3-rappels géométrie

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3
ème
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Pour bien démarrer la 3
ème
: rappels de géométrie
1. Triangles :
Propriétés de la droite des milieux :
Dans un triangle, si une droite passe par les
milieux de deux côtés, elle est parallèle au
troisième.
Dans une triangle, si une droite passe par le
milieu d’un côté et est parallèle à un second
côté, elle coupe le troisième en son milieu.
Dans un triangle la longueur du segment
joignant les milieux de deux côtés est égale à
la moitié de celle du troisième côté.
Proportionnalité des longueurs pour deux
triangles dans une configuration particulière :
Dans un triangle
ABC
, si
M
est un point du côté
[
]
AB
,
N
un point du côté
[
]
AC
et si
[
]
MN
est
parallèle à
[
]
BC
, alors
AM AN MN
AB AC BC
= =
Bissectrice d’un angle :
La bissectrice sépare un angle en deux angles de même mesure.
La construction s’effectue à la règle et au compas.

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Les bissectrices dans un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit dans le
triangle.
les hauteurs dans un triangle :
La hauteur issue d’un sommet dans un triangle est la
droite qui passe par ce sommet et perpendiculaire au côté
opposé à ce sommet.
Les trois hauteurs dans un triangle sont concourantes en
un point appelé l’orthocentre du triangle.
la médiatrice d’un segment :
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à
ce segment passant par son milieu.
La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés
à égale distance des deux extrémités de ce segment.
Outils utilisés : compas et règle
Remarque : on peut trouver le milieu d’un segment en
construisant sa médiatrice.
Les trois médiatrices dans un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle
circonscrit au triangle.
Ce cercle est l’unique cercle passant par les trois sommet du triangle. Le centre de ce cercle est donc
à égale distance des trois sommets du triangle.

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Les médianes du triangle :
La médiane issue d’un sommet dans un triangle passe par
ce sommet et par le milieu de son côté opposé.
Les trois médianes dans un triangle sont concourantes en
un point appelé centre de gravité du triangle.
Il est à noter que ce point indique l’endroit où l’équilibre de
la surface triangulaire peut être constaté avec une pointe
de compas.
Bonus hors-programme :
Le centre de gravité dans un triangle se situe aux
2
3
des
médianes, c’est à dire que :
2
AG AA'
3
2
BG BB'
3
2
CG CC'
3
=
=
=
2. Triangle rectangle et cercle :
Si un triangle est rectangle, alors le cercle circonscrit à ce triangle a pour
diamètre l’hypoténuse de ce triangle.
Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l’hypoténuse
mesure la moitié de l’hypoténuse.
Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce
cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l’hypoténuse du
triangle.
Ou
Si l’on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre, alors on
obtient un triangle rectangle.

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3. Théorème de Pythagore et réciproque :
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des
longueurs des autres côtés.
Ou
Dans le triangle EFH rectangle en F, on a :
2 2 2
EH EF FH
= +
Réciproque
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand des côtés
est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés,
alors ce triangle est rectangle d’hypoténuse le plus grand côté.
Ou
Dans le triangle EFH, si
2 2 2
EH EF FH
= +
, alors EFH est rectangle en F.
4. Tangente à un cercle :
Soit un cercle de centre O et de rayon [OA]. La tangente
au cercle en A est la droite passant par A,
perpendiculaire au rayon [OA].
La tangente tracée n’a qu’un point commun avec le
cercle : A.
5. Distance d’un point à une droite :
La distance entre un point et une droite est la longueur du segment joignant ce point et son projeté
orthogonal sur la droite.
On remarque que c’est également le plus court chemin entre le point et tout autre point de la droite.

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6. Cosinus d’un angle aigu :
Le cosinus d’un angle aigu dans un triangle RNP rectangle en P est donné par :
RP
cos PRN
RN
=.