II. MISE EN PLACE DES OUTILS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
Il suffit donc de prouver que
X
ν>1X
pν≡a[q]
ln(p)
pσν =O(1)
On peut majorer cette somme (à termes positifs) par
X
n>1
ln(n)
n2
qui est convergente, ce qui assure le résultat.
II.3 Caractères de Dirichlet
Définition II.2 Soit qun nombre entier tel que q > 1. On appelle caractère
de Dirichlet tout morphisme de groupes de (Z/qZ)∗→C∗.
Théorème II.1 Soit qun nombre premier. Il y a au plus q−1caractères
de Dirichlet de module q.
Démonstration. Soit qun nombre premier. Le groupe (Z/qZ)∗est cyclique
d’ordre q−1 donc tout caractère de Dirichlet χest entièrement déterminé par
l’image d’un générateur de (Z/qZ)∗. On a donc au plus Card((Z/qZ)∗) = q−1
morphismes possibles.
Proposition II.3 Si qest premier, les caractères de Dirichlet associés sont
les
χb:n7→ e2iπbρ(n)
q−1, b ∈J0, q −2K
où ρest l’application définie par gρ(n)=npour tout n∈(Z/qZ)∗(où g
désigne un élément primitif de (Z/qZ)∗).
Démonstration. Ce sont bien des caractères. On a donc trouvé q−1 carac-
tères, ce sont donc les seuls.
On va maintenant décrire les caractères associés à un nombre entier qnon
premier.
On décompose (Z/qZ)∗en un produit direct de groupes cycliques (la
décomposition est unique à l’ordre près). Par le théorème chinois, on a :
(Z/qZ)∗=Y
pνkq
(Z/pνZ)∗
Proposition II.4 Soit pun nombre premier différent de 2,(Z/pνZ)∗est
cyclique.
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