Théorème des nombres premiers en progression

Théorème des nombres premiers en
progression arithmétique
Pierron Théo
ENS Ker Lann
Stage de première année effectué à l’Institut Élie Cartan de
Nancy, dans l’équipe de théorie des nombres, sous la direction
de Gérald Tenenbaum.

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Table des matières
I Introduction et énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Mise en place des outils et premières propriétés . . . . . . . . 4
II.1 Critère d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 Fonction Λ de Von Mangoldt . . . . . . . . . . . . . . 4
II.3 Caractères de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.4 Fonctions L........................ 8
II.5 Symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.6 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III Preuve analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.1 Démonstration du théorème dans le cas qpremier . . . 14
III.2 Démonstration dans le cas général . . . . . . . . . . . . 19
IV Densité analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
V Preuve algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Notations
On notera :
•a∧ble pgcd de aet b, et a∨bleur ppcm.
•Pl’ensemble des nombres premiers.
•ϕl’indicatrice d’Euler.
•aet qdeux entiers premiers entre eux.
•pνkasi pν|aet pν+1 ∤a.
•si sest un complexe, s=σ+iτ.
•log la détermination principale du logarithme complexe.
De plus, pdésignera toujours un nombre premier.
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I. INTRODUCTION ET ÉNONCÉ DU PROBLÈME
I Introduction et énoncé du problème
Nous allons ici nous intéresser au résultat suivant.
Théorème I.1 Soit (a, q)∈(N∗)2un couple de nombres entiers premiers
entre eux. Il existe une infinité de nombres premiers appartenant à l’ensemble
a+Nq.
Ce théorème a été démontré par Gustav Lejeune-Dirichlet dans une pre-
mière version en 1837 (cas où qest un entier premier) puis généralisé pour
tout nombre entier qen 1839 −1840. Il l’a aussi montré pour les entiers de
Gauss en 1841.
II Mise en place des outils et premières pro-
priétés
II.1 Critère d’Abel
Proposition II.1 Si (an)n∈CNest à sommes partielles bornées et (bn)n∈
(R+)Ndécroît vers 0, alors ∞
X
n=0
anbnconverge.
II.2 Fonction Λde Von Mangoldt
Définition II.1 On définit la fonction Λde Von Mangoldt par
Λ(n) := 
ln(p)si ∃ν > 0, n =pν
0sinon
Proposition II.2 Soit (a, q)∈N2. Quand σ→1+(σ∈R), on a
X
n≡a[q]
Λ(n)
nσ=X
p≡a[q]
ln(p)
pσ+O(1)
Démonstration. Par définition de Λ, on a
X
n≡a[q]
Λ(n)
nσ=X
ν>0X
pν≡a[q]
ln(p)
pσν
=X
p≡a[q]
ln(p)
pσ+X
ν>1X
pν≡a[q]
ln(p)
pσν
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II. MISE EN PLACE DES OUTILS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
Il suffit donc de prouver que
X
ν>1X
pν≡a[q]
ln(p)
pσν =O(1)
On peut majorer cette somme (à termes positifs) par
X
n>1
ln(n)
n2
qui est convergente, ce qui assure le résultat.
II.3 Caractères de Dirichlet
Définition II.2 Soit qun nombre entier tel que q > 1. On appelle caractère
de Dirichlet tout morphisme de groupes de (Z/qZ)∗→C∗.
Théorème II.1 Soit qun nombre premier. Il y a au plus q−1caractères
de Dirichlet de module q.
Démonstration. Soit qun nombre premier. Le groupe (Z/qZ)∗est cyclique
d’ordre q−1 donc tout caractère de Dirichlet χest entièrement déterminé par
l’image d’un générateur de (Z/qZ)∗. On a donc au plus Card((Z/qZ)∗) = q−1
morphismes possibles.
Proposition II.3 Si qest premier, les caractères de Dirichlet associés sont
les
χb:n7→ e2iπbρ(n)
q−1, b ∈J0, q −2K
où ρest l’application définie par gρ(n)=npour tout n∈(Z/qZ)∗(où g
désigne un élément primitif de (Z/qZ)∗).
Démonstration. Ce sont bien des caractères. On a donc trouvé q−1 carac-
tères, ce sont donc les seuls.
On va maintenant décrire les caractères associés à un nombre entier qnon
premier.
On décompose (Z/qZ)∗en un produit direct de groupes cycliques (la
décomposition est unique à l’ordre près). Par le théorème chinois, on a :
(Z/qZ)∗=Y
pνkq
(Z/pνZ)∗
Proposition II.4 Soit pun nombre premier différent de 2,(Z/pνZ)∗est
cyclique.
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