résumé

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ÉVALUATION D’UN CRITERE DE STABILITE ANALYTIQUE POUR PREDIRE
LA HAUTEUR AVANT MOUVEMENT DES GOUTTES DE SURFACE SOUMISES
AUX FORCES AERODYNAMIQUES ET GRAVITATIONNELLE
Guy Fortin*
Jean-Louis Laforte†
Université du Québec à Chicoutimi, Chicoutimi, Québec, Canada
RÉSUMÉ
Lors d’une accrétion de verglas en régime humide, les gouttelettes d’eau en surfusion viennent
frapper la paroi d’un objet. Elles vont s’unir et former des gouttes de surface qui vont croître et
engendrer des ruisselets de surface ou un film d’eau dépendamment de l’intensité de captation. En ce
moment, l’état de l’eau qui repose sur la paroi est prédit à l’aide de modèles empiriques. Le présent
travail propose un critère de stabilité analytique qui prédit le mouvement des gouttes de surface sous
l’action du vent et sous l’effet de l’inclinaison de la paroi. Le critère de stabilité choisi est la hauteur
des gouttes. Il est développé à partir de l’équation d’équilibre des forces parallèles à la paroi qui
agissent sur la goutte déformée, ces forces étant engendrées par la densité et la tension de surface de
l’eau, l’angle et l’hystérésis de contact de la goutte avec la paroi, l’accélération gravitationnelle,
l’inclinaison de la paroi et le cisaillement dû au vent. La procédure de vérification du critère se
compose de trois expériences effectuées avec des gouttes déposées sur une plaque en aluminium 2024
de fini de surface industriel. La première expérience a consisté à mesurer l’angle de contact, ce dernier
étant de 74°. Dans la deuxième expérience, le critère est vérifié lorsque le vent est nulle. La plaque est
inclinée à deux valeurs d’angle (80° et 90°), le volume de la goutte est augmenté tant que la goutte
demeure statique et la déformation angulaire est mesurée pour chaque volume. La déformation
angulaire maximale représente l’hystérésis de contact qui est de 41°. Dans la troisième expérience le
critère est vérifié lorsque l’inclinaison de la plaque est nulle. Une goutte de volume fixe est déposée
sur la plaque, la vitesse est accrue tant que la goutte demeure statique et la vitesse maximale est
enregistrée. Dans les deux cas, le critère analytique a prédit la hauteur de la goutte avant mouvement
avec une précision de 30%.
* Graduate student, Applied Sciences Department, Universite du Quebec a Chicoutimi, 555 boulevard
de l’Universite, Chicoutimi, Quebec, Canada, G7H 2B1, [email protected], Student member
AIAA.
† Professor, Applied Sciences Department and Director of the Anti-Icing Materials International
Laboratory, Universite du Quebec a Chicoutimi, 555 boulevard de l’Universite, Chicoutimi, Quebec,
Canada, G7H 2B1, jean-l[email protected].
NOMENCLATURE
Ac : Section de contact, m2.
Af : Section frontale, m2.
At : Section de transfert, m2.
CD : Coefficient de traînée.
CG : Coefficient de l’écoulement.
CL : Coefficient de portance.
dd : Diamètre des gouttelettes d’eau en
surfusion, m.
eb : Hauteur des gouttes de surface, m.
Fg : Force gravitationnelle, N.
FgW : Force gravitationnelle parallèle au
panneau, N.
Fσ : Force de tension, N.
FσW : Force de rigidité parallèle au panneau, N.
FD : Force de traînée, N.
FL : Force de portance, N.
FP : Force de pression, N.
FW : Force d'écoulement, N.
g : Accélération gravitationnelle, m/s2.
P : Pression, Pa.
rb : Rayon de contact des gouttes de surface,
m.
R : Constante des gaz, J/(kg K).
Rb : Rayon des gouttes de surface, m.

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Re : Nombre de Reynolds.
Ta : Température à la frontière de la couche
limite, K.
Tw : Température moyenne de l’eau en phase
liquide, K.
U∞ : Vitesse de l’écoulement potentiel non
perturbé, m/s.
V : Volume, m3.
Vw : Vitesse des gouttelettes d’eau en surfusion,
m/s.
δ : Épaisseur de la couche limite, m.
τw : Contrainte de cisaillement à la paroi, Pa.
∆θc : Hystérésis, degré.
φ : Paramètre φ pour la collection.
ρ : Densité, kg/m3.
θc : Angle de contact, degré.
θ : Angle, degré.
µ : Viscosité dynamique, Pa s.
σ : Tension de surface, N/m .
INTRODUCTION
Les forces qui agissent sur une goutte de
surface immobile sont la tension de surface, la
pression interne, la force de gravité, la force
aérodynamique et, finalement, la réaction de la
paroi. La pression interne équilibre la tension de
surface, la réaction de paroi équilibre la gravité
et la force aérodynamique est nulle lorsque la
goutte de surface repose sur une surface
horizontale et que le vent est nul. Si la surface
s’incline ou que le vent apparaît, alors la goutte
de surface se déforme. La déformation produit un
déséquilibre entre la tension de surface et la
pression interne qui vient compenser la
composante de la gravité suivant la pente et la
force aérodynamique. La situation se décrit par
deux équations de force. L’équation des
composantes dans la direction normale au plan
de la surface décrit la résistance de la goutte à
l’arrachement, mais cette partie n’est pas
développée dans cette étude et l’équation des
composantes dans la direction parallèle au plan
de la surface traduit la résistance de la goutte à
l’écoulement. La pression interne n’a pas de
composante dans ce plan, par contre la tension de
surface a une composante non nulle, appelée
force de rigidité, qui est due à la variation de
l’angle de contact le long du périmètre de contact
de la goutte de surface avec la paroi. Cette
variation est appelée hystérésis de contact.
La force de rigidité qui définie le
déséquilibre entre la force de tension de surface
et de pression s’oppose à la composante de
gravité selon l’inclinaison de la surface et à la
traînée qui est la force aérodynamique dans le
sens du vent agissant dans le plan de la surface.
Comme la démontré Al-Khalil1 pour une goutte
d’eau reposant sur une surface de glace,
l’hystérésis ne peut excéder une valeur maximale
donnée qui est fixée par la rugosité et la
température de la surface. À ce moment, la
goutte de surface ne se déforme plus mais se met
en mouvement car les forces gravitationnelle et
aérodynamique produisent une déformation qui
tend à dépasser la force de rigidité qui est limitée
par l’hystérésis maximale. La forme et le volume
de la goutte de surface déterminent l'état
d'existence de l'eau liquide qui repose sur l'objet
(gouttes de surface, ruisselet, film). La forme et
le volume peuvent être exprimés en fonction de
la hauteur lorsque l’angle de contact et
l’hystérésis de contact de la goutte de surface
sont connus. La hauteur de la goutte de surface
est utilisée comme facteur de taille et défini le
critère de stabilité. Le critère de stabilité limite la
croissance des gouttes de surface. Il est défini à
partir de l’équation d’équilibre des forces dans la
direction parallèle au plan.
En résumé, la goutte de surface se déforme
sous l’effet du vent et / ou de la gravité, cette
déformation produit une hystérésis de l’angle de
contact le long du périmètre de la goutte de
surface en contact avec la surface. Les gouttes de
surface se mettent en mouvement lorsque
l’hystérésis est supérieure à la valeur maximale
permise.
OBJECTIF
Définir un critère de stabilité qui limite la
croissance des gouttes de surface à partir de
l’équation d’équilibre des forces qui agissent sur
la goutte de surface et vérifier les équations de
force qui le compose. L’approche choisie est de
vérifier l’équilibre des forces gravifiques et

3
aérodynamiques séparément à l’aide de deux
expériences distinctes.
PROBLÈME
Le problème qui doit être résolue est de
caractériser la forme de la goutte de surface de
telle façon qu’un critère de stabilité de
mouvement puisse être développé en solvant
l’équation d’équilibre des forces agissant sur une
goutte de surface. Le critère de stabilité choisi est
la hauteur de la goutte de surface et il s’agit
maintenant de développer les équations de forces
selon ce critère.
Définition d’une goutte de surface
Une goutte de surface possède un volume
constant distribué sur une surface plane selon
une sphère partielle (Figure 1 a).
a b
Figure 1: a) Angle et b) hystérésis de contact.
La sphère partielle est décrite par un rayon
et un angle de contact qui dépend de la
température de la paroi et de la rugosité lorsque
la goutte de surface est non déformée. La goutte
de surface se déforme sous l’effet du vent et / ou
de la gravité à ce moment, son volume ne peut
plus être défini par une sphère partielle, cette
déformation entraîne une variation de l’angle de
contact le long du périmètre de la surface de
contact de la goutte. La variation de l’angle de
contact est appelée hystérésis de contact (Figure
1 b).
Forces agissant sur une goutte
Les forces agissant sur une goutte de
surface sont les forces de rigidité et
d’arrachement induites par la tension de surface,
la force de pression interne induite par la poussée
d’Archimède, la force de gravité induite par
l’accélération gravitationnelle et l’orientation de
la surface de l’objet et finalement, les forces
aérodynamiques dont la force de traînée et la
force de portance qui sont engendrées par
l’écoulement d’air autour de l’objet (Figure 2).
non déformée
déformée
Figure 2: Force agissant sur une goutte.
Hypothèses
La géométrie d’une goutte de surface
déformée est très complexe. Une hypothèse
simplificatrice est utilisée, la distribution de
l'hystérésis le long du périmètre de la goutte de
surface en contact avec la paroi suit une
distribution cosinusoïdale telle que montrée à la
Figure 3.
Figure 3: Distribution de l'hystérésis de contact.
L’idéalisation de la distribution
cosinusoïdale de l’hystérésis de contact
()
ϕ⋅
θ∆
−θ=θ cos
2
c
c (1)
Elle implique que 2
c
cr
θ∆
−θ=θ et
2
c
ca
θ∆
+θ=θ . Cette hypothèse permet de calculer
la force de rigidité qui est fortement liée à la
géométrie de la goutte de surface, tandis que les
forces de pression interne, aérodynamique et
gravitationnelle sont calculées en supposant que
la géométrie de la goutte de surface est une
sphère partielle définie par l’angle de contact.
Force de rigidité
La force de rigidité est induite par la
composante de la force de tension de surface
parallèle à la paroi (Figure 4). La force de

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tension de surface est proportionnelle à la tension
de surface et à la taille de la goutte de surface.
∫π⋅
σϕ⋅⋅σ= 2
0wdrF (2)
Figure 4: Répartition de la tension de surface.
La force de rigidité s'oppose à la force de
vent et à la fraction de la force gravitationnelle
selon l’axe de mouvement. Elle est calculée en
intégrant la composante de la force de tension de
surface qui agi selon l’axe de mouvement
lorsque le rayon est exprimé selon la hauteur de
la goutte de surface non déformée et en
considérant que l’hystérésis de contact est faible.
() () ()
()
∫π⋅
σϕ⋅
⋅
θ−
θ
⋅ϕ⋅θ⋅σ= 2
0b
c
c
wde
cos1
sin
coscosF (3)
Après intégration, la force de rigidité est
exprimée en fonction de la tension de surface de
l'eau, de l'angle de contact, de l’hystérésis de
contact et de la hauteur de la goutte de surface.
() []
cbcw
2
1
Wecos1F θ∆⋅⋅θ+⋅π⋅σ⋅= σ (4)
La force élémentaire (par unité d’angle) est
la partie de l'équation de la force élémentaire de
rigidité qui ne dépend pas de l'hystérésis de
contact.
() []
bcw
2
1
Wecos1f ⋅θ+⋅π⋅σ⋅= (5)
Force d’arrachement
La force d’arrachement est induite par la
composante de la force de tension de surface
normale à la paroi (Figure 4). La force
d’arrachement s'oppose à la force de vent et à la
fraction de la force gravitationnelle selon l’axe
d’arrachement. Elle est calculée en intégrant la
composante de la force de tension de surface qui
agi selon l’axe d’arrachement lorsque le rayon
est exprimé selon la hauteur de la goutte de
surface non déformée et en considérant que
l’hystérésis de contact est faible.
() ()
()
∫π⋅
σϕ⋅
⋅
θ−
θ
⋅θ⋅σ= 2
0b
c
c
wde
cos1
sin
sinF (6)
Après intégration, la force d’arrachement
est exprimée en fonction de la tension de surface
de l'eau, de l'angle de contact et de la hauteur de
la goutte de surface.
() []
bcwA ecos12F ⋅θ+⋅π⋅σ⋅= σ (7)
Il existe une surpression dans les gouttes
de surface qui s’oppose directement à la force
d’arrachement. Comme l’hystérésis ne provoque
pas de variation importante dans la force
d’arrachement, celle-ci reste équilibrée par la
surpression.
Force de pression
La force de pression est induite par la
différence de pression entre l'extérieur et
l'intérieur de la goutte de surface. Elle est
proportionnelle à la densité de l'eau, à la surface
sur laquelle la pression est exercée, à la hauteur
de la goutte de surface et à l'accélération
gravitationnelle. Elle est équivalente à la poussée
d’Archimède qui est calculée en considérant
seulement la densité du fluide, son volume et
l’accélération gravitationnelle.
gVF bwA ⋅⋅ρ= (8)
Force de pression parallèle à la paroi
La force de pression lorsque calculée pour
une goutte de surface non déformée agi dans
l’axe normale à la paroi et ne possède aucune
composante parallèle à la paroi ou à l’axe de
mouvement.
0FpW = (9)
Force de pression normale à la paroi
La force de pression lorsque calculée pour
une goutte de surface non déformée agi dans
l’axe normale à la paroi et elle est équivalente à
la poussé d’Archimède.
gVF bwpA ⋅⋅ρ= (10)
Force gravitationnelle
La force gravitationnelle est induite par
l’accélération gravitationnelle et l’orientation de
l’objet. Elle est proportionnelle à l'accélération
gravitationnelle et au poids de la goutte de
surface.
gVF bwg ⋅⋅ρ= (11)

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Elle est exprimée par l'accélération
gravitationnelle, la densité de l'eau en phase
liquide, l'angle de contact, l'angle de la paroi
avec le plan horizontal et le volume de la goutte
de surface non déformée.
()
()
3
b
c
c
wgW e
cos1
cos2
g
3
F⋅
θ−
θ+
⋅ρ⋅⋅
π
= (12)
Force gravitationnelle parallèle à la paroi
La force gravitationnelle parallèle à la
paroi est la composante de l'accélération
gravitationnelle parallèle à l’axe de mouvement.
()
() ()
3
b
c
c
wgW esin
cos1
cos2
g
3
F⋅ϕ⋅
θ−
θ+
⋅ρ⋅⋅
π
= (13)
Force gravitationnelle normale à la paroi
La force gravitationnelle normale à la paroi
est la composante de l'accélération
gravitationnelle parallèle l’axe d’arrachement.
()
() ()
3
b
c
c
wgA ecos
cos1
cos2
g
3
F⋅ϕ⋅
θ−
θ+
⋅ρ⋅⋅
π
= (14)
Forces aérodynamiques
Force de traînée
La force de traînée est la force de vent
parallèle à la paroi qui entraîne les gouttes de
surface et elle est engendrée par l’écoulement
d’air selon l’axe de mouvement (Figure 5).
Figure 5: Écoulement autour d'une demi-sphère.
Elle est déduite de l’expression générale de
la force de traînée qui est exprimée par la densité
de l’air, le coefficient de frottement de la goutte
de surface dans l’air, la section frontale de la
goutte de surface perpendiculaire à l’écoulement
et la vitesse moyenne de la goutte de surface.
2
abDa
2
1
DUAfCF ⋅⋅⋅ρ⋅= (15)
Le coefficient de traînée mesuré pour une
sphère dans un écoulement d’air lorsque le
nombre de Reynolds de la sphère est inférieur à
1X105 est montré à la Figure 6.
Figure 6: Coefficient de frottement d’une sphère.
Le coefficient de traînée pour une sphère
est calculé avec la loi de Stoke2 lorsque le
nombre de Reynolds de la sphère est inférieur à
100. Un écoulement d’air laminaire est assumé
autour de la sphère.
b
DRe
24
C= (16)
Le nombre de Reynolds de la goutte de
surface considéré comme équivalent au nombre
de Reynolds de la sphère est basé sur le double
de la hauteur de la goutte de surface.
()
ba
a
a
de2URe ⋅⋅⋅
µ
ρ
= (17)
Le coefficient de traînée pour une sphère
est fixé à 0.44 lorsque le nombre de Reynolds de
la sphère est supérieur à 100. Un écoulement
d’air turbulent est assumé autour de la sphère.
44.0CD= (18)
La vitesse de l’air au niveau de la goutte de
surface est déduite de la contrainte de
cisaillement à la paroi et de la condition de non-
glissement à la paroi.
La valeur moyenne de la vitesse est
évaluée avec l’expression de la contrainte de
cisaillement à la paroi en régime laminaire.
dy
dU
aw ⋅µ−=τ (19)
L’expression de la vitesse en régime
laminaire est donnée par l’intégration de
l’expression de la contrainte de cisaillement à la
paroi en régime laminaire.
yU
a
w
a⋅
µ
τ
= (20)
L’expression de la vitesse moyenne de la
goutte de surface en régime laminaire est donnée