"la fonction" puissance

Calcul 30
Cahier de l’élève
Unité B : Fonctions
2010
Ministère de
l’Éducation
de la Saskatchewan

Unité B : Fonctions
Résultats d’apprentissage généraux (RAG)
 Démontrer une bonne compréhension des relations, des fonctions et de la notation fonctionnelle.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B.1.
 Reconnaître et tracer le graphe de fonctions algébriques transcendantales et définies par
intervalles.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B.2 et B.3.
 Déterminer les propriétés de fonctions à partir de graphes et d’équations.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B.4 et B.6.
 Effectuer des transformations et compositions de fonctions et tracer les graphes de fonctions.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B.5 et B.7.
 Soutenir les conclusions dégagées par une utilisation effective et appropriée d’une calculatrice
graphique.
 RAG appuyé par les résultats d’apprentissage spécifiques B. 1, B.2, B.3, B.4 et B.5, B.6, et
B.7.
Résultats d’apprentissage spécifiques (RAS)
B.1 Démontrer une nette compréhension des termes « fonction » et « relation » et utiliser la notation
fonctionnelle.
B.2 Identifier les fonctions comme étant des fonctions polynomiales, constantes, identité, linéaires,
quadratiques, cubiques, puissance, racine, réciproques, rationnelles, algébriques,
trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou transcendantales, et reconnaître les formes
de base de leur graphe.
B.3 Déterminer les valeurs des fonctions et tracer les graphes de fonctions définies par intervalles
et de fonctions échelons (en escalier).
B.4 Identifier des fonctions comme étant paires, impaires, croissantes, décroissantes, injectives et
non injectives, ainsi que les implications qui en découlent graphiquement.
B.5 Reconnaître la nouvelle forme de la fonction et tracer le graphe de y
f
(
x
) après qu’elle a
été transformée par déplacement, étirement, compression ou réflexion autour d’un axe.
B.6  Trouver le domaine et l’étendue d’une fonction à partir du graphe et de l’équation de la
fonction.
 Représenter les connaissances par divers modes de communication (COM).
 Prendre et justifier des décisions en se basant sur sa compréhension des concepts du calcul
(CCT).
B.7 Construire des fonctions à partir d’autres fonctions par addition, soustraction, multiplication,
division et composition de fonctions.
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B.1 Démontrer une nette compréhension des termes « fonction » et « relation » et utiliser la
notation fonctionnelle.
Théorie
Les fonctions et la notation fonctionnelle jouent un rôle dominant partout dans le développement de la
compréhension en calcul. L’évaluation des limites, la détermination de la continuité, la recherche de
dérivées, le traçage de courbes ou la résolution de problèmes d’optimisation, exigent tous que
l’étudiant puisse communiquer efficacement à l’aide des fonctions et de la notation fonctionnelle.
Les étudiants ont fait connaissance des fonctions et de la notation fonctionnelle dans le cours de Math
A30, même si les termes « fonction linéaire » et « fonction quadratique » avaient déjà été utilisés dans
les cours de Math 10 et Math 20. Dans le cours de Math B30, il a été question des fonctions
exponentielles, logarithmiques, polynomiales et rationnelles, de même que de la réciproque et de
l’inverse d’une fonction. Le cours de Math C30, enfin, a initié les étudiants aux fonctions
trigonométriques.
Il est important que les étudiants puissent décrire la différence entre une relation et une fonction. Une
relation est simplement un ensemble de paires ordonnées, tandis qu’une fonction est un ensemble de
paires ordonnées dans lequel chaque coordonnée en x est apparié à une et une seule coordonnée en y.
L’idée de voir les fonctions comme des machines à transformer les nombres est une bonne analogie.
Les nombres entrant dans la machine, les valeurs d’entrée, forment collectivement le domaine de la
fonction. Les nombres sortant de la machine, les valeurs de sortie, aussi appelées valeurs de la
fonction, constituent collectivement l’étendue de la fonction. (Le domaine et l’étendue seront vus en
detail dans l’objectif B.6.) La fonction convertit un ensemble (souvent des valeurs de x) en un autre
ensemble (souvent des valeurs de y). Comme la valeur de y dépend de la valeur de x ou est une
fonction de la valeur de x, nous écrivons
y
fx. Parmi les fonctions les plus courantes,
mentionnons la fonction carrée, la fonction réciproque, la fonction racine carrée, la fonction sinus, et
ainsi de suite. La notation
y
fx évoque le nombre x entrant dans la machine f par la trémie et
sortant sous la forme y. On peut imaginer la notation 416f , qui se lit « f de 4 égale 16 », comme
une machine qui accepte 4 à l’entrée de la fonction f et qui retourne une valeur, 16, à la sortie. La
fonction f était peut-être une fonction carrée.
f
xest la vale est
appariée à la valeur de x.
ur de y qui
4
16
f
16 est parfois appelé l’image de 4. Cela évoque une autre analogie que l’on peut utiliser pour décrire
une fonction, soit celle de la lentille qui convertit l’image d’une diapo en une image à l’écran. Dans
cette analogie, la lentille (peut-être la lentille carrée) a converti l’image de la diapo, 4, en une image à
l’écran, 16. En choisissant une lentille différente, on peut modifier l’image de la diapo à l’écran.
On peut aussi se représenter la notation
2
f
xx comme signifiant « il y a une fonction appelée f qui
accepte le nombre x et qui retourne le nombre 2
x
». Vous pourriez aussi dire que « la fonction f accepte
tout nombre et retourne le carré de ce nombre ». Cela aide les étudiants à interpréter
25fx
comme
étant , puisque « tout nombre » est, ici,
2
25x
25x . Écrire
2
f
ww et voir w comme étant « tout
nombre » peut aussi être utile.
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