Aide-mémoire de géométrie

Aide-mémoire de géométrie
Consignes de rédaction
Justifier tout ce qui n’est pas évident.
Écrire dans un français correct.
Ne pas énoncer les théorèmes utilisés.
Théorème de Pythagore:
Si ABC est rectangle en A,
alors AB 2 + AC 2 = BC 2.
Réciproque:
Si AB 2 + AC 2 = BC 2,
alors ABC est rectangle en A.
Théorème:
si C appartient au cercle de diamètre [AB],
alors ABC est rectangle en C.
Réciproque:
si ABC est rectangle en C,
alors C appartient au cercle de diamètre
[AB].
Def: la médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points à égale distance de A et de B.
Autre définition: la médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe
par le milieu de [AB].
Def: une droite est tangente à un cercle si elle a un seul point commun avec ce cercle.
Prop: si la droite est tangente au point T à un cercle de centre O,
alors (OT).
Réciproquement,
si la droite est perpendiculaire à (OT),
si O est le centre d’un cercle, O T
si T est un point de ce cercle,
alors est tangente à ce cercle.

Parallélogrammes
Def: un parallélogramme est un quadrilatère qui a
* des côtés opposés parallèles.
* des diagonales qui ont le même milieu.
Réciproquement,
si un quadrilatère vérifie l’une des deux propriété précédentes,
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Def: un rectangle est un
* parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
* parallélogramme qui a un angle droit.
* quadrilatère qui a trois angles droits.
Réciproquement,
si un quadrilatère vérifie l’une des trois propriété précédentes,
alors ce quadrilatère est un rectangle.
Def: un losange est un
* parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
* parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
* quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
Réciproquement,
si un quadrilatère vérifie l’une des trois propriété précédentes,
alors ce quadrilatère est un losange.
Def: un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Théorème des milieux
Théorème des milieux:
Si E est le milieu de [AB],
si F est le milieu de [AC],
alors (EF) // (BC)
et EF =
1
2
BC.
Réciproque:
Si E est le milieu de [AB],
si (EF) // (BC)
si F [AC],
alors F est le milieu de [ AC]
et EF =
1
2
BC.
B
E
A
C
F
Remarque: le théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès.
Chaque fois qu’on peut appliquer le théorème des milieux, on peut aussi appliquer le
théorème de Thalès, mais c’est plus compliqué.

Le théorème de Thalès
C’ C’
B’
A B
A B C C B’
Théorème de Thalès:
Si A, B et C sont alignés,
si A, B’ et C’ sont alignés,
si (BB’) // (CC’),
alors
AB
AC
=
AB
AC''
=
BB
CC''
.
Réciproque:
Si A, B et C sont alignés,
si A, B’ et C’ sont alignés dans le même
ordre,
si
AB
AC
=
AB
AC''
,
alors (BB’) // (CC’)
et
BB
CC''
=
AB
AC
.
Remarque: la conclusion: «
AB
AC
=
AB
AC''
=
BB
CC''
»
peut aussi se formuler: « les séries AB, AB’, BB’ et AC, AC’, CC’ sont proportionnelles ».
AB AB’ BB’
AC
AB
AC AC’ CC’
Remarque: de même, l’hypothèse «
AB
AC
=
AB
AC''
»
peut aussi se formuler: « les séries AB, AB’ et AC, AC’ sont proportionnelles ».

Angles inscrits et angles au centre.
L’angle AOB est un angle au centre. A
C
L’angle ACB est un angle inscrit.
L’angle ADB est aussi un angle inscrit.
O D
Un arc de cercle est un morceau de cercle.
Quand on va de A vers B, en se déplaçant sur
le cercle, on dit que l’on parcourt l’arc AB.
Attention, il y a deux arcs AB: B
- le grand arc AB, celui qui contient C et D.
- le petit arc AB.
Théorème: un angle au centre est le double d’un angle inscrit interceptant le même arc.
Ex: AOB = 2 ACB.
Conséquence: deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.
Ex: ACB = ADB.
A
Attention, un angle qui intercepte le grand arc AB C
et un angle qui intercepte le petit arc AB
ne sont pas égaux, il sont supplémentaires,
ACB + ADB = 180°.
D
B