Préparation à l`agrégation de physique de l`ENS Lyon Cours de

Préparation à l’agrégation de physique de l’ENS Lyon
Cours de Mécanique quantique
Ces notes survolent rapidement une partie des connaissances utiles en mécanique
quantique pour l’agrégation de sciences physiques. On y trouvera des rappels sur les
principes de la mécanique quantique, l’évolution dans le temps d’un système quantique,
le moment cinétique et la théorie stationnaire des perturbations. Ces notions sont
illustrées à l’aide d’exemples tirés de la physique atomique et de la physique du solide.

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Table des matières
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Approche historique 9
1.1 Des premières idées aux développements les plus récents . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Prémices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 L’hypothèse des quanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Mise en aplication et succès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Expériences fondatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Expériences-Résultats les plus marquants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 L’expérience de Davisson et Germer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 L’expérience de Stern & Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Les postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Signification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 L’évolution temporelle d’un système quantique 19
2.1 L’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Détail du cas stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Espace des états et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 L’espace des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Notion d’observable ..................................... 23
2.2.3 RAJOUT :Théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Évolution d’un paquet d’ondes libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 N H3en champ extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Moment cinétique orbital - Spin 29
3.1 Moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Construction à partir du cas classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Le spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Un degré de liberté nouveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Lien avec le moment magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Résonance magnétique nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 ANNEXES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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TABLE DES MATIÈRES
3.4.1 Valeurs de j pour le moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.2 Quantification de~ J2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.3 Composition de moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Éléments de théorie (stationnaire) des perturbations 43
4.1 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 But . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.2 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Calcul des premiers ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Premier ordre : énergie et états propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2 Énergies propres pour l’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Utilisation sur des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1 Oscillateur harmonique perturbé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2 Effet Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Rajouts 49
Compléments sur la conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Travaux dirigés : sujets 53
Diffusion par des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Physique statistique et mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Travaux dirigés : Corrigés 69
TD1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
TD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
TD3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
TD4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
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Bibliographie
Bibliographie
Quantique, Jean-Marc Lévy-Leblond et Françoise Balibard
Physique quantique, Michel Le Bellac
Mécanique quantique, T.I & II, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu & Frank Laloé
Mécanique quantique, Jean-Louis Basdevant, Jean Dalibard & Manuel Joffre
Cours de Berkeley, Mécanique quantique
Mécanique quantique T.I & II, Albert Messiah
Comprendre la mécanique quantique, Roland Omnès
Pour aller plus loin :
Quantum Mechanics, Leslie Ballentine
Modern quantum mechanics, J. J. Sakurai
Livres riches en exemples et illustrations :
Problèmes quantiques, Jean-Louis Basdevant
Introduction à l’information quantique, Michel Le Bellac
Physique atomique, Bernard Cagnac
Physique des lasers, Bernard Cagnac
Physique des solides, Neil Ashcroft et David Mermin
Physique de l’état solide, Charles Kittel
Méthodes mathématiques :
Mathematical methods for physicists, Arfken
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