"la fonction" puissance

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Ministère de
l’Éducation
de la Saskatchewan
Calcul 30
Cahier de l’élève
Unité B : Fonctions
2010
Unité B : Fonctions
Résultats d’apprentissage généraux (RAG)
 Démontrer une bonne compréhension des relations, des fonctions et de la notation fonctionnelle.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B.1.
 Reconnaître et tracer le graphe de fonctions algébriques transcendantales et définies par
intervalles.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B.2 et B.3.
 Déterminer les propriétés de fonctions à partir de graphes et d’équations.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B.4 et B.6.
 Effectuer des transformations et compositions de fonctions et tracer les graphes de fonctions.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B.5 et B.7.
 Soutenir les conclusions dégagées par une utilisation effective et appropriée d’une calculatrice
graphique.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B. 1, B.2, B.3, B.4 et B.5, B.6, et
B.7.
Résultats d’apprentissage spécifiques (RAS)
B.1 Démontrer une nette compréhension des termes « fonction » et « relation » et utiliser la notation
fonctionnelle.
B.2
Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes, identité, linéaires,
quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques, rationnelles, algébriques,
trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou transcendantales, et reconnaître les formes
de base de leur graphe.
B.3
Déterminer les valeurs des fonctions et tracer les graphes de fonctions définies par intervalles
et de fonctions échelons (en escalier).
B.4
Identifier des fonctions comme étant paires, impaires, croissantes, décroissantes, injectives et
non injectives, ainsi que les implications qui en découlent graphiquement.
B.5
Reconnaître la nouvelle forme de la fonction et tracer le graphe de y  f (x) après qu’elle a
été transformée par déplacement, étirement, compression ou réflexion autour d’un axe.
B.6



B.7
Trouver le domaine et l’étendue d’une fonction à partir du graphe et de l’équation de la
fonction.
Représenter les connaissances par divers modes de communication (COM).
Prendre et justifier des décisions en se basant sur sa compréhension des concepts du calcul
(CCT).
Construire des fonctions à partir d’autres fonctions par addition, soustraction, multiplication,
division et composition de fonctions.
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.1
Démontrer une nette compréhension des termes « fonction » et « relation » et utiliser la
notation fonctionnelle.
Théorie
Les fonctions et la notation fonctionnelle jouent un rôle dominant partout dans le développement de la
compréhension en calcul. L’évaluation des limites, la détermination de la continuité, la recherche de
dérivées, le traçage de courbes ou la résolution de problèmes d’optimisation, exigent tous que
l’étudiant puisse communiquer efficacement à l’aide des fonctions et de la notation fonctionnelle.
Les étudiants ont fait connaissance des fonctions et de la notation fonctionnelle dans le cours de Math
A30, même si les termes « fonction linéaire » et « fonction quadratique » avaient déjà été utilisés dans
les cours de Math 10 et Math 20. Dans le cours de Math B30, il a été question des fonctions
exponentielles, logarithmiques, polynomiales et rationnelles, de même que de la réciproque et de
l’inverse d’une fonction. Le cours de Math C30, enfin, a initié les étudiants aux fonctions
trigonométriques.
Il est important que les étudiants puissent décrire la différence entre une relation et une fonction. Une
relation est simplement un ensemble de paires ordonnées, tandis qu’une fonction est un ensemble de
paires ordonnées dans lequel chaque coordonnée en x est apparié à une et une seule coordonnée en y.
L’idée de voir les fonctions comme des machines à transformer les nombres est une bonne analogie.
Les nombres entrant dans la machine, les valeurs d’entrée, forment collectivement le domaine de la
fonction. Les nombres sortant de la machine, les valeurs de sortie, aussi appelées valeurs de la
fonction, constituent collectivement l’étendue de la fonction. (Le domaine et l’étendue seront vus en
detail dans l’objectif B.6.) La fonction convertit un ensemble (souvent des valeurs de x) en un autre
ensemble (souvent des valeurs de y). Comme la valeur de y dépend de la valeur de x ou est une
fonction de la valeur de x, nous écrivons y  f  x  . Parmi les fonctions les plus courantes,
mentionnons la fonction carrée, la fonction réciproque, la fonction racine carrée, la fonction sinus, et
ainsi de suite. La notation y  f  x  évoque le nombre x entrant dans la machine f par la trémie   et
y 16
qui,est
 x notation
 est la valeur
sortant sous la forme y. On peut imaginerf la
f  de
4 
qui se lit « f de 4 égale 16 », comme
x
.
appariée
à
la
valeur
de
une machine qui accepte 4 à l’entrée de la fonction f et qui retourne une valeur, 16, à la sortie. La
fonction f était peut-être une fonction carrée.
 
4
16
f
16 est parfois appelé l’image de 4. Cela évoque une autre analogie que l’on peut utiliser pour décrire
une fonction, soit celle de la lentille qui convertit l’image d’une diapo en une image à l’écran. Dans
cette analogie, la lentille (peut-être la lentille carrée) a converti l’image de la diapo, 4, en une image à
l’écran, 16. En choisissant une lentille différente, on peut modifier l’image de la diapo à l’écran.
On peut aussi se représenter la notation f  x   x 2 comme signifiant « il y a une fonction appelée f qui
accepte le nombre x et qui retourne le nombre x 2 ». Vous pourriez aussi dire que « la fonction f accepte
tout nombre et retourne le carré de ce nombre ». Cela aide les étudiants à interpréter f  2 x  5  comme
étant  2 x  5 2 , puisque « tout nombre » est, ici, 2 x  5 . Écrire f  w   w2 et voir w comme étant « tout
nombre » peut aussi être utile.
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
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B.1(suite)
Démontrer une nette compréhension des termes « fonction » et « relation » et
utiliser la notation fonctionnelle.
1. Quelles touches de fonction y a-t-il sur votre calculatrice? (Exemples : les fonctions carré,
racine carrée et tangente.)
2. Les touches de votre calculatrice sont-elles toutes des touches de fonction?
3. Les parcomètres n’acceptent pas toutes les pièces de monnaie. De même, certaines
machines de transformation des nombres n’acceptent pas n’importe quel genre de nombre.
Quels nombres la fonction f  x   7  x acceptera-t-elle? Expliquez.
4. Sachant qu’une fonction ne peut contenir de points erratiques, tracez le graphe d’une
relation qui n’est pas une fonction. Qu’est ce que le test de la ligne verticale? (Les étudiants
ont déjà eu affaire au test de la ligne verticale dans le cours de Math A30.)
5. Expliquez pourquoi la relation x  y n’est pas une fonction.
2
2
2
6. Expliquez pourquoi la relation x  y  25 n’est pas une fonction.
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
7. L’équation x  y  6 représente-t-elle une fonction? Pourquoi?
8. Supposez que seul de robinet d’eau chaude est ouvert. La température de l’eau quittant de
pommeau de douche est une fonction du temps pendant lequel le robinet est ouvert. Tracez
un graphe de cette fonction.
9. Vrai ou faux?
(a) La notation f  5   4 signifie que la valeur de x qui est associée à une valeur de 5 est
4.
(b) La notation f  5   4 signifie que la valeur de x qui est associée à une valeur de 4 est
5.
(c) La notation f  5   4 signifie que la valeur de y qui est associée à une valeur de 5 est
4.
(d) La notation f  5   4 signifie que la valeur de y qui est associée à une valeur de 4 est
5.
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2
2
10. Soit la fonction f  x   ax  bx  c . Si b  4ac  0 , alors combien de valeurs de x
telles que f  x   0 peut-on trouver?
11. Écrivez chacune des expressions suivantes sous la forme de fonctions.
(a) L’aire A  s  d’un carré en termes de la longueur de son côté s.
(b) La circonférence d’un cercle C  r  en termes de son rayon r.
(c) L’aire d’un cube S  e  en termes de la longueur de son arête e.
(d) Le volume d’un cube V  A en termes de l’aire de l’une de ses faces A.
(e) L’aire A  x  d’un triangle équilatéral en termes de la longueur de son côté x.
(f) L’aire A  x  d’un rectangle en termes de sa largeur x, si le périmètre du rectangle est
de 60 cm.
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.1 (suite)
Démontrer une nette compréhension des termes « fonction » et « relation » et
utiliser la notation fonctionnelle.
Théorie
Demandez à chaque étudiant de penser à une fonction simple (une machine à transformer les nombres)
sans révéler cette fonction à personne. Choisissez un étudiant, donnez-lui quelques valeurs d’entrée et
demandez-lui de donner les valeurs de sortie correspondantes – en utilisant le vocabulaire approprié
des fonctions. (Par exemple, vous dites à l’étudiant que x  4 et l’étudiant répond par « f de 4 égale 16
». Voyez si quelqu’un dans la classe peut déterminer la fonction que l’étudiant a choisie. Répétez cet
exercice avec les autres étudiants (COM).
Le symbole employé pour représenter les valeurs d’entrée d’une fonction s’appelle la variable
indépendante. Le symbole employé pour représenter les valeurs de sortie d’une fonction s’appelle la
variable dépendante. Si votre tarif interurbain est de 0,10 $ la minute, alors le coût d’un appel
interurbain est une fonction du nombre de minutes pendant lesquelles vous parlez. Si C représente le
coût et t, le nombre de minutes, alors C  0,10t . Dans le cas présent, t est la variable indépendante
(elle peut changer) et C, la variable dépendante (sa valeur dépend de t.)
Les étudiants doivent se familiariser avec les quatre façons suivantes de représenter une fonction. Pour
certaines fonctions, une forme sera préférée aux autres.
 En mots : « mettre au carré le nombre donné. »
 tableau de valeurs numériques :
x
4
0
3
34
y
16
0
9
9 16
À l’évidence, on ne pourrait jamais donner un tableau complet des valeurs numériques pour la
fonction décrite en mots ci-dessus.
 notation fonctionnelle : f  x   x 2
 graphe :
y
Les étudiants doivent se pratiquer à utiliser la notation fonctionnelle dans le contexte de diverses
fonctions et valeurs de x. Demandez aux étudiants d’évaluer les fonctions d’expressions variables.
Demandez-leur aussi de trouver, étant donnée une valeur de f  x  , une valeur de x tant
algébriquement que graphiquement. Choisissez des exemples de x et f  x  qui mettront les étudiants
en présence de quotients qui sont nuls, non définis et indéterminés.
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B.1 (suite) Démontrer une nette compréhension des termes « fonction » et« relation » et utiliser
la notation fonctionnelle.
12. Supposez que l’image de chaque fonction est limitée aux nombres réels.
3
(a) Si f  x   x 
(b) Si f  x  
 1
3
f
f

2
   , f  0  , 9 f 1


,
trouvez
,
x2
 2
x3  4 x
, trouvez f  0  , f  2  , f  2  , f
x2  4
 2 .
b
(c) Si g  b   2  b 1 , trouvez g 1 , g  0  , g  1 , g  2  .
2
(d) Si p    sin     , trouvez p  0  , p  4  , 4 p    2  .
2
(e) Si j  x   x  2 x , trouvez j  2 x  , j  x  2  ,
j  x  h  j  x
h
.
3
2
(f) Si f  x   x  2 x , trouvez f  h 2  , f  2  h  et f  x  h   f  x  .
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(g) Si g  x   x 
(h) Si h  x  
1
 1 
1
, trouvez g  h  , g   , g 1  h  , g 
 et g  x  h  .
x
1 h 
h
5x  3
, trouvez x si h  x   7 .
2
(i) Si s  t   3  2 t  7 , trouvez t si s  t   3 .
3
(j) Si p  x   x  9 x , trouvez x si p  x   0 .
13. En étudiant le graphe de y  f  x  sur le domaine  5,5 ci-dessous, trouvez :
(a) f  0 
(b) f 1
(c) f  2 
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(d) f  3 2 
(e) f  4 
(f) f  2 
(g) w, si w   0, 5 et f  w   1
(h) d, si d   5, 0  et f  d   3
(i) toutes les valeurs de k dans l’intervalle  5,1 pour lesquelles f  k   0 .
14. Vrai ou faux? La valeur de f  b  est la hauteur du graphe au-dessus l’axe des x en x  b .
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.2
Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes, identité,
linéaires, quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques, rationnelles,
algébriques, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou transcendantales, et
reconnaître les formes de base de leur graphe.
Théorie
Pour une communication et une compréhension efficaces tout au long du cours, les étudiants doivent
pouvoir identifier les types de fonctions en examinant la forme de l’équation de la fonction. Il est aussi
important qu’ils connaissent les formes des graphes des différents types de fonctions et qu’ils puissent
identifier quel type de fonction peut être représenté, étant donné le graphe de la fonction. L’utilisation
de calculatrices graphiques est fortement recommandée pour revoir les idées anciennes et établir les
nouvelles idées de cet objectif.
Une fonction polynomiale est une fonction de la forme f  x   an x n  an 1 x n 1  an  2 x n  2  . . .  a2 x 2  a1 x  a0 ,
dans laquelle n est un entier non négatif et les nombres réels an , an 1 , an  2 , . . . , a2 , a1 , a0 sont des
constantes appelées les coefficients du polynôme. On dit que la fonction polynomiale a un degré n et
3
4
un coefficient principal an . Ainsi, f  x   3x 7  x5  2 x 4   x  2 est une fonction polynomiale de
degré 7 qui a comme coefficient principal 3 . Les fonctions polynomiales de degré 0 sont appelées
fonctions constantes et peuvent s’écrire sous la forme f  x   b . Les fonctions polynomiales de degré
1 peuvent s’écrire sous la forme f  x   mx  b et sont appelées fonctions linéaires (la pente est m, le
point d’intersection avec l’axe des y est b). Les fonctions polynomiales de degré 2 peuvent s’écrire
sous la forme f  x   ax 2  bx  c et sont appelées fonctions quadratiques. Les graphes de fonctions
quadratiques sont appelés des paraboles. Les fonctions polynomiales de degré 3 sont appelées
fonctions cubiques.
y
y
x
y
x
fonction
fonction
y
fonction
fonction
y
x
x
y
x
fonction
polynomiale de
x
fonction
polynomiale de
Rappelez aux étudiants (Math B30) que les fonctions polynomiales de :
degré impair avec an  0 commencent dans le quadrant III et finissent dans le quadrant I.
degré impair avec an  0 commencent dans le quadrant II et finissent dans le quadrant IV.
degré pair avec an  0 commencent dans le quadrant II et finissent dans le quadrant I.
degré pair avec an  0 , commencent dans le quadrant III et finissent dans le quadrant IV.
Une fonction puissance est une fonction qui peut s’écrire sous la forme y  x a , où a est un nombre
réel. Les étudiants doivent se familiariser avec les trois cas suivants.
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B.2 (suite)
Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes,
identité, linéaires, quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques,
rationnelles, algébriques, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou
transcendantales, et reconnaître les formes de base de leur graphe.
1. Donnez (si possible) un exemple
(a) De fonction polynomiale de degré 3.
(b) De fonction linéaire à pente négative.
(c) De fonction constante dont le graphe passe par les quadrants III et I.
(d) De fonction constante dont le graphe passe par les quadrants III et IV.
(e) De fonction quadratique qui s’ouvre vers le bas.
(f) De fonction exponentielle croissante.
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(g) De fonction exponentielle décroissante.
(h) De fonction logarithmique croissante.
(i) De fonction logarithmique décroissante.
(j) De fonction puissance qui est une fonction polynomiale.
(k) De fonction puissance qui n’est pas une fonction polynomiale.
2. Indiquez si l’énoncé suivant est toujours vrai, parfois vrai ou jamais vrai.
(a) Les fonctions linéaires sont des fonctions constantes.
(b) Les fonctions quadratiques sont de degré 3.
(c) Le graphe d’une fonction polynomiale de degré 4 ayant un coefficient principal négatif
commencera dans le quadrant III et finira dans le quadrant IV.
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(d) Les graphes de fonctions rationnelles ont des asymptotes verticales.
(e) Les graphes de fonctions rationnelles ont des asymptotes horizontales.
(f) Les fonctions trigonométriques sont périodiques — leurs graphes se répètent.
(g) Le graphe d’une fonction trigonométrique comporte une asymptote verticale.
(h) Le graphe d’une fonction trigonométrique comporte une asymptote horizontale.
(i) La fonction réciproque est une fonction puissance.
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.2 (suite)
Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes,
identité, linéaires, quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques,
rationnelles, algébriques, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou
transcendantales, et reconnaître les formes de base de leur graphe.
Théorie
Premier cas : a  n , où n est un entier positif.
Si a est un entier positif, la fonction puissance est aussi une fonction polynomiale. Les étudiants
doivent se rendre compte que la forme de y  x n varie suivant que n est pair ou impair. Soulignez que
si n est pair et augmente, la forme de f  x   x n ressemble à celle de f  x   x 2 , sauf que le graphe
devient de plus en plus plat lorsque x tend vers x  0 et de plus en plus vetical pour x  1 . De même,
si n est impair et augmente, alors la forme de f  x   x n ressemble à celle de f  x   x3 , sauf que le
graphe devient de plus en plus plat lorsque x tend vers x  0 et de plus en plus vetical pour x  1 . Les
étudiants doivent se rendre compte que toutes les fonctions puissance passent par les points  0, 0  et
1,1 . Ils doivent pouvoir tracer les graphes de f  x   x , f  x   x 2 et f  x   x3 sans effort.
Deuxième cas : a 
1
, où n est un entier positif supérieur à 1.
n
1
La fonction f  x   x n  n x est une fonction racine. Si n  2 , f  x   x , c’est la fonction racine carrée
avec x   0,   . Si n  3 , f  x   3 x , c’est la fonction racine cubique avec x   ,   . Laissez les
étudiants découvrir, en expérimentant avec la calculatrice graphique, que si n est pair et augmente, la
1
forme de f  x   x n ressemble à celle de f  x   x , sauf que le graphe devient de plus en plus vetical
1
près de x  0 et de plus en plus plat pour x  1 . Si n est impair et augmente, la forme de f  x   x n
ressemble à celle de f  x   3 x , sauf que le graphe devient de plus en plus vetical près de x  0 et de
plus en plus plat pour x  1 . Les étudiants doivent pouvoir tracer les graphes de f  x   x et
f  x   3 x sans effort.
Troisième cas : a  1 .
La fonction f  x   x 1 
1
est la fonction réciproque dont le graphe est une hyperbole rectangulaire
x
avec les axes des coordonnées comme asymptotes (Math C30)
y
y
y 3 x
y x
y5x
y7x
y 4x
y 6x
y
x
x
x
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
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B.2 (suite)
Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes,
identité, linéaires, quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques,
rationnelles, algébriques, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou
transcendantales, et reconnaître les formes de base de leur graphe.
3. Classez chacune des fonctions suivantes comme étant une fonction constante, identité,
linéaire, quadratique, cubique, polynomiale (spécifiez le degré), puissance, racine,
réciproque, rationnelle, algébrique, trigonométrique, logarithmique, exponentielle ou
transcendantale. Utilisez le classement le plus précis possible.
(a) f  x   x 4  3 x 2 1
(b) f  x   6 x
(c) f  x   csc x
(d) f  x  
x 1
2x  4
(e) f  x   
(f) f  x   3x  4
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(g) f  x   2 x  3 x
1.44
(h) f  x   x
x
(i) f  x   1.44
(j) f  x   log 7 x
(k) f  x  
1
x
2
(l) f  x   2  x
(m) f  x  
2  x2
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
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(n) f  x   x
3
(o) f  x   0.7 x  3 x
2
(p) f  x   x  3 x
(q) f  x   x
7
(r) f  x   2 x 4  x
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
Sans utiliser votre calculatrice graphique, associez chaque fonction à l’un des deux graphes à droite.
La fenêtre affichée est  0, 2 pour x et y.
4. (a) f  x   x3
(b) g  x   log 2 x
5. (a) f  x   2 x
(b) g  x   3 x
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
6. (a) f  x   1 x
(b) f  x   log1 2 x
7. (a) y  sin x
(b) y  x
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B.2 (suite)
Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes,
identité, linéaires, quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques, rationnelles,
algébriques, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou transcendantales, et
reconnaître les formes de base de leur graphe.
Théorie
Une fonction rationnelle est une fonction formée en prenant le rapport de deux polynômes. Depuis
leur cours de Math B30, les étudiants doivent se rappeler que f  x  
p  x
q  x
a des asymptotes verticales
aux valeurs de x pour lesquelles q  x   0 , pourvu que p  x   0 . Si le degré de p  x  est inférieur au
degré de q  x  , f  x  a comme asymptote horizontale y  0 et si le degré de p  x  est égal au degré de
q  x  , alors f  x  a comme asymptote horizontale y  k , où k est le rapport des coefficients principaux
des fonctions polynomiales. Notez que la fonction réciproque est aussi une fonction rationnelle.
Les fonctions algébriques sont des fonctions qui sont formées en effectuant un nombre fini
d’opérations algébriques (comme l’addition, la soustraction, la multiplication, la division et la racine
carrée) sur les polynômes. Ainsi, toutes les fonctions rationnelles sont aussi algébriques. Voici
quelques exemples de fonctions algébriques : f  x   x 9  x 2 , g  x  
1 x 1
3
x 1
et h  x   3 x 2 3  2 x1 3 . Les
graphes des fonctions algébriques varient grandement.
y
y
x
x
y  x 9  x2
y  3x 2 3  2 x1 3
Les fonctions f  x   sin x , f  x   cos x , f  x   tan x , f  x   csc x , f  x   sec x et f  x   cot x sont des
fonctions trigonométriques. Les étudiants ne devraient pas avoir de difficulté à consacrer deux
périodes de classe à chacune, à moins qu’ils ne prennent le cours de Math C30 concurremment avec le
cours de Calcul. Si c’est le cas, ne consacrez pas le temps de classe de Calcul à développer ce qui est
vu dans la classe de Math C30.
Les fonctions exponentielles sont des fonctions de la forme f  x   b x , où la base b est un nombre
positif réel autre que 1. Les graphes de fonctions exponentielles de cette forme passent toujours par le
point  0,1 et se trouvent entièrement dans les quadrants II et I. Si b  1 , le graphe est toujours
croissant et si 0  b  1 , le graphe est toujours décroissant. L’axe des x est une ligne asymptotique
horizontale.
y
y
x
y  2x
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y  1 2 
x
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.2 (suite)
Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes,
identité, linéaires, quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques,
rationnelles, algébriques, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou
transcendantales, et reconnaître les formes de base de leur graphe.
8. Tracez les graphes des fonctions suivantes au moyen d’une fenêtre appropriée de la
calculatrice. Décrivez comment les graphes sont positionnés l’un par rapport à l’autre pour
x   0,1 et pour x  1,   .
x
(a) y  2 , y  3x , y  4 x
(b) y  1 2  , y  1 3 , y  1 4 
x
x
x
(c) y  log 2 x , y  log 3 x , y  log 4 x (Rappelez-vous la formule de changement de base :
log x
log 2 x 
.)
log 2
(d) y  log1 2 x , y  log1 3 x , y  log1 4 x
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 21
B.2 (suite)
Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes,
identité, linéaires, quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques,
rationnelles, algébriques, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou
transcendantales, et reconnaître les formes de base de leur graphe.
Théorie
Les fonctions logarithmiques sont des fonctions de la forme y  logb x , où la base b est un nombre
positif autre que 1. Les graphes de fonctions logarithmiques de cette forme passent toujours par le
point 1, 0  et se trouvent entièrement dans les quadrants I et IV. Si b  1 , le graphe est toujours
croissant et si 0  b  1 , le graphe est toujours décroissant. L’axe des y est une ligne asymptotique
verticale.
y
y
x
x
y  log12 x
y  log 2 x
Les fonctions transcendantales sont des fonctions qui ne sont pas algébriques. Elles incluent les
fonctions trigonométriques, les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmiques.
Le diagramme au-dessous peut aider à classer les fonctions.
Fonctions
Algébrique
- Constante
- Polynomiale
- Identité
- Linéaire
- Quadratique
- Cubique
Transcendantale
Rationnelle
Trigonométrique
Puissance
Réciproque
Racine
Logarithmique
Exponentielle
f  x   x 2 est une fonction polynomiale, une fonction puissance et une fonction rationnelle ( x 2 
D’où l’intersection des trois ensembles. f  x  
x2
).
1
x6
est une fonction rationnelle et une fonction
2
1
2
polynomiale, f  x   x  3 , mais non une fonction puissance. f  x   x 2.16 est une fonction puissance,
mais non une fonction rationnelle ni une fonction polynomiale.
On peut répartir les étudiants en groupes pour faire des recherches sur chacun des différents types de
fonctions, puis faire une brève présentation en classe (IL, PSVS, CCT, COM). Les étudiants doivent
faire montre d’attitudes et de comportements appropriés au travail avec et pour les autres (CD3.2).
Page 22
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.2 (suite)
Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes,
identité, linéaires, quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques,
rationnelles, algébriques, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou
transcendantales, et reconnaître les formes de base de leur graphe.
Les étudiants doivent se rappeler instantanément les graphes des fonctions de base suivantes, de façon
qu’ils puissent tracer les graphes de fonctions similaires en effectuant des transformations
géométriques — voir section B.5. Ils peuvent fabriquer des « cartes-éclair » — montrant la fonction
d’un côté, le graphe de l’autre. Plus tard, dans la section B.4, ils ajouteront de l’information à leurs
cartes-éclair en classant les fonctions suivant qu’elles sont croissantes, décroissantes, paires, impaires,
injectives ou non injectives et, après l’étude de la section B.6, ils pourront ajouter le domaine et
l’étendue.
y  k (k est une constante)
yx
y  x2
y  x3
y x
y3x
1
y
x
y  sin x
y  cos x
y  tan x
y  csc x
y  sec x
y  cot x
y  2 (on trouvera plus loin, dans le cours, y  e x )
y  log 2 x (on trouvera plus loin, dans le cours, y  ln x )
x
y  x (de l’objectif A.5)
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 23
B.3
Déterminer les valeurs des fonctions et tracer les graphes de fonctions définies par
intervalles et de fonctions échelons (en escalier).
Théorie
Les étudiants n’ont jamais eu affaire, sinon si peu, aux fonctions définies par intervalles et aux
fonctions échelons (en escalier). Ces fonctions doivent être étudiées, car elles décrivent de nombreux
phénomènes et fournissent un contexte utile pour l’étude de la continuité et de la dérivabilité.
Une fonction définie par intervalles utilise différentes règles de fonctions pour différentes parties du
40, x   0,100
décrit le coût (en dollars) de la location
40  0, 25  x  100  , x  100,  
domaine. La fonction C  x   
d’une voiture et d’un déplacement de x kilomètres. La fonction indique que pour la location de la
voiture et une distance parcourue d’entre 0 et 100 kilomètres (100 km inclus), le coût sera de 40 $. Il
en coûte toutefois 0,25 $ pour chaque kilomètre au-delà de 100. Ainsi, C  83  40 $ , tandis que
C 183  40  0, 25 (83)  60, 75 . Pour tracer le graphe d’une telle fonction, tracez le graphe de chaque
partie de la fonction en utilisant la règle qui l’accompagne. Utilisez des cercles vides et pleins pour
indiquer si les valeurs frontières de chaque partie sont incluses ou exclues. Assurez-vous de ne jamais
avoir deux cercles pleins l’un au-dessus de l’autre. Le graphe de cette fonction, tracé à l’aide d’une
calculatrice TI-83 (en DOT MODE), figure ci-dessous. Notez la façon d’entrer la fonction dans la
calculatrice.
2, x   , 4 
Le graphe de la fonction f  x    x  1, x   4,1 figure ci-dessous.
 x 2 , x  1,  

y
Incitez les étudiants à tracer le cercle déterminé
par la valeur frontière de chaque intervalle et
utilisez un cercle vide ou plein pour indiquer si la
valeur frontière est incluse. Les étudiants
peuvent vouloir utiliser un tableau de valeurs
numériques pour trouver les cercles.
6
Pour trouver les valeurs de la fonction, les
Étudiants doivent identifier l’intervalle dans
lequel se trouve une valeur particulière de x,
puis utiliser la formule appropriée.
6
4
2
4
2
0
0
2
4
6
x
2
4
6
Ainsi, pour la fonction f  x  ci-dessus, f  11  2 , parce que 11   , 4  ; f  7   7 2  49 parce que
7  1,   ; f  2   2 1  3 parce que 2   4,1 . Note : f(1) = 12 et non 1-1 à cause du domaine.
De la même façon, f(-4) = -4 - 1 et non -2 à cause du domaine.
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.3 (suite)
Déterminer les valeurs des fonctions et tracer les graphes de fonctions définies par
intervalles et de fonctions échelons (en escalier).
Un excellent exemple de fonction définie par intervalles est celui du système fiscal fédéral, dans lequel
le montant d’impôt payé est une fonction de son revenu. Le taux d’imposition est différent pour chaque
tranche de revenu. Tracez le graphe de cette fonction (vérifiez les taux d’imposition pour l’année en
cours sur l’Internet). Une discussion de l’impôt sur le revenu découlera probablement de cette activité.
Les étudiants pourraient examiner comment différents scénarios d’emploi peuvent influer sur leur vie
(CD3.9).
 x , x   4,  

, évaluez chacune des expressions suivantes :
1. Si g  x    x, x   2, 4
 x 2 , x   , 2 

(a) g 16 
(b) g  6 
(c) g 1
(d) g  4 
(e) g  2 
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 25
2. Tracez le graphe de la fonction g  x  du problème 1 ci-dessus.
3. À l’automne 2003, le coût C  m  d’expédition, au Canada, d’une lettre de format standard
et d’une masse de m grammes était donné par la fonction poste suivante :
0, 48 $, m   0,30
C  m  
. Expliquez pourquoi il s’agit d’une fonction définie par
0, 77 $, m   30,50
intervalles. Tracez le graphe de cette fonction.
4. Si votre tarif pour les appels interurbains est de 10 ¢ par minute ou fraction de minute,
écrivez une fonction définie par intervalles pour décrire ce tarif et tracez le graphe de la
fonction. Utilisez C  x  pour représenter le coût, en cents, d’un appel qui a duré x
minutes.
1, x   , 0 

. Cette fonction est utilisée
5. La fonction signum est définie ainsi : sgn  x   0, x  0
1, x   0,  

pour indiquer si un nombre est positif, négatif ou nul.
Tracez le graphe de S  x  x  0, 60  . Combien d’années de travail cela représente-t-il ? À
quel genre de situation de la vie courante ce type de graphe est-il régulièrement associé ?

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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
6. Supposez que votre salaire annuel en dollars, S  x  , à x mois d’aujourd’hui, est donné par

x
12
la fonction S  x   50 000 1, 05   (l’exposant contient la fonction plancher – le plus
grand entier inférieur ou égal à x). Que cela signifie-t-il pour votre salaire ?
Est-ce réaliste ? Utilisez cette fonction pour déterminer votre salaire dans :
(a) 0 mois.
(b) 11 mois.
(c) 13 mois.
(d) 23 mois.
(e) 255 mois.
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 27
B.3 (suite)
Déterminer les valeurs des fonctions et tracer les graphes de fonctions définies par
intervalles et de fonctions échelons (en escalier).
Théorie
Notez que la fonction en valeur absolue est une fonction définie par intervalles.
 x, si x  0
f  x  x  
.
 x, si x  0
Il est important que les étudiants puissent aisément lire des fonctions définies par intervalles et
construire et lire leurs graphes. Il est aussi important qu’ils puissent comprendre et décrire des
problèmes de la vie courante, représentés par des fonctions définies par intervalles.
7. Écrivez une fonction définie par intervalles pour décrire chaque graphe. Chaque
représente une unité.
y
y
0
0
carré
x
0
0
x
8. Tracez le graphe des fonctions suivantes.
 2 x 0  x
(a) f ( x)  
x  5 x  0
40 0  x  10

(b) g ( x)  22  0.2 x 10  x  100
42 x  100

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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(c) h( x)  1x  21
9. Écrivez l’équation pour une situation de la vie courante mettant en jeu une fonction définie
par intervalles. Expliquez ce que chaque partie de la fonction représente.
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 29
B.4
Identifier des fonctions comme étant paires, impaires, croissantes, décroissantes,
injectives et non injectives, ainsi que les implications qui en découlent graphiquement.
Théorie
De savoir si une fonction est paire, impaire, croissante, décroissante, injective ou non injective aide à
comprendre le graphe de cette fonction ou à déterminer si sa réciproque est aussi une fonction. La
calculatrice graphique sera utile dans l’exploration de ce concept.
La compréhension de la symétrie est essentielle. Commencez par montrer aux étudiants un tracé
(partie d’un graphe) dans le premier quadrant et demandez-leur d’en faire une réflexion autour de
l’axe des y. Demandez aux étudiants où se trouve l’image-mirroir de chaque point  a, b  du premier
quadrant dans le second quadrant  a, b  . Demandez-leur où se trouve l’image-mirroir de chaque point
 a, b  du premier quadrant dans le troisième quadrant  a, b  .
y
 a, b 
y
 a, b 
 a, b 
x
x
Si une fonction a une symétrie
par rapport à l’origine, son
graphe peut être tourné de 180
autour de l’origine et elle
retrouvera sa position originale.
Notez que la symétrie par
rapport à l’origine s’obtient aussi
par réflexion autour de l’axe des
y, puis autour de l’axe des x.
 a, b 
symétrie par rapport à l’axe
des y
symétrie par rapport à
l’origine
En discutant de la symétrie par rapport à l’axe des y, soulignez que la valeur de y en a est la même
que celle de y en a. En discutant de la symétrie par rapport à l’origine, soulignez que la valeur de y en
a est l’opposée de la valeur de y en a. Cela devrait alors conduire aux définitions suivantes. Une
fonction est dite paire de x si f   x   f  x  pour toutes les valeurs de x qui se trouvent dans le
domaine de la fonction; une fonction paire a donc toujours une symétrie par rapport à l’axe des y. Une
fonction est dite impaire de x si f   x    f  x  pour toutes les valeurs de x qui se trouvent dans le
domaine de la fonction; une fonction impaire a donc toujours une symétrie par rapport à l’origine.
Étant donné le graphe d’une fonction paire ou impaire dans le premier quadrant, on peut compléter
son graphe par une réflexion appropriée. Les termes « paire » et « impaire » peuvent être liés au fait
que les fonctions puissance, comme f  x   x 2 et f  x   x 4 , (notez les puissances paires) sont des
fonctions paires parce que f   x   f  x  , c’est-à-dire   x 2  x 2 et   x 4  x 4 . Les fonctions puissance,
telles f  x   x3 et f  x   x5 (notez puissances impaires), sont des fonctions impaires parce que
f   x    f  x  , c’est-à-dire   x     x3  et   x     x5  . Peut-être voudrez-vous demander aux
3
5
étudiants de tracer les graphes de ces fonctions sur leurs calculatrices graphiques pour voir les
différentes symétries.
Les étudiants doivent pouvoir déterminer si une fonction est paire ou impaire en examinant le graphe
de la fonction ou la fonction elle-même. Pour déterminer si la fonction f  x   2 x 4  3x 2  7 est paire ou
impaire, vous devez examiner f   x  . Dans ce cas, f   x   2   x 4  3   x 2  7  2 x 4  3x 2  7 , soit la
même chose que f  x  . Donc la fonction est paire et son graphe aura une symétrie par rapport à l’axe
des y.
Page 30
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.4 (suite)
Identifier des fonctions comme étant paires, impaires, croissantes, décroissantes,
injectives et non injectives, ainsi que les implications qui en découlent
graphiquement.
Demandez aux étudiants d’utiliser les graphes des fonctions de base étudiés dans l’objectif B.3 pour
déterminer si la fonction est paire, impaire, croissante, décroissante, injective ou non injective. Faitesleur ajouter cette information à leurs cartes-éclair.
Montrez aux étudiants des graphes de fonctions autres que celles de base ci-dessus et demandez-leur
encore une fois de déterminer si la fonction est paire, impaire, croissante, décroissante, injective ou
non injective. Les étudiants peuvent créer des fonctions sur leur calculatrice et travailler avec un
partenaire, classer leurs propres fonctions et celles de leur partenaire.
Une fonction, dont une portion du graphe figure ci-dessous, a un domaine  3,3 . Si la fonction est
définie pour toutes les valeurs réelles de x, complétez le graphe de la fonction si elle est (a) paire, (b)
impaire, (c) ni l’un ni l’autre.
y
x
3
1. Trouvez les coordonnées de chaque point Q qui est symétrique au point P si Q et P sont
symétriques par rapport à (a) l’axe des y; (b) l’axe des x.
(a) P  2, 6 
(b) P  3,5 
(c) P  7, 3
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
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2, 

3
(e) P 0,  4

(d) P


2. Classez chaque fonction comme paire, impaire, ni paire ni impaire, sans tracer le
de la fonction.
graphe
3
(a) f  x   4 x  2 x
4
2
(b) f  x   x  6 x  x
(c)
f  x   x4  6x2  x
x2  2
(d) f  x   2
x 1
Page 32
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(e) f  x    x  3
3
2
4
(f) f  x   5 x  7 x
(g)
f  x   cos  x 2 
1
x
(h) f  x   sin  
(i)
f  x   x cos x
(j) f  x   x sin x
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 33
(k)
f  x   2x
(l) f  x   2
x
(m) f  x  
3
(n) f  x  
Page 34
x
2
x  x3
(o)
f  x  x
(p)
f  x  x  3
2 3
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.4 (suite)
Identifier des fonctions comme étant paires, impaires, croissantes, décroissantes,
injectives et non injectives, ainsi que les implications qui en découlent
graphiquement.
Théorie
La fonction g  x   x3  3x est impaire et a une symétrie par rapport à l’origine parce que
g   x     x   3   x    x3  3x    x3  3 x    g  x  . La fonction h  x   2 x 3  4 x 2  2 n’est ni paire ni impaire
3
parce que h   x   2   x 3  4   x 2  2  2 x3  4 x 2  2 n‘est pas la même que h  x  ni n’est égale à  hx  .
Examinez les graphes des fonctions trigonométriques et déterminez lesquelles sont paires et lesquelles
sont impaires. Demandez-vous ensuite si chaque fonction est paire ou impaire en examinant la
fonction elle-même. Les identités sin   x    sin x et cos   x   cos x , vues dans le cours de Math C30,
vous aideront dans la discussion.
Demandez aux étudiants pourquoi une fonction ne peut être symétrique autour de l’axe des x.
Une fonction croît sur un intervalle I si f  x1   f  x2  chaque fois que x1  x2 dans l’intervalle I. Une
fonction décroît sur un intervalle I, si f  x1   f  x2  chaque fois que x1  x2 dans l’intervalle I.
y
y
y  f  x
f  x  décroît
f  x2 
f  x1 
x1
y  f  x
f  x1 
f  x2 
x2
x
I
x1
I
x2
x
Comme on peut le voir ci-dessous, la fonction f  x   x 2 décroît sur l’intervalle  , 0 et croît sur
l’intervalle  0,   . La fonction g  x   x3 croît sur l’intervalle  ,   .
Montrez aux étudiants les graphes de plusieurs fonctions. Pour celles qui sont injectives, dites « oui »,
pour les autres, dites « non ». Demandez aux étudiants quelle est la caractéristique commune de
chaque groupe (CCT). Cela devrait conduire à la définition qu’une fonction est injective (one-to-one)
si elle n’a jamais deux fois la même valeur de y. En d’autres termes, f  x1   f  x2  si x1  x2 pour
toutes les valeurs de x dans le domaine de la fonction. Discutez des implications graphiques – une
ligne horizontale ne croise qu’une fois une fonction injective. Une fonction qui n’est pas injective est
une fonction non injective (many-to-one). Discutez des implications graphiques. À l’évidence,
f  x   x 2 est non injective tandis que f  x   x3 est univoque.
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 35
B.4 (suite)
Identifier des fonctions comme étant paires, impaires, croissantes, décroissantes,
injectives et non injectives, ainsi que les implications qui en découlent
graphiquement.
Pour chaque graphe, demandez aux étudiants d’utiliser les graphes des fonctions de base étudiées dans
l’objectif B.3. Pour chacune, demandez-leur de déterminer les intervalles dans lesquels la fonction est
croissante et les intervalles dans lesquels la fonction est décroissante. Demandez-leur d’ajouter cette
information à leurs cartes-éclair.
3. Donnez l’intervalle(s) sur lequel chaque fonction est croissante ou décroissante en
examinant le graphe.
(a)
(b)
4. Divisez la classe en groupes et donnez à chaque groupe l’un des énoncés suivants.
Demandez-leur d’expliquer pourquoi pensent-ils que l’énoncé est vrai (CCT, PSVS). Les
étudiants doivent démontrer des capacités d’entraide, telles la résolution de problèmes, les
lignes de conduite et la recherche de consensus (CD3.2).
(a) Une fonction qui est croissante ou décroissante pour tous les nombres réels peut être
une fonction impaire.
(b) Une fonction qui est croissante ou décroissante pour tous les nombres réels peut être
une fonction paire.
(c) Les fonction paires ne peuvent jamais être injectives.
Page 36
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(d) Les fonctions impaires peuvent être non injectives.
(e) Toutes les fonctions sont soit paires, soit impaires.
(f) Une fonction polynomiale paire aura des termes uniquement de degré pair.
(g) Une fonction polynomiale impaire ne peut avoir de terme constant.
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 37
B.5
Reconnaître la nouvelle forme de la fonction et tracer le graphe de y  f (x) après qu’elle
a été transformée par déplacement, étirement, compression ou réflexion autour d’un axe.
Théorie
Les étudiants doivent reconnaître et tracer le graphe de fonctions qui sont des transformations simples
des fonctions de base présentées dans l’objectif B.2.
Le déplacement, l’étirement, la compression ou la réflexion autour d’un axe crée une nouvelle
fonction à partir de l’ancienne. Cet objectif explore comment ces transformations modifient la fonction
originale et comment une fonction doit être modifiée pour provoquer une transformation donnée. Les
étudiants doivent avoir accès à une calculatrice graphique ou à un logiciel graphique pour développer
cet objectif efficicacement. Commencez par demander aux étudiants de tracer le graphe de l’une des
formes de base. Vous pourriez utiliser f  x   x ou y  9   x  2 2 , car elles sont moins connues des
étudiants et ne présentent pas de symétrie par rapport à l’axe des y. Si vous faites une réflexion du
graphe d’une fonction paire autour de l’axe des y, la réflexion coïncidera avec la fonction originale et
vous n’observerez aucune transformation. Si les étudiants ont déjà suivi le cours de Math C30, vous
pourriez aussi bien utiliser f  x   sin x comme fonction de base.
Déplacements verticaux : Demandez aux étudiants de tracer le graphe de y  f  x   x dans la
fenêtre standard de leur calculatrice. Enchaînez en leur demandant de tracer les graphes de fonctions
de la forme y  f  x   c et y  f  x   c , où c  0 . Autrement dit, demandez-leur de tracer les graphes
de fonctions comme y  f  x   2  x  2 , y  f  x   4  x  4 , y  f  x   x  1 , y  f  x   3  x  3 . Ils
devraient maintenant avoir cinq graphes sur leurs calculatrices. À partir de leurs observations, les
étudiants devraient conclure que si c  0 , ils peuvent obtenir le graphe de :
y  f  x   c en déplaçant le gaphe de y  f  x  de c unités vers le haut.
y  f  x   c en déplaçant le gaphe de y  f  x  de c unités vers le bas.
Déplacements horizontaux : Demandez aux étudiants de tracer le graphe de y  f  x   x dans la
fenêtre standard de leur calculatrice. Enchaînez en leur demandant de tracer les graphes de fonctions
de la forme y  f  x  c  et y  f  x  c  , où c  0 . Autrement dit, demandez-leur de tracer les graphes
de fonctions comme y  f  x  2   x  2 , y  f  x  4   x  4 , y  f  x  1  x  1 , y  f  x  3  x  3 . À
partir de leurs observations, les étudiants devraient conclure que si c  0 , ils peuvent obtenir le graphe
de :
y  f  x  c  en déplaçant le graphe de y  f  x  c unités vers la gauche.
y  f  x  c  en déplaçant le graphe de y  f  x  c unités vers la droite.
Étirements verticaux : À partir de y  f  x   x , demandez aux étudiants de tracer les graphes de
fonctions de la forme y  cf  x  où c  1 . Autrement dit, demandez-leur de tracer les graphes de
fonctions comme y  2 f  x   2 x , y  3 f  x   3 x , y  4 f  x   4 x . À partir de leurs observations, les
étudiants devraient conclure que si c  1 , ils peuvent obtenir le graphe de y  cf  x  en étirant
verticalement le graphe de y  f  x  d’un facteur de c. Autrement dit, toutes les valeurs de y sont c fois
plus grandes qu’avant.
Page 38
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.5 (suite)
Reconnaître la nouvelle forme de la fonction et tracer le graphe de y  f (x) après
qu’elle a été transformée par déplacement, étirement, compression ou réflexion
autour d’un axe.
1. Une fonction y  f  x  passe par les points A 1, 0  , B  2,1 , C  4, 2  et D 8,3 . Trouvez lles
nouvelles coordonnées de ces quatre points si on les soumet à chacune des transformations
suivantes.
(a) y  f  x   6
(b) y  f  x   6
(c) y  f  x  6 
(d) y  f  x  6 
(e) y  6 f  x 
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 39
(f) y 
1
f  x
6
(g) y  f  6 x 
x
(h) y  f  
6
(i) y   f  x 
(j) y  f   x 
2
2. Si y  f  x   2 x  x  1 trouvez chacune des fonctions suivantes.
(a) y  f  x   3
Page 40
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(b) y  f  x   3
(c) y  f  x  3
(d) y  f  x  3
(e) y  3 f  x 
(f) y 
1
f  x
3
(g) y  f  3 x 
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 41
1 
(h) y  f  x 
3 
(i) y   f  x 
(j) y  f   x 
3. Si la fonction y  f  x  est transformée de la façon décrite ci-dessous, quelle sera
l’équation de la nouvelle fonction créée?
(a) déplacée de 5 unités vers le haut.
(b) déplacée de 5 unités vers le bas.
(c) déplacée de 5 unités à gauche.
Page 42
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(d) déplacée de 5 unités à droite.
(e) étirée horizontalement d’un facteur de 5.
(f) comprimée horizontalement d’un facteur de 5.
(g) étirée verticalement d’un facteur de 5.
(h) comprimée verticalement d’un facteur de 5.
(i) réfléchie autour de l’axe des x.
(j) réfléchie autour de l’axe des y.
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 43
B.5 (suite)
Reconnaître la nouvelle forme de la fonction et tracer le graphe de y  f (x) après
qu’elle a été transformée par déplacement, étirement, compression ou réflexion
autour d’un axe.
Théorie
Compressions verticales : À partir de y  f  x   x , demandez aux étudiants de tracer les graphes de
1
c
fonctions de la forme y  f  x  , où c  1 . Autrement dit, demandez-leur de tracer les graphes de
1
1
1
1
1
1
x , y  f  x 
f  x 
x , y  f  x 
x . À partir de leurs observations,
3
3
2
2
4
4
1
ils devraient conclure que si c  1 , ils peuvent obtenir le graphe de y  f  x  en comprimant
c
1
verticalement le graphe de y  f  x  d’un facteur de c. Autrement dit, toutes les valeurs de y sont
c
fonctions comme y 
fois ce qu’elles étaient avant.
Compressions horizontales : À partir de y  f  x   x , demandez aux étudiants de tracer les graphes
de fonctions de la forme y  f  cx  , où c  1 . Autrement dit, demandez aux étudiants de tracer les
graphes de fonctions comme y  f  2 x   2 x , y  f  3x   3x , y  f  4 x   4 x . À partir de leurs
observations, ils devraient conclure que si c  1 , ils peuvent obtenir le graphe de y  f  cx  en
comprimant horizontalement le graphe de y  f  x  d’un facteur de c. Autrement dit, la fonction atteint
ses anciennes valeurs de y c fois plus tôt. Par exemple, le graphe de y  x a une valeur de y de 2 si
x  4 tandis que y  3 x a une valeur de y de 2 si x 
1
 4 .
3
Étirements horizontaux : À partir de y  f  x   x , demandez aux étudiants de tracer les graphes de
x
fonctions de la forme y  f   , où c  1 . Autrement dit, demandez aux étudiants de tracer les graphes
c
 
x
x
x
x
x
x
de fonctions comme y  f   
, y  f   
, y  f   
. À partir de leurs observations, ils
2
2
3
3
4
4
 
 
 
x
devraient conclure que si c  1 , ils peuvent obtenir le graphe de y  f   en étirant horizontalement le
c
 
graphe de y  f  x  d’un facteur de c. Autrement dit, la fonction atteint ses anciennes valeurs de y c
fois plus tard. Par exemple, le graphe de y  x a une valeur de y de 2 si x  4 tandis que y 
x
a
3
une valeur de y de 2 si x  3  4  .
Dans le cas des étirements et des compressions, il faut mettre l’accent sur l’effet général plutôt que sur
les changements exacts de valeur.
Rélexions autour de l’axe des x : À partir de fonctions comme y  f  x   x , y  g  x   2 x ,
1
, demandez aux étudiants de tracer les graphes de y   f  x    x , y   g  x   2 x ,
x
1
y  h  x    . À partir de leurs observations, ils devraient conclure qu’ils peuvent obtenir le graphe
x
de y   f  x  en effectuant une réflexion du graphe de y  f  x  autour de l’axe des x.
y  h  x 
Page 44
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.5 (suite)
Reconnaître la nouvelle forme de la fonction et tracer le graphe de y  f (x) après
qu’elle a été transformée par déplacement, étirement, compression ou réflexion
autour d’un axe.
4. Comment transformeriez-vous le graphe de y  g  x  pour obtenir le graphe de chacune des
fonctions suivantes?
(a) y  g  2 x 
(b) y  g  x  2 
(c) y  2 g  x 
(d) y  g  x   2
(e) y 
1
g  x
2
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 45
(f) y  g   x 
(g) y   g  x 
x
(h) y  g  
2
(i) y  g  x   2
(j) y  g  x  2 
5. En commençant par le graphe de y  log 2 x , tracer les graphes de chacune des
expressions suivantes.
(a) y  log 2 x  3
Page 46
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(b) y  log 2 x  3
(c) y  log 2  x  3
(d) y  log 2  x  3
(e) y  3log 2 x
1
(f) y  log 2 x
3
(g) y  log 2 3 x
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 47
 x
3
(h) y  log 2  
(i) y   log 2 x
(j) y  log 2   x 
6. Le graphe ci-dessous est celui de la fonction y  h  x  . Tracez le graphe de chacune des
fonctions suivantes :
(a) y  h  x  2 
Page 48
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(b) y  h  x   2
(c) y  h  x  2 
(d) y 
1
h  x
2
(e) y   h  x 
(f) y  h  x   2
(g) y  2 h  x 
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 49
(h) y  h   x 
Page 50
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.5 (suite)
Reconnaître la nouvelle forme de la fonction et tracer le graphe de y  f (x) après
qu’elle a été transformée par déplacement, étirement, compression ou réflexion
autour d’un axe.
Théorie
Rélexions autour de l’axe des y : À partir de fonctions comme y  f  x   x , y  g  x   2 x ,
1
, demandez aux étudiants d’utiliser une calculatrice graphique pour tracer le graphe de
x
1
y  f   x    x , y  g   x   2 x , y  h   x  
. À partir de leurs observations, ils devraient pouvoir
x
conclure que le graphe de y  f   x  peut être obtenu en effectuant une réflexion du graphe de y  f  x 
y  h  x 
autour de l’axe des y.
Avec la participation des étudiants, créez les deux résumés graphiques suivants en leur donnant le
graphe de y  f  x  sur un intervalle fermé et en leur demandant de positionner les graphes de :
(i) y  f  x   c , y  f  x   c , y  f  x  c  et y  f  x  c  .
1
c
(ii) y  cf  x  , y  f  x  , y   f  x  , y  f   x 
y
y
y  cf  x 
y  f  x  c
y  f  x  c
y  f x
y  f  x
x
y  f  x
1
f  x
c
y
y  f  x  c
x
y  f  x  c
y   f  x
Une fois que les étudiants ont compris les transformations simples, présentez-leur des transformations
multiples. Par exemple, pour un graphe donné de y  f  x  , demandez-leur comment ce graphe devrait
être transformé pour obtenir le graphe de y   f  x   3 , y  2 f  x  3 , y  f  x  3  2 .
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 51
B.5 (suite)
Reconnaître la nouvelle forme de la fonction et tracer le graphe de y  f (x) après
qu’elle a été transformée par déplacement, étirement, compression ou réflexion
autour d’un axe.
7. À partir du graphe de la fonction y  3 x , comment le transformeriez-vous pour obtenir les
graphes des fonctions suivantes?
(a) y  3 x  1
(b) y  3 x  1
(c) y   3 x
(d) y  2 3 x  1
(e) y 
13
x 3
2
(f) y   3 x  4
Page 52
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
8. Le graphe ci-dessous (en haut à gauche) est celui de la fonction y  x 2  x . Déterminez
l’équation du graphe de chacune des autres fonctions.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 53
B.6
Trouver le domaine et l’étendue d’une fonction à partir du graphe et de l’équation de la
fonction.
Notes à l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante
Les étudiants n’ont pas, en général, de difficulté à trouver le domaine et l’étendue d’une fonction s’ils
peuvent examiner le graphe de la fonction. Il est beaucoup plus difficile de trouver le domaine et
l’étendue en examinant seulement la fonction. Ils devront pour ce faire utiliser les aptitudes
développées dans chaque objectif de l’unité A, ainsi que leurs capacités d’estimation et leur bon sens.
À partir du graphe : Demandez aux étudiants de clarifier les termes « domaine » et « étendue »
introduits dans l’objectif B.1. En examinant le graphe d’une fonction, vous pouvez trouver son
domaine en voyant jusqu’où le graphe s’étend à gauche et à droite, puisque le domaine est constitué
des valeurs de x que l’on peut introduire dans la machine à transformer les nombres (la fonction).
vous pouvez trouver l’étendue en voyant jusqu’où le graphe s’étend vers le haut et vers le bas, puisque
l’étendue est constituée des valeurs obtenues à la sortie de la machine à transformer les nombres – les
valeurs de y. Les étudiants peuvent être répartis en groupes et chaque groupe reçoit les graphes de
deux ou trois fonctions. Ces graphes doivent inclure des fonctions échelons (en escalier) et des
fonctions définies par intervalles. Demandez aux groupes de déterminer le domaine et l’étendue de
chaque fonction, d’écrire leurs réponses en utilisant la notation des ensembles et des intervalles. Les
étudiants doivent ensuite faire état de leurs résultats à la classe. Demandez aussi aux étudiants de
tracer les graphes de fonctions ayant un domaine et une étendue. Là encore, demandez-leur de faire
part de leurs réponses à la classe. À l’évidence, les réponses pourront varier (COM, CCT).
À partir de la fonction : Lorsque les étudiants peuvent déterminer le domaine et l’étendue en
examinant le graphe d’une fonction, passez à l’étape suivante, soit de déterminer le domaine et
l’étendue en examinant seulement la fonction. Cela est difficile pour les étudiants, car ils ont travaillé
sur tant de fonctions pour lesquelles le domaine était tous les nombres réels, qu’ils ne sont pas
devenus très critiques en cette matière.
Il serait probablement sage de commencer par le domaine – c’est plus facile. En commençant par les
fonctions linéaires, quadratiques et cubiques, demandez aux étudiants s’il y a une quelconque valeur
d’entrée pour laquelle il serait impossible de déterminer une valeur de sortie. Bien sûr, il n’y en a pas.
Ils devraient facilement arriver à la conclusion que le domaine de chaque fonction polynomiale est
l’ensemble des nombres réels.
Examinez ensuite des fonctions rationnelles comme f  x  
5
x4
x3  4 x
, g  x  4
, h  x 
.
x2
x  27 x
 x  3 2 x  1
Là encore, posez la même question, « Y a-t-il une quelconque valeur d’entrée pour laquelle il est
impossible de déterminer une valeur de sortie ? » Avec un peu de chance, les étudiants reconnaîtront
qu’ils ne doivent permettre aucune valeur de x qui donne un dénominateur égal à 0. Les étudiants
devront utiliser ici leurs connaissances de la factorisation.
Présentez ensuite quelques fonctions racine, comme y  x , y  x  4 , y  4  x , y  x 2  3x  18 ,
y  8  x 3 , y  4 x , y  4 2 x  8 , y  6 x 2  25 . Les étudiants doivent se rendre compte qu’il est
impossible de trouver la racine paire d’un nombre négatif. Ils doivent donc résoudre une série
d’inégalités, comme x  4  0 , 4  x  0 , x 2  3 x  18  0 et ainsi de suite. Les solutions à ces inégalités
forment le domaine.
Page 54
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.6 (suite)
Trouver le domaine et l’étendue d’une fonction à partir du graphe et de l’équation
de la fonction.
Demandez aux étudiants de déterminer le domaine et l’étendue des fonctions de base tracées sur leurs
cartes-éclair dans l’objectif B.2 et d’y ajouter cette information.
1. Trouvez le domaine et l’étendue de chaque fonction ci-dessous.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 55
B.6 (suite)
Trouver le domaine et l’étendue d’une fonction à partir du graphe et de l’équation
de la fonction.
Notes à l’intention de l’enseignant ou de l’enseignante
Examinez ensuite les fonctions racine nième impaires, telles f  x   3 x , g  x   5 x , h  x   7 x 4  9 x 2 .
Puisqu’on peut déterminer la racine nième impaire de tout nombre, le domaine de ces trois fonctions
sera tous les nombres réels.
1
Poursuivez en examinant des fonctions exponentielles, comme f  x   2 x et g  x    
3
4 x
. Encore une
fois, on peut toujours trouver une valeur de sortie pour toute valeur d’entrée donnée, de sorte que ces
deux fonctions ont comme domaine tous les nombres réels.
Enchaînez en examinant quelques fonctions logarithmiques. Les étudiants devront se rappeler, depuis
leur cours de Math B30 (et aussi de l’objectif B.2) qu’ils ne peuvent déterminer les logarithmes que
des nombres positifs. Donc, pour trouver le domaine de fonctions comme f  x   log 2  x 2  x  2  ou
g  x   log  sin x  ,
ils devront résoudre les inégalités qui les accompagnent, x 2  x  2  0 et sin x  0 .
Puisqu’il est possible de déterminer le sinus et le cosinus de tout nombre réel, les fonctions telles que
f  x   sin  3 x  5  ou g  x   cos  x3  x 2  ont pour domaine tous les nombres réels. Pour déterminer le
domaine de fonctions trigonométriques comme h  x   cot  2 x  1 , il est plus facile de les réécrire en
termes de fonctions sinus et cosinus. Ainsi, h  x  
cos  2 x  1
sin  2 x  1
. Pour éviter la division par 0, il faut
connaître les valeurs de  pour lesquelles sin   0 . Puisque sin   0 pour les multiples de  , on peut
trouver les restrictions sur x en résolvant 2 x  1  k , où k est tout entier. Donc, le domaine est
k  1


, k I.
 x : x  , x 
2


x 1
Finalement, examinez des fonctions comme f  x   2 x 1 . Il est possible d’élever 2 à toute valeur réelle,
mais le domaine doit exclure x  1 car cette valeur rendrait l’exposant,
g  x   log

3
4 x
x 1
,
x 1
non défini. Soit
 . Même s’il est possible de trouver la racine cubique de tout nombre, on ne peut
trouver le logarithme que des nombres positifs. Donc
3
x4  0 ,
de sorte que x  4 .
En résumé, pour le domaine :
 on ne peut diviser par zéro.
 on ne peut prendre la racine paire d’un nombre négatif.
 on ne peut trouver le logarithme d’un nombre non positif.
Pour l’étendue :
Il n’y a pas de règle pour trouver l’étendue d’une fonction. En général, les étudiants doivent se poser
des questions comme :
 qu’arrive-t-il à la valeur de la fonction pour les grandes valeurs positives de x?
 qu’arrive-t-il à la valeur de la fonction pour les grandes valeurs négatives de x ?
 qu’arrive-t-il à la valeur de la fonction au voisinage de toute valeur dans le domaine qui rend
nul le dénominateur de la fonction?
 y a-t-il une valeur minimum/maximum atteinte par le numérateur, le dénominateur ou toute
autre partie de l’expression?
Il est utile, pour les fonctions rationnelles, de déterminer les asymptotes horizontales et verticales
(Math B30) et de faire une analyse de signe.
Page 56
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.6 (suite)
Trouver le domaine et l’étendue d’une fonction à partir du graphe et de l’équation
de la fonction.
2. Déterminez le domaine et l’étendue de chacune des fonctions suivantes.
(a) f  x   3 x  2
(b) f  x    x  4   8
2
2
(c) g  x   x  10 x (complétez le carré)
3
2
(d) g  x   x  2 x  4 x  1


2
2
(e) h  x   x  3 x  2

4
2
(f) h  x   x  5 x  4
(g) f  x   x  3
(h) f  x  
x2  9
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 57
(i) y 
25  x 2
(j) y  3 2 x  1
(k) g  x  
x 2  27
3
5
(l) g  x   10 sin x
x4
(m) h  x   2
x
(n) h  x   2
2
1
3cos x
(o) y  2
(p) y 
2
x2
(q) f  x  
Page 58
6
x 2
2
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(r) f  x  
4x 1
x2
2 x2
(s) g  x   2
x 1
(t) g  x  
5
sin x
(u) h  x   log 2  x  5 

2
(v) h  x   log 3 x  4

 1 
(w) y  log 

 x2
 x2
(x) y  log 

 x2

2
(y) f  x   log 5 x  25
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B

Page 59
3. Déterminez le domaine et l’étendue de chacune des fonctions suivantes. (suite)
(a) f  x   2sin  x  3  5
1
(b) g  x    cos  5 x 
2
(c) g  x    x 
2 x  3, x   , 4 
(d) h  x    2
 x  9, x   4,  
(e) h  x   x  2  4
(f) y  tan x
2
(g) y  x  4  6


3
(h) j  x   x  1
Page 60
23
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
(i) m  x    x  4 3 2
(j) f  x  
2
2
x
(k) y 
2
x  4 1
4. Tracez le graphique d’une fonction ayant le domaine et l’étendue donnés.


(a) D  x : x   3,3 , R   y : y  2


(b) D  x : x   3,3 , R  y : y  1, 4


(c) D   x : x   3, 1  1,3 , R   y : y   2, 0   1, 4
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 61
B.7
Construire des fonctions à partir d’autres fonctions par addition, soustraction,
multiplication, division et composition de fonctions.
Théorie
Combinaisons de fonctions
Les étudiants savent peut-être (depuis leur cours de Math A30) qu’on peut combiner les fonctions au
moyen des opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de division, de la même façon
que l’on combine les nombres réels. Ils ne savent probablement pas, toutefois, comment déterminer le
domaine des fonctions combinées à partir du domaine des fonctions originales. Il est très utile de
l’illustrer au moyen d’un exemple.
Soit f et g deux fonctions ayant respectivement les domaines A et B. On définit alors les fonctions
f  g , f  g , fg
f
g
et
de la façon suivante :
 f  g  x   f  x   g  x  . Le domaine de f  g est A  B .
 f  g  x   f  x   g  x  . Le domaine de f  g est A  B .
 fg  x   f  x  g  x  . Le domaine de fg est A  B .
f  x
 f 
f
. Le domaine de
est  x : x  A  B pouru que g  x   0 .
   x 
g
g
x
g
 
 
Donc si f  x   x  2 a pour domaine x   2,   et g  x   6  x a pour domaine x   , 6 , alors :
 f  g  x   x  2  6  x a pour domaine  2,     , 6   2, 6 .
 f  g  x   x  2  6  x a pour domaine  2,     , 6   2, 6 .
 fg  x  
x  2 6  x   x 2  8 x  12
 f 
   x 
g
x2
6 x
 f 

x2
6 x
a pour domaine  2,     , 6   2, 6 .
a pour domaine  2, 6  . Notez que x  6 a été exclu de  2,     , 6 parce que
4
si x  6 ,    6  
, qui est non défini.
0
g
Si l’on connaît les graphes de f  x  et g  x  , on peut obtenir le graphe de f  g en additionnant
graphiquement (en additionnant les coordonnées en y correspondantes).
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.7 (suite)
Construire des fonctions à partir d’autres fonctions par addition,
multiplication, division et composition de fonctions.
soustraction,
2
1. Si f  x   x  3 et g  x   x  4 x , trouvez chacune des expressions suivantes.
(a)
f
 g  x 
(b)
f
 g  x 
(c)
 fg  x 
f 
  x
g
(d) 
g
  x
f 
(e) 
(f)
 g  f  x 
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
Page 63
2. Sur des copies de la grille ci-dessous, tracez le graphe de
 fg  x  ,
f 
  x ,
g
f
 g  x  ,
f
 g  x  ,
 f  g   x ,  g  f   x .
y
4
y  f  x
2
4
2
0
0
2
4
x
6
2
y  g  x
4
3. À l’aide des graphes de base de f  x   x et g  x   x , tracez le graphe de  f  g  x  .
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B.7 (suite)
Construire des fonctions à partir d’autres fonctions par addition, soustraction,
multiplication, division et composition de fonctions.
Théorie
Composition de fonctions
Une très bonne compréhension de la composition de fonctions aide grandement à utiliser la règle de la
dérivation en chaîne (la différentiation) et à effectuer la substitution par u (l’intégration).
Les étudiants ont touché à la composition de fonctions dans le cours de Math A30.
La composition de fonctions f  x  et g  x  , notée par le symbole f  g et qui se lit « f rond g », est la
nouvelle fonction qui est créé en remplaçant x dans la fonction f par g  x  . Autrement dit,
 f  g  x   f  g  x   . Les valeurs de sortie de la fonction g deviennent les valeurs d’entrée pour la
fonction f comme le montre le diagramme ci-dessous.
 
x
g
x 
g
entre ensuite dans la
machine-fonction f et est
retournée sous la forme
f  g  x   . Ce processus est
  
g x
f  g  x 
représenté par f  g .
f
 f  g  x 
x
domaine de g
g
g  x
Composition de fonction
x entre dans machinefonction g et est retourné
sous la forme g  x  . g  x 
 g  f  x 
x
L’étendue de f est
aussi
le domaine de g
f
L’étendue de g
est aussi le
f  x
domaine de f
f
g
f  g  x 
g  f  x 
Les définitions suivantes sont extrêmement critiques :
Le domaine de f  g est l’ensemble de toutes les valeurs dans le domaine de g telles que g  x  est
dans le domaine de f.
Le domaine de g  f est l’ensemble de toutes les valeurs dans le domaine de f telles que f  x  est
dans le domaine de g.
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Construire des fonctions à partir d’autres fonctions par addition, soustraction,
multiplication, division et composition de fonctions.
4. Il faut donner aux étudiants plusieurs questions comme celle qui suit :
2
Si f  x   2 x  1 et g  x   x  2 x  3 , trouvez chacune des expressions suivantes.
(a)  f  g  3
(b)  f  g  3
(c)  g  f  3
(d)  g  f  3
(e)  g  g  3
(f)  f  f  3
(g)  f  g   x 
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(h)  g  f  x 
(i)  g  g  x 
(j)  f  f  x 
2
5. Répétez la question 1 si f  x   x  7 et g  x   x  1 .
6. Répétez la question 1 si f  x  
1
1
 1 et g  x  
.
x
x 1
7. Répétez la question 1 si f  x   x  20 et g  x   x  10 .
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Construire des fonctions à partir d’autres fonctions par addition, soustraction,
multiplication, division et composition de fonctions.
Théorie
De la même façon, on définit g  f comme  g  f  x   g  f  x   . x entre dans la machine-fonction f et est
retourné sous la forme f  x  . f  x  entre ensuite dans la machine-fonction g et est retournée sous la
forme g  f  x   .
Au moyen de deux fonctions comme f  x   4  x et g  x   x 2  5 , demandez aux étudiants de trouver
 f  g  2  . Soulignez que, puisque  f  g  2   f  g  2   , ils doivent d’abord trouver g  2  et, ayant
obtenu 1 , évaluer ensuite f  1 . Assurez-vous que les étudiants communiquent de façon claire. Le
format pourrait être  f  g  2   f  g  2    f  22  5   f  1  4   1  5 . Demandez ensuite aux
étudiants de calculer  g  f   2  . Notez que le résultat, 3 , n’est pas le même que  f  g   2  . Donc, la
composition de fonctions n’est pas commutative. Poursuivez avec quelques exemples numériques
supplémentaires, comme  f  f   2  et  g  g  2  . Les étudiants doivent aussi essayer  f  g  4  et
 f  g  5  pour se rendre compte que le domaine de  f  g  x  n’est absolument pas tous les nombres
réels.
Déterminez ensuite  f  g  x  . La fonction f accepte toute valeur et la transforme en la racine carrée de
4 moins la valeur introduite. Ainsi,  f  g  x   f  g  x    4  g  x   4   x 2  5   9  x 2 . Cela aide de
souligner (ou d’ombrer) g  x  – les étudiants peuvent plus facilement voir g  x  comme une « sorte de
» x. Puisque le domaine de g  x  est l’ensemble des nombres réels, on peut trouver le domaine de
 f  g  x  en trouvant le domaine de
9  x2
, qui est  3,3 .
De même,  g  f  x   g  f  x     f  x    5   4  x   5   x  1 . On serait tenté, en voyant le résultat,
2
2
x 1 ,
d’affirmer que le domaine de g  f est l’ensemble des nombres réels, mais ce n’est pas le cas
même si  x  1 est défini pour tous les nombres réels. Par définition, le domaine de g  f est
l’ensemble de toutes les valeurs dans le domaine de f telles que f  x  est dans le domaine de g.
Puisque le domaine de f’est  , 4 , alors il faut choisir ces valeurs dans  , 4 pour lesquelles f  x 
sera dans le domaine de g. Puisque g peut accepter n’importe quelle valeur, le domaine de g  f est
 , 4 .
Les étudiants doivent pouvoir reconnaître une fonction donnée comme étant la composition d’autres
fonctions. Par exemple, si h  x   3x  5 , alors h  x  peut s’écrire h  x   f  g  x   , où g  x   3x  5 et
f  x  x
. Il faut inciter les étudiants à se demander « qu’advient-il de x ? » Dans ce cas, on pourrait
d’abord dire que l’on a obtenu cinq de plus que trois fois x. On a ensuite pris la racine carrée de ce
résultat. À l’évidence, on pourrait considérer cela comme la composition de trois fonctions. Un
étudiant pourrait dire que x a d’abord été triplé; puis que le résultat a été augmenté de 5; et
finalement, que l’on a pris la racine carrée du second résultat. Donc, h  x   j  f  g  x    , où g  x   3 x ,
f  x  x  5
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et j  x   x .
Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
B.7 (suite)
Construire des fonctions à partir d’autres fonctions par addition, soustraction,
multiplication, division et composition de fonctions.
On appelle l’exercice suivant une décomposition de fonction.
8. Trouvez les fonctions f  x  et g  x  telles que h  x    f  g  x  . Il peut y avoir plus
solution. N’utilisez pas la solution évidente g  x   x et f  x   h  x  .
(a) h  x    x  5 
d’une
3
(b) h  x    4 x  7 
23
(c) h  x   2 x  1
(d) h  x  
4
x6
x
(e) h  x   2
2
 3x
1

(f) h  x   sin  x   
2


2
(g) h  x   log 2 x  4

(h) h  x   3 x  11  1
(i) h  x   tan 2x
Calcul 30 – Cahier de l’élève – Unité B
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9. Trouvez les fonctions f  x  , g  x  et h  x  telles que H  x    f  g  h  x  . Il peut y avoir plus
d’une solution. N’utilisez pas la solution évidente h  x   x , g  x   x et f  x   H  x  .
10
(a) H  x   log 2  3x  11 
(b) H  x  
(c) H  x  
10
x
2
 4
3
2
4
x
(d) H  x   3cos  2 x     5
2
(e) H  x   16  x  5
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Calcul 30 – Cahier de l’élève - Unité B
2
10. Si f  x   x et g  x  
1
, trouvez une formule ainsi que le domaine et l’étendue
x2
pour  f  g  x  et  g  f
11. Si f  x  
pour
 x  .
1
et g  x   x , trouvez une formule ainsi que le domaine et l’étendue
x 3
2
 f  g  x 
et  g  f
 x  .
1
2
et g  x   x  5 x , trouvez une formule ainsi que le domaine et l’étendue
x
pour  f  g  x  et  g  f  x  .
12. Si f  x  
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