résumé

ÉVALUATION D’UN CRITERE DE STABILITE ANALYTIQUE POUR PREDIRE
LA HAUTEUR AVANT MOUVEMENT DES GOUTTES DE SURFACE SOUMISES
AUX FORCES AERODYNAMIQUES ET GRAVITATIONNELLE
Guy Fortin*
Jean-Louis Laforte†
Université du Québec à Chicoutimi, Chicoutimi, Québec, Canada
RÉSUMÉ
Lors d’une accrétion de verglas en régime humide, les gouttelettes d’eau en surfusion viennent
frapper la paroi d’un objet. Elles vont s’unir et former des gouttes de surface qui vont croître et
engendrer des ruisselets de surface ou un film d’eau dépendamment de l’intensité de captation. En ce
moment, l’état de l’eau qui repose sur la paroi est prédit à l’aide de modèles empiriques. Le présent
travail propose un critère de stabilité analytique qui prédit le mouvement des gouttes de surface sous
l’action du vent et sous l’effet de l’inclinaison de la paroi. Le critère de stabilité choisi est la hauteur
des gouttes. Il est développé à partir de l’équation d’équilibre des forces parallèles à la paroi qui
agissent sur la goutte déformée, ces forces étant engendrées par la densité et la tension de surface de
l’eau, l’angle et l’hystérésis de contact de la goutte avec la paroi, l’accélération gravitationnelle,
l’inclinaison de la paroi et le cisaillement dû au vent. La procédure de vérification du critère se
compose de trois expériences effectuées avec des gouttes déposées sur une plaque en aluminium 2024
de fini de surface industriel. La première expérience a consisté à mesurer l’angle de contact, ce dernier
étant de 74°. Dans la deuxième expérience, le critère est vérifié lorsque le vent est nulle. La plaque est
inclinée à deux valeurs d’angle (80° et 90°), le volume de la goutte est augmenté tant que la goutte
demeure statique et la déformation angulaire est mesurée pour chaque volume. La déformation
angulaire maximale représente l’hystérésis de contact qui est de 41°. Dans la troisième expérience le
critère est vérifié lorsque l’inclinaison de la plaque est nulle. Une goutte de volume fixe est déposée
sur la plaque, la vitesse est accrue tant que la goutte demeure statique et la vitesse maximale est
enregistrée. Dans les deux cas, le critère analytique a prédit la hauteur de la goutte avant mouvement
avec une précision de 30%.
NOMENCLATURE
Fσ : Force de tension, N.
Ac : Section de contact, m2.
FσW : Force de rigidité parallèle au panneau, N.
Af : Section frontale, m2.
FD : Force de traînée, N.
At : Section de transfert, m2.
FL : Force de portance, N.
CD : Coefficient de traînée.
FP : Force de pression, N.
CG : Coefficient de l’écoulement.
FW : Force d'écoulement, N.
CL : Coefficient de portance.
g : Accélération gravitationnelle, m/s2.
dd : Diamètre des gouttelettes d’eau en P : Pression, Pa.
surfusion, m.
rb : Rayon de contact des gouttes de surface,
eb : Hauteur des gouttes de surface, m.
m.
Fg : Force gravitationnelle, N.
R : Constante des gaz, J/(kg K).
FgW : Force
gravitationnelle
parallèle
au Rb : Rayon des gouttes de surface, m.
panneau, N.
*
Graduate student, Applied Sciences Department, Universite du Quebec a Chicoutimi, 555 boulevard
de l’Universite, Chicoutimi, Quebec, Canada, G7H 2B1, [email protected], Student member
AIAA.
†
Professor, Applied Sciences Department and Director of the Anti-Icing Materials International
Laboratory, Universite du Quebec a Chicoutimi, 555 boulevard de l’Universite, Chicoutimi, Quebec,
Canada, G7H 2B1, [email protected].
1
Re : Nombre de Reynolds.
Ta : Température à la frontière de la couche
limite, K.
Tw : Température moyenne de l’eau en phase
liquide, K.
U∞ : Vitesse de l’écoulement potentiel non
perturbé, m/s.
V : Volume, m3.
Vw : Vitesse des gouttelettes d’eau en surfusion,
m/s.
δ : Épaisseur de la couche limite, m.
τw : Contrainte de cisaillement à la paroi, Pa.
∆θc : Hystérésis, degré.
φ : Paramètre φ pour la collection.
ρ : Densité, kg/m3.
θc : Angle de contact, degré.
θ : Angle, degré.
µ : Viscosité dynamique, Pa s.
σ : Tension de surface, N/m .
INTRODUCTION
Les forces qui agissent sur une goutte de
surface immobile sont la tension de surface, la
pression interne, la force de gravité, la force
aérodynamique et, finalement, la réaction de la
paroi. La pression interne équilibre la tension de
surface, la réaction de paroi équilibre la gravité
et la force aérodynamique est nulle lorsque la
goutte de surface repose sur une surface
horizontale et que le vent est nul. Si la surface
s’incline ou que le vent apparaît, alors la goutte
de surface se déforme. La déformation produit un
déséquilibre entre la tension de surface et la
pression interne qui vient compenser la
composante de la gravité suivant la pente et la
force aérodynamique. La situation se décrit par
deux équations de force. L’équation des
composantes dans la direction normale au plan
de la surface décrit la résistance de la goutte à
l’arrachement, mais cette partie n’est pas
développée dans cette étude et l’équation des
composantes dans la direction parallèle au plan
de la surface traduit la résistance de la goutte à
l’écoulement. La pression interne n’a pas de
composante dans ce plan, par contre la tension de
surface a une composante non nulle, appelée
force de rigidité, qui est due à la variation de
2
l’angle de contact le long du périmètre de contact
de la goutte de surface avec la paroi. Cette
variation est appelée hystérésis de contact.
La force de rigidité qui définie le
déséquilibre entre la force de tension de surface
et de pression s’oppose à la composante de
gravité selon l’inclinaison de la surface et à la
traînée qui est la force aérodynamique dans le
sens du vent agissant dans le plan de la surface.
Comme la démontré Al-Khalil1 pour une goutte
d’eau reposant sur une surface de glace,
l’hystérésis ne peut excéder une valeur maximale
donnée qui est fixée par la rugosité et la
température de la surface. À ce moment, la
goutte de surface ne se déforme plus mais se met
en mouvement car les forces gravitationnelle et
aérodynamique produisent une déformation qui
tend à dépasser la force de rigidité qui est limitée
par l’hystérésis maximale. La forme et le volume
de la goutte de surface déterminent l'état
d'existence de l'eau liquide qui repose sur l'objet
(gouttes de surface, ruisselet, film). La forme et
le volume peuvent être exprimés en fonction de
la hauteur lorsque l’angle de contact et
l’hystérésis de contact de la goutte de surface
sont connus. La hauteur de la goutte de surface
est utilisée comme facteur de taille et défini le
critère de stabilité. Le critère de stabilité limite la
croissance des gouttes de surface. Il est défini à
partir de l’équation d’équilibre des forces dans la
direction parallèle au plan.
En résumé, la goutte de surface se déforme
sous l’effet du vent et / ou de la gravité, cette
déformation produit une hystérésis de l’angle de
contact le long du périmètre de la goutte de
surface en contact avec la surface. Les gouttes de
surface se mettent en mouvement lorsque
l’hystérésis est supérieure à la valeur maximale
permise.
OBJECTIF
Définir un critère de stabilité qui limite la
croissance des gouttes de surface à partir de
l’équation d’équilibre des forces qui agissent sur
la goutte de surface et vérifier les équations de
force qui le compose. L’approche choisie est de
vérifier l’équilibre des forces gravifiques et
aérodynamiques séparément à l’aide de deux
expériences distinctes.
PROBLÈME
Le problème qui doit être résolue est de
caractériser la forme de la goutte de surface de
telle façon qu’un critère de stabilité de
mouvement puisse être développé en solvant
l’équation d’équilibre des forces agissant sur une
goutte de surface. Le critère de stabilité choisi est
la hauteur de la goutte de surface et il s’agit
maintenant de développer les équations de forces
selon ce critère.
Définition d’une goutte de surface
Une goutte de surface possède un volume
constant distribué sur une surface plane selon
une sphère partielle (Figure 1 a).
a
b
Figure 1: a) Angle et b) hystérésis de contact.
La sphère partielle est décrite par un rayon
et un angle de contact qui dépend de la
température de la paroi et de la rugosité lorsque
la goutte de surface est non déformée. La goutte
de surface se déforme sous l’effet du vent et / ou
de la gravité à ce moment, son volume ne peut
plus être défini par une sphère partielle, cette
déformation entraîne une variation de l’angle de
contact le long du périmètre de la surface de
contact de la goutte. La variation de l’angle de
contact est appelée hystérésis de contact (Figure
1 b).
Forces agissant sur une goutte
Les forces agissant sur une goutte de
surface sont les forces de rigidité et
d’arrachement induites par la tension de surface,
la force de pression interne induite par la poussée
d’Archimède, la force de gravité induite par
l’accélération gravitationnelle et l’orientation de
la surface de l’objet et finalement, les forces
aérodynamiques dont la force de traînée et la
force de portance qui sont engendrées par
l’écoulement d’air autour de l’objet (Figure 2).
3
non déformée
déformée
Figure 2: Force agissant sur une goutte.
Hypothèses
La géométrie d’une goutte de surface
déformée est très complexe. Une hypothèse
simplificatrice est utilisée, la distribution de
l'hystérésis le long du périmètre de la goutte de
surface en contact avec la paroi suit une
distribution cosinusoïdale telle que montrée à la
Figure 3.
Figure 3: Distribution de l'hystérésis de contact.
L’idéalisation
de
la
distribution
cosinusoïdale de l’hystérésis de contact
θ = θc −
Elle
θa = θc +
∆θ c
2
∆θ c
⋅ cos(ϕ )
2
implique
que
(1)
θr = θ c −
∆θ c
2
et
. Cette hypothèse permet de calculer
la force de rigidité qui est fortement liée à la
géométrie de la goutte de surface, tandis que les
forces de pression interne, aérodynamique et
gravitationnelle sont calculées en supposant que
la géométrie de la goutte de surface est une
sphère partielle définie par l’angle de contact.
Force de rigidité
La force de rigidité est induite par la
composante de la force de tension de surface
parallèle à la paroi (Figure 4). La force de
tension de surface est proportionnelle à la tension
de surface et à la taille de la goutte de surface.
Fσ =
2⋅ π
∫σ
0
w
⋅ r ⋅ dϕ
(2)
Figure 4: Répartition de la tension de surface.
La force de rigidité s'oppose à la force de
vent et à la fraction de la force gravitationnelle
selon l’axe de mouvement. Elle est calculée en
intégrant la composante de la force de tension de
surface qui agi selon l’axe de mouvement
lorsque le rayon est exprimé selon la hauteur de
la goutte de surface non déformée et en
considérant que l’hystérésis de contact est faible.
Fσ =
∫
2⋅π
0
 sin(θ c )

σ w ⋅ cos(θ) ⋅ cos(ϕ ) ⋅ 
⋅ e b  ⋅ dϕ
 1 − cos(θ c )

(3)
Après intégration, la force de rigidité est
exprimée en fonction de la tension de surface de
l'eau, de l'angle de contact, de l’hystérésis de
contact et de la hauteur de la goutte de surface.
FσW = 12 ⋅ σ w ⋅ π ⋅ [1 + cos(θ c )] ⋅ e b ⋅ ∆θ c
(4)
La force élémentaire (par unité d’angle) est
la partie de l'équation de la force élémentaire de
rigidité qui ne dépend pas de l'hystérésis de
contact.
fW = 12 ⋅ σ w ⋅ π ⋅ [1 + cos(θ c )] ⋅ e b
(5)
Force d’arrachement
La force d’arrachement est induite par la
composante de la force de tension de surface
normale à la paroi (Figure 4). La force
d’arrachement s'oppose à la force de vent et à la
fraction de la force gravitationnelle selon l’axe
d’arrachement. Elle est calculée en intégrant la
composante de la force de tension de surface qui
agi selon l’axe d’arrachement lorsque le rayon
est exprimé selon la hauteur de la goutte de
surface non déformée et en considérant que
l’hystérésis de contact est faible.
4
Fσ =
∫
2⋅π
0
 sin(θ c )

σ w ⋅ sin(θ) ⋅ 
⋅ e b  ⋅ dϕ
(
)
1
−
cos
θ
c


(6)
Après intégration, la force d’arrachement
est exprimée en fonction de la tension de surface
de l'eau, de l'angle de contact et de la hauteur de
la goutte de surface.
FσA = 2 ⋅ σ w ⋅ π ⋅ [1 + cos(θ c )] ⋅ e b
(7)
Il existe une surpression dans les gouttes
de surface qui s’oppose directement à la force
d’arrachement. Comme l’hystérésis ne provoque
pas de variation importante dans la force
d’arrachement, celle-ci reste équilibrée par la
surpression.
Force de pression
La force de pression est induite par la
différence de pression entre l'extérieur et
l'intérieur de la goutte de surface. Elle est
proportionnelle à la densité de l'eau, à la surface
sur laquelle la pression est exercée, à la hauteur
de la goutte de surface et à l'accélération
gravitationnelle. Elle est équivalente à la poussée
d’Archimède qui est calculée en considérant
seulement la densité du fluide, son volume et
l’accélération gravitationnelle.
FA = ρ w ⋅ Vb ⋅ g
(8)
Force de pression parallèle à la paroi
La force de pression lorsque calculée pour
une goutte de surface non déformée agi dans
l’axe normale à la paroi et ne possède aucune
composante parallèle à la paroi ou à l’axe de
mouvement.
FpW = 0
(9)
Force de pression normale à la paroi
La force de pression lorsque calculée pour
une goutte de surface non déformée agi dans
l’axe normale à la paroi et elle est équivalente à
la poussé d’Archimède.
FpA = ρ w ⋅ Vb ⋅ g
(10)
Force gravitationnelle
La force gravitationnelle est induite par
l’accélération gravitationnelle et l’orientation de
l’objet. Elle est proportionnelle à l'accélération
gravitationnelle et au poids de la goutte de
surface.
Fg = ρ w ⋅ Vb ⋅ g
(11)
Elle est exprimée
gravitationnelle, la densité
liquide, l'angle de contact,
avec le plan horizontal et le
de surface non déformée.
FgW =
par l'accélération
de l'eau en phase
l'angle de la paroi
volume de la goutte
2 + cos(θ c ) 3
π
⋅ g ⋅ ρw ⋅
⋅ eb
3
1 − cos(θc )
(12)
Force gravitationnelle parallèle à la paroi
La force gravitationnelle parallèle à la
paroi est la composante de l'accélération
gravitationnelle parallèle à l’axe de mouvement.
FgW
2 + cos(θ c )
π
= ⋅ g ⋅ ρw ⋅
⋅ sin(ϕ ) ⋅ e b3
3
1 − cos(θ c )
(13)
Force gravitationnelle normale à la paroi
La force gravitationnelle normale à la paroi
est
la
composante
de
l'accélération
gravitationnelle parallèle l’axe d’arrachement.
FgA
2 + cos(θ c )
π
= ⋅ g ⋅ ρw ⋅
⋅ cos(ϕ ) ⋅ e b3
3
1 − cos(θ c )
(14)
Forces aérodynamiques
Force de traînée
La force de traînée est la force de vent
parallèle à la paroi qui entraîne les gouttes de
surface et elle est engendrée par l’écoulement
d’air selon l’axe de mouvement (Figure 5).
Figure 5: Écoulement autour d'une demi-sphère.
Elle est déduite de l’expression générale de
la force de traînée qui est exprimée par la densité
de l’air, le coefficient de frottement de la goutte
de surface dans l’air, la section frontale de la
goutte de surface perpendiculaire à l’écoulement
et la vitesse moyenne de la goutte de surface.
FD = 21 ⋅ ρ a ⋅ CD ⋅ Afb ⋅ Ua2
(15)
Le coefficient de traînée mesuré pour une
sphère dans un écoulement d’air lorsque le
nombre de Reynolds de la sphère est inférieur à
1X105 est montré à la Figure 6.
Figure 6: Coefficient de frottement d’une sphère.
Le coefficient de traînée pour une sphère
est calculé avec la loi de Stoke2 lorsque le
nombre de Reynolds de la sphère est inférieur à
100. Un écoulement d’air laminaire est assumé
autour de la sphère.
CD =
24
Re b
(16)
Le nombre de Reynolds de la goutte de
surface considéré comme équivalent au nombre
de Reynolds de la sphère est basé sur le double
de la hauteur de la goutte de surface.
Re d =
ρa
⋅ Ua ⋅ (2 ⋅ e b )
µa
(17)
Le coefficient de traînée pour une sphère
est fixé à 0.44 lorsque le nombre de Reynolds de
la sphère est supérieur à 100. Un écoulement
d’air turbulent est assumé autour de la sphère.
CD = 0.44
(18)
La vitesse de l’air au niveau de la goutte de
surface est déduite de la contrainte de
cisaillement à la paroi et de la condition de nonglissement à la paroi.
La valeur moyenne de la vitesse est
évaluée avec l’expression de la contrainte de
cisaillement à la paroi en régime laminaire.
τ w = −µ a ⋅
dU
dy
(19)
L’expression de la vitesse en régime
laminaire est donnée par l’intégration de
l’expression de la contrainte de cisaillement à la
paroi en régime laminaire.
Ua =
τw
⋅y
µa
(20)
L’expression de la vitesse moyenne de la
goutte de surface en régime laminaire est donnée
5
par l’intégration de l’expression de la vitesse en
régime laminaire.
1
⋅
Ua =
eb
∫
eb
0
τw
1 τ
⋅ y ⋅ dy = ⋅ w ⋅ e b
µa
2 µa
(21)
La valeur moyenne de la vitesse est
évaluée avec l’expression de la contrainte de
cisaillement à la paroi en régime turbulent. Une
expression analogue a été développée en régime
turbulent en combinant une viscosité laminaire et
turbulente.
Ua =
1
⋅
eb
∫
eb
0
τw
dU
dU
⋅ y ⋅ dy τ w = −µ a ⋅
− µ at ⋅
µa
dy
dy
(22)
L’expression de vitesse en régime
turbulent est donnée en utilisant l’hypothèse de
la longueur de mélange turbulente pour une
plaque plane et en intégrant l’expression de la
contrainte de cisaillement à la paroi en régime
turbulent.
Ua =

 τ

ρ
τw 
⋅ 2.78 ⋅ ln w ⋅ a ⋅ y  + 3.8


ρa 
 ρa µ a 


(23)
La vitesse moyenne de la goutte de surface
est calculée en intégrant l’expression de la
vitesse turbulente déterminée à partir de
l’hypothèse de la longueur de mélange.
Ua = 2.8 ⋅


τ w   τ w ρ a
⋅ ln
⋅
⋅ e b  + 1.4


ρa   ρa µ a



(24)
La force de vent parallèle à la paroi qui
engendre l'écoulement des gouttes de surface est
égale à la force de traînée. La force de traînée
peut être exprimée en fonction d’un coefficient
d’écoulement, de la contrainte de cisaillement à
la paroi, de l'angle de contact et de la hauteur de
la goutte de surface lorsque l’expression de la
vitesse moyenne et du coefficient de frottement
de la goutte de surface sont remplacés et la
section frontale est calculée à partir d’une goutte
de surface non déformée.
FW = C G ⋅ τ w ⋅
θ c − sin(θ c ) ⋅ cos(θ c )
[1 − cos(θ c )]
2
⋅ e b2
(25)
ou le coefficient de l’écoulement en régime
laminaire,
CG = 3
(26)
et en régime turbulent,
6
  τ


ρ
C G = 1.725 ⋅ ln w ⋅ a ⋅ e b  + 1.4

  ρ a µ a


2
(27)
Force de portance
La force de portance est la force de vent
normale au panneau qui aspire les gouttes de
surface et elle est engendrée par l’écoulement
d’air selon l’axe d'arrachement (Figure 5). Elle
est déduite de l’expression générale de la force
de portance qui est engendrée par la densité de
l’air, le coefficient de portance de la goutte de
surface dans l’air, la section de la goutte de
surface parallèle à l’écoulement et la vitesse
moyenne de la goutte de surface.
FL = 21 ⋅ ρ a ⋅ CL ⋅ Ac b ⋅ Ua2
(28)
Le coefficient de portance est considéré
comme étant équivalent au coefficient de traîné.
La force de vent normale au panneau qui
engendre l'arrachement des gouttes de surface est
égale à la force de portance. La force de portance
peut être exprimée en fonction d’un coefficient
d’arrachement, de la contrainte de cisaillement à
la paroi, de l'angle de contact et de la hauteur de
la goutte de surface lorsque l’expression de la
vitesse moyenne et du coefficient de portance de
la goutte de surface sont remplacés et que la
section parallèle à l’écoulement est calculée à
partir d’une goutte de surface non déformée.
 1 + cos(θ c )  2
FA = C G ⋅ τ w ⋅ 
 ⋅ eb
 1 − cos(θ c ) 
(29)
Écoulement laminaire et turbulent
L’écoulement sur une plaque est
caractérisé par une zone laminaire, de transition
et turbulente (Figure 5). Le passage du régime
laminaire à la transition se produit lorsque la
vitesse est égale à 99% de la vitesse de
l’écoulement non perturbé et correspond à un
nombre de Reynolds critique se situant entre
2X105 et 3X106. La valeur du nombre de
Reynolds étant fortement liée lorsque à
l’intensité de turbulence de l’écoulement. Le
passage de la transition au régime turbulent se
produit lorsque le nombre de Reynolds est de
l’ordre de 6X107. En général pour une plaque
lisse, le passage du régime laminaire à la
transition se produit pour un nombre de
Reynolds critique de 5X105 lorsque l’intensité de
turbulence est de 1%. La zone de transition est
traitée comme la zone turbulente.
Re s =
ρa
⋅ U∞ ⋅ s
µa
(30)
Écoulement d’air
L’écoulement d’air sur une plaque plane
est utilisé pour calculer la contrainte de
cisaillement à la paroi. Le profile de vitesse sur
la plaque est déterminée à partir de la loi
intégrale.
 y 
  ⋅ U ∞
 δs 
U(s, y ) =
1
7
 y 
  ⋅ U ∞
 δs 
Re s
≤ 5 × 10 5
Re s
5
(31)
> 5 × 10
La hauteur de la couche limite est montrée
à la Figure 7 pour une position de goutte de
surface se situant à 400 mm du bord de la plaque.
Figure 7: Hauteur de la couche limite.
x
1
Re x2
δx =
x
0.37 ⋅
1
Re x5
5⋅
Re x
≤ 5 × 105
Re x
> 5 × 105
(32)
Le taux de cisaillement à la paroi est
montré à la Figure 8 pour une position de goutte
de surface se situant à 400 mm du bord de la
plaque.
0.3651 ⋅ ρ a ⋅ U ∞2
τ w (s ) =
1
Re s
0.0286 ⋅ ρ a ⋅ U ∞2
1
2
Re s5
Re s
≤ 5 × 105
Re s
5
(33)
> 5 × 10
7
Figure 8: Taux de cisaillement à la paroi.
Propriétés physiques
La résolution des équations demande de
connaître certaines propriétés physiques de l’air
et de l’eau, comme la densité et la viscosité
dynamique de l’air
ρa =
Patm
Ta
et µ a = µ a _ ref ⋅
R a ⋅ Ta
Ta + C suth
(34)
ainsi que la densité et la tension de surface
de l’eau.
− 6.5315 × 10 -7 ⋅ T 4
ρ w = − 3.9951× 10 -1 ⋅ T 2
−
5.8538 × 10 3
+ 8.313 × 10 -4 ⋅ T 3
+ 8.5505 × 101 ⋅ T (35)
1.7770 × 10 -13 ⋅ T 5
σ w = + 2.5111× 10 - 7 ⋅ T 3
+ 1.7154 × 10 - 2 ⋅ T
− 3.3531× 10 -10 ⋅ T 4
− 9.3494 × 10 -5 ⋅ T 2
−
1.1556 × 10 0
(36)
La constante des gaz de l’air est de 287
J/(kg K), la constante de Sutherland pour l’air est
de 114 et la viscosité de l’air de référence est de
1.47066X10-6 Pa s. Les propriétés sont fonction
de la température de l’eau et de l’air, pour
minimiser les échanges thermiques entre l’air,
l’eau et l’aluminium, ils seront étudiés à la même
température. Deux autres propriétés sont
nécessaires pour résoudre les équations. L’angle
de contact et l’hystérésis de contact pour une
goutte d’eau reposant sur une surface en fonction
de la température et du type de surface. Ils sont
déterminés dans le présent travail.
Hystérésis
Écoulement gravitationnel
L’écoulement gravitationnel des gouttes de
surface se produit lorsque la force réactive au
mouvement est nulle, alors la composante de la
force d'écoulement engendrée par la fraction de
la force gravitationnelle parallèle à la paroi est
égale à la force de rigidité.
FM = FgW − Fσ
(37)
L’écoulement gravitationnel d’une goutte
de surface de hauteur prédéterminée est
caractérisé par l’angle d’inclinaison de la surface
et la température de la goutte de surface, ou plus
précisément, par l’angle d’inclinaison de la
surface, l’angle de contact et l’hystérésis de
contact comme montré à la Figure 9.
surface ou plus précisément, par la vitesse de
l’écoulement d’air non perturbé, l’angle de
contact et l’hystérésis de contact comme montré
à la Figure 10 pour le régime laminaire et à la
Figure 11 pour le régime turbulent.
Figure 10: Force aérodynamique laminaire,
goutte de surface de 2 mm de hauteur.
Figure 9: Force gravitationnelle pour une goutte
de surface de 2 mm de hauteur.
L'hystérésis d'écoulement gravitationnelle
est le rapport de la force gravitationnelle
parallèle au panneau sur la force de rigidité
parallèle au panneau.
∆θ gW =
FgW
fW
=
ρ  2 + cos(θ c )
2
2
⋅g⋅ w ⋅ 
 ⋅ sin(ϕ ) ⋅ e b
σ w  sin2 (θc ) 
3
(38)
Le rapport d’écoulement gravitationnel est
la
partie
de
l'hystérésis
d’écoulement
gravitationnelle qui ne dépend pas de l'épaisseur.
R gW =
∆θ gW
e
2
b
=
ρ  2 + cos(θ c )
2
⋅g⋅ w ⋅
 ⋅ sin(ϕ ) (39)
3
σ w  sin2 (θ c ) 
Écoulement aérodynamique
L’écoulement aérodynamique des gouttes
de surface se produit lorsque la force réactive au
mouvement est nulle. Alors la composante de la
force d'écoulement produite par la traînée de la
goutte de surface est égale à la force de rigidité.
FM = FW − Fσ
(40)
L’écoulement aérodynamique d’une goutte
de surface de hauteur prédéterminée est
caractérisé par la vitesse de l’écoulement d’air
non perturbé et par la température de la goutte de
8
Figure 11: Force aérodynamique turbulente,
goutte de surface de 2 mm de hauteur.
L'hystérésis d'écoulement aérodynamique
est le rapport de la force élémentaire de rigidité.
∆θ W =
FW 2 τ w θ c − sin(θ c ) ⋅ cos(θ c )
= ⋅
⋅
⋅ CG ⋅ eb
π σ w sin 2 (θ c ) ⋅ [1 − cos(θ c )]
fW
(41)
Le rapport d’écoulement aérodynamique
est la partie de l'hystérésis d’écoulement
aérodynamique qui ne dépend pas de la hauteur
de la goutte de surface.
RW =
∆θ W 2 τ w θ c − sin(θ c ) ⋅ cos(θ c )
= ⋅
⋅
π σ w sin 2 (θ c ) ⋅ [1 − cos(θ c )]
eb
(42)
Critère de stabilité
Le critère de stabilité d’une goutte de
surface se résume à déterminer la hauteur
maximale d’une goutte de surface avant
mouvement. La hauteur est déterminée en
solvant l’équation d’équilibre des forces lorsque
la force réactive au mouvement est nulle (Figure
2). Alors le système de force est en équilibre et le
moindre changement produit le mouvement.
FM = ±FW ± FgW − Fσ ⇒ ± ∆θ gW + ∆θ W = ∆θc
(43)
La hauteur maximale que peuvent atteindre
les gouttes de surface avant de se briser et de
s'écouler est calculée en résolvant l’équation
d’équilibre des forces selon l'axe de mouvement.
Ce qui se résume à solutionner l’équation non
linéaire pour la hauteur de la goutte de surface.
± R gW ⋅ e b2 + R W ⋅ C G (e b ) ⋅ e b − ∆θ c = 0
(44)
EXPÉRIENCES
Trois expériences, effectuées avec une
goutte de surface composée d’eau déminéralisée
et reposant sur une plaque en aluminium ASM
2024 dont le fini de surface est de standard
industriel, sont menées à la température ambiante
pour évaluer la précision du critère de stabilité.
La première expérience consiste à mesurer
l’angle de contact, la deuxième, à mesurer
l’hystérésis de contact et la troisième à mesurer
la vitesse du vent.
Mesure de l’angle de contact
L’appareil utilisé pour la mesure de l’angle
de contact est le VCA OPTIMA (Figure 12). Le
volume de la goutte de surface maximale qui
peut être étudié est limité par l’appareillage à
environ 20 µl. Six volumes différents sont
étudiés pour déterminer si le volume influence
l’angle de contact et chaque volume est mesuré
au moins trois fois pour assurer la précision de la
mesure de l’angle de contact.
Figure 12: VCA OPTIMA.
Une goutte de surface est déposée sur la
plaque en aluminium et les angles entre la paroi
de la goutte de surface et la surface est mesuré
pour le coté gauche et le coté droit sont mesurés
(Figure 13).
9
La procédure à suivre se décrit comme
suit :
1. Déposer une goutte de 2 µl sur la plaque
2. Prendre une photo de la goutte de surface
3. Mesurer les angles de contact
4. Répéter au moins 3 fois les procédures 1 à 3
5. Répéter les procédures 1 à 4 avec une goutte
de 4, 6, 8, 10 et 12 µl
Note: S’assurer que la surface de la plaque en
aluminium est complètement couverte
lors des mesures.
Figure 13: Mesure de l’angle de contact d’une
goutte de surface de 6 µl.
La Figure 14 montre graphiquement les
résultats.
Figure 14: Angle de contact versus le volume de
la goutte de surface.
L’angle de contact moyen est de 74.26° ±
3.51° à température ambiante (20°C). L’écart
type sur la mesure de l’angle de contact est
produit principalement par la rugosité locale de
la plaque et en partie par l’augmentation de la
température induite par la lumière de l’appareil.
La Figure 15 montre la relation théorique
(hypothèse de sphère partielle) entre le volume et
la hauteur de la goutte de surface pour un angle
de contact de 74.26°.
Figure 15: Volume d’une goutte de surface.
La fonction de ce graphique est de faciliter
pour le lecteur le calcul hauteur/volume de la
goutte de surface.
Mesure de l’hystérésis de contact
L’appareil utilisé pour la mesure de
l’hystérésis de contact est le même que pour
l’angle de contact, excepté que l’appareil est
incliné comme montré à la Figure 16.
Figure 16: VCA OPTIMA incliné.
La Figure 9 montre qu’une goutte de
surface de 2 mm de haut permet de mesurer une
hystérésis se situant entre 0 et 47 degrés pour une
inclinaison de surface se situant entre 0 et 90
degrés et pour des angles de contact inférieurs à
80°. En raison des limitations de l’appareillage
(20 µl) et du degré élevé de l’angle de contact
(74.3°), des plans inclinés de 80° et 90° sont
utilisés pour mesurer l’hystérésis de contact, en
espérant que l’hystérésis de contact est inférieure
à 47°. Une goutte de surface est déposée sur la
plaque en aluminium inclinée et l’angle entre la
paroi de la goutte de surface et la surface est
mesuré pour le coté gauche et le coté droit
(Figure 17), ensuite son volume est augmenté
graduellement tant que la goutte de surface
demeure statique. L’hystérésis de contact est la
différence entre l’angle du coté droit et gauche.
10
Figure 17: Mesure de l’hystérésis de contact
d’une goutte de surface de 6 µl.
La procédure à suivre se décrit comme
suit :
1. Déposer une goutte de 2 µl sur le plan
incliné
2. Prendre une photo de la goutte de surface
3. Mesurer les angles de contact
4. Augmenter le volume de la goutte de 2 µl
5. Prendre une photo de la goutte de surface
6. Mesurer les angles de contact
7. Répéter les étapes 4 à 6 temps que la goutte
soit statique
L’écart type sur la mesure de l’hystérésis
de contact est produit principalement par la
rugosité locale de la plaque et en partie par
l’augmentation de la température induite par la
lumière de l’appareil. La Figure 18 montre que
l’hystérésis de contact maximum se situe entre
39° et 43° et les valeurs sont résumées au
Tableau 1.
Figure 18: a) Hystérésis versus le volume de la
goutte de surface.
Tableau 1 : Résultat de l’hystérésis.
Moyenne
80°±1°
90°±1°
85°±1°
39°±5°
42°±5°
41°±5°
14 µl±1 µl 16 µl±1 µl 15 µl±1 µl
Mesure de la vitesse du vent
Le BLDT mètre est une mini soufflerie
utilisée lors des certifications des fluides
dégivrant et antigivrant déposés sur les avions
commerciales et il est utilisé comme source de
vent (Figure 19). La longueur maximale de la
plaque étudiée est limitée à 0.6 mètres et la
vitesse maximale de l’écoulement d’air est de 90
m/s.
a
b
Figure 19: a) Mini soufflerie b) section d’essai.
La position qui est choisie arbitrairement
pour la goutte de surface se situe à 0.4 mètres du
bord de la plaque. L’appareil utilisé pour la
mesure de la vitesse du vent avant le mouvement
de la goutte de surface est un anémomètre à fil
chaud. Il est positionné à une distance de 400
mm du bord de la plaque et à une hauteur de 2
millimètres (Figure 20). La Figure 10 montre
qu’une goutte de surface de 2 mm de haut
nécessite une vitesse de vent théorique de l’ordre
de 14 m/s pour un angle de contact de 80° et un
hystérésis de contact de 40°. Une goutte de
surface est déposée sur la plaque plane et la
vitesse de l’écoulement est augmentée
graduellement tant que la goutte de surface
demeure statique.
Figure 20: Position de la goutte de surface et de
l’anémomètre.
La procédure à suivre se décrit comme
suit :
1. Déposer une goutte de 5 µl sur la plaque à
une distance de 0.40 mètres du bord
11
2. Démarrer le BLDT mètre avec une vitesse
initiale de 5 m/s
3. Augmenter graduellement la vitesse du
BLTD
4. Répéter l’étape 3 temps que la goutte est
statique
5. Répéter les étapes 1 à 4 avec une goutte de
10, 20, 30, 40, 50 et 60 µl
La Figure 21 montre la goutte de surface
en mouvement sous l’effet de la force
aérodynamique, la forme de la goutte a été
redessinée pour améliorer la visibilité.
Figure 21: Goutte de surface en mouvement sous
l’effet du vent.
La Figure 22 résume les résultats de la
vitesse de l’air qui engendre le mouvement de la
goutte de surface en fonction du volume de la
goutte de surface. L’écart type sur la mesure de
la vitesse est produit principalement par la
rugosité locale de la plaque et en partie par la
position initiale de la goutte de surface et de
l’erreur sur le volume initial.
Figure 22: Vitesse de l’écoulement lors du
mouvement de la goutte de surface.
Discussion des résultats
L’angle de contact mesuré pour la plaque
en aluminium ASM-2024 de fini de surface
industrielle est de 74.26° ± 3.51° à température
ambiante (20°C). L’angle de contact n’est pas
fonction du volume, mais il oscille autour de la
moyenne. L’hystérésis de contact mesuré pour la
plaque en aluminium ASM-2024 de fini de
surface industrielle est de 41° ± 5° à température
ambiante (20°C) et correspond un volume de 15
µl ± 1 µl et une inclinaison de surface de 85° ±
1°. La valeur de l’hystérésis de contact n’est pas
fonction du volume et de l’angle d’inclinaison de
la surface, car le volume de la goutte de surface
est inversement proportionnelle à l’angle
d’inclinaison de la surface. La mesure de
l’hystérésis de contact a été très ardue en raison
de l’appareil de mesure qui limite le volume de
la goutte de surface et du degré élevé de
l’hystérésis de contact. L’angle d’inclinaison de
la surface pour le volume imposé par
l’appareillage doit être supérieure à 80° ce qui
limite les possibilités de mesure et restreint le
champ d’investigation. La Figure 23 et la Figure
24 comparent les calculs théoriques de la force
gravitationnelle avec les résultats expérimentaux
obtenus pour l’angle et l’hystérésis de contact
avec une goutte de surface de 15 µl ± 1 µl pour
un angle de contact de 74.26°, ce qui correspond
est des hauteurs de 1.663 mm (15 µl) et 1.699
mm (16 µl).
Figure 24: Force gravitationnelle, goutte de
surface de 1.699 mm de hauteur.
La Figure 23 montre que pour une goutte
de surface de 15 µl, le calcul théorique de la
force gravitationnelle sous évalue la valeur
d’hystérésis de contact qui engendre le
mouvement, mais le calcul reste dans les limites
des donnés expérimentales lorsque l’erreur est
prise
en
considération
(Figure
24).
Expérimentalement, la hauteur de la goutte de
surface qui déclenche le mouvement est de 1.663
mm (15 µl) pour un angle de contact de 74.26°,
un hystérésis de contact de 41° et pour une
inclinaison de la surface de 85°. Théoriquement,
le mouvement de la goutte de surface pour les
même conditions ce produit pour une hauteur de
1.808 mm, ce qui correspond à un volume de
19.3 µl et un force de rigidité de 188.3 µN
(Figure 25). L’erreur relative évaluée selon la
hauteur des gouttes de surface est de 9% et selon
le volume de 30%.
Figure 25: Force gravitationnelle, goutte de
surface de 1.808 mm de hauteur.
La Figure 26 montre que la hauteur de la
goutte de surface théorique pour un hystérésis de
contact de 41° est inversement proportionnelle à
l’angle d’inclinaison de la surface et de l’angle
de contact.
La répartition cosinusoïdale de l’hystérésis
de contact utilisée lors du calcul de la force de
rigidité théorique est acceptable lorsque les
erreurs sur les mesures sont prises en
considération. L’erreur relative en comparant le
volume théorique au volume expérimental est de
9%. L’erreur s’explique en partie par la
répartition cosinusoïdale utilisée dans le calcul
Figure 23: Force gravitationnelle, goutte de
surface de 1.663 mm de hauteur.
12
de la force de rigidité et par l’approximation de
la géométrie des gouttes de surface par une
sphère partielle non déformée pour le calcul des
forces de gravité et de pression.
Figure 26: Hauteur de la goutte de surface en
fonction de l’inclinaison de la surface.
La Figure 1 montre que pour des gouttes
de surface dont le volume est inférieur à 20 µl, la
vitesse de l’écoulement non perturbé mesurée à
400 mm du bord de la plaque est supérieure à
18.26 m/s, ce qui correspond à un nombre de
Reynolds de 5x105 et à un régime turbulent
lorsque la plaque est lisse et que l’intensité de
turbulence est de l’ordre de 1%. La vitesse de
l’écoulement non perturbé mesurée à 400 mm du
bord de la plaque plafonne à 14 m/s pour des
gouttes de surface dont le volume est supérieur à
30 µl, ce qui sous entend que le régime turbulent
pour une plaque en aluminium ASM 2024 de fini
de surface industriel débute probablement avec
un nombre de Reynolds de 3.8x105. L’étude se
limite au volume des gouttes de surface inférieur
à 20 µl et considère que l’écoulement est en
régime turbulent à 400 mm du bord de la plaque.
La Figure 27 montre la force
aérodynamique théorique en fonction de la
vitesse de l’écoulement non perturbé, de l’angle
de contact et de l’hystérésis de contact pour une
hauteur de goutte de surface de 1.830 mm et
correspond à une goutte de surface de 20 µl
lorsque l’angle de contact est de 74.26°.
La vitesse théorique de l’écoulement non
perturbé qui engendre le mouvement de la goutte
de surface est de 14.6 m/s pour un angle de
contact de 74.26° et un hystérésis de contact de
41°, ce qui correspond à une force de rigidité
théorique de 190 µN.
13
Figure 27: Force aérodynamique turbulente,
1.830 mm de hauteur.
La vitesse théorique de l’écoulement non
perturbé qui engendre le mouvement des gouttes
de surface de hauteur de 1.830 mm (10 µl) et de
1.452 mm (5 µl) est de 16.9 m/s (Figure 28) et
de 18.5 m/s (Figure 29) respectivement.
Figure 28: Force aérodynamique turbulente,
1.452 mm de hauteur.
Figure 29: Force aérodynamique turbulente,
1.153 mm de hauteur.
Le Tableau 2 résume les vitesses
théoriques et expérimentales de l’écoulement
non perturbé qui engendre le mouvement.
L’erreur relative sur la vitesse de l’écoulement
non perturbé qui produit le mouvement de la
goutte de surface est de l’ordre de 22%.
Tableau 2 : Rrésultats aérodynamiques.
Vitesse écoulement non perturbé (m/s)
Erreur
Volume Théorique Expérimentale relative
5 µl
10 µl
20 µl
18.5± 1.5
16.9±0.1
14.6±1.1
25±1
21±1
18±1
de rigidité, par l’approximation de la géométrie
des gouttes de surface par une sphère partielle
non déformée pour le calcul des forces de gravité
et par la vitesse moyenne de la goutte de surface
qui est sous estimée (Figure 31)
26%
20%
19%
Expérimentalement, la hauteur de la goutte
de surface qui déclenche le mouvement est de
1.83 mm (20 µl) pour un angle de contact de
74.26°, un hystérésis de contact de 41° et une
vitesse de l’écoulement non perturbé de 18 m/s,
ce qui correspond à une force de rigidité de 190.6
µN (Figure 25). Théoriquement, le mouvement
de la goutte de surface correspondant au mêmes
conditions ce produit pour une hauteur de 1.51
mm, ce qui correspond à un volume de 11.2 µl.
L’erreur relative évaluée selon la hauteur des
gouttes de surface est de 18% et selon le volume
de 44%. La Figure 30 montre que la hauteur de
la goutte de surface théorique pour un hystérésis
de
contact
de
41°
est
inversement
proportionnelle à la vitesse de l’écoulement non
perturbé.
Figure 30: Hauteur de la goutte de surface en
fonction de la vitesse turbulente.
L’approximation de la vitesse à partir de la
contrainte de cisaillement à la paroi et
l’utilisation d’un coefficient de traînée pour une
sphère sont acceptables dans le calcul de la force
aérodynamique. Comme pour l’hystérésis,
l’erreur s’explique en partie par la répartition
cosinusoïdale utilisée dans le calcul de la force
14
Figure 31: Vitesse moyenne de la goutte de
surface.
CONCLUSIONS
L’angle de contact mesuré pour une goutte
d’eau déminéralisée reposant sur une plaque en
aluminium ASM 2024 de fini de surface
industriel est de 74.26°. La précision obtenue est
de ±3.5° et elle est induite principalement par la
rugosité de surface de la plaque en aluminium.
L’hystérésis de contact mesuré pour une
goutte d’eau déminéralisée reposant sur une
plaque en aluminium ASM 2024 de fini de
surface industriel est de 41°. La précision
obtenue est de ±5°, elle est induite
principalement par la rugosité de surface de la
plaque en aluminium et les limitations de
l’appareil.
La répartition cosinusoïdale de l’hystérésis
de contact sur le périmètre de la goutte de
surface combinée à l’angle de contact comme
valeur moyenne utilisée dans le calcul théorique
de la force de rigidité induite par la tension de
surface et la déformation de la goutte traduit bien
la réalité. L’erreur relative sur la hauteur est de
l’ordre de 9% et sur le volume, elle est de l’ordre
de 30%. Elle est imputable en partie au calcul
des forces gravitationnelle et de pression interne
qui ne prennent pas en considération la
déformation de la goutte de surface et à
l’utilisation de la répartition cosinusoïdale.
L’expression de la vitesse moyenne de la
goutte de surface basée sur la loi de paroi en
régime turbulent et la longueur de mélange
traduit bien la réalité lorsque l’expression est
combinée au coefficient de frottement pour une
sphère en régime turbulent. L’erreur relative sur
la hauteur est de l’ordre de 18% et sur le volume,
elle est de l’ordre de 44%. L’erreur relative est
plus importante que dans le cas de la répartition
cosinusoïdale, car le calcul aérodynamique se
base sur les mêmes critères que le calcul
gravifique et il fait intervenir deux nouvelles
approximations. La vitesse moyenne de la goutte
de surface est évaluée avec la loi de paroi en
régime turbulent et la longueur de mélange et le
coefficient de traînée de la goutte de surface se
base sur une sphère dans un écoulement d’air.
L’expression de la force de traînée
turbulente pour la goutte de surface est plus
complexe que l’expression en régime laminaire
ce qui accroît la complexité du calcul du critère
de croissance. L’expression est identique lorsque
la hauteur de la goutte de surface qui intervient
dans l’expression du logarithme naturel est
considérée comme constant, mais l’erreur
relative sur la hauteur de la goutte de surface
associée au calcul du critère de stabilité
augmente.
Le critère de stabilité est basé sur
l’épaisseur de la goutte de surface et sa validité
est liée à la précision sur le calcul de l’épaisseur
de la goutte de surface lors de la résolution de
l’équilibre des forces de rigidité, de gravité et
aérodynamique. La technique développée permet
de calculer l’épaisseur de la goutte de surface à
partir des relations simplifiées qui sont basées
sur les propriétés physiques de l’air et de l’eau,
sur l’angle et l’hystérésis de contact de la goutte
de surface, l’angle d’inclinaison de la surface, de
la contrainte de cisaillement à la paroi, du profil
de vitesse en régime turbulent basé sur la loi de
paroir et sur la longueur de mélange et
finalement du coefficient de frottement d’une
sphère dans l’air en régime turbulent avec une
précision sur le calcul de la hauteur des gouttes
de surface de l’ordre de 20%.
15
RECOMMANDATIONS
Lors de la mesure de l’hystérésis de
contact, la configuration de l’appareil VCA
OPTIMA a limité l’angle d’inclinaison de la
surface et certaines modifications devraient lui
être apportées pour faciliter et améliorer la
mesure de l’hystérésis.
D’autres types de surfaces doivent être
étudiés pour vérifier l’effet de la rugosité de
surface.
REMERCIEMENTS
Au personnel du Laboratoire international
des matériaux anti-givres, à l’université du
Québec à Chicoutimi, UQAC. Au Centre Italien
de Recherche en Aérospatial, CIRA.
BIBLIOGRAPHIE
Al-Khalil, K.M., Keith, T. G., De Witt, Jr., K.
J., Nathman, J. K. and Dietrich, D. A.,
Thermal Analysis of Engine Inlet Anti-Icing
Systems, American Institute of Aeronautics
and Astronautics Journal, AIAA-89-0759,
1989.
2 Street, R. L., Watters, G. Z. and Vennard, J.
K., Elementary Fluid Mechanics, John Wiley
& Sons, Seventh Edition, pp. 497-503, 1996.
1