Convergence en dimension infinie d’un algorithme pour le transport optimal Sébastien Riffaud ENSIMAG - 2A - MMIS 2015 - 2016 Introduction Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etant donnée deux densités ρ0 ≥ 0 et ρ1 ≥ 0, il consiste à trouver comment déplacer ρ0 pour obtenir ρ1 tout en minimisant le coût de transport total. Etude de la vitesse de convergence avec : Conclusion R R2 ρ0 (x) dx = R R2 ρ1 (y ) dy Introduction Temps : 0 Temps : 1 1.5 1.5 Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal 1 1 0.5 0.5 0 0 60 60 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 0 10 0 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 0 10 0 Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion Test 1 : https://drive.google.com/open?id=0BwFDtnHAnj4UdENWWlpKMkpoUXM Introduction Temps : 0 Sommaire Introduction Temps : 1 0.1 0.1 0.08 0.08 0.06 0.06 0.04 0.04 0.02 Résolution du problème de transport optimal 0.02 0 0 60 60 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 0 10 0 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 0 10 0 Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion Test 2 : https://drive.google.com/open?id=0BwFDtnHAnj4UelF1c25PX3NwbVU Introduction Temps : 0 Sommaire Introduction Temps : 1 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 Résolution du problème de transport optimal 0.2 0 0 60 60 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 0 10 0 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 0 10 0 Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion Test 3 : https://drive.google.com/open?id=0BwFDtnHAnj4UenZxSng1ckNSRGM Introduction Temps : 0 Temps : 1 0.2 0.2 0.15 0.15 Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal 0.1 0.1 0.05 0.05 0 0 60 60 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 0 10 0 50 60 40 50 30 40 30 20 20 10 0 10 0 Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion Test 4 : https://drive.google.com/open?id=0BwFDtnHAnj4UTkxmdzJFQ0syWXc Introduction Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion Contexte : L’algorithme de Benamou-Brenier résout numériquement le problème de transport optimal. Objectif : Modifier l’algorithme de Benamou-Brenier pour accélérer sa convergence. Sommaire Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence 1 Introduction 2 Résolution du problème de transport optimal 3 Convergence forte du nouvel algorithme 4 Etude de la vitesse de convergence 5 Conclusion Conclusion Formulation du problème du transport optimal Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion Version classique Trouver M solution de : R inf R2 kM(x) − xk2 ρ0 (x) dx M t.q. ρ0 (x) = ρ1 (M(x))|det(∇M(x))| Version continue Trouver ρ(t, x) et v (t, x) avec t ∈ [0, 1] solutions de : R1R inf 0 R2 kv (t, x)k2 ρ(t, x) dx dt ρ,v ∂t ρ + ∇x · (ρv ) = 0 pour 0 < t < 1 t.q. ρ(0, x) = ρ0 (x) et ρ(1, x) = ρ1 (x) Résolution du problème de minimisation Sommaire Lagrangien augmenté Introduction Soit φ(t, x) le multiplicateur de Lagrange, on obtient ∀r > 0 : Résolution du problème de transport optimal Lr (φ, q, µ) = F (q) + G (φ) + hµ, ∇φ − qi + 2r h∇φ − q, ∇φ − qi Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence avec m = ρv , µ = (ρ, m), q = (a, b),(∇ = {∂t , ∇x }, 2 R1R 0 si a + kbk ≤0 2 hµ, qi = 0 D µ · q dx dt, F (a, b) = +∞ sinon R et G (φ) = D φ(0, x)ρ0 (x) − φ(1, x)ρ1 (x) dx. Conclusion Point selle Trouver le point selle (φ∗ , q ∗ , µ∗ ) vérifiant : ∀µ, Lr (φ∗ , q ∗ , µ) ≤ Lr (φ∗ , q ∗ , µ∗ ) ≤ Lr (φ, q, µ∗ ), ∀φ, q Algorithme de Benamou-Brenier Sommaire En notant Ω = [0, 1] × R2 , une itération de l’algorithme se décompose en trois étapes : Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion x n = (φn , q n , µn+1 ) étant donné. - Etape A : Trouver φn+1 ∈ H 1 (Ω)/R tel que : ∀φ, Lr (φn+1 , q n , µn+1 ) ≤ Lr (φ, q n , µn+1 ) 3 - Etape B : Trouver q n+1 ∈ L2 (Ω) tel que : ∀q, Lr (φn+1 , q n+1 , µn+1 ) ≤ Lr (φn+1 , q, µn+1 ) 3 - Etape C : On définit µn+2 ∈ L2 (Ω) par : µn+2 = µn+1 + r (∇φn+1 − q n+1 ) Reformulation du problème Sommaire On introduit l’opérateur hilbertien T tel que : x n+1 = T (x n ) Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion Le problème est donc de trouver x ∗ un point fixe de T . Proposition T est un opérateur non-expansif : ∀x1 , x2 ∈ H , kT (x1 ) − T (x2 )k ≤ kx1 − x2 k De plus, T est quasi-ferme : ∀x ∈ H , kx − x ∗ k2 − kT (x) − x ∗ k2 ≥ kT (x) − xk2 avec x ∗ un point fixe de T . Itération du point fixe Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion Théorème Soit λn une suite dans [0, 1[ telle que : λn → 0. n→+∞ Q (1 − λn ) = 0. n≥1 P |λn − λn+N | < +∞. n≤1 Soit T un opérateur non-expansif quasi-ferme sur H et a, x 0 ∈ H , alors la suite : x n+1 = λn a + (1 − λn )T (x n ) converge en norme vers un point fixe de T . Modification de l’algorithme Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence On calcule (φ? , q ? , µ? ) = T (x n ) par Benamou-Brenier et on rajoute une étape D pour modifier l’itération. Une itération du nouvel algorithme est donc : a = (φa , qa , µa ), λn , x n = (φn , q n , µn+1 ) étant donnés. - Etape A : Trouver φ? t.q Lr (φ? , q n , µn+1 ) ≤ Lr (φ, q n , µn+1 ) - Etape B : Trouver q ? t.q Lr (φ? , q ? , µn+1 ) ≤ Lr (φ? , q, µn+1 ). - Etape C : On définit µ? = µn+1 + r (∇φ? − q ? ). Conclusion - Etape D : On applique la nouvelle itération : φn+1 = φa λn + (1 − λn )φ? q n+1 = qa λn + (1 − λn )q ? µn+2 = µa λn + (1 − λn )µ? Présentation des tests Sommaire I On compare la distance entre une solution et la solution lointaine : R R 1 2 1 2 0 [0,64]2 (ρ1 (t, x) − ρ2 (t, x)) dx dt Convergence forte du nouvel algorithme I On réalise 4 tests différents. Etude de la vitesse de convergence I On test 4 versions différentes du nouvel algorithme : Introduction Résolution du problème de transport optimal Conclusion Version Version Version Version 1 2 3 4 : : : : en en en en prenant prenant prenant prenant a = 0. a = x 1. a = x 1000 . a = x 1000 mod 1000 . Résultats des tests 80 9 Benamou−Brenier Version 1 Version 2 Version 3 Version 4 70 Sommaire Benamou−Brenier Version 1 Version 2 Version 3 Version 4 8 7 60 6 Introduction 50 5 40 Résolution du problème de transport optimal 4 30 3 20 2 10 Convergence forte du nouvel algorithme 1 0 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Figure: Test 2 60 Etude de la vitesse de convergence 0 Figure: Test 1 20 Benamou−Brenier Version 1 Version 2 Version 3 Version 4 50 Benamou−Brenier Version 1 Version 2 Version 3 Version 4 18 16 14 40 Conclusion 12 30 10 8 20 6 4 10 2 0 0 0 1000 2000 3000 4000 Figure: Test 3 5000 6000 0 1000 2000 3000 4000 Figure: Test 4 5000 6000 Analyse des résultats t=0 Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion t = 0.13 t = 0.25 t=0 t = 0.13 t = 0.25 60 60 60 60 60 60 40 40 40 40 40 40 20 20 20 20 20 0 0 0 20 40 60 0 0 t = 0.38 20 40 60 0 0 t = 0.49 20 40 60 20 0 0 t = 0.62 20 40 60 0 0 t = 0.38 20 40 60 0 t = 0.49 60 60 60 60 60 40 40 40 40 40 40 20 20 20 20 20 0 0 20 40 60 0 0 t = 0.75 20 40 60 0 0 20 t = 0.87 40 60 t=1 20 40 60 0 0 t = 0.75 20 40 60 0 60 60 60 60 40 40 40 40 40 40 20 20 20 20 20 20 0 0 0 0 0 40 60 0 20 40 60 0 20 40 60 0 Figure: Solution lointaine 20 40 60 60 40 60 0 0 20 40 60 0 20 Figure: Solution version 1 Test 2 40 t=1 60 20 20 t = 0.87 60 0 60 20 0 0 40 t = 0.62 60 0 20 Analyse des résultats t=0 Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion t = 0.13 t = 0.25 t=0 t = 0.13 t = 0.25 60 60 60 60 60 60 40 40 40 40 40 40 20 20 20 20 20 0 0 0 20 40 60 0 0 t = 0.38 20 40 60 0 0 t = 0.49 20 40 60 20 0 0 t = 0.62 20 40 60 0 0 t = 0.38 20 40 60 0 t = 0.49 60 60 60 60 60 40 40 40 40 40 40 20 20 20 20 20 0 0 20 40 60 0 0 t = 0.75 20 40 60 0 0 20 t = 0.87 40 60 t=1 20 40 60 0 0 t = 0.75 20 40 60 0 60 60 60 60 60 40 40 40 40 40 20 20 20 20 20 0 20 40 60 0 0 20 40 60 0 0 20 40 60 Figure: Solution lointaine 20 40 60 40 60 0 0 20 40 60 0 20 Figure: Solution version 1 Test 3 60 20 0 0 40 t=1 40 0 20 t = 0.87 60 0 60 20 0 0 40 t = 0.62 60 0 20 Analyse des résultats t=0 Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion t = 0.13 t = 0.25 t=0 t = 0.13 t = 0.25 60 60 60 60 60 60 40 40 40 40 40 40 20 20 20 20 20 0 0 0 20 40 60 0 0 t = 0.38 20 40 60 0 0 t = 0.49 20 40 60 20 0 0 t = 0.62 20 40 60 0 0 t = 0.38 20 40 60 0 t = 0.49 60 60 60 60 60 40 40 40 40 40 40 20 20 20 20 20 0 0 20 40 60 0 0 t = 0.75 20 40 60 0 0 20 t = 0.87 40 60 t=1 20 40 60 0 0 t = 0.75 20 40 60 0 60 60 60 60 60 40 40 40 40 40 20 20 20 20 20 0 20 40 60 0 0 20 40 60 0 0 20 40 60 Figure: Solution lointaine 20 40 60 40 60 0 0 20 40 60 0 20 Figure: Solution version 1 Test 4 60 20 0 0 40 t=1 40 0 20 t = 0.87 60 0 60 20 0 0 40 t = 0.62 60 0 20 Analyse des résultats Sommaire 1.2 Version 3 Version 4 Benamou−Brenier 1.1 Introduction 1 Résolution du problème de transport optimal 0.9 0.8 Convergence forte du nouvel algorithme 0.7 Etude de la vitesse de convergence 0.4 Conclusion 0.2 0.6 0.5 0.3 0.1 0 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 Figure: Distance moyenne entre les solutions et la solution lointaine Conclusion Sommaire Introduction Résolution du problème de transport optimal Convergence forte du nouvel algorithme Etude de la vitesse de convergence Conclusion Sur les tests réalisés, l’algorithme de Benamou-Brenier est le plus rapide. Travail restant : I Augmenter le nombre de tests. I Faire plus d’itérations dans les tests. I Tester l’influence de (λn ) sur la vitesse de convergence.