‟un réservoir prismatique ou
cylindrique vertical (section droite constante) muni d‟un orifice
Soit
la section droite constante du réservoir, le même raisonnement que précédemment
permet d‟écrire :
0
Intégrons en supposant
constant
1
S
0
Pour t = 0, h = H donc Cte = 2
2 dt = −
2 t = −2
+ C te
Et l‟équation s‟écrit :
1
S
0
H−
2 t=2
La durée de vidange totale T s‟obtient en faisant
=
soit :
2
0
2gH
: volume utile du réservoir
0
2gH =
0
(débit initial)
Page 85
(84)
C‟est le double du temps nécessaire pour vider le réservoir avec un débit constant égal au
débit initial.
5.3
L’hydrodynamique des liquides réels
L‟écoulement d‟un fluide réel engendre des forces de frottement dues à la viscosité6 et à la
turbulence. La présence de ces forces induit une perte de charge qui est une transformation
irréversible de l‟énergie mécanique en énergie thermique.
Dans l‟écoulement des liquides réels, il s‟impose de faire la distinction entre les régimes
d‟écoulement.
5.3.1 Les régimes d’écoulement
il
existe plusieurs régimes d‟écoulement ou régimes hydrauliques présentant entre eux des
différences essentiels. Parmi ces régime on distingue :
5.3.1.1
Par rapport au fluide
A. Les fluides incompressibles et les fluides compressibles
B. Les fluides parfaits et les fluides réels ou encore visqueux
La combinaison de ces facteurs indique que quatre modèles d‟écoulement sont possibles :
 Ecoulement incompressible parfait c‟est le domaine de l‟hydrodynamique
 Ecoulement compressible parfait : la masse spécifique du fluide dépend de la pression
et de la température. C‟est le domaine de l‟aérodynamique (calculs d‟aéronautiques
pour les vitesses proches ou supérieures au son).
 Ecoulement incompressible visqueux c‟est le domaine de l‟hydraulique ou encore
hydrodynamique des fluides réels, on différencie dans ce domaine d‟écoulement
 L‟écoulement laminaire
 l‟écoulement turbulent
 et l‟écoulement critique ou encore transitoire
 Ecoulement compressible visqueux ; on utilise des modèles mathématiques
5.3.1.2
Par rapport au temps
Les écoulements permanents et les écoulements variables
La viscosité est une propriété d‟un liquide naturel. C‟est la résistance d‟un fluide à l‟écoulement, elle est due au
frottement entre les particules fluides en mouvement. Elle représente l‟imperfection de la fluidité de ce liquide.
Elle est déterminé au biais de l‟expérience de COUETTE
6
Page 86
a) Les écoulements permanents sont des écoulements dont les caractéristiques sont
constantes c'est-à-dire indépendantes du temps dans chaque section mais peuvent
varier de section en section le long de l‟écoulement .Dans ces écoulements les lignes
de courant et les trajectoires sont confondues.
b) Les écoulements non permanents ou variables sont des écoulements dont les
caractéristiques varient dans chaque section avec le temps ; Dans ces écoulements les
lignes de courants changent en chaque instant
5.3.1.3
Par rapport à l’espace
1) les écoulements uniformes sont des écoulements permanents dont les caractéristiques
ne varient pas d‟une section à l‟autre, demeurant constante tout au long de
l‟écoulement.
2) les écoulements non uniformes ou variés sont au contraire des écoulements qui
peuvent être permanents ou variables et dont les caractéristiques varient de section en
section.
5.3.1.4
Par rapport au degré de liberté dans la section droite de l’écoulement
1. les écoulements en charge : la surface de la conduite est complètement remplie de fluide
2. les écoulements à surface libre : la surface libre est en contact direct avec l‟atmosphère,
on distingue :
 les écoulements fluviaux
 les écoulements torrentiels
 et les écoulements critiques
5.3.2
Expérience de Reynolds
Les expériences réalisées par Osborne Reynolds (1883) lors de l'écoulement d'un liquide dans
une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré,
ont montré l'existence de deux régimes d'écoulement : laminaire et turbulent.
Si on injecte un petit volume de colorant dans l'axe d'une canalisation horizontale parcourue
par de l'eau, on observe suivant le débit du liquide (c'est-à-dire suivant sa vitesse puisque la
section est constante) les phénomènes suivants.
-
faibles débits: la trajectoire du filet de colorant est rectiligne. Les couches de liquide
s'écoulent concentriquement les unes sur les autres sans qu'il y ait de mélange. Le
régime d'écoulement est dit laminaire.
-
Forts débits: le colorant se mélange rapidement à l'eau par création de mouvements
tourbillonnaires. Les forces dues à la viscosité ne sont alors plus suffisantes pour
Page 87
empêcher la naissance d'une multitude de tourbillons. Le régime d'écoulement est dit
turbulent.
FIGURE 39 : ECOULEMENT LAMINAIRE ET ECOULEMENT TURBULENT
Pour distinguer quantitativement les deux types de régimes observés, on utilise un critère basé
sur le nombre de Reynolds ℛ
7
L‟expérience de Reynolds consiste à injecter un liquide coloré dans une masse liquide en
mouvement à l‟intérieur d‟un tube en verre.
Si on ouvre légèrement le robinet de vidange, le liquide coloré commence à passer lentement
dans le tube en verre et ne se mélange pas avec les autres couches du liquide. Les lignes de
courant dans le tube sont toujours rectilignes de telle sorte que la coloration reste uniforme.
Ce régime s’appelle Régime laminaire.
Si on augmente l‟ouverture du robinet, la vitesse d‟écoulement s‟accroît et on remarque des
oscillations dans le tube. L‟augmentation de la vitesse entraîne le mélange du liquide coloré
avec les autres couches du liquide dont laquelle chaque particule est projetée dans toutes les
directions d‟une manière irrégulière et désordonnée. Ce régime s’appelle Régime turbulent.
Si on désigne par
par
la vitesse moyenne dans le tube, par
le diamètre intérieur du tube et
le coefficient de viscosité cinématique du liquide en mouvement, le nombre
adimensionnel appelé « nombre de Reynolds »
ℛ =
Peut servir à caractériser le régime d‟écoulement, certes, le point de passage d‟un régime à
l‟autre est assez imprécis et correspond à un nombre de Reynolds voisin de 2000 :
7
ℛ : nombre adimensionnel peut servir à caractériser le régime d’écoulement, il est voisin de 2000
Page 88
-
L'écoulement est d'abord tranquille ou laminaire pour ℛ <2000.
Il devient turbulent pour ℛ >2000
FIGURE 40: PRINCIPE DE L ’EXPERIENCE DE REYNOLDS
Pour des tubes de diamètre variable et des fluides de viscosité et densité différent, il existe une
relation qui prévoit le passage de l'écoulement laminaire à l'écoulement turbulent
Entre les deux valeurs de ℛ , le régime est qualifié d‟intermédiaire (si ℛ =2000 c‟est le
régime intermédiaire, critique ou encore transitoire)
Dans tous les problèmes usuels de l‟hydraulique (sauf pour l‟hydraulique souterraine) c‟est au
régime turbulent que l‟on a affaire. Quand le régime est turbulent, les frottements augmentent
donc la perte de charge augmente dans une canalisation.
5.3.3
Equations générales du mouvement d’un liquide réel
équations de Navier-
Stockes)
Ces équations s‟obtiendront en adjoignant les forces de viscosité aux autres forces s‟exerçant
sur un parallélépipède élémentaire
,
,
. Autrement dit, nous devons écrire l‟équilibre
du système de forces suivantes :
-
Forces extérieures
-
Pressions normales
-
Forces d‟inertie
-
Forces de viscosité
Page 89
En considérant les forces correspondantes s‟exerçant sur l‟unité de masse du liquide, les trois
première catégories de forces ont conduit aux équations d‟Euler
1
73 :
grad p = F − γ
Il suffit d‟ajouter à chacune de ces équations les composantes sur l‟axe correspondant des
forces de viscosité par unité de masse et nous obtenons les équations de l‟hydrodynamique
des fluides réels ou équations de Navier-Stockes (en 1822) :
1
1
grad p
F
grad p = F − γ + ν∆V
′
é
(85)
−γ
ν∆V
é
L‟équation de Navier-Stockes est difficile à intégrer, on est donc obligé d‟avoir recours à
l‟expérience pour faciliter l‟étude des conditions de l‟écoulement ; c‟est la justification de
l‟hydraulique expérimentale (semi-empirique)
-
Si ν = 0, on retrouve les équations d‟Euler des liquides parfaits
Si ν = 0 et γ = 0 on retrouve les équations de l‟hydrostatique
Si le mouvement est rectiligne et uniforme, γ = 0
et ∆V = 0, on retrouve les
équations de l‟hydrostatique et la pression dans toute la masse liquide varie suivant la
loi hydrostatique
5.3.4
Théorème de Bernoulli au cas d’un liquide réel
Dans le cas d‟un fluide parfait, l‟équation d‟Euler est représenté par la relation (81)
∂P
1
dp − dt = Xdx + Ydy + Zdz − Vdv
∂t
ρ
En régime permanent, cette équation deviendra
1
ρ
dp = Xdx + Ydy + Zdz − Vdv (86)
Si on effectue les mêmes calculs à partir des équations de Navier-Stockes, en régime
permanent on obtient :
Page 90
1
dp = Xdx + Ydy + Zdz − Vdv + ν(∆udx + ∆vdy + ∆wdz)
ρ
Appliquons cette équation à une particule d‟un liquide incompressible soumise à la seule
action de la pesanteur ( X = Y = 0; Z = −g). Il vient
V2
p
+ gZ +
−ν
2
ρ
∆udx + ∆vdy + ∆wdz = C te
En divisant par g :
−
ν
g
p V2 ν
z+ +
−
ϖ 2g g
∆udx + ∆vdy + ∆wdz = C te = H
∆udx + ∆vdy + ∆wdz : représente ce qu‟on appelle la perte de charge depuis
l‟origine du mouvement jusqu‟au point considéré, on le désigne par j
j=−
ν
g
∆udx + ∆vdy + ∆wdz
l‟équation susvisée s‟écrit alors :
P
V2
ϖ
2g
Z+ +
+ j = C te = H (87)
L‟équation (87) représente le théorème de Daniel Bernoulli pour un liquide réel c'est-à-dire de
fluidité non parfaite :
En tout point d‟un filet liquide pris dans une masse liquide de fluidité non parfaite en
mouvement permanent dans le champs de la pesanteur, la cote, la hauteur représentative de la
vitesse et la perte de charge depuis l‟origine du mouvement forment une somme constante.
Le terme j représente l‟énergie dissipée sous forme de chaleur par suite des frottements et de
la viscosité.
Page 91
L‟équation (87) peut être représenté graphiquement :
FIGURE 41 : REPRESENTATION GRAPHIQUE DE L’EQUATION DE BERNOULLI POUR UN LIQUIDE REEL
Chapitre 6
Ecoulement dans les canalisations en charge
6.1
Introduction
L‟écoulement d‟un fluide réel dans les conduites représente une des applications classiques de
l‟hydrodynamique théorique et expérimentale.
Page 92
Toute installation de transport de fluide nécessite l‟étude des conditions de l‟écoulement pour
satisfaire les objectifs recherchés. Nous distinguons deux types d‟écoulement :
-
Ecoulement en charge
-
Et écoulement à surface libre
Caractérisés par les contraintes de section dans le premier type et par les contraintes de
pression dans le deuxième type.
Dans ce chapitre nous étudierons les écoulements en charge, les écoulements à surface libre
seront traité dans un autre polycopié.
En hydraulique on considère que l‟écoulement est en régime turbulent.
6.2
Equation générale du mouvement permanent d’un courant
liquide dans le champ de la pesanteur
Considérant un courant liquide en régime turbulent et en mouvement permanent dans le
champ de la pesanteur. Nous supposerons sa section transversale � constante ou très
lentement variable et son axe longitudinal rectiligne ou de très faible courbure afin de pouvoir
considérer comme parallèles les vitesses des différents filets liquides juxtaposés et pouvoir
définir une section transversale plane.
Pour étudier ce courant, choisissons ainsi les trois axes
,
,
:
: est un point quelconque de la section droite
: perpendiculaire à la section droite, donc parallèle aux vitesses des différentes molécules
de la section droite,
: horizontal dans la section droite
: perpendiculaire aux deux autres, orienté positivement vers le bas (poids positif)
Page 93
FIGURE 42 : COURANT LIQUIDE
D‟après Boussinesq, les équations d‟Euler des fluides parfaits sont applicables au mouvement
des liquides réels en régime turbulent lorsque les frottement sont négligeables et à condition
d‟y introduire les valeurs moyennes locales de la vitesse et de la pression (c'est-à-dire celles
qui définissent le mouvement moyen et qui sont données par les appareils de mesure) au lieu
des valeurs vraies et instantanées.
Par ailleurs, en régime de pleine turbulence les forces de viscosité ont une influence
négligeable par rapport aux forces d‟inertie et à la dissipation d‟énergie due à la turbulence,
c‟est notamment le cas dans la plus grande partie d‟un courant liquide guidé par un dispositif
solide ; nous savons en effet, que l‟influence de la viscosité n‟est pratiquement appréciable
qu‟au voisinage des parois dans la couche limite.8
Rappelons les équations d‟Euler :
1
grad p = F − γ
1 ∂P
∂X
8
=X−
1 ∂P
∂y
1 ∂P
∂Z
=
du
dt
−
= Z−
dv
dt
dw
dt
La couche limite est une zone proche de la paroi, de très faible épaisseur qui croit le long de la paroi dans le
sens de l‟écoulement du fluide. L‟écoulement dans la couche limite peut aussi bien être laminaire que turbulent,
et l‟influence des forces de frottement est importante.
Page 94
Or, d‟après les hypothèses faites et le choix des axes, on peut considérer comme nulles les
accélérations
dv
dw
et
dt
dt
.
Quant aux forces extérieures, ce sont la pesanteur et les frottements.
1) Pesanteur
Soit
l‟angle
seront :
Suivant
:
Suivant
: 0
Suivant
:
avec l‟horizontale. Les composantes de la pesanteur par unité de masse
sin
cos
FIGURE 43 : LES COMPOSANTES DE LA PESANTEUR
2) Frottements
Les forces de frottement résultent des différences de vitesse des molécules voisines. Or ces
vitesses sont parallèles à
, donc les forces de frottement peuvent être considérées comme
parallèles à
, les composantes suivant
et
sont nulles.
Les deux dernières équations d‟Euler vont permettre de préciser comment varie la pression
suivant les directions
et
.
a) Suivant
, la seconde équation d‟Euler s‟écrit :
1 ∂P
∂y
=0
Ce qui montre que dans une section transversale la pression est constante le long d‟une
horizontale.
b) Suivant
, multiplions les deux membres de la troisième équation d‟Euler par
Nous obtenons :
Page 95
.
∂P
dz =
∂Z
= ϖ cos
cos
Intégrons le premier membre depuis l‟origine où la pression est
, de coordonnée où la pression est
.
0
jusqu‟à un point de l‟axe
Il vient :
−
0
= ϖ z cos = ϖ h
h : est la distance verticale entre l‟origine et le point de coordonnée z
donc le long de
la pression varie suivant la loi de l‟hydrostatique. Ceci est valable dans
toute section droite du courant.
FIGURE 44 : REPRESENTATION DE LA PRESSION
c) Suivant
Pour étudier comment varie la pression suivant
, on pourrait partir de la première
équation d‟Euler en explicitant la valeur de la force de frottement par unité de masse en
fonction des divers paramètres dont elle peut dépendre.
Nous appliquerons au courant liquide l‟équation de Bernoulli qui résulte d‟ailleurs des
équations d‟Euler (voir chapitre 5).
L‟équation de Bernoulli généralisée appliquée à un courant liquide s‟écrira :
P
U2
ϖ
2g
h+ +∝
+ j = C te
U : est la vitesse moyenne du courant
Cette équation n‟est valable que le long du courant , c'est-à-dire , dans la direction
Dérivons l‟équation par rapport à
:
Page 96
.
Evaluons chaque terme :
U2
∂j
∂h 1 ∂P ∂
+
+
=0
∝
+
2g
∂x
∂x ϖ ∂x ∂x
1ier terme :
∂h
∂x
= − sin i
= +
FIGURE 45 : REPRESENTATION DE LA PROFONDEUR
= −
2ième terme :
La troisième équation d‟Euler donne :
−
0
= ϖ z cos = ϖ h
Dérivons par rapport à x en maintenant
considéré s‟écrit donc :
∂
∂x
z constants :
∂P ∂P0
=
∂x
∂x
ne peut varier qu‟avec x puisque le régime est
3ième terme : la vitesse moyenne
permanent ; on peut remplacer
et
par
d
dx
. En supposant ∝ constant avec x , le terme
d U2
∝
dx 2g
Page 97
4ième terme :
représente l‟énergie absorbée par les frottements par unité de poids du liquide.
Les forces de frottements étant dirigées suivant
,
ne varie pas avec
et
comme le
régime est permanent, il ne varie pas aussi avec .
On peut remplacer
∂j
∂x
par
dj
dx
dj : représente l‟énergie absorbée par les frottements par unité de poids du liquide, sur la
distance dx .
A l‟intérieur du courant, la somme des projections sur l‟axe des x des forces de frottements
des filets liquides est nulle, par application du principe de l‟égalité de l‟action et de la
réaction. Il reste donc les frottements de la tranche de courant d‟épaisseur dx sur les parois
du dispositif solide qui guide la masse liquide en écoulement.
Désignons par
le périmètre mouillé.
Le long de l‟élément de paroi de longueur dx la force de frottement est proportionnelle à la
et au poids volumique du liquide ϖ.
surface de cet élément c‟est dire à
Compte-tenu des phénomènes complexes qui se produisent dans la couche limite, et nous
appuyant sur les résultats de l‟expérimental, nous écrirons que la force de frottement
considérée est une fonction de la vitesse
, cette fonction �
intégrant le coefficient
de proportionnalité, la viscosité , la turbulence du liquide et la rugosité des parois.
�
: est une fonction qui peut être déterminé par l‟expérience. Elle tient compte de la loi
de variation de la vitesse dans une section transversale du courant, c'est-à-dire de l‟incidence
des frottements intérieurs. Elle dépend de la nature, et la rugosité des parois et le nombre de
Reynolds caractérisant l‟écoulement.
Sur l‟élément de paroi considéré la force élémentaire de frottement aura pour expression :
par unité de poids du liquide elle sera :
L‟énergie
ϖB�
B
�
S
correspondane dissipée sur la longueur
Page 98
est donc :
B
�
S
=
dj
B
=
�
dx
S
C‟est aussi la perte de charge par mètre J :
L‟équation de Bernoulli s‟écrit donc :
sin i −
1 ∂P 0
ϖ ∂x
=
B
�
S
+∝
d
U2
dx
2g
(88)
C‟est l‟équation générale fondamentale du mouvement permanent d‟un courant liquide
sensiblement rectiligne à section à peu prés constante ou très lentement variable.
Le premier membre de l‟équation (88) représente la variation correspondante de l‟énergie
potentielle et le second membre représente la somme de l‟énergie absorbée par les frottements
et de la variation de l‟énergie cinétique. Cette équation traduit la conservation de l‟énergie
tout le long du courant liquide considéré.
L‟inverse du rapport
considérée, soit
B
=
porte le nom de rayon hydraulique moyen de la section transversale
S
B
S
Pour une section circulaire de diamètre
2
B=
;S=
1 ∂P0
4
sin i −
=
�
ϖ ∂x
D
4
;
B
S
=
4
D
d U2
+∝
dx 2g
Dans le cas d‟un régime uniforme, U = C te l‟équation deviendra :
sin i −
4
1 ∂P0
=
�
D
ϖ ∂x
Page 99
Le premier membre représente la perte de charge par mètre
J=
4
�
D
1
DJ = �
4
6.3
(89)
Perte de charge le long d’un courant liquide (perte de charge
linéaires "�� " )
Les calculs des perte de charge sont d‟une grande importance pour les projets de canalisation.
La perte de charge ou perte d‟énergie le long d‟un courant liquide qui est représenté par le
terme
B
S
�
de l‟équation générale fondamentale du mouvement permanent d‟un courant
liquide sensiblement rectiligne à section à peu prés constante ou très lentement variable est
due aux frottements des molécules liquide entre elles et contre les parois du dispositif solide
qui guide le courant.
Ces frottements interviennent dés que le mouvement se produit puisqu‟ils résultent de la
viscosité du liquide et de la turbulence du régime :ils apparaissent
-
dans un écoulement rectiligne de section constante (équation (88))
-
lorsqu‟il rencontre une singularité dans la direction du courant
-
ou dans la forme ou l‟étendue de sa section transversale
6.3.1
expression générale de la perte de charge –Utilisation de l’analyse dimensionnelle
la recherche de l‟expression générale de la perte de charge résultant de l‟écoulement dans une
adduction (canal, canalisation, etc.) constitue une application remarquable de l‟analyse
dimensionnelle dont l‟utilisation en hydraulique est très fréquente.
6.3.1.1
Principe de l’analyse dimensionnelle-Théorème des
ou de Vaschy-Buckingham9
Une loi physique concrétisée par une relation entre un certain nombre de grandeurs
(longueurs, vitesses, masses, temps, accélérations, forces, etc.….) est indépendante des unités
employées pour exprimer les valeurs numériques des diverses grandeurs qui interviennent
dans la dite relation. La théorie de l‟analyse dimensionnelle permet précisément de déterminer
9
Ce théorème a été énoncé par Vaschy en 1890 puis, de manière plus précise par Buckingham en 1915
Page 100
la forme la plus simple que peut revêtir une loi reliant un certain nombre de grandeurs
physiques.
Le théorème fondamental de l‟analyse dimensionnel est le théorème des
ou de Vaschy-
Buckingham ; il s‟énonce ainsi :
Si
est le nombre de grandeurs physiques caractérisant le phénomène étudié et
de grandeurs fondamentales intervenant dans la définition de ces
plus simple qui existe entre ces
le nombre
grandeurs, la forme la
grandeurs est une relation entre les
−
produits
indépendants et sans dimensions10 qui constituent la série complète des produits indépendants
et adimensionnel que l‟on peut former avec les
−
Ces
grandeurs considérées.
produits sans dimension sont constitués par des groupements monômes contenant
deux ou plusieurs des
grandeurs caractérisant le phénomène étudié. Il doivent être
indépendants en ce sens que l‟un deux ne doit pas être le résultat de la comde l‟anabinaison de
deux ou plusieurs autres.
6.3.1.2
Application de l’analyse dimensionnelle en hydraulique
Les diverses grandeurs physiques qui interviennent en hydraulique sont en nombre limité et
les produits sans dimension que l‟on peut former avec elles dérivent le plus souvent de
quelques produits simple. La plupart de ces produits ont reçu le nom de l‟auteur qui les a, le
premier, introduits dans la littérature hydraulique.
Voici les principaux produits adimensionnels de l‟hydraulique :
-
Nombre d‟Euler ou nombre de Newton : ℇ =
p
V2
qui représente le rapport des forces
de pression aux forces d‟inertie.
-
UD
Nombre de Reynolds : ℛe =
qui représente le rapport des forces d‟inertie et de
ν
turbulence aux forces de viscosité.
-
Nombre de Froude : � =
V
gh
qui représente le rapport des forces d‟inertie aux
forces de pesanteur.
10
Ces n − r produits adimensionnels avaient été désigné par Buckingham par le terme " produits
nom de " théorème des " donné parfois au théorème de Vaschy-Buckingham
Page 101
", d‟où le
-
V
�=
Nombre de Mach :
qui représente le rapport de la vitesse du fluide à
k
k
la vitesse du son dans ce fluide : C =
dp
du fluide, soit k = dV
-
où k est la compressibilité volumique
dp
V
=d
V2
qui représente le rapport des forces d‟inertie aux
Nombre ce Cauchy : Ca =
K
forces de compressibilité ; il est égal au carré du nombre de Mach
-
Nombre de Weber : we = V 2 (D A) ; où A est la tension superficielle, il représente
le rapport des forces d‟inertie aux forces de capillarité.
Application à l’établissement de l’expression de la perte de charge dans un écoulement
6.3.1.3
rectiligne de section transversale constante
Considérons un écoulement en régime permanent de débit Q dans un canal ou une
canalisation rectiligne transversale constante ; une dimension caractéristique de cette section
(rayon hydraulique moyen du canal, diamètre de la canalisation) est représentée par la
longueur
.
Les grandeurs physiques qui interviennent dans l‟expression de la perte de charge ∆j
correspondant à l‟écoulement sur la distance
représentant la longueur du tronçon rectiligne
de la canalisation ou du canal considéré sont :
1) ∆p :perte de pression (cas d‟une canalisation en charge) dont l‟équation aux
−1
dimensions est
−2
2)
:longueur du tronçon d‟écoulement considéré dont l‟équation aux dimension est
3)
: dimension caractérisant la section transversale de l‟écoulement dont l‟équation aux
dimension est
4)
: dimension des aspérités de la paroi solide guidant la masse liquide .
Les paramètres
5)
.
, ,
caractérisent la canalisation ou le canal considéré.
: vitesse moyenne du fluide dont l‟équation aux dimensions est
Page 102
−1
.
6)
: masse volumique du fluide dont l‟équation aux dimensions est
7)
: viscosité cinématique dont l‟équation aux dimensions est
2
−1
Les paramètres
,
La pesanteur
n‟intervient que dans les écoulements à surface libre puisque
, et caractérisent le fluide
∆p = ϖ∆j =
∆j
Nous avons 7 grandeurs physiques caractérisant le phénomène étudié
,
fondamentales
−3
= 7 et trois grandeurs
( = 3). En application de Vaschy-Buckingham, la relation
physique cherchée doit s‟exprimer par une relation entre
− = 4 produits sans dimension
indépendants formés avec les sept grandeurs considérées, soit, par exemple :
∆p
L UD k
=
φ
U2
D
D
2
Sachant que ∆p est proportionnel à L . Puisque l‟écoulement est identique dans toutes les
sections transversales. La relation peut donc s‟écrire :
L
∆p
=
f
U2 D
2
Posons : = f
UD
UD k
D
, Dk
Il vient
∆p =
L U2
D 2
Si on mesure ∆p en hauteur de fluide11, c'est-à-dire ∆p =
peut s‟exprimer par :
∆j =
L U2
D 2g
g ∆j , la perte de charge ∆j
(90) (équation de Weisbach-Darcy)
Le paramètre g s‟introduit dans la formule finale de la perte de charge que par un artifice indépendant de la
loi physique considérée
11
Page 103
La perte de charge unitaire sera :
∆j
L
= J, soit :
U2
∆J =
D 2g
Avec
=
Autrement dit, le terme
B
S
�
ℛe ,
k
D
de l‟équation générale fondamentale du mouvement
permanent d‟un courant liquide rectiligne, à section constante ou très lentement variable
(équation (88)), représente la perte de charge unitaire et a pour expression générale :
U2
=J=
D 2g
B
�
S
Avec
=
ℛe ,
k
D
En définitive le problème du calcul des pertes de charge est celui de la détermination de λ
ℛe et de la
coefficient de perte de charge ; il est en fonction du nombre de Reynolds
rugosité relative
. Donc en fonction du régime d‟écoulement on pourra avoir différentes
équations de λ .
6.3.1.4
Notion de rugosité
Les parois des conduites ne peuvent être considérées comme des surfaces parfaitement lisses .
Ainsi elles peuvent être représentées par une série de protubérances élémentaires caractérisées
par une certaine hauteur appelée
k, qu‟on appelle la rugosité absolue, et
k
D
la rugosité
relative. k dépend de la nature de la conduite. D : est le diamètre de la conduite
Dans la pratique la rugosité n‟est pas uniforme . Aussi on la caractérise par une valeur
moyenne qui constitue la rugosité uniforme équivalente. Elle est mesurée expérimentalement.
Page 104
Tableau n°6 : quelques valeurs du coefficient de rugosité "k"
Nature de la conduite
Conduite en fonte non revêtu : neuves
Valeurs de � en mm
1
Conduite en fonte non revêtu : usagées
2
Conduite acier non revêtu : neuves
0.1
Conduite acier non revêtu : usagées
2
Conduite acier revêtu bitume
0.25
Conduite acier revêtu béton
0.5
Conduite acier revêtu par centrifugation
0.05
Conduite béton : neuves
0.1
Conduite béton : usagées
0.5
Conduite béton précontraint
0.05
Conduite amiante ciment
0.025
Conduite en verre
0.001
Galerie brute de percement
6.3.2
200 à 600
Expérience de Nikuradsé
L‟expérience de Nikuradsé a pour but de déterminer l‟influence de la rugosité des parois sur
le coefficient de perte de charge linéaire. Les parois d‟une conduite sont rendues
artificiellement rugueuses en y collant des grains de sable calibrés. En changeant la taille des
grains on change la rugosité.
On appelle � la taille moyenne des grains collés et D le diamètre de la conduite.
k
D
est la rugosité relative.
Nikuradsé a mesuré le coefficient de perte de charge λ en fonction de ℛe et de
varier ℛe , il suffit de faire varier la vitesse, donc le débit.
Page 105
k
D
. pour faire
Pour faire varier
k
D
Nikuradsé a utilisé des tuyaux de différents diamètres. Les parois des
conduites sont rendues artificiellement rugueuses, les conduites sont revêtus intérieurement
par des grains de sable ou des billes de verre calibrées, donc avec une rugosité connue et
uniforme. On trace log λ en fonction de log Re (voir figure 46).
: représente la taille moyenne des grains collés, D : le diamètre de la conduite,
:est la rugosité
relative, ℛe : nombre de Reynolds
On remarque:
Pour les faibles valeurs de Reynolds c'est-à-dire en régime laminaire la rugosité n‟a
-
pas d‟influence. La relation
�
ℛe est de la forme � = ℛ , représentée par une
=
e
droite dans un système d‟axes à graduations bilogarithmiques .
En régime laminaire (ℛe = ℛecr 12) la perte de pression est proportionnelle à la
-
vitesse moyenne, doù la perte de charge unitaire :
∆p
U2
=
L
D 2
est de la forme :
U2
= aU
D 2g
D‟où :
=
2
2
A
=
=
ℛe
ℛe ν
2
U
Pour un écoulement en régime laminaire dans un tube cylindrique la formule de
Hagen-Poiseuille permet d‟écrire :
=
λ=
64
ℛe
∆p
ϖ∗l
=
2
32
2
,
=
2
⟹
32
2
2
⟹�=
�
ℛe
∶ Cette équation est la droite de Poiseuille , elle n‟est valable que pour un
écoulement en conduite circulaire en régime laminaire.
12
2
=
ℛecr : est le nombre de Reynolds critique = 2000
Page 106
-
Quand ℛe > ℛec r mais toutefois suffisamment faibles pour que la turbulence du
régime à l‟intérieur du système n‟atteigne pas un degré extrême, le coefficient � =
est de la forme :
�=
ℛe n
;
<
ℛe
< ,
Dans cette zone intermédiaire qu‟on appelle zone de transition ou zone de moyenne
turbulence, les forces de viscosité n‟est pas totalement négligé. Donc la turbulence et
la viscosité interviennent pour provoquer la perte de charge qui varie comme une
puissance de la vitesse comprise entre 1 (régime laminaire n=1) et 2 (régime
complètement turbulent n=0)
-
Quand ℛe >>>> ℛecr la turbulence devient telle que les forces de viscosité sont
négligeables par rapport aux effets de la turbulence. C‟est ce que M.Camichel appelle
la
"
" du régime turbulent. Dans cette zone de pleine turbulence le
coefficient � est constant � =
L‟expérience de Nikuradsé a été complétée par les observations de Colebroock et White pour
des conduites industrielles, donc avec des rugosités irrégulières, observations et expériences
reprises ensuite par Moody. Elle intègre et confirme les analyses mathématiques de Von
Karman et Prandl. Ces compléments ont permis de préciser certains détails des résultats
obtenus par Nikuradsé dont le diagramme est communément appelé « Harpe de Nikuradsé ».
Ces compléments ainsi que les analyses mathématiques précédentes (Poiseuille, Blasius), ont
aussi permis de préciser les équations des courbes du diagramme de Coolebrook-Moody. En
pratique, on utilise des abaques appelés diagramme de Moody qui représentent le coefficient
de perte de charge en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative.
6.3.3
Analyse des résultats
Sur le graphique (figure 47), il existe plusieurs zones. Nous regroupons les caractéristiques de
l‟écoulement de chaque zone et éventuellement l‟équation
=
ℛe ,
k
D
dans le tableau(7)
En pratique, on utilise des abaques appelés diagramme de Moody qui représentent le
coefficient de perte de charge en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité relative.
On conçoit que lorsque l‟épaisseur "e" de la couche limite est supérieure à , les aspérités
(rugosités) des parois sont noyées dans une zone où la viscosité est prépondérante et n‟ont par
Page 107
conséquent pas d‟influence sur l‟écoulement. L‟écoulement est dit hydrauliquement lisse, la perte de
charge ne dépend pas de la rugosité.
k
Tableau n°7 : a a t isti ues de l’ oule e t des différents zones et équation λ = f ℛe , D
Zone
Valeurs caractéristiques
ℛe
1
2
k
D
ℛe < 2000
ℛe
ℛe
3
remarques
Régime laminaire. Droite de Pouiseuille �
=
�
ℛe
Régime critique. Les écoulements sont instables
2000
3000
ℛe > 3000
Faible (dépend de
Régime turbulent lisse. La rugosité n‟intervient pas.
ℛe )
�
ne dépend que de ℛe .
Pour ℛe < 105 , équation de Blasius :
=
0,3164
ℛe 0,25
Pour ℛe > 105 , équation de Von Karman :
1
4
5
ℛe > 3000 (en général
valeurs élevées)
intermédiaires
Forte (dépend de
ℛe )
10
ℛe
Régime turbulent rugueux. Le nombre de Reynolds
n‟intervient pas
dépend de
1
Intermédiaires
2,51
= −2
= −2
k
D
. droites de Nikuradsé :
10
3,7
Régime de transition entre les écoulements rugueux et lisse,
délimitée par les droites de Blasius et de Von Karman et les
extrémités des droites de Nikuradsé. Formule de Colebrook :
1
Page 108
= −2
10
3,7
+
2,51
ℛe
FIGURE 47 : VARIATION DE LA PERTE DE CHARGE D ’UN ECOULEMENT EN FONCTION
DU NOMBRE DE REYNOLDS (EXPERIENCE DE NIKURADSE )
Si e<k, la rugosité a une grande importance sur la formation des tourbillons (turbulence). Il n y‟a plus
de couche laminaire car elle disparait dans les aspérités de la paroi.. L‟écoulement est dit
hydrauliquement rugueux.. La perte de charge ne dépend que de la rugosité relative
6.4
k
D
Perte de charge singulières "�� "
La perte de charge linéaire
"JL "
, répartie tout le long de la conduite est due au
frottement d‟un fluide réel. La perte de charge singulière
"Js "
est localisée dans une
section de la conduite. Elle est due essentiellement à la présence des obstacles ou une
variation de la section transversale ou de changement de la direction de l„écoulement.
L‟écoulement uniforme est perturbé et devient localement non uniforme. Une telle nonuniformité de l‟écoulement le long d‟une conduite peut être provoquée par :
-
Elargissement ou rétrécissement brusque (débouché d‟une conduite dans un
réservoir, changement d‟un diamètre….etc.) ;
-
un changement de la direction de l‟écoulement (coude à angle vif, coude en
courbe, déviation, un branchement ou un raccordement de conduites…etc.) ;
-
les dispositifs de mesures ou de control (vannes et robinetteries selon leurs
degré d‟ouvertures(partielles ou entière), diaphragme, débitmètres….)
Page 109
-
les accessoires dans les adductions en charge (ventouse, vidange, anti-Belier,
clapet anti retour…)
Généralement les pertes de charges singulières constituent un pourcentage des pertes de
charge linéaires, soit :
-
5% pour les longues adductions
-
10% pour les courtes adductions et les réseaux de distribution.
La perte de charge singulière est en général exprimée comme suite :
Js
=
U : vitesse moyenne, mais on prend généralement la vitesse de l‟écoulement uniforme ou la
vitesse la plus importante dans une transition entre deux sections.
ξ: coefficient de perte de charge singulière est adimensionnel, il dépend de la forme et des
dimensions de la singularité, du nombre de Reynolds, et de la rugosité relative
k
D
.
On peut négliger l‟influence du nombre de Reynolds dans l‟écoulement turbulent. Les
singularités étant courtes, l‟influence de la rugosité relative est négligeable.
6.4.1
Changement de section ; élargissement
La perte de charge provoquée par un changement brusque, est obtenue en appliquant
l‟équation de la quantité de mouvement et de l'équation de l‟énergie.
FIGURE 48 : ELARGISSEMENT BRUSQUE
Les pressions,
1
et 2 , restent constantes dans les sections,
1
et 2 .
L‟équation de la quantité de mouvement est :
1
1− 2 2
+
1
−
1
2
2− 1
2
1
=
Dans un élargissement brusque, la vitesse diminue
augmente 2 > 1
Page 110
=
2
2
2
−
<
1
1
−
1
(91)
, tandis que la pression
L‟équation de continuité est donné par :
=
1
−
1
×
2
1
=
=
2
2
×
2
2
−
⟹
1
=
2
1
2
(92)
1
Appliquons l‟équation de Bernoulli entre les deux sections (1) et (2)
� +
+∝
∗
�
= � +
∗
+∝
�
+ Js (93)
On admettra que ∝ et ∝ =1 (l‟écoulement est unidimensionnel)
On néglige les forces de frottement lorsque l‟écoulement non uniforme est limité à une
longueur L peu importante
Js =
Jl = 0
� −�
=
�
−
1
(94)
2
Tout élargissement brusque crée une perte de charge singulière. L‟équation (94) est applicable
pour un angle d‟ouverture de 180° . Pour réduire la perte de charge singulière, on diminue
l‟angle d‟ouverture jusqu‟à 7°. La perte de charge peut être ignorée pour un élargissement
progressif.
6.4.2
Raccordement d’une conduite avec un grand réservoir
Dans le cas d‟une conduite débouchant dans un réservoir � =
= ;
2
1
⟹ le terme
S1
S2
J� =
;
�
tend vers zéro du fait que la section du réservoir est très grande
devant celle de la conduite, et donc =1
FIGURE 49 : ENTRE DANS UN RESERVOIR
Page 111
6.4.3
Cas d’un rétrécissement brusque
Le même raisonnement que pour l‟élargissement brusque est applicable. la perte de charge
entre la section d‟entrée, 1 , et la section de la veine contractée , est négligeable. Par
contre, toute la perte de charge se produit dans l‟élargissement entre les sections
FIGURE 50 : RETRECISSEMENT D ’UNE SECTION DE CONDUITE
Tableau n°8 : quelques valeurs de
2
0,01
0,1
0,25
0,50
0,80
1
0,5
0,45
0,4
0,3
0,15
0
1
L‟équation (94) devient :
Js =
�� − �
L‟équation de continuité est :
=
2
=
×
: est le coefficient de contraction
Js =
�
��
−
Page 112
=�
(95)
2
et 2 .
Pour un rétrécissement à angle vif (l‟angle=180°), le coefficient de contraction varie comme
0,5 < Cc < 1. Pour réduire la perte de charge, il est conseillé d‟arrondir l‟entrée du
rétrécissement.
raccordement à angle vif
=0,5;
raccordement à angle arrondi
=0,01;
= 0,6
= 0,6 = 1
cône convergent
divergent
1,25
= 3,2 tan
la perte de charge est négligeable
2
1−
1
2
2 2
(96)
FIGURE 51 : QUELQUES VALEURS DU COEFFICIENT DE PERTE DE CHARGE SINGULIERE
NB : pour toutes les autres dispositions vous pouvez avoir les coefficients de perte de charge
singulière ( voir Lencastre ) ou autre ouvrages.
Page 113
Chapitre 7
Coup de Bélier
7.1
Introduction
Le coup de bélier est un phénomène de surpression qui apparaît au moment de la variation
brusque de la vitesse d'un liquide, par suite d‟une fermeture ou ouverture rapide d‟une vanne,
d'un robinet ou du démarrage ou arrêt d‟une pompe.
Le coup de Bélier est caractérisé par des surpressions et des dépressions qui peuvent avoir des
grands écarts avec les pressions de service. Cette surpression peut être importante, elle se
traduit souvent par un bruit caractéristique, et peut entraîner la rupture de la conduite dans les
grandes canalisations, du fait de la quantité d'eau en mouvement.
7.2
Description du coup de Bélier
Supposant une canalisation fonctionnant en régime permanent et comportant en un point une
vanne "v". L‟ouverture ou la fermeture de cette vanne va provoquer en un point quelconque
de la canalisation une variation de la pression et de la vitesse en fonction du temps, c'est-àdire qu‟un régime variable se substitue au régime permanent initial.
Cette modification se propage vers l‟amont, comme vers l‟aval sous forme d‟une onde qui se
déplace avec une vitesse "a" appelé la célérité. Les surpressions ou dépressions peuvent
atteindre des grandeurs assez considérables si la manœuvre de la vanne est suffisamment
rapide et il peut résulter de ces chocs des accidents de rupture de la canalisation. Ces
phénomènes sont connus sous le nom de coups de Bélier .
Le coup de Bélier est une onde de pression, positive ou négative, provoquée par une variation
du régime hydraulique, et se propageant dans le milieu constitué par l‟eau et la conduite qui la
contient.
Cette onde est caractérisée par une vitesse de propagation ou célérité "a" qui ne dépend pas
de l‟amplitude de l‟onde lorsque celle-ci est faible. Elle se réfléchît sur les obstacles et en
particulier sur les extrémités de la conduite, en changeant de signe ou non suivant les
conditions physiques qui y sont rencontrées .
La valeur de la célérité "a" est donnée par la formule de l‟italien Lorenzo Alliévi (1901) :
1
2
=
1
+
Page 114
(97)
La célérité a peut s‟écrire :
=
+
Alliévi a calculé les valeurs de A, B et k en remplaçant ɷ, g, k, et E par leurs valeurs exactes
ou moyennes et a obtenus pour de l‟eau aux températures ordinaires :
=
9900
(98)
48,3+
D : diamètre de la conduite (avec les mêmes unités que l‟épaisseur de la conduite)
e : épaisseur de la conduite
E : module d‟élasticité de la conduite
k : coefficient dépendant du matériau constituant la canalisation (fonction inverse du module
d‟élasticité
k =0,5 pour l‟acier
k =1 pour la fonte
k =5 pour le plomb
a : la célérité en m/s
La célérité varie entre 700 et 1500 m/s
Pour les tuyaux industrielles l‟ordre de grandeur de la célérité est le Km/s ;
Pour les tuyaux en fonte , la célérité peut atteindre 1400m/s ;
Pour le P.V.C, la célérité peut atteindre 400 à 500m/s ;
Pour l‟acier, la célérité peut atteindre 1100 à 1200m/s ;
Plus la pression de service est élevée, et plus la célérité est forte(puisque l‟épaisseur est plus
élevée). Le maximum de la célérité serait atteint pour un tuyau indéformable (k =0 ou E = ∞)
et sa valeur correspondrait à la vitesse de propagation du son dans l‟eau, soit 1425m/s à 15°c,
car le tuyau étant indéformable il ne subsiste que la compressibilité de l‟eau, le phénomène est
analogue à la propagation des ondes sonores dans l‟eau.
Dans les conditions d‟arrêt brusque, l‟eau coule à une vitesse de 2m/s et elle provoque un
choc de 20bars.
Page 115
L‟interprétation énergétique du coup de Bélier se fait comme suit :
La masse liquide arrive avec une énergie cinétique :
=
1
2
(99)
2
La vanne est brusquement fermée, l‟eau étant compressible, elle ne se déforme pas donc c‟est
la conduite qui se déforme en transformant l‟énergie cinétique en énergie potentielle de
déformation :
=
7.3
. .
( 100)
Principales causes
Les principaux causes où l‟on peut redouter les effets d‟un coup de Bélier dans une adduction
ou une distribution d‟eau sont :
 La fermeture instantanée ou trop rapide d‟une vanne, placée au bout de la conduite et
sur une branche longue où la vitesse est importante ;
 Arrêt brutal d‟un ou de plusieurs groupes électropompe qui alimente une conduite ;
 Démarrage d‟un groupe électropompe.
7.4
Analyse physique du coup de Bélier
Considérons le cas d‟un arrêt brutal d‟un groupe électropompe alimentant la canalisation de
refoulement.
Phase 1 : à l‟arrêt brutal de la pompe, la conduite n‟étant plus alimentée en eau, on remarque
une dépression dans le point d‟origine qui se propage du départ jusqu‟à l‟extrémité de la
conduite à la vitesse a, appelée vitesse de propagation de l‟onde ou célérité. Cette onde laisse
derrière elle une partie du tuyau qui se resserre.
Phase 2 : au moment où l‟onde arrive à l‟extrémité, la dépression règne dans toute la
conduite, mais cet état n‟est pas un état d‟équilibre
Phase 3 : sous l‟action du vide causé par la dépression et la gravité, les particules d‟eau se
précipitent vers l‟origine.
Phase 4: la vitesse des particules liquides vient buter l‟obstacle, et son énergie cinétique se
transforme en travail de déformation qui se répercutent sur le tuyau et les organes de front.
Phase 5 : les parois du tuyau s‟allongent et l‟eau se dirige vers le réservoir.
Phase 6 : l‟eau revient en arrière et retourne vers l‟origine avec une vitesse a.
Page 116
Phase 7 : le coup de Bélier s‟est amorti, la canalisation a été soumise à des dépressions et à
des surpressions suivies qui vont influer sur sa durée de vie. Selon l‟intensité de la célérité, on
peut enregistrer plusieurs fois des coups de Bélier.
7.5
Effet du coup de Bélier
Lors de la fermeture à une extrémité d‟une conduite de longueur L, l‟onde émise met pour
atteindre l‟autre extrémité un temps :
�=
( 101)
Lorsqu‟elle revient à son origine, elle l‟atteint au bout de 2 τ.
Une fermeture est considérée comme rapide si elle se produit en un temps :
T
2τ⇒T
2L
T> 2� ⇒
>
a
Une fermeture est considérée comme lente si elle se produit en un temps∶
7.5.1
2L
a
Fermeture rapide
La surpression produite par une fermeture rapide ne dépend pas du temps de fermeture, elle a
pour valeur :
∆ = . .
Avec :
( 102)
0
: masse volumique de l‟eau ;
a : célérité ;
0
:vitesse moyenne d‟écoulement avant la fermeture.
En exprimant la valeur de la surpression en valeur de hauteur d‟eau, on obtient :
7.5.2
Fermeture lente
∆
=
∆
.
=
. .
.
0
=
.
0
Au contraire, la surpression due à une fermeture lente est inversement proportionnelle au
temps mis pour fermer la vanne, elle ne dépend pas de la célérité des ondes, mais elle est liée
à la durée de la fermeture par la formule de Michaud :
Page 117
∆ =
Ou en hauteur d‟eau
∆
2 . . 0
=
( 103)
2 .
.
0
Pour une fermeture partielle, ces formules se ramèneraient respectivement à :
∆ =
Ou en hauteur d‟eau
2 . .( 0 − 1 )
∆
=
2 .
( 104)
0
.
−
1
Nous résumons dans le tableau suivant les paramètres de calcul du coup de Bélier
Tableau n°9 : les paramètres de calcul du coup de Bélier
paramètres
temps T
Surpression ∆P
Hauteur d‟eau ∆H
7.5.3
Fermeture rapide
2L
a
T
T>
∆P = . a. v0
∆H =
∆P =
∆P a. v0
=
.g
g
2L
a
2 . L. v0
T
∆H =
2L. v0
g. T
Fermeture partielle et rapide
Faisant passer la vitesse de
1
à
2,
elle engendre une surpression
∆ = . (
Ou en hauteur d‟eau
∆
7.5.4
Fermeture lente
=
∆
=
0
.(
Fermeture partielle et lente
Page 118
−
0
1)
−
1)
∆ =
2 . (
0
−
1)
Ou en hauteur d‟eau
Exemples
∆
=
2 (
0
−
1)
1) Sur une conduite de 1000 mètres de longueur où la célérité vaut 1000 m/s, une
fermeture sera rapide si elle dure moins de 2 secondes. Dans ce cas pour une vitesse en
conduite de 1m/s, la surpression atteint 100 mètres d‟eau.
Si dans cette même conduite on laisse la pompe d‟alimentation s‟arrêter
progressivement en 5 secondes, la formule de Michaud donnerait, pour une variation
du débit supposé linéaire en fonction du temps, une dépression de 40 mètres d‟eau, par
rapport au régime de pression existant précédemment.
2)
Dans une conduite de 60Km de long où la vitesse de l‟eau est de 1 m/s, pour éviter une
surpression supérieure à 20 mètres d‟eau, la formule de Michaud donne un temps
minimal de 600 secondes, soit 10 minutes.
7.6
Les principales conséquences du coup de Bélier
Les principaux conséquences du coup de Bélier sont :
 Détérioration des conduites par implosion (écrasement) avec les dépressions ou par
explosion (éclatement ) avec la surpression ;
 Déboitement des conduites ;
 Détériorations des joints ;
 Endommagement des pompes et de ses accessoires.
7.7
Méthode de protection contre le coup de Bélier
le coup de Bélier est nuisible pour les conduites, il engendre des surpressions et des
dépressions.
-
La surpression implique la dilatation du tuyau qui peut provoquer l‟explosion de ce
dernier
Page 119
.
FIGURE 52 : DILATATION DU TUYAU
-
La dépression implique la compression du tuyau qui peut provoquer l‟implosion de ce
dernier
FIGURE 53 : IMPLOSION OU ECRASEMENT DE LA CONDUITE
On envisage par la suite des protections contre la surpression et contre la dépression.
7.7.1
Protection contre la surpression : la soupape de décharge
C‟est un appareil qui évacue un débit nécessaire en cas de surpression, il s‟ouvre
automatiquement et laisse passer un certain débit.
Cette soupape exige une surveillance et un entretien suivis. En effet, si elle venait à ne pas
fonctionner, la conduite ne serait plus protégée, et pourrait se rompre. De plus, la soupape de
décharge ne protège pas la canalisation contre une onde de pression négative, puisqu‟elle ne
peut introduire l‟eau qui serait alors nécessaire.
L‟inconvénient :implique des pertes en volumes d‟eau importante.
7.7.2
Protection contre la dépression : le volant d’inertie
Cet organe intervient dans la protection contre la dépression qui est due à l‟arrêt instantané de
la pompe (pompe de courant électrique ou panne du moteur).
Le volant d‟inertie permet d‟allonger le temps d‟arrêt du moteur et par la suite, il diminue
l‟intensité du coup de Bélier en phase de dépression.
7.7.3
Protection communes à la dépression et à la surpression :La cheminée d’équilibre
La cheminée d‟équilibre permet de maintenir la pression peut variable en un point de la
conduite. L‟organe est constitué essentiellement par une colonne partiellement remplie d‟eau,
Page 120
communicant par le bas avec la conduite à protéger, et ouverte à l‟air libre à la partie
supérieure, ce qui nécessite généralement un grand développement vertical justifiant son
appellation.
FIGURE 54 : CHEMINEE D’EQUILIBRE
Le réservoir absorbe l‟eau en cas de la surpression pour effacer une onde positive et fournit
l‟eau lors de la dépression pour effacer une onde négative.
Le volume mis en œuvre est :
2
. .
S:section de la conduite ;
2 ∆
( 105)
L: longueur de la conduite
7.7.4
Réservoir d’air : réservoir anti-bélier
Il est fréquent que la topographie des lieux, combinée à une grande hauteur de pompage,
interdise l‟implantation prés de la pompe d‟une cheminée comportant un niveau libre à la
pression atmosphérique, à cause du trop grand développement vertical d‟un tel ouvrage. Il est
toutefois possible d‟éviter cet inconvénient en admettant au dessus du niveau libre dans l‟antibélier une pression supérieure à la pression atmosphérique.
Cet anti-bélier est constitué par un réservoir sous pression capable de fournir l‟eau que la
pompe ne peut momentanément plus fournir, ou à l‟inverse de recevoir au démarrage de celleci le débit que la conduite ne peut pas absorber instantanément.
C‟est le dispositif le plus couramment utilisé pour la protection des stations de pompage et des
canalisations.
Page 121
FIGURE 55 : SCHEMA D’UN RESERVOIR ANTI-BELIER
7.7.4.1
Fonctionnement d’un réservoir anti-Bélier
Le fonctionnement d‟un réservoir anti-bélier est dans son principe identique à celui d‟une
cheminée d‟équilibre (voir figure 55).
-
La vanne est ouverte, l‟eau circule avec un débit dans la canalisation (marche
normale)
-
la pompe s‟arrête, il se produit une dépression dans la canalisation, le niveau dans le
réservoir anti-bélier diminue à mesure qu‟il fournit le débit (décroissant en fonction du
temps) nécessaire à la conduite pour y éviter de trop fortes dépressions.
-
L‟onde de choc de retour referme le clapet anti-retour et pénètre dans le réservoir
jusqu‟à ce que l‟équilibre soit atteint.
7.7.4.2
Calcul approché du volume d’air dans le réservoir
On néglige l‟élasticité des parois de la conduite et la compressibilité de l‟eau, et on considère
qu‟il n‟existe pas d‟organe d‟étranglement.
a) Marche normale
0
: volume d‟air dans le réservoir lors de la marche normale en m3
0
: pression initiale dans la conduite correspond à la hauteur de refoulement
d‟eau
0=
+
Page 122
( 106)
en mètre
: pression atmosphérique = 10 mètres d‟eau
b) Dépression
: volume d‟air maximal utile dans le réservoir lors de la dépression en m3
: pression minimale dans la conduite en mètre d‟eau
c) Surpression
: volume d‟air minimal dans le réservoir lors de la surpression en m3
: pression maximale dans la conduite en mètre d‟eau
=
+
( 107)
: pression atmosphérique = 10 mètres d‟eau
: est la pression imposée à ne pas dépasser dans la conduite
a)
Marche normale(U0, Z0)
b) fin de la dépression(Umax,Zmin)
c) fin de la surpression(Umin,Zmax)
FIGURE 56 : VARIATION DU VOLUME D ’AIR DANS UN RESERVOIR ANTI-BELIER
Le volume d‟air
0
en m3 contenu dans le réservoir est donné par Vibert :
0
=
2
0.
2 . 0
.
(
0
)
Page 123
( 108)
Avec :
0
: vitesse moyenne d‟écoulement en m/s
: longueur de la conduite en m
: section de la conduite en m2
0
( )=
0
D‟où :
0
.
− 1 − ln
=
0
( 109)
2
0
2 . 0
(
0
)
On pose :
0
=
2
0
2
et on obtient :
0
.
Les abaques de Vibert donnent
Les valeurs de
0
.
,
0
0
0
.
0
=
0
. (
0
)
en fonction de 0 .
,et ( ) sont lues sur des échelles présentées sur des axes parallèles.
0
est donnée par la formule de la surpression.
=∆ +
=
. 0
+ 10
Celle valeur représente le maximum du coup de Bélier, connaissant
on fait le rapport
0
et on calcule 0 .
Page 124
0
et
Les alignements des valeurs de
0
.
d‟où on tire 0 et
et de
0
L‟équation d‟état :
0.
sur les échelles respectives donnent les valeurs de
0
0
0=
.
.
nous permet de faire l‟égalité suivante :
=
⟹
Afin qu‟il reste de l‟eau dans le réservoir même quand
aura atteint la valeur maximale , le
volume du réservoir est calculé pour une capacité supérieure au volume maximal .
La valeur
permet de calculer la valeur de la dépression :
0
=
La pression restante dans le réseau
=
=
La dépression avec protection sera donc
Si
> 0 pas de cavitation
Si
< 0 Il y‟a cavitation
− 10
−
− 10 =
Exemple 1
Soit une adduction en acier ayant les caractéristiques suivantes :
L = 7500 m, D = 250 mm,
0=
0,65 m/s, e = 5 mm, k = 0,5
1- Calculez la célérité
2- Déterminez le temps de fermeture
3- Calculez la surpression en cas de fermeture rapide
4- Calculez la hauteur d‟eau
Solution
1-
Calcul de la célérité :
=
9900
48,3+
AN : a= 1156,3338 m/s ; a=1,16 Km/s
2-
Détermination du temps de fermeture : � =
Page 125
−
AN : τ = 6, 48 secondes, d‟où 2τ = 12, 097 secondes
2 τ ⇒ T = 12,97 secondes
Une fermeture est rapide si elle se produit en un temps T
Une fermeture est lente si elle se produit en un temps
3-
Calcul de la surpression
∆ =
>2�⇒
2 . .
> 12,97 secondes
0
AN : ∆ = 751434,77 Pa
4-
Calcul de la hauteur d‟eau
∆
AN : ∆ =76,62 m
=
2 .
.
0
Exercice 2
Soit une adduction en acier allant d‟un forage à une bâche d‟eau ayant les caractéristiques
suivantes :
L = 450 m, D = 125 mm,
0=
0,82 m/s, e = 4mm, k = 0,5
1- Calculez la célérité
2- Calculez le temps pour éviter une surpression à 20 m
Exemple 2
Soit une adduction en acier ayant les caractéristiques suivantes :
L = 7500 m, D = 250 mm,
0=
0,65 m/s, e = 5 mm, k = 0,5
5- Calculez la célérité
6- Déterminez le temps de fermeture
7- Calculez la surpression en cas de fermeture rapide
8- Calculez la hauteur d‟eau
Page 126
Solution
5-
Calcul de la célérité :
=
9900
48,3+
AN : a= 1238,2257 m/s ; a=1,24 Km/s
6-
Détermination du temps de fermeture pour éviter une surpression à 20 m.
On cherche la relation où la surpression dépend du temps, et c‟est celle de la fermeture
lente :
∆
D‟où
=
=
2 .
.
2 .
.∆
0
0
=3,76 secondes, donc pour éviter une surpression supérieure à 20 m, il faudrait un
temps
3,76 secondes
Page 127
Bibliographie
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