L`algorithme de Kaprekar - Page personnelle de Baptiste GORIN

L’algorithme de Kaprekar
Baptiste GORIN
Théorème (algorithme de Kaprekar). — Soit un nombre de quatre chiffres. Si l’on calcule la différence
entre les deux nombres obtenus en ordonnant les chiffres dans l’ordre décroissant et l’ordre croissant et que l’on
itère, on obtient 6174 ou 0 quel que soit le nombre de départ, en moins de 7 opérations.
Démonstration
On pose E={1000,...,9999}. Si xappartient à E, on note x′et x′′ les permutations décroissante et croissante
respectivement (si x= 1528, alors x′= 8521 et x′′ = 1258).
Soit fla fonction définie sur E∪ {0,999}par :
f(x) = x′−x′′ si x∈E∪ {0,999}
0sinon.
On note abcd le nombre 1000a+ 100b+ 10c+d.
Proposition 1. — Pour tout x∈E, si x′=abcd, alors :
f(x) = a−d, b −c−1,9−b+c, 10 −a+d si b 6=c
999(a−d)si b =c.
Démonstration
On a : x′= 1000a+ 100b+ 10c+det x′′ = 1000d+ 100c+ 10b+a. Alors :
f(x) = x′−x′′
= 1000(a−d) + 100(b−c) + 10(c−b) + (d−a)
= 999(a−d) + 99(b−c).
Donc f(x) = 999(a−d)si b=c.
Si b6=c, on a b > c, d’où :
f(x) = 1000(a−d) + 100(b−c−1) + 10(10 + c−b) + (d−a)
= 1000(a−d) + 100(b−c−1) + 10(9 + c−b) + 10 −a+d,
puisque a > d.
Par suite, f(x) = a−d, b −c−1,9−b+c, 10 −a+dsi b6=c.
C.Q.F.D.
Proposition 2. — Pour tout x∈E, on a : f(x) = 999kavec 06k69ou f(x) = u, v, 8−v, 10 −uavec
06v < u 69.
Démonstration
Il suffit d’appliquer la proposition 1 avec x=a−det v=b−c−1.
C.Q.F.D.
Posons F1={999k; 0 6k69},F2={u, v, 8−v, 10 −u; 0 6v < u 69}et F=F1∪F2. Les ensembles F1et
F2possèdent respectivement 10 et 10
2= 45 éléments.
Corollaire 3. — Le premier K-itéré de tout élément de Eappartient à F.
Proposition 4. — Pour tout x∈E, il existe k∈ {0,...,6}tel que f◦(k)(x)∈ {6174,0}.
Démonstration
On a :
F={999,1998,2997,3996,4995,5994,6993,7992,8991,9990}
∪{1089,2088,3087,4086,5085,6084,7083,8082,9091,
2178,3177,4176,5175,6174,7173,8172,9171,
3267,4266,5265,6264,7263,8262,9261,
4356,5355,6354,7353,8352,9351,
5445,6444,7443,8442,9441,
6534,7533,8532,9531,
7623,8622,9621,
8712,9711,
9801}

L’algorithme de Kaprekar 2
On réunit les éléments de F\ {0,999,6174}constitués des mêmes chiffres : il y a 29 groupes de tels nombres.
On détermine le premier K-itéré de l’un quelconque de chacun de ses groupes.
On construit alors le groupe orienté vers le haut de Fpar la relation « est le K-itéré de ».
C.Q.F.D.

L’algorithme de Kaprekar 3
8442 5175
@ @
5994
4995
5355 6444
H
H
H
H
8991
1998
8082
2088
9711
9171
5445
9801
9081
1089
9621
9261
9441 5085
@ @
7992
2997
7173
3177
8622
8262
H
H
H
H
6534
6354
4356
7083
3087
@ @
````````
8532
8352
7533
7353
6084
4086
9531
9351
@ @
8712
8172
2178
7443
7623
7263
3267
5265
H
H
H
H
6993
3996
6264
4266
@ @
4176
hhhhhhhhhhhhh
6174
C.Q.F.D.