II. Les exemples les plus importants - E

II. Les exemples les plus importants
Objekttyp:
Chapter
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 13 (1967)
Heft 1:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
26.05.2017
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On peut completer l'espace metrique sous-jacent a A/nm n , obtenant un
n
cspace metrique note A qui contient A/nm comme sous espace partout
dense. Le fait que les applications de (A/nm n ) 2 dans (A/nm n ) qui definissent
les lois de composition dans A/r\m n sont uniformement continues permet
de les prolonger par continuity en des applications de (A) 2 dans A definissant
des lois de composition sur A. On verifie que A est ainsi muni d'une structure
d'anneau local de meme corps residuel que A. Cet anneau local est appele
le complete separe de I 'anneau local A.
Si l'ideal maximal m de A est de type fini, on montre que ce complete
separe est noetherien et d 'ideal maximal m . A (ideal engendre pai m dans
A, i.e. (m/nm n) A.)
Si V anneau A est noetherien (et, done, aussi A), l'anneau A est fidelement
plat sur A :
ceci peut se traduire sous la forme suivante peut-etre plus intuitive pour
O' = l> ???> n ) est un systeme d'equations
un non initie: si (1) Y,j=i a ij x j =
lineaires a coefficients dans A, toute solution (xj)j dans A m est combinaison
lineaire a coefficients dans A de solutions dans A m .
II.
Us sont de
1
.
Les exemples les
plus importants
quatre type.
Les anneaux de la geometrie algebrique classique
On considere un corps
kttn indeterminees X l9
...,
Xn L'anneau « type
.
»
est l'anneau
des
fractions rationnelles
sont des polynomes tels que g (0, ..., 0) soit non nul.
Si k est le corps des reels ou le corps des complexes (ou tout autre corps
value complet non discret ou topologique), cet anneau s'identifie a / 'anneau
des germes de fonctions rationnelles au voisinage de 0 dans k n (muni de la
n
topologie produit). Dans le cas general, on peut munir k d'une topologie
moins fine que la topologie naturelle mais rendant les memes services.
Les anneaux de la geometrie algebrique classique sont les quotients de
ces anneaux. Us sont locaux de corps residuel k.
Les anneaux de la geometrie formelle
2.
II s'agit ici d'un point de vue purement algebrique, aucun point de vue
fonctionnel ne pouvant etre developpe.
L'anneau type est l'anneau k \_[X l9 ..., ZJ] des series formelles a coeffi
cients dans le corps ken les indeterminees X l9 ..., Xn . C'est un anneau local,
car une serie formelle est inversible si et seulement si son terme constant est
non mil, de corps residuel k, et complet. On verifie qu'il est le complete de
l'anneau type precedent. Les anneaux locaux qui interviennent en geome
trie formelle sont les anneaux quotients des anneaux types. II est possible
de les caracteriser intrinsequement comme les anneaux locaux complets
de corps residuel k admettant un sous-corps isomorphe a A- et noetheriens.
3.
Les anneaux de la geometrie analytique
Le corps k est value complet non discret (plus precisement tel que la valua
tion defmisse une topologie non discrete): par exemple, le corps R des reels,
le corps C des complexes ou le corps Q p des nombres /?-adiques.
On note k {{X lr ..., Xn }} le sous-anneau de k \_[X l9 ..., Xn ]~] des series
1
convergentes, i.e. des series Y> a h-i n X[ ...Xn n pour lesquelles on peut trou
h
deux
nombres
tels
et
positifs
M
ver
que
ll
(M
et h dependant de la serie).
C'est aussi un anneau local de corps residuel k et dont le complete est
Tanneau k [_[XUX U ..., Xn ]~] des series formelles.
Les anneaux locaux de la geometrie analytique sont les quotients d'an
neaux de ce type. Us sont appeles k-algebres analytiques.
On remarque que l'anneau k{{Xu ..., Xn }} s'identifie a F anneau des
germes defonctions analytiques au voisinage de 0 dans k n (a un germe de fonc
tion analytique on fait correspondre sa serie de Taylor).
4.
Les anneaux locaux de la geometrie differ entie lie
Ici le corps de base est le corps R des nombres reels. On designe (avec
B. Malgrange) par S n l'anneau des germes de fonctions de classe C x au
voisinage de ode k n Aun tel germe il est possible de faire correspondre sa
.
Taylor formelle: si/est un tel germe, on note/une fonction de classe
dans un voisinage de 0 dans k n representant /eton definit
serie de
COOC
00
comme la derivee correspondante a l'origine de
melle de est la serie
/
/;
la serie de Taylor
for
Un theoreme classique d'E. Borel affirme que l'homomorphisme ainsi
defini de S n dans l'anneau k [[X l9 ..., Xn ]] est surjectif.
Comme l'anneau k \[X U ..., ZJ] est complet, on voit qu'il est le separe
complete de S n .
Le noyau de l'homomorphisme surjectif S n -? k \_[X l9 ..., Xn ]\ est
l'ideal des germes de fonctions plates (exemple, en une variable, x->xke~ x lx ).
Si m est l'ideal maximal de S n , ce noyau est, evidemment, n m n . L 'anneau
S n n est done pas noetherien. Toutefois, l'ideal m est de type fini engendre
par les germes des fonctions coordonnees. Les quotients des anneaux S n
sont appeles algebres differ entiab les.
III.
Théorème de préparation
Weierstrass. Malgrange
Cas formel
Une serie
en
Xn si,
en
f(Xl9 ..., X ) ek \XU ..., X J
+ ...+f - (X v ...,X _
s
1
nn
Si le corps
k
)X s
1
suivantes sont satisfaites:
conditions :
n
n
l'ordonnant par rapport a Xn ,
n
1
f(X
est dite reguliere d'ordre s
19
...,
+f (X v ...,X _
s
nn
est de caracteristique 0 ou si s
Xn )
1
=f0 (X l9 ..., XX _
)X +
s
=
n
1
...,
±)
n
les conditions
ceci se traduit par les