Transformations géométriques

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »
Mathématiques EC 4.3
Géométrie : Transformations géométriques
Transformations géométriques
1. Quelques définitions
1.1 Les isométries du plan
Les isométries du plan sont les transformations ponctuelles qui ne changent ni la forme, ni la taille des objets
géométriques du plan : l’alignement, la longueur, les angles sont conservés, ce qui peut se traduire par les
propriétés suivantes :
L’image d’une droite par une isométrie est une droite.
Les isométries conservent le parallélisme.
Les isométries conservent la perpendicularité.
Les translations, les symétries axiales et les rotations sont des isométries du plan.
Translation
A cette transformation est associée la notion de vecteur.
Un vecteur est caractérisé par :
• Un sens
• Une direction
• Une longueur
Une translation de vecteur
u
est une transformation qui à tout point A du
plan associe le point A’ tel que
u
AA'
=
On peut aussi utiliser la définition suivante : A et A’ étant deux points donnés du plan, la translation de vecteur
AA'
est la transformation qui à tout point M du plan associe le point M’ tel que le quadrilatère AA’M’M soit un
parallélogramme.
La translation possède les propriétés suivantes :
L’image d’une droite (d) est une droite (d’) parallèle à (d).
L’image du milieu d’un segment est le milieu de l’image de ce segment.
L’image d’un cercle de centre O est un cercle de même rayon dont le centre O’ est l’image de O.
La translation conserve l’orientation.
Rotation
Une rotation dans le plan est définie par la donnée d’un point O appelé centre de rotation et d’un angle orienté qui
se caractérise par un sens de rotation : par convention, le sens de rotation est direct si on tourne dans le sens
inverse des aiguilles d’une montre. Un angle orienté est aussi un angle de vecteurs qui traduit d’une certaine façon
la différence de direction entre les deux vecteurs ou encore la manière dont on tourne pour passer de l’un à l’autre.
Une rotation de centre O et d’angle α est une transformation du plan qui, à tout
point A, associe le point A’ tel que l’angle de centre O et de côtés [OM) et [OM’)
soit égal à l’angle α et tel que
OA = OA’ et l’angle (
OA
,
OA'
) = α
La rotation possède les propriétés suivantes :
Le centre de rotation est un point invariant.
L’image d’une droite par une rotation est une droite.
L’image d’une figure plane est une figure plane directement superposable à la figure initiale.
La rotation conserve le parallélisme, la perpendicularité, les angles et les longueurs.
Elle ne change pas l’orientation.
α

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Géométrie : Transformations géométriques
Symétrie centrale
Une rotation de centre O et d’angle 180° est appelé e symétrie centrale de centre O.
Si M et M’ se correspondent dans une symétrie centrale, O est le milieu du segment [AA’]
Les symétries centrales ont toutes les propriétés des rotations avec la particularité que l’image d’une droite (D) est
une droite (D’) parallèle à (D).
Symétrie axiale
C'est la symétrie orthogonale par rapport à une droite.
Dans le plan, la symétrie par rapport à une droite (d) est la transformation
géométrique qui à tout point M du plan associe le point M’ tel que la droite (d)
est la médiatrice du segment [MM’].
Autrement dit, Deux points symétriques l’un de l’autre par rapport à une droite
(d) sont situés sur une droite perpendiculaire à (d).
Ils sont équidistants de (d).
Lorsqu’on donne deux figures symétriques par rapport à une droite, pour construire
cette dernière, il suffit de construire la médiatrice du segment joignant un point
d’une figure et son symétrique sur l’autre figure.
La symétrie axiale les propriétés suivantes :
Le symétrique du milieu I d’un segment [AB] est le milieu I’ du segment dont les extrémités sont les symétriques
des points A et B.
L’image d’une figure plane par une symétrie axiale est une figure superposable à la figure initiale, mais à condition
qu’elle soit retournée.
L’axe de symétrie est l’ensemble des points invariants.
L’image d’une droite (d
1
) par une symétrie axiale d’axe (d) est une droite (d
2
). Lorsque (d
1
) est parallèle à la droite
(d), (d
2
) est parallèle à (d
1
).
Eléments de symétrie d’une figure
Une figure admet un centre de symétrie si cette figure coïncide avec son image dans la symétrie de centre O.
Une figure admet un axe de symétrie (d) si cette figure coïncide avec son image dans la symétrie axiale d’axe (d).
Une figure peut avoir un centre de symétrie sans avoir d’axe de symétrie. Par exemple le parallélogramme a un
centre de symétrie qui est le point de concours de ses diagonales, mais n’a pas d’axe de symétrie.
Une figure peut avoir un axe de symétrie sans avoir de centre de symétrie, par exemple le triangle isocèle.
Une figure qui possède deux axes de symétrie perpendiculaires possède un centre de symétrie qui coïncide avec
le point d’intersection des deux axes de symétrie. Par exemple le losange possède deux axes de symétrie
perpendiculaires qui sont ses diagonales. Le point d’intersection de ses dernières est un centre de symétrie pour le
losange.
Mais une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie sans avoir de centre de symétrie. C’est le cas du triangle
équilatéral.
M
M
’
(d)

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Le carré a quatre axes de symétrie : ses diagonales et ses médianes. Il a un centre de symétrie, point de
concours des médianes et des diagonales.
Un rectangle a deux axes de symétries qui sont ses médianes et un centre de symétrie, point de concours de ces
dernières.
Un cercle et un disque ont une infinité d’axes de symétrie : leurs diamètres. Le centre du cercle ou du disque est
un centre de symétrie.
1.2 Les agrandissements et les réductions
On parle d’agrandissement ou de réduction d’une figure pour une transformation de cette figure qui conserve sa
forme mais pas les longueurs. Les mesures des longueurs de la figure agrandie ou réduite sont proportionnelles
aux mesures des longueurs de la figure initiale.
Les agrandissements et les réductions sont des homothéties ou des similitudes du plan.
L’homothétie de centre O et de rapport k est la transformation qui, à tout point A du plan associe le point A’ tel que
A’ soit sur la droite (OA) et tel que
OA'
=k
OA
.
Pour le dessin ce dessous, k = -3.
Quand k est positif et inférieur à 1, l’homothétie est une réduction. Quand k est positif et supérieur à 1, l’homothétie
est un agrandissement.
Une similitude est la composée d’une homothétie et d’une isométrie.
2. Exercices
Exercice 1
Tracer un triangle ABC, AB= 6 cm, BC= 4 cm, CA= 5 cm
Construire le symétrique D de A par rapport à (BC)
Construire le symétrique E de B par rapport à A
Construire F, image de C dans la rotation de centre A et d’angle 60° : dans le sens des aiguilles d’un e montre
F= R
RR
R (6,60°)(C)
Construire G, l’image de C dans la translation de vecteur AB
→
Construire H, l’image de B dans l’homothétie de centre C et de rapport ½ : H= H
HH
H (C,1/2)(B)
Exercice 2
Soit (d) une droite du plan. Soit A un point de cette droite et B un point n’appartenant pas à celle-ci.
Construire B’ le symétrique de B par rapport à (d) et montrer que ABB’ est un triangle isocèle
Exercice 3
Quels sont les éléments de symétrie des figures usuelles suivantes :
1. Droite
2. Segment
3. Triangle scalène
4. Triangle rectangle
5. Triangle isocèle
6. Triangle équilatéral
7. Trapèze

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8. Trapèze isocèle
9. Parallélogramme
10. Rectangle
11. Losange
12. Carré
13. Hexagone régulier
Exercice 4
Soit (d) et (d’) deux droites du pan et ABC un triangle scalène.
Dans chaque cas ci-dessous, on trace FGH le symétrique du triangle ABC par rapport à (d) et JKL le symétrique
de FGH par rapport à (d’)
Caractériser les transformations qui permettent de passer directement de ABC à JK dans les cas suivants
1. (d) est perpendiculaire à (d’)
2. (d) et (d’) sont parallèles
3. (d) et (d’) ne sont ni parallèles ni perpendiculaires
Exercice 5
Il est aussi possible de définir une transformation géométrique à partir de coordonnées de points dans un repère
cartésien :
(O,
i
,
j
) est un repère du plan. A (3,-2) est un point de ce plan et T est la transformation qui, à tout point M(x,y) du
plan associe le point M’(x’,y’) tel que :
Combien valent les coordonnées de l'image de A par cette transformation?
Exercice 6
Soit A(0,4), B(3 ;0) et C(-3 ;-5) dans un repère de centre O
Déterminer les coordonnées de
B’ symétrique de B par rapport à (OA)
C’ symétrique de C par rapport à (OA)
B’’ image de B dans la rotation de centre O et d’angle 90° (sans inverse des aiguilles d’une montre)
C’’ image de C dans la rotation de centre O et d’angle 90° (sans inverse des aiguilles d’une montre)
B’’’, image de B dans la translation de vecteur AB
→
C’’’, image de C dans la translation de vecteur AB
→
Exercice 7
Soit ABCD un carré de centre O
Construire l‘image EFGH de ABCD dans la rotation de centre O et d’angle 45°
Que peut-on dire de AFBGCHDE ?
Construire l’image IJKL de ABCD dans l’homothétie de centre O et de rapport 2
Que peut-on dire de IJKL ?