les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à

Les élèves du premier degré secondaire sont-ils prêts à démontrer en géométrie ?
Informations Pédagogiques n° 45 -
Février 1999 2
LES ÉLÈVES DU PREMIER DEGRÉ SECONDAIRE
SONT-ILS PRÊTS À DÉMONTRER EN GÉOMÉTRIE ?
Synthèse de la recherche en pédagogie n°02/97
BURTON, R. et DETHEUX-JEHIN, M.
Tél. : [phone]
04/366.20.75
Fax : [phone]
Service de Pédagogie expérimentale
Université de Liège (Sart-Tilman)
Sart Tilman - Bât. B32
4000 Liège

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Introduction
enseignement de la géométrie du début secondaire se caractérise par le pas-
sage d'une géométrie intuitive (caractéristique de l'enseignement primaire) à
une géométrie axiomatique qui recourt aux définitions et aux propriétés des objets
géométriques.
Les élèves du premier degré sont-ils prêts à aborder cette transition vers l'abstrac-
tion et le raisonnement déductif ? Quelles compétences sont-ils réellement capa-
bles de maîtriser à ce niveau d'étude ?
Une analyse des évaluations d'enseignants du premier degré de l'enseignement se-
condaire montre qu'effectivement l'élaboration de démonstrations constitue l'une des
préoccupations principales de l'enseignement de la géométrie en fin du 1er cycle
(BURTON, DETHEUX, FAGNANT, 1997). Cependant, ce type de raisonnement ap-
paraît soudainement à cette étape du cursus scolaire, et constitue une réelle source
de difficultés pour la majorité des élèves. Une étude menée à large échelle
(BURTON, DEMONTY, DETHEUX, à paraître) indique que résoudre et rédiger une
démonstration même simple ou une justification raisonnée est une compétence que
seule maîtrise une proportion faible d'élèves.
Il convient dès lors de s'interroger sur les limites d'une telle finalité assignée à l'en-
seignement des mathématiques au premier degré secondaire en s'appuyant, d'une
part, sur les apports de la psychologie cognitive en ce qui concerne le développe-
ment du raisonnement géométrique et, d'autre part, sur les constats du terrain sco-
laire.
1. Le point de vue piagetien
L'approche génétique de INHELDER & PIAGET (1955) situe l'apparition du raison-
nement hypothético-déductif au stade des opérations formelles. Les premières ma-
nifestations de ces raisonnements apparaissent généralement vers 11-12 ans et se
construisent jusqu'à la stabilisation vers 14-15 ans. Selon eux, il existerait des ni-
veaux relatifs au développement des notions de justification et de preuve. Les élè-
ves du degré d'observation seraient donc en pleine phase de construction de la
pensée hypothético-déductive.
Niveau 1
A ce premier niveau, la détermination de la véracité d'une proposition s'effectue em-
piriquement. Chaque exemple est traité séparément et les conclusions locales peu-
L'

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vent être contradictoires. Bien que les modèles soient établis empiriquement, cela
se réalise sans tentative de compréhension.

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Exemple : Les élèves sont capables de déterminer que la somme des amplitudes
des angles d'un triangle particulier est égale à celle d'un angle plat en
découpant et en assemblant les angles d'un triangle de carton, tout en
ignorant le concept d'amplitude des angles, et sans comprendre pourquoi
le phénomène se produit.
Niveau 2
A la fin de ce niveau, les généralisations inductives deviennent systématiques. Mal-
gré que les élèves soient capables d'élaborer des implications, leur pensée reste
encore empirique par nature.
Exemple : Les élèves sont capables, à partir d'une série de triangles donnés, d'in-
duire que la somme des amplitudes de tout triangle est égale à 180° :
cette découverte devient universelle.
Niveau 3
Les élèves utilisent des raisonnements logiques pour justifier leurs propositions. Ce-
pendant, ces raisonnements ne sont pas nécessairement basés sur des mathémati-
ques formelles.
Exemple : Les élève sont capables de démontrer que la somme des amplitudes des
angles d'un triangle est égale à 180° en utilisant la propriété des angles
extérieurs à un triangle.
2. Le point de vue de P. et D. VAN HIELE
Selon la théorie de Pierre et Dina VAN HIELE, les élèves progressent à travers cinq
niveaux de pensée géométrique (VAN HIELE, 1959; VAN HIELE, 1986; VAN HIELE
- GELDOF, 1984) depuis un niveau visuel «gestaliste» jusqu'à des niveaux de plus
en plus sophistiqués d'analyse, d'abstraction, de déduction et de rigueur mathé-
matique.
Le tableau ci-après reprend la description de chacun de ces niveaux.

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Tableau 1 : Les niveaux de VAN HIELE
NIVEAU DESCRIPTION EXEMPLE
Niveau 1
de la
visualisation
Les élèves perçoivent les objets
géométriques en fonction de leur
apparence physique. Ils raisonnent
au moyen de considérations vi-
suelles (prototypes visuels) sans
utiliser explicitement les propriétés
de ces objets.
Les élèves considèrent qu'un lo-
sange est un losange "parce qu'il
est sur pointe" ou qu'une hauteur
est une hauteur "parce qu'elle est
verticale".
Niveau 2
de l'analyse Les élèves sont capables d'asso-
cier les objets géométriques à leurs
propriétés. Cependant, ils utilisent
une litanie de propriétés nécessai-
res pour l'identification et la des-
cription de ces objets.
Les élèves considèrent qu'un carré
est un carré parce qu'il possède 4
côtés de même longueur, 4 angles
droits et que ses côtés opposés
sont parallèles.
Niveau 3
de
l'abstraction
Les élèves sont capables d'ordon-
ner les propriétés des objets géo-
métriques, de construire des défini-
tions abstraites, de distinguer les
propriétés nécessaires des pro-
priétés suffisantes pour la détermi-
nation d'un concept et de com-
prendre les déductions simples.
Cependant, les démonstrations ne
sont pas comprises.
Les élèves considèrent qu'un carré
est un carré parce que c'est un
rectangle ayant les 4 côtés de
même longueur.
Niveau 4
de
la déduction
Les élèves sont capables de com-
prendre le rôle des différents élé-
ments d'une structure déductive et
d'élaborer des démonstrations ori-
ginales ou du moins de les com-
prendre.
Les élèves sont capables de dé-
montrer qu'un parallélogramme
ayant 2 côtés consécutifs de même
longueur est un losange.
Niveau 5
de la rigueur Les élèves sont capables de tra-
vailler dans des systèmes axioma-
tiques différents et d'étudier des
géométries variées en l'absence de
modèle concrets.
Les élèves sont capables de com-
prendre des géométries non-
euclidiennes.
Source :Clements et Battista. Geometry and spatial reasoning. In Grouws (Ed.), Handbook of research on
mathematics teaching and learning. New York : MacMillan Publishing Company, 1992, 420-463.