L`algorithme de Kaprekar - Page personnelle de Baptiste GORIN

L’algorithme de Kaprekar
Baptiste GORIN
Théorème (algorithme de Kaprekar). — Soit un nombre de quatre chiffres. Si l’on calcule la différence
entre les deux nombres obtenus en ordonnant les chiffres dans l’ordre décroissant et l’ordre croissant et que l’on
itère, on obtient 6174 ou 0 quel que soit le nombre de départ, en moins de 7 opérations.
Démonstration
On pose E = {1000, . . . , 9999}. Si x appartient à E, on note x′ et x′′ les permutations décroissante et croissante
respectivement (si x = 1528, alors x′ = 8521 et x′′ = 1258).
Soit f la fonction définie sur E ∪ {0, 999} par :
′
x − x′′ si x ∈ E ∪ {0, 999}
f (x) =
0
sinon.
On note abcd le nombre 1000a + 100b + 10c + d.
Proposition 1. — Pour tout x ∈ E, si x′ = abcd, alors :
a − d, b − c − 1, 9 − b + c, 10 − a + d si b 6= c
f (x) =
999(a − d)
si b = c.
Démonstration
On a : x′ = 1000a + 100b + 10c + d et x′′ = 1000d + 100c + 10b + a. Alors :
f (x)
=
=
x′ − x′′
1000(a − d) + 100(b − c) + 10(c − b) + (d − a)
=
999(a − d) + 99(b − c).
Donc f (x) = 999(a − d) si b = c.
Si b 6= c, on a b > c, d’où :
f (x)
= 1000(a − d) + 100(b − c − 1) + 10(10 + c − b) + (d − a)
= 1000(a − d) + 100(b − c − 1) + 10(9 + c − b) + 10 − a + d,
puisque a > d.
Par suite, f (x) = a − d, b − c − 1, 9 − b + c, 10 − a + d si b 6= c.
C.Q.F.D.
Proposition 2. — Pour tout x ∈ E, on a : f (x) = 999k avec 0 6 k 6 9 ou f (x) = u, v, 8 − v, 10 − u avec
0 6 v < u 6 9.
Démonstration
Il suffit d’appliquer la proposition 1 avec x = a − d et v = b − c − 1.
C.Q.F.D.
Posons F1 = {999k; 0 6 k 6 9}, F2= {u,
v, 8 − v, 10 − u; 0 6 v < u 6 9} et F = F1 ∪ F2 . Les ensembles F1 et
10
F2 possèdent respectivement 10 et
= 45 éléments.
2
Corollaire 3. — Le premier K-itéré de tout élément de E appartient à F .
Proposition 4. — Pour tout x ∈ E, il existe k ∈ {0, . . . , 6} tel que f ◦(k) (x) ∈ {6174, 0}.
Démonstration
On a :
F
=
{999, 1998, 2997, 3996, 4995, 5994, 6993, 7992, 8991, 9990}
∪{1089, 2088, 3087, 4086, 5085, 6084, 7083, 8082, 9091,
2178, 3177, 4176, 5175, 6174, 7173, 8172, 9171,
3267, 4266, 5265, 6264, 7263, 8262, 9261,
4356, 5355, 6354, 7353, 8352, 9351,
5445, 6444, 7443, 8442, 9441,
6534, 7533, 8532, 9531,
7623, 8622, 9621,
8712, 9711,
9801}
L’algorithme de Kaprekar
2
On réunit les éléments de F \ {0, 999, 6174} constitués des mêmes chiffres : il y a 29 groupes de tels nombres.
On détermine le premier K-itéré de l’un quelconque de chacun de ses groupes.
On construit alors le groupe orienté vers le haut de F par la relation « est le K-itéré de ».
C.Q.F.D.
3
L’algorithme de Kaprekar
6174
hhhhhhhh
hhhhh
8532
8082
2088
8352
```
```
@
``
@
9711 9621
7083
9171
9261
3087
9801
6534
4176
@
@
7533
6264
7353
4266
6993
8991
1998
HH
HH
6444
5355
9081
1089
5445
5994
4995
@
@
8442 5175
6354
4356
HH
HH
8622
7173
8262
3177
7992
2997
@
@
9441 5085
3996
HH
HH
7443
5265
8712
8172
2178
@@
6084
9531
4086
9351
7623
7263
3267
C.Q.F.D.