ALI et électrostatique

Colles semaine 15, sujet A
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
ALI et électrostatique
Question de cours
Calculer le champ électrostatique créé par un plan chargé en surface avec une densité de charge uniforme σ0 .
Exercice 1 : Simulateur d’inductance
i
R
i1
u
Les bobines sont des composants très utilisés en électronique de puissance, mais leur grande taille les rend peu pratiques à insérer dans
des circuits intégrés. Ce n’est cependant pas un souci puisqu’elles
peuvent être remplacées par des montages à ALI comme celui représenté ci-contre, beaucoup plus compact.
i3
C
i2
L’ALI est supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire : on peut
donc supposer le régime sinusoïdal forcé sans perte de généralité.
Le dipôle « −RN » désigne l’impédance d’entrée d’un autre montage à ALI, dit à résistance négative, qui a exactement le même
comportement qu’une résistance −RN < 0.
−RN
R
−
.
+
Déterminer l’impédance d’entrée Z = U /I du montage. En déduire
la valeur à donner à RN pour obtenir une inductance pure.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Loi des nœuds :
I = I 1 + I2 + I3
Lois de comportement :
I3 = −
U
RN
et
I2 =
U
R
car V+ = V− = 0. Calculer I1 demande une loi des mailles en plus,
I1 =
U − VS
R
avec
VS = −
1
I2
jCω
la tension de sortie de l’ALI. Ainsi,
I=
2U
S
U
2U
1
U
− −
+
I2 −
=
R
R RN
R
jRCω
RN
et donc
I=
2
1
1
+
−
R jR2 Cω RN
U
Pour une bobine idéale, on doit avoir
I=
1
U.
jLω
On a donc équivalence si RN = R/2, sinon le montage est équivalent à une bobine idéale montée en parallèle d’une
résistance telle que 1/r = 2/R − 1/RN .
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Colles semaine 15, sujet A : ALI et électrostatique
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
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Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 15, sujet B
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
ALI et électrostatique
Question de cours
Calculer le champ électrostatique créé par un cylindre chargé en volume avec une densité de charge uniforme ρ0 .
Exercice 1 : Oscillateur à résistance négative
On s’intéresse dans un premier temps au montage à ALI encadré sur
le schéma ci-contre, appelé montage à résistance négative. L’ALI est
considéré comme idéal.
RN
R0
i
.
−
1 - Justifier que l’ALI peut fonctionner en régime linéaire. On admet
ce fonctionnement par la suite.
+
L
R
u
C
R
iR
2 - Déterminer l’impédance d’entrée Z = u/i du montage. Justifier
sa dénomination de « résistance négative ».
3 - Exprimer en fonction de i le courant iR . D’où provient la différence et comment est-elle compensée ?
On considère maintenant le montage dans son ensemble.
4 - Établir l’équation différentielle vérifiée par i. Discuter les différentes solutions de cette équation et leur stabilité.
Comment évolue l’amplitude des oscillations au cours du temps ?
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1
Double bouclage sur + et − donc fonctionnement linéaire possible mais pas certain.
2
Potentiel de sortie de l’ALI exprimé à partir de la boucle de rétroaction négative :
vs = u − RN i
Potentiel de sortie de l’ALI avec la rétroaction positive : les deux résistances R forment un pont diviseur de tension,
on peut donc introduire dans le calcul v+ = v− = u, soit
v+
R
=
vs
R+R
vs = 2v+ = 2u
soit
Et finalement
u − RN i = 2u
soit
u = −RN i
Comme l’impédance d’entrée est orientée en convention récepteur, on a bien équivalence avec une loi d’Ohm d’une
résistance négative.
3
ALI idéal donc i− = i+ = 0. Loi d’Ohm sur la résistance RN :
u − vs = RN i = RiR
d’où
iR =
RN
i.
R
Différence provient du courant de sortie de l’ALI, qui est inconnu a priori (et qui n’a aucune raison d’être tout le
temps nul, et ne peut même jamais l’être dans le montage). Comme le courant de sortie du montage à résistance
négative est également i (évident vu le circuit complet), on en déduit qu’une partie du courant part dans le fil
connecté à la masse. C’est une remarque très générale : le fait de placer la masse à un endroit du circuit a un effet sur
les tensions, mais aussi sur les intensités, la masse peut toujours « faire disparaître » ou « créer » un courant qu’on
ne peut pas connaître a priori, et qui n’a aucune raison d’être nul.
4
Loi des mailles en convention récepteur pour tout le monde :
u + uC + uL + u0 = 0
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Colles semaine 15, sujet B : ALI et électrostatique
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Tout le monde est parcouru par le même courant i, donc les lois de comportement donnent :
−RN i + uC + L
di
+ R0 i = 0
dt
Il faut dériver pour utiliser la loi de comportement du condensateur :
−RN
di
di
i
d2 i
+ + L 2 + R0
=0
dt
C
dt
dt
Soit en ordonnant les dérivées :
di
d2 i
1
+ (R0 − RN ) + i = 0
dt2
dt
C
Discussion de stabilité des solutions en fonction du signe de R0 − RN . Dans le cas instable l’amplitude des oscillations
finit par saturer lorsque vs = ±Vsat , et l’équation différentielle obtenue n’est plus valable car l’ALI passe en régime
saturé. Le montage change donc de comportement.
L
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Colles semaine 15, sujet C
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
ALI et électrostatique
Question de cours
Calculer le champ électrostatique créé par une boule chargée en volume avec une densité de charge uniforme ρ0 .
Exercice 1 : Oscillateur à ALI
R2
ε
v1
+
−
R3
R1
C3
Dans le montage ci-contre, l’ALI fonctionne en régime saturé. On note ε =
v+ − v− la tension différentielle à l’entrée de l’ALI. On suppose qu’à t = 0 ,
le condensateur C3 est déchargé et ε > 0. On pose
.
v3
α=
vs
R1
R1 + R2
et
τ = R3 C3
Données : R1 = 19,6 kΩ, R2 = 40,2 kΩ, R3 = 100 kΩ, C3 = 471 pF, Vsat =
15 V.
1 - Exprimer v3 (t) pour t > 0 et tant que l’état de saturation de l’ALI reste le même. En déduire qu’il existe t1 tel
que l’ALI bascule en saturation basse. Déterminer t1 en fonction de τ et α.
2 - Montrer qu’il existe t2 > t1 tel que l’ALI bascule en saturation haute. Déterminer t2 − t1 en fonction de τ et α.
3 - Montrer que vs (t) et v3 (t) sont des signaux périodiques, dont on note la période T .
4 - Tracer l’allure des variations de vs (t) en fonction de v3 (t). Indiquer sur le graphe son sens de parcours.
5 - Montrer que la période T peut s’écrire
1+α
.
1−α
La calculer numériquement ainsi que la fréquence correspondante.
T = 2τ ln
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Voir le site de François-Xavier Coq, http://www.lycee-pothier.com/LYCEE/psi/file/physique/exercices/
TraitSignal_Oscillateurs/OSCILL26.pdf
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Étienne Thibierge, 19 janvier 2017, www.etienne-thibierge.fr