Autour du théorème de l`indice d`Atiyah Singer

Seminaire d’analyse de Caen
Autour du théorème de l’indice d’Atiyah Singer
Ph Durand
CNAM PARIS
17 juin 2014
Presentation
1
Introduction
Presentation
1
Introduction
2
L’indice analytique d’un opérateur élliptique
Presentation
1
Introduction
2
L’indice analytique d’un opérateur élliptique
3
L’indice topologique.
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1
Introduction
2
L’indice analytique d’un opérateur élliptique
3
L’indice topologique.
4
Le théorème d’Atiyah Singer et les différentes démonstrations.
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1
Introduction
2
L’indice analytique d’un opérateur élliptique
3
L’indice topologique.
4
Le théorème d’Atiyah Singer et les différentes démonstrations.
5
L’approche initiale
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1
Introduction
2
L’indice analytique d’un opérateur élliptique
3
L’indice topologique.
4
Le théorème d’Atiyah Singer et les différentes démonstrations.
5
L’approche initiale
6
Le noyau de la chaleur déterministe ou probabiliste ?
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1
Introduction
2
L’indice analytique d’un opérateur élliptique
3
L’indice topologique.
4
Le théorème d’Atiyah Singer et les différentes démonstrations.
5
L’approche initiale
6
Le noyau de la chaleur déterministe ou probabiliste ?
7
Bibliographie
I) Introduction
Théorème de l’indice
L’origine de ce théorème commence par l’analyse, en particulier l’étude des
opérateurs différentiels et pseudo-différentiels. Ce théorème relie l’analyse
des équations aux dérivées partielles et la topologie différentielle. Il
évoque une certaine quantité appelée indice d’un opérateur elliptique. On
peut par exemple montrer que l’indice d’un opérateur de Dirac bien choisi,
sur une variété (analyse) fourni un invariant topologique sur la variété caractéristique d’Euler Poincaré
I) Introduction
Théorème de l’indice
L’origine de ce théorème commence par l’analyse, en particulier l’étude des
opérateurs différentiels et pseudo-différentiels. Ce théorème relie l’analyse
des équations aux dérivées partielles et la topologie différentielle. Il
évoque une certaine quantité appelée indice d’un opérateur elliptique. On
peut par exemple montrer que l’indice d’un opérateur de Dirac bien choisi,
sur une variété (analyse) fourni un invariant topologique sur la variété caractéristique d’Euler Poincaré
Indice d’un opérateur élliptique
Le cas le plus simple : envisager des espaces vectoriels E et F , de dimensions
respectives n et k, et pour opérateur une application linéaire f du premier
espace vers le second. On peut établir l’indice de l’application linéaire f a
partir de la formule bien connue :
I) Introduction
Algèbre linéaire
Le cas le plus simple : envisager des espaces vectoriels E et F , de dimensions
respectives n et k, et pour opérateur une application linéaire f du premier
espace vers le second. On peut établir l’indice de l’application linéaire f a
partir de la formule bien connue :
I) Introduction
Algèbre linéaire
Le cas le plus simple : envisager des espaces vectoriels E et F , de dimensions
respectives n et k, et pour opérateur une application linéaire f du premier
espace vers le second. On peut établir l’indice de l’application linéaire f a
partir de la formule bien connue :
Algèbre linéaire
dimE = dim(kerf ) + dim(imf )
(1)
I) Introduction
Algèbre linéaire
Le cas le plus simple : envisager des espaces vectoriels E et F , de dimensions
respectives n et k, et pour opérateur une application linéaire f du premier
espace vers le second. On peut établir l’indice de l’application linéaire f a
partir de la formule bien connue :
Algèbre linéaire
dimE = dim(kerf ) + dim(imf )
(1)
Pour pour introduire l’indice de l’application linéaire, on peut utiliser le
théorème de la base incomplète qui donne des décompositions des espaces
de départ et d’arrivée pour L, L0 bien choisis :
Rn = kerf ⊕ L
Rk = imf ⊕ L0
(2)
I) Introduction
Indice d’une application linéaire
Ainsi, on voit que f réalise un isomorphisme de L dans Imf , un simple
calcul donne :
dim(kerf )−(dimRk −dim(imf )) = dim(kerf )−(dim(cokerf )) = n−k (3)
Cette dernière quantité représente l’indice de l’application linéaire f . Par
analogie, on définit :
I) Introduction
Indice d’une application linéaire
Ainsi, on voit que f réalise un isomorphisme de L dans Imf , un simple
calcul donne :
dim(kerf )−(dimRk −dim(imf )) = dim(kerf )−(dim(cokerf )) = n−k (3)
Cette dernière quantité représente l’indice de l’application linéaire f . Par
analogie, on définit :
Opérateur de Fredholm
Dans le cas ou E et F ne sont plus de dimensions finies, on définit : Un
opérateur différentiel dit de Fredholm, s’il est borné et si son noyau et son
co-noyau sont tous deux de dimension finie.
On peut alors définir l’indice analytique, d’un opérateur de Fredholm D
par :
II) Indice analytique d’un opérateur elliptique
Opérateur de Fredholm
Dans le cas ou E et F ne sont plus de dimension finis, on définit : Un
opérateur différentiel dit de Fredholm s’il est borné et si son noyau et son
co-noyau sont tous deux de dimension finie.
On peut alors définir l’indice analytique, d’un opérateur de Fredholm D
par :
Indice d’un opérateur de Fredholm
inda (D) = dim(kerD) − dim(cokerD)
(4)
II) Indice analytique d’un opérateur elliptique
Opérateur de Fredholm
Dans le cas ou E et F ne sont plus de dimension finis, on définit : Un
opérateur différentiel dit de Fredholm s’il est borné et si son noyau et son
co-noyau sont tous deux de dimension finie.
On peut alors définir l’indice analytique, d’un opérateur de Fredholm D
par :
Indice d’un opérateur de Fredholm
inda (D) = dim(kerD) − dim(cokerD)
(4)
Opérateur elliptique, pseudo-elliptique
On s’intéressera plus précisement dans le théorème de l’indice aux opérateurs
elliptiques et pseudo-elliptiques sur une variété (compacte).
II) Indice analytique d’un opérateur elliptique
Opérateur elliptique,pseudo-elliptique
On s’intéressera plus précisement dans le théorème de l’indice aux opérateurs
elliptiques et pseudo-elliptiques sur une variété (compacte).
II) Indice analytique d’un opérateur elliptique
Opérateur elliptique, pseudo-elliptique
On s’intéressrra plus précisement dans le théorème de l’indice aux opérateurs
elliptiques et pseudo-elliptiques sur une variété (compacte).
Opérateur différentiel sur une variété compacte
On se donne deux fibrés vectoriels E , F sur une variété compacte X . On
appelle opérateur différentiel P d’ordre m sur une variété (supposée ici
compacte) une application linéaire de Γ(E ) dans Γ(F ). En coordonnées locales, on a :
X
∂ |α|
P=
Aα (x ) α
(5)
∂x
|α|≤m
Dans cette définition α est un multi-indice, on considère en particulier le
cas ou E = F
II) Indice analytique d’un opérateur elliptique
Symbole
Le symbole d’un opérateur différentiel dans une variété (Riemannienne),
S(M) étant la sphère unité dans le cotangent, est l’application
σ(P) : π ∗ (E ) → π ∗ (F ), si π est la projection de S(X ) sur X . en coordonnées
locales on a :
X
σξ (P) =
Aα (x )|α|
(6)
|α|=m
II) Indice analytique d’un opérateur elliptique
Symbole
Le symbole d’un opérateur différentiel dans une variété (Riemannienne),
S(M) étant la sphère unité dans le cotangent, est l’application
σ(P) : π ∗ (E ) → π ∗ (F ), si π est la projection de S(X ) sur X . en coordonnées
locales on a :
X
σξ (P) =
Aα (x )|α|
(6)
|α|=m
Opérateur elliptique
Un opérateur différentiel est elliptique si et seulement si son symbole principal est un isomorphisme fibre à fibre.
II) Indice analytique d’un opérateur elliptique
Symbole
Le symbole d’un opérateur différentiel dans une variété (Riemannienne),
S(M) étant la sphère unité dans le cotangent, est l’application
σ(P) : π ∗ (E ) → π ∗ (F ), si π est la projection de S(X ) sur X . en coordonnées
locales on a :
X
σξ (P) =
Aα (x )|α|
(6)
|α|=m
Opérateur elliptique
Un opérateur différentiel est elliptique si et seulement si son symbole principal est un isomorphisme fibre à fibre.
Indice d’un opérateur elliptique
On démontre qu’un opérateur elliptique est un opérateur de Fredholm, on
peut donc aussi définir son indice analytique. et c’est un nombre entier.
III) Indice topologique d’un opérateur elliptique
Information topologique
Pour ce même opérateur, on peut définir un indice qui capte uniquement le
contenu topologique de la variété
IV) Théorème de l’indice d’Atiyah Singer
Information topologique
Pour ce même opérateur, on peut définir un indice qui capte uniquement le
contenu topologique de la variété
Indice topologique
si σ(P) désigne le symbole de l’opérateur P, on appelle indice topologique
la quantité :
indt (P) = (−1)n ch([σ(P)]).td(TX ⊗ C)[TX ]
(7)
IV) Théorème de l’indice d’Atiyah Singer
Information topologique
Pour ce même opérateur, on peut définir un indice qui capte uniquement le
contenu topologique de la variété
Indice topologique
si σ(P) désigne le symbole de l’opérateur P, on appelle indice topologique
la quantité :
indt (P) = (−1)n ch([σ(P)]).td(TX ⊗ C)[TX ]
(7)
Théorème de l’indice
Le théorème de l’indice affirme que :
indt (P) = inda (P)
(8)
IV) Théorème de l’indice d’Atiyah Singer
Remarque
D’après la définition précédente on remarque que cet indice topologique ne
dépend que du symbole de l’opérateur P :
indt (P) = ind(σ(P))
(9)
Donc deux opérateurs différent qui ont le même symbole ont le même indice
topologique : cela suggère la construction suivante :
IV) Théorème de l’indice d’Atiyah Singer
Remarque
D’après la définition précédente on remarque que cet indice topologique ne
dépend que du symbole de l’opérateur P :
indt (P) = ind(σ(P))
(9)
Donc deux opérateurs différent qui ont le même symbole ont le même indice
topologique : cela suggère la construction suivante :
K-théorie
On verra plus loin que le symbole est un élément de la K-théorie compacte
de T ∗ X :
σ(P) ∈ Kcpt (T ∗ X )
(10)
IV) Théorème de l’indice d’Atiyah Singer
Objectif
L’indice analytique est un nombre entier on va devoir construire de manière
topologique la flêche suivante :
Kcpt (T ∗ X ) → Kcpt (pt) ' Z
(11)
IV) Théorème de l’indice d’Atiyah Singer
Objectif
L’indice analytique est un nombre entier on va devoir construire de manière
topologique la flêche suivante :
Kcpt (T ∗ X ) → Kcpt (pt) ' Z
(11)
Stratégie
La démonstration naturelle repose donc sur la construction de deux plongements :
j! et i! dans un RN : pour N bien choisi, c’est à dire les deux flêches :
j!
Construire la fléche :Kcpt (T ∗ X ) −→ Kcpt (T RN )
i −1
!
Construire la fléche :Kcpt (T RN ) −→
Kcpt (pt) ' Z
Cette démonstration est la démonstration initiale donnée par Atiyah et Singer, elle repose sur l’isomorphisme de Thom (ou la périodicité de Bott)
en K théorie.
V) Différentes démonstrations du théorème de l’indice
La démonstration initiale
La première démonstration est proposée par Atiyah et Singer ; Elle s’inspire
de la reformulation par Grothendieck du théorème de Riemann-Roch dans
le langage moderne de la géométrie algébrique, à partir d’une structure de
groupe qui porte son nom. Ces travaux sont à l’origine de la K -théorie
topologique
V) Différentes démonstrations du théorème de l’indice
La démonstration initiale
La première démonstration est proposée par Atiyah et Singer ; Elle s’inspire
de la reformulation par Grothendieck du théorème de Riemann-Roch dans
le langage moderne de la géométrie algébrique, à partir d’une structure de
groupe qui porte son nom. Ces travaux sont à l’origine de la K -théorie
topologique
Noyau de la chaleur
Une seconde démonstration est fondée sur le développement asymptotique du noyau de la chaleur (Gilkey, Patodi...), l’application à l’oscillateur harmonique fait apparaître très clairement le caractère de Chern et le
 chapeau-genre....
Une troisième démonstration, est une version probabiliste (Bismuth, Azencott) du développement du noyau de la chaleur. Elle utilise le calcul de
Malliavin sur les variétés stochastiques et l’intégrale d’Itô.
V) Différentes démonstrations du théorème de l’indice
Noyau de la chaleur
Une seconde démonstration est fondée sur le développement asymptotique du noyau de la chaleur (Gilkey, Patodi...), l’application à l’oscillateur harmonique fait apparaître très clairement le caractère de Chern et le
 chapeau-genre....
Une troisième démonstration, est une version probabiliste (Bismuth, Azencott) du développement du noyau de la chaleur. Elle utilise le calcul de
Malliavin sur les variétés stochastiques et l’intégrale d’Itô.
Supersymétrie
Enfin Witten donne une démonstration directement en interprétant différement les supercharges dans le langage de la supersymétrie qui généralise
les symétries d’Emmy Noether
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K -théorie
Classe d’isomorphie de fibrés vectoriels
On note Φkn (X ) la classe des fibrés vectoriels de rang n sur une variété
compacte de dimension k, un résultat élémentaire nous dit que Φkn (X ) est
isomorphe au Ȟ 1 (X , Gln (k)) ou k est un corps de base, on prendra souvent
le corps des nombres réels ou celui des complexes. Le résultat précedent
peut être obtenu en utilisant la cohomologie de Čech, et un recouvrement
assez fin pour trivialiser les fibrés localement :
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Classe d’isomorphie de fibrés vectoriels
On note Φkn (X ) la classe des fibrés vectoriels de rang n sur une variété
compacte de dimension k, un résultat élémentaire nous dit que Φkn (X ) est
isomorphe au Ȟ 1 (X , Gln (k)) ou k est un corps de base, on prendra souvent
le corps des nombres réels ou celui des complexes. Le résultat précedent
peut être obtenu en utilisant la cohomologie de Čech, et un recouvrement
assez fin pour trivialiser les fibrés localement :
limite inductive
Ȟ 1 (X , Gln (k)) est obtenu comme limite inductive des Ȟ 1 (U, Gln (k)), U
désignant un recouvrement de X , on considère alors la relation d’équivalence
sur les cocycles :
∀g, h ∈ Gln (k), ∃λp : Up → Gln (k), p = i, j : hji = λj gji λ−1
j
(12)
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Fibrés sur la sphère
Deux fonctions de transition f0 , f1 , sont définies sur la sphère Sn−1 , permettant de passer de l’hemisphère nord à l’hemisphère sud. Chacune de ces fonctions peut être vue comme élément du groupe fondamental πn−1 (Glp (k))
modulo la connexité du groupe de transformations linéaires c’est à dire
πn−1 (Glp (k))/π0 (Glp (k)). Si k = R, Glp (R) a deux composantes connexes
dépendant du signe du determinant tandis que Glp (C) est connexe Ainsi
les deux fonctions : fk : S n−1 → Glp (k), k = 0, 1, sont homotopes modulo
connexité du groupe linéaire si et seulement si les deux fibrés Ef0 et Ef1 sont
isomorphes :
πn−1 (Glp (k))
' Φkn (S n )
(13)
π0 (Glp (k))
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Généralisation
On peut généraliser le résultat précédent en utilisant la suspension de la
variété compacte X , rappelons que le cône de X est le quotient de X × [0, 1]
par la relation qui identifie X × {1} à un point, on définit alors la suspension
ou double cône par un procédé semblable, X devient l’équateur entre le cône
positif et le cône négatif on a alors :
[X , Glp (k)]
' Φkn (SX )
π0 (Glp (k))
(14)
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Généralisation
On peut généraliser le résultat précédent en utilisant la suspension de la
variété compacte X , rappelons que le cône de X est le quotient de X × [0, 1]
par la relation qui identifie X × {1} à un point, on définit alors la suspension
ou double cône par un procédé semblable, X devient l’équateur entre le cône
positif et le cône négatif on a alors :
[X , Glp (k)]
' Φkn (SX )
π0 (Glp (k))
(15)
Sommme de Whitney
Il existe une somme sur les fibrés vectoriels appellé somme de Whitney :
d’où découle une structure de monoide le symétrisé de cet ensemble défini
le groupe de K-théorie de X
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Définition
Sur Φ(X ) × Φ(X ), on a la relation d’équivalence suivante :
(E1 , F1 ) ∼ (E2 , F2 ) ⇔ ∃G ∈ Φ(X ) : E1 ⊕ F2 ⊕ G = E2 ⊕ F1 ⊕ G
(16)
la classe d’équivalence de (E , F ) es notée d(E , F ) (différence de fibrés) ou
E −F
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Définition
Sur Φ(X ) × Φ(X ), on a la relation d’équivalence suivante :
(E1 , F1 ) ∼ (E2 , F2 ) ⇔ ∃G ∈ Φ(X ) : E1 ⊕ F2 ⊕ G = E2 ⊕ F1 ⊕ G
(16)
la classe d’équivalence de (E , F ) es notée d(E , F ) (différence de fibrés) ou
E −F
Propriété
1
P1 : Un résultat important est que tout élément [E ] − [F ] dans K (X ) peut
être représenté comme la différence [V ] − [θN ] où θN représente un fibré
trivial. (car en augmentant la taille des fibres on peut trivialiser n’importe
quel fibré vectoriel).
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Définition
Sur Φ(X ) × Φ(X ), on a la relation d’équivalence suivante :
(E1 , F1 ) ∼ (E2 , F2 ) ⇔ ∃G ∈ Φ(X ) : E1 ⊕ F2 ⊕ G = E2 ⊕ F1 ⊕ G
(16)
la classe d’équivalence de (E , F ) es notée d(E , F ) (différence de fibrés) ou
E −F
Propriété
1
P1 : Un résultat important est que tout élément [E ] − [F ] dans K (X ) peut
être représenté comme la différence [V ] − [θN ] où θN représente un fibré
trivial. (car en augmentant la taille des fibres on peut trivialiser n’importe
quel fibré vectoriel).
2
P2 : Si θn , θp sont deux fibrés triviaux dr rang respectif n et p, on a :
[E ] − [θn ] = [F ] − [θp ] ⇔ ∃q ∈ R, E ⊕ θn+q ∼ F ⊕ θp+q
(17)
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Théorie relative
la demande d’isomorphie sur la base est trop forte : pour recouvrir la bonne
de la bonne classe d’opérateurs pseudo-elliptique, on doit simplement exiger
l’isomorphie à l’exterieur d’un compact Y inclus dans X cela conduit à
définir :
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Théorie relative
la demande d’isomorphie sur la base est trop forte : pour recouvrir la bonne
de la bonne classe d’opérateurs pseudo-elliptique, on doit simplement exiger
l’isomorphie à l’exterieur d’un compact Y inclus dans X cela conduit à
définir :
Groupe K (X , Y )
On introduit des groupes K (X , Y ), Y ⊂ X de la manière suivante : Soit E ,
F deux fibrés et α est un isomorphisme de E |Y vers F |Y on définit les classes
d’équivalences de couples : (E , F , α) et on notera d(E , F , α) un élément de
ce groupe de K − théorie relative. On remarque alors que cela est équivalent
à définir une K-théorie "pointée" notée K̃ , si on divise X par Y car alors
Y est ramené à un point :
K (X , Y ) = K (X /Y , ∗) = K̃ (X /Y )
(18)
V) Démonstration par la K -théorie, éléments de K-théorie
Une suite demi-exacte
A partir des constructions précédentes, il est facile de démontrer que K est
un foncteur demi-exacte, c’est à dire que la suite ci dessous est exacte :
j∗
i∗
K (X , Y ) −→ K (X ) −→ K (Y )
(19)
V) Démonstration par la K -théorie, éléments de K-théorie
Une suite demi-exacte
A partir des constructions précédentes, il est facile de démontrer que K est
un foncteur demi-exacte, c’est à dire que la suite ci dessous est exacte :
j∗
i∗
K (X , Y ) −→ K (X ) −→ K (Y )
(19)
Démonstration
En effet, i ∗ , j ∗ proviennent des inclusions i : Y ,→ X , j : X × ∅ ,→ X × Y ;
donc la composition i ∗ j ∗ est induite par ji : X × ∅ ,→ X × Y , on en déduit que Y × ∅ s’envoie dans (Y , Y ) et i ∗ j ∗ (K (Y , Y )=0 ; cela montre que
Im(j ∗ ) ⊂ ker (i ∗ )
Réciproquement, si x ∈ ker (i ∗ ) alors x = E − F et i ∗ (EY − FY ) = 0, donc
il existe un fibré trivial tel que :
(E ⊕ θ)Y ≈ (F ⊕ θ)Y ), soit alors α : (E ⊕ θ)Y → (F ⊕ θ)Y ) un isomorphisme,on a donc bien :
E − F =E ⊕ θ − F ⊕ θ =j ∗ (d(E ⊕ θ, F ⊕ θ, α) V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Suite exacte courte de Puppe
On a la suite exacte courte suivante
f
Y −→ X → Cf → SY → SX
(20)
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Suite exacte courte de Puppe
On a la suite exacte courte suivante
f
Y −→ X → Cf → SY → SX
(20)
Suite exacte longue de Puppe
Si h est un foncteur contravariant demi exacte, on obtient la suite exacte
longue de Puppe :
... → hn (SX ) → hn (SY ) → hn (Cf ) → hn (X ) → hn (Y ) → ...
(21)
Un peu d’algèbre homologique donne trivialement : : hn−1 (X ) ∼ hn (SX ),
et hn (X , Y ) = hn (Cf )
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Suite longue en K -théorie
La suite précedente appliquée au foncteur contravariant K donne en K théorie :
... → K n−1 (X ) → K n−1 (Y ) → K̃ n (X /Y ) → K n (X ) → K n (Y ) → ...
(22)
Elle fourni les groupe de K théorie supérieurs. On possède alors une suite
exacte longue en K -théorie qui relie tous les groupes de K -théorie. Cette
suite exacte longue est avortée par la périodicité de Bott :
V) Démonstration par la K -théorie ; éléments de K théorie
Suite longue en K -théorie
La suite précedente appliquée au foncteur contravariant K donne en K théorie :
... → K n−1 (X ) → K n−1 (Y ) → K̃ n (X /Y ) → K n (X ) → K n (Y ) → ...
(22)
Elle fourni les groupe de K théorie supérieurs. On possède alors une suite
exacte longue en K -théorie qui relie tous les groupes de K -théorie. Cette
suite exacte longue est avortée par la périodicité de Bott :
Périodicité de Bott
Soit X une variétés compactes, on a l’isomorphisme :
∼
µξ : K −i (X ) −→ K −i−2 (X )
(23)
V) Démonstration par la K -théorie
Vers la démonstration
Il sera très important de montrer que n’importe quelle classe de Kcpt (T ∗ (X ))
peut être vu comme le symbole d’un opérateur. Atiyah a montré que rester
au niveau des opérateurs différentiels ne suffit pas pour mener à bien ce
programme : Il faut utiliser une classe plus riche d’opérateurs, les opérateurs pseudodifférentiels. En effet, L’application qui à un opérateur elliptique associe un élément de la K-Théorie de T ∗ (X ) n"est surjective que
pour un certain sous ensemble bien choisi de la classe des opérateurs
pseudo-différentiels. Dans la démonstration du théorème ce sous ensemble
d’opérateur pseudo-différentiel est celui pour lequel le symbole principal est
homogène et de degré m à l’exterieur d’un compact du cotangent de la
variété étudiée. un lemme technique est d’usage recurrent dans la démonstration du théorème de l’indice, il peut être utilisé en outre, pour montrer
la surjectivité de flêche évoquée :
V) Démonstration par la K -théorie
Théorème de surjectivité
Soit X une variété compacte, a un (Ẽ , F̃ , a), un élément de Kcpt (T ∗ (X )),
alors il existe un symbole homogène de degré m tel que :
(π ∗ E , π ∗ F , σ)= (Ẽ , F̃ , a)
V) Démonstration par la K -théorie
Théorème de surjectivité
Soit X une variété compacte, a un (Ẽ , F̃ , a), un élément de Kcpt (T ∗ (X )),
alors il existe un symbole homogène de degré m tel que :
(π ∗ E , π ∗ F , σ)= (Ẽ , F̃ , a)
Démonstration : étape 1
On considère le diagramme :
T ∗X
/ Ẽ
/E
π∗E
π
/X
s0
(24)
/ T ∗X
Comme s0 ◦ π est homotope à l’identité de T ∗ X , on a π ∗ E ∼
= Ẽ , et donc
∗
∼
ce diagramme est commutatif on montre de même π F = F̃ : d’où le
diagramme commutatif ci dessous :
V) Démonstration par la K -théorie
Démonstration : étape 2
π∗E
Ẽ
π ∗ α̃
∼
=
α̃
/ π∗F
/ F̃
∼
=
(25)
V) Démonstration par la K -théorie
Démonstration : étape 2
π∗E
Ẽ
π ∗ α̃
∼
=
α̃
/ π∗F
(25)
∼
=
/ F̃
En choisissant une norme sur T ∗ X , on définit alors le morphisme de fibré :αm : π ∗ E → π ∗ F :

 kv km π ∗ α( v ) si : v 6= 0
kv k
 0
sinon
(26)
V) Démonstration par la K -théorie
Démonstration : étape 2
π∗E
Ẽ
π ∗ α̃
∼
=
α̃
/ π∗F
(25)
∼
=
/ F̃
En choisissant une norme sur T ∗ X , on définit alors le morphisme de fibré :αm : π ∗ E → π ∗ F :

 kv km π ∗ α( v ) si : v 6= 0
kv k
 0
sinon
(26)
Il réalise le symbole d’un opérateur pseudo-différentiel et il ne reste plus
qu’a fournir l’homotopie entre π ∗ α et αm .On peut lui donner une forme
explicite :
v
H(v , t) = kv ktm π ∗ α(
)
(27)
kv kt
V) Démonstration par la K -théorie
Deux résultats
Le premier dit que l’indice analytique dans le cas où X est réduit à un point
et qui va de la K -théorie du point dans Z est l’identité
V) Démonstration par la K -théorie
Deux résultats
Le premier dit que l’indice analytique dans le cas où X est réduit à un point
et qui va de la K -théorie du point dans Z est l’identité
Le second affirme que si f : X ,→ Y est un plongement lisse, son indice
analytique vérifie :
∀u ∈ Kcpt (T ∗ X ), ind(u) = ind(f! u)
(28)
V) Démonstration par la K -théorie
Deux résultats
Le premier dit que l’indice analytique dans le cas où X est réduit à un point
et qui va de la K -théorie du point dans Z est l’identité
Le second affirme que si f : X ,→ Y est un plongement lisse, son indice
analytique vérifie :
∀u ∈ Kcpt (T ∗ X ), ind(u) = ind(f! u)
(28)
Si les deux conditions precédentes sont réalisées, le théorème de l’indice est
démontré :
On a les outils pour construire les deux plongements : j! et i! c’est à dire :
j!
Construire la fléche :Kcpt (T ∗ X ) −→ Kcpt (T RN )
V) Démonstration par la K -théorie
Deux résultats
Le premier dit que l’indice analytique dans le cas où X est réduit à un point
et qui va de la K -théorie du point dans Z est l’identité
Le second affirme que si f : X ,→ Y est un plongement lisse, son indice
analytique vérifie :
∀u ∈ Kcpt (T ∗ X ), ind(u) = ind(f! u)
(28)
Si les deux conditions precédentes sont réalisées, le théorème de l’indice est
démontré :
On a les outils pour construire les deux plongements : j! et i! c’est à dire :
j!
Construire la fléche :Kcpt (T ∗ X ) −→ Kcpt (T RN )
i −1
!
Construire la fléche :Kcpt (T RN ) −→
Kcpt (pt) ' Z
V) Démonstration par la K -théorie
Argument
On considère donc pour ce faire un plongement de X dans une sphère de dimension suffisante disons N (compactification de T RN ), et s le plongement
du point dans S N par composition on a :
∀u ∈ Kcpt (T ∗ X ), ind(u) = ind(f! u) = ind(s!−1 f! u)
(29)
V) Démonstration par la K -théorie
Argument
On considère donc pour ce faire un plongement de X dans une sphère de dimension suffisante disons N (compactification de T RN ), et s le plongement
du point dans S N par composition on a :
∀u ∈ Kcpt (T ∗ X ), ind(u) = ind(f! u) = ind(s!−1 f! u)
(29)
Et d’après le premier résultat, le dernier indice est celui d’un opérateur sur
le point ! c’est donc l’identité. ind ◦ s!−1 = id ◦ s!−1 = s!−1 = i!−1 (s = j ci
dessus) En conclusion en remarquant que f! est exactement j! (ci-dessus),
on a :
ind(u) = i!−1 (j! (u)) = indt (u)
(30)
V) La formule cohomologique
Formulation classique
On peut alors montrer que la formule de l’indice topologique s’exprime avec
les classes caractéristiques, de la théorie des fibrés vectoriels, On peut
alors re-exprimer les opérations i! et j! vue précédemment. .On rappelle que
le caractère de Chern peut être vu comme un foncteur entre la K -théorie et
l’homologie paire. L’idée va être de comparer l’isomorphisme de Thom dans
les deux théories homologiques.
On aimerais que le diagramme ci-dessous soit commutatif, mais cela n’est
pas le cas !
K (X )
H ∗ (X , Q)
ϕ!
/ K (E )
ψ!
/ H ∗ (E , Q)
(31)
V) La formule cohomologique
Formulation classique
On peut alors montrer que la formule de l’indice topologique s’exprime avec
les classes caractéristiques, de la théorie des fibrés vectoriels, On peut
alors re-exprimer les opérations i! et j! vue précédemment. .On rappelle que
le caractère de Chern peut être vu comme un foncteur entre la K -théorie et
l’homologie paire. L’idée va être de comparer l’isomorphisme de Thom dans
les deux théories homologiques.
On aimerais que le diagramme ci-dessous soit commutatif, mais cela n’est
pas le cas !
K (X )
H ∗ (X , Q)
ϕ!
/ K (E )
ψ!
/ H ∗ (E , Q)
(31)
On n’a pas ch ◦ ϕ! = ψ! ◦ ch mais plutôt :
ψ!−1 ◦ ch ◦ ϕ! (u) = ch(u).µ(E )
(32)
V) La formule cohomologique
Formule de l’indice
Il existe une torsion, ou defaut de commutation µ(E ) que l’on nomme la
classe de Todd. On applique alors cette dernière construction aux plongements i! et j! précédents : d’un coté on exploite la K -théorie du point et
c’est trivial on aboutit finalement à la formule
indt (D) = (−1)n ch([σ(D)]).td(TX ⊗ C)[TX ]
(33)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Introduction
La démonstration locale est plus proche du langage de la géométrie riemannienne, plus exactement on s’intéresse aux variétés pour lesquelles on peut
extraire une racine carrée du groupe orthogonale, le groupe Spin. Ainsi on
pourra extraire une racine carrée de l’opérateur laplacien l’opérateur de
Dirac. On s’attache donc à définir une formule locale de l’indice pour cet
opérateur. l’intégration de cette formule redonne la formule obtenue par la
K -théorie. Les ingrédient pour la démonstration sont, les algèbres de Clifford, l’équation de la chaleur sur une variété riemannienne, la formule de
Bochner-Lichnérowicz.
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Introduction
La démonstration locale est plus proche du langage de la géométrie riemanienne, plus exactement on s’intéresse aux variétés pour lesquelle on peut
extraire une racine carrée du groupe orthogonale, le groupe Spin. Ainsi on
pourra extraire une racine carrée de l’opérateur laplacien l’opérateur de
Dirac. On s’attache donc à définir une formule locale de l’indice pour cet
opérateur. l’intégration de cette formule redonne la formule obtenue par la
K -théorie. Les ingrédient pour la démonstration sont, les algèbres de Clifford, l’équation de la chaleur sur une variété riemanienne, la formule de
Bochner-Lichnérowicz.
Module de Clifford
On appelle module de Clifford : un espace vectoriel E , de dimension finie,
muni d’une action c, Z2 -graduée en algèbre de Clifford. On étend la notion
de module de Clifford sur une variété M. C’est un fibré E Z2 graduée en
algèbre de Clifford Cl(Tx∗ (M)).
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Connexion de Clifford
Une connexion sur un module de Clifford est une connexion sur un fibré
vectoriel compatible avec la structure de module de Clifford, et la connnexion
de Levi-Civita relevée au fibré vectoriel des spineurs,on a alors la règle de
Leibniz :
E
∇EX (c(a).s) = c(∇LC
(34)
X a).s + c(a).∇X .s
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Connexion de Clifford
Une connexion sur un module de Clifford est une connexion sur un fibré
vectoriel compatible avec la structure de module de Clifford, et la connnexion
de Levi-Civita relevée au fibré vectoriel des spineurs,on a alors la règle de
Leibniz :
E
∇EX (c(a).s) = c(∇LC
(34)
X a).s + c(a).∇X .s
Opérateur de Dirac
On peut alors donner une nouvelle définition de l’opérateur de Dirac dans le
langage des algèbres de Clifford : Si ∇EX désigne une connexion de Clifford,
on appelle opérateur de Dirac : la quantification de la connexion" :
D E = c ◦ ∇E
(35)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Connexion de Clifford
Une connexion sur un module de Clifford est une connexion sur un fibré
vectoriel compatible avec la structure de module de Clifford, et la connnexion
de Levi-Civita relevée au fibré vectoriel des spineurs,on a alors la règle de
Leibniz :
E
∇EX (c(a).s) = c(∇LC
(34)
X a).s + c(a).∇X .s
Opérateur de Dirac
On peut alors donner une nouvelle définition de l’opérateur de Dirac dans le
langage des algèbres de Clifford : Si ∇EX désigne une connexion de Clifford,
on appelle opérateur de Dirac : la quantification de la connexion" :
D E = c ◦ ∇E
(35)
En coordonnées locales nous avons :
D E = Σi c(e i )∇Eei
(36)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Module de Clifford quelconque
On se donne un module de Clifford quelconque E), quand M est une variété
spinorielle, on peut montrer cf [B.V.] qu’il peut se décomposer en
E = W ⊗ S, Cela permet entre autre de faire intervenir les théories de
jauges comme par exemple c’est le cas pour la physique mathématique de
la dimension 4. La connexion sur le fibré des spineurs se décompose, en une
partie 5S qui gère "la R.G" tandis que l’autre, 5E , la torsion, gère un
champ de jauge,on a :
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Module de Clifford quelconque
On se donne un module de Clifford quelconque E), quand M est une variété
spinorielle, on peut montrer cf [B.V.] qu’il peut se décomposer en
E = W ⊗ S, Cela permet entre autre de faire intervenir les théories de
jauges comme par exemple c’est le cas pour la physique mathématique de
la dimension 4. La connexion sur le fibré des spineurs se décompose, en une
partie 5S qui gère "la R.G" tandis que l’autre, 5E , la torsion, gère un
champ de jauge,on a :
5E = 5W ⊗ 1 + 1 ⊗ 5S
(37)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Module de Clifford quelconque
On se donne un module de Clifford quelconque E), quand M est une variété
spinorielle, on peut montrer cf [B.V.] qu’il peut se décomposer en
E = W ⊗ S, Cela permet entre autre de faire intervenir les théories de
jauges comme par exemple c’est le cas pour la physique mathématique de
la dimension 4. La connexion sur le fibré des spineurs se décompose, en une
partie 5S qui gère "la R.G" tandis que l’autre, 5E , la torsion, gère un
champ de jauge,on a :
5E = 5W ⊗ 1 + 1 ⊗ 5S
(37)
Au niveau de la courbure on a
(5E )2 = R E + F W
(38)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Module de Clifford quelconque
On se donne un module de Clifford quelconque E), quand M est une variété
spinorielle, on peut montrer cf [B.V.] qu’il peut se décomposer en
E = W ⊗ S, Cela permet entre autre de faire intervenir les théories de
jauges comme par exemple c’est le cas pour la physique mathématique de
la dimension 4. La connexion sur le fibré des spineurs se décompose, en une
partie 5S qui gère "la R.G" tandis que l’autre, 5E , la torsion, gère un
champ de jauge,on a :
5E = 5W ⊗ 1 + 1 ⊗ 5S
(37)
Au niveau de la courbure on a
(5E )2 = R E + F W
(38)
Dans cette dernière formule, la première partie est courbure de la connexion
de Levi Civita relevée au fibré des spineurs et deuxième le twist généré par
le champ de jauge. On emploie aussi la notation F W = F E/S
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Formule de Lichnérowicz
Soit 5E une connection de Clifford sur un module de Clifford E, D l’opérateur de Dirac associé, ∆E le Laplacien associé a la connexion 5E , rM la
courbure scalaire de M on a la formule de Lichnérowicz :
1
D 2 = ∆E + c(F E/S ) + rM
4
(39)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Formule de Lichnérowicz
Soit 5E une connection de Clifford sur un module de Clifford E, D l’opérateur de Dirac associé, ∆E le Laplacien associé a la connexion 5E , rM la
courbure scalaire de M on a la formule de Lichnérowicz :
1
D 2 = ∆E + c(F E/S ) + rM
4
(39)
Cette formule est le point de départ pour démontrer le théorème de l’indice pour l’opérateur de Dirac sur une variété éventuellement couplée a des
champs de jauges. L’objectif va être d’exploiter l’équation de la chaleur pour
un Laplacien le plus général possible. En physique, on a l’ambition de coupler le Lagrangien qui lui est associé à de multiples champs de jauges. On va
obtenir une formule local de l’indice que l’on pourra intégrer sur la variété
compacte de son choix.
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Equation de la chaleur dans l’espace euclidien
Considérons tout d’abord le cas de R, on veut alors résoudre l’équation :
(∂t + ∆x )kt (x , y ) = 0
(40)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Equation de la chaleur dans l’espace euclidien
Considérons tout d’abord le cas de R, on veut alors résoudre l’équation :
(∂t + ∆x )kt (x , y ) = 0
(40)
On trouve sans difficultée que :
kt (x , y ) = √
1
(x − y )2
exp(−
4t
4πt
(41)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Equation de la chaleur dans l’espace euclidien
Considérons tout d’abord le cas de R, on veut alors résoudre l’équation :
(∂t + ∆x )kt (x , y ) = 0
(40)
On trouve sans difficultée que :
kt (x , y ) = √
1
(x − y )2
exp(−
4t
4πt
(41)
Dans l’espace euclidien à n dimensions cette formule se généralise en :
kt (x , y ) = √
n
kx − y k2
1
exp(−
)
4t
4πt
(42)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Equation de la chaleur de l’oscillateur harmonique a une dimension
Le Laplacien de l’oscillateur harmonique est donné par :
Hx = −
d2
r 2x 2
+f
+
dx 2
16
(43)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Equation de la chaleur de l’oscillateur harmonique a une dimension
Le Laplacien de l’oscillateur harmonique est donné par :
Hx = −
d2
r 2x 2
+f
+
dx 2
16
(43)
On reconnait un peu dans cette écriture la formule de Bockner Lichnérowicz
On cherche les solutions φt de l’équation :
(∂t + Hx )pt (x , y ) = 0
(44)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Equation de la chaleur de l’oscillateur harmonique a une dimension
Le Laplacien de l’oscillateur harmonique est donné par :
Hx = −
d2
r 2x 2
+f
+
dx 2
16
(43)
On reconnait un peu dans cette écriture la formule de Bockner Lichnérowicz
On cherche les solutions φt de l’équation :
(∂t + Hx )pt (x , y ) = 0
(44)
sous forme intégrale : on trouve que
pt (x , r , f ) = (4πt)−1/2 (
tr /2
)1/2 exp(−tr /2coth(tr /2x 2 /4t − tf )
sinh(tr /2)
(45)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Equation de la chaleur de l’oscillateur harmonique à N dimension
On adapte les formules du paragraphe précédent :
H = −(∇2i ) + F =
n
X
1
(∂i + Rij xj )2 + F
4
i=1
(46)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Equation de la chaleur de l’oscillateur harmonique à N dimension
On adapte les formules du paragraphe précédent :
H = −(∇2i ) + F =
n
X
1
(∂i + Rij xj )2 + F
4
i=1
(46)
Dans cette équation, R et F sont des matrices carré de taille n × n, en outre
R est antisymétrique.La solution pt (x , R, F ) est :
(4πt)−n/2 (det(
tr /2
1
tR
dR
)1/2 )exp(− hx | coth( |x i)exp(−tF )
sinh(tr /2)
4t
2
2
(47)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Equation de la chaleur de l’oscillateur harmonique à N dimension
On adapte les formules du paragraphe précédent :
H = −(∇2i ) + F =
n
X
1
(∂i + Rij xj )2 + F
4
i=1
(46)
Dans cette équation, R et F sont des matrices carré de taille n × n, en outre
R est antisymétrique.La solution pt (x , R, F ) est :
(4πt)−n/2 (det(
tr /2
1
tR
dR
)1/2 )exp(− hx | coth( |x i)exp(−tF )
sinh(tr /2)
4t
2
2
(47)
Dans cette écriture on voit apparaître deux quantitées qui représentent le
contenu topologique du théorème de l’indice a savoir le Â-chapeau genre
et le caractère de Chern
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Développement asymptotique
L’argument principal, qui peut être montré dans le cas général de la résolution de l’équation de la chaleur, est que pt (x , R, f ) admet peut être vu
comme un développement asymptotique de kt (x , 0), en effet il suffit d’effectuer les développements limités au voisinage de 0 en t du determinant et
de la forme quadratique, on a :
det(
X
tR/2
)1/2 ) = 1 +
t k fk (R)
sinh(tr /2)
k>0
(48)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Développement asymptotique
L’argument principal, qui peut être montré dans le cas général de la résolution de l’équation de la chaleur, est que pt (x , R, f ) admet peut être vu
comme un développement asymptotique de kt (x , 0), en effet il suffit d’effectuer les développements limités au voisinage de 0 en t du determinant et
de la forme quadratique, on a :
det(
hx |
X
tR/2
)1/2 ) = 1 +
t k fk (R)
sinh(tr /2)
k>0
X
tR
dR
coth( |x i = kx k2 +
hx |R 2k |x i
2
2
k>1
(48)
(49)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Développement asymptotique
L’argument principal, qui peut être montré dans le cas général de la résolution de l’équation de la chaleur, est que pt (x , R, f ) admet peut être vu
comme un développement asymptotique de kt (x , 0), en effet il suffit d’effectuer les développements limités au voisinage de 0 en t du determinant et
de la forme quadratique, on a :
det(
hx |
X
tR/2
)1/2 ) = 1 +
t k fk (R)
sinh(tr /2)
k>0
X
tR
dR
coth( |x i = kx k2 +
hx |R 2k |x i
2
2
k>1
(48)
(49)
On en deduit : que :
pt (x , R, f ) = kt (x , 0) + kt (x , 0)
X
k>0
t k φk (x )
(50)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Supertrace
On sait que pour P opérateur autoadjoint, on a :
tP
Z
Tr (e ) =
tracex (Kt (x , x ))dx
X
on en déduit pour l’opérateur de Dirac et son adjoint :
(51)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Supertrace
On sait que pour P opérateur autoadjoint, on a :
tP
Z
Tr (e ) =
tracex (Kt (x , x ))dx
(51)
X
on en déduit pour l’opérateur de Dirac et son adjoint :
Tr (e
Tr (e
tDD ∗
tD ∗ D
Z
)=
ZX
)=
X
trace(Kt− (x , x ))dx
(52)
trace(Kt+ (x , x ))dx
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Supertrace
On sait que pour P opérateur autoadjoint, on a :
tP
Z
Tr (e ) =
tracex (Kt (x , x ))dx
(51)
X
on en déduit pour l’opérateur de Dirac et son adjoint :
Tr (e
Tr (e
tDD ∗
tD ∗ D
Z
)=
ZX
)=
X
trace(Kt− (x , x ))dx
(52)
trace(Kt+ (x , x ))dx
Donc l’indice peut être vu comme une supertrace. On a sous forme intégrale :
Z
2
Ind(D) = Tr (e tD ) =
Str (Kt (x , x ))dx
X
(53)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Développement asymptotique
On a d’autre part le développement asymptotique du noyaux de la chaleur
qui donne pout t petit :
Kt (x , x ) → 4πt −n/2
∞
X
i=0
t i ki (x )
(54)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Développement asymptotique
On a d’autre part le développement asymptotique du noyaux de la chaleur
qui donne pout t petit :
Kt (x , x ) → 4πt −n/2
∞
X
t i ki (x )
(54)
i=0
Dans cette formule par la brisure supersymétrique ki peut être vue comme
un élement de Cl2i (X ) ⊗ EndCl(M) E on peut alors en déduire facilement
que quand t tend vers 0 :
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Développement asymptotique
On a d’autre part le développement asymptotique du noyaux de la chaleur
qui donne pout t petit :
Kt (x , x ) → 4πt −n/2
∞
X
t i ki (x )
(54)
i=0
Dans cette formule par la brisure supersymétrique ki peut être vue comme
un élement de Cl2i (X ) ⊗ EndCl(M) E on peut alors en déduire facilement
que quand t tend vers 0 :
Str (Kt (x , x )) → 4πt −n/2 Str
∞
X
i≥n/2
D’ou l’indice explicitement donné par :
t i ki (x )
(55)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Développement asymptotique
On a d’autre part le développement asymptotique du noyaux de la chaleur
qui donne pout t petit :
Kt (x , x ) → 4πt −n/2
∞
X
t i ki (x )
(54)
i=0
Dans cette formule par la brisure supersymétrique ki peut être vue comme
un élement de Cl2i (X ) ⊗ EndCl(M) E on peut alors en déduire facilement
que quand t tend vers 0 :
Str (Kt (x , x )) → 4πt −n/2 Str
∞
X
t i ki (x )
(55)
i≥n/2
D’ou l’indice explicitement donné par :
Z
Ind(D) =
X
Str (kn/2 (x ))dx
(56)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Resolution dans une variété
On se fixe x0 dans la variété riemannienne M, on trivialise sur un ouvert U
pas trop grand le fibré E=W ⊗ S, on utilisera un système de coordonnées
normales et un transport parallèle le long des géodésiques, en allant de x0
à x , on dispose alors du noyau de la chaleur noté p(x , x0 ) Pour comparaison
avec les données initiales il faut le ramener à l’origine par transport parallèle,
on pose ainsi :
k(t, x ) = τ (x0 , x )pt (x , x0 )
(57)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Resolution dans une variété
On se fixe x0 dans la variété riemannienne M, on trivialise sur un ouvert U
pas trop grand le fibré E=W ⊗ S, on utilisera un système de coordonnées
normales et un transport parallèle le long des géodésiques, en allant de x0
à x , on dispose alors du noyau de la chaleur noté p(x , x0 ) Pour comparaison
avec les données initiales il faut le ramener à l’origine par transport parallèle,
on pose ainsi :
k(t, x ) = τ (x0 , x )pt (x , x0 )
(57)
on verifie qu’alors k satisfait l’équation différentielle :
(∂t + L)k(t, x ) = 0
Dans cette équation, L est le Laplacien donné par :
(58)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Resolution dans une variété
On se fixe x0 dans la variété riemannienne M, on trivialise sur un ouvert U
pas trop grand le fibré E=W ⊗ S, on utilisera un système de coordonnées
normales et un transport parallèle le long des géodésiques, en allant de x0
à x , on dispose alors du noyau de la chaleur noté p(x , x0 ) Pour comparaison
avec les données initiales il faut le ramener à l’origine par transport parallèle,
on pose ainsi :
k(t, x ) = τ (x0 , x )pt (x , x0 )
(57)
on verifie qu’alors k satisfait l’équation différentielle :
(∂t + L)k(t, x ) = 0
(58)
Dans cette équation, L est le Laplacien donné par :
L=−
1
((∇Eei )2 − ∇E∇e j ei + rM + c(F E/S )
4
i=1,n
X
(59)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Rescaling
Une idée pour venir a bout de ce calcul en coordonnées normale est de
rescaler les quantités, ainsi le noyau k est remplacé par :
r (u, t, x ) = u n/2
n
X
i=0
u −1/2 k(ut, u 1/2 x )[i]
(60)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Rescaling
Une idée pour venir a bout de ce calcul en coordonnées normale est de
rescaler les quantités, ainsi le noyau k est remplacé par :
r (u, t, x ) = u n/2
n
X
u −1/2 k(ut, u 1/2 x )[i]
(60)
i=0
Dans cette écriture, k(ut, u 1/2 x )[i] désigne la partie homogène de degre i
de k, on pose δu (k(t, x ) =
n
X
u −1/2 k(ut, u 1/2 x )[i] On montre ainsi que ne
i=0
noyau r verifie l’équation rescalée :
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Rescaling
Une idée pour venir a bout de ce calcul en coordonnées normale est de
rescaler les quantités, ainsi le noyau k est remplacé par :
r (u, t, x ) = u n/2
n
X
u −1/2 k(ut, u 1/2 x )[i]
(60)
i=0
Dans cette écriture, k(ut, u 1/2 x )[i] désigne la partie homogène de degre i
de k, on pose δu (k(t, x ) =
n
X
u −1/2 k(ut, u 1/2 x )[i] On montre ainsi que ne
i=0
noyau r verifie l’équation rescalée :
(∂t + uδu Lδu−1 )r (u, t, x ) = 0
(61)
A ce point le physicien reconnait quand u tend vers 0 le laplacien de l’oscillateur harmonique :
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Rescaling
Une idée pour venir a bout de ce calcul en coordonnées normale est de
rescaler les quantités, ainsi le noyau k est remplacé par :
r (u, t, x ) = u n/2
n
X
u −1/2 k(ut, u 1/2 x )[i]
(60)
i=0
Dans cette écriture, k(ut, u 1/2 x )[i] désigne la partie homogène de degre i
de k, on pose δu (k(t, x ) =
n
X
u −1/2 k(ut, u 1/2 x )[i] On montre ainsi que ne
i=0
noyau r verifie l’équation rescalée :
(∂t + uδu Lδu−1 )r (u, t, x ) = 0
(61)
A ce point le physicien reconnait quand u tend vers 0 le laplacien de l’oscillateur harmonique :
δu Lδu−1 = H + u 1/2 ε(u)
(62)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Rescaling
Alors on sait que a la limite en u=0, pt (x , R, F )
est solution cette dernière équation. finalement on a :
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Rescaling
Alors on sait que a la limite en u=0, pt (x , R, F )
est solution cette dernière équation. finalement on a :
lim+ r (u, 1, 0) = (4π)−n/2 (det(
u→0
r /2
)1/2 )exp(−F )
sinh(r /2)
−n/2
= 4π)
(63)
Â(M)exp(−F )
En prenant la supertrace du terme dominant en n/2 en integrant sur la
variété on déduit la formule local de l’indice pour le Laplacien :
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Rescaling
Alors on sait que a la limite en u=0, pt (x , R, F )
est solution cette dernière équation. finalement on a :
lim+ r (u, 1, 0) = (4π)−n/2 (det(
u→0
r /2
)1/2 )exp(−F )
sinh(r /2)
−n/2
= 4π)
(63)
Â(M)exp(−F )
En prenant la supertrace du terme dominant en n/2 en integrant sur la
variété on déduit la formule local de l’indice pour le Laplacien :
Ind(D) = 4πt
−n/2
Z
X
Z
Str (rn/2 (0, t, 0))dx =
Â(M)ch(E/S)
X
(64)
VI) Théorie locale :noyau de la chaleur
Rescaling
Alors on sait que a la limite en u=0, pt (x , R, F )
est solution cette dernière équation. finalement on a :
lim+ r (u, 1, 0) = (4π)−n/2 (det(
u→0
r /2
)1/2 )exp(−F )
sinh(r /2)
−n/2
= 4π)
(63)
Â(M)exp(−F )
En prenant la supertrace du terme dominant en n/2 en integrant sur la
variété on déduit la formule local de l’indice pour le Laplacien :
Ind(D) = 4πt
−n/2
Z
X
Z
Str (rn/2 (0, t, 0))dx =
Â(M)ch(E/S)
(64)
X
Dans cette formulation du théorème de l’indice, on retrouve la topologie de
la variété à partir d’opérateurs locaux, à savoir des classes caractéristiques,
en quelque sorte en diffusant "la chaleur" a travers la variété.
VI) Théorie locale :Approche stochastique
L’approche probabiliste
Un autre traitement local de l’indice utilise une approche stochastique
de l’équation de la chaleur. Elle traite l’opérateur de Dirac sur une variété
et utilise comme dans la section précédente la formule de Bochner Lichnérowicz. Les prérequis algébriques sont donc les mêmes que ceux définis
plus haut, à savoir définition des algèbres de Clifford et modules de Clifford.
Elle fait intervenir le mouvement Brownien au niveau du noyau de la chaleur. La paternité en revient à J. M Bismut, et depuis plusieurs auteurs ont
proposés des versions plus accessibles.
VI) Théorie locale :Approche stochastique
L’approche probabiliste
Un autre traitement local de l’indice utilise une approche stochastique
de l’équation de la chaleur. Elle traite l’opérateur de Dirac sur une variété
et utilise comme dans la section précédente la formule de Bochner Lichnérowicz. Les prérequis algébriques sont donc les mêmes que ceux définis
plus haut, à savoir définition des algèbres de Clifford et modules de Clifford.
Elle fait intervenir le mouvement Brownien au niveau du noyau de la chaleur. La paternité en revient a J. M Bismut, et depuis plusieurs auteurs ont
proposés des versions plus accessibles.
Processus stochastique
Une famille (Xt )t≥0 de variables aléatoires sur un espace probabilisé
(Ω, A, P) et a valeur dans un espace E est dite un processus stochastique.
Si At dénote l’information disponible à l’instant t, on dit que Xt est adapté
à la filtration (At )t≥0 si quelquesoit t, Xt est At mesurable.
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Mouvement Brownien
Le mouvement Brownien a été découvert par le naturaliste Robert Brown
et modélisé par Einstein au debut du vingtième sciecle. Il modélise un
mouvement très irrégulier. On peut le décrire comme une variable aléatoire
W (t) (ou Wt vérifiant les relations ci-dessous :
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Mouvement Brownien
Le mouvement Brownien a été découvert par le naturaliste Robert Brown
et modélisé par Einstein au debut du vingtième sciecle. Il modélise un
mouvement très irrégulier. On peut le décrire comme une variable aléatoire
W (t) (ou Wt vérifiant les relations ci-dessous :
1◦ ) W (0) = 0 avec probabilité zéro
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Mouvement Brownien
Le mouvement Brownien a été découvert par le naturaliste Robert Brown
et modélisé par Einstein au debut du vingtième sciecle. Il modélise un
mouvement très irrégulier. On peut le décrire comme une variable aléatoire
W (t) (ou Wt vérifiant les relations ci-dessous :
1◦ ) W (0) = 0 avec probabilité zéro
2◦ ) P − ps t → Wt (ω) est continu sur [0, T ]
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Mouvement Brownien
Le mouvement Brownien a été découvert par le naturaliste Robert Brown
et modélisé par Einstein au debut du vingtième sciecle. Il modélise un
mouvement très irrégulier. On peut le décrire comme une variable aléatoire
W (t) (ou Wt vérifiant les relations ci-dessous :
1◦ ) W (0) = 0 avec probabilité zéro
2◦ ) P − ps t → Wt (ω) est continu sur [0, T ]
3◦ ) Pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T , l’incrément W (t) − W (s) est une variable normale de
moyenne 0 et de variance t − s
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Mouvement Brownien
Le mouvement Brownien a été découvert par le naturaliste Robert Brown
et modélisé par Einstein au debut du vingtième sciecle. Il modélise un
mouvement très irrégulier. On peut le décrire comme une variable aléatoire
W (t) (ou Wt vérifiant les relations ci-dessous :
1◦ ) W (0) = 0 avec probabilité zéro
2◦ ) P − ps t → Wt (ω) est continu sur [0, T ]
3◦ ) Pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T , l’incrément W (t) − W (s) est une variable normale de
moyenne 0 et de variance t − s
4◦ ) les incréments W (t) − W (s) sont indépendants
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Mouvement Brownien
Le mouvement Brownien a été découvert par le naturaliste Robert Brown
et modélisé par Einstein au debut du vingtième sciecle. Il modélise un
mouvement très irrégulier. On peut le décrire comme une variable aléatoire
W (t) (ou Wt vérifiant les relations ci-dessous :
1◦ ) W (0) = 0 avec probabilité zéro
2◦ ) P − ps t → Wt (ω) est continu sur [0, T ]
3◦ ) Pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T , l’incrément W (t) − W (s) est une variable normale de
moyenne 0 et de variance t − s
4◦ ) les incréments W (t) − W (s) sont indépendants
On a, si on désigne par N (0, λ) = √
suivante :
1
2
e −x /2λ la loi normale la propriété
2πλ
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Mouvement Brownien
Le mouvement Brownien a été découvert par le naturaliste Robert Brown
et modélisé par Einstein au debut du vingtième sciecle. Il modélise un
mouvement très irrégulier. On peut le décrire comme une variable aléatoire
W (t) (ou Wt vérifiant les relations ci-dessous :
1◦ ) W (0) = 0 avec probabilité zéro
2◦ ) P − ps t → Wt (ω) est continu sur [0, T ]
3◦ ) Pour 0 ≤ s ≤ t ≤ T , l’incrément W (t) − W (s) est une variable normale de
moyenne 0 et de variance t − s
4◦ ) les incréments W (t) − W (s) sont indépendants
1
2
e −x /2λ la loi normale la propriété
2πλ
√
W (t + dt) − W (t) = dtN (0, 1)
(65)
On a, si on désigne par N (0, λ) = √
suivante :
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Intégrale d’Ito, Intégrale de Stratonovich
Z T
On voudrais donner un sens a l’intégrale suivante :
f (t, ω)dWt pour un
0
mouvement brownien Wt et sa filtration
X naturelle (At )t≥0 on se rappelle :
que les sommes de Riemann :
h(ti )(ti+1 − ti ) pour le calcul de
i
Z T
h(t)dt associées a la subdivision t0 < t1 ... < tn = T converge.
.
0
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Intégrale d’Ito, Intégrale de Stratonovich
Z T
On voudrais donner un sens a l’intégrale suivante :
f (t, ω)dWt pour un
0
mouvement brownien Wt et sa filtration
X naturelle (At )t≥0 on se rappelle :
que les sommes de Riemann :
h(ti )(ti+1 − ti ) pour le calcul de
i
Z T
h(t)dt associées a la subdivision t0 < t1 ... < tn = T converge.
0
. De manière analogue,
X on construit :
les sommes d’Ito :
h(ti )(W (ti+1 ) − W (ti ))
i
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Intégrale d’Ito, Intégrale de Stratonovich
Z T
On voudrais donner un sens a l’intégrale suivante :
f (t, ω)dWt pour un
0
mouvement brownien Wt et sa filtration
X naturelle (At )t≥0 on se rappelle :
que les sommes de Riemann :
h(ti )(ti+1 − ti ) pour le calcul de
i
Z T
h(t)dt associées a la subdivision t0 < t1 ... < tn = T converge.
0
. De manière analogue,
X on construit :
les sommes d’Ito :
h(ti )(W (ti+1 ) − W (ti ))
i
ti + ti+1
)(W (ti+1 ) − W (ti )). converge
2
i
mais pas toujours vers la même limite, plus précisement :
ou celles de Stratonovich :
X
h(
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Intégrale d’Ito, Intégrale de Stratonovich
On peut montrer que si h est deterministe ces sommes tendent vers la
même limite, par contre le resultat ne tient plus si la fonction h est
aléatoire, on peut le vérifier en prenant un simple mouvement brownien, un
petit calcul montre que :
lim
N→+∞
X
i
1
h(ti )(W (ti+1 ) − W (ti )) = (Wt2 − T )
2
(66)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Intégrale d’Ito, Intégrale de Stratonovich
On peut montrer que si h est deterministe ces sommes tendent vers la
même limite, par contre le resultat ne tient plus si la fonction h est
aléatoire, on peut le vérifier en prenant un simple mouvement brownien, un
petit calcul montre que :
lim
X
N→+∞
i
1
h(ti )(W (ti+1 ) − W (ti )) = (Wt2 − T )
2
(66)
tandis que pour l’intégrale de Statonovich :
lim
N→+∞
X
i
1
h(ti )(W (ti+1 ) − W (ti )) = Wt2
2
(67)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Equations différentielles stochastiques
On peut voir une equation différentielle stochastique comme une équation
différentielle ordinaire perturbée par un phénomène aléatoire comme par
exemple un bruit blanc. Une équation différentielle stochastique est définie
comme suit :
d(X (t)
= µ(X (t))dt + σ(X (t)dW (t)
(68)
dt
dans le membre de droite, la première partie est la partie deterministe, la
seconde partie l’excitation par un bruit blanc.
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Equations différentielles stochastiques
On peut voir une equation différentielle stochastique comme une équation
différentielle ordinaire perturbée par un phénomène aléatoire comme par
exemple un bruit blanc. Une équation différentielle stochastique est définie
comme suit :
d(X (t)
= µ(X (t))dt + σ(X (t)dW (t)
(68)
dt
dans le membre de droite, la première partie est la partie deterministe, la
seconde partie l’excitation par un bruit blanc.
Pont Brownien
La probabilité pour qu’un mouvement brownien partant d’un point a atteigne
un point b en un temps fini T est nul : on doit forcer un peu le destin pour
contraindre une trajectoire browmienne à decrire une marche aléatoire
entre a et b. Il faut creer un Pont brownien entre les deux positions. Cette
notion est utilisée par J. P Bismut dans l’approche stochastique du noyau
de la chaleur. La notion de pont Brownien entre a et b est définie par :
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Pont Brownien
La probabilité pour qu’un mouvement brownien partant d’un point a atteigne
un point b en un temps fini T est nul : on doit forcer un peu le destin pour
contraindre une trajectoire browmienne à decrire une marche aléatoire
entre a et b. Il faut creer un Pont brownien entre les deux positions. Cette
notion est utilisée par J. P Bismut dans l’approche stochastique du noyau
de la chaleur. La notion de pont Brownien entre a et b est définie par :
Pont Brownien
X (t) = a + W (t) +
Z t
b − X (s)
0
ds
T −s
t ∈ [0, T ]
On peut maintenant donner la philosophie de la version stochastique.
(70)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Pfaffien
Il faut comprendre le pfaffien comme intégrale de Berezin : on rappelle que
si A est dans l’algèbre de Lie du groupe SO(n) on a :





A=




0 −θ1
θ1
0
!

0
0
−−− −−−
−−− −−−
0
0
0





0

! 


0 −θn
θn
0
(71)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Pfaffien
Il faut comprendre le pfaffien comme intégrale de Berezin : on rappelle que
si A est dans l’algèbre de Lie du groupe SO(n) on a :





A=




0 −θ1
θ1
0
!

0
0
−−− −−−
−−− −−−
0
0
0





0

! 


0 −θn
θn
(71)
0
le relèvement au groupe Spin fourni l’exponentielle quantifiée :
exp(c(A)) =
Y
(cos(
j
θj
θj
) + sin( )c(e2j−1 )c(e2j ))
2
2
(72)
Dans cette équation, les ei représentent une base orthonormée d’un espace
vectoriel de dimension n paire, l = n/2.
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Prérequis techniques
Une relation importante pour la démonstration du théorème de l’indice est :
Str (exp(c(A))) =
Y
((−1)l 2sin(
j
Y
θj
)) = ((−1)l (e θi /2 − e −θi /2 )
2
j
(73)
On montre en effet à partir de ce resultat que :
Str (exp(tc(A))
= i l Pf (A)
t→0
t n/2
lim
(74)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Pfaffien en dimension infinie
Plus généralement, si on se donne l’opérateur L =
sh(x ) = x
∞
Y
(1 +
i=1
∞
Y
d
+ A, et les formules :
dt
x2
)
n2 π 2
x2
sin(x ) = x
(1 − 2 2 )
n π
i=1
(75)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Pfaffien en dimension infinie
Plus généralement, si on se donne l’opérateur L =
sh(x ) = x
∞
Y
(1 +
i=1
∞
Y
d
+ A, et les formules :
dt
x2
)
n2 π 2
x2
sin(x ) = x
(1 − 2 2 )
n π
i=1
(75)
On peut calculer son Pfaffien mais cette fois-ci à la physicien et en dimension
infinie ! on a alors :
Str (exp(c(A))) = (
1
d
)n/2 (−i)n/2 Pf ( + A)
2
2
4π k
dt
(76)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Application du pont Brownien
On reprend la formule de Bochner Lichnérowicz
1
1
D 2 = −∆E + rM + c(ei )c(ej )R E (ei , ej)
4
2
(77)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Application du pont Brownien
On reprend la formule de Bochner Lichnérowicz
1
1
D 2 = −∆E + rM + c(ei )c(ej )R E (ei , ej)
4
2
(77)
On considère le noyau de la chaleur Pt (x , y ) pour le laplacien ci-dessus. on
a:
Z
tD 2
exp(−
)h(x ) =
Pt (x , y )h(y )dy
(78)
2
M
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Application du pont Brownien
On reprend la formule de Bochner Lichnérowicz
1
1
D 2 = −∆E + rM + c(ei )c(ej )R E (ei , ej)
4
2
(77)
On considère le noyau de la chaleur Pt (x , y ) pour le laplacien ci-dessus. on
a:
Z
tD 2
exp(−
)h(x ) =
Pt (x , y )h(y )dy
(78)
2
M
bien sûr Pt (x , y ) ∈ Hom(((S ⊗ E )y , (S ⊗ E )x ), La nouveautée consiste à
introduire dans le noyau de la chaleur un pont brownien permettant de forcer
en quelque sorte un chemin parti de x à aboutir en y .En simplifiant, on ne
considère que le cas où E = C, la torsion dans la formule de Lichnérowicz
disparaît et on a :
Pt (x , y ) = pt (x , y )Ex ,y (exp(−
Z t
K (xs )ds
0
8
)τ0s )
(79)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Application De la formule de Feynman Kac
On interprète la formule (78) de manière probabiliste :
exp(−
tD 2
)h(x ) = Ex (exp(−
2
Z t
K (xs )ds
0
8
)τ0s f (xt ))
(80)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Application De la formule de Feynman Kac
On interprète la formule (78) de manière probabiliste :
exp(−
tD 2
)h(x ) = Ex (exp(−
2
Z t
K (xs )ds
0
8
)τ0s f (xt ))
(80)
Le membre de droite est une adaptation de la formule de Feynman Kac :
C’est l’espérance d’un mouvement partant de x d’autre part, on place le
pont Brownien, pour la version probabiliste, dans le membre de droite de
(78) qui devient :
Z
Z
Pt (x , y )h(y )dy =
M
pt (x , y )Ex ,y (exp(−
M
Z t
K (xs )ds
0
8
)τ0t f (y ))dy
(81)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Application De la formule de Feynman Kac
On interprète la formule (78) de manière probabiliste :
exp(−
tD 2
)h(x ) = Ex (exp(−
2
Z t
K (xs )ds
0
8
)τ0s f (xt ))
(80)
Le membre de droite est une adaptation de la formule de Feynman Kac :
C’est l’espérance d’un mouvement partant de x d’autre part, on place le
pont Brownien, pour la version probabiliste, dans le membre de droite de
(78) qui devient :
Z
Z
Pt (x , y )h(y )dy =
M
pt (x , y )Ex ,y (exp(−
M
Z t
K (xs )ds
0
8
)τ0t f (y ))dy
(81)
Dans cette écriture, on force un mouvement Brownien parti de x arrive en
y àt
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Méthode de Gezler
Ensuite comme pour la méthode de Gezler, on prend les asymptotiques : on
rappelle
X ak (x )
(t → 0) ⇒ Pt (x , x ) =
+ t(t)
(82)
tk
0≤k≤n/2
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Méthode de Gezler
Ensuite comme pour la méthode de Gezler, on prend les asymptotiques : on
rappelle
X ak (x )
(t → 0) ⇒ Pt (x , x ) =
+ t(t)
(82)
tk
0≤k≤n/2
on sait que
Str (Pt (x , x )) = pt (x , x )Ex ,y (exp(−
Z t
K (xs )ds
0
8
)Uτ0s )
(83)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Méthode de Gezler
Ensuite comme pour la méthode de Gezler, on prend les asymptotiques : on
rappelle
X ak (x )
(t → 0) ⇒ Pt (x , x ) =
+ t(t)
(82)
tk
0≤k≤n/2
on sait que
Str (Pt (x , x )) = pt (x , x )Ex ,y (exp(−
Z t
K (xs )ds
0
8
)Uτ0s )
(83)
Plaçons nous dan le cas ou le fibré E est trivial, on trouve :
1
(pt (x , x ) = ( √
)dimM (1 + t(t))
( 2πt
(84)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Asymptotiques
d’autre part :
τ01 (t) = 1 + t
Z 1 TM
R
0
2
(w , dw ) + o(t 3/2 )
(85)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Asymptotiques
d’autre part :
τ01 (t) = 1 + t
Z 1 TM
R
0
2
(w , dw ) + o(t 3/2 )
(85)
τ01 (t) est le transport parallèle du fibré des repères c’est un élement du
groupe des rotations, on peut le relever au groupe Spin on en déduit d’après
(74)
Z 1 TM
Str (τe01 )
R (w , dw )
n/2
→ i Pf (
)
(86)
n/2
2
t
0
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Asymptotiques
d’autre part :
τ01 (t) = 1 + t
Z 1 TM
R
0
2
(w , dw ) + o(t 3/2 )
(85)
τ01 (t) est le transport parallèle du fibré des repères c’est un élement du
groupe des rotations, on peut le relever au groupe Spin on en déduit d’après
(74)
Z 1 TM
Str (τe01 )
R (w , dw )
n/2
→ i Pf (
)
(86)
n/2
2
t
0
On place toutes ses quantités dans la supertrace du noyau il vient :
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Conclusion
StrPt (x , x ) = (
Z 1 TM
R (w , dw )
1 n/2
) Ex ,x (Pf (
2π
0
2
))
(87)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Conclusion
StrPt (x , x ) = (
Z 1 TM
R (w , dw )
1 n/2
) Ex ,x (Pf (
2π
2
0
))
(87)
on reconnait alors le Â-chapeau genre, quand t → 0 :
"
#Max
R TM (w , dw )
)
(StrPt (x , x )dx → Â(
2
(88)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Conclusion
StrPt (x , x ) = (
Z 1 TM
R (w , dw )
1 n/2
) Ex ,x (Pf (
2π
2
0
))
(87)
on reconnait alors le Â-chapeau genre, quand t → 0 :
#Max
"
R TM (w , dw )
)
(StrPt (x , x )dx → Â(
2
(88)
Et finalement
M
Z
ind(D ) =
Z
(StrPt (x , x )dx =
M
Â(
M
R TM (w , dw )
)
2
(89)
VI) Théorie locale :Approche stochastique
Conclusion
StrPt (x , x ) = (
Z 1 TM
R (w , dw )
1 n/2
) Ex ,x (Pf (
2π
2
0
))
(87)
on reconnait alors le Â-chapeau genre, quand t → 0 :
#Max
"
R TM (w , dw )
)
(StrPt (x , x )dx → Â(
2
(88)
Et finalement
Z
M
ind(D ) =
Z
(StrPt (x , x )dx =
M
Â(
M
R TM (w , dw )
)
2
(89)
Quand E n’est plus trivial On retrouve la formule classique avec le caractère
de Chern :
ind(D M ) =
Z
Z
(StrPt (x , x )dx =
M
Â(
M
R TM (w , dw )
)Ch(E )
2
(90)
VI) l’Approche supersymétrique de Witten
Idée
L’approche de Witten du théorème de l’indice repose sur l’interprétation de
la mécanique supersymétrique développée dans l’article D’alvarez et Gaumé.
Dans l’introduction, on a traité le cas des l’opérateur de Dirac harmonique
d + δ et la variété but un cercle ou bien un tore dans le cas traité on avait
deux opérateurs de supersymétries (deux supercharges :Q, Q̄). On peut
généraliser la mécanique quantique supersymétrique au cas d’une particule
se déplaçant sur une variété riemannienne. On peut ainsi par des choix
judicieux des supersymétrie et l’ajoût de champs auxiliaires retrouver toutes
les situations du théorème de l’indice. Donnons un exemple :
VI) l’Approche supersymétrique de Witten
Caractéristique d’Euler Poincaré
Le lagrangien du σ modele supersymétrique de la mécanique quantique d’une
particule libre se déplaçant sur une variété riemanienne de métrique g est
donnée par :
i
D
1
1
L = gij φ̇i φ̇j + gij ψ̄ i γ 0 ψ j + Rijkl ψ̄ i ψ k ψ̄ j ψ l
2
2
dt
12
D i
d
ψ = ψ i + Γijk φ̇j ψ k
dt
dt
0
ψ̄αi = ψβi γαβ
(91)
VI) l’Approche supersymétrique de Witten
Caractéristique d’Euler Poincaré
Le lagrangien du σ modele supersymétrique de la mécanique quantique d’une
particule libre se déplaçant sur une variété riemanienne de métrique g est
donnée par :
i
D
1
1
L = gij φ̇i φ̇j + gij ψ̄ i γ 0 ψ j + Rijkl ψ̄ i ψ k ψ̄ j ψ l
2
2
dt
12
D i
d
ψ = ψ i + Γijk φ̇j ψ k
dt
dt
0
ψ̄αi = ψβi γαβ
!
(91)
ψ1i
dans cette écriture ψ i =
représente les deux composantes du spiψ2i
neur ψ la situation évoquée ici est juste le cas où l’opérateur de Dirac est
d + δ, dans cette situation si on considère les deux supercharges Q et Q̄
respectivement associées aux opérateurs d et δ, on retrouve que l’indice de
l’opérateur de Dirac considéré est la caractèristique d’Euler Poincaré de la
variété : χ(M)
VI) l’Approche supersymétrique de Witten
Un autre opérateur de Dirac, signature d’Hirzebruch
Avec le même lagrangien, on peut obtenir un autre invariant
: La signature
!
i
ψ
1
d’Hirzebruch, il suffit de remarquer que ψ i =
admet une symétrie
ψ2i
dans la dualité qui échange p-formes et n − p-formes
VII) Bibliographie
H.B. Lawson, M.L Michelsohn Spin Geometry, Princeton University
Press - Princeton, New Jersey, 1989.
K.Hori, S. Katz, A. Klem, R. Pandharipande, R. Thomas, C. Vafa, R.
Vakil, E. Zaslow,Mirror symmetry, AMS, 2003. Press.
Edward Witten, Topological Quantum Field Theory, Commun. Math.
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Berline N., Getzler E., Vergne M. Heat Kernels and Dirac Operators,
Springer, 1992.
Bismut J.M. The Atiyah-Singer theorems : A Probabilistic Approach I.
The Index Theorem, Journal Of Functioal analysis, 56-99 , 1984.