DEUG S4 PMCP Examen

S4 PMCP 27 juin 2007
´
Electromagn´etisme (Phys206r)
Examen 2esession
dur´ee : 2 heures
sans documents, calculatrices autoris´ees
L’´enonc´e comporte 4 pages.
Les parties A, B et C sont ind´ependantes.
Bar`eme indicatif : A= 6, B= 6 et C= 8.
Valeurs num´eriques des constantes physiques
– Permittivit´e du vide : 0= 8,85 10−12 F m−1
– Perm´eabilit´e du vide : µ0= 4π10−7H m−1
– Vitesse de la lumi`ere dans le vide : c= 3,00 108m s−1
A. Onde ´electromagn´etique et induction dans un cadre tour-
nant
Une onde ´electromagn´etique dans le vide, plane, progressive, homog`ene et harmonique,
est donn´ee par le champ magn´etique
~
B(x, y, z, t) = Acos (ωt −kz)~ux(1)
o`u A > 0 et k > 0.
1) La fr´equence de l’onde est ν= 104Hz. Exprimer la longueur d’onde dans le vide λ
en fonction des donn´ees et calculer num´eriquement sa valeur.
Dans quel domaine du spectre ´electromagn´etique cette onde se trouve-t-elle?
Justifier les mots : plane, progressive, homog`ene.
2) Donner l’expression du champ ´electrique ~ Ede l’onde.
3) Un cadre m´etallique carr´e C=ABCDA, de cˆot´e a= 1 cm et de centre O, tourne
`a vitesse angulaire constante α= 103rad s−1autour de l’axe Oz. Le vecteur unitaire ~n
perpendiculaire au carr´e Q=ABCD se trouve dans le plan Oxy et fait l’angle θ=αt
avec Ox. Le cadre Cest orient´e dans le sens direct autour de ~n.
O
~ux
~uz
~uy
~n
θ
A
B
C
D
Cadre C
Q
Projection sur le plan Oxy
~ux
~uy
~n
O~uz
J
A, D
B, C
Cadre C
θ
1

Soit Φ(t) le flux du champ magn´etique `a travers le carr´e Q. Donner la signification
physique de la quantit´e
v(t) = −dΦ(t)
dt .(2)
En quelle unit´e v(t) est-il mesur´e?
4) Justifier que Φ(t) peut ˆetre calcul´e en rempla¸cant le champ magn´etique ~ B(x, y, z, t)
par sa valeur en O,~ B(0,0,0, t). Calculer Φ(t) et en d´eduire l’expression de v(t).
5) On rappelle que la force ´electromotrice d’induction qui apparaˆıt dans le circuit
C=ABCDA en mouvement est donn´ee par
e=IC
~
E·−→ dl +IC~ V∧~ B·−→ dl (3)
o`u ~ Vest la vitesse de l’´el´ement −→ dl du circuit.
a) Montrer que le premier terme s’´ecrit
IC
~
E·−→ dl =−ZZQ
∂~ B
∂t ·~n dS (4)
et calculer sa valeur.
b) Calculer la circulation IC~
V∧~ B·−→ dl le long du cadre C
c) En d´eduire la force ´electromotrice d’induction e.
B. Onde ´electromagn´etique dans le vide (φvariable)
1) Une onde ´electromagn´etique de pulsation ωse propageant dans le vide est donn´ee
par le champ ´electrique ~ E(x, y, z, t),
Ex=Acos(ωt −kz −φ)
Ey=Acos(ωt −kz +φ)
Ez= 0,
(1)
o`u A,ω > 0, k > 0 et φsont des constantes r´eelles. Nota : φest pr´ec´ed´e du signe −
dans la composante Exet du signe + dans la composante Ey.
S’agit-il d’une onde plane? Quelle est la direction de propagation? Quel est le vecteur
d’onde ~ k?
La fr´equence de l’onde est ν= 1,07 1010 Hz. Calculer num´eriquement la longueur d’onde
λet pr´eciser son domaine spectral.
2) En utilisant les ´equations de Maxwell, calculer le champ magn´etique ~ Bde l’onde.
3) L’´eclairement de l’onde, mesur´e sur le plan Oxy, est I= 10 W m−2. D´eterminer la
valeur num´erique de l’amplitude A.
2

4) D´eterminer la valeur num´erique de la densit´e ´electromagn´etique moyenne < u > de
l’onde.
5.a) On consid`ere le cas φ= 0. Tracer la courbe d´ecrite au cours du temps par
l’extr´emit´e du vecteur ~ E(x, y, z, t), pour x=y=z= 0, lorsque l’origine du vecteur
est fix´ee.
b) Mˆeme question lorsque φ=π/2.
c) Mˆeme question lorsque φ=π/4.
6.a) Pour quelles valeurs de φl’onde est-elle polaris´ee rectilignement? Pr´eciser pour
chacune de ces valeurs de φla direction de polarisation.
b) Existe-t-il des valeurs de φpour lesquelles l’onde est polaris´ee circulairement? Si
oui pr´eciser lesquelles et indiquer le sens (circulaire gauche ou droite).
C. Onde ´electromagn´etique dans un milieu supraconducteur
Nous allons ´etudier la propagation d’une onde harmonique de pulsation ωdans un
milieu supraconducteur.
1) ´ Ecrire les ´equations de Maxwell dans le vide v´erifi´ees par ~ Eet ~ Ben pr´esence de la
charge volumique ρet du courant volumique ~.
D´emontrer `a partir de ces ´equations l’existence des potentiels ~ Aet Vtels que
~
E=−∂~
A
∂t −~
∇Vet ~ B=~ ∇ ∧ ~ A. (1)
2) Hypoth`eses : dans le milieu supraconducteur,
(a) les ´equations demand´ees `a la question 1) sont valables ;
(b) le courant volumique ~ et le potentiel vecteur ~ Asatisfont la relation
~ =−~
A
µ0γ2(2)
o`u γest une constante r´eelle positive.
a) D´eterminer les dimensions [~], [ ~ A], [µ0] et [γ] des grandeurs dans l’´equation (2). On
´ecrira les dimensions en fonction de M(masse), L(longueur), T(temps) et C(charge).
Par exemple la dimension de cs’´ecrit [c] = LT −1.
b) La th´eorie de la supraconductivit´e permet de montrer que
µ0γ2
4π=nXmYqZ(3)
o`u q= 2eest la charge ´electrique d’une paire d’´electrons (paire de Cooper), mleur
masse et nleur nombre par unit´e de volume.
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D´eterminer les exposants X,Yet Zen effectuant une analyse dimensionnelle.
3.a) D´eterminer l’´equation de propagation de ~ Bdans le milieu supraconducteur.
On pourra utiliser la formule :
−→
rot −→ rot ~ B=−−→ grad div ~ B−∆~ B. (4)
b) Pourquoi cette ´equation de propagation donne-t-elle l’´equation de d’Alembert dans
la limite γ→ ∞?
4) Le supraconducteur est limit´e par le plan z= 0 et occupe tout le demi-espace
0≤z < ∞.
On ´etudie dans le supraconducteur une onde de la forme
ˆ
~
B=B0ei(ωt−kz)~u (5)
o`u B0et ksont des constantes et ~u un vecteur unitaire constant.
a) Calculer ~ ∇ · ˆ
~
Bpour le champ (5).
En d´eduire une condition que doit v´erifier le vecteur ~u.
b) ´ Ecrire que l’onde (5) est solution de l’´equation de propagation trouv´ee `a la question
pr´ec´edente.
En d´eduire une ´equation de la forme
k2=ω2−ω2
0
c2.(6)
Quelle est l’expression litt´erale de ω0en fonction de γet c?
c) Calculer la valeur num´erique de γsachant que ω0= 6 1015 s−1.
5) On suppose que ω > ω0.
a) D´eterminer la vitesse de phase vφet la vitesse de groupe vgdes ondes ´electroma-
gn´etiques dans le supraconducteur en fonction de γ,cet k.
Comparer vφ,vget c.
b) Repr´esenter sur un mˆeme graphique vφet vgen fonction de ω.
6) On suppose que ωω0.
D´eterminer klitt´eralement et num´eriquement.
Comment choisissez vous le signe de k?
Lorsqu’on refroidit certains mat´eriaux en dessous d’une temp´erature Tc(Tc= 4,15 K
pour le mercure), on observe que ces mat´eriaux deviennent supraconducteurs. On ob-
serve aussi l’effet Meissner qui consiste en l’expulsion du champ magn´etique du volume
du supraconducteur.
Expliquer, en consid´erant l’onde (5) pour une pulsation ωω0, pourquoi l’on peut
dire que le champ magn´etique est expuls´e du volume du supraconducteur.
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S4 PMCP 27 juin 2007
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Electromagn´etisme (Phys206r)
Examen 2esession
A. Onde ´electromagn´etique et induction dans un cadre tour-
nant
1) La longueur d’onde est λ=c
ν= 30 km. Ce sont des ondes radio (VLF).
Onde plane : Pour tdonn´e, la phase ωt −kz est constante sur les plans z=Cte. Les
surfaces d’onde sont les plans z=Cte et l’onde est plane.
Onde homog`ene : ~ Bprend la mˆeme valeur en tout point d’un plan d’onde `a tdonn´e.
Onde progressive : Le signal ~ Best une fonction de ωt −kz =ωt−z
c:
~
B(~r, t) = ~ ft−z
c.
L’onde se propage `a la vitesse csans se d´eformer le long de Oz, vers zcroissant.
2) Le champ ´electrique est donn´e par ~ E(~r, t) = c~ B(~r, t)∧~uzen fonction du champ
magn´etique :
~
E(~r, t) = −cA cos(ωt −kz)~uy.
3) La loi de l’induction de Faraday nous dit que v(t) est la f.e.m. d’induction qui
apparaˆıt dans la boucle. La f.e.m. v(t) est mesur´ee en volts.
4) Sur le carr´e Q,zvarie entre −a/2 et a/2. On a donc |kz|= 2π
z
λ≤πa λ≈10−7
1. Le champ ´electromagn´etique est en pratique uniforme sur le carr´e Qet on peut
remplacer le champ magn´etique ~ B(~r, t) par sa valeur en O,
~
B(~ 0, t) = Acos(ωt)~ux.
On a Φ(t) = Aa2cos(ωt) cos(αt) et
v(t) = Aa2ωsin(ωt) cos(αt) + Aa2αcos(ωt) sin(αt).
5.a) Le premier terme s’´ecrit
IC
~
E·−→ dl =ZZQ~ ∇ ∧ ~ E·~n dS =−ZZQ
∂~ B
∂t ·~n dS.
On a ∂~
B
∂t =−Aω sin(ωt)~uxet
IC
~
E·−→ dl =Aa2ωsin(ωt) cos(αt).
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