II. Les exemples les plus importants - E

II. Les exemples les plus importants
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 13 (1967)
Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 26.05.2017
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On peut completer l'espace metrique sous-jacent aA/nmn,obtenant un
cspace metrique note Aqui contient A/nmncomme sous espace partout
dense. Le fait que les applications de (A/nmn)2dans (A/nmn)qui definissent
les lois de composition dans A/r\mnsont uniformement continues permet
de les prolonger par continuity en des applications de (A)2dans Adefinissant
des lois de composition sur A. On verifie que Aest ainsi muni d'une structure
d'anneau local de meme corps residuel que A. Cet anneau local est appele
le complete separe de I'anneau local A.
Si l'ideal maximal mde Aest de type fini, on montre que ce complete
separe est noetherien et d'ideal maximal m.A(ideal engendre pai mdans
A, i.e. (m/nmn)A.)
Si Vanneau Aest noetherien (et, done, aussi A), l'anneau Aestfidelement
plat sur A:
ceci peut se traduire sous la forme suivante peut-etre plus intuitive pour
un non initie: si (1) Y,j=iaijxj=O'=l> ???> n)est un systeme d'equations
lineaires acoefficients dans A, toute solution (xj)j dans Amest combinaison
lineaire acoefficients dans Ade solutions dans Am.
II. Les exemples les plus importants
Us sont de quatre type.
1.Les anneaux de la geometrie algebrique classique
On considere un corps kttn indeterminees Xl9 ..., Xn.L'anneau «type »
est l'anneau
des fractions rationnelles
sont des polynomes tels que g(0, ..., 0) soit non nul.
Si kest le corps des reels ou le corps des complexes (ou tout autre corps
value complet non discret ou topologique), cet anneau s'identifie a/'anneau
des germes de fonctions rationnelles au voisinage de 0dans kn(muni de la
topologie produit). Dans le cas general, on peut munir knd'une topologie
moins fine que la topologie naturelle mais rendant les memes services.

Les anneaux de la geometrie algebrique classique sont les quotients de
ces anneaux. Us sont locaux de corps residuel k.
2. Les anneaux de la geometrie formelle
II s'agit ici d'un point de vue purement algebrique, aucun point de vue
fonctionnel ne pouvant etre developpe.
L'anneau type est l'anneau k\_[Xl9 ..., ZJ] des series formelles acoeffi
cients dans le corps ken les indeterminees Xl9 ..., Xn.C'est un anneau local,
car une serie formelle est inversible si et seulement si son terme constant est
non mil, de corps residuel k, et complet. On verifie qu'il est le complete de
l'anneau type precedent. Les anneaux locaux qui interviennent en geome
trie formelle sont les anneaux quotients des anneaux types. II est possible
de les caracteriser intrinsequement comme les anneaux locaux complets
de corps residuel kadmettant un sous-corps isomorphe aA- et noetheriens.
3. Les anneaux de la geometrie analytique
Le corps kest value complet non discret (plus precisement tel que la valua
tion defmisse une topologie non discrete): par exemple, le corps Rdes reels,
le corps Cdes complexes ou le corps Qpdes nombres /?-adiques.
On note k{{Xlr ..., Xn}} le sous-anneau de k\_[Xl9 ..., Xn]~] des series
convergentes, i.e. des series Y>ah-inX[1...Xll
nnpour lesquelles on peut trou
ver deux nombres positifs het Mtels que
(M et hdependant de la serie).
C'est aussi un anneau local de corps residuel ket dont le complete est
Tanneau k[_[XUXU..., Xn]~] des series formelles.
Les anneaux locaux de la geometrie analytique sont les quotients d'an
neaux de ce type. Us sont appeles k-algebres analytiques.
On remarque que l'anneau k{{Xu ..., Xn}} s'identifie aFanneau des
germes defonctions analytiques au voisinage de 0dans kn(a un germe de fonc
tion analytique on fait correspondre sa serie de Taylor).
4. Les anneaux locaux de la geometrie differentielie
Ici le corps de base est le corps Rdes nombres reels. On designe (avec
B. Malgrange) par Snl'anneau des germes de fonctions de classe Cxau
voisinage de ode kn.Aun tel germe il est possible de faire correspondre sa

serie de Taylor formelle: si/est un tel germe, on note/une fonction de classe
COOC 00 dans un voisinage de 0dans knrepresentant /eton definit
comme la derivee correspondante al'origine de /; la serie de Taylor for
melle de /est la serie
Un theoreme classique d'E. Borel affirme que l'homomorphisme ainsi
defini de Sndans l'anneau k[[Xl9 ..., Xn]] est surjectif.
Comme l'anneau k\[XU..., ZJ] est complet, on voit qu'il est le separe
complete de Sn.
Le noyau de l'homomorphisme surjectif Sn-? k\_[Xl9 ..., Xn]\ est
l'ideal des germes de fonctions plates (exemple, en une variable, x->xke~ xlx ).
Si mest l'ideal maximal de Sn,ce noyau est, evidemment, nmn.L'anneau
Snnest done pas noetherien. Toutefois, l'ideal mest de type fini engendre
par les germes des fonctions coordonnees. Les quotients des anneaux Sn
sont appeles algebres differentiables.
III. Théorème de préparation
Weierstrass. Malgrange
Cas formel
Une serie f(Xl9 ..., Xn)ek \XU..., XnJest dite reguliere d'ordre s
en Xnsi, en l'ordonnant par rapport aXn,f(X19 ..., Xn)=f0 (Xl9 ..., XXn_±)
+...+fs-1(Xv...,Xnn _1)Xs
n-1+fs(Xv...,Xnn _1)Xs n+..., les conditions
suivantes sont satisfaites:
Si le corps kest de caracteristique 0ou si s=1ceci se traduit par les
conditions: