3 Principe de réalisation d`une horloge atomique

3
Principe de réalisation d’une horloge atomique
Nous nous limitons à considérer la réalisation d’un très bon oscillateur, qui devra-t-être complété par un
compteur ou autre dispositif de mesure de phase pour constituer une horloge. Plus précisément donc, nous
considérons ici la réalisation d’un « étalon primaire de fréquence », soit un oscillateur dont la fréquence est relié
le plus directement possible à la définition de la seconde.
3.1
Quelle transition choisir pour la fréquence d’horloge ?
On veut connaître la fréquence ν de façon la plus parfaite. Il faut donc que les états E2 et E1 soient bien
définis ou que leurs durées de vie soient plus grandes que le temps d’interrogation T. La largeur de résonance
sera ∆ν ≈ 1/(2πT ).
A cause de l’émission spontanée, la plupart des transitions ont des durées de vie limitées. Par exemple, pour
le césium, les transitions dipolaires électriques 6S 1 ←→ 6P 3 ont une durée de vie de l’ordre de 30 ns (la largeur
2
2
de résonance est de 5 MHz).
Un atome dans l’état fondamental possède a priori une durée de vie infinie. Or, pour le césium, Il existe 2
niveaux dans l’état fondamental 6S 1 et on choisira la transition qui s’effectue entre les 2 niveaux hyperfins F = 3,
2
F = 4. C’est une transition dipolaire magnétique (en négligeant les transitions quadripolaires électriques). Elle
~ ·B
~
est donc stimulée par un champ magnétique oscillant. Le Hamiltonien d’interaction est donné par : H = −M
ou M est le moment magnétique associé à l’état.
Depuis 1967, c’est cette transition qui est utilisée pour définir la seconde et la valeur de la fréquence correspondante a été fixée à :
νcs = 9192631770 Hz
(1)
3.2
La méthode d’interrogation des atomes
L’objectif de l’horloge atomique est de rendre accessible le signal atomique. Il existe 2 façons possibles :
1. Les atomes, préparés dans l’état d’énergie supérieur, fournissent directement le signal par effet stimulé
(horloge active comme laser, maser ou plus généralement les oscillateurs). L’effet stimulé dépend fortement
du nombre de photons que voit l’atome et ces photons doivent avoir les mêmes propriétés (fréquence,
vecteur d’onde). Pour stocker ces photons les atomes sont placés dans une cavité résonante possédant les
bonnes propriétés pour conserver les photons stimulés. Il faut aussi un grand nombre d’atomes pour que
le gain qu’ils apportent soit aussi grand que les pertes de photons : une cavité n’est jamais parfaite et
la durée de vie d’un photon ne dépasse guère la nanoseconde sauf cas très exceptionnel (cavité supraconducteur). Dans ces conditions il existe des perturbations relativement fortes qui déplacent la fréquence
de résonance atomique : interactions entre atomes, avec les parois de la cavité et un effet d’entraînement
de fréquence par la cavité si celle-ci n’a pas une fréquence de résonance qui coïncide avec celle des atomes ;
ce qui finit toujours par arriver à cause de dérives mécaniques de la cavité. En terme d’exactitude de
fréquence ces dispositifs ne sont pas très bons. En revanche la fréquence peut être très stable sur des
temps de plusieurs secondes comme pour les oscillateurs à quartz (effet stimulé de phonons), d’un laser où
de quelques heures comme dans le cas du maser à hydrogène (transition à 1,4 GHz) ou d’un laser asservi.
Les masers à hydrogène sont par exemple très utilisés en VLBI pour assurer la cohérence temporelle sur
quelques heures entre les signaux observés.
Ces oscillateurs vont aussi être des compléments indispensables aux horloges atomiques passives.
2. Les atomes, préparés dans un seul état d’énergie, interagissent avec le signal fourni par un oscillateur
externe (très stable sur le temps d’interaction). En détectant le nombre d’atomes ayant été transférés
dans l’autre état, on obtient un signal de résonance qui atteint un maximum lorsque la fréquence de la
résonance atomique coïncide avec la fréquence du signal. Ce signal de détection pourra alors être utilisé
pour contrôler la fréquence de l’oscillateur afin de transférer l’exactitude et la stabilité de la résonance
atomique (c’est un asservissement). C’est ce procédé qui est utilisé pour réaliser l’horloge à césium.
18
3.3
4
Schéma général de l’horloge
Interrogation de la transition hyperfine de l’état fondamentale du
césium
Dans le cas du césium la transition hyperfine sera excitée par une interaction dipolaire magnétique : application d’un champ magnétique oscillant.
4.1
Interaction de Rabi
Lorsque le champ magnétique oscillant est aligné selon l’axe du champ statique z, le hamiltonien d’interaction
s’écrit :
Hint = gJ µB Sz B − gI µB Iz B
(2)
Mais les états propres |F, mF i du hamiltonien atomique ne sont plus états propres de ce hamiltonien d’in~ ne commutent pas avec l’opérateur F~ ). Il faut donc utiliser la décomposition
teraction (les opérateurs I~ et S
~ : |I, S, mI , ms i. Par exemple l’état F = 3, mF = 0 s’écrit
des états F, mF sur la base des états propres de I~ et S
dans la base mI , mS :
p
p
|3, 0i = 1/2 |1/2, −1/2i − 1/2 |−1/2, 1/2i
(3)
Sous l’action de H cet état devient :
=
=
=
hp
i
p
1/2 |1/2, −1/2i − 1/2 |(−1/2, 1/2i
(−gI µB Iz B + gJ µB Sz B)
h
i
p
p
1
µB B − (gI + gJ ) 1/2 |1/2, −1/2i − (gI + gJ ) 1/2 |−1/2, 1/2i
2
hp
i
p
1
− µB B (gI + gJ )
1/2 |1/2, −1/2i + 1/2 |−1/2, 1/2i
2
1
− µB B (gI + gJ ) |4, 0i
2
(4)
(5)
(6)
(7)
Le Hamiltonien Hint couple donc les 2 états hyperfins. Nous avons donc un système à 2 niveaux que l’on
note |ei et |f i d’énergies ~ωe > ~ωf . L’équation d’évolution de la fonction d’onde est donnée par :
i~
d
Ψ(t) = Htotal Ψ(t) = (H0 + Hint (t)) Ψ(t)
dt
19
(8)
Soit Ψ(t) = a(t) |f i + b(t) |ei avec a(t) et b(t) des fonctions complexes et |a(t)|2 + |b(t)|2 = 1.
En remplaçant :
d
d
i~
a(t) |f i + b(t) |ei = a~ωf |f i + b~ωe |ei + aHint |f i + bHint |ei
dt
dt
(9)
En multipliant par les 2 états duaux hf | et he| on obtient donc 2 équations différentielles complexes du
premier ordre couplées :
d
a(t) =
dt
d
b(t) =
dt
i
b(t) hf | Hint (t) |ei
~
i
−iωe b(t) − a(t) he| Hint (t) |f i
~
−iωf a(t) −
(10)
(11)
Pour simplifier, nous pouvons remplacer a(t) par α(t)e−iωf t et b(t) par β(t)e−iωe t :
d
α(t)
dt
d
β(t)
dt
i
= − β(t)e−i(ωe −ωf )t hf | Hint (t) |ei
~
i
= − α(t)ei(ωe −ωf )t he| Hint (t) |f i
~
(12)
(13)
1
Dans la suite on posera ω0 = ωe − ωf . Nous avons hf | Hint (t) |ei = − µB B (gI + gJ ). Soit B = B0 cos(ωt) =
2
1
1
B0 (eiωt + e−iωt ) avec B0 et ω constantes. Soit Ω =
µB B0 (gI + gJ ), que nous appelons la « fréquence de
2
2~
Rabi ». Il vient :
d
i
α(t) =
Ωβ(t) e−i(ω0 +ω)t + e−i(ω0 −ω)t
(14)
dt
2
d
i
β(t) =
Ωα(t) ei(ω0 +ω)t + ei(ω0 −ω)t
(15)
dt
2
Nous avons donc un système de 2 équations différentielles couplés qui contient 2 fréquences d’oscillation :
(ω0 + ω) et (ω0 − ω). Celle à fréquence rapide (ω0 + ω) pourra être négligée. En effet regardons comment évolue
le système au tout début de l’interaction. Par exemple à t = 0 nous sommes dans l’état |f i . Alors après un
temps très court t de telle sorte que le système a très peu évolué on peut écrire :
d
i(ω0 +ω)t
α(t) ' 0
1
e
ei(ω0 −ω)t
dt
(16)
=⇒ β(t) = 2 Ω ω + ω + ω − ω
d
i
0
0
β(t) = Ω ei(ω0 +ω)t + ei(ω0 −ω)t
dt
2
1
1
Le coefficient β(t) contient 2 termes de module
et
. Lorsque la fréquence du champ appliqué ω
ω0 + ω
ω0 − ω
se rapproche de la fréquence de résonance atomique ω0 le deuxième terme devient très largement prépondérant.
Par exemple dans une horloge à césium ω0 ≈ 1010 et ω0 − ω reste toujours de l’ordre de 1 : 10 ordres de grandeur
sépare donc la contribution des 2 termes. Nous pouvons donc négliger la première contribution dans l’évolution
de la fonction d’onde. Donc on peut négliger le terme en e−iωt dans β et de même pour α on peut négliger le
terme eiωt .
Posons δω = ω − ω0 , il reste donc :
d
α(t)
dt
d
β(t)
dt
=
=
i
Ωβ(t)eiδωt
2
i
Ωα(t)e−iδωt
2
(17)
(18)
Résolution analytique
Les équations ci-dessus se résolvent simplement (TD). Avec α(0) = 1 et β(0) = 0 nous trouvons que la
probabilité de trouver la fonction d’onde dans l’état |f i, égale à |α|2 s’écrit:
2
|α|
=
=
δω 2
sin2
Ω2 + δω 2
p
p
1
1
2
2
2
2
2
δω + Ω t + cos
δω + Ω t
2
2
1√ 2
δω 2 + Ω2 cos2
δω + Ω2 t
2
Ω2 + δω 2
20
(19)
(20)
et la probabilité de trouver la fonction d’onde dans l’état |ei, égale à |β|2 :
|β|2 =
Ω2
1p 2
Ω2
sin2
δω + Ω2 t
2
+ δω
2
(21)
et cela vérifie |α|2 + |β|2 = 1.
1
A résonance, δω = 0, l’expression de |β|2 se ramène à sin2 Ωt. La probabilité de transition évolue à la
2
1
1
fréquence de Rabi Ω, P = (1 − cos Ωt) avec Ω =
µB B (gI + gJ ) pour l’interaction dipolaire magnétique.
2
2~
Elle atteint un premier maximum pour Ωt = π.
P = 1 lorsque Ωt = (2k + 1)π
(22)
En pratique, on adapte la valeur de Ω (donc B) pour que Ωτ = π où τ est le temps d’interaction.
Autre donnée importante est la largeur du signal de résonance ∆ω :
∆ω '
2π
.
τ
(23)
1
En fréquence (Hz) la largeur totale ∆ν =
τ
Pour asservir la fréquence de l’oscillateur, sa fréquence moyenne sera placée à mi-hauteur de telle sorte
qu’une fluctuation de fréquence se traduise en une fluctuation de la probabilité de transition (à mi-hauteur la
pente de la résonance est la plus forte et est inversement proportionnelle à ∆ν).
Interprétation géométrique
Pour faciliter l’interprétation d’une interaction entre 2 niveaux nous allons utiliser la représentation par le
vecteur de Bloch (valable pour tous les systèmes à 2 niveaux et qu’on référence en général au spin (spin fictif) :
pour un spin l’interprétation géométrique a une signification physique claire).
Nous considérons un cas plus général avec B = B0 f (t) cos(ωt). Ici f (t) représente la possibilité d’allumer et
d’éteindre le champ magnétique dans le temps.
~ω0
Le hamiltonien peut aussi se mettre aussi sous la forme suivante en prenant l’origine des énergies à
et
2
en négligeant les termes d’oscillation rapide :
H(t) =
~ω0
Ω
(|ei he| − |f i hf |) + ~ f (t) |ei hf | eiωt + |f i he| e−iωt
2
2
(24)
et donc :
d
α(t)
dt
d
i β(t)
dt
i
ω0
Ω
α(t) + f (t)eiωt β(t)
2
2
ω0
Ω
β(t) + f (t)e−iωt α(t)
2
2
= −
(25)
=
(26)
Ces relations sont identiques à un spin plongé dans un champ magnétique statique selon z l’axe de quantification et un champ magnétique oscillant aligné sur un axe perpendiculaire. C’est pourquoi on peut interpréter
ces interactions dans un système à 2 niveaux comme un spin fictif.
Pour simplifier l’expression on passe dans un référentiel tournant avec le changement de variable suivant :
a(t) = α(t)eiωt/2
b(t) = β(t)e−iωt/2
(27)
d’où
d
ω0 − ω
Ω
α(t) = −
α(t) + f (t)β(t)
dt
2
2
d
ω0 − ω
Ω
i β(t) =
β(t) + f (t)α(t)
dt
2
2
i
(28)
(29)
soit
d
α(t)
dt
d
i β(t)
dt
i
δω
Ω
α(t) + f (t)β(t)
2
2
δω
Ω
β(t) + f (t)α(t)
2
2
= −
(30)
=
(31)
21
Réécrivons cette expression en faisant apparaître les 3 composantes du vecteur de Bloch. On pose :
u =
v
=
w
=
1
(αβ ∗ + α∗ β) terme en phase avec le champ
2
1
(αβ ∗ − α∗ β) terme en quadrature
2i
1
(|β|2 − |α|2 ) proportionnel à la différence de population
2
(32)
(33)
(34)
alors
du
dt
du
dt
du
dt
dv
dt
dv
dt
dw
dt
=
=
=
=
=
=
=
dw
dt
dw
dt
=
=
1 dα ∗
dα∗
dβ ∗
dβ
( β +α
+
β + α∗ )
2 dt
dt
dt
dt
1
δω ∗ Ω
Ω
δω ∗
∗
∗ δω
(− αβ + f (t)ββ − αβ
− f (t)αα∗ +
α β
2i
2
2
2
2
2
Ω
δω
Ω
− f (t)β ∗ β + α∗ β + f (t)αα∗ )
2
2
2
1 ∗
∗
(α β − αβ )δω = −δωv
2i
1 δω
Ω
δω Ω
− (− αβ ∗ + f (t)ββ ∗ − αβ ∗
− f (t)αα∗
2
2
2
2
2
δω ∗
Ω
Ω
δω
− α β + f (t)β ∗ β − α∗ β − f (t)αα∗ )
2
2
2
2
1
1
+ δω(αβ ∗ + α∗ β) − (β 2 − α2 )Ωf (t) = δωu − Ωw
2
2
1
dα∗
dβ ∗
dβ
dα
+ β∗
−α
− α∗
β
2
dt
dt
dt
dt
∗
β
δω
Ω
β δω ∗ Ω
( β + f (t)α)
− ( β + f (t)α∗ ) +
2i 2 2
2i 2
2
α
α∗
Ω
δω ∗ Ω
δω
∗
+
− α + f (t)β −
− α + f (t)β
2i
2
2
2i
2
2
∗
∗
β Ω
β
Ω
α
Ω
α
Ω
−
f (t)α∗ +
f (t)α +
f (t)β ∗ −
f (t)β
2i 2
2i 2
2i 2
2i 2
1
(αβ ∗ − α∗ β) Ωf (t) = Ωf (t)v
2i
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
donc
du
dt
dv
dt
dw
dt
=
−δωv
(47)
=
δωu − Ωf (t)w
(48)
=
Ωf (t)v
(49)
~ est le vecteur de coordonnées (u, v, w) alors l’équation ci-dessus se résume à :
si S
~
dS
~ ×S
~
=Ω
dt
(50)
~ a pour coordonnées (Ωf (t), 0, δω). On a donc une précession du vecteur S
~ autour de la rotation
où Ω
~
instantanée donnée par Ω.
~ par un angle π autour du vecteur constant Ω
~
L’interaction de Rabi correspond à une rotation du vecteur S
(f (t) = 1). On parle d’une « impulsion π ».
22
4.2
Interaction de Ramsey
En général la configuration d’interaction utilise la méthode de Ramsey : il s’agit d’effectuer 2 interactions
courtes τ (f (t) = 1) séparées par une durée plus longue T au cours de laquelle les atomes évoluent librement
π
(f (t) = 0). Au cours de la première et de la dernière interaction on s’arrange pour faire une impulsion (= Ωτ ).
!" #$%&"&'(')* +, )$"-.')'%- ,.) "(%$. /-, 0%-1)'%- %.1'(("-), "2,1 (3*1"$) +, 0$*4/,-1, !" +"-. 2/-,
Dans ces conditions Ω δω.
,-2,(%##, +%--*, #"$ (" )$"-.0%$5*, +, 6%/$',$ +, (3'-),$"1)'%- +, +/$*, # $
La probabilité de transition est alors une fonction
oscillante
%
$ avec l’écart de fréquence δω dans une enveloppe
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+, (" 0$"-7,de1,-)$"(,
"
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donnée
par la transformée
Fourier,.)
de !"
l’interaction
&
%&
1
π
5,))$,
.%/. ("de
0%$5,8
) et sur cette frange la probabilité peut se mettre
La largeur
la frange centrale est ∆ω = $ (∆ν =
T #$ ! '() 2T
(
"
!"&
&
9:;<
sous la forme :
% 1
P =
(1 + cos δωT
(51)
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d’interférence
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aux fluctuations
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D"5.,C
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#"$
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/)'('.*,E
du signal micro-onde dans le rapport des temps . Dans les horloges de haute performance une cavité de type
T
Ramsey est par conséquent utilisée.
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(" 0$*4/,-1, 5,./$*,E
L
23
5
Les déplacements de fréquence les plus importants
Le sommet de la frange d’interférence centrale correspond à la résonance atomique. Toutefois la fréquence de
cette frange peut ne pas correspondre exactement à la fréquence de transition d’un atome isolé et au repos, ce
qui constitue la référence. En effet une variété d’effets peuvent soit perturber les niveaux d’énergie des atomes et
ainsi changer la fréquence de transition, soit introduire des biais dans le processus de mesure. Il faut identifier et
essayer d’évaluer ces différents effets afin de les prendre en compte pour corriger les mesures faites par l’horloge.
L’exactitude de l’horloge est définie comme la somme (en quadrature) des incertitudes de l’ensemble de ces
corrections de fréquence.
5.1
Champ magnétique statique de faible amplitude (effet Zeeman)
~
Dans la suite on ne considère que les niveaux hyperfins de l’état 6S 1 , soit ` = 0, donc nous négligeons L.
2
L’opérateur Hamiltonien s’écrit :
~ .B
~
H = −M
(52)
H = −Mz B
(53)
~ est orienté selon z, B
~ = (0, 0, B), alors :
Si B
Ce champ magnétique agit sur les moments magnétiques de l’électron gJ µB Sz et du noyau gI µB Iz (µB =
q
). Mais on a aussi l’interaction magnétique entre le spin nucléaire I et le spin de l’électron (structure
2me
~ gJ = 2.00254, gI = 0.398854×10−3 pour le césium). L’hamiltonien d’interaction magnétique
hyperfine H = aI~·S,
est donc :
~
H = gJ µB Sz B − gI µB Iz B + aI~ · S
(54)
Pour le césium s = 1/2, i = 7/2. En l’absence de couplage magnétique les états propres de l’état fondamental
sont les |i, s, mi , ms i : avec −7/2 6 mi 6 7/2 et −1/2 6 ms 6 1/2 soit 8 × 2 = 16 états dégénérés. Le couplage
~ = a (Ix Sx + Iy Sy + Iz Sz ) contient des opérateurs qui ne commutent pas 1 et dans ce cas les |i, s, mi , ms i
aI~ · S
ne sont pas vecteurs propres. Remplaçons les composantes x et y par les opérateurs + et −.
~ Sachant que
S+ = Sx + iSy , S− = Sx − iSy de même pour I.
p
J+ |j, mi = j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1i
(55)
J− |j, mi =
p
j(j + 1) − m(m − 1) |j, m − 1i
(56)
Jx =
1
(J+ + J− )
2
(57)
Jy =
1
(J+ − J− )
2i
(58)
~ peut donc se réécrire sous la forme :
aI~ · S
~ = a 1 (I+ + I− ) (S+ + S− ) − 1 (I+ − I− ) (S+ − S− ) + Iz Sz
aI~ · S
4
4
1
1
~
~
aI · S = a
(I+ S+ + I− S− + I+ S− + I− S+ ) − (I+ S+ + I− S− − I+ S− − I− S+ ) + Iz Sz
4
4
~ = a 1 (I+ S− + I− S+ ) + Iz Sz
aI~ · S
2
(59)
(60)
(61)
Le hamiltonien total s’écrit donc :
H=a
1
(I+ S− + I− S+ ) + Iz Sz
2
+ bSz + cIz
Il ne reste plus qu’à appliquer ce hamiltonien sur les états |mi , ms i et à diagonaliser la matrice.
1. [Jx , Jy ] = iJz ,
h
i
J 2 , J~ = 0
24
(62)
a
F 2 − I 2 − S 2 et les vecteurs propres sont les |f, mf i. 2
2
Si on suppose que le champ magnétique statique est relativement faible (c’est le cas dans les horloges), le
~ et on traitera le champ magnétique comme
terme dominant dans le hamiltonien sera le couplage hyperfin aI~ · S
une perturbation des états |f, mf i.
Pour information, les tableaux ci-dessous donnent la décomposition des |f, mf i sur l’ancienne base |i, s, mi , ms i :


 
mi , ms


f,
m




f


 




7/2,
1/2




4,
4




p
p


 








1/8
|7/2,
−1/2i
+
7/8
|5/2,
1/2i
4,
3




p
p


 








1/4
|5/2,
−1/2i
+
3/4
|3/2,
1/2i
4,
2




p
p


 




3/8
|3/2,
−1/2i
+
5/8
|1/2,
1/2i
4, 1
p
p
(63)
=


 4, 0 
 
 p 1/2 |1/2, −1/2i + p1/2 |−1/2, 1/2i 






 


 4, −1 
 
 p5/8 |−1/2, −1/2i + p3/8 |−3/2, 1/2i 








 4, −2 
 
 3/4 |−3/2, −1/2i + 1/4 |−5/2, 1/2i 






p
p


 4, −3 
 
 7/8 |−5/2, −1/2i + 1/8 |−7/2, 1/2i 






 


4, −4
−7/2, −1/2


 
m
,
m


i
s
f,
m




p
p
f 





 3, −3 
 
 p1/8 |−5/2, −1/2i − p7/8 |−7/2, 1/2i 










 3, −2 
 
 1/4 |−3/2, −1/2i − 3/4 |−5/2, 1/2i 




p
p





  3/8 |−1/2, −1/2i − 5/8 |−3/2, 1/2i 
3, −1
p
p
(64)
=
3, 0 

 p1/2 |1/2, −1/2i − p1/2 |−1/2, 1/2i 





 





3, 1 


5/8 |3/2, −1/2i − p3/8 |1/2, 1/2i 





 
 p




3,
2




3/4
|5/2,
−1/2i
−
1/4
|3/2,
1/2i






 
 p
p

3, 3
7/8 |7/2, −1/2i − 1/8 |5/2, 1/2i
~=
Mais aI~ · S
Pour un champ faible, il en résulte que sous l’action d’une induction magnétique, les 2 niveaux d’énergie
hyperfins, f = 3 et f = 4, se décomposent respectivement en 7 et 9 sous-niveaux Zeeman. Les écarts en énergie de
tous ces sous-niveaux dépendent de l’amplitude de l’induction magnétique dans lequel sont plongés les atomes.
En présence d’une induction magnétique statique B, les écarts en fréquence entre les états f = 3 et f 0 = 4
en fonction de mf et mf 0 sont définies par les relations suivantes :
pour la transition f = 3, mf = 0 ⇔ f 0 = 4, mf 0 = 0
ν0,0 ' νCs + 427 × B 2
(Hz si B est en Gauss)
(65)
pour les transitions f = 3, mf 6= 0 ⇔ f 0 = 4, mf 0 = mf
νmf ,mf ' νCs + mf × 701 × B
(Hz si B est en Gauss)
(66)
(Hz si B est en Gauss)
(67)
pour les transitions f = 3, mf ⇔ f 0 = 4, mf 0 = mf ± 1
νmf ,mf 0 ' νCs ∓ mf × 350 × B
Pour remonter à la définition de la seconde il faut connaître l’amplitude de l’induction magnétique vu par les
atomes au cours de leurs trajectoires. A priori, on pourrait penser que, si B est suffisamment petit, il n’existe plus
de difficultés. Or, nous souhaitons mesurer la fréquence de l’horloge avec la meilleure exactitude (aujourd’hui
l’objectif est d’atteindre 10−6 Hz), cela implique que l’amplitude de B doit être plus petit que 5.10−5 Gauss
pour la première transition et plus petit que 10−9 Gauss pour les autres transitions. Si, dans le premier cas, on
pourrait atteindre cette valeur, dans le deuxième cas, une telle induction est irréalisable (sauf très localement).
Il est préférable alors d’appliquer un champ magnétique le plus homogène, le plus stable et avec une direction
bien définie de façon à bien séparer les niveaux et à n’utiliser pour l’horloge que la transition la moins sensible :
f = 3, mf = 0 ⇔ f 0 = 4, mf 0 = 0. Si T est la durée d’interaction, la largeur d’une résonance sera de l’ordre de
1/T alors le champ B doit être choisie pour que l’écart entre les différentes résonances soit beaucoup plus grand
que 1/T .
La fréquence mesurée est donc donnée par :
Z
427
×
B 2 (t) dt
(68)
νmesuré ' νCs +
T
T
où T est le temps total d’interaction (on reviendra plus loin sur la méthode de mesure).
p
~ L,
~ S,
~ J,
~ F
~ ) : F 2 f, mf = f (f + 1) f, mf
2. Rappel sur l’opérateur cinétique (I,
25
Pour corriger les effets magnétiques, il faut donc connaître la valeur moyenne du carré de l’induction magnétique. Cependant, l’effet est relativement petit, 4.10−4 Hz pour B = 1 mG, et donc difficile à mesurer. Pour
l’évaluer au mieux, on fera des mesures de fréquence sur une transition qui dépend linéairement du champ ;
l’effet est environ 106 fois plus grand pour un champ de 1 mG et il est très largement supérieur à tous les autres
déplacements de fréquence. Ainsi, on obtient une très grande sensibilité sur l’évaluation de B. Dans ce cas la
fréquence mesurée est donnée par :
Z
700
×
νmesuré ' νCs + mf
B(t) dt
(69)
T
T
Cependant, la valeur de
hBi. Or,
B mesurée représente la valeur moyenne durant l’interaction
nous
recherchons
2
la valeur moyenne de B 2 . Si l’induction magnétique est inhomogène hBi peut différer de B 2 d’une quantité
non négligeable. Le champ B peut se mettre sous la forme :
où ε a une valeur moyenne nulle.
B = hBi + ε
(70)
2
2
B 2 = hBi + 2 hεi hBi + ε2 = hBi + ε2
(71)
Le déplacement de fréquence est alors égale à :
2
427 × hBi + 427 × ε2
(72)
Comme l’incertitude sur le premier terme est négligeable
(typiquement on peut obtenir une résolution de mesure
sur hBi de 0, 01 µG), il reste la contrainte : 427 × ε2 l’incertitude recherchée. Pour rester inférieur à 10−6
Hz il faut une incertitude sur la valeur rms des inhomogénéités de :
p
hε2 i 4, 8 × 10−5 G
(73)
Le champ doit aussi être stable sur de longues durées. Si ce n’est pas le cas alors le coefficient ε n’est plus à
moyenne nulle, alors :
2
2
2
B = hBi + 2 hεi hBi + ε2 ' hBi + 2 hε(t)i hBi
Pour un champ moyen de 1 mG et une stabilité inférieure au µHz,
hε(t)i <
10−6
= 1, 2 × 10−6 G
2 × 427 × 10−3
La stabilité à longue terme est proportionnel au champ appliqué ; ce champ doit donc être relativement faible
(typiquement 1 mG). Le passage du métro et du RER à côté l’Observatoire de Paris produit des variations de
champ de plusieurs dizaines de mG. Il faut donc protéger les atomes par des blindages magnétiques.
5.2
Un champ électrique statique (effet Stark)
~ = −qEz (si E
~ est selon z). Mais comme l’atome n’a pas de dipôle permanent
Le hamiltonien est H = −d~ · E
ce hamiltonien n’a pas d’effet au premier ordre (pas d’effet résonant). En fait le champ électrique déforme le
nuage atomique et induit un dipôle. Il en résulte un couplage entre le moment dipolaire induit par ce champ et
le champ lui-même ; c’est un effet du 2nd ordre en champ. La correction en énergie de l’état |f, mf i est alors
égale au 2nd ordre :
= q2 E 2
X |hx| z |f, mf i|2
x
Ef,mf − Ex
(74)
où x représente tous les autres états de l’atome.
Comme ce déplacement dépend du niveau considéré, l’écart de fréquence entre 2 niveaux est modifié. Pour
le césium, l’écart de fréquence entre les 2 niveaux hyperfins f = 3 et f = 4 en présence d’un champ électrique
E est donné par :
ν = νCs − 2, 273 × 10−10 E 2
(75)
Dans une horloge atomique, le déplacement de fréquence est donné par :
Z
−10 1
ν − νCs ' −2, 273 × 10
E 2 dt
(76)
T T
Comme la mesure du champ électrique dans une horloge est difficile à extraire, il faut que son effet soit négligeable ; l’amplitude du champ électrique ne doit donc pas dépasser 60 V/m pour 10−6 Hz d’exactitude. La
conception de l’horloge doit tenir compte de cette contrainte. En conséquence, les parois de la zone d’interaction
doivent être entièrement métalliques, équipotentiel et sans inclusion diélectrique.
26
5.3
Le rayonnement du corps noir
Suivant les lois de la thermodynamique, tout corps placé à l’intérieur d’une enceinte isotherme à température
non nulle, échange un rayonnement électromagnétique. Quand le rayonnement est en équilibre thermodynamique
la densité spectrale d’énergie est donnée par la loi de Planck :
ρ(ν) = hν
1
ehν/kT
8πν 2
JHz−1 m−3
− 1 c3
(77)
Un atome sujet à ce rayonnement aura ses niveaux d’énergie modifiés, dû aux interactions avec les champs
électrique et magnétique du rayonnement. À température ambiante le spectre du rayonnement thermique est
centré à 30 THz, très loin des résonances atomiques ; le couplage par interaction dipolaire magnétique est
donc négligeable. Il faut donc aller à l’ordre supérieur avec un effet en E 2 , similaire à l’effet Stark précédent.
Comme pour l’effet Stark, l’énergie de chaque niveau est alors perturbée par le rayonnement thermique avec des
contributions différentes. Il y aura donc un déplacement de la fréquence de résonance de la transition hyperfine.
En intégrant sur tout le spectre, nous trouvons la densité d’énergie totale (loi de Stefan) proportionnelle à
la température à la puissance 4 :
Z
∞
W =
ρ(ν)dν = aT 4
(78)
La densité d’énergie est aussi proportionnelle à la valeur quadratique moyenne du champ électrique :
W = ε0 E 2
(79)
On en déduit donc que :
2
2
E = (831, 9)
T
300
4
(V/m)2
(80)
Le déplacement de fréquence en fonction de la température T (Kelvin) du rayonnement thermique est donné
par :
4
2 !
T
T
ν − νCs ' −1, 573 × 10−4
× 1+ε
300
300
où ε est un paramètre estimé à 0,014. C’est une loi initialement empirique, mesurée en faisant varier T , qui est
aussi validée théoriquement.
Le déplacement de fréquence est relativement important à température ambiante (∼ 10−4 Hz). Il devient
donc impératif pour atteindre une exactitude plus petite que 10−6 Hz de contrôler et de mesurer la température
à mieux que 0,5 K. En outre, l’environnement thermique des atomes doit demeurer le plus homogène possible
(fluctuations < 0,5 K) pour que cette loi soit applicable sans correction majeure. Heureusement il existe des
sondes thermiques faciles à utiliser (platine) qui ont une exactitude de température dans la gamme de 0,05 K.
5.4
Autres effets
Effet Doppler : L’effet Doppler de premier ordre peut être en grande partie annulée par un choix de symétrie
dans l’intéraction entre atomes et champ magnétique. L’effet Doppler de deuxième ordre ne s’annule pas et doit
être pris en compte, selon la magnitude de la vitesse relative des atomes.
Effet du recul : L’effet du recul est très petit pour les horloges basées sur la définition actuelle de la seconde,
étant à la limite de leur exactitude. (En revanche il est important pour de nouvelles horloges en développement,
basées sur des transitions atomiques à des fréquences optiques.)
Interactions entre atomes : Les atomes réagissent entre eux, essentiellement par interaction électromagnétique, pour former des molécules ou former différents états de phase (solide, liquide). Il est clair que ces interactions vont modifier de façon profonde leurs structures énergétiques. Il faut donc travailler avec des atomes
sous forme gazeuse à très basse densité. Les atomes doivent donc être plongés dans un milieu ultra-vide. La
meilleure condition serait de prendre un seul atome, mais dans ce cas le signal d’horloge devient très faible. Pour
le césium, ces phénomènes d’interaction atome-atome même à basses densités constituent une limite possible à
l’exactitude. Nous les mesurons en faisant varier la densité des atomes, pour essayer de déduire la valeur limite
des mesures à densité nulle.
Il existe aussi de nombreux autres déplacements de fréquence : effet Majorana lié à des couplages avec les
autres niveaux Zeeman induit par un champ magnétique inhomogène ; effets d’origine technique inhérents à la
méthode de mesure ; etc.
27
5.5
Le bilan d’exactitude
Le bilan d’exactitude de l’horloge est le recensement de l’ensemble des déplacements de fréquence et de
leurs incertitudes. Les déplacements doivent être additionnés pour obtenir la correction totale à appliquer aux
mesures. Les incertitudes sont cumulées typiquement « en quadrature », ce qui suppose qu’elles correspondent
à des effets physiques qui sont statistiquement indépendants, pour obtenir l’incertitude systematique totale sur
la fréquence de l’horloge. Cette incertitude systématique totale est désignée « l’exactitude » de l’horloge.
Voici un exemple de bilan d’exactitude pour une fontaine atomique à césium :
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5
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=23C
67*%$
<=.:>
28
2)&'3*%4)*5+,-./-01
531
53=
030
F)130
F)53=
F)034
F)53/
F)531
F)/3C
F)/35
;:8
/
;:<
6
6.1
La manipulation d’atomes par lasers
La détection de l’état d’atomes
Pour détecter les états atomiques après l’interaction il existe plusieurs méthodes. Les plus anciennes utilisent
des aimants pour produire des gradients de champ importants et défléchir différemment les états Zeeman
par la force dipolaire magnétique. Après les atomes sont ionisés et le courant d’ionisation est mesuré. Il est
proportionnel au nombre d’atomes sur la trajectoire du détecteur. Une méthode plus efficace est de les détecter
par la fluorescence qu’ils émettent par émission spontanée lorsqu’ils traversent un faisceau laser. Pour le césium,
on utilise les transitions optiques à 852 nm (où à 890 nm). Ce sont des transitions dipolaires électriques que
l’on pourrait traiter de la même façon que la transition dipolaire magnétique. Cependant il faut rajouter au
hamiltonien une interaction avec les modes de champ du vide. En effet le vide est la source de fluctuations
quantiques qui se couple à l’atome et qui sont responsables de l’émission spontanée.
Ici, nous nous intéresserons uniquement au nombre de photons absorbés ou émis par seconde. Il est donné
par l’expression :
N=
Γ
2
I/Is
δω 2
1 + 4 2 + I/Is
Γ
(81)
où Γ est la largeur naturelle (32.8×106 s−1 ), δω est le désaccord laser par rapport à la résonance, I est l’intensité
laser et Is est une intensité de saturation (∼ 1 mW/cm2 ). Le rapport I/Is est donné par la fréquence de Rabi
2
Ω de l’interaction : I/Is = 2 (Ω/Γ) .
Mais attention, l’expression ci-dessus ne prend pas en compte le pompage optique, c’est à dire l’absorption
dans un niveau initial et l’émission spontanée vers un autre niveau. Pour limiter l’effet du pompage optique il
faut prendre des transitions dites cyclantes (4 −→ 5 → 4).
6.2
La sélection d’atomes selon leur état
Considérons le cas simple d’un atome possédant deux niveaux d’énergie séparés par une transition optique.
On appelle Γ, le taux d’émission spontanée du niveau excité de cette transition. Quand un faisceau laser défini
par son vecteur d’onde ~kl et sa fréquence ν proche de la transition entre les deux niveaux éclaire l’atome, il
effectue des cycles de fluorescence : passage dans le niveau excité par absorption d’un photon dans le faisceau
laser suivi d’une désexcitation par émission spontanée d’un photon, dans une direction aléatoire. Ces cycles de
fluorescence s’effectuent au taux de :
Γ
2
I/Is
δω 2
1 + 4 2 + I/Is
Γ
(82)
Le taux maximum est de Γ/2 cycles par unité de temps. Chaque photon possède une quantité de mouvement
}~kl . Par unité de temps, l’atome reçoit donc une impulsion ~~kl ×Γ/2 provenant des photons absorbés dans l’onde
laser, tandis qu’en moyenne, il ne reçoit pas d’impulsion via le processus d’émission car l’émission spontanée de
photons se fait dans des directions aléatoires. On a donc :
Γ
d~
p
= ~~kl
dt
2
1 d~
p
~~kl Γ
Γ
soit ~a =
=
= ~vrec .
m dt
m 2
2
(83)
La grandeur vrec définie dans l’équation ci-dessus représente le changement de vitesse de l’atome dû à l’absorption
d’un photon de l’onde laser. On l’appelle vitesse de recul. Elle vaut 3,52 mm/s pour le césium. Le calcul de
l’accélération obtenue pour l’atome de césium et la transition 4 → 5 utilisée donne a ∼ 6 × 104 m.s−2 , une
accélération considérable.
Cet effet peut être utilisé pour éliminer d’un échantillon d’atomes tout ceux dont leur état interne fait qu’ils
sont en résonance avec le faisceau laser. En effet au travers du cycle d’absorption suivi d’émission spontanée
les photons du laser transfèrent de la quantité de mouvement à ces atomes. En fonction de l’intensité et de la
durée du faisceau laser il est possible de pousser ces atomes complètement en dehors de l’échantillon d’atomes.
Dans ces conditions on désigne le faisceau laser par « faisceau pousseur ».
29
6.3
Le refroidissement d’atomes
Dans un jet thermique d’atomes, la vitesse moyenne des atomes est de l’ordre de 200 m/s avec une dispersion
en vitesse de plusieurs dizaines de m/s. Cela limite donc le temps d’interaction des atomes avec le signal à asservir
(la largeur de résonance est inversement proportionnelle au temps d’interaction) et cela limite aussi l’exactitude
dans la mesure où beaucoup d’effets systématiques dépendent de la vitesse (effet Doppler résiduel, effet Doppler
du second ordre, inhomogénéité du champ magnétique statique, etc....). Il faut donc trouver un moyen qui
ralentit un grand nombre d’atomes tout en conservant une densité atomique faible pour limiter les interactions
entre atomes.
Les techniques de refroidissement d’atomes par laser se sont développées depuis le début des années 80. Ces
techniques mettent en jeu des mécanismes subtils de l’interaction entre la lumière laser et les atomes.
Il existe 3 types principaux de refroidissement : le refroidissement Doppler, le refroidissement Sub-Doppler
et le refroidissement par évaporation. La dernière technique mène à la condensation de Bose-Einstein qui commence juste à être utilisée dans les horloges (forte interaction entre atomes et elle fait intervenir des temps de
préparation qui sont incompatibles avec le fonctionnement des meilleures horloges actuelles).
6.3.1
Le refroidissement Doppler
Nous avons noté ci-dessus que l’interaction avec un faisceau laser peut donner une accélération considérable
à un atome. Cet effet peut aussi être utilisé pour ralentir des atomes. Pour l’atome du césium, l’accélération de
6 × 104 m.s−2 permettrait de stopper en un temps de 3,4 ms et une distance de 34 cm, un atome de vitesse
initiale 200 m.s−1 = 720 km/h.
~ . A cause de l’effet de Doppler,
Prenons 2 ondes laser dans des directions opposées et un atome de vitesse V
V
V
l’atome voit en face de lui une onde de fréquence νl (1 + ) et derrière lui une onde de fréquence νl (1 − ).
c
c
Si la fréquence laser est légèrement en dessous de la fréquence de la résonance atomique alors l’atome a une
probabilité plus grande d’absorber des photons de l’onde qui vient en face. Il en résulte l’apparition d’une force
de pression opposée à la vitesse atomique. Cette force est efficace pour des atomes dont la vitesse est telle
que l’effet Doppler n’excède pas plusieurss largeurs naturelles Γ, soit quelques dizaines de m/s. Pour de faibles
vitesses, la force est proportionnelle à la vitesse : c’est une force de friction. En plus de cette force à l’origine
du refroidissement, se produit également un chauffage dû au caractère aléatoire de l’émission spontanée. A
Γ
l’équilibre, la plus basse température est atteinte lorsque le désaccord laser δω est égal à − et est donnée par :
2
}Γ
Tmin =
(84)
2kB
C’est donc la durée de vie du niveau excité qui conditionne la température limite (à la largeur de la résonance
est reliée une largeur en vitesse dans laquelle les atomes poursuivent des cycles absorption-émission). Pour le
césium Tmin ' 400 µK soit une distribution de vitesse de 10 cm/s.
En appliquant 6 faisceaux laser le long des 3 directions de l’espace, on peut capturer un échantillon d’atomes
issus d’une vapeur et réduire considérablement leurs vitesses. Noter que si la transition cyclante utlisée est
f = 4 −→ f 0 = 5 → f = 4, les atomes refroidis et capturés sont ceux dans l’état f = 4 du niveau fondamental.
Pendant le processus de refroidissement, des transitions 4 → 4 peuvent être induites. La relation (80) donne
le nombre de cycles d’absortion. La transition 4 → 4 est à 250 MHz de la transition 4 → 5 utilisée pour le
refroidissement ; soit 50Γ. Le rapport entre les 2 transitions est donc de environ 4 × 502 = 10000. Pour 10000
cycles sur la transition 4 → 5 alors on aura une transition 4 → 4 et une émission spontanée vers le niveau 3 avec
une probabilité de l’ordre de 1/2. Dans ce cas l’atome n’est plus résonant avec le laser et n’est plus refroidi.
Il faut donc ajouter un faisceau laser résonant sur la transition 3 → 4 pour repomper les atomes dans le
niveau 4.
Si le laser de refroidissement a un niveau de bruit élevé il peut aussi induire des transitions 4 → 4. La qualité
spectrale d’un laser est décrite par son spectre de puissance W en fonction de la fréquence. En général il est
bien décrit par une lorentzienne à la puissance α :
A2 /2
w=
1+
ν − νO
∆ν
2 !α
(85)
où A est l’amplitude et ∆ν la largeur du spectre. En général pour des fréquences supérieures à ∆ν, α vaut 1 et
à des fréquences inférieures il se rapproche de 3/2. La distance en fréquence des niveaux 4 et 5 est de 250 MHz.
Le rapport de l’énergie (ou du nombre de photons) entre les 2 transitions est donc :
30
1
1+
250M Hz
∆ν
2 !
(86)
Si ∆ν > 1 MHz la contribution du laser devient non négligeable. Avec le laser repompeur, ce problème du bruit
du laser disparaît. Cependant lors des processus de refroidissement le bruit du laser influence la température
finale des atomes et lors de la détection il contribue au bruit du signal. La condition ∆ν << 1 MHz doit
demeurer.
La première mélasse optique a été observée en 1985 (mélasse parce que la force s’oppose à la vitesse). Puis 2
ans plus tard, un groupe du NIST a repris ces mesures de température et a constaté que la température pouvait
être bien inférieure à la limite Doppler. L’interprétation physique a été donnée rapidement après par un groupe
de l’ENS et de Stanford ; c’est le refroidissement sub-doppler, dit « Sysiphe ».
6.3.2
Le refroidissement sub-doppler sisyphe
La température Doppler est donnée par l’inverse de la durée de vie de la transition (≈ 30ns pour le césium)
qui caractérise le taux d’émission spontanée, l’origine du chauffage. Si on arrive à allonger ce temps alors on
devrait atteindre des températures plus basses à la condition qu’il existe toujours une force d’amortissement des
vitesses. Lorsque l’état fondamental a une structure Zeeman alors il apparaît de nouvelles constantes de temps
(pompage optique) qui peuvent être plus longues lorsque le désaccord laser δ devient grand et l’intensité laser
faible. Dans la suite nous détaillerons le principe de refroidissement le plus utilisé et le plus simple :sisyphe.
Prenons pour simplifier l’exemple d’un atome qui a 2 sous-niveaux dans l’état fondamental et 4 sous-niveaux
dans l’état excité. A partir d’un niveau de l’état fondamental, il existe 3 transitions possibles qui seront stimulées
par différents états de polarisation de la lumière :
– Linéaire, ∆m = 0.
– Circulaire droite ∆m = 1.
– Circulaire gauche ∆m = −1.
L’important est que ces transitions n’ont pas la même amplitude de probabilité, he| H |f i, (où fréquence de
Rabi) d’être excitée, voir la figure :
Le second point important est que, loin de résonance l’interaction donnée par H(t) devient très faible. Les
états fondamentaux sont donc très peu perturbés et d’après la théorie des perturbations au 1er ordre, seules
leurs énergies sont déplacée d’une quantité proportionnelle à :
δE ∝
X he| H |f i2
e
ωL − ωef
(87)
En conséquence le déplacement en énergie (déplacement lumineux) dépend de l’état de polarisation du champ
d’excitation au travers de he| H |f i.
Si les 2 faisceaux laser contre-propageant de même amplitude sont polarisés linéairement, l’un selon x et
l’autre selon y, (configuration lin⊥lin), le champ total s’écrit :
E ~x ei(kz−ωt) + cc + E ~y ei(−kz−ωt) + cc
(88)
Or, ~xeikz + ~y e−ikz = ~x (cos kz + i sin kz) + ~y (cos kz − i sin kz) = cos kz (~x + ~y ) + i sin kz (~x − ~y ). Dans le
nouveau repère ~x + ~y , ~x − ~y la polarisation du champ électrique total dépend de z comme montrée sur la figure
ci-dessous :
31
En conséquence, comme les déplacements lumineux dépendent des amplitudes de probabilité, qui elles mêmes
dépendent de la polarisation, alors les déplacement lumineux vont évoluer avec la position. La figure ci-dessous
montre l’évolution de l’énergie des 2 sous-niveaux de l’état fondamental de l’atome et la taille des cercles noirs
représentent la probabilité de trouver l’atome. Elle est plus élevée aux énergies les plus basses.
Supposons que l’atome est dans l’état le plus bas, g−1/2 , et qu’il se déplace avec une vitesse v vers les z
positifs. Il gravit une colline de potentiel. Puisque l’énergie totale est conservée, il perd de l’énergie cinétique.
Arrivé au sommet, il se rapproche de résonance et la probabilité d’absorber un photon devient plus grande.
Comme l’onde à cet endroit est polarisée σ + l’atome va dans l’état e1/2 . A partir de cet état il se désexcite
spontanément vers l’état le plus probable ; c’est à dire (cf amplitude de probabilité) vers g1/2 . Il perd donc
toute l’énergie potentielle accumulée par la dissipation de l’émission spontanée. Puis il recommence la même
trajectoire jusqu’à rester dans le fond du puits de potentiel.
32
La température minimale atteinte est alors proportionnelle à :
I
(89)
δ
Pour atteindre les plus basses températures, il faut diminuer l’intensité et/ou augmenter le désaccord des laser
avec des valeurs limites en deçà desquelles le processus sisyphe n’est plus efficace et la température remonte.
Pour le césium, les températures les plus basses sont de 1µK soit une vitesse d’agitation thermique de 7mm/s.
A l’état stationnaire les atomes se calent dans le puits de potentiel défini par les 2 lasers. Evidemment si la
phase relative entre les faisceaux fluctue alors la vitesse des atomes fluctuera aussi et la température sera plus
élevée. Il faut donc des faisceaux lasers cohérents en phase (issus du même laser).
kB T ≈
6.4
Le lancement des atomes
Pour interroger les atomes il faut bien sûr éteindre tous les faisceaux laser puisqu’ils engendrent un déplacement des niveaux et donc un changement de la fréquence de résonance. Mais dans ce cas ils tombent sous l’effet
de la gravité. Pour optimiser le temps d’interaction (plus long et symétrique), les atomes seront lancés vers le
haut.
A la fin du processus de refroidissement les atomes se trouvent dans les puits de potentiel engendrés par
le déplacement lumineux, lieu où la phase des faisceaux laser est constante. Si on décale symétriquement la
fréquence des 2 faisceaux contrepropageant : ei(kz−ωt−∆ωt) + ei(−kz−ωt+∆ωt) , la différence de phase entre les 2
faisceaux est égale à :
∆φ = kz − ∆ωt + kz − ∆ωt = 2kz − 2∆ωt
(90)
Les atomes vont se refroidir aux endroits où la phase est constante (dans le fond d’un puit) : d∆φ = 0 =⇒
∆ω
dz
2kdz − 2∆ωdt = 0. Soit pour une vitesse de
=
= λ∆ν. Par exemple avec ∆ν = 5 MHz, (λ = 852 nm)
dt
k
V2
. Avec cette méthode les atomes sont lancés
V = 4,2 m/s. La hauteur de l’apogée des atomes sera : h =
2g
efficacement à une vitesse uniquement déterminée par le désaccord ∆ν tout en conservant une température très
basse.
33
7
La fontaine atomique
La capture d’un nuage d’atomes froids dans une mélasse, pendant une durée de 0.1 à 1 s, constitue la première
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du +&",(
cycle de )*"%-.(/
la fontaine. Pour
refroidir
atomes,
on utilise$(+)"+%
une mélasse&+(
optique
lin⊥lin,
constituée
2
six faisceaux
laser orthogonaux
(1), d’un rayon
typique de$7"/(
10 mm (à
1/e ) et se
vers/1:
le centre
de
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!" /(#-+)(
#-+/1/%(
5 propageant
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la zone de capture. Dans cette configuration, les faisceaux se propageant l’un vers l’autre ont des polarisations
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"%-.(/ ;('/ 3( 7"&% $"' 3" %(#7+1<&( )( 3" .23"//( .-&;"+%(= >3 /&?% )( )2#"3(' 3"
linéaires et orthogonales, ce qui explique la dénomination mélasse lin⊥lin. La fréquence des faisceaux lasers
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accordée
à quelques)(
largeurs
naturelles
en dessous
la transition optique
utilisée
le refroidissement.
8
!!
La
mélasse
optique
(2)
capture
typiquement
plusieurs
10
atomes
en
1
s
et
diminue
leur
vitesse
quadratique
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2%'-1%( #" ! $ ##!$ (% )( %'6/ B1(+ #-+%'C3(' 3" ;1%(//(
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moyenne à ∆v ' 7 mm.s pour le césium.
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3"+#(
5 haut
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)( (+;1'-+
La seconde phase
consiste à utiliser
les six faisceaux F8$1<&(.(+%4
laser pour lancer les -+
atomes
vers le
la technique
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3" H-+(
)( #"$%&'(4
#(décaler
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5 des
&+(2 triplets
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3"+#(.(+%
%!& #!$!! 9 I
la mélasse
mouvante
: il suffit de
la fréquence d’un
de )(
faisceau
laser. Cette)(
technique
−1
de lancer
les atomes
tout en gardant
dispersion
vitesse étroite
' 7 mm.s )*1+%(''-,"%1-+
et de très bien
%")(4 -+ "permet
-B%(+&
3" /-&'#(
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2%"$(/de/&1;"+%(/
)(∆v/23(#%1-+4
(% )(
contrôler la vitesse de lancement (elle est proportionnelle au décalage de fréquence). Typiquement, on lance à
(#%1-+9
une hauteur de environ 1 m au-dessus de la zone de capture, ce qui correspond à une vitesse de lancement de
I$'6/ 3( 3"+#(.(+%4 3(/ "%-.(/ )( #2/1&. /( %'-&;(+% )"+/ &+ .23"+,( /%"%1/%1<&( )(/ /-&/G+1;("&:
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34
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4,5 m.s−1 . A ce stade, on a obtenu la source d’atomes pour les étapes suivantes de sélection, d’interrogation et
de détection.
Après le lancement, les atomes de césium se trouvent dans un mélange statistique des sous-niveaux Zeeman de
l’état hyperfin f = 4. Pour optimiser le fonctionnement de l’horloge, on sélectionne uniquement l’état horloge
|f i = |f = 3, mf = 0i comme état initial (ou mf = 1 pour mesurer le champ magnétique). Ce niveau est
sélectionné grâce à une interaction micro-onde effectuée dans la cavité de sélection (4), qui déplace les atomes
dans l’état |f i = |f = 4, mf = 0i vers cet état (impulsion π Rabi), et les atomes se trouvant dans les autres
niveaux sont éliminés grâce à la pression de radiation d’un faisceau pousseur (5).
Après la sélection, les atomes abordent la phase d’interrogation. Après une première interaction, sous l’effet
de la gravité, le nuage d’atomes retombe après avoir atteint le sommet de sa trajectoire et subit la deuxième
interaction de Ramsey. Dans les fontaines, on met ceci à profit pour réaliser l’interrogation de Ramsey en
faisant passer les atomes deux fois à travers la même cavité d’interrogation (6), une fois à la montée, une fois à
la descente. Ainsi, on réduit efficacement un déplacement de la fréquence de l’horloge lié à une différence entre
la phase des champs micro-ondes dans les 2 zones d’une cavité de Ramsey standard (utilisée par les horloges à
jet thermique).
La zone d’interrogation est conçue pour préserver les atomes des fluctuations de l’environnement. Le cylindre
(7) symbolise plusieurs écrans thermiques et magnétiques. Tous les lasers pour la manipulation des atomes froids
sont également éteints pendant le vol balistique des atomes dans la zone d’interrogation. La lumière parasite
arrivant dans la zone d’interrogation peut produire des déplacements considérables de la fréquence de résonance
atomique.
Après l’interrogation, les atomes tombent à travers la zone de détection, (8). La première nappe laser en
onde stationnaire excite la transition f = 4 → f 0 = 5. Le nuage atomique émet de la lumière de fluorescence
qui est collectée sur une photodiode. On appelle signal de temps de vol, ce signal temporel qui reflète la forme
du nuage atomique défilant à travers le faisceau de détection. De l’aire du signal de temps de vol, on déduit le
nombre d’atomes Nf =4 = Ne traversant la détection dans le niveau hyperfin f = 4. Les atomes en f = 4 sont
ensuite poussés par pression de radiation par une onde progressive, puis les atomes en f = 3 sont pompés dans
l’état f = 4 avant d’être détectés de la même façon que les f = 4 (Nf =3 = Nf ). La probabilité de transition
vaut :
Ne
.
(91)
P =
Ne + Nf
La durée d’un aller-retour à une hauteur de 1 m sous l’effet de la pesanteur terrestre est de ∼ 760 ms. La
capture des atomes froids durant de ∼ 0.1 à 1 s, le temps de cycle Tc de la fontaine varie de ∼ 0.8 à 2 s.
Lorsque l’horloge fonctionne, on sonde alternativement et à mi-hauteur les deux côtés de la frange centrale
en appliquant une modulation carrée de la fréquence de la micro-onde d’interrogation. La différence entre les
probabilités de transition mesurées de part et d’autre de la frange centrale révèle la différence de fréquence entre
la micro-onde d’interrogation et la résonance atomique. Les différences successives sont utilisées comme signal
d’erreur pour corriger l’oscillateur d’interrogation.
La fontaine FO1 du SYRTE est la première horloge en fontaine construite au monde. Elle fonctionne depuis
1994. Son exactitude est de 4.10−16 et sa stabilité est de 2 × 10−14 τ −1/2 .
La fontaine mobile FOM a été initialement construite comme prototype à atomes froids pouvant fonctionner
en gravité réduite. Puis elle a été transformée en fontaine. Sa particularité est qu’elle est transportable et donc
de conception plus simple que FO1. Les performances sont une stabilité de 6 × 10−14 τ −1/2 et une exactitude de
7.10−16 .
La fontaine double FO2 a la particularité de fonctionner avec des atomes de césium et de rubidium 87 pour
pouvoir faire des comparaisons entre la fréquence hyperfine de césium et la fréquence hyperfine de rubidium.
En effet les fréquences hyperfines dépendent du produit Zα2 où Z est le nombre d’électron et α la constante de
structure fine. En faisant des comparaisons sur le long terme de ces 2 fréquences, on pourrait mettre en évidence
une possible dérive de la constante de structure fine. Elle a des performances similaires à FO1.
35