On a marché sur la Lune

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On a marché sur la Lune…
Document : M.Moppert
- Enoncé –
En 1954, Hergé, publie deux albums des aventures de Tintin : « Objectif
Lune », et « On a marché sur la Lune ». Dans cette nouvelle aventure, il
envoie Tintin et ses amis sur la Lune, dans la désormais légendaire fusée
rouge et blanche imaginée par le physicien le plus farfelu de la Bande
Dessinée, le professeur Tournesol.
Traduites dans presque toutes les langues, les aventures de Tintin ont
été « dévorées » par des générations d’enfants. Peut-être les avez-vous
vous-même déjà lues ? Mais les avez-vous vraiment lues attentivement ?
Le but de cet exercice est de vérifier, à l’aide de vos connaissances en
mécanique, si Hergé était rigoureux dans sa description des phénomènes
physiques dans l’espace et dans la fusée.
IMPORTANT : on a la sensation d’être en impesanteur lorsqu’on ne subit aucune réaction de la
part d’un quelconque support. La sensation de pesanteur est donc liée à la valeur de la réaction du
support sur un être vivant. Cette sensation sera d’autant plus grande que la valeur de la réaction
du support sera grande.
Données :
Planète Masse Rayon Valeur du champ de pesanteur à la surface
Terre
M
T
= 6,0 x 10
24
kg
R
T
= 6,4 x 10
6
m
g
0
= 9,8 m.s
-
2
Lune
M
L
= 7,4 x 10
22
kg
R
L
= 1,7 x 10
6
m
g
L
= 1,6 m.s
-
2
 Constante de gravitation universelle : G = 6,67 x 10-11 S.I.
 Tous les systèmes définis dans cet exercice seront considérés comme des objets ponctuels
assimilables à leur centre d’inertie.
LES QUATRE PARTIES DE L’EXERCICE SONT INDEPENDANTES
A. PREMIERE PARTIE : « LES DUPONDT COUPENT LE MOTEUR »
Dans cette partie, on travaillera dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen.
On considère le système {professeur Tournesol}, de masse mP et de
centre d’inertie P, évoluant dans la fusée à une altitude h par
rapport à la surface terrestre (voir schéma en annexe).
TS Physique On a marché sur la Lune… (partiel) Exercice résolu

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1. Donner l’expression de la force de gravitation
F
qui s’exerce sur le système. Définir tous les
termes utilisés et représenter cette force sur le schéma de l’annexe.
2. Dans le cas où le moteur est coupé (impesanteur), appliquer la deuxième loi de Newton au
système et en déduire l’expression de la valeur aP du vecteur accélération du système.
3. Dans le cas où le moteur fonctionne, on crée une « pesanteur artificielle » à l’intérieur de la
fusée. Du faut de cette pesanteur artificielle, la réaction
R
du plancher de la fusée sur le
professeur Tournesol est égale, en valeur, à celle du poids du professeur à la surface terrestre :
il a ainsi la même sensation que s’il était sur Terre.
a) Représenter la force
R
sur le schéma de l’annexe.
a) Appliquer la deuxième loi de Newton au système et en déduire l’expression de la valeur a’P du
vecteur accélération du système.
B. DEUXIEME PARTIE : « LE CAPITAINE HADDOCK SE PREND POUR UN OISEAU »
Dans cette partie, on travaillera dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen.
Alors que la fusée se trouve
suffisamment loin de la Terre
et pas encore assez près de la
Lune pour ne subir aucune
influence de ces deux planètes,
le capitaine Haddock, dans un
moment de folie, décide de
faire une sortie dans l’espace.
Pour cela, il est obligé de
couper le moteur de la fusée.
En appliquant le principe
d’inertie, expliquez pourquoi le
capitaine Haddock avance à la
même vitesse que la fusée.
C. TROISIEME PARTIE : « LE SATELLITE HADDOCK »
Dans cette partie, on travaillera dans le référentiel « adonisocentrique », supposé galiléen. On
considère le système {capitaine Haddock} de masse m
H
et de centre d’inertie H.
Alors que le capitaine Haddock effectue sa petite sortie
dans l’espace, la fusée passe à proximité d’Adonis, énorme
masse rocheuse d’environ 700 m de diamètre, de masse MA
= 1,0 x 1012 kg et de centre d’inertie A. Le capitaine
Haddock se retrouve satellisé autour d’Adonis. D’après
l’image, on peut estimer le rayon de l’orbite (supposée
circulaire) du capitaine à environ r = 2,0 x 103 m.
1. a) Dans le référentiel choisi, définir une base de Frenet
et la représenter sur un schéma.
b) Dans cette base de Frenet, donner l’expression du
vecteur accélération
H
a
du système.
2. Exprimer et calculer la valeur vH du vecteur vitesse du capitaine Haddock sur son orbite.
3. Exprimer et calculer la période de révolution TH du capitaine Haddock autour d’Adonis.
Haddo
ck

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ANNEXE

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- Corrigé -
A. PREMIERE PARTIE : « LES DUPONDT COUPENT LE MOTEUR »
1. Donner l’expression de la force de gravitation
F
qui s’exerce sur le système. Définir tous les termes utilisés et
représenter cette force sur le schéma de l’annexe n°1.
p T
2
T
m .M
F G. .u
(R h)
= − +
avec :
G : constante de gravitation universelle (S.I)
mP : masse du système (en kg)
MT : masse de la Terre (en kg)
RT : rayon de la Terre (en m)
h : altitude (en m)
u
: vecteur unitaire orienté de T vers P
Cette force, appliquée en P, est de direction verticale et orientée vers le bas.
2. Dans le cas où le moteur est coupé (impesanteur), appliquer la deuxième loi de Newton au système et en déduire
l’expression littérale de la valeur a
P
du vecteur accélération du système.
Deuxième loi de Newton appliquée au professeur Tournesol :
F
= mP.
P
a
= - pT
2
T
m .M
G. .u
(R h)
+
.
En valeur : aP = T
2
T
M
G.
(R h)
+
3. a) Représenter la force
R
sur le schéma de l’annexe n°1.
Cette force, appliquée en P, est de direction verticale et orientée vers le haut.
b) Appliquer la deuxième loi de Newton au système et en déduire l’expression littérale de la valeur a’
P
du vecteur
accélération du système.
Deuxième loi de Newton appliquée au professeur tournesol :
F
+
R
= mP.
'
P
a
= - pT
2
T
m .M
G. .u
(R h)
+
+ mP.g0.
u
En valeur : a
'
P
= g0 - p T
2
T
m .M
G.
(R h)
+ (car
F
et
R
ont la même direction et des sens contraires).
B. DEUXIEME PARTIE : « LE CAPITAINE HADDOCK SE PREND POUR UN OISEAU »
Expliquer pourquoi le capitaine Haddock avance à la même vitesse que la fusée.
La fusée ne subit aucune action extérieure : d’après le principe d’inertie, elle est animée d’un
mouvement rectiligne uniforme. Quand le capitaine Haddock quitte la fusée, son vecteur vitesse
est celui de la fusée et il se trouve, lui aussi, animé du même mouvement rectiligne uniforme.
C. TROISIEME PARTIE : « LE SATELLITE HADDOCK »
1. a) Dans le référentiel choisi, définir une base de Frenet et la représenter sur un schéma.
Une base de Frenet est un repère mobile constitué d’une origine et de deux
vecteurs unitaires :
- l’origine est la position du centre d’inertie H du système à une date t,
- le vecteur unitaire
τ
est tangent à la trajectoire au point H et dirigé dans le sens
du mouvement,
- le vecteur unitaire
n
est normal à la trajectoire au point H et dirigé vers le centre
de cette trajectoire.
H
A
τ
n

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b) Dans cette base de Frenet, donner l’expression du vecteur accélération
H
a
du système.
H n
a a a
τ
= +
soit
2
H
dv v
a . n
dt r
= τ +
(v : valeur de la vitesse du capitaine Haddock).
2. Exprimer et calculer la valeur v
H
du vecteur vitesse du capitaine Haddock sur son orbite.
Deuxième loi de Newton appliquée au capitaine Haddock :
H
H
f m .a
=
(avec
f
la force de
gravitation exercée par Adonis sur le capitaine Haddock).
Cette force de gravitation est radiale centripète donc :
H
H
m .a
= G. A H
2
M .m
.
r
n
et
H
a
= G. A
2
M
.n
r
Par identification avec l’expression de la question 1.b :
2
H
A
2
v
G.M
r
r
= => vH =
A
M
G.
r
Soit : vH =
12
11
3
1, 0 10
6, 67 10
2, 0 10
−×
× × ×= 1,8 x 10-1 m.s-1
3. Exprimer et calculer la période de révolution T
H
du capitaine Haddock autour d’Adonis.
Le mouvement du capitaine haddock étant circulaire uniforme, la période de révolution est
donnée par : TH =
2
π
ω
et TH =
H
2 .r
v
π
(avec ω vitesse angulaire : ω =
v
r
) => TH =
3
A
r
2 .
G.M
π
Soit : TH =
3 3
11 12
(2, 0 10 )
2
6, 67 10 1, 0 10
−
×
π × × × × = 6,9 x 104 s