Instabilité de Rayleigh-Taylor dans les restes de Supernovae

Résumé
L'instabilité de Rayleigh-Taylor (IRT) joue un rôle déterminant dans la dynamique des restes de
supernovae (RSN).
Dans cette thèse, nous avons étudié les eets de compressibilité de l'IRT pour des congurations
statiques et instationnaires. Les congurations statiques sont plutôt représentatives de la phase
tardive de l'évolution des RSN et on montre que la compressibilité peut changer fortement le taux
de croissance de l'IRT si le nombre d'Atwood est petit. Cet eet disparaît dans le cas d'un fort
contraste de densité (nombre d'Atwood proche de 1). Ce cas de fort contraste a été examiné pour
une coquille en expansion instationnaire. En complément aux études réalisées par d'autres auteurs,
on montre pourquoi seules les solutions incompressibles sont instables. De plus, malgré le caractère
instationnaire de l'écoulement de base, on exhibe une relation de dispersion en utilisant une transformation qui permet de passer dans un repère co-mobile. Cette approche conduit à une interprétation
plus simple et plus claire des résultats obtenus antérieurement.
On montre que ce modèle de coquille en expansion est applicable à la description des plérions
(jeunes restes de supernovae de type II) et on examine le problème de la fragmentation de la coquille
dense qui entoure le pulsar central. On applique cette démarche au cas de la nébuleuse du Crabe.
Enn, à notre avis, certains aspects de ce problème peuvent être étudiés par l'irradiation d'une
cible laser et nous proposons une expérience d'astrophysique de laboratoire qui devrait permettre de
mettre en évidence la dynamique d'expansion d'une coquille et sa fragmentation. Bien que les échelles
temporelles et spatiales soient très diérentes, les lois d'échelle rendent possible la comparaison de
tels phénomènes physiques.
Mots Clés : Hydrodynamique : instabilité de Rayleigh-Taylor, compressibilité, restes de super-
novae, pulsar, astrophysique de laboratoire, lasers de puissance : Ligne d'Intégration Laser (LIL),
Laser MégaJoule (LMJ).
Abstract
The Rayleigh-Taylor instability (RTI) plays a key role in the dynamics of supernova remnants
(SNR).
In this thesis, the compressibility eects are studied for both static and non stationary congurations. Static congurations are related to the late stage of SNR evolution and it is shown that
compressibility alters the growth rate of the instability provided the Atwood number is small. For
high density contrasts (Atwood number close to 1), the compressibility eect disappears. This high
contrast case has been studied for a shell experiencing a non stationary expansion. In comparison to previous studies, the unstable character of incompressible perturbations is elucidated. In
addition, using a specic time dependant transformation (co-moving frame), a dispersion relation
is derived in spite of the non stationary background ow. This transformation makes easier the
physical interpretation of our results and previous results, as well.
This expanding shell model can be applied to the study of plerions (young type II SNR) and the
disruption and fragmentation of the dense shell surrounding the central pulsar is examined. The
general analisys is applied to the Crab nebula case.
Finally, we believe several aspects of this problem belong to the so-called "laboratory astrophysics" eld and a laser experiment is proposed. The purpose of this experiment is providing
evidence of the shell dynamics and its fragmentation. Although the space and time scales are quite
dierent from the SNR to the laser target, scaling laws make possible the comparison between such
physical phenomena.
Keywords: Hydrodynamics: Rayleigh-Taylor instability, compressibility, supernovae remnants,
pulsar, laboratory astrophysics, high-power lasers: Ligne d'Intégration Laser (LIL), Laser MégaJoule
(LMJ).
Xavier Ribeyre || Instabilité de Rayleigh-Taylor dans les restes de supernovæ : Application aux plérions || 2006
N ◦ d’ordre : 3174
THÈSE
présentée à
L’UNIVERSITÉ BORDEAUX I
ÉCOLE DOCTORALE DES SCIENCES PHYSIQUES ET DE L’INGÉNIEUR
par Xavier RIBEYRE
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPÉCIALITÉ : Noyaux, Atomes, Agrégats, Plasmas
Instabilité de Rayleigh-Taylor dans les restes de supernovae :
Application aux plérions
Soutenue le : 4 Juillet 2006
Après avis de :
Mme C. Cherfils-Clérouin
M. T. Foglizzo
Chercheur, CEA Bruyères le Châtel
Chercheur, CEA Saclay
Rapporteur
Rapporteur
Devant la commission d’examen formée de :
M. C. Stenz
Mme C. Cherfils-Clérouin
M. T. Foglizzo
M. P. Drake
M. V. T. Tikhonchuk
M. S. Bouquet
Professeur à l’Université Bordeaux 1
Chercheur, CEA Bruyères le Châtel
Chercheur, CEA Saclay
Professeur à l’Université du Michigan
Professeur à l’Université Bordeaux 1
Professeur INSTN, CEA Bruyères le Châtel
Membre invité :
M. J.-P. Chièze
Directeur de Recherche, CEA Saclay
- 2006 -
Président
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Directeur de thèse
Co-directeur de thèse
À mon père
V
Cette gravure sur bois montre la quête de l’astronome qui cherche à voir au-delà
de l’horizon terrestre et à découvrir une réalité profonde. [tiré de l’Atmosphère
météorologie populaire (Paris 1888), Camille Flammarion.]
VII
REMERCIEMENTS
Je remercie J.C. Gauthier et C. Rullière pour m’avoir permis de mener à bien
ce travail de thèse dans de bonnes conditions.
Cela a été un plaisir de travailler sous la direction de V.T. Tikhonchuk qui m’a
guidé pour éviter les écueils du calcul analytique en physique et m’a montré la
beauté de la simplification de problèmes complexes. Je le remercie aussi pour sa
disponibilité qui est très utile lors de ce long chemin.
J’exprime ma vive reconnaissance à S. Bouquet pour son apprentissage de la
rigueur en physique-mathématique et de sa patience ainsi que pour toutes les
discussions fructueuses que nous avons eues. Je le remercie aussi pour toutes les
connaissances en astrophysique qu’il a pu me transmettre ainsi que pour la relecture approfondie du manuscrit.
Je remercie également tous les membres du jury et en particulier C. Cherfils
et T. Foglizzo pour avoir accepté d’être les rapporteurs de cette thèse.
Je tiens à remercier J.P. Chièze pour toutes les discussions intéressantes que
nous avons pu avoir ensemble.
J’exprime également mes vifs remerciements à P. Drake pour avoir accepté de
faire partie de mon jury de thèse et pour avoir effectué le déplacement des États
Unis pour assister à cette thèse.
Je remercie C. Stenz pour avoir accepté d’être le président du jury et pour
avoir montré un réel intérêt pour mon travail.
Je tiens à remercier tous les membres du groupe plasmas chauds du CELIA qui
m’ont soutenu et aidé dans cette aventure. En particulier, merci à Ludovic, Jérôme
et Pierre-Henri pour leur aide “numérique” précieuse. Pour toutes les discussions
intéressantes et fructueuses, merci à Jean-Luc, Marina, Philippe et Guy.
Merci à S. Aussel, M. Mondolfi et C. Termens pour leur gentillesse et leur
aide administrative. Je tiens à remercier particulièrement l’équipe informatique
du laboratoire, Olivier et Didier pour leur aide précieuse et leur disponibilité.
VIII
Je remercie, le personnel de l’UFR de physique et de l’école doctorale pour leur
aide.
Un salut à tous les thésards que j’ai côtoyé pendant ces trois années, Christophe, Benoit, Afeintou, Mickael, Vincent, Amelle, Samuel, Julien entre autres.
Je remercie toute ma famille, en particulier ma mère, pour m’avoir toujours
soutenu pendant cette thèse.
Je tiens à remercier ma femme, Virginie, qui a toujours été présente lors de mes
moments de doutes. Merci à Sophie pour son aide précieuse et ses encouragements.
À mes enfants, Julie et Bastien, merci de votre vitalité.
À tous ceux qui m’ont fait aimer la physique.
TABLE DES MATIÈRES
LISTE DES FIGURES
5
INTRODUCTION
15
CHAPITRE I. Contexte astrophysique
19
1.1
Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2
Les différents types de supernovae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3
1.2.1
Supernovae de type Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2
Supernovae de type II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Introduction aux plérions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
CHAPITRE II. Astrophysique de laboratoire
41
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2
Hypothèses de modélisation : hydrodynamique idéale . . . . . . . . 43
2.3
Lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4
Validité des équations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5
2.4.1
Effets collisionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2
Effets du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.3
Effets du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Expériences et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
CHAPITRE III. Instabilités hydrodynamiques
53
3.1
Développement de l’instabilité de Rayleigh-Taylor . . . . . . . . . . 53
3.2
Effets de compressibilité sur l’instabilité de Rayleigh-Taylor . . . . . 58
1
2
3.3
L’instabilité de Rayleigh-Taylor en phase instationnaire . . . . . . . 61
CHAPITRE IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets
63
de compressibilité
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2
Géométrie du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3
Compressibilité et effet de masse finie . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4
Linéarisation des équations hydrodynamiques . . . . . . . . . . . . 69
4.5
4.4.1
Fluide compressible barotrope isotherme . . . . . . . . . . . 70
4.4.2
Fluide incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.3
Fluide incompressible stratifié . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.4
Fluide incompressible de masse finie . . . . . . . . . . . . . . 78
Analyse des relations de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.1
Expression asymptotique du taux de croissance . . . . . . . 82
4.6
Champ de vitesse généré par l’IRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.7
Discussion et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
CHAPITRE V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
93
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2
Transformation de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3
Solution de l’écoulement non perturbé
. . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.1
Sphère pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.2
Coquille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4
Étude de stabilité de la coquille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5
Résolution numérique de l’équation de dispersion . . . . . . . . . . 119
3
5.6
Comportement de l’écoulement perturbé . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.7
Analyse qualitative de l’IRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.8
Évolution de la surface interne et externe de la coquille . . . . . . . 128
5.9
Discussion et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
CHAPITRE VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
147
6.1
Contexte astrophysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2
Modèle hydrodynamique d’un plérion . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3
Évolution temporelle de la luminosité du pulsar . . . . . . . . . . . 161
6.4
Simulation numérique de l’instabilité de la coquille . . . . . . . . . 165
6.5
Validité du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.6
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
CHAPITRE VII. Proposition expérimentale
183
7.1
But de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2
Schémas de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3
Dimensionnement de la coquille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.3.1
Perturbation de la face interne de la coquille et IRT . . . . . 191
7.3.2
Processus d’ablation et mise en mouvement de la coquille . . 192
7.3.3
Loi d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.4
Diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.5
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
199
ANNEXES
207
A Liste des annexes
207
4
A.1 La masse de Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.1.1 Cas non-relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.1.2 Cas relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A.2 Évolution des restes de supernovae : phase de Sedov . . . . . . . . . 210
A.3 Évolution des restes de supernovae : phase isotherme . . . . . . . . 212
A.4 Commentaire par D. Livescu à propos de l’article : “Compressible
Rayleigh-Taylor instabilities in Supernova remnants” par Ribeyre,
X., Tikhonchuk, V. T. et Bouquet S. et la réponse au commentaire
de D. Livescu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.5 Transformation de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.6 Simplification de la relation de dispersion dans le cas d’un fluide
stratifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
A.7 Annexe du chapitre V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Liste des travaux et publications
227
BIBLIOGRAPHIE
229
LISTE DES FIGURES
1.1
Résumé de la présentation faite par W. Baade et F. Zwicky à l’université
de Standford en Décembre 1933. Elle introduit pour la première fois les
supernovae, les rayons cosmiques et les étoiles à neutrons. . . . . . . . . 20
1.2
Image dans le domaine X obtenue avec le télescope Chandra en 2003 des
restes de la supernova de type Ia : Tycho (SN1572). On distingue en bleu,
la zone d’interaction avec le milieu interstellaire (bleu 4,1-6,1 keV). L’IRT
est probablement responsable de la structure cotonneuse des éjectas en
vert et rouge (rouge 0,95-1,26 keV, vert 1,63-2,26 keV). . . . . . . . . . 22
1.3
(A) Image réalisée après l’explosion de la SN1987A par le télescope spatial Hubble. (B) Structure interne multi-couches (structure en pelure
d’oignon) de l’étoile progéniteur avant l’explosion.
1.4
. . . . . . . . . . . 24
(A) Courbe de lumière de la SN1987A (1). La courbe théorique (2) prend
en compte le mélange du
56 Co
et la courbe (3) prend en compte un mé-
lange plus faible. On observe un délai de 3 mois entre ces deux courbes.
Le mélange permet de retrouver les observations [44]. (B) Simulation du
mélange des couches internes avec les couches externes dû au développement de l’IRT lors de l’explosion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5
Image dans le domaine optique de la nébuleuse du Crabe, restes de la
supernova de type II : SN1054, obtenue par le VLT. Les filaments sont
les restes ionisés de la supernova éjectés dans le milieu interstellaire et
accélérés [5, 24, 61] par le vent du pulsar situé en son centre. On pense
que l’instabilité de Rayleigh-Taylor est responsable de la formation de
la structure filamentaire de la nébuleuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6
Observation à haute résolution du cœur de la nébuleuse du Crabe effectuée par le télescope spatial Hubble [5]. On distingue nettement les
filaments dus à l’IRT, voir par exemple la zone notée F. Le pulsar apparaı̂t approximativement au milieu de la partie inférieure du cliché.
5
. . . 30
6
1.7
Images obtenues par spectroscopie Fabry-Pérot de la nébuleuse du Crabe.
Le sens de la lecture se fait par numéro croissant de (1) à (12). Elle permet d’imager différentes classes de vitesse d’expansion, en bas à gauche
pour une vitesse de – 1435 km/s (vers l’observateur) jusqu’en haut à
droite pour – 5 km/s (vitesses données par rapport à un observateur au
repos). Pour cette dernière image ont distingue nettement la structure
filamentaire de la nébuleuse [70]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8
Représentation schématique d’un plérion. Le rayon du pulsar vaut typiquement 10 km, la bulle de vent relativiste a un rayon typique de 0,1 pc
et le rayon des éjectas vaut typiquement 1 pc [71]. . . . . . . . . . . . . 33
1.9
Observation de la région centrale de la nébuleuse du Crabe dans le domaine des X (15 keV). On distingue le pulsar au centre du tore ainsi que
le choc de terminaison entre la zone de vent ultra-relativiste et la bulle
de rayonnement synchrotron [75].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.10 Représentation schématique d’une supernova type II. La figure montre
le pulsar dont le vent souffle les éjectas de la SN. La discontinuité de
contact entre la bulle formée par le vent du pulsar et les éjectas est
instable au sens de Rayleigh-Taylor. Les doigts de Rayleigh-Taylor sont
connectés entre eux par une fine coquille. . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.11 Image réalisée en 2004 des restes de la supernova de type II : Cas A.
Ce cliché est une composition de trois domaines : en rouge le domaine
infrarouge (Spitzer), optique en jaune (Hubble) et X en bleu et vert
(Chandra). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1
Expérience dédiée à l’étude de l’IRT en géométrie divergente effectuée
sur l’installation laser Omega [110]. L’abréviation P-V signifie “Peak-toValley” et correspond à l’amplitude de la perturbation. . . . . . . . . . 52
3.1
Développement de l’instabilité de Rayleigh-Taylor lors d’un orage. On
distingue les structures régulières formées par l’amplification d’une perturbation sur la face inférieure (c’est-à-dire vers le sol) des nuages. . . . 54
7
3.2
Représentation de l’interface perturbée de longueur d’onde λ dans un
champ de pesanteur ~g . Les milieux séparés par l’interface ont des densités
notées ρ+ et ρ− , dans la partie supérieur et dans la partie inférieur,
respectivement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3
Développement de l’instabilité de Rayleigh-Taylor lors d’une expérience
réalisée par J. Jacobs et al. voir le site http ://fluidlab.web.arizona.edu
/rayleigh.html. On distingue toutes les phases de développement de l’instabilité. La phase linéaire (a)-(c), la phase non-linéaire (d)-(e) et la
phase turbulente (f). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1
Géométrie du problème en deux dimensions : une petite perturbation
η1 (x, t) est appliquée à l’interface z = 0 à t = 0. . . . . . . . . . . . . . 66
4.2
Profils de densités dans les quatre cas : A - deux fluides incompressibles
uniformes (masse infinie pour les deux milieux), B - deux fluides compressibles, C - deux fluides incompressibles stratifiés (masse finie, avec
les mêmes caractéristiques que le cas B), D - deux fluides incompressibles
dont la masse du milieu supérieur est finie (même masse que dans les
cas B et C) et infinie pour le milieu inférieur. Ces profils sont calculés
analytiquement au paragraphe 4.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3
Dépendance du taux de croissance normalisé, ω/ω̂, en fonction du nombre
d’onde normalisé, k/k̂, pour les quatre cas et pour deux nombres d’Atwood différents : At = 0,1 (a) et 0,9 (b). La courbe en trait plein correspond au cas compressible – en pointillés, le cas incompressible – en
tirets, le cas incompressible stratifié – en tiret-double-point, le cas incompressible masse finie. La courbe en tiret-point donne le rapport des
taux croissance du cas compressible sur le cas incompressible stratifié.
4.4
. 81
Champ de vitesse dans les quatre types d’écoulement : (A) - le cas incompressible uniforme, (B) - le cas compressible, (C) - le cas incompressible
stratifié, (D) - le cas incompressible masse finie. Les paramètres utilisés
sont les suivants : ω̂t = 1, k = k̂, k̂a = 0,05 et At = 1/3 et g k̂/ω̂ 2 = 1.
. 85
8
4.5
(A) Divergence de l’écoulement, div ~v , dans le cas compressible et (B)
composante y du rotationnel (perpendiculaire à l’axe z et x), rot ~v , dans
le cas incompressible stratifié. Les paramètres sont les mêmes que pour
la figure 4.4 (le niveau de gris est représentatif du signe du rotationnel
sur l’axe y, donc du sens de rotation des vortex).
4.6
. . . . . . . . . . . . 86
Vitesse de cisaillement à l’interface, dans le cas compressible (trait plein)
et dans le cas incompressible stratifié (tiret). . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1
Représentation de la fonction d’échelle C(t) [voir Éq. (5.24)] dans trois
cas : sans vitesse initiale, β = 0 (1), avec une vitesse initiale positive,
β = 0,5 (2) et avec une vitesse initiale négative, β = − 0,5 (3). . . . . . 106
5.2
Relation entre les temps t et t̂ [voir Éq. (5.36)] entre le repère co-mouvant
et le repère du laboratoire, pour β = 0 (1), 0,5 (2), et −0,5 (3). . . . . . 108
5.3
Profils de densité (a), de pression (b) de vitesse (c) en fonction du rayon,
dans le repère du laboratoire pour t = 0 (trait plein), t = 0, 5 τ (tirets),
et t = τ (pointillés). Notons qu’à t = 0, le profil de vitesse est confondu
avec l’axe horizontal. La figure (d) correspond au tracé de la pression du
pulsar pr0 (t) sur la face interne de la coquille en fonction du temps. Les
paramètres initiaux sont : β = 0 (vitesse initiale nulle) et r̂0 = 0,2 r̂1 . La
vitesse est normalisée par r̂1 /τ , la densité par la densité centrale ρ̂0 (0)
et la pression par K ρ̂0 (0)5/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4
Représentation de la coquille en expansion sous l’effet de la pression
du vent du pulsar. À l’instant t la surface interne située est en r0 (t) =
r̂0 C(t), et la surface externe en r1 (t) = r̂1 C(t) où r̂0 et r̂1 correspondent
respectivement aux rayons initiaux pour l’intérieur et l’extérieur de la
coquille. La surface interne de la coquille est accélérée par le vent du
pulsar et est instable au sens de Rayleigh-Taylor. . . . . . . . . . . . . 113
9
5.5
Tracé des deux fonctions FL (∆) et FR (∆, l, R0 ) représentant les membres
de gauche et de droite de l’équation (5.66). L’intersection de ces deux
courbes donne la valeur de ∆, correspondant à la solution de l’équation
de dispersion (5.66). Ces courbes dépendent du numéro de mode l et FR
dépend aussi de l’épaisseur de la coquille R0 (les courbes sont tracées
pour R0 = 0,1 ; 0,5 et 0,8). Cependant, on constate que le point d’intersection reste inchangé. Dans cet exemple, on a l = 4 et on trouve que le
point d’intersection s’effectue toujours pour ∆ = 3. Comme nous avons
la relation ∆2 = l(l + 1) + 4 − 3ω 2 , nous obtenons 3ω 2 = 15, soit ω 2 = 5.
On peut remarquer que cette valeur correspond à l + 1. De même pour,
∆ = 6 (second point d’intersection), nous obtenons 3 ω 2 = −12, soit
ω 2 = −4, cette valeur correspond alors à −l. . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.6
Tracé du taux de croissance adimensionné ω en fonction de l. Tous les
√
modes sont instables et ω = l + 1 [d’après l’Éq. (5.75)]. . . . . . . . . 125
5.7
Comparaison entre l’évolution temporelle du déplacement de la face interne (a) et externe (b) de la coquille pour le mode le plus instable :
Λ1 = 1, Λ2,3,4 = 0, pour le numéro de mode l = 4 avec une coquille
d’épaisseur R0 = 0,5 et une vitesse initiale nulle (β = 0). Le déplacement est divisé par la fonction d’échelle C(t) pour montrer la croissance
de la perturbation due seulement à l’IRT. Ces figures montrent un très
bon accord entre la solution analytique (trait plein) et les simulations effectuées avec le code Pansy (tiret). Les différences entre les deux courbes
(PANSY-Modèle) sont inférieures au pourcent.
. . . . . . . . . . . . . 131
10
5.8
Perturbation initiale de la coquille pour le mode “sausage” (a) à t = 0
et (b) pour t = τ . Dans (c) on trace l’évolution temporelle de la perturbation face interne et externe et (d) donne le déplacement initial à
l’intérieur de la coquille. Toutes les figures sont tracées pour le mode
l = 4, une épaisseur de coquille correspondant à R0 = 0,5 et une vitesse
initiale nulle β = 0. Dans la figure (a) nous avons volontairement exagéré
la perturbation initiale avec a0 = 0,1 (ceci pour bien visualiser la forme
initiale de la coquille). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.9
Perturbation initiale de la coquille pour le mode “spaghetti” (a) à t = 0
et (b) pour t = τ . Dans (c) on trace l’évolution temporelle de la perturbation face interne et externe et (d) donne le déplacement initial à
l’intérieur de la coquille. Nous utilisons la même représentation que pour
la figure 5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.10 Perturbation initiale de la coquille pour le mode “interne” (a) à t = 0
et (b) pour t = τ . Dans (c) on trace l’évolution temporelle de la perturbation face interne et externe et (d) donne le déplacement initial à
l’intérieur de la coquille. Nous utilisons la même représentation que pour
la figure 5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.11 Perturbation initiale de la coquille pour le mode “vitesse” (a) à t = 0
et (b) pour t = τ . Dans (c) on trace l’évolution temporelle de la perturbation face interne et externe et (d) donne le déplacement initial à
l’intérieur de la coquille (il est nulle initialement car D0 = D1 = 0). Nous
utilisons la même représentation que pour la figure 5.8. . . . . . . . . . 137
5.12 Représentation de la perturbation de la face interne à t = 0 [région près
du centre X = Y = 0, cas (a)] et à t = 20τ [cas (b)]. L’épaisseur de
la coquille est telle que R0 = 0,65 pour le mode l = 12 et le nombre
azimutal m = 0. La perturbation relative initiale est de 0,24 %.
. . . . 138
5.13 Représentation tridimensionnelle de la perturbation angulaire : Ylm (θ, φ),
pour l = 20 et m = 10.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11
6.1
Figure extraite de la Réf. [79]. Structure d’un RSN avec la bulle centrale
due au vent du pulsar. La coquille qui entoure cette bulle a pour rayon
extérieur Rp . Cette quantité a été notée r1 dans le chapitre V et la face
interne de la coquille a pour rayon r0 (non indiqué sur cette figure). . . . 150
6.2
Tracé de la grandeur C(t) − 1 en fonction de t/τ en échelles logarithmiques. En allant de bas en haut, les trois courbes correspondent respectivement à β = 0, β = 0,2 et β = 0,5. La quatrième courbe correspond
à la droite donnée par RP W N (t) ∼ t6/5 (6.10). . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3
Solution analytique pour l’évolution d’un plérion. Cette figure donne
les profils spatiaux de densité (a), de pression (b), de vitesse (c) pour
t = 0, τp , 2τp . La loi de pression sur la face interne des éjectas est donnée
sur (d). Dans cette figure la densité est normalisée par la densité ρ0 sur
la face interne à t = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4
Représentation (a) de l’évolution temporelle de la face interne (trait
plein) et externe (traits pointillés). Le rayon r(t) est en parcec (pc)
et le temps t en années. On note une évolution significative du rayon
après t = τp = 210 ans. Après une phase d’accélération, suit une phase
d’expansion libre. Sur (b) on trace l’évolution temporelle de la vitesse
[V (t) est en km/s et t en années] de la face interne (trait plein) et la
vitesse de la face externe (traits pointillés). L’augmentation de l’épaisseur
de la coquille ne se voit pas en échelle Log-Log, par contre en échelle
linéaire on se rend compte que l’épaisseur augmente d’un facteur ∼ 15
pour t = 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.5
Comparaison de la luminosité L(t) (L est en erg/s et t en années) du
pulsar donnée par le modèle standard c’est à dire l’équation (6.38), sachant que L0 = 8,5×1039 erg s−1 , τ = τp = 210 ans et n = 2 (p = 3)
(en pointillés) avec la luminosité Lp (t) donnée par notre modèle, l’équation (6.26) avec Lp0 = 5×1039 erg s−1 et τp = 210 ans (trait plein). On
observe un bon accord entre les deux modèles. . . . . . . . . . . . . . . 167
12
6.6
(a) Tracé en fonction du temps du calcul, par le code CHIC, de l’amplification de la perturbation pour différents modes l compris entre 4080 (il s’agit du faisceau de cinq courbes qui sont rapprochées), avec
a0 = 10−3 r1 . La courbe supérieure en trait plein (notée Linear Theory :
l = 60) est donnée par le modèle analytique linéaire. La figure (b) est un
agrandissement local du faisceau des 5 courbes où l’on met en évidence
que le mode l = 80 (trait plein) commence à saturer avant le mode 70
(− · ·−). En effet, pour t > 1,4τp le mode l = 70 passe au dessus du mode
l = 80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.7
Représentation des simulations 2D pour le mode l = 70, fragilisant le plus
la coquille, avec a0 /r1 = 5×10−3 , β = 0,55 et R0 = 0,9 (voir sections 6.3
et 6.2) à trois instants différents : t = 0, t = τp , t = 2τp . On observe que
la coquille des éjectas devient très fine au voisinage de t = 2τp . L’échelle
en densité est logarithmique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.8
Détail de la structure typique bulle-aiguille le long de l’axe x (θ = 0) à
t = 2τp . La densité est tracée en échelle linéaire. On trace deux profils
de densité : en haut le profil à l’intérieur de l’aiguille et en bas à dans la
paroi de la bulle. L’origine des abscisses dans ces deux tracés est située
sur la surface interne de la coquille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.1
Schéma de principe d’une expérience laser en attaque directe. La pression
P, peut être fournie, soit par un laser UV ou par une source X. Cette pression accélère et ablate une coquille formée d’un pousseur (faible densité)
et d’une coquille extérieure (forte densité) perturbée sur sa face intérieure. 186
7.2
Schéma de principe d’une expérience en attaque indirecte laser permettant d’accélérer une coquille et d’observer sa fragmentation. Le laser
entre dans la cavité et produit des X, alors la pression d’ablation de ce
rayonnement accélère la coquille. Celle-ci est constituée d’un matériau
dit pousseur et d’une coquille perturbée sur laquelle va se développer
l’IRT et mener à sa déformation. La rupture de la coquille peut être
détectée à l’aide d’un diagnostic X.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
13
7.3
Schéma de principe d’une expérience laser en attaque directe. Le faisceau
principal met en vitesse une coquille, tandis qu’un faisceau secondaire
retardé est utilisé pour effectuer une radiographie de la coquille en mouvement (backlighter). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
INTRODUCTION
Lors de leur évolution, sous l’effet de la gravité, les étoiles dont la masse M
satisfait M < 8 M¯ (où M¯ ' 1033 g est la masse du soleil) effectuent à des
températures très élevées, la fusion de deux noyaux d’hydrogène pour former un
noyau hélium. La fusion dégage assez d’énergie pour empêcher l’effondrement de
l’étoile sur elle-même [1]. Alors, un équilibre s’établit entre la force gravitationnelle
et la force de pression exercée par la matière dont le chauffage très élevé est produit
par l’énergie de fusion. C’est le début d’une longue période pendant laquelle cet
équilibre se maintient. C’est le cas, par exemple, pour le soleil. Pour des étoiles
plus massives, dont la masse vérifie M > 8 M¯ , la température au cœur de l’étoile
est suffisante pour que la fusion de l’hydrogène et de l’hélium s’opère pour produire
du carbone (mais aussi du Li, Be, B, N). À la fin de chaque cycle de fusion, la
production d’énergie s’arrête et le cœur se contracte par gravité. La température
augmente et donc, à chaque contraction du cœur de l’étoile, par fusions successives,
les éléments tels que l’oxygène, le néon, le magnésium et le silicium sont produits.
Finalement, le fer, le dernier produit de fusion est créé. L’étoile se structure en
couches successives qui vont de l’élément le plus lourd au centre, le fer, au plus
léger, l’hydrogène, sur la couche la plus externe. Une fois cet état atteint, la fusion
du silicium contribue à augmenter la masse du noyau de fer, et sa température
atteint environ 6×109 K pour une densité de l’ordre de 3×109 g cm−3 . Les réactions
de fusion ne se produisent plus au delà du fer, car cet élément est le plus stable (son
énergie de liaison est la plus grande). À partir d’une certaine masse qui est appelée
la masse de Chandrasekhar et qui vaut environ 1,4 M¯ , le noyau de fer s’effondre
très rapidement sur lui même. La gravité l’emporte sur les forces de pression car
les réactions de fusion n’ont plus lieu au cœur de l’objet. Lors de l’effondrement,
la température augmente violemment et des photons gamma de très haute énergie
sont produits et photodissocient les noyaux de fer. Les protons se neutronisent
en absorbant un électron et un flux très important de neutrinos (soit une énergie
INTRODUCTION
16
d’environ 1053 ergs) est produit. Après effondrement, le cœur de fer de l’étoile de
masse MF devient, soit une étoile à neutrons pour MF ' 1,4-3 M¯ , soit un trou
noir lorsque MF ≥ 3 M¯ . Alors que pendant cet effondrement, toutes les couches
externes de l’étoile s’effondrent, puis “rebondissent” sur le cœur très dense. Les
couches successives de l’étoile subissent alors l’onde de choc provenant du centre
à cause du rebond et sont expulsées dans le milieu circumstellaire et interstellaire.
Naı̂t, alors ce que l’on appelle une supernova (SN) de type II (voir le chapitre
I), dont le flash lumineux est équivalant à l’énergie rayonnée par le soleil pendant
toute sa vie (∼ 10 milliards d’années). On appelle alors, reste de supernova (RSN),
les couches de matière provenant de la SN et qui se dispersent ultérieurement dans
le milieu interstellaire.
Les observations [2, 3, 4] ont montré que lors de son explosion, l’étoile perd
sa symétrie sphérique initiale. Ses différentes couches se mélangent et la matière
éjectée dans le milieu interstellaire se filamente [5]. Une description hydrodynamique du phénomène est possible et l’étude de la stabilité de ce type d’écoulement
est indispensable pour comprendre les observations. Il existe plusieurs types d’instabilités hydrodynamiques à l’origine de la perte de symétrie, mais l’instabilité
de Rayleigh-Taylor (IRT) est primordiale dans l’évolution des SN et des RSN. Ce
point a été montré par exemple par Fryxell et al. [6], Kifonidis et al. [7] dans le
cas des SN et par Chevalier et al. [8] et Blondin et al. [9] pour les RSN. Cette
instabilité se développe lorsqu’un milieu de faible densité accélère (ou décélère)
un milieu de forte densité [10]. C’est elle qui a permis d’interpréter certaines observations [6] (la courbe de lumière par exemple), comme celles de la supernova
détectée en 1987 (SN1987A). La compréhension de l’évolution dynamique ainsi
que le développement des instabilités hydrodynamiques dans les SN et les RSN
reste donc une question importante en astrophysique.
Cette thèse est consacrée à l’étude de cette instabilité et de son rôle dans
l’évolution des RSN.
On étudiera, en particulier deux thèmes principaux :
– Les effets de compressibilité sur l’IRT dans le cas d’un milieu isotherme
INTRODUCTION
17
stationnaire et en géométrie plane. De nombreux travaux analytiques ont été menés dans ce domaine [11, 12, 13, 14, 15, 16]. Notre objectif est de clarifier les
controverses qui subsistent encore à ce jour dans ce domaine, en choisissant des
configurations dans lesquelles seuls les effets de compressibilité ont une influence
sur le développement de l’IRT. Dans ce cadre une application à l’évolution des
RSN est effectuée.
– Le second thème porte sur l’étude de l’IRT instationnaire pour une coquille
sphérique. Dans ce domaine, des travaux analytiques déterminants ont été effectués à l’heure actuelle, que ce soit pour des applications astrophysiques [9, 17],
ou dans le domaine de la fusion par confinement inertiel (FCI) [18, 19]. On retrouve d’ailleurs, les mêmes auteurs dans chacun des domaines (Bernstein et Book,
références [17, 19], par exemple). Notre objectif est de réaliser une étude analytique de l’IRT (les approches analytiques nous paraissent, en effet, essentielles,
et complémentaires de celles menées numériquement) à l’aide d’une méthode de
changement de coordonnées [20] originale. Ceci nous permet de trouver des solutions analytiques et surtout de donner une interprétation physique plus claire
de l’IRT instationnaire en y associant une relation de dispersion. De plus, l’expression analytique du taux de croissance est comparée avec celle provenant de
simulations numériques effectuées avec un code de perturbation. Enfin, le modèle
analytique est appliqué à un objet astrophysique dans lequel l’IRT joue un rôle
important dans son évolution. Nous avons choisi la famille des plérions (nébuleuse
contenant un pulsar central – voir plus loin), dont la nébuleuse du Crabe est un
prototype. Dans cette étude, nous nous sommes appuyés sur des travaux récents
concernant des simulations numériques [21, 22], mais aussi des données observationnelles [5, 23, 24, 25]. Ensuite, la solution analytique que nous avons proposée,
permet d’étudier la stabilité d’un tel objet et en particulier d’estimer le mode de
perturbation pouvant mener à la fragmentation de sa coquille sous l’effet de l’IRT.
Des simulations numériques bidimensionnelles effectuées à l’aide d’un code hydrodynamique ont mis en évidence le passage dans le domaine non-linéaire de l’IRT
et de mieux comprendre le percement de la coquille.
INTRODUCTION
18
Toutes les considérations analytiques de cette thèse sont basées sur les équations hydrodynamiques d’Euler pour un écoulement isentropique. Selon les lois
d’échelle [26], ce système d’équations est valide à partir du moment où l’on néglige
les effets dissipatifs, tels que la viscosité, le transfert de chaleur, le rayonnement et
les aspects magnétiques. Dans ce cadre, il est possible d’étudier en laboratoire sur
une installation laser tels que la LIL (Ligne d’Intégration Laser) ou le Laser Mégajoule (LMJ), une partie de l’évolution l’hydrodynamique d’une coquille mise en
vol par la pression intérieure. En particulier, nous pouvons étudier les conditions
de fragmentation de cette coquille en fonction de ses paramètres et de la pression.
Cette approche peut mettre en lumière une partie de l’hydrodynamique des RSN
tels que les plérions.
Le plan de ce document est le suivant :
Dans le chapitre I, on rappelle les différents types de SN et on y détaille l’évolution des RSN en insistant sur les plérions. Le chapitre II, permet de préciser le
lien qui existe entre les RSN et les expériences laser. L’IRT est introduite dans le
chapitre III, et on évoque les effets de compressibilité et de non-stationnarité. Le
chapitre IV est consacré à une étude analytique des effets de compressibilité sur
l’IRT dans la phase de décélération des RSN. Cette étude concerne principalement
les RSN dits “shell-type”. Cette phase peut être considérée comme stationnaire et
le rayon des éjectas étant très grand, on peut mener l’étude en géométrie plane.
Dans les chapitres V et VI, une étude analytique de l’IRT est effectuée dans
la phase d’accélération des éjectas par le vent du pulsar. Cette étude concerne les
RSN de type plérions (par opposition à “shell-type”). Lors de cette étape, on doit
prendre en compte la géométrie sphérique du système et la non-stationnarité de
l’écoulement.
Enfin, dans le chapitre VII, on présente une expérience laser qui devrait permettre de simuler en laboratoire l’évolution hydrodynamique d’une coquille en vol
et sa fragmentation.
CHAPITRE I
Contexte astrophysique
1.1
Historique
C’est en 1933 que Fritz Zwicky et Walter Baade prévoient dans un article
devenu célèbre (voir Fig. 1.1), que lors de l’explosion de certaines étoiles, il reste
un résidu compact constitué de neutrons et que sont produits d’intenses rayons
cosmiques. C’est dans cet article que le mot supernova apparaı̂t pour la première
fois. Le concept d’étoile à neutrons ne sera accepté théoriquement qu’en 1939 et
vérifié par l’observation en 1967. L’idée de supernova devient une réalité.
De nombreux scientifiques de renom dans les années trente, ont découvert les
mécanismes physiques qui aboutissent à l’explosion de certaines étoiles. Citons,
Chandrasekhar, qui détermina la masse maximale, Mch (masse de Chandrasekhar), que peut atteindre un objet compact (naine blanche) avant son effondrement gravitationnel, soit Mch = 1,4 M¯ où M¯ = 2×1033 g est la masse du
soleil [27] (voir annexe A.1). Par la suite, Landau [28], Oppenheimer et Volkov en
1938 [29] ont déterminé la masse maximale Mn que pouvait atteindre une étoile
à neutrons soit Mn ' 0,7 M¯ 1 . Un an plus tard, Oppenheimer, à nouveau, et
Snyder prévoient l’effondrement gravitationnel d’une étoile à neutrons en un trou
noir [30, 31]. Cet objet avait été étudié par Schwarzschild [32] en 1916 sur les bases
de la relativité générale d’Einstein [33]. En effet, la relativité prévoit que le rayon
Rs (rayon de Schwarzschild) d’un trou noir est donné directement par sa masse,
selon Rs = 2GM/c2 (où G est la constante de la gravitation et c la vitesse de
la lumière). Donc, pour un trou noir d’une masse solaire M = M¯ , on obtient
Rs ' 3 km.
1
Des calculs plus récents donnent Mn ' 1,65 M¯ , valeur due principalement à des équations
d’états plus réalistes, voir [1] p. 180.
I. Contexte astrophysique
20
Dans le même temps, de nombreux travaux effectués en physique nucléaire ont
permis de mieux comprendre la formation, l’évolution et la fin de vie des étoiles.
C’est la nucléosynthèse [1]. La découverte des pulsars (étoile à neutrons possédant
un fort champ magnétique et en rotation rapide) en 1967 [34], notamment celui
situé dans la nébuleuse du Crabe (reste de la supernova observée par les chinois en
1054), vı̂nt confirmer de manière spectaculaire, quarante ans plus tard, l’intuition
de Zwicky et Baade [1, 35].
Figure 1.1: Résumé de la présentation faite par W. Baade et F. Zwicky à l’université
de Standford en Décembre 1933. Elle introduit pour la première fois les supernovae, les
rayons cosmiques et les étoiles à neutrons.
1.2
Les différents types de supernovae
Dans cette partie, nous allons décrire deux grand types de supernovae : les supernovae de type Ia et celles de type II. Cependant, la configuration dans laquelle
nous étudions l’instabilité de Rayleigh-Taylor (IRT) dans ce travail se rapporte
I. Contexte astrophysique
21
principalement aux SN du deuxième type. Pour ces deux types de SN, les mécanismes physiques de l’explosion sont différents [1, 36]. Pour la SN de type Ia,
c’est la combustion thermonucléaire qui est à l’origine de l’explosion et pour la
SN de type II, c’est la gravitation. Le classement des supernovae est plus riche,
cependant, pour ne pas alourdir la présentation, nous ne décrirons que ces deux
classes principales [1, 37, 38].
1.2.1
Supernovae de type Ia
Pour décrire cet objet, il est nécessaire de commencer par expliquer l’évolution
d’un système binaire, c’est à dire, composé de deux étoiles. L’étoile la plus massive,
dont la masse est comprise entre 2 et 8 M¯ , termine son évolution en naine blanche
d’environ 0,5 M¯ pour une densité de 106 g/cm3 et un rayon de l’ordre de celui de
la terre. La masse des naines blanches est inférieure à la masse de Chandrasekhar
évoquée plus haut. Cette naine blanche est alors constituée essentiellement de carbone et d’oxygène avec des électrons dégénérés, et va accréter par gravitation la
matière de l’autre étoile du système. Sa masse va augmenter et finir par atteindre
la masse limite de Chandrasekhar. Entre temps, les électrons restes dégénérés et
passent d’un régime non-relativiste à un régime ultra-relativiste. La pression du
gaz dégénéré des électrons ultra-relativistes ne peut plus alors supporter le poids
de l’étoile. En effet, la constante polytropique γ du gaz d’électrons, passe de 5/3
à 4/3 et la pression des électrons ne contrebalance plus la gravitation. L’étoile
s’effondre brusquement et sa température centrale monte à plusieurs 108 K et la
densité atteint 109 g/cm3 (annexe A.1). La fusion des noyaux de carbone s’amorçe
et l’énergie dégagée par la combustion chauffe le milieu. La température monte de
plus en plus vite, les réactions s’emballent : alors la combustion thermonucléaire
produit des noyaux lourds proches du fer tels que le nickel et le cobalt. Au même
moment, les électrons passent de l’état dégénéré à l’état classique avec une pression
(donnée par une loi “classique”, par exemple, un gaz parfait) bien supérieure à la
valeur qu’elle avait dans le régime quantique. L’explosion violente est inévitable et
l’énergie dégagée est de ∼ 1051 ergs (annexe A.1). La naine blanche est complète-
I. Contexte astrophysique
22
ment désintégrée. La luminosité maximale lors de l’explosion est de ∼ 1043 erg/s.
Durant les mois qui suivent son explosion, elle rayonne au total ∼ 1049 ergs. La
quantité de masse brûlée est proche de la masse de Chandrasekhar, et pour cette
raison, la SN de type Ia est considérée comme une “chandelle standard”, permettant d’évaluer la distance des galaxies lointaines [1].
Figure 1.2: Image dans le domaine X obtenue avec le télescope Chandra en 2003 des
restes de la supernova de type Ia : Tycho (SN1572). On distingue en bleu, la zone
d’interaction avec le milieu interstellaire (bleu 4,1-6,1 keV). L’IRT est probablement
responsable de la structure cotonneuse des éjectas en vert et rouge (rouge 0,95-1,26 keV,
vert 1,63-2,26 keV).
Les restes de supernovae sont intensivement étudiés pour comprendre les mécanismes physiques qui ont engendré l’explosion de la supernova. Un exemple typique
est le reste de la supernova Tycho agé de 430 ans. Sur la figure 1.2, on distingue
dans le domaine des X, l’expansion de la coquille des éjectas dans le milieu interstellaire. La perte de sphéricité des éjectas est certainement due à l’instabilité de
Rayleigh-Taylor, qui donne un aspect cotonneux aux éjectas, comme le suggère
I. Contexte astrophysique
23
plusieurs auteurs [39, 40, 41].
1.2.2
Supernovae de type II
Lorsque qu’une étoile a épuisé une grande partie de son combustible, elle se
refroidit et se contracte sous l’effet de la gravité. Une étoile suffisamment massive, M & 8-10 M¯ , explose en fin de vie et devient une supernova (SN) dite de
type II [42]. Ce mécanisme a été décrit succinctement dans l’introduction de cette
thèse.
Les mesures de l’effet Doppler lors de l’explosion de la SN1987A, dont la masse
estimée est supérieure à 15 M¯ (Fig. 1.3A), donne une évaluation de la vitesse
d’expansion de la matière après l’explosion [1]. Les valeurs typiques sont : ve =103 104 km/s soit ve =108 -109 cm/s ou encore ve = c/300-c/30, c étant la vitesse de
la lumière. On donne sur la figure 1.3B, un exemple de profil de densité avant
l’explosion [43]. Sachant que la masse éjectée est de l’ordre de 15 M¯ (voir Arnett [1] p. 439, et surtout [43, 44] pour la SN1987A), il est possible d’estimer
l’énergie cinétique transportée par le plasma en expansion : on l’estime à 1051 ergs
en moyenne.
De plus, la luminosité, Lsn (énergie émise par unité de temps), de la supernova
est 1010 fois plus grande que la luminosité du soleil L¯ : soit Lsn = 1010 L¯ où
L¯ ' 1033 erg/s. Si l’on considère que cette luminosité est constante pendant
2×106 s (∼ 1 mois), on en déduit que l’énergie rayonnée par la supernova est de
8×1049 ergs.
Une majeure partie de l’énergie distribuée pendant l’explosion part sous forme
de neutrinos, Eν = 0,15 M¯ c2 (voir [1] p. 416), soit 2,7×1053 ergs. Donc, si on
effectue un bilan d’énergie, ∼ 99 % d’énergie est emportée sous forme de neutrinos,
∼ 1 % sous forme mécanique (énergie cinétique) et ∼ 0,01 % sous forme de photons.
La phase d’explosion peut être définie comme la durée qui s’écoule entre le
moment où l’onde de choc qui part du cœur émerge à la surface de l’étoile. Cette
durée vaut environ une heure [1]. C’est pendant ce laps de temps qu’une partie de
I. Contexte astrophysique
24
(A)
Densité
Fe
Si,Ne,O,C
He
H
(B)
Masse
Figure 1.3: (A) Image réalisée après l’explosion de la SN1987A par le télescope spatial
Hubble. (B) Structure interne multi-couches (structure en pelure d’oignon) de l’étoile
progéniteur avant l’explosion.
I. Contexte astrophysique
25
l’énergie interne de l’étoile est convertie en énergie cinétique.
Lors de l’explosion de la supernova 1987A [43, 44], les observations ont montré
que le rayonnement des couches internes de l’étoile est apparu 6 mois avant que
ne le prévoyait la théorie [45, 46]. En effet, les observations effectuées en 1987
ont montré l’apparition d’une source inhabituelle de rayons X [2, 3] qui annonçait
l’apparition de rayons γ provenant de la désintégration des noyaux de
Les noyaux de
56
56
Co [47].
Co créés au centre de l’étoile lors de l’explosion se sont mélangés
avec la couche externe d’hydrogène [48, 49]. Le mélange des couches est dû à la
perte de symétrie sphérique du système initialement structuré en pelure oignon
(Fig. 1.3B). C’est l’instabilité de Rayleigh-Taylor qui est principalement responsable de ce mélange. L’effet du mélange sur la courbe de lumière de la SN est
clairement montré sur la figure 1.4A. Les courbes théoriques en pointillés [notées
(2) et (3) sur la Fig. 1.4A] donnent un délai d’environ trois mois entre l’apparition
du rayonnement γ avec deux hypothèses de mélanges différentes. Des simulations
bidimensionnelles permettent de mieux comprendre le mélange suite au développement d’instabilités hydrodynamiques (Fig. 1.4B).
En effet, lors de l’explosion, les couches profondes (et donc denses) de l’étoile
sont décélérées par les couches externes (et donc peu denses) et une petite perturbation initiale entre ces couches de différentes densités est amplifiée par cette
instabilité [4, 6, 50, 51, 52].
Plus récemment, une étude montre que le flux de neutrinos peut aussi produire
des IRT lors du collapse. Ces instabilités sont générées au niveau de la discontinuité
de contact entre le choc produit lors de l’implosion du cœur et la neutrino-sphère [7,
53].
Ces résultats montrent l’intérêt majeur d’étudier l’instabilité de RayleighTaylor pour comprendre l’évolution de ce type d’objet.
Comme nous l’avons déjà dit, lors du collapse du cœur de fer, une étoile à
neutrons peut se former. Des densités de l’ordre de 1014 g cm−3 sont atteintes,
pour un rayon de typiquement 10 km. Un pulsar correspond à une étoile à neutrons
possédant un fort champ magnétique dont l’axe de rotation et l’axe de ce champ
I. Contexte astrophysique
26
(1)
(2)
(3)
Figure 1.4: (A) Courbe de lumière de la SN1987A (1). La courbe théorique (2) prend
en compte le mélange du
56 Co
et la courbe (3) prend en compte un mélange plus faible.
On observe un délai de 3 mois entre ces deux courbes. Le mélange permet de retrouver
les observations [44]. (B) Simulation du mélange des couches internes avec les couches
externes dû au développement de l’IRT lors de l’explosion.
I. Contexte astrophysique
27
ne sont pas confondus. Un pulsar émet un rayonnement synchrotron intense qui
interagit avec les éjectas de la SN qui ont tendance à former une coquille autour du
pulsar central. Cette famille de restes de supernovae, dite de type II, est nommé
un plérion [54].
Comme nous l’avons évoqué dans l’introduction, il existe une autre famille de
restes de supernovae avec des coquilles dite shell-type. Mais celle ci provient le plus
souvent de SN de type Ia. Un exemple typique est le reste de la supernova Tycho
(supernova de type Ia) présenté dans la section 1.2.1 (figure 1.2). En effet, l’unique
interaction a lieu essentiellement entre les éjectas et le milieu interstellaire [55, 56]
car il n’y a pas d’étoile à neutrons au centre de la coquille. Que ce soit dans le cas
de SN de type Ia ou de type II, on peut diviser l’évolution de ce RSN en plusieurs
étapes [57, 58] :
– Juste après l’explosion de la SN, la coquille formée par les éjectas n’a pas
eu le temps d’être décélérée par le milieu interstellaire (MIS). C’est la phase de
vol libre. Durant cette phase, le rayon R des éjectas est proportionnel au temps :
R ∝ t.
– Ensuite, lorsque l’interaction avec le MIS devient importante, la coquille
est décélérée. On entre dans la phase pré-Sedov. Lors de cette phase, l’IRT peut
se développer sur la face externe des éjectas. L’entrée dans la phase de Sedov
s’effectue lorsque la partie du MIS balayée par les éjectas a une masse supérieure
à celle des éjectas (voir en annexe A.2). On considère que l’énergie de l’explosion
est conservée et R ∝ t2/5 [59]. Plus tardivement, on peut considérer que c’est la
quantité de mouvement qui est conservée. Le ralentissement de la coquille est plus
important : R ∝ t1/4 (voir en annexe A.3). C’est dans cette phase (dite isotherme)
que l’IRT sera traitée au cours du chapitre IV.
Après avoir vu la phase d’instabilité lors de l’expansion de la coquille dans le
chapitre V, nous traiterons plus en détails l’évolution hydrodynamique des plérions
dans le chapitre VI, cette étude concerne les supernovae dite de type II. Un des plus
spectaculaire représentant de cette famille est la nébuleuse du Crabe (Fig. 1.5).
Actuellement, plus de 30 plérions ont été identifiés. Le nombre des découvertes
I. Contexte astrophysique
28
de ces objets s’est grandement accru depuis ces dernières années, surtout grâce au
progrès de l’astronomie X. C’est notamment grâce aux satellites d’observation tel
que Chandra ou XMM-Newton, que ce type d’objet a été mieux compris [60].
Figure 1.5: Image dans le domaine optique de la nébuleuse du Crabe, restes de la
supernova de type II : SN1054, obtenue par le VLT. Les filaments sont les restes ionisés
de la supernova éjectés dans le milieu interstellaire et accélérés [5, 24, 61] par le vent du
pulsar situé en son centre. On pense que l’instabilité de Rayleigh-Taylor est responsable
de la formation de la structure filamentaire de la nébuleuse.
Dans la section suivante, nous allons décrire de façon plus détaillée la structure et l’évolution des plérions. On montre aussi que l’on voit apparaı̂tre l’IRT à
différentes étapes de leur évolution. En effet, dès qu’il y a des gradients de densité importants ainsi qu’une accélération ou une décélération des éjectas, cette
instabilité peut se manifester (voir chapitre III). L’étude de cette instabilité est
fondamentale pour connaı̂tre et étudier l’hydrodynamique de ce type d’objet.
I. Contexte astrophysique
1.3
29
Introduction aux plérions
Nous avons vu qu’un plérion résulte de l’expansion du reste d’une SN de type
II et correspond à un système formé d’un pulsar central, rayonnent fortement,
entouré d’une coquille d’éjecta en expansion à une vitesse telle que son énergie
cinétique initiale est de l’ordre de 1051 ergs.
Il est répandu dans la littérature [24, 25, 55], de modéliser l’expansion des
restes de supernovae par une vitesse radiale linéaire en r, c’est à dire, v(r) ∝ r
(expansion homologue). Cette propriété est cohérente avec les observations. En
effet, dans la nébuleuse du Crabe, Trimble [24] a observé que la vitesse des filaments
est approximativement proportionnelle à leur distance au centre des restes de la
supernova. Cette observation est confirmée plus récemment par Cadez et al. [25].
De tels profils ont été utilisés dans beaucoup de travaux pour modéliser l’expansion
d’une coquille constituée des restes de supernova [17, 55].
Déjà en 1942, Baade [62] émit l’idée selon laquelle la matière de la nébuleuse
du Crabe avait subi une accélération (non constante) à partir des observations réalisées par Duncan [63]. Il suppose qu’après une phase d’accélération, la nébuleuse
du Crabe entre dans une phase de vol libre (vitesse constante). Cette hypothèse
est confirmée plus tard en 1968 par Trimble [24] avec la comparaison d’images
de la nébuleuse prises à une dizaine d’années d’intervalle. Elles montrent que les
filaments de cette nébuleuse sont accélérés. Il y a moins de 10 ans, Nugent [64]
a confirmé les résultats obtenus par Trimble. Par ailleurs, les observations dans
le domaine radio de Bietenholz et al. [61] montrent que le cœur de la nébuleuse
émet un rayonnement synchrotron dont l’expansion est plus rapide que celles des
filaments que l’on observe. Ceci confirme le fait que la “bulle synchrotron” passe à
travers les filaments.
Les observations montrent également qu’une partie de l’énergie cinétique des
éjectas a été acquise après l’explosion initiale. Il a été suggéré que le pulsar central
transfère une partie de son énergie de rotation à la nébuleuse [65, 66], par l’intermédiaire des particules et des ondes électromagnétiques qu’il émet : il s’agit du
I. Contexte astrophysique
30
vent du pulsar. Beaucoup de questions restent ouvertes concernant la théorie du
vent des pulsars. Cependant, l’étude de la nébuleuse du Crabe est capitale dans
la compréhension de ce phénomène [67].
Un modèle qualitatif permet d’expliquer ce vent violent [68]. Les pulsars se
forment avec une période de rotation comprise entre 10-100 ms [69]. Par exemple,
la période de rotation du pulsar du Crabe est de 33 ms. Les observations révèlent
que cette période augmente avec le temps [69]. Ce ralentissement montre qu’une
partie de son énergie cinétique de rotation est utilisée pour alimenter un vent de
particules relativistes (principalement des paires électrons-positrons).
Pulsar
Figure 1.6: Observation à haute résolution du cœur de la nébuleuse du Crabe effectuée
par le télescope spatial Hubble [5]. On distingue nettement les filaments dus à l’IRT,
voir par exemple la zone notée F. Le pulsar apparaı̂t approximativement au milieu de
la partie inférieure du cliché.
Le vent du pulsar est confiné dans son propre champ magnétique et l’émission
synchrotron qui est générée interagit avec le milieu environnant constitué des éjec-
I. Contexte astrophysique
31
tas de la SN. Lorsque la coquille des éjectas est opaque à ce rayonnement, celui-ci
est piégé dans la matière (le RSN). Cet objet composé d’un pulsar et d’une coquille
dense (éjectas) lié par un vent, est appelé un “plérion” [54], comme nous l’avons
déjà dit. Les observations montrent que Vela X, 3C 58 et la nébuleuse du Crabe
se classent dans cette catégorie. Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur la
nébuleuse du Crabe en raison de la qualité et du nombre de résultats observationnels disponibles. L’étude de l’interaction entre un pulsar et les éjectas constitue
une partie essentielle dans la théorie des plérions. Ce sont principalement les récentes observations effectuées par le télescope spatial Hubble qui ont motivé un
regain d’intérêt pour ce type d’objet [5, 23], voir la figure 1.6. Ces observations
révèlent beaucoup de détails sur la morphologie et la structure filamentaire de
cette nébuleuse. En particulier, ces travaux suggèrent fortement que l’instabilité
de Rayleigh-Taylor (IRT) est principalement responsable de la structure filamentaire. De plus, les observations montrent que les filaments sont radiaux (orientés
vers le pulsar). Une série d’images Fabry-Pérot (voir Fig. 1.7) de la nébuleuse du
Crabe a permis aussi d’observer la structure filamentaire à plus grande échelle [70].
On peut schématiser un plérion comme le représente la figure 1.8. Le pulsar est
situé au centre, il génère une magnétosphère dans laquelle sont créées, entre autres,
des paires d’électrons et de positrons. On estime le champ magnétique (nécessaire
pour expliquer l’origine de leur rayonnement) de l’ordre de 1012 Gauss, soit ∼ 109
fois plus qu’au voisinage d’une tache solaire (voir [72] p. 340). En conséquence,
des champs électriques très puissants sont engendrés (des différences de potentiel
de l’ordre de 1017 Volts sont créées) et ils arrachent des particules chargées (ions
et électrons) de la surface du pulsar. On est alors en présence d’une zone centrale
“froide” dans laquelle un vent relativiste souffle (v = c). Cette zone ne rayonne pas
dans le domaine du rayonnement X [73] car elle est très magnétisée et est dominée
par un vent de paires électron-positron. Elle produit un choc (choc de terminaison
- voir Figs. 1.8 et 1.9), à l’endroit où la pression de la matière environnante est en
équilibre avec la pression du vent du pulsar (r ' 0,1 pc avec 1 pc ' 3×1018 cm).
C’est au voisinage du choc que des particules sont créées et leur rayonnement
synchrotron émet de façon importante dans les domaines IR, radio, optique, X et
I. Contexte astrophysique
32
(4)
(8)
(12)
(3)
(7)
(11)
(2)
(6)
(10)
(1)
(5)
(9)
Figure 1.7: Images obtenues par spectroscopie Fabry-Pérot de la nébuleuse du Crabe.
Le sens de la lecture se fait par numéro croissant de (1) à (12). Elle permet d’imager
différentes classes de vitesse d’expansion, en bas à gauche pour une vitesse de – 1435 km/s
(vers l’observateur) jusqu’en haut à droite pour – 5 km/s (vitesses données par rapport à
un observateur au repos). Pour cette dernière image ont distingue nettement la structure
filamentaire de la nébuleuse [70].
I. Contexte astrophysique
Restes de la
supernova
33
!
!
!
!
!
!
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
!
!
!
!
!
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
!
!
!
!
!
!
!
"
#
"
#
!
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
!
!
!
!
!
!
!
!
"
#
!
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
(
)
(
)
*
+
*
+
*
+
*
+
*
+
*
+
(
)
*
+
*
+
*
+
*
+
*
+
*
+
*
+
Choc de
terminaison
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Vent relativiste
&
'
&
'
$
%
$
%
&
'
$
%
*
+
*
+
$
%
$
%
&
'
$
%
*
+
(
)
(
)
(
)
(
)
&
'
*
+
$
%
*
+
*
+
*
+
(
)
(
)
(
)
&
'
(
)
(
)
$
%
*
+
*
+
Bulle
Synchrotron
*
+
(
)
(
)
&
'
*
+
*
+
Pulsar
*
+
*
+
&
'
*
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
"
#
"
#
"
#
"
#
"
#
!
"
#
Coquille
d’éjecta
!
!
"
#
!
!
!
!
!
"
#
$
%
$
%
$
%
$
%
$
%
$
%
$
%
$
%
$
%
$
%
$
%
$
%
&
'
&
'
&
'
&
'
&
'
&
'
Filaments de
l’instabilité de Rayleigh−Taylor
Figure 1.8: Représentation schématique d’un plérion. Le rayon du pulsar vaut typiquement 10 km, la bulle de vent relativiste a un rayon typique de 0,1 pc et le rayon des
éjectas vaut typiquement 1 pc [71].
gamma [74]. Ce rayonnement interagit avec les éjectas de la supernova (r ' 1 pc)
et il accélère la coquille (voir plus loin). L’IRT se développe alors sur la face interne
de la coquille pour former de longs filaments orientés vers le pulsar.
On retrouve cette description sur les images réalisées lors des observations
effectuées par le satellite Chandra (Fig. 1.9). Dans le domaine X (15 keV), on
distingue nettement le pulsar au centre du tore de rayonnement synchrotron ainsi
que la zone centrale froide à l’intérieur du choc de terminaison [75, 76]. Cette
image montre aussi deux jets émis de part et d’autre du pulsar.
La morphologie et la structure d’un RSN et celle d’un plérion sont complexes.
Immédiatement après l’explosion d’une supernova (qu’elle soit de type I ou
de type II), les éjectas et l’ ”onde de souffle” (“blast wave”) par laquelle ils sont
précédés, rentrent tous les deux en expansion et se propagent dans le milieu circumstellaire (milieu qui entourait initialement l’astre ayant donné lieu au phénomène
de supernova) puis le milieu interstellaire (MIS). Comme la vitesse de propagation
I. Contexte astrophysique
34
Pulsar
Vent relativiste
v=c
Jet
Choc de terminaison
Tore : émission
Synchrotron v<<c
Figure 1.9: Observation de la région centrale de la nébuleuse du Crabe dans le domaine
des X (15 keV). On distingue le pulsar au centre du tore ainsi que le choc de terminaison
entre la zone de vent ultra-relativiste et la bulle de rayonnement synchrotron [75].
de l’onde de souffle est plus élevée que celle des éjectas, elle balaie et met en mouvement centrifuge la matière constituant le MIS. Avec le temps, la masse balayée
augmente et lorsqu’elle devient du même ordre de grandeur que la masse de la
matière éjectée lors de l’explosion de la supernova, l’expansion se ralentit2 et des
phénomènes supplémentaires apparaissent. Premièrement, l’onde de souffle (qui
devient une discontinuité de contact - DC) provoque deux ondes de choc. L’une
d’entre elles se propage vers l’avant (“forward shock” - FS) dans le MIS encore
immobile tandis que l’autre (“reverse shock” - RS) remonte la matière en expansion. La distance entre le RS et la DC, d’une part, et celle entre la DC et le FS,
d’autre part, augmente avec le temps et dans le repère lié à l’astre central initial,
le RS, la DC et le FS représentent respectivement la surface de trois sphères em2
Phase de Sedov (voir la fin du paragraphe 1.2.2)
I. Contexte astrophysique
35
boı̂tées dont les rayons s’accroissent avec le temps (malgré son nom, le RS est lui
aussi en expansion). Par ailleurs, comme nous venons de voir que l’expansion est
freinée, la DC est instable au sens de Rayleigh-Taylor. Le milieu léger correspond
au MIS dans lequel le FS s’est propagé tandis que le milieu lourd est représenté
par le plasma qui subit le passage du RS. L’interface entre les éjectas et le MIS
perd alors la sphéricité approximative qu’elle possédait pour donner naissance à
une structure constituée de “doigts” de lourd et de ”bulles” de léger qui s’interpénètrent de manière identique à ce que nous avons pu voir pour le mélange des
couches qui se produit à cause de l’IRT lors de l’explosion d’une supernova de type
II (voir la figure 1.4B).
Schématiquement, on a donc un plasma chaud (éjectas) qui reste approximativement sphérique et qui forme une “bulle” dont le rayon croı̂t mais dont la
surface externe est très “chahutée” et est constituée de fortes modulations (voir
par exemple la figure 1.2 sur laquelle des excroissances à la surface de la bulle sont
clairement visibles).
Cette phase de forte interaction éjecta/MIS fait l’objet de nombreuses études [8,
55, 58, 77, 78]. Par ailleurs, la masse de matière située à la périphérie de cette bulle
augmente. En effet comme à son passage, et dès l’instant initial (juste après l’explosion), l’onde de souffle met le milieu en mouvement radial centrifuge avec une
vitesse v(r) qui augmente comme r (voir de le début du paragraphe 1.3), la densité
massique au centre de la bulle tend à diminuer. À l’inverse, sur le contour extérieur
de celle-ci, la matière s’accumule et une coquille dense a tendance à se former dans
la région située entre le RS et la DC. Bien que précédemment nous ayons parlé à
plusieurs reprises de coquille, il ne s’agit pas de celle qui se forme à la surface de la
bulle d’éjectas qui va être étudiée dans ce travail de thèse. Celle qui fait l’objet de
notre étude est située au centre de la sphère d’éjectas et elle n’apparaı̂t que dans
le cas de supernovae de type II. C’est ce type de coquille qui a été représenté sur
la figure 1.8.
Revenons, avec plus de détails, aux phénomènes qui se produisent au centre
de la sphère d’éjectas (RSN) lorsque l’étoile à neutrons centrale est devenue un
I. Contexte astrophysique
36
pulsar. Le vent qu’il émet souffle, d’une part, dans le RSN en expansion uniforme
et, d’autre part, est fortement chauffé par le choc de terminaison. En réaction, une
bulle chaude, centrée sur le pulsar, se forme et entre en expansion dans le RSN.
Une discontinuité de contact apparaı̂t alors à l’interface bulle chaude/RSN (c’est
la face interne de la coquille tracée en trait épais sur la Fig. 1.8) et un FS, qu’il
ne faut pas confondre avec celui existant dans le MIS, se produit et se propage
de manière centrifuge dans le RSN. La position de ce choc est représenté par le
contour extérieur du trait épais (coquille) de la figure 1.8.
Ainsi, autour du pulsar, le RSN comporte une deuxième coquille. À l’inverse de
la première coquille dont nous avons parlé et qui est instable au sens de RayleighTaylor, sur sa surface externe, la seconde est instable sur sa face interne. C’est
ordinairement ce type de structure qui est utilisé dans les études relatives au
couplage pulsar/éjectas [5, 79, 80, 81, 82]. Ces éléments définissent les points qui
font l’objet des travaux effectués dans cette thèse. De plus, comme dans ce travail
nous allons mettre l’accent sur les aspects analytiques ainsi que l’on fait auparavant
d’autres auteurs [17, 65, 68, 73, 81], nous allons simplifier la configuration. Nous
ne considérerons pas le choc de terminaison et le plérion sera décrit simplement
par le pulsar au centre, produisant simultanément le vent et le rayonnement, lequel
interagit directement avec les éjectas. En effet, nous allons nous focaliser sur le
développement de l’IRT sur la face interne des éjectas. Un schéma récapitulatif
détaillé est donné sur la figure 1.10. Cette description est identique à celle effectuée
par Hester et al. [5].
On peut diviser l’évolution des plérions en plusieurs étapes [83, 84] :
– Juste après l’explosion de la SN de type II, pour un jeune plérion (t . 1000 ans),
la puissance du vent du pulsar est approximativement constante et accélère les
RSN. Durant cette phase, le rayon R de la face interne des éjectas suit une loi de
la forme R ∝ ta , avec a >1. Par exemple dans le travail de Blondin et al. [79],
on a a =6/5. La nébuleuse du Crabe est dans ce régime. C’est principalement
dans cette phase que l’IRT se développe sur la face interne des éjectas (voir la
figure 1.10).
I. Contexte astrophysique
37
Pulsar
Ejecta de la
supernova
Doigts de
RT
Vent du
pulsar
Figure 1.10: Représentation schématique d’une supernova type II. La figure montre le
pulsar dont le vent souffle les éjectas de la SN. La discontinuité de contact entre la bulle
formée par le vent du pulsar et les éjectas est instable au sens de Rayleigh-Taylor. Les
doigts de Rayleigh-Taylor sont connectés entre eux par une fine coquille.
– Entre mille et 2 mille ans, le vent du pulsar diminue et les éjectas sont en
expansion libre R ∝ t : la masse des éjectas est encore très supérieure à celle que
l’onde de souffle de l’explosion a balayée dans le MIS.
– Ensuite, entre 2 et 40 mille ans, l’interaction entre la partie externe des
éjectas et le MIS devient importante. Un choc (FS) dans le MIS est généré ainsi
qu’un choc en retour (RS) dans les éjectas et une discontinuité de contact (DC) à
l’interface MIS/éjectas. Le vent du pulsar décroı̂t fortement et le RS peut interagir
avec la face interne des éjectas dans laquelle le FS produit par le pulsar progresse
puis, ensuite, vient comprimer le vent du pulsar. Lors de cette phase, on considère
que l’énergie de l’explosion se conserve, c’est la phase adiabatique. La discontinuité
de contact MIS/éjectas devient instable au sens de Rayleigh-Taylor et lorsque la
masse balayée devient supérieure à celle des éjectas, on entre dans la phase de
I. Contexte astrophysique
38
Sedov R ∝ t2/5 (voir en annexe A.2).
– Finalement, plus tard (t & 40 mille ans), le pulsar peut quitter son site
de naissance et éventuellement percer les éjectas de la supernova et générer un
“bow” choc (choc d’étrave). De plus, les éjectas ralentissent fortement en R ∝ t1/4
(voir annexe A.3), et l’instabilité de Rayleigh-Taylor continue de croı̂tre, sauf si les
éjectas sont déjà “déchiquetés”. Au cours de cette période, les pertes radiatives deviennent importantes et la quantité de mouvement est conservée (voir annexe A.3).
C’est la phase d’expansion dite isotherme [59] et les éjectas se diluent dans le milieu
interstellaire.
Ces valeurs ne sont que typiques ; elles dépendent fortement de la masse des
éjectas, de la densité de MIS et de l’énergie de l’explosion. En effet, par exemple
la supernova Cas A (Fig. 1.11), âgée de 320 ans entre dans la phase de Sedov
(phase adiabatique) [70, 85, 86]. Certains travaux observationnels font clairement
apparaı̂tre le FS et le RS dans la partie externe des éjectas [85]. Tandis que la
supernova Tycho (Fig. 1.2) âgée de 430 ans est plutôt dans la phase isotherme.
Ceci est la conséquence d’une émission importante de rayons cosmiques [87].
Dans notre étude, nous considérons le plérion dans sa première phase d’évolution, c’est à dire, la période correspondant à l’accélération de la coquille par le
vent du pulsar et l’apparition de l’IRT (Fig. 1.10).
Au même moment où ce processus se déroule, la partie externe des éjectas
interagit avec le MIS. Cependant, on peut considérer, en première approximation,
que ces phénomènes sont découplés de la phase d’IRT sur la face interne. C’est ce
qui est ordinairement admis dans la littérature pour les travaux qui se rapportent à
l’interaction éjectas/MIS [8, 55, 78] et ceux relatifs au couplage vent du pulsar/face
interne des éjectas [5, 79, 80].
Comme nous l’avons déjà mentionné, le travail présenté dans cette thèse se
rapporte à la deuxième catégorie d’études. En particulier, l’un de nos objectifs est
de prolonger les travaux initiaux de Chevalier [80] et de poursuivre l’étude effectuée
par Jun [21] sur l’interaction du vent du pulsar avec les éjectas de la SN et de
développer une base analytique pour l’étude de l’IRT comme l’on fait Bernstein et
I. Contexte astrophysique
39
Figure 1.11: Image réalisée en 2004 des restes de la supernova de type II : Cas A. Ce
cliché est une composition de trois domaines : en rouge le domaine infrarouge (Spitzer),
optique en jaune (Hubble) et X en bleu et vert (Chandra).
Book [17] dans les années 80. Dans son travail, Jun a considéré un modèle autosemblable pour la solution radiale du mouvement des éjectas, r ∝ ta (la position est
proportionnelle à une puissance du temps), et résout numériquement le problème
2D. Dans notre étude, nous proposons une solution différente et, nous semble t-il,
plus appropriée avec, r ∝ C(t), où C(t) n’est pas une simple puissance du temps
p
puisque C(t) = (1 + βt/τ )2 + t2 /τ 2 (cette fonction est très semblable à celle
obtenue dans [17], ce point est examiné avec plus de détail dans les chapitres V
et VI). Cette approche nous permet d’étudier le problème de l’IRT instationnaire
de manière analytique [88]. On examine un RSN soufflé par le vent du pulsar en
supposant que ce RSN s’est structuré sous la forme d’une épaisse et dense coquille
lorsque la nébuleuse avait un rayon de l’ordre de 0,1 pc. Ultérieurement, c’est
la valeur que nous prendrons. Toutefois cette valeur du rayon initial n’est pas
la même que celle proposée par Ostricker [65] qui considère la formation d’une
coquille au bout 50 ans, ce qui correspond à un rayon de 0,05 pc pour une vitesse
de 1000 km/s pour les éjectas. Cependant, actuellement nous possédons peu de
I. Contexte astrophysique
40
connaissances pour prévoir la formation de cette coquille dense et opaque et nous
prenons comme Jun [21] un rayon typique égal à ∼ 0,1 pc.
Par ailleurs, dans ce travail comme dans les études similaires, la bulle du pulsar
est considérée comme un gaz relativiste et par conséquent il peut être assimilé à un
polytrope dont la constante polytropique γ est γ = 4/3 [65, 79]. Quant aux éjectas,
ils sont relativement froids (voir [79] par exemple). Il est donc plus approprié de
les considérer dans ce cas comme un gaz polytropique avec γ = 5/3 [21, 88]. Cette
étude de stabilité considère donc un gaz parfait mono-atomique pour les éjectas,
qui, de plus, seront considérés adiabatiques. Cette hypothèse est généralement
faite dans les modèles analytiques (voir par exemple [17]).
Comme le suggère les observations [5, 23, 37] l’interaction forte entre le pulsar et
les éjectas a lieu via l’IRT. Dans le chapitre VI, nous utilisons la solution analytique
que nous avons développé en détail au cours du chapitre V et nous étudions en
particulier la fragmentation des éjectas suite à l’IRT.
Enfin, les mesures temporelles de la fréquence des pulsars montrent clairement
que l’énergie cinétique de rotation est dissipée. En effet, la fréquence des pulsars
décroı̂t avec le temps [89, 90]. La puissance associée aux pertes de l’énergie de
rotation (la luminosité de freinage) peut s’écrire comme Ė = IΩΩ̇, où Ω est
la fréquence de rotation du pulsar, I son moment d’inertie et Ω̇ sa décélération
(le point supérieur indique la dérivée par rapport au temps). Supposant que Ω̇
décroisse avec le temps comme −Ωn [91], alors n s’appelle l’indice de freinage.
En particulier, pour un dipôle magnétique pur on a n = 3 [91]. On en déduit,
par exemple, que la luminosité du pulsar décroı̂t avec un temps caractéristique τ
d’environ 200 ans (voir Rees et Gunn [91]). Nous développerons en détail dans le
chapitre VI un modèle de luminosité tiré des observations et nous montrerons que
notre modèle prend en compte de manière très satisfaisante l’effet de décroissance
de la luminosité du pulsar.
CHAPITRE II
Astrophysique de laboratoire
2.1
Introduction
L’explosion d’une supernova (SN) engendre une grande variété de phénomènes
physiques sur des échelles de temps et d’espace très variées. Notre intérêt se porte
principalement sur un groupe de problèmes : les effets hydrodynamiques accompagnant l’explosion d’une SN et l’expansion de ses restes dans le milieu interstellaire.
Parmi les phénomènes physiques les plus importants, les instabilités hydrodynamiques jouent un rôle prépondérant. Celles que nous examinons dans ce travail
peuvent être engendrées par un choc (instabilité de Richtmyer-Meshkov) ou par
une accélération (instabilité de Rayleigh-Taylor) dans un fluide comportant des
gradients de densité.
Pour réaliser une expérience de laboratoire pouvant simuler des phénomènes
hydrodynamiques existant dans les SN, il est indispensable de respecter des lois
d’échelle [26, 92, 93, 94]. La différence d’échelle spatiale entre une SN (1012 cm)
et une expérience laser sur une cible (10−2 cm), soit 14 ordres de grandeur, est
énorme. Malgré cela, on peut montrer formellement qu’il existe des conditions
pour qu’une telle expérience soit représentative de certains aspects de la situation
astrophysique.
Par la suite, nous allons proposer un critère de similitude permettant de définir
le domaine d’évolution pour les paramètres caractéristiques des expériences laser.
Compte-tenu des nombreuses observations qui le concerne, l’objet astronomique de référence que nous allons considérer pour examiner ces lois de similitude
II. Astrophysique de laboratoire
42
est la supernova SN1987A. En effet, beaucoup de données ont été recueillies à
son propos durant les quinze dernières années. Les anneaux, dont le rayon le plus
interne des trois est de l’ordre de 5×1017 cm, formés par l’expulsion de matière
(vent stellaire) dans le milieu circumstellaire avant l’explosion de la SN, donnent
une idée des échelles mises en jeu pour les RSN (voir Fig. 1.3A).
Dans leurs travaux, Ryutov et al. [26] considèrent trois phases d’évolution pour
la supernova 1987A : une première phase dite d’explosion pendant laquelle l’onde
de choc se propage du centre de l’étoile jusqu’à sa surface. Cette phase dure typiquement 1 heure. La deuxième phase est la phase précoce d’expansion des éjectas
dans le milieu circumstellaire (MCS). Une discontinuité de contact éjectas/MCS
apparaı̂t simultanément avec un choc avant et un choc retour dans le MCS et les
éjectas respectivement. Cette phase dure environ 10 ans et après cette période,
les éjectas entrent en collision avec l’anneau intérieur de la nébuleuse planétaire.
Pour une vitesse moyenne des éjectas de l’ordre de 10 000 km/s et reprenant
5×1017 cm pour l’ordre de grandeur du rayon de l’anneau interne, on trouve que
la collision se produit approximativement 16 ans après l’explosion – en d’autres
termes, elle se déroule à l’heure actuelle. C’est la troisième phase. Pour ces trois
étapes de l’évolution, ils proposent un critère de similarité qui permet de définir
des conditions pour la réalisation d’une expérience. Comme nous le verrons plus
loin (chapitre VII), cette étude est le point de départ en vue du dimensionnement
d’une expérience de laboratoire ultérieure.
Les premiers travaux et idées d’expériences de laboratoire datent des années
1960, dont les pionniers sont Basov et Krokhin [95] ainsi que Dawson [96]. À cette
époque, Dawson propose déjà l’idée de production de plasmas laser pour des applications astrophysiques afin de simuler l’interaction d’une supernova avec un
champ magnétique, mais aussi l’interaction entre les protubérances solaires et le
champ magnétique terrestre. Il évoque également le développement de l’instabilité
de Rayleigh-Taylor dans les plasmas magnétisés. C’est en 1968 que Tshuchimori
et al. [97] réalisèrent une des premières expérience d’astrophysique de laboratoire.
Ils simulèrent le mécanisme d’accélération de particules dans les protubérances
II. Astrophysique de laboratoire
43
solaires à l’aide de plasmas produit par laser (durée d’impulsion 30 ns et une puissance de 20 MW, soit une énergie totale de l’ordre du Joule). Ensuite, dans les
années 1990, eurent lieu de nombreuses expériences [98, 99] sur le laser américain Nova (durée d’impulsion 1 ns, énergie 15 kJ) du centre de Livermore. Parmi
l’une d’entre elles, Kane et al. [100] réalisèrent des études pour tenter de reproduire l’évolution hydrodynamique de supernovae afin d’examiner, en particulier,
le développement de l’IRT lors de l’explosion. Plus récemment, Remington et ses
collaborateurs ont présenté les dernières avancées dans le domaine de l’astrophysique de laboratoire [94, 99, 101]. Notamment, ils évoquent l’étude en laboratoire
de supernovae, de restes de supernovae, de sursauts gamma, de naines blanches
ainsi que celle de cœur de planètes géantes.
Par ailleurs, il existe d’autres installations permettant d’étudier des phénomènes astrophysiques. On peut citer notamment le Z-pinch, qui à la différence des
lasers, comprime la matière grâce à la force de Lorentz générée par un fort courant.
Ce type d’instrumentation peut produire des jets supersoniques pertinents pour
l’astrophysique [102, 103]. À ce jour, les Z-pinches ne sont pas utilisés pour étudier
l’instabilité de Rayleigh-Taylor.
Dans ce type d’expériences, pour qu’une description hydrodynamique soit valide, il est nécessaire que le libre parcours moyen des particules soit beaucoup plus
petit que les dimensions de l’objet (le fluide est alors traité comme collisionnel).
Dans la suite de ce chapitre, nous allons, dans un premier temps, considérer le problème hydrodynamique décrit par les équations d’Euler. Nous discuterons ensuite
des lois d’échelle qui en découlent et les conditions de validité de ce modèle.
2.2
Hypothèses de modélisation : hydrodynamique
idéale
Durant les trois phases décrites précédemment, le milieu est ionisé et forme
donc un plasma. Si le plasma est collisionnel, on peut appliquer les équations de
II. Astrophysique de laboratoire
44
l’hydrodynamique. De plus, si la viscosité du milieu est faible (grand nombre de
Reynolds) ainsi que la conduction thermique (nombre de Péclet), les équations
d’Euler sont valables [26, 92, 93, 104]. Négligeons la force de gravité devant les
forces de pression, les équations d’Euler se réduisent alors, à :
∂t ρ + div (ρ~v ) = 0,
1
∂t~v + (~v · grad ) · ~v = − grad p,
ρ
p
∂t ² + ~v · grad ² + · div ~v = 0,
ρ
(2.1)
(2.2)
(2.3)
où ρ est la densité, ~v la vitesse, p la pression et ² l’énergie interne par unité de
masse. Le symbole “∂t ” représente la dérivée partielle par rapport au temps.
En ce qui concerne l’équation d’état qui relie la pression et la densité, on
suppose que le gaz est polytropique, et il est donc décrit par la relation : p ∝ ργ où
γ est la constante polytropique. Elle est équivalente à l’équation (2.3) qui stipule
dans ce cas que l’entropie est constante. Une relation très simple s’ensuit entre
l’énergie interne et la pression et il s’agit de ² = p/[(γ−1)ρ]. Il faut noter que γ peut
être différente du rapport classique cp /cv où cp et cv sont respectivement la capacité
calorifique à pression constante et à volume constant pour le gaz parfait [105].
Compte tenue de l’expression précédente pour ², l’équation d’énergie prend la
forme suivante en fonction des variables ρ, ~v , p :
p
p
∂t p + γ ∂t ρ + ~v · grad p − γ · ~v · grad ρ = 0.
ρ
ρ
(2.4)
Ces équations“simplifiées”, (2.1), (2.2), (2.4) permettent de considérer un grand
nombre de problèmes physiques dans lesquels des effets de compressibilité, des
chocs mais aussi des effets non-linéaires sont présents. Il faut noter que la compressibilité est un phénomène délicat à prendre en compte analytiquement [16, 106].
Nous allons y revenir en détail plus loin (chapitre IV).
II. Astrophysique de laboratoire
2.3
45
Lois d’échelle
Il est important de savoir sous quelles conditions deux systèmes physiques
d’échelles différentes ont le même comportement. Pour cela, on cherche les transformations qui laissent inchangées les équations du modèle. Ici il s’agit des équations
d’Euler (2.1), (2.2) et (2.4). Autrement dit, on cherche sous quelles conditions les
équations d’Euler gardent la même forme (invariance de la structure des équations)
après la transformation d’homothétie [26, 104] :
~r = a ~r1 ; ρ = b ρ1 ; p = c p1 ; t = d t1 ; ~v = e ~v1 ;
(2.5)
où a, b, c, d et e sont des constantes à déterminer et où ~r1 , ρ1 , p1 , t1 et ~v1 sont
les grandeurs physiques du système homothétique au premier. On aura invariance
d’échelle des deux systèmes à condition de satisfaire certaines contraintes. La première contrainte est immédiate et elle provient de l’introduction des relations (2.5)
dans l’équation de continuité (2.1). En demandant son invariance, il vient : a = e d.
La même opération pour l’équation du mouvement (2.2) conduit à : d c = e b a.
Enfin, on peut montrer que l’équation sur l’énergie reste inchangée si la condition
sur l’équation (2.1) est satisfaite. La demande d’invariance procure donc seulement
deux contraintes (deux relations) entre les cinq paramètres a, b, c, d et e.
En conséquence, on peut exprimer deux d’entre eux en fonction des trois autres,
ces trois derniers pouvant restés complètement arbitraires. Si on décide de ne pas
contraindre les quantités a, b et c, on obtient les facteurs d’échelle d et e tels que :
r
r
b
c
t=a
t1 ; ~v =
~v1 .
(2.6)
c
b
Inversement, certains facteurs d’échelle peuvent être imposés dès le départ si
on compare un objet astrophysique et une “maquette” que l’on réalise de celui-ci.
Si par exemple on compare une supernova et l’explosion d’une micro-cible laser
(ce qui est l’un des objectif de l’astrophysique de laboratoire), trois paramètres
vont ressortir immédiatement.
Il s’agit de a, b et e puisque le rapport entre les dimensions spatiales, les
densités massiques et les vitesses de la cible et de la supernova vont être connus
II. Astrophysique de laboratoire
46
dès le départ. Dans ces conditions, il faudra réaliser la correspondance suivante
entre la pression et le temps :
t=
a
t1 ; p = b e2 p1 ,
e
(2.7)
pour que l’évolution de la cible laser soit représentative de celle de la supernova.
D’après les relations (2.6), on peut définir un nombre sans dimension qui est
invariant suivant la transformation (2.5) et qui s’appelle le nombre d’Euler dans
les travaux de Ruytov et al. [26, 92, 93] :
r
r
ρ
ρ1
→
−
−
→
Eu = k v k
= k v1 k
.
p
p1
(2.8)
On remarque que ce nombre sans dimension est proportionnel au nombre de
p
√
Mach : Ma = v/Cs0 , où Cs0 = γp/ρ est la vitesse du son. On a, Eu = Ma γ.
Les équations (2.6) donnent une relation entre les temps caractéristiques des deux
systèmes t et t1 et les vitesses caractéristiques v et v1 . Le temps caractéristique
peut être soit la durée du passage d’un choc soit le temps de croissance d’une
instabilité. Donc, une fois les grandeurs physiques r, ρ, p, t, v fixées, on peut ajuster
les quantités r1 , ρ1 , p1 , t1 , v1 (expérience de laboratoire, par exemple) pour que les
deux systèmes soient similaires ou homothétiques. En effet, les équations d’Euler
conservent leurs formes si Eu = Eu1 [Éq. (2.8)] et si les temps caractéristiques
sont reliés par l’équation (2.6) ou (2.7). Dans ce cas, les deux systèmes ont alors
le même comportement et les mêmes propriétés physiques.
Si les quantités relatives à la cible sont repérées par l’indice “1”, alors on peut
obtenir les valeurs numériques des paramètres a, b et e puis en déduire la correspondance entre le temps t et t1 , et les pressions p et p1 .
Pour une supernova et une cible, on a respectivement des échelles spatiales,
des densités et des vitesses satisfaisant typiquement r = 1012 cm, r1 = 10−2 cm ;
ρ = 5×10−3 g/cm3 (densité moyenne d’une masse égale à 10 M¯ répartie dans une
sphère de rayon r), ρ1 = 10−5 g/cm3 (hélium contenu dans un micro-ballon avec
une pression initiale valant le dixième de la pression atmosphérique à T1 = 300 K)
et v = 109 cm/s, v1 = 107 cm/s respectivement la vitesse de la matière dans la
II. Astrophysique de laboratoire
47
supernova et dans la cible 3 . Avec ces ordres de grandeur, on trouve :
a = 1014 ; b = 5 × 102 ; e = 102 .
(2.9)
Dans ces conditions, le rapport entre les deux t et t1 vaut t/t1 = 1012 [voir
Éq. (2.7)] et, en conséquence, une durée d’une nanoseconde pour la cible (la nanoseconde est le temps caractéristique typique d’évolution des cibles lasers) correspond à une durée de 1000 secondes pour la supernova. Comme nous l’avons vu,
c’est l’ordre de grandeur du temps qu’il faut au choc de rebond d’une SN de type
II pour parcourir la distance entre le centre et la surface de l’astre.
Enfin, pour le rapport des pressions, nous trouvons p/p1 = 5×106 . Comme la
pression p1 a été prise à 1/10 d’atmosphère (' 104 Pa), on obtient p ' 5×1010 Pa.
Cette valeur correspond à la valeur moyenne, que l’on peut trouver pour un progéniteur d’une SN de type II. En effet, comme la densité moyenne vaut ρ = 5×10−3
g/cm3 , puis en prenant une température moyenne de 10 millions de Kelvin (elle est
beaucoup plus élevée au centre du progéniteur, mais plus faible dans les couches
périphériques) et une masse moyenne par particule valant deux fois la masse du
proton (on fait l’approximation que même les éléments lourds sont complètement
ionisés et que le nombre de masse vaut environ deux fois le numéro atomique), la
loi des gaz parfait4 conduit à p ' 1011 Pa. Cette valeur est en bon accord avec
celle calculée plus haut.
Pour terminer, on peut comparer les nombres d’Euler. Dans le cas de la cible et
celui de la SN, on trouve respectivement Eu1 ' 100 et Eu ' 70. Ces deux valeurs
sont très proches et on en déduit que la transformation (2.5) peut être utilisée
pour passer de la cible à la SN.
3
Les ondes de chocs produites dans la matière par des lasers se propagent typiquement à 100
km/s. Il en est approximativement de même pour la vitesse de la matière mise en mouvement
par le choc.
4
On sait que cette formule n’est pas valide, mais on peut estimer qu’elle donne un bon ordre
de grandeur de la pression.
II. Astrophysique de laboratoire
2.4
48
Validité des équations d’Euler
Bien qu’il existe des lois d’échelle pour les équations d’Euler, il faut se souvenir
qu’elles ne sont valables que si l’on tient compte du caractère collisionnel des fluides
et si l’on néglige les effets dissipatifs tels que la viscosité, le transport thermique
et le rayonnement. Par ailleurs, sachant que le champ magnétique est important
dans les RSN, on examine son effet dans la section 2.4.2, mais dans un premier
temps on le néglige (section 2.4.1).
Maintenant, nous allons vérifier ces hypothèses. À partir des deux systèmes
physiques considérés, on peut déterminer les paramètres importants permettant
d’appliquer les équations d’Euler [26].
2.4.1
Effets collisionnels
Pour appliquer les équations de l’hydrodynamique, il est nécessaire que les
fluides soient collisionnels. Autrement dit, que le libre parcours moyen entre deux
collisions lc soit petit devant l’échelle caractéristique de l’écoulement (r = 0,02
pc ou r1 = 100 µm). Avec une température typique de 400 eV et une densité
ρ ' 10−20 g cm−3 pour le RSN, et 15 eV et 10 g cm−3 pour la cible laser (on
considère une cible hémisphérique de cuivre, voir le chapitre VII), on obtient [26,
107] pour le RSN :
lc
' 3 × 10−4 ,
r
et pour la cible laser :
lc
' 7 × 10−6 .
r1
Donc les plasmas sont collisionnels dans les deux cas.
Viscosité
Pour pouvoir négliger les effets de diffusion de quantité de mouvement (viscosité), le nombre de Reynolds, Re, de chaque écoulement doit être très grand
devant un. Ce nombre est le rapport des forces d’inertie sur les forces de viscosité
II. Astrophysique de laboratoire
49
(Re = rv/ν, où ν est la viscosité cinématique). Dans le cas du reste de supernova,
on obtient [26, 107, 108] :
Re ' 3 × 104 ,
et pour la cible laser :
Re1 ' 3 × 108 .
Ce nombre est en accord avec les valeurs maximales données dans [108]. Dans les
deux systèmes, le nombre de Reynolds est très grand et on peut, donc, négliger les
effets dissipatifs dus à la viscosité.
Transport thermique
Si l’on désire négliger les effets du transport thermique (conduction thermique),
le nombre de Péclet de chaque écoulement doit être très grand devant un. Ce
nombre est le rapport entre le transport de chaleur par convection et celui effectué
par conduction (Pe = rv/χ, χ étant la diffusivité thermique). Dans le cas du reste
de supernova, on obtient [26, 107] :
Pe ' 3 × 102 ,
et pour la cible laser :
Pe1 ' 6 × 104 .
Par conséquent, l’effet de diffusion thermique est négligeable dans les deux cas.
2.4.2
Effets du champ magnétique
Les observations des restes de supernovae montrent que la matière éjectée est
soumise à un champ magnétique ambiant. Notamment, dans le cas de la nébuleuse
du Crabe, on peut considérer que le fluide baigne dans un champ magnétique valant
B ' 540 µGauss [5]. D’une manière générale, on pense que le champ magnétique
dans les RSN varie de 10 à 100 µGauss [26, 109]. Dans le cas de la nébuleuse
du Crabe, le libre parcours moyen des ions du plasma est donné par le rayon de
II. Astrophysique de laboratoire
50
Larmor rLi , et la condition de localisation des particules devient [26, 107] :
rLi
' 10−10 .
r
En conséquence, le champ magnétique maintient les particules piégées dans les
RSN et il renforce la localisation des particules. Ceci assure une meilleur validité
des équations de l’hydrodynamique, et, de plus, il diminue les effets diffusifs, ce
qui a tendance à augmenter encore la valeur des deux nombres Re et Pe.
2.4.3
Effets du rayonnement
Maintenant, quant est-il des pertes radiatives et de leur influence sur l’hydrodynamique ? Dans le cas des restes de supernovae, le libre parcours moyen des
photons, lb (l’indice “b” provient du mot bremsstrahlung), est dû au Bremsstrahlung inverse [26] ; on obtient lb = 1038 cm. Cette dimension est bien supérieure aux
dimensions de l’objet étudié, le plasma est donc transparent. Il est donc nécessaire
de connaı̂tre le temps τc (l’indice “c” provient de cooling) de refroidissement d’un
tel milieu et de le comparer au temps caractéristique hydrodynamique τ = r/v.
D’après la relation (24) dans l’article de Ryutov et al. [26], on a :
τc (s) = 4, 0 × 10−36 ×
A(Z + 1)T
ZρΛN
avec : ΛN = 1,7×10−25 T 1/2 , T en eV, ρ en g cm−3 et avec A et Z respectivement
le nombre de masse et l’ionisation moyenne de l’élément considéré.
Pour les conditions précédentes sur les SN et pour Z = 1 et A = 1 (hydrogène),
on trouve τc /τ = 5. Donc l’effet du rayonnement commence à se faire sentir, mais
en première approximation, on peut le négliger.
En ce qui concerne la cible laser lb = 10−9 cm et dans ce cas le plasma peut
être considéré comme opaque. On peut supposer que le milieu est un corps noir
et estimer le temps caractéristique τbb (“bb” comme blackbody) de refroidissement
de ce plasma. L’équation (22) dans l’article Ryutov et al. [26] donne :
τbb (s) = 0, 7
(Z + 1)ρ r
.
AT 3
II. Astrophysique de laboratoire
51
On obtient τbb = 10−6 s avec A = 64 et Z = 3 (cuivre). Dans ce cas τbb est très
supérieur à τ . Les pertes par rayonnement peuvent donc être négligées.
En conclusion, la validité des équations d’Euler est plutôt assez bien justifiée
pour les deux objets étudiés et ils sont reliés par une loi de similitude. Ces conditions réunies permettent de réaliser des expériences “mimant” diverses phases de
l’évolution hydrodynamique des restes de supernovae.
2.5
Expériences et motivations
L’instabilité de Rayleigh-Taylor (IRT) joue un rôle très important dans les
différentes phases d’évolution des supernovae (SN) [94] – voir aussi le chapitre I,
mais nous y revenons également dans le chapitre III :
Lors de l’explosion, c’est à dire, après l’effondrement du cœur de fer, les couches
internes de l’étoile sont décélérées par les couches externes et l’IRT se développe
rapidement. Les couches profondes et denses se mélangent avec les couches peu
denses en surface. Comme nous l’avons vu, cette instabilité a permis de comprendre certaines observations faites lors de l’explosion de la supernova 1987A.
Des expériences de laboratoire étudiant ce mécanisme, ont été réalisées permettant de simuler certaines phases d’évolution hydrodynamique des explosions de
supernova [94, 110].
Dans les années 90, des expériences sur des installations lasers telles que NOVA
ou Phébus ont permis d’étudier le développement l’IRT dans les supernovae [100,
111]. Ces expériences offrent la double possibilité de tester à la fois les modèles
astrophysiques et les modèles dédiés à l’expérimentation laser.
Récemment, des progrès importants dans la fabrication des cibles ont permis de
tester de nouvelles configurations : en géométrie divergente ou en géométrie plane
avec des perturbations de surface multimodes [110, 112]. En particulier, l’expérience réalisée par Drake et al. [110] (voir la figure 2.1) a été consacrée à l’étude de
l’IRT en phase de décélération en géométrie divergente et de son développement
sur la face externe d’une coquille en expansion. Cette situation correspond à celle
II. Astrophysique de laboratoire
52
Figure 2.1: Expérience dédiée à l’étude de l’IRT en géométrie divergente effectuée sur
l’installation laser Omega [110]. L’abréviation P-V signifie “Peak-to-Valley” et correspond à l’amplitude de la perturbation.
que l’on retrouve lors de l’explosion de SN, lorsque la couche d’hélium (perturbée)
est décélérée par la couche d’hydrogène. Le schéma de l’expérience est présenté
sur la figure 2.1. L’hélium est remplacé par du plastique (CH) et l’hydrogène par
une mousse poreuse (CRF : “Carbonized Resinol Formaldehyde”).
Bien que la géométrie de cette expérience soit assez identique à celle que nous
allons présenter dans cette thèse lors du chapitre VII, le développement de l’IRT
n’est pas situé au même endroit.
En effet, comme nous l’avons décrit au chapitre I, après l’explosion de la supernova, un pulsar peut se former et interagir avec la coquille formée dans les éjectas
(plérion). La pression exercée par le rayonnement qu’il émet, accélère la coquille et
l’instabilité de Rayleigh-Taylor peut se développer sur sa face interne et conduire
à sa fragmentation (figure 1.10). L’expérience que l’on propose, étudie l’IRT lors
de cette phase d’accélération en géométrie divergente (chapitre VII).
CHAPITRE III
Instabilités hydrodynamiques
3.1
Développement de l’instabilité de RayleighTaylor
L’étude de la stabilité d’un système physique est un problème complexe qui
peut être étudié via la théorie des perturbations.
L’étude perturbative pour un système physique régit par les équations de l’hydrodynamique, fait apparaı̂tre des termes non-linéaires. La linéarisation de ces
équations consiste à les négliger pour ne garder que ceux qui sont linéaires. Le
domaine linéaire est intéressant à plus d’un titre. Il simplifie le problème physique
et permet d’utiliser le principe de superposition. En effet, dans ce cas, les solutions
propres (ou modes propres) sont linéairement indépendantes et toute perturbation
peut être décomposée en une somme de modes propres.
En hydrodynamique, les instabilités peuvent apparaı̂tre à la surface de séparation entre deux fluides. Il en existe plusieurs types :
– l’instabilité de Rayleigh-Taylor (IRT) qui apparaı̂t entre deux fluides perturbés dans un champ d’accélération [10, 113],
– l’instabilité de Kelvin-Helmholtz qui se produit lorsque les deux fluides perturbés possèdent des vitesses tangentielles [114, 115],
– l’instabilité de Richtmyer-Meshkov qui se développe lors du passage d’un
choc à travers une interface perturbée ou non [116, 117].
La liste n’est pas exhaustive, d’autres types d’instabilités existent comme on
peut le voir, par exemple, dans les travaux de Chandrasekhar [118].
III. Instabilités hydrodynamiques
54
Dans le chapitre I, nous avons indiqué que l’instabilité Rayleigh-Taylor est
primordiale dans la compréhension de l’évolution des restes de supernovae. C’est
Lord Rayleigh [10] qui le premier a réalisé une étude de la stabilité d’une interface
entre deux fluides de densités différentes dans un champ de pesanteur. Ensuite,
Taylor [113] généralisa le problème pour deux fluides dans un champ d’accélération.
L’IRT est présente dans de nombreux systèmes physiques :
– en astrophysique, comme nous l’avons déjà vu [5, 6, 7],
– en météorologie avec la formation des nuages [10] (voir Fig. 3.1),
– dans le cadre de la fusion par confinement inertiel (FCI) lors de l’implosion
d’une coquille par laser [119],
– dans le domaine de la sonoluminescence, lors de l’implosion, par ondes sonores, d’une bulle de gaz plongée dans un fluide [120], etc...
Figure 3.1: Développement de l’instabilité de Rayleigh-Taylor lors d’un orage. On distingue les structures régulières formées par l’amplification d’une perturbation sur la face
inférieure (c’est-à-dire vers le sol) des nuages.
Pour mieux comprendre cette instabilité, on considère deux fluides incompressibles superposés de densité ρ+ et ρ− dont l’interface η est perturbée (voir la
III. Instabilités hydrodynamiques
55
figure 3.2). À ces deux fluides on applique un champ de pesanteur vertical noté
~g . On va montrer que le principe fondamental de la dynamique (loi de Newton)
permet d’étudier cette instabilité.
λ
0
g
ρ
+
ρ
−
η
z
Figure 3.2: Représentation de l’interface perturbée de longueur d’onde λ dans un champ
de pesanteur ~g . Les milieux séparés par l’interface ont des densités notées ρ+ et ρ− , dans
la partie supérieur et dans la partie inférieur, respectivement.
On considère une section S élémentaire, projetée sur l’horizontale et appartenant à l’interface perturbée. Ce morceau d’interface est soumis aux forces de
pression p+ S et p− S qui agissent respectivement au dessus et au dessous de celuici. Bien que cet élément d’interface ne possède pas de masse, son mouvement va
provoquer un déplacement des masses de fluide, situées à la verticale de S et notées m+ et m− (m+ représente la masse au dessus de S et m− (m+ représente la
masse au dessus de S et m− au dessous).
En conséquence, l’équation du mouvement de l’élément d’interface fait apparaı̂tre le terme d’inertie (m+ + m− )γz où γz est l’accélération projetée selon l’axe
vertical et en prenant en compte les forces de pression mentionnées plus haut, il
vient :
S(p+ − p− ) = (m+ + m− )γz .
III. Instabilités hydrodynamiques
56
Naturellement les pressions p+ et p− peuvent être obtenues en prenant en compte
les masses des fluides “+” et “−” contenus dans la colonne de section S. Cependant,
comme nous sommes partis d’un équilibre hydrostatique, il suffit de calculer, l’écart
au 1er ordre. Les pressions perturbées p+,− s’écrivent :
p+,− = p0 +
dp0
η = p0 + ρ+,− gη,
dz
où p0 est la pression hydrostatique qui satisfait dp0 /dz = ρg. En mettant, ensuite,
le terme d’inertie sous la forme :
(m+ + m− )γz = (ρ+ + ρ− )Sλ
d2 η
,
dt2
l’équation du mouvement devient :
d2 η
(ρ − ρ )gη = (ρ + ρ )λ 2 .
dt
+
−
+
−
Comme l’équation différentielle est linéaire à coefficient constants, on peut supposer que η = eωt , où ω définit le taux de croissance de l’instabilité. L’identification
des membres de gauche et de droite de l’équation différentielle conduit à :
ω=
p
At kg,
avec k = 2π/λ et At = (ρ+ − ρ− )/(ρ+ + ρ− ) est appelé le nombre d’Atwood. Ce
nombre sans dimension reflète la discontinuité (ou gradient) de densité qui existe
à l’interface. Pour que l’instabilité croisse avec le temps, il est nécessaire que ω soit
positif. Cela implique que le produit gAt soit positif, donc que g et At soient de
même signe. Dans notre cas, g est positif suivant l’axe z donc l’instabilité apparaı̂t
si ρ+ > ρ− , c’est à dire, lorsqu’un fluide dense tombe dans un fluide moins dense, on
dit autrement, lorsqu’un fluide peu dense décélère un fluide plus dense. La relation
donnant le taux de croissance montre que pour qu’une instabilité puisse croı̂tre, il
est nécessaire d’avoir trois ingrédients : une perturbation de nombre d’onde k, une
accélération g et un saut de densité donné par At . On retrouve ainsi rapidement
le taux de croissance classique de l’instabilité de Rayleigh-Taylor [10]. Cependant,
on montre au cours du chapitre IV, que cette formulation est simplifiée et qu’en
particulier elle ne prend pas en compte la compressibilité des fluides considérés
(on a supposé ici que les densités ρ+ et ρ− étaient constantes).
III. Instabilités hydrodynamiques
57
Figure 3.3: Développement de l’instabilité de Rayleigh-Taylor lors d’une expérience
réalisée par J. Jacobs et al. voir le site http ://fluidlab.web.arizona.edu /rayleigh.html.
On distingue toutes les phases de développement de l’instabilité. La phase linéaire (a)(c), la phase non-linéaire (d)-(e) et la phase turbulente (f).
La figure 3.3 représente les résultats d’une expérience permettant de visualiser
l’instabilité de Rayleigh-Taylor. Il s’agit d’accélérer deux fluides de densité différents dont l’interface est soumise à une perturbation initiale sinusoı̈dale (Fig. 3.3a).
Le fluide lourd est situé en bas et le fluide léger en haut. Initialement, les deux
fluides sont au repos et stables dans le champ de pesanteur. On accélère les fluides
vers le bas en sur-compensant l’accélération de la pesanteur. Ceci génère un champ
de pesanteur “équivalent” dirigé vers le haut. Si l’on suit l’interface entre les deux
fluides au cours du temps, on peut réaliser une série de clichés, qui montrent
comment le fluide lourd (en bas) tombe (suivant la direction du champ de pesanteur “équivalent”) vers le haut dans le fluide léger. L’instabilité de Rayleigh-Taylor
peut donc se développer. Les figures 3.3a-b-c montrent le développement linéaire
de l’instabilité. La perturbation sinusoı̈dale croit mais reste approximativement
sinusoı̈dale (elle reste symétrique par rapport à une interface plane non perturbé).
Cette phase croı̂t exponentiellement.
III. Instabilités hydrodynamiques
58
La phase non-linéaire, est visible sur les figures 3.3c-d-e. La forme sinusoı̈dale
de l’interface initiale se déforme et l’on voit se développer une structure caractéristique en forme de champignons. L’instabilité commence à saturer, c’est à dire
qu’elle ne croı̂t plus exponentiellement. Cette structure en champignon est la signature de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz qui se développe lorsque deux fluides
perturbés ont une vitesse de cisaillement. Cependant, on voit nettement des pics
de fluide lourd monter dans le fluide léger et des bulles de fluide léger descendre
dans le fluide lourd, ce qui est la signature de l’IRT non-linéaire. La perturbation
devient non symétrique par rapport à l’interface initiale non-perturbée. Plus tardivement, l’instabilité de Kelvin-Helmholtz commence à se développer à toutes les
échelles et elle conduit à la phase turbulente figure (3.3d-f). Une fois la turbulence
complètement développée, la distinction entre les deux fluides de départ devient
difficile puisqu’il se crée une zone de mélange.
D’un point de vue théorique, la phase linéaire et la phase faiblement nonlinéaire de l’IRT sont relativement bien étudiées [121, 122, 123]. La phase fortement
non-linéaire et turbulente est plus complexe et demande des outils analytiques
difficiles à manipuler [106, 124, 125, 126]. Cependant, il reste des points importants
à étudier dans la phase linéaire. Dans cette thèse, nous allons étudier les effets de la
compressibilité pour un fluide isotherme qui répond à une ancienne controverse sur
le sujet. Ensuite, la phase non-stationnaire de l’IRT en géométrie sphérique sera
traitée. Cette étude se fera toujours dans le soucis d’une application astrophysique,
notamment dans l’expansion de restes de supernovae.
3.2
Effets de compressibilité sur l’instabilité de
Rayleigh-Taylor
Dans l’évolution des restes de supernovae, tous les paramètres tels que accélérationdécélération, gradient de densité et perturbation sont regroupés pour que puisse
se développer l’IRT. Comme nous l’avons montré dans le chapitre I dans certaines
phases de leur évolution, les restes de supernovae peuvent être modélisés par une
III. Instabilités hydrodynamiques
59
coquille dense en expansion dans le milieu circumstellaire (MCS) ou interstellaire
(MIS). Cette coquille est décélérée par le milieu environnant et l’interface entre la
coquille dense et le MCS ou le MIS devient instable. Si, en première approximation,
on traite cette phase comme un équilibre hydrostatique entre les deux milieux, on
doit faire intervenir une accélération équivalente g, et on peut définir une longueur
√
caractéristique h pour chaque milieu, h ∼ K/g, où K est la vitesse du son. Pour
prendre en compte cette longueur dans l’évolution hydrodynamique de l’interface,
on doit considérer les équations en régime compressible [118, 123, 127]. En pratique, cela revient à comparer la longueur d’onde λ de la perturbation à l’échelle
h définie juste avant.
Des simulations numériques [50] ont montrés que la prise en compte de la compressibilité peut avoir un effet important sur le développement de l’instabilité de
Rayleigh-Taylor (IRT). En particulier, ils montrent que le taux de croissance de
l’IRT à l’interface He-CO et H-He lors de l’explosion d’une supernova sont différents. Des travaux récents [78] sur l’émission de rayons cosmiques des jeunes restes
de supernovae, montrent que derrière le choc généré au voisinage de la discontinuité de contact, des taux de compression de la matière peuvent être supérieurs
à 4, pour un coefficient polytropique de 5/3. Donc un gaz parfait mono-atomique
n’est pas approprié pour décrire cet objet. Un choc quasi-isotherme, avec un coefficient polytropique proche de l’unité permet un taux de compression supérieur. Le
cas isotherme semble plus réaliste pour les jeunes restes de supernovae [9]. C’est
le point de vue que nous allons adopter au chapitre IV.
Jusqu’à ce jour, les études de l’effet de compressibilité sur le taux de croissance
de l’IRT ne sont pas toujours concluantes. Selon certains travaux [11, 12], la compressibilité a un effet déstabilisant et augmente le taux de croissance. Ces résultats
sont en contradiction avec d’autres travaux [13, 14] dont les auteurs concluent à un
effet stabilisant sur l’IRT. De plus, certains articles [15, 128, 129] montrent que les
effets de compressibilité dépendent du rapport de la vitesse du son dans les deux
fluides, lequel ne peut pas être choisi arbitrairement mais dépend de l’équation
d’état. L’origine de cette controverse est partiellement due au fait que le problème
III. Instabilités hydrodynamiques
60
n’est pas toujours posé proprement et que des comparaisons sont parfois réalisées dans des situations non comparables immédiatement. Par exemple, dans la
référence [13], le cas compressible est comparé avec le cas IRT classique dans lequel la densité du fluide est uniforme, tandis que dans les travaux de Bernstein et
Book [12] la comparaison se fait avec un fluide incompressible dont la densité est
stratifiée.
Le débat sur les effets de compressibilité concernant le développement de l’IRT
est encore un sujet d’actualité. En effet, récemment, Livescu s’est intéressé à cette
question pour deux fluides idéales non-miscible [16] (voir le chapitre IV). Pour
ce faire, il linéarise les équations de Navier-Stokes. Cette analyse lui permet de
montrer par exemple que les effets de compressibilité sont plus importants pour
un faible nombre d’Atwood (faible contraste de densité). De plus, son analyse prend
en compte une variation de la constante adiabatique dans les deux fluides γ1 et
γ2 . Il est important de souligner que cette étude est valable pour une température
d’équilibre uniforme dans les deux milieux. Nous expliquerons avec plus de détails
les différences entre les travaux de Livescu et notre approche sur le calcul des
instabilités au cours du chapitre IV.
Ainsi, dans le chapitre IV, nous étudions l’instabilité de Rayleigh-Taylor dans
plusieurs configurations et nous les comparons entre elles en prenant en compte des
paramètres sans dimension. Pour cela nous allons considérer, un fluide compressible, un fluide incompressible stratifié, avec les mêmes échelles caractéristiques
verticales de gradient de densité, un fluide incompressible uniforme de masse finie
et, enfin, un fluide incompressible uniforme d’extension infinie. Une comparaison
des différentes situations est menée et elle met en lumière les effets de compressibilité sur la croissance de l’IRT. De plus, une étude approfondie du champ de
vitesse dans chacun des fluides, permet de mettre en évidence des effets de la
compressibilité sur la vorticité.
III. Instabilités hydrodynamiques
3.3
61
L’instabilité de Rayleigh-Taylor en phase instationnaire
Dans le paragraphe précédent, nous avons évoqué la phase stationnaire de
l’IRT. Dans ce cas, les équations de l’hydrodynamique sont résolues en supposant
qu’aucune des grandeurs physiques ne dépendent du temps (en ce qui concerne le
système non perturbé). Ceci est une approximation. En effet, si les grandeurs physiques définissant l’équilibre varie temporellement, avec un temps caractéristique
comparable à celui de l’IRT, on doit considérer ce problème comme instationnaire.
C’est typiquement le cas pour les éjectas d’une supernova [8, 127, 130, 131]. Ils
peuvent être soumis à une accélération ou à une décélération qui varie fortement
avec le temps. L’accélération peut être donnée par une interaction forte avec un
objet compact au centre des RSN (cas du plérion). La décélération peut survenir
par exemple, lors d’une interaction forte entre les restes de la supernova et le milieu
circumstellaire puis interstellaire.
Le chapitre V et VI est consacré au développement de l’IRT dans le cas du
plérion. Cet objet peut être soumis à plusieurs instabilités hydrodynamiques. En
particulier, ainsi que nous l’avons vu, l’IRT peut se développer sur la face interne de
la coquille durant sa phase d’accélération. Cette instabilité peut être responsable
de la fragmentation de la coquille des éjectas autour du pulsar et par exemple
de la structure filamentaire centrale de la nébuleuse du Crabe [5]. L’analyse de
la stabilité des plérions est difficile, car la pression produite par le pulsar est non
stationnaire et la distribution en densité dans la coquille est inhomogène. De plus,
on doit prendre en compte la vitesse de la coquille puisqu’elle est en expansion.
En particulier, le chapitre V porte sur l’étude de l’IRT instationnaire en géométrie sphérique. De nombreux travaux analytiques existent pour des applications
astrophysiques [9, 17], ou dans le domaine de la fusion par confinement inertiel
(FCI) [18, 19]. Cependant, Bernstein et Book [17] ne donnent pas de relation de
dispersion dans leur étude de l’IRT et Blondin et Ellison [9] étudient l’IRT dans
la phase de ralentissement des éjectas (phase tardive).
III. Instabilités hydrodynamiques
62
Une étude analytique de l’IRT est menée dans ce chapitre à l’aide d’une méthode de changement de référentiel [20]. Il en résulte des solutions exactes avec
des modes propres et la possibilité de “fabriquer” n’importe quel type de perturbation initiale, mais surtout cette méthode nous permet de donner une relation de
dispersion. Par ailleurs, une comparaison de la solution analytique avec le code de
perturbations Pansy [132, 133] est effectuée.
CHAPITRE IV
Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire :
Effets de compressibilité
4.1
Introduction
Le but de ce chapitre est d’étudier pour un nombre d’Atwood et un gradient
de densité donnés, les effets de compressibilité sur le développement de l’IRT.
Pour caractériser ces effets, on étudie le taux de croissance des instabilités dans le
cas où les deux fluides sont supposés isothermes, en liaison avec l’argumentation
développée au paragraphe 3.2 du chapitre III, qui est pertinente pour l’objet étudié
(voir aussi la fin du paragraphe 1.2 du chapitre I et l’annexe A.3). Pour cela,
on considère quatre configurations : deux en fluides incompressibles uniformes
(masse finie et infinie), une en fluides incompressibles stratifiés et la dernière, en
fluides compressibles. Tous ces cas sont considérés comme ayant la même longueur
caractéristique verticale, obtenue à partir de la vitesse du son et de l’accélération
dans le cas compressible. Dans le cas incompressible, cette longueur caractéristique
tend vers l’infini. De plus, tous ces cas sont caractérisés par le même nombre
d’Atwood. Moyennant, ces conditions réalisées, on montre qu’une comparaison
pertinente peut être effectuée. La plupart des résultats de ce chapitre ont déjà été
publié [134], cependant nous avons obtenu depuis la parution quelques résultats
supplémentaires.
À peu près dans les mêmes moments, mais, néanmoins quelques mois avant,
Livescu a analysé les effets de compressibilité pour l’IRT [16] et suite à notre publication [134], il a publié un commentaire [135] (voir l’annexe A.4), dans lequel,
il insiste sur le fait que ce type de problème a été complètement résolu. Cependant, suite à notre réponse [136] à son commentaire [135], il a publié une autre
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
64
réponse [137], dans laquelle, il prétend que ses travaux résolvent complètement le
problème, or nous pensons que ce n’est pas le cas. En effet, le problème considéré
par Livescu diffère de nos préoccupations ainsi que nous allons le montrer.
Livescu s’est intéressé au problème de compressibilité pour des milieux visqueux et dont l’interface possède une tension de surface [16]. Dans son travail,
il considère deux fluides non miscibles, avec une température constante à l’état
initial (c’est comme si le fluide était en contact avec un thermostat, du point de
vue de la thermodynamique). Cela implique que les profils spatiaux de densité
sont exponentiels et que la vitesse du son est constante. De plus, dans son article
Livescu [16] n’impose pas l’hypothèse de la température constante pour la perturbation. Il fait appel à une équation sur l’énergie et introduit un flux de chaleur
pour rendre les deux milieux isothermes à l’équilibre (nous retrouvons ici la notion
de thermostat). Par contre, lorsqu’il perturbe son système, il considère une perturbation adiabatique, c’est à dire, sans apport de chaleur (dQ = 0 = cv dT + pdV ), ce
qui implique qu’une perturbation de densité doit engendrer une perturbation de
température. En somme, à l’équilibre le système est isotherme et lorsqu’il le perturbe il est adiabatique avec des indices γ1 et γ2 de part et d’autre de l’interface.
Donc, Livescu considère un fluide classique pour lequel l’instabilité se développe
assez vite tel que le transport thermique n’a pas le temps de se développer pour
établir “l’isothermalité”.
Dans le contexte astrophysique, ce n’est pas le cas car le transport de chaleur
peut être assuré par un flux d’électrons ou par le rayonnement. Dans le problème
que nous traitons dans ce chapitre, que le système soit à l’équilibre ou perturbé, les
deux milieux restent isothermes. Ceci a été expliqué dans la réponse [136]. Le temps
de transport de la chaleur par rayonnement et par les électrons est très inférieur
au temps de développement de l’IRT. C’est le contraire du point de vue de Livescu
qui considère que le temps de relaxation de la température est très long et il fait
l’hypothèse dans ses travaux [16, 135, 137] que la perturbation est adiabatique.
Dans l’annexe A.4, on trouve le texte du commentaire de Livescu [135] concernant
l’article de Ribeyre et al. [134] et la réponse au commentaire de Livescu [136] que
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
65
nous avons effectué. On trouve aussi dans cette annexe, la réponse de Livescu [137]
suite à notre réponse [136].
Ici, nous considérons une autre façon de distribuer la chaleur, par rayonnement
ou par un flux d’électrons [137]. En fait, le bilan de la discussion avec Livescu,
montre qu’il s’agit principalement d’un malentendu sur la nature du processus
physique considéré.
Notre étude fournit une synthèse des relations de dispersion connues depuis
longtemps [11, 12] dans plusieurs configurations [134]. Les effets de compressibilité
sont évalués en terme de la longueur d’onde critique hc de la perturbation et la
génération de vorticité est examinée. De plus, cette analyse permet de discuter des
effets de compressibilité sur le développement de l’IRT dans les RSN.
Il a été montré dans le chapitre II, que si les effets de viscosité ne sont pas
importants, alors la phase linéaire de l’IRT pour un RSN et pour une cible laser
peut être décrite par les équations d’Euler :
∂t ρ + div (ρ~v ) = 0,
1
∂t~v + (~v · grad )~v = − grad p + ~g ,
ρ
p = Kρ,
(4.1)
(4.2)
(4.3)
où ρ, ~v , et p sont respectivement la densité, la vitesse et la pression et où ~g
est le champ de gravité. Il est clair que ~g n’existe pas pour une cible laser et
souvent il est négligé (voir plus loin) pour l’évolution des RSN. On ne traite dans
l’étude qui suit que le modèle isotherme, dans lequel la vitesse du son est constante
√
et s’écrit Cs0 = K. Cette approximation est assurée par le transport rapide
de l’énergie par électrons et par photons, par exemple. Elle est appropriée dans
plusieurs objets astronomiques, par exemple pour les restes de la supernova Kepler
où la température au voisinage de la discontinuité de contact entre les deux milieux
(RSN et MIS) varie très lentement en espace et en temps [78]. L’étude de ce reste,
montre que l’émission de rayon cosmique augmente le taux de compression de la
matière au voisinage de la discontinuité de contact. Dans ce cas, on peut considérer
que la vitesse du son est constante de part et d’autre de cette discontinuité. Donc,
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
66
le modèle isotherme est alors pertinent (voir le chapitre III).
4.2
Géométrie du problème
Dans ce chapitre, l’IRT est étudiée en géométrie plane (on suppose que le
rayon extérieur du RSN est grand) dans un champ de gravitation constant (où
plus généralement, un champ d’accélération ou de décélération : ici les éjectas
sont décélérés par le MIS) ~g dirigé suivant l’axe vertical z (Fig. 4.1). Une petite
perturbation est appliquée à l’interface z = 0 dans un plan perpendiculaire à l’axe
z : zint = η1 (x, t).
Figure 4.1: Géométrie du problème en deux dimensions : une petite perturbation η1 (x, t)
est appliquée à l’interface z = 0 à t = 0.
Dans la région z > zint , toutes les quantités physiques sont labelisées + , c’est à
dire, ~v + , ρ+ , p+ , et la région z < zint est labelisée − , c’est à dire, ~v − , ρ− , p− . L’état
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
67
initial est supposé être l’équilibre, défini par :
v~0 ± = 0,
ρ0 ± (z),
p0 ± (z),
(4.4)
où, à l’interface, p0 + (0) = p0 − (0). La dépendance spatiale de ces trois quantité est
donnée au paragraphe 4.4.1 de ce chapitre. De plus les quantités perturbées sont
notées avec l’indice 1 :
v~1 ± (x, z, t),
4.3
ρ1 ± (x, z, t),
p1 ± (x, z, t).
Compressibilité et effet de masse finie
Pour examiner les effets de compressibilité sur l’IRT, il est important d’étudier
des caractéristiques comparables pour les configurations compressibles et incompressibles. Par exemple, nous considérons le même profil de densité dans les deux
situations et, en conséquence, on obtient la même masse pour les deux fluides
superposés.
Nous comparons quatre états spécifiques instables au sens de Rayleigh-Taylor.
Trois d’entres eux correspondent à un cas incompressible avec des profils de densité
variable et le quatrième cas est compressible (Fig. 4.2).
Dans le cas du milieu incompressible classique, cas A dans la figure 4.2, les
masses des deux fluides sont infinies et les profils de densité sont uniformes. Dans
le cas compressible isotherme (cas B dans la figure 4.2) les profils de densité sont
exponentiels et la masse du fluide supérieur est finie. Dans le cas C, les milieux
considérés sont incompressibles mais stratifiés. C’est à dire que dans ce cas, les
profils de densité sont identiques à ceux du cas B. Finalement, dans le cas D, un
cas incompressible avec une masse finie (pour le fluide supérieur) est présenté. La
masse du milieu supérieur est choisie de telle sorte qu’elle soit égale à celle des cas
B et C. Nous allons comparer le développement des instabilités dans chacun de
ces cas. Une des difficulté importante déjà énoncée plus haut, est de comparer le
cas A et B car ils n’ont ni la même masse, ni le même profil de densité.
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
68
Figure 4.2: Profils de densités dans les quatre cas : A - deux fluides incompressibles
uniformes (masse infinie pour les deux milieux), B - deux fluides compressibles, C - deux
fluides incompressibles stratifiés (masse finie, avec les mêmes caractéristiques que le cas
B), D - deux fluides incompressibles dont la masse du milieu supérieur est finie (même
masse que dans les cas B et C) et infinie pour le milieu inférieur. Ces profils sont calculés
analytiquement au paragraphe 4.4.1.
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
69
Dans un premier temps nous allons comparer le cas compressible B avec le
cas incompressible masse finie : cas D. Bien que ces deux systèmes aient la même
masse, ils n’ont pas le même profil de densité. Ensuite, la deuxième étape consiste
à comparer le cas B avec le cas incompressible stratifié (cas C). Puisque les masses
des deux fluides et leurs profils de densité sont identiques, la comparaison des
effets de compressibilité est pertinente. Enfin le cas A va rester une situation de
référence car c’est elle qui a été étudiée au tout début par Lord Rayleigh [10].
Cette configuration correspond à la relation de dispersion donnée par la formule
√
ω = At kg retrouvée à la fin du paragraphe 3.1 du chapitre III.
4.4
Linéarisation des équations hydrodynamiques
Nous devons linéariser les équations d’Euler pour obtenir l’évolution des quantités physiques au premier ordre. Pour cela, les équations (4.1), (4.2) et (4.3) sont
exprimées dans un nouveau système de coordonnées associé à l’interface en mouvement, zint = η1 (x, t) : z̃ = z − zint = z − η1 (x, t), proposé la première fois par
Mathews et Blumenthal [138] (voir l’annexe A.5). Puisque la fonction η1 prend en
compte la déformation de l’interface, la condition z̃ = 0 est toujours valide sur
l’interface. Cette procédure facilite grandement l’utilisation des conditions de saut
à l’interface. En annexe A.5, on décrit avec plus de précision cette transformation
de coordonnées. Dans le nouveau système, les équations de l’hydrodynamique non
linéarisées s’écrivent :
∂t ρ + div (ρ~v ) − ∂t η1 ∂z ρ − [∂z (ρ~v )] (grad η1 ) = 0,
ρ∂t~v + ρ (~v · grad )~v − ρ (∂t η1 + vx ∂x η1 + vy ∂y η1 )∂z ~v
−(∂z p) (grad η1 ) = ~g ρ − grad p,
p = Kρ.
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
4.4.1
70
Fluide compressible barotrope isotherme
Un fluide est considéré comme compressible barotrope si son équation d’état
est donnée par une relation de la forme p = f (ρ). Dans le cas où p = Kρ, le fluide
est alors isotherme si on suppose qu’il est décrit par une équation du type “loi
des gaz parfaits”. Le fluide compressible barotrope isotherme correspond au cas B
dans la figure 4.2. Le système (4.1), (4.2) et (4.3) avec l’équation (4.4) à l’ordre
zéro (équilibre) se réduit à une relation entre la pression et la densité :
dz̃ p0 = −ρ0 g,
(4.5)
où le symbole dz̃ signifie d/dz̃ et où p0 = Kρ0 . Ceci implique un profil de densité
exponentiel à l’équilibre :
±
±
−z̃/h
ρ±
,
0 (z̃) = ρ0 (0) e
(4.6)
où h± = K ± /g est la longueur caractéristique des gradients qui existent dans le
système.
Au premier ordre, les équations de l’hydrodynamique [voir annexe A.5, Éqs. (A.7),
(A.8) et (A.9)] peuvent être réduites à une seule équation relative à la perturbation
en densité, δ1 = ρ1 /ρ0 , dans le plan (x, z̃) :
g
∂tt η1 + g∂x2 η1 ,
K
= −K∂z̃ δ1 .
∂tt δ1 − K(∂x2 + ∂z̃2 )δ1 + g∂z̃ δ1 = −
(4.7)
∂t v1x = −K∂x δ1 − g∂x η1 ,
(4.8)
∂t v1z
On note que les conditions de saut à l’interface sont données par, p+ (0) = p− (0)
±
et ∂t η1 = v1z
(0) [voir annexe A.5 Éq. (A.11)]. La constante K prend des valeurs
différentes K + et K − de part et d’autre de l’interface. Les équations sont résolues
en prenant des conditions évanescentes comme conditions aux limites : δ1 → 0
lorsque z̃ → ±∞.
L’hypothèse perturbative permet d’utiliser le principe de superposition et de
décrire le fluide perturbé comme une somme de modes linéairement indépendants.
Nous supposons que toute quantité perturbée évolue en temps et en espace proportionnellement à eωt+ikx . Plus précisément, δ̄1 est relié à δ1 par : δ1 = δ̄1 (z̃)eωt+ikx .
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
71
Alors la perturbation en densité δ̄1 est la partie de δ1 qui ne dépend ni de x ni de
t. La perturbation δ̄1 est solution de :
− Kd2z̃ δ̄1 + gdz̃ δ̄1 = −(ω 2 + Kk 2 )δ̄1 −
g
a(ω 2 + Kk 2 ),
K
(4.9)
où a est l’amplitude de la perturbation de l’interface qui à été écrite sous la forme
η1 (x, t) = a exp (ωt + ikx).
Une solution particulière de cette équation est δ̄1 = −a/h et comme les coefficients de l’équation différentielle ne dépendent pas de z̃, la solution générale peut
être recherchée sous la forme : δ̄1 = −a/h + Semc z̃ , où S et mc sont respectivement
une constante et un coefficient (dont la dimension est l’inverse d’une longueur) à
déterminer. L’équation différentielle conduit à l’équation algébrique pour mc :
Km2c − gmc = ω 2 + Kk 2 ,
(4.10)
qui a deux solutions :
mc 1,2
1
=
±
2h
r
1
ω2
+
+ k2.
4h2
K
(4.11)
Dans chaque famille de solution, nous pouvons éliminer une constante en considérant les conditions aux limites évanescentes. Pour satisfaire cette condition, mc
doit être réel et non nul. De plus, dans le demi-espace supérieur, z̃ > 0, on a m+
c <0
[on prend la racine précédée du signe négatif dans (4.11)], et pour le demi-espace
inférieur m−
c > 0 [on prend la racine précédée du signe positif dans (4.11)].
Au final, dans chacun des milieux + ou −, la solution s’écrit :
±
δ̄1± (z̃) = S ± emc z̃ − a
avec :
m±
c
g
=
∓
2K ±
r³
g
,
K±
ω2
g ´2
+
+ k2.
2K ±
K±
(4.12)
(4.13)
La valeur des constantes restantes, c’est à dire S + et S − , est obtenue à partir
±
des conditions de saut. Depuis l’équation (4.8) et la condition ∂t η1 = v1z
(0), on
obtient :
S± = −
ω2
a.
K ± m±
c
(4.14)
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
72
À l’aide de cette relation nous pouvons déduire le champ de vitesse en intégrant
les équations (4.8) et le profil de perturbation de pression. D’après la décomposition en eωt+ikx , les solutions instables correspondent à ω positif. Les perturbations
de la pression et de la vitesse peuvent s’exprimer en fonction de l’amplitude de
la perturbation, a, au niveau de l’interface η1 (x, t) = a eωt cos kx, où l’exponentielle imaginaire eikx a été remplacée par la fonction oscillante cos(kx). Dans ces
conditions, la perturbation en vitesse devient :
±
v1x
(x, z̃, t) = −a
kω m±c z̃+ωt
e
sin kx,
m±
c
±
±
(x, z̃, t) = aω emc z̃+ωt cos kx,
v1z
et les perturbations de densité et de pression s’écrivent :
µ 2
¶
a
ω m±c z̃
±
±
ρ1 (x, z̃, t) = −ρ0 (z̃) ±
e
+ g eωt cos kx,
±
K
m
µ 2 c
¶
ω m±c z̃
±
±
p1 (x, z̃, t) = −ρ0 (z̃) a
e
+ g eωt cos kx.
m±
c
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
On peut remarquer que l’amplitude de la composante de la vitesse selon x est
proportionnelle à celle selon z d’après la relation v1x ≈ (k/mc )v1z . Si kh À 1, alors
l’équation (4.11) donne mc ∼ k et on obtient v1x ≈ v1z . Cette situation correspond
à un fluide très peu compressible (λ ¿ h) et une perturbation sur la position d’un
élément de fluide se traduit par des vitesses du même ordre de grandeur selon les
directions indépendantes x et z.
Dans le domaine kh ¿ 1, on trouve, de façon inattendue, que dans le milieu
+
dense v1x
À v1z (on omet l’exposant “+” pour v1z car on sait qu’à l’interface, on
+
−
a v1z
= v1z
; la valeur commune est alors notée v1z ). Donc pour λ À h, l’effet de
compressibilité tend à imposer un écoulement préférentiellement selon une direction perpendiculaire à ~g (voir la Fig. 4.4B). Par contre, dans le milieu peu dense
−
v1x
¿ v1z . Autrement dit, pour λ À h, l’effet de compressibilité devient impor-
tant et le fluide se densifie en s’écoulant préférentiellement selon la direction de
l’accélération ~g . Comme celle-ci est orientée selon l’axe z, on trouve qu’il y a très
peu de mouvement selon x (voir la Fig. 4.4B).
Remarque : comme pour les grandes longueurs d’onde ω ∝ k (voir plus loin),
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
73
on a v1z ∝ k d’après l’équation (4.16). Par ailleurs, comme dans le milieu –,
−
−
2
m−
c → constante, alors v1x ∝ k . On retrouve donc bien la propriété v1x ¿ v1z .
+
2
En revanche, dans le milieu +, m+
c → k alors v1x ∝ constante et, dans ce cas, on
+
retrouve bien le comportement v1x
À v1z .
Par ailleurs, il est à noter que l’écoulement est irrotationnel, rot ~v1 = 0. Ceci
peut être vérifié directement à partir du champ de vitesse perturbé (4.15) et (4.16).
Enfin, pour obtenir la relation de dispersion, nous utilisons la condition de
−
continuité de la perturbation en pression au niveau de l’interface : p+
1 (0) = p1 (0).
À partir des équations (4.12) et (4.14) nous trouvons la relation entre le taux de
croissance ω et le nombre k sous la forme [12] :
ω2 = g
−
ρ+
0 (0) − ρ0 (0)
,
−
+
−
−ρ+
0 (0)/mc + ρ0 (0)/mc
(4.19)
−
où il est nécessaire de rappeler que m+
c et mc dépendent de ω et k par l’intermé-
diaire de l’équation (4.13).
Il important de remarquer que pour At = 1, c’est à dire pour ρ−
0 (0) = 0,
√
la relation ci-dessus se simplifie et on obtient, ω = kg. Le taux de croissance
est identique à celui déduit pour le cas incompressible dans lequel on fait aussi
At = 1. Ce résultat semble montrer que dans cette configuration les effets de
compressibilité n’affectent pas le taux de croissance de l’IRT.
4.4.2
Fluide incompressible
La limite incompressible (cas A) peut être obtenue directement à partir des
équations de l’hydrodynamique en posant formellement K tendant vers l’infini. Le
système (4.1), (4.2) et (4.3) avec la condition (4.4) et pour une densité ρ0 prise
constante donne, à l’ordre zéro, l’équation (4.5). Au premier ordre, le système se
réduit à des équations sur les perturbations de vitesse et de pression :
∂x v1x + ∂z̃ v1z = 0,
ρ0 ∂t v1x = −∂x p1 − ρ0 g ∂x η1 ,
(4.20)
ρ0 ∂t v1z = −∂z̃ p1 .
(4.21)
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
74
Ces équations s’obtiennent à partir de (4.7) et (4.8) lorsque K tend vers l’infini
et ρ1 → 0 (perturbation incompressible) mais avec le produit Kρ1 fini et valant p1 .
Notons que l’équation (4.7), dans la limite incompressible, se réduit à l’équation
de Bernoulli (voir [72] p. 67) :
(∂x2 + ∂z̃2 )p1 + ρ0 g ∂x2 η1 = 0.
La relation de dispersion est obtenue à partir des équations (4.20) et (4.21).
Elle peut aussi être obtenue directement depuis l’équation (4.19). En posant K ±
tendant vers l’infini dans l’équation (4.13), on trouve : m±
c = ∓k. Ceci implique :
−
ρ+
0 (0) − ρ0 (0)
ω = kg +
= kgAt .
ρ0 (0) + ρ−
0 (0)
2
(4.22)
Nous retrouvons le taux de croissance “classique” de l’instabilité de RayleighTaylor pour un fluide incompressible uniforme donné dans le chapitre III.
Le comportement spatial et temporel des grandeurs physiques perturbées est
déduit du cas compressible (4.15) et (4.16) pour la limite K ± tendant vers l’infini.
Comme, ρ±
1 (x, z̃, t) = 0, on a pour les trois autres grandeurs physiques :
±
v1x
(x, z̃, t) = ± a ω e∓kz̃+ωt sin kx,
±
v1z
(x, z̃, t) = a ω e∓kz̃+ωt cos kx,
µ
¶
ω 2 ∓kz̃
±
±
p1 (x, z̃, t) = −ρ0 a ∓ e
+ g eωt cos kx.
k
(4.23)
Ainsi que nous l’avons mentionné à la fin du paragraphe 4.4.1, les amplitudes
des vitesses selon x et z sont du même ordre de grandeur v1x ≈ v1z , pour un fluide
incompressible.
Enfin, le champ de vitesse, comme il se doit, est incompressible, soit div ~v1 = 0
et irrotationnel, soit rot ~v1 = 0. Une analyse plus fine de la vorticité du champ de
vitesse est effectuée dans la section 4.6.
4.4.3
Fluide incompressible stratifié
Dans cette section, nous considérons un fluide incompressible mais dont la
densité à l’équilibre change verticalement, ρ0 (z) – voir les conditions d’équilibre
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
75
définies par les équations (4.4). C’est le cas C de la figure 4.2. Il ne peut pas
être réduit au cas précédent, car il n’est pas compatible avec une équation d’état.
À l’équation d’état dans ce cas, il est substitué la condition d’incompressibilité,
div ~v = 0. Alors les équations (4.1) et (4.2) au premier ordre dans le système de
coordonnées attaché à l’interface deviennent :
∂t ρ1 + v1z dz̃ ρ0 = ∂t η1 dz̃ ρ0 ,
(4.24)
ρ0 ∂t v1x + ρ0 g∂x η1 = −∂x p1 ,
(4.25)
ρ0 ∂t v1z = −gρ1 − ∂z̃ p1 ,
(4.26)
∂x v1x + ∂z̃ v1z = 0,
(4.27)
où ρ0 (z̃) est considéré comme une fonction donnée à priori (voir plus loin).
Bien que le fluide soit incompressible, il faut noter la présence de termes contenant la perturbation de densité ρ1 . Ces termes sont légitimes. En effet, comme le
fluide est formé de “strates” de densités différentes, l’IRT va provoquer un mélange
entre ces strates, et, à une altitude z, la densité ne sera plus ρ0 (z) mais deviendra
égale à ρ(z, x, t) = ρ0 (z) + ρ1 (x, z, t).
Le système d’équations (4.24) à (4.27) s’inspire du calcul effectué par Lord
Rayleigh dans l’article de 1883 [10]. Les termes dépendant de η1 qui interviennent
dans les équations (4.24) et (4.25) apparaissent suite au changement de variable
introduit par Mathews et Blumenthal [138] - voir annexe A.5.
Comme le système d’équations linéaires possèdent des coefficients qui ne dépendent ni de x ni de t, on peut rechercher une perturbation harmonique de la
forme eωt+ikx .
Avec cette hypothèse, on obtient :
ω ρ̄1 + v̄1z dz̃ ρ0 = ωadz̃ ρ0 ,
(4.28)
−iρ0 ωv̄1x + kρ0 ga = −k p̄1 ,
(4.29)
ρ0 ωv̄1z = −ρ̄1 g − ∂z̃ p̄1 ,
(4.30)
ikv̄1x + ∂z̃ v̄1z = 0.
(4.31)
Les quantités avec des barres q̄ = ρ̄1 , v̄1x , v̄1z , p̄1 sont reliées aux mêmes quan-
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
76
tités sans barre q = ρ1 , v1x , v1z , p1 par la relation :
q = q̄ exp(ωt + ikx).
(4.32)
De plus, nous avons pris, comme précédemment, une interface telle que η1 (x, t) =
a exp(ωt + ikx).
Avec les équations (4.28), (4.29) et (4.31), on trouve la perturbation de vitesse
suivant l’axe x, la perturbation de pression et la perturbation de densité :
i
ω
∂z̃ v̄1z , p̄1 = − 2 ρ0 ∂z̃ v̄1z − ρ0 ga,
k ³
k
´
v̄1z
ρ̄1 = βρ0
−a ,
ω
v̄1x =
(4.33)
où β = −dz̃ ln ρ0 est le gradient logarithmique de stratification de densité.
On injecte ces relations dans (4.30) pour obtenir l’équation différentielle qui
gouverne la composante de la vitesse suivant z :
µ
¶
βg
2
2
dz̃ v̄1z − βdz̃ v̄1z − k 1 + 2 v̄1z = 0.
ω
(4.34)
Comme attendu, cette équation est en accord avec les travaux de Lord Rayleigh
et de Chandrasekhar [10, 118]. Nous considérons le cas particulier où la dérivée
logarithmique de ρ0 est constante, soit l’intégration de dz̃ lnρ0 = −β donne ρ0 (z) =
ρ0 (0) e−βz . Nous avons effectué ce choix car la configuration isotherme compressible
(cas B de la figure 4.2) fait apparaı̂tre aussi un profil exponentiel de densité et ainsi
nous pouvons réaliser une comparaison correcte entre les deux situations B et C.
Par ailleurs, comme l’équation qui gouverne v1z [Éq. (4.34)] est linéaire à coefficients indépendants de z̃, nous recherchons une solution sous forme, ems z̃ , et
nous obtenons deux racines pour le paramètres ms :
β±
±
∓
ms =
2
s
µ
¶
±g
β
β± 2
+ k2 1 + 2 .
4
ω
(4.35)
La solution appropriée pour chacun des milieux est trouvée en satisfaisant les
conditions d’évanescence à l’infini. Pour chaque milieu, la solution de (4.34) est :
±
±
= V ± ems z̃ ,
v̄1z
(4.36)
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
77
où m±
s est donnée par (4.35).
Ensuite, pour évaluer les constantes V + et V − , on applique la continuité de la
+
−
vitesse à l’interface soit v1z
(0) = v1z
(0) = ∂t η1 comme dans le cas compressible.
Ceci implique V + = V − = ωa, d’où :
±
±
v̄1z
= ω a ems z̃ .
(4.37)
Enfin, en utilisant q = q̄ exp(ωt+ikx) [Éq. (4.32)] on obtient l’expression totale
de la vitesse.
±
±
(x, z̃, t) = ω a ems z̃ exp (ωt + ikx).
v̄1z
(4.38)
Pour obtenir la relation de dispersion, il faut calculer la perturbation en pression à partir de (4.33) et appliquer la condition de continuité à l’interface, p+
1 (0) =
+
−
p−
1 (0), ce qui revient à écrire p̄1 (0) = p̄1 (0). On en déduit la relation de disper-
sion :
ω2 = k2g
−
ρ+
0 (0) − ρ0 (0)
.
−
+
−
−ρ+
0 (0)ms + ρ0 (0)ms
(4.39)
Dans la limite d’un milieu homogène en densité, β tendant vers zéro et à l’aide
de (4.35) on a m±
s = ∓k. L’équation de dispersion (4.39) se réduit alors au cas
classique (4.22).
−
Dans l’annexe A.6, nous démontrons que m+
s = −ms = −ms (où ms est par
p
définition ms = −β + /2+ β + 2 /4 + k 2 (1 + β + g/ω 2 ) quelque soit les valeurs prises
par ω et k. Dans ces conditions, nous pouvons réécrire la relation de dispersion
(4.39) comme [12] :
ω2 =
−
k 2 g ρ+
k 2 gAt
0 (0) − ρ0 (0)
.
=
−
ms ρ+
ms
0 (0) + ρ0 (0)
(4.40)
Pour effectuer la comparaison du cas incompressible stratifié avec le cas compressible, nous supposons que les profils de densité sont les mêmes, c’est à dire,
β ± = 1/h± = g/K ± . Les résultats de cette comparaison sont présentés dans la
section 4.5.
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
78
Toutes les grandeurs physiques de l’écoulement peuvent être obtenues à l’aide
de (4.32), (4.33) et (4.37) (ω est supposé réel et positif) :
ω
±
v1x
(x, z̃, t) = ∓ a ms e±ms z̃+ωt sin kx,
k
±
v1z (x, z̃, t) = aωe±ms z̃+ωt cos kx,
± ± ±ms z̃
ρ±
− 1) eωt cos kx,
1 (x, z̃, t) = aρ0 β (e
µ
¶
ω2
±
±
±ms z̃
p1 (x, y, z̃, t) = −aρ0 ± 2 ms e
+ g eωt cos kx.
k
(4.41)
(4.42)
(4.43)
(4.44)
Ici, comme dans le cas compressible (paragraphe 4.4.2), les signes opposés de la
vitesse v1x de part et d’autre de l’interface provoque un cisaillement. On s’attend
à une composante non nulle de rot ~v selon l’axe y. Si on calcule cette composante
au niveau de l’interface on trouve ωak(1 − m2s /k 2 ) exp(ωt) sin(kx) [voir plus loin
l’Éq. (4.55) pour z̃ = 0]. L’instabilité qui résulte de ce cas génère donc de la
vorticité.
4.4.4
Fluide incompressible de masse finie
Une autre possibilité est de comparer le cas compressible avec un cas dans
lequel le fluide est homogène mais avec une masse finie du fluide supérieur. C’est
le cas D de la figure 4.2. Nous choisissons l’épaisseur h du fluide supérieur de telle
sorte que sa masse soit la même que dans le cas compressible B (en effet, l’intégrale
R +∞ +
ρ (0)e−z̃/h dz̃ est convergente). De plus, ils ont la même densité à l’interface
0
et il est facile de voir que dans ce cas h = K + /g.
Pour obtenir la relation de dispersion, nous utilisons l’analyse précédente concernant le cas incompressible stratifié, mais nous modifions la condition aux limites
telle que v̄1z (h) = 0 a une altitude finie z̃ = h. Aussi, nous supprimons la stratification en supposons β = 0 et l’équation (4.35) se simplifie et donne m±
s = ∓k. La
solution de l’équation (4.34) avec la condition aux limites correspondantes s’écrit :
¡
¢
+
v̄1z
(z̃) = V + e−k(z̃−h) − ek(z̃−h) ,
(4.45)
−
v̄1z
(z̃) = V − ekz̃ .
(4.46)
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
79
Une relation entre les constantes V + et V − s’obtient à partir de la condition
de continuité des vitesses à l’interface et on obtient :
2V + sinh(kh) = V − = ωa.
(4.47)
Ensuite, à l’aide de (4.33), on trouve la perturbation en pression en supposant
−
la continuité des pressions à l’interface, p̄+
1 (0) = p̄1 (0). On obtient alors la relation
de dispersion dans le cas d’un fluide incompressible dont la masse supérieure est
finie :
−
ρ+
0 (0) − ρ (0)
ω = kg +
.
ρ0 (0) tanh−1 (kh) + ρ−
0 (0)
2
(4.48)
Naturellement, dans la limite où l’épaisseur de la couche supérieure, h tend
vers l’infini, l’équation se réduit au cas classique de l’instabilité de RayleighTaylor (4.22).
À partir des équations (4.33) nous pouvons trouver le profil spatial et temporel
de toutes les quantités physiques. Dans le fluide inférieur, les solutions sont les
mêmes que celles données par (4.23). Pour le fluide supérieur on a :
cosh [k(h − z̃)] ωt
e sin kx,
sinh (kh)
sinh [k(h − z̃)] ωt
+
v1z
(x, z̃, t) = ωa
e cos kx,
sinh(kh)
µ 2
¶
ω cosh [k(h − z̃)]
+
+
p1 (x, z̃, t) = aρ0
− g eωt cos kx.
k
sinh (kh)
+
v1x
(x, z̃, t) = ωa
(4.49)
(4.50)
(4.51)
Si on calcule rot ~v1 , on peut remarquer que sa valeur est nulle et cet écoulement
est donc irrotationnel.
4.5
Analyse des relations de dispersion
Nous avons obtenu les relations de dispersions dans les quatre cas présentés dans la figure 4.2 : l’écoulement incompressible uniforme (IRT classique cas A) décrit par l’équation (4.22), le cas général compressible (cas B) décrit
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
80
par l’équation (4.19), le cas incompressible et stratifié (cas C) décrit par l’équation (4.39). Et finalement, le cas incompressible dont la masse du fluide supérieur est finie (cas D) décrit par l’équation (4.48). Pour tous les cas, le critère d’instabilité est : ρ+
0 (0) >
ρ−
0 (0) et la condition d’équilibre correspond
à la continuité de la pression non perturbée à l’interface, à l’instant initial :
−
+ +
− −
p+
0 (0) = K ρ0 (0) = K ρ0 (0) = p0 (0).
Bien que pour les fluides envisagés ici la vitesse du son soit égale à
√
K±
dans le cas compressible et qu’elle soit infinie dans les situations incompressibles,
p
on peut définir une vitesse caractéristique donnée par (K + K − )1/4 ≡ K̂ pour
toutes les configurations. Par ailleurs, un nombre d’onde caractéristique est donné
p
par g/K̂ ≡ k̂ et une fréquence caractéristique s’écrit g/ K̂ ≡ ω̂.
Dans ces conditions, les rapports k/k̂ et ω/ω̂ sont des quantités adimensionnées
et tous les cas dépendent seulement d’un paramètre sans dimension unique (les
grandeurs g, K + et K − sont absorbées par l’adimensionnement), déjà utilisé au
chapitre III, qui est le nombre d’Atwood, donné par :
At =
−
ρ+
0 (0) − ρ0 (0)
.
−
ρ+
0 (0) + ρ0 (0)
La figure 4.3 montre les solutions des équations de dispersion dans les quatre
situations pour deux nombres d’Atwood différents (pour résoudre les différentes
relations de dispersion nous utilisons le logiciel “Maple”). On peut remarquer que
les effets de compressibilité sont importants lorsque la densité des deux fluides sont
proches, At ¿ 1.
Dans tous les cas, la courbe du fluide incompressible (pointillés) est située
au dessus de celle du fluide compressible (trait plein). Ceci suggère que le cas
compressible est toujours plus stable que le cas incompressible. De plus, pour la
plus faible valeur du nombre d’Atwood (At = 0,1), c’est le cas incompressible
stratifié (tirets) qui est le plus stable d’entre tous, alors que pour At = 0,9, c’est la
configuration incompressible masse finie (tiret-double point) qui est la plus stable
d’entre toutes.
On remarque que c’est pour des valeurs de k proche de k̂ que la majorité
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
81
(a)
10
1
γ/γ^
ω/ω
0.1
0.01
0.01
0.1
k/k^
1
10
1
10
(b)
10
1
γ/γ^
ω/ω
0.1
0.01
0.01
0.1
k/k^
Figure 4.3: Dépendance du taux de croissance normalisé, ω/ω̂, en fonction du nombre
d’onde normalisé, k/k̂, pour les quatre cas et pour deux nombres d’Atwood différents :
At = 0,1 (a) et 0,9 (b). La courbe en trait plein correspond au cas compressible –
en pointillés, le cas incompressible – en tirets, le cas incompressible stratifié – en tiretdouble-point, le cas incompressible masse finie. La courbe en tiret-point donne le rapport
des taux croissance du cas compressible sur le cas incompressible stratifié.
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
82
des courbes se rejoignent, ce qui signifie que les effets de compressibilité sont
importants pour des valeurs de k inférieures à k̂ (c’est à dire, pour des longueurs
d’onde plus grandes que 2π K̂/g).
On observe que pour les grandes valeurs de k (petites longueurs d’onde), toutes
les courbes se réunissent. C’est normal, car pour k/k̂ À 1, on tend vers un régime
incompressible et toutes les courbes se comportent de la même façon (voir section
suivante 4.5.1). La représentation en échelle logarithmique permet de mettre en
évidence la puissance de k contenue dans la relation de dispersion. En effet, la
√
cas incompressible à une pente de 1/2 (ω ∝ k), tandis que dans les autres
configurations la pente est de 1 (ω ∝ k) pour de petites valeurs de k.
4.5.1
Expression asymptotique du taux de croissance
Nous considérons les solutions asymptotiques des relations de dispersion dans
deux cas limites, k tendant vers l’infini et k tendant vers zéro. Rappelons que dans
le cas d’un écoulement incompressible, la relation de dispersion est :
ωRT =
p
At kg.
(4.52)
On peut montrer que ce résultat est obtenu avec toutes les autres relations de
dispersion dans la limite des petites longueurs d’onde de perturbation : k tendant
vers l’infini (k À k̂). Au contraire, pour les grandes longueurs d’onde (k tendant
vers zéro - k/k̂ ¿ 1 - et pour ω/k fini), le résultat dépend fortement du modèle.
Nous comparons tous les modèles dans le tableau 4.1.
Incompressible
Compressible
Incompressible Stratifié
Incompressible Masse Finie
√
ωRT = At kg
p √
ωC = k K̂ 2At /(1 − At 2 )1/4
p
ωIS = k K̂At /(1 − At 2 )1/4
p √
ωIF M = k K̂ 2At (1 − At 2 )1/4 /(1 + At )
Table 4.1: Comparaison des taux de croissance asymptotiques (k → 0) pour les quatre
modèles de fluides.
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
83
Les indices “C”, “IS” et “IFM” correspondent respectivement à “Compressible”,
“Incompressible”, “Incompressible Masse Finie”.
La comparaison entre ces trois types d’écoulement “C”, “IS” et “IFM”, est justifiée car ils ont le même saut de densité (caractérisé par le nombre d’Atwood) ainsi
que la même masse pour le fluide supérieur. Il est évident que la déviation par
rapport au cas idéal de l’IRT apparaı̂t pour une longueur d’onde supérieure à une
hauteur caractéristique hc ou pour un nombre d’onde inférieur à un nombre d’onde
caractéristique kc = 2π/hc . La comparaison du comportement du cas compressible
avec le cas incompressible stratifié nous donne :
kc =
g p
2K̂
2
1 − At ,
ωC
=
ωIS
r
2
.
At
(4.53)
La valeur de kc est obtenue en égalisant ωRT et ωC et elle est proche du nombre
d’onde k̂ défini précédemment. Ceci donne la comparaison entre la configuration
incompressible et compressible et non entre le cas incompressible stratifié et compressible.
Il ressort de (4.53) que le taux de croissance dans le cas compressible augmente
fortement lorsque At ¿ 1, si on le compare au cas incompressible stratifié et lorsque
les hauteurs caractéristiques sont identiques. Au contraire, ainsi que nous l’avons
vu sur la figure 4.3, que ce soit dans le cas compressible ou dans le cas masse finie,
ils sont plus stables vis à vis de l’IRT lorsque qu’on les compare avec le cas RT
classique (densité uniforme). Pour des grands nombres d’Atwood (c’est à dire, pour
des sauts importants de densité), mais néanmoins toujours inférieurs ou égaux à 1
par définition, le nombre d’onde critique est très petit et la différence entre le cas
compressible et incompressible devient moins important [voir les équations (4.53)].
Autrement dit, les effets de compressibilité disparaissent lorsque At = 1, en effet
le nombre d’onde critique kc → 0. Il est à noter que le taux de croissance dans
les cas “C”, “IS” et “IFM” deviennent indépendants du champ de gravité g lorsque
k < kc (petits nombres d’onde). Comme on l’a déjà vu, pour les petites valeurs
de k, les taux de croissance ωC , ωIS et ωIF M varient linéairement avec k alors que
√
ωRT est proportionnel à k.
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
84
On peut comparer les relations de dispersion que nous avons obtenues avec
celles données par Livescu [16]. En fait, comme le montre Livescu dans son commentaire [135], pour retrouver nos relations de dispersion, il est nécessaire d’ajouter
un flux de chaleur pour maintenir les perturbations de température nulles.
4.6
Champ de vitesse généré par l’IRT
Pour bien comprendre le développement de l’instabilité de Rayleigh-Taylor,
il est instructif d’analyser le champ de vitesse et en particulier la production de
vorticité. Le champ de vitesse est présenté sur la figure 4.4 pour les quatre types
d’écoulement considérés précédemment.
Il est bien connu (voir page 142 dans [72]) que l’IRT classique, c’est à dire, en
régime linéaire et pour des fluides incompressibles uniformes en densité, produit
un champ de vitesse sans divergence et irrotationnel :
div ~v = 0,
rot ~v = 0,
ainsi que nous l’avons vu au paragraphe 4.4.2. Ceci est valable aussi pour le cas
incompressible masse finie (voir le paragraphe 4.4.4).
Le cas compressible correspond à un écoulement irrotationnel mais, comme il
se doit, à divergence non nulle :
div ~v ± =
aω m±c z̃+ωt 2
2
e
(k − m±
c ) cos kx.
m±
c
(4.54)
On représente la divergence dans ce cas sur la figure 4.5A.
Il est important de remarquer que pour un fort contraste de densité, At = 1
[ρ0 (0)− = 0], et en utilisant la relation de dispersion dans le cas compressible
2
2
[Éq. (4.19)] les effets de compressibilité disparaissent, car dans ce cas, (m+
c ) = k
et div ~v + = 0.
Enfin, le champ de vitesse dans le cas incompressible stratifié est naturellement
sans divergence, div ~v = 0, mais dans ce cas la vorticité n’est pas nulle. Si on
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
1
(A)
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Z
0
0
–0.2
–0.2
–0.4
–0.4
–0.6
–0.6
–0.8
–0.8
–1
Z
1
0.8
Z
(C)
(B)
–2
–1
0
1
X
1
–1
2
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Z
–0.2
–0.4
–0.4
–0.6
–0.6
–0.8
–0.8
–2
–1
0
–1
1
2
X
0
1
2
1
2
X
0
–0.2
–1
–2
(D) 1
0
85
–1
–2
–1
0
X
Figure 4.4: Champ de vitesse dans les quatre types d’écoulement : (A) - le cas incompressible uniforme, (B) - le cas compressible, (C) - le cas incompressible stratifié, (D)
- le cas incompressible masse finie. Les paramètres utilisés sont les suivants : ω̂t = 1,
k = k̂, k̂a = 0,05 et At = 1/3 et g k̂/ω̂ 2 = 1.
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
86
Figure 4.5: (A) Divergence de l’écoulement, div ~v , dans le cas compressible et (B)
composante y du rotationnel (perpendiculaire à l’axe z et x), rot ~v , dans le cas incompressible stratifié. Les paramètres sont les mêmes que pour la figure 4.4 (le niveau de
gris est représentatif du signe du rotationnel sur l’axe y, donc du sens de rotation des
vortex).
reprend les formules du paragraphe 4.4.3, on trouve :
rot ~v ± =
aω ±ms z̃+ωt 2
e
(k − m2s ) sin kx.
k
(4.55)
Cette vorticité est donnée sur la figure 4.5B.
Afin de mieux comprendre les effets de compressibilité et de stratification, il
est instructif de représenter les équations d’Euler et de continuité (4.1)-(4.2) sous
la forme suivante :
1
div ~v = − dt ρ,
ρ
(4.56)
~ = −Ω
~ div ~v + (Ω
~ · grad )~v + 1 grad ρ × grad p,
dt Ω
ρ2
(4.57)
~ = rot ~v est la vorticité et dt est la dérivée totale (lagrangienne).
où Ω
Comme on le sait déjà, on peut conclure en considérant la première équation,
que la divergence du champ de vitesse est seulement due à la nature compressible du fluide. Par contre, la source de vorticité est due au fait que les gradients
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
87
de pression et de densité ne sont plus colinéaires. Aussi, dans le cas d’un fluide
barotropique, la pression est donnée par une fonction de la densité p = p(ρ), et
grad p est proportionnel à grad ρ. Le cas compressible ne peut donc pas générer
de vorticité car nous avons p = Kρ. Par ailleurs pour les deux cas incompressibles uniformes (masse finie ou masse infinie), on a grad ρ = 0 et du coup, on
ne peut pas avoir de vorticité également. Le seul cas pouvant générer de la vorticité est donc la situation incompressible stratifiée. C’est effectivement ce que nous
obtenons et celle-ci est donnée par (4.55). Au contraire, dans le cas d’un fluide
baroclinique pour lequel grad p et grad ρ ne sont pas colinéaires [139], il ressort
de l’équation (4.57) que de la vorticité est créée. L’inclinaison du gradient de pression à l’interface perturbée produit un écoulement principalement vertical [123].
Cet effet est important pour les longueurs d’onde comparables à la stratification
verticale et correspond à des développements non-linéaires différents. Comme on
semble l’observer dans la phase fortement non-linéaire, suite aux simulations numériques effectuées par Gardner et al. [140], l’écoulement compressible génère de
longues “structures en forme de doigt” (peu de tourbillons) dans le fluide léger, tandis que l’écoulement incompressible (en phase non-linéaire) développe plutôt des
“structures en champignon” (tourbillons) ce qui implique un meilleur mélange. Sur
la figure 4.5B, on observe deux vortex dont les sens de rotation sont de directions
opposées et localisées au voisinage de la discontinuité de contact.
Une différence entre les cas compressible et incompressible stratifié concerne
+
−
la vitesse de cisaillement à l’interface : ∆v1x = v1x
(0) − v1x
(0) . Dans le cas
compressible :
µ
∆v1x = −akω
1
1
−
m+
m−
c
c
¶
eωt sin kx,
(4.58)
tandis que dans le cas incompressible stratifié, on obtient :
∆v1x = −2ms a
ω ωt
e sin kx.
k
(4.59)
Les vitesses parallèles à l’interface ont la même magnitude mais sont de signes
opposés.
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
88
Figure 4.6: Vitesse de cisaillement à l’interface, dans le cas compressible (trait plein) et
dans le cas incompressible stratifié (tiret).
La figure 4.6 montre que la vitesse de cisaillement est plus grande dans le cas
compressible et atteint un maximum au niveau du point d’inflexion de l’interface.
Donc, dans le cas compressible, il semble possible de générer plus rapidement
l’instabilité de Kelvin-Helmholtz que dans le cas incompressible stratifié car le
taux de croissance de cette instabilité dépend directement des vitesses tangentielles
à l’interface des deux fluides [72]. Dans le domaine non-linéaire, cette instabilité
génère de la vorticité [139].
Revenons maintenant à la vorticité. À partir de l’équation de son évolution (4.57),
on peut donner l’évolution de la vorticité perturbée. Elle s’écrit :
~ 1 = grad ρ0 × grad p1 + grad ρ1 × grad p0 .
ρ20 dt Ω
(4.60)
En introduisant les expressions de ρ1 et p1 données par les équations (4.43)
et (4.44) ainsi que p0 et ρ0 dans le cas incompressible stratifié, on obtient pour la
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
89
composante suivant l’axe y :
±
dt Ω±
1y = 2kaβ g
ρ0 (0)±
sin(kx)e±ms z̃ .
ρ0 (0)+ + ρ−
(0)
0
(4.61)
On a constaté que la vorticité n’est pas nulle [Éq. 4.55] pour cette configuration
et on déduit donc que les gradients de pression et de densité sont croisés. Il faut
remarquer que cette vorticité est générée en volume, et elle est directement reliée à
un gradient d’entropie de l’équilibre. L’absence de vorticité dans le cas compressible
peut être interprétée comme la conséquence directe d’une entropie uniforme dans
les deux fluides.
Il est intéressant, également, d’effectuer le calcul de la vorticité totale Cy suivant l’axe y intégrée en z et donc au travers de l’interface de deux fluides. Ce
scalaire est donné par :
Z
Cy =
(rot ~v )y dz,
et cette intégrale se réduit à deux termes. En particulier, au voisinage de l’interface
entre les deux fluides, i.e., lorsque z → 0, on obtient :
Z
Cy = ∆v1x − ∂x vz dz,
où ∆v1x est le saut de vitesse tangantielle déjà évoqué plus haut. Ce terme génère
de la vorticité seulement à l’interface. Tandis que le deuxième terme (l’intégrale)
est responsable de la vorticité en volume. À partir de cette expression on peut
donner Cy dans les deux cas qui nous intéressent :
– le cas incompressible stratifié : Cy ∝ (m2s − k 2 ). Donc, on retrouve que dans
ce cas de la vorticité est générée.
– le cas compressible : Cy = 0. Les deux termes dans l’expression de Cy se
compensent exactement et la vorticité totale est nulle, ce qui est naturel dans ce
cas. Le comportement est le même que pour la vorticité locale : rot ~v = 0.
Le développement de l’IRT produit un cisaillement au niveau de la discontinuité
de contact [voir par exemple la formule (4.41) dans laquelle on observe que v1x
change de signe à la traversée de l’interface]. Dans le cas compressible la vorticité
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
90
totale Cy est nulle et le cisaillement ne produit pas de vorticité, ni localement, ni
globalement.
4.7
Discussion et conclusion
Dans ce chapitre, nous avons choisi quatre géométries permettant une comparaison pertinente du développement de l’IRT dans les cas compressible et incompressible. Une transformation du système de coordonnées relative à la perturbation à l’interface, nous a permis de simplifier l’analyse de l’instabilité. De
plus, les relations de dispersion étudiées, ont pu être représentées en utilisant un
adimensionnement unique.
La compressibilité fait décroı̂tre le taux de croissance de l’IRT pour des longueurs d’onde grandes devant la longueur d’onde critique, hc ∼ K̂/g, lorsqu’on
le compare au cas classique de l’IRT. Mais, la compressibilité accroı̂t le taux de
croissance de l’IRT lorsque : λ > hc ∼ K̂/g si nous comparons ce cas avec l’écoulement incompressible stratifié, ce qui est plus approprié car les profils de densité
et les masses sont alors les mêmes. L’effet de compressibilité est inversement proportionnel à la racine carrée du nombre d’Atwood [voir Éq. (4.53)] et il est donc
plus important lorsque le saut de densité entre les deux milieux est faible. À l’inverse, on montre que pour un contraste de densité important entre les deux milieux
(At = 1), les effets de compressibilité disparaissent car le taux de croissance com√
pressible devient égal à gk et la divergence du champ de vitesse devient nulle.
On peut interpréter ce phénomène en remarquant que les modes compressible et
incompressible sont totalement découplés (un des milieux est le vide) et ce n’est
que lorsque At < 1 qu’un couplage s’effectue et modifie le taux de croissance pour
k < kc (les deux milieux sont en interaction).
De plus, on remarque que le taux de croissance est indépendant du champ
de gravité pour k < kc . Cependant, même en considérant des taux de croissance
similaires en compressible et en incompressible stratifié, les champs de vitesse sont
complètement différents. Nous avons mis en évidence la génération de vorticité
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
91
durant l’étape linéaire du développement de l’instabilité dans le cas incompressible
stratifié. Il serait intéressant de comprendre ultérieurement les manifestations de
la divergence et de la vorticité durant l’étape non-linéaire du développement de
l’IRT.
Il est possible cependant d’estimer le taux de croissance de l’IRT dans le cas
de restes de supernovae typiques. Nous choisissons M = 15 M¯ (M¯ ' 2×1033
g est la masse du soleil), v0 = 6×108 cm/s (voir annexe A.3 pour la définition
de M et v0 ), T0 ' 3×105 K (30 eV) respectivement pour la masse, la vitesse et
la température des éjectas et ρmis = 10−24 g/cm3 (1 part/cm3 ), valeur typique
pour la densité du milieu interstellaire. À l’aide de ces quantités typiques, il est
possible d’estimer la décélération g des éjectas ainsi que At (le nombre d’Atwood)
en fonction du rayon des éjectas de la supernova (annexe A.3).
Lorsque le rayon des restes de la supernova (RSN) est de r = rs /2, on estime
le temps d’expansion à t = 0,56 ts (voir l’annexe A.3 pour la définition de rs
et ts ) et on obtient : At = 0,78 et g = 10−2 cm/s2 où rs = 2×1019 cm soit
6,7 pc (1 pc ' 3×1018 cm) et ts = 950 ans. On trouve alors une longueur critique
hc donnée par (4.53) de 1016 cm soit rs /2000. Donc, seules les perturbations de
petites échelles, λ < hc , peuvent être considérées comme incompressibles. Pour
une perturbation de longueur d’onde λ > hc , les effets de compressibilité sur le
taux de croissance de l’IRT sont importants. Par exemple, pour une perturbation
de longueur d’onde λ = r/50 soit 2×1017 cm, on a ωc t = 1,8 et ωis t = 1,1,
après application des relations données dans le tableau 4.1. Il ressort donc que la
compressibilité domine l’excitation de l’IRT.
Nous voyons que l’IRT peut être excitée lors de l’expansion de jeunes restes de
supernovae et dans cette phase la masse balayée par les éjectas est encore faible
devant leur propre masse. On vient de monter que l’instabilité de l’interface entre
les restes de la supernova et le milieu interstellaire est dominée par les effets de
compressibilité, même si la stratification peut avoir une contribution lorsque la
densité du milieu interstellaire et celle des éjectas sont inhomogènes. Dans ce régime, le temps de croissance de l’IRT est comparable avec le temps caractéristique
IV. Instabilité de Rayleigh-Taylor stationnaire : Effets de compressibilité
92
de l’évolution des éjectas. Une analyse plus fine serait de considérer le développement instationnaire de l’IRT (voir les chapitres V et IV).
CHAPITRE V
Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire :
Expansion d’une coquille
5.1
Introduction
Comme nous l’avons déjà souligné dans les chapitres I et III, l’instabilité de
Rayleigh-Taylor (IRT) est omniprésente dans l’évolution des supernovae depuis
l’explosion de l’astre jusqu’à l’expansion de ses restes.
Bien que l’IRT soit étudiée depuis longtemps, avec les premiers travaux de Lord
Rayleigh [10] et de Sir G. Taylor [113], seulement un nombre limité de solutions
analytiques exactes existent dans le cas instationnaire, c’est à dire, lorsque l’état
que l’on perturbe évolue avec le temps. Cependant, l’IRT appliquée à l’évolution
des restes de SN a été examinée, par exemple, par Bernstein et Book [17], Jun [21],
Blondin et al. [79], par Bucciantini et al. [22], etc... dans le cadre de l’évolution des
plérions (voir chapitre II). Par ailleurs, une étude approfondie du développement
de l’IRT a été réalisée par Blondin et Ellison [9] et Chevalier et Blondin [56],
lors de la phase de ralentissement d’une fine coquille (provenant d’un reste sans
étoile à neutrons) en interaction avec le milieu interstellaire. Dans le contexte de
la Fusion par Confinement Inertiel (FCI), l’IRT est étudiée lors de l’implosion de
cibles laser [18, 121, 141, 142]. Dans ces deux domaines (astrophysique et FCI), les
instabilités hydrodynamiques se développent en géométrie sphérique. Bien que les
échelles spatiales et temporelles ainsi que la vitesse et l’accélération de la coquille
(ou éjectas pour les RSN) soient différentes, le développement de l’IRT de ces deux
domaines sont comparables ([26, 94] et voir chapitres II et VII).
Tout comme pour l’étude des SN et RSN, celle pour la FCI souffre de limitations. Les études effectuées, par exemple, par Hattori et al. [18] se limitent à la
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
94
phase de stagnation de la coquille et supposent un profil de densité homogène. Pour
les RSN, Bernstein et Book [17] ont analysé l’IRT d’une coquille en expansion. Ils
proposent une solution exacte pour tous les temps lors d’une évolution isentropique et pour γ quelconque. Cependant, leur formalisme nous semble abstrait et
complexe et l’analyse physique qu’ils proposent est peu développée. Malgré tout,
avec cette méthode, ils analysent le comportement asymptotique de la perturbation et trouvent que l’IRT ne se développe que pour les modes incompressibles.
Nous expliquerons plus loin ce résultat.
Dans [19] l’étude de l’IRT est effectuée en géométrie cylindrique pour un milieu isotherme mais elle n’est pas effectuée dans un cadre astrophysique. L’étude
effectuée par Blondin et al. [79] se rapporte à l’astrophysique et le pulsar est pris
en compte, mais ils ne considèrent que le développement des instabilités dans une
phase tardive de l’évolution des restes de SN (∼ 104 ans). À cette période, les
éjectas soufflés par le vent du pulsar sont fortement décélérés par le milieu interstellaire ce qui engendre un choc en retour qui interagit avec le vent du pulsar. On
peut consulter aussi la référence [143] qui traite du même problème. Cependant,
l’IRT peut se développer beaucoup plus tôt (∼ 1000 ans) lors de l’interaction du
vent du pulsar avec les éjectas qui sont en expansion libre [21, 22, 82] (voir la
nébuleuse du Crabe [5]).
Dans ce cadre, l’étude réalisée par Bucciantini et al. [22] prend, en plus, en
compte l’effet du champ magnétique sur le développement de l’IRT. Les auteurs
réalisent des simulations 2D et étudient l’effet stabilisant du champ magnétique
de façon numérique mais pour des problèmes de stabilité de schéma, ils doivent
prendre une constante polytropique égale à 4/3 aussi bien dans le vent du pulsar
que dans les éjectas. De plus, dans leurs simulations ils ne considèrent pas l’effet
de la décroissance temporelle de la luminosité du pulsar. Dans son étude [21], Jun
ne prend pas de champ magnétique, mais il montre que l’IRT peut se produire à
trois instants distincts lors de l’interaction vent du pulsar/éjecta de la supernova.
Néanmoins, son travail numérique est réalisé pour une constante polytropique qui
vaut partout 5/3 avec un pulsar dont la luminosité est constante.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
95
L’objectif de ce chapitre est de fournir une analyse hydrodynamique complète
de l’IRT pour une coquille en expansion (ou en compression) instationnaire en
géométrie sphérique. Pour une coquille dont γ = 5/3, nous obtenons une solution
exacte pour tout temps et pour tous les modes (incompressibles et compressibles)
en tenant compte aussi de la vitesse initiale de la coquille. Bien que la solution
formelle soit la même que celle de Bernstein et Book [17], notre approche donne la
possibilité d’identifier les processus physiques et de mieux les interpréter. En particulier, la séparation des modes compressibles et incompressibles est démontrée
explicitement. Cette propriété est la conséquence directe du fait que le nombre
d’Atwood soit égal à un. De plus, l’expression de l’accélération instantanée de
la face interne de la coquille (par intégration locale du taux de croissance) nous
permet de donner rapidement une approximation du taux de croissance de l’instabilité qui est en accord avec la solution exacte. À la différence de Bernstein
et Book [17], nous utiliserons une autre méthode de changement de repère pour
résoudre le problème. Par ailleurs, de la même manière que Bernstein et Book [17],
nous insisterons sur l’évolution spatiale et temporelle de l’IRT, en tenant compte
de toutes les perturbations possibles, compressibles et incompressibles. Cependant,
en plus, nous sommes capables de déduire une relation de dispersion valide à tout
instant. Finalement, nous avons étudié un critère de fragmentation de la coquille
formée par les éjectas lors de leur compression et expansion sous l’influence du
vent du pulsar.
Dans notre étude, nous préférons négliger le champ magnétique et le refroidissement radiatif pour pousser le plus loin possible l’approche analytique. En ce qui
concerne le refroidissement, on sait que son effet va être de densifier la coquille
d’éjectas choquée par le vent du pulsar. Le second effet apparaı̂t lors de la phase
d’existence de l’IRT et des doigts de matière plus longs et plus fins peuvent être
crées [140].
À propos du champ magnétique, l’affaire semble moins cruciale. En effet, il a
été montré récemment [82, 143] que l’évolution de la discontinuité de contact entre
le vent et le RSN est pratiquement indépendante de la magnétisation de la bulle
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
96
(autour du pulsar), si l’on considère que l’énergie totale (somme de l’énergie des
particules et de l’énergie magnétique) reste la même d’un cas à l’autre. Cependant,
il est clair que la structure interne de la bulle va dépendre du champ magnétique
~ , mais comme nous n’étudions pas cet aspect, on peut ne pas prendre en compte
B
~ Cette démarche est justifiée à posteriori dans le chapitre VI, où nous montreB.
rons que pour les modes que nous considérons, le champ magnétique et l’effet du
transport radiatif peuvent être négligés. Cependant dans certaines phases d’évolutions des plérions, ces effets pourront être intégrés dans une étude ultérieure en
se basant sur des travaux existants [144, 145] ou en cours [146] afin d’avoir une
description plus affinée de la filamentation qui se forme dans certaine nébuleuse
comme celle du Crabe.
De plus, nous verrons ultérieurement dans le chapitre VII, que dans notre modèle, la luminosité L du pulsar, varie avec le temps [L(t) ∝ t−3 ]. Ce comportement
est plus réaliste que dans les modèles de Jun [21] ou de Bucciantini et al. [143] où
dans leurs études numériques, ils prennent L(t) = L0 où L0 est une constante. En
effet, nous montrons que la luminosité de la forme L(t) ∝ t−µ pour 2 ≤ µ ≤ 3 reproduit convenablement certaines données observationnelles utilisées dans Blondin
et al. [79], ainsi que celles reprises par Chevalier [80].
Dans ce chapitre, la section 5.2 présente les équations de bases dans le repère
co-mouvant de la coquille en expansion. Ce changement de coordonnées permet
de trouver une solution statique dans ce repère co-mouvant et d’obtenir une solution analytique pour un gaz polytropique γ = 5/3. Naturellement, dans l’espace
physique initial (~r, t) non co-mouvant, cette solution est instationnaire. Elle est
présentée dans la section 5.3 et nous y décrivons aussi la géométrie et nous discutons des paramètres pertinents pour l’interaction entre le vent du pulsar et les
éjectas. Une analyse de stabilité est effectuée dans le repère co-mouvant et nous
trouvons une relation de dispersion qui est donnée dans la section 5.4. Le paragraphe 5.5 traite de l’étude numérique de cette équation de dispersion et la nature
de la solution instable est discutée en détail dans la section 5.6. Une étude qualitative de l’IRT est effectuée dans la section 5.7. L’étude de l’évolution temporelle de
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
97
la surface interne et externe de la coquille est analysée dans la section 5.8. Enfin,
une conclusion est donnée dans la section 5.9.
5.2
Transformation de coordonnées
Nous allons considérer l’évolution spatio-temporelle de la coquille en expansion
adiabatique sous la pression du pulsar central. Comme dans les modèles d’évolution
des plérions présentés dans la littérature, nous négligeons le champ de gravitation
du pulsar [21, 79]. Le calcul de cette accélération gravitationnelle à une distance
de r = 0,2 pc (voir [21] ou le chapitre VI pour le choix de cette distance), donne
la valeur G M/r2 ∼ 5×10−10 cm/s2 (où M est la masse du pulsar qui est de
l’ordre d’une masse solaire) fortement inférieure à l’accélération produite par le
vent du pulsar qui est environ 6×106 fois plus grande puisqu’elle est estimée à
3×10−3 cm/s2 [5]. Notre modèle est constitué de l’équation de continuité et de
l’équation d’Euler pour un gaz de densité ρ et de vitesse ~v :
~ ~r · (ρ~v ) = 0,
∂t ρ + ∇
(5.1)
~ ~r p,
~ ~r )~v = − 1 ∇
∂t~v + (~v · ∇
ρ
(5.2)
avec une équation d’état polytropique :
p = K ργ ,
(5.3)
où les indices “t” et “~r” correspondent aux dérivées partielles par rapport au temps
et par rapport à l’espace ~r(r, θ, φ). On peut écrire les opérateurs différentiels en
coordonnées sphériques (r, θ, φ) comme :
~ ~r · (ρ~v ) = 1 ∂r (r2 ρvr ) + 1 ∂θ (sin θρvθ ) + 1 ∂φ (ρvφ ),
∇
(5.4)
r2
r sin θ
r sin θ
1
~ ~r p = {∂r p, 1 ∂θ p,
∇
∂φ p},
(5.5)
r
r sin θ
~ ~r )vr = vr ∂r vr + vθ ∂θ vr + vφ ∂φ vr − 1 (v 2 + v 2 ),
(~v · ∇
(5.6)
φ
r
r sin θ
r θ
~ ~r )vθ = vr ∂r vθ + vθ ∂θ vθ + vφ ∂φ vθ + 1 (vr vθ − cot θ v 2 ), (5.7)
(~v · ∇
φ
r
r sin θ
r
~ ~r )vφ = vr ∂r vφ + vθ ∂θ vφ + vφ ∂φ vφ + 1 (vr vφ + cot θ vθ vφ ), (5.8)
(~v · ∇
r
r sin θ
r
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
98
où vr , vθ et vφ sont respectivement la composante radiale, azimutale et tangentielle
de la vitesse ~v . Même pour un écoulement radial, ce système d’équations est difficile
à résoudre car l’évolution du fluide est instationnaire.
Nous allons résoudre les équations (5.1) et (5.2) par l’utilisation d’une transformation temporelle initialement introduite par Munier et Feix [20] et plus tard par
Bouquet et al. [147, 148], appelée “zooming coordinates” [149, 150, 151] dans les
articles relatifs à l’astrophysique. Cette transformation spécifique de coordonnées
permet de passer du repère du laboratoire au repère co-mouvant. Ce nouvel espace
est labélisé avec le symbole chapeau et est défini par les relations suivantes :
r = C(t) r̂,
θ = θ̂,
φ = φ̂,
ρ = D(t) ρ̂,
p = B(t) p̂,
dt = A2 (t) dt̂,
(5.9)
(5.10)
où A, B, C, D sont les fonctions d’échelle dépendantes du temps t ; ρ̂ et p̂ sont la
densité et la pression dans le repère co-mouvant (r̂, θ̂, φ̂, t̂). La vitesse ~vˆ dans le
nouveau repère est donnée par la définition classique :
~v̂ ≡ d~r̂/dt̂.
(5.11)
D’après les équations (5.9) et (5.11), la vitesse se transforme alors comme :
~v =
Cˆ
~v + Ċ ~rˆ,
A2
(5.12)
où le point signifie la dérivée par rapport au temps t. On remarque que contrairement aux grandeurs physiques p et ρ qui sont reliées à p̂ et ρ̂ par une simple
loi de proportionnalité [Éqs. (5.10)], la relation entre ~v et ~vˆ est plus complexe car
ˆ Enfin, nous avons
elle fait apparaı̂tre un terme de translation proportionnel à ~r.
introduit une fonction A(t) élevée au carré pour la relation entre les intervalles
de temps dt et dt̂. Cette formulation permet de travailler avec des temps t et t̂
qui s’écoulent dans le même sens. Cependant, comme la fonction A dépend explicitement du temps, il est clair que la relation entre t̂ et t (qui s’obtient par la
R
quadrature t̂ = [A(t)]−2 dt) peut être hautement non-linéaire. Nous le verrons par
la suite, mais pour simplifier, nous prendrons des origines des temps identiques,
c’est à dire qu’à t = 0 correspond t̂ = 0, dans tous les cas.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
99
Ces deux repères coı̈ncident à t = t̂ = 0, c’est à dire que nous choisissons les
fonctions A, B, C et D telles qu’à t = 0, nous ayons : A(0) = B(0) = C(0) =
D(0) = 1. Par ailleurs, compte-tenu des équations (5.3) et (5.10), dans le nouveau
repère l’équation d’état s’écrit :
p̂ = (Dγ /B)K ρ̂γ ,
(5.13)
et les équations (5.1) et (5.2) deviennent :
~ ˆ · (ρ̂~vˆ) = −Ω1 ρ̂,
∂t̂ ρ̂ + ∇
~
r
~ ˆ)~vˆ = − N ∇
~ ˆ p̂ − Ω2~vˆ − 1 ~rˆ,
∂t̂~vˆ + (~vˆ · ∇
~
r
ρ̂ ~r
τ2
où les quantités Ω1 , N, Ω2 et τ sont données par :
Ã
!
Ã
!
Ċ Ḋ
Ċ Ȧ
BA4
2
2
Ω1 = A 3 +
, N = 2 , Ω2 = 2A
−
,
C D
C D
C A
(5.14)
(5.15)
C̈A4
1
=
. (5.16)
τ2
C
Ces quantités ne s’expriment qu’à l’aide des fonctions d’échelle et de leurs
dérivées par rapport au temps. Nous allons discuter leurs dimensions un peu plus
loin.
La raison pour laquelle les équations (5.14) et (5.15) contiennent des termes
supplémentaires contenant ces quantités, est liée à la nature non inertielle du
repère co-mobile. En conséquence, des forces supplémentaires (−Ω2~vˆ et −~rˆ/τ 2 )
apparaissent dans l’équation du mouvement, en même temps que le coefficient
multiplicatif N , devant le gradient de pression.
À propos de l’équation de continuité (5.14), le membre de droite de l’équation,
−Ω1 ρ̂, peut simplement s’interpréter comme un terme source (ou un puits, selon
le signe de Ω1 ) de matière.
Si l’on compare le premier terme du membre de gauche de (5.14) avec le membre
de droite, il ressort immédiatement que la dimension de Ω1 est celle de l’inverse
d’un temps. En procédant de même avec l’équation (5.15), on trouve que Ω2 possède la même dimension que Ω1 , tandis que τ est homogène à un temps et N est
une quantité sans dimension (nombre pure).
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
100
Nous allons montrer que les fonctions d’échelle A, B, C, D peuvent être déduites par des considérations d’invariance et de lois de conservation.
Dans un premier temps, nous allons imposer une condition d’invariance de
l’équation d’état lors de la transformation d’échelle. Nous allons demander l’invariance de l’équation (5.3), c’est à dire que l’équation (5.13) va être strictement
identique à l’équation (5.3). Dans ces conditions, il faut prendre Dγ /B = 1 soit :
B = Dγ .
(5.17)
En d’autre termes, l’écoulement conserve les mêmes propriétés thermodynamiques dans le nouvel espace (co-mouvant) par rapport à l’espace initial (~r, t).
C’est la première contrainte sur les fonctions d’échelle.
Deuxièmement, on demande les mêmes propriétés vis-à-vis des équations de
continuité (5.1) et (5.14). Dans ces conditions, il faut prendre Ω1 = 0 et on obtient :
D = 1/C 3 .
(5.18)
Cela signifie que la masse totale de la configuration est la même que nous
soyons dans un espace ou dans l’autre. De plus, il est clair que cette masse est
conservée au cours du temps dans chaque espace puisque le terme source, −Ω1 ρ̂ a
disparu dans (5.14) [dans l’équation (5.1), il n’y avait pas de terme source dès le
départ].
Par ailleurs, dans le premier terme membre de droite de l’équation (5.15), on
souhaite garder invariante la force due au gradient de pression. Ceci donne N = 1,
soit :
BA4
= 1.
C 2D
(5.19)
En combinant les trois relations (5.17), (5.18) et (5.19), on a [152] :
A = C (3γ−1)/4 ,
B = C −3γ ,
D = C −3 .
(5.20)
À ce stade, nous avons trouvé des expressions pour les trois fonctions d’échelle
A, B, et D en terme de l’unique fonction C(t). On rappelle qu’elle donne la relation entre les coordonnées radiales r et r̂. Cependant, nous avons à satisfaire
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
101
deux conditions supplémentaires. Elles concernent toutes les deux l’équation du
mouvement. Il s’agit du terme −Ω2~vˆ qui est proportionnel mais de signe opposé
à une vitesse et peut donc être interprété comme une friction. Puis, il s’agit du
terme −(1/τ 2 )~rˆ qui est proportionnel à la position radiale et peut être vu comme
une force de rappel puisqu’il comporte un signe négatif.
Avec les relations (5.20), les coefficient Ω2 et τ 2 s’écrivent respectivement :
Ω2 = [(3 γ − 5)/2] Ċ C 3(γ−1)/2 ,
(5.21)
τ −2 = C̈ C 3γ−2 .
(5.22)
Nous passons maintenant à d’autres considérations. Il est clair que dans l’espace
initial, nous avons un écoulement instationnaire (expansion de RSN). Cependant,
comme la relation (5.12) entre ~v (~r, t) et ~vˆ(~rˆ, t) contient un terme de “shift”, à
savoir Ċ(t)~rˆ, il est tout à fait réalisable de chercher un écoulement stationnaire
(∂/∂ t̂ ≡ 0), voire statique (d/dt̂ = 0) dans l’espace co-mouvant sans pour autant
remettre en cause la possibilité d’obtenir un écoulement variable avec l’espace
et le temps dans le “repère” initial (~r, t). C’est cette approche que nous allons
choisir. À cet effet, il faut éliminer tout coefficient pouvant dépendre explicitement
du temps dans les équations redimensionnées (5.13), (5.14) et (5.15) et avoir de
nouvelles équations dont la structure permet de trouver des états d’équilibre. Pour
la première équation, ceci a déjà été réalisé (5.17) et pour (5.14), la propriété est
vérifiée grâce à l’équation (5.18). Puis enfin, nous avons satisfait N = 1 à travers
la relation (5.19).
Il reste maintenant à demander que les quantités Ω2 et τ données respectivement par (5.21) et (5.22) soient constantes et/ou nulles. Cette condition va faire
apparaı̂tre deux contraintes, l’une sur la constante polytropique γ, l’autre sur la
fonction d’échelle C(t).
Une étude des équations (5.21) et (5.22) montre que la seule façon de satisfaire
cette contrainte est de poser Ω2 = 0 en choisissant une constante polytropique
γ = 5/3, correspondant à un gaz parfait mono-atomique. Dans ces conditions, la
force de friction disparaı̂t dans l’équation (5.15). Ensuite, lorsqu’on injecte γ = 5/3
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
102
dans (5.22), l’équation devient :
C̈ C 3 =
1
,
τ2
(5.23)
qui peut être interprétée comme une équation différentielle ordinaire du second
ordre pour la fonction d’échelle C(t).
En prenant le paramètre τ constant, l’équation (5.23) prend sa forme la plus
simple et elle peut être intégrée analytiquement. La solution générale est :
sµ
¶2
βt
t2
1+
+ 2,
C(t) =
(5.24)
τ
τ
avec C(0) = 1 et où le paramètre β est une constante d’intégration arbitraire reliée
à Ċ(0) par β ≡ τ Ċ(0). D’après l’équation (5.12), il est clair que ce paramètre va
être relié à la valeur initiale (t = 0) du champ de vitesse ~v (~r, 0). Nous y reviendrons
plus loin.
Il ressort que la solution (5.24) est pertinente pour décrire l’évolution d’une
large classe d’objets astronomiques [17, 84]. Par exemple dans [17] les auteurs
p
utilisent une fonction C(t) de la forme 1 + (t/τ )2 , et dans [84], C(t) est une
puissance de t soit t6/5 . Enfin, dans les simulations numériques effectuées par
Jun [21], C(t) est donnée par A ta où a est un exposant supérieur à un. La prise
en compte de la vitesse initiale de la coquille par le paramètre β dans la fonction
C(t), généralise celle trouvée antérieurement par Bernstein et Book [17] [si on pose
β = 0 dans l’équation (5.24)]. Ce paramètre nous permet de considérer une classe
plus générale de RSN. Il pourrait être absorbé par une translation dans le temps,
mais le temps caractéristique τ serait alors changé et il ne décrirait plus le même
objet (la nouvelle expression de τ dépend, en effet, de β et de t0 , la nouvelle origine
des temps).
Ensuite, une fois C(t) déterminée, les fonctions A(t), B(t) et D(t) sont déduites des relations (5.20). À ce stade, toutes les données du “rescaling” (lien entre
l’initial et le nouveau référentiel) sont obtenues et nous allons montrer que cette
approche permet une étude analytique complète du développement de l’IRT en
régime instationnaire.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
103
Pour une constante polytropique γ 6= 5/3, la fonction d’échelle C est encore définie par l’équation (5.22), mais la quantité Ω2 n’est plus nulle. Elle devient même
une fonction du temps selon la forme donnée par (5.21). Dans ces conditions, il
devient nécessaire de prendre en compte une force de friction dans l’équation du
mouvement (5.15) écrite dans le repère co-mouvant. Cependant, cette approche
n’est pas très fructueuse puisqu’un terme dépendant explicitement du temps apparaı̂t lors du changement d’échelle et le problème devient bien plus complexe
dans l’espace (r̂, t̂) que dans l’espace initial. Ce résultat est clairement en opposition avec l’esprit initial de la méthode, qui consiste à essayer de rendre le plus
simple possible un problème complexe.
5.3
5.3.1
Solution de l’écoulement non perturbé
Sphère pleine
Nous avons vu qu’avec le choix γ = 5/3, tous les coefficients dans les équations
d’évolution du système redimensionné [Éqs. (5.13) à (5.15)] sont constants. Il est
intéressant de constater combien la physique et les mathématiques se plaisent à se
combiner pour aller dans le même sens qui est celui de la simplification. En effet,
du point de vue de la physique, γ = 5/3 représente le gaz parfait le plus simple
(gaz mono-atomique) mais, en même temps, il correspond à des situations astrophysiques pertinentes ainsi que nous l’avons vu dans les chapitres précédents. Du
point de vue des mathématiques, cette valeur de γ produit de nouvelles équations,
dans l’espace co-mouvant, qui sont les plus simples possibles, même si l’équation
du mouvement redimensionnée contient un terme supplémentaire, à savoir la force
proportionnelle à ~rˆ [dernier terme dans l’équation (5.15)].
Il ne faut pas voir ce terme comme un inconvénient, mais au contraire comme
un avantage. En effet, dans le membre de droite de (5.15), nous avons maintenant
deux termes puisque la force de friction a disparu. Il faut noter que dans l’équation du mouvement initial (5.2), le membre de droite ne contient qu’une seule force
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
104
(le gradient de pression). Le fait que nous ayons deux forces dans l’espace redimensionné va nous permettre de trouver des solutions particulières très simples
dans cet espace. La solution la plus simple correspond, par exemple, à imposer un
équilibre avec la condition :
1~
1 ˆ
− ∇
r = 0.
~
rˆ p̂ − 2 ~
ρ̂
τ
(5.25)
Cet équilibre se traduit simultanément par :
~vˆ(~rˆ, t̂) = 0,
∀~rˆ, ∀t̂,
(5.26)
et l’équation de continuité redimensionnée (5.14) est identiquement satisfaite puisque
dans le cas d’un équilibre dans l’espace co-mouvant, toutes les grandeurs redimensionnées sont indépendantes du temps t̂, soit :
∂t̂ ≡ d/dt̂ = 0.
(5.27)
Enfin, le lien entre p̂(~rˆ) et ρ̂(~rˆ) se fait par l’équation polytropique :
p̂ = K ρ̂5/3
(5.28)
qui provient de (5.13).
Ce type de simplification est rendu possible par le fait que la relation entre ~v
et ~vˆ n’est pas une simple loi de proportionnalité. En effet, d’après (5.12), même si
on prend ~vˆ = 0, la vitesse dans l’espace physique initial est non nulle et est donnée
par ~v = Ċ ~rˆ, soit [en utilisant (5.9)] :
~v (~r, t) =
Ċ(t)
~r.
C(t)
(5.29)
Nous avons donc un écoulement homologue (v ∝ r) dans l’espace initial mais il
est complètement instationnaire à cause du coefficient Ċ/C. Nous allons voir ceci
plus en détail plus loin et pour cela, nous allons nous placer en symétrie purement
sphérique :
∂/∂θ = ∂/∂ θ̂ = 0,
(5.30)
∂/∂φ = ∂/∂ φ̂ = 0.
(5.31)
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
105
Cette procédure va nous procurer un écoulement sphérique uni-dimensionnel
instationnaire, et c’est celui dont nous allons étudier la stabilité au sens de RayleighTaylor. Cette approche est inhabituelle puisqu’ici, il s’agit d’un écoulement dépendant du temps qui va être examiné, alors qu’ordinairement, l’étude de l’IRT est
souvent menée autour d’un état d’équilibre dans l’espace usuel (~r, t). Il n’y a pas
d’écoulement de base, contrairement à la situation que nous allons étudier.
Pour trouver cet écoulement de base où la vitesse radiale est [voir Éq. (5.29)] :
v(r, t) =
Ċ(t)
r,
C(t)
(5.32)
il faut exhiber une solution statique à symétrie centrale à partir des équations (5.14)
et (5.15) dans le repère co-mouvant en posant ~vˆ(r̂, t̂) ≡ ~vˆ0 = 0, ρ̂(r̂, t̂) ≡ ρ̂0 (r̂),
et p̂(r̂, t̂) ≡ p̂0 (r̂). Alors, en utilisant les Éqs. (5.25) et (5.28), la solution s’écrit
(après avoir réalisé une intégration sur l’espace) :
K ρ̂γ0 (0)
µ
¶γ/(γ−1)
r̂2
1− 2
, (5.33)
r̂1
ρ̂0 (0) = [r̂12 (γ − 1)/2Kγτ 2 ]1/(γ−1) ,
(5.34)
µ
¶1/(γ−1)
r̂2
ρ̂0 (r̂) = ρ̂0 (0) 1 − 2
r̂1
et p̂0 (r̂) =
où la densité centrale s’exprime par :
dans laquelle il faut faire γ = 5/3 et où r̂1 est une constante d’intégration.
Pour que la quantité ρ̂0 (0) soit une grandeur réelle, on suppose que τ 2 > 0 et
les profils statiques de densité, ρ̂0 (r̂), et de pression, p̂0 (r̂), s’annulent à la surface
d’une sphère de rayon r̂1 . Cette constante d’intégration représente donc l’extension
spatiale (rayon) d’une sphère de gaz à l’équilibre hydrostatique dans le référentiel
co-mouvant.
De plus, comme à t = 0, on a C(0) = 1, la première équation du système (5.9)
signifie que r̂1 correspond au rayon initial r1 (t = 0), de la sphère gazeuse dont le
champ de vitesse initiale est donné par :
r
v(r, 0) = rĊ(0) = β ,
τ
0 ≤ r ≤ r1 (0).
(5.35)
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
106
Figure 5.1: Représentation de la fonction d’échelle C(t) [voir Éq. (5.24)] dans trois cas :
sans vitesse initiale, β = 0 (1), avec une vitesse initiale positive, β = 0,5 (2) et avec une
vitesse initiale négative, β = − 0,5 (3).
Pour obtenir cette égalité, nous avons utilisé l’équation (5.32) et l’expression
générale de C(t) donnée par (5.24). Il apparaı̂t clairement que le paramètre β
introduit dans la solution générale (5.24) pour C(t) est directement proportionnel
à la vitesse initiale du fluide.
Dans leur publication [17], Bernstein et Book limitent leur solution au cas
β = 0 et, par conséquent, ils décrivent l’évolution dans un RSN initialement au
repos. Notre étude est plus générale et la fonction d’échelle que nous avons est
plus riche.
La fonction C(t) [voir Éq. (5.24)] est tracée sur la figure 5.1 pour trois valeurs de
β. Dans les trois cas, C approche un comportement balistique [C(t) ∝ t] lorsque
t À τ , mais lorsque t < τ , il existe des comportements différents. Si la vitesse
initiale est positive ou nulle (β ≥ 0), C(t) est monotone et décrit un écoulement
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
107
toujours en expansion. Par contre, lorsque la vitesse initiale est négative, c’est à
dire, lorsque β < 0, alors il existe un rayon minimum, lequel correspond à une
stagnation pour le temps : tr = τ |β|/(β 2 + 1), suivie d’une phase d’expansion.
Une fois la fonction C(t) complètement définie, nous avons A(t) = [C(t)](3γ−1)/4
= C(t) pour γ = 5/3 et l’intégration de la quatrième équation dans (5.9) fournit
une relation entre les deux temps t et t̂ :
t̂ = τ g(t) où g(t) = arctan[β + (β 2 + 1) t/τ ] − arctan β.
(5.36)
Sur la figure 5.2, est tracé la relation entre t̂ et t pour trois valeurs de β. Bien
que t varie entre zéro et l’infini dans le repère du laboratoire, t̂ a une excursion
limitée et varie entre [0, t̂max [ où la valeur supérieure t̂max dépend de β et est
donnée par :
t̂max = τ (π/2 − arctan β).
(5.37)
Il s’avère qu’à partir de l’équation (5.32), que la fonction C(t) caractérise l’accélération de la matière. En effet, en faisant la dérivée temporelle de v(t) lorsque
l’on suit la coquille, on obtient :
v̇ =
r
.
τ 2 C 3γ−1
(5.38)
En fait, précédemment nous avons annulé le terme de friction, Ω2~vˆ, en annulant
Ω2 . Mais, pour l’écoulement non perturbé étudié dans cette section, ce terme est
nul quelque soit Ω2 , car dans ce cas, ~vˆ = v~ˆ0 = 0. Par conséquent, la relation (5.38)
est valable quelque soit γ. En particulier, pour γ = 5/3 elle se réduit à :
v̇ =
r
τ 2C 4
.
(5.39)
On voit que pour les cas β ≥ 0 l’accélération diminue au cours du temps
comme C(t) croit de façon monotone. Par contre, pour β < 0, l’accélération est
maximale au moment du rebond, ensuite la coquille entre dans la phase d’expansion (Fig. 5.1).
Pour γ = 5/3, on peut obtenir aussi les fonctions d’échelle B(t) et D(t) à
partir des équations (5.20). Il s’ensuit B = C −5 et D = C −3 . En conséquence,
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
108
Figure 5.2: Relation entre les temps t et t̂ [voir Éq. (5.36)] entre le repère co-mouvant
et le repère du laboratoire, pour β = 0 (1), 0,5 (2), et −0,5 (3).
la solution non-stationnaire dans le repère du laboratoire peut être déduite [voir
Éqs. (5.9), (5.10) et (5.12)] et on obtient :
µ
−3
ρ(r, t) = ρ̂0 (0) C
1−
µ
r2
C(t)2 r̂12
¶3/2
r2
p(r, t) = K
1−
C(t)2 r̂12
µ
¶
r
t
2
vr (r, t) = 2
β + (β + 1)
.
C τ
τ
5/3
ρ̂0 (0) C −5
,
(5.40)
¶5/2
,
(5.41)
(5.42)
L’indice “r” pour la vitesse indique que celle-ci est purement radiale. Cette
solution décrit l’expansion d’une bulle de fluide, dont la densité et la pression
décroissent avec le rayon. De plus, comme le fluide est compressible, la divergence
de la vitesse de l’écoulement de base est non nulle et s’exprime par :
div ~v =
3
3Ċ
(β + t/τ )
=
.
C
τ [(1 + βt/τ )2 + t2 /τ 2 ]
(5.43)
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
109
Elle décroı̂t avec le temps comme 3/t lorsque t tend vers l’infini, autrement dit le
volume de la coquille croı̂t avec le temps. De plus, la vitesse croı̂t linéairement avec
l’espace [voir l’Éq. (5.42)] dans la coquille. Cette solution peut être obtenue par une
approche différente en imposant initialement un profil de vitesse vr ∝ r [55, 153].
Cependant, la méthode que nous utilisons est plus rigoureuse puisque ce type
de profil initial n’a pas été supposé dès le début, mais déduit. De la même façon,
comme nous allons le voir, elle est plus efficace pour effectuer l’analyse perturbative
qui va suivre.
5.3.2
Coquille
À partir de la solution hydrodynamique pour une sphère ou une bulle [Éqs. (5.40)
à (5.42)] décrite ci-dessus, on peut construire un modèle de reste de supernova soufflé par le vent d’un pulsar. Pour cela, nous “évidons” la partie interne de la bulle
à l’intérieur d’un rayon r̂0 < r̂1 dans le repère co-mouvant. Que ce soit dans le
repère co-mouvant ou dans le repère initial, nous avons une sphère creuse ou plus
exactement une coquille. La pression du fluide supprimé est remplacée par une
pression radiative attribuée au vent du pulsar (voir le chapitre VI). La solution
correspondant à l’expansion d’une coquille dans le repère du laboratoire, est représentée sur la figure 5.5. Les rayons interne r0 et externe r1 de la coquille à l’instant
t sont donnés par r0,1 (t) = C(t) r̂0,1 . Rappelons que les quantités r̂0 et r̂1 sont
fixes (statiques). Elles correspondent, en fait aux valeurs respectives de r0 (t) et de
r1 (t) prises à t = 0. Puisque la densité du vent est très inférieure à la densité de
la coquille, dans notre analyse nous la négligeons, ce cas correspond à un nombre
d’Atwood, At = 1 pour l’IRT.
Les profils de densité, de pression et de vitesse dans la coquille découlent directement des équations (5.40)–(5.42). Ils sont tracés sur la figure 5.3. L’épaisseur
L de la coquille croı̂t comme L = C L0 où L0 = r̂1 − r̂0 est l’épaisseur initiale et
la coquille s’étend dans le vide tout en conservant sa masse. La loi de pression sur
la surface interne [r = r0 (t)] de la coquille donne la pression produite directement
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
110
p(r,t)
ρ(r,t)
1 (0)
1(0)
v(r,t)
r
Pr 0
1 (0)
Figure 5.3: Profils de densité (a), de pression (b) de vitesse (c) en fonction du rayon,
dans le repère du laboratoire pour t = 0 (trait plein), t = 0, 5 τ (tirets), et t = τ
(pointillés). Notons qu’à t = 0, le profil de vitesse est confondu avec l’axe horizontal.
La figure (d) correspond au tracé de la pression du pulsar pr0 (t) sur la face interne de
la coquille en fonction du temps. Les paramètres initiaux sont : β = 0 (vitesse initiale
nulle) et r̂0 = 0,2 r̂1 . La vitesse est normalisée par r̂1 /τ , la densité par la densité centrale
ρ̂0 (0) et la pression par K ρ̂0 (0)5/3 .
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
par le vent du pulsar :
pr0 (t) = K
5/3
ρ̂0 (0) [C(t)]−5
µ
¶5/2
r02
1− 2
.
r1
111
(5.44)
La figure 5.3(d) montre l’évolution temporelle de cette pression. En particulier,
lorsque t À τ la pression décroı̂t comme pr0 ∝ t−5 . Cette dépendance temporelle
peut être reliée à la luminosité du pulsar L(t) ∝ −dt (pr0 V ), où V est le volume à
l’intérieur de la coquille formée par les éjectas. Puisque le volume croı̂t comme C 3
et que la pression décroı̂t comme C −5 , la dérivée du produit varie comme Ċ/C 3 .
Donc, asymptotiquement pour t À τ , on trouve que L(t) ∝ t−3 . Cette dépendance
temporelle est en accord avec le modèle classique de la luminosité des pulsars.
Comme le montrent Blondin et al. [79], pour t À τ la luminosité du pulsar décroı̂t
comme t−µ où 2 < µ < 3 (l’incertitude sur µ dépend des caractéristiques du pulsar)
et τ est le temps caractéristique de durée de vie du pulsar [154] – voir le chapitre
VI. Donc, la loi de pression définie par notre solution analytique (5.44) peut être
considérée comme appropriée pour décrire la pression du milieu relativiste créé par
un pulsar dont la rotation décroı̂t par émission d’un vent de particules relativistes
et de rayonnement [22, 79].
Il est important de remarquer que dans notre modèle, la luminosité du pulsar décroı̂t temporellement. Ce modèle est plus proche de la nature de l’objet
astrophysique étudié, tandis que dans la littérature, le plus souvent, cette luminosité est considérée comme constante dans certaines simulations numériques récentes [21, 22]. Cet effet de diminution de luminosité a une incidence directe sur
l’accélération de la coquille donc sur le taux de croissance de l’IRT. En effet, à
cause de la décroissance de la luminosité du pulsar (voir chapitre VI), l’accélération sur la face interne de la coquille va tendre vers zéro et, en conséquence, la
croissance des perturbations de l’IRT ne va pas être soutenue comme dans le cas
où la luminosité est prise constante. Par ailleurs l’expansion va devenir linéaire en
temps (c’est d’ailleurs ce que l’on obtient). Bien que ce point soit souligné, par
exemple dans [143], il n’est pas pour autant pris en compte.
De plus, l’accélération produite par la poussée du vent du pulsar sur la face
interne vaut w0 (t) = [1/C(t)]3 (r̂0 /τ 2 ), d’après l’équation (5.38) avec r = C r̂0 et
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
112
γ = 5/3 (où r̂0 et τ sont respectivement le rayon interne initial de la coquille
et τ le temps caractéristique d’expansion). Si l’on considère l’action de champ
gravitationnel wg (t) du pulsar central sur la face interne, il est de la forme : wg (t) =
[1/C(t)]2 [G Mp /r̂02 ] (G est la constante de gravitation et Mp la masse du pulsar
d’environ une masse solaire). On remarque que w0 (t) décroı̂t asymptotiquement
en t−3 tandis que wg (t) varie t−2 . Le champ de gravitation du pulsar au niveau
de la face interne décroı̂t le moins vite et il est légitime d’estimer le temps tc
à partir duquel la gravitation l’emporte. Cette quantité est donnée par l’égalité
w0 (tc ) = wg (tc ), on trouve tc ∼ 3×109 ans (r0 = 0,2 pc et τ ∼ 200 ans). Donc
ce temps est largement plus grand que le temps caractéristique d’évolution du
pulsar, τ = 200 ans. En conséquence l’attraction gravitationnelle n’a, en principe,
pas le temps de ralentir l’expansion de la coquille, même si un “fallback” peut
arriver pour certains types de SN [82]. Néanmoins, dans notre cas il est légitime
de négliger le champ gravitationnel dans toute la phase d’évolution du plérion.
La distribution radiale de la vitesse de l’écoulement est aussi en accord avec
les observations astronomiques. En effet, le mouvement et la structure filamentaire de l’enveloppe de la nébuleuse du Crabe ont été notamment étudiés par
Trimble [24, 25]. Le mouvement des filaments est majoritairement radial et la
vitesse des filaments est essentiellement proportionnelle à la distance au centre,
v ∝ r. De plus, ces observations montrent que les filaments ont été accélérés. Ce
comportement peut être reproduit par le modèle analytique que nous proposons
en ajustant les paramètres β et τ (voir le chapitre VI).
5.4
Étude de stabilité de la coquille
Dans cette section, nous allons étudier la stabilité de la coquille en expansion
par le vent du pulsar. Cette configuration est instable au sens de Rayleigh-Taylor
car un fluide léger (radiation) pousse un fluide lourd (la coquille formée des restes
de la SN). Le cas considéré ici, si l’on se rapporte aux exemples du chapitre IV,
correspond au cas compressible avec un nombre d’Atwood, At = 1 et avec une
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
113
épaisseur de fluide finie. Ainsi que l’on peut le voir sur la figure 5.4, une petite
perturbation sur la face interne de la coquille peut croı̂tre durant la phase d’accélération de celle-ci et éventuellement la fragmenter (voir plus loin). Un autre
cas possible est éventuellement une déformation de la face externe de la coquille
synchronisée avec celle ayant lieu sur la face interne. C’est l’instabilité de coquille
fine étudiée par Vishniac et al. [155, 156, 157] mentionnée dans [22].
Supernova Ejecta
r1
r0
Pulsar
Figure 5.4: Représentation de la coquille en expansion sous l’effet de la pression du
vent du pulsar. À l’instant t la surface interne située est en r0 (t) = r̂0 C(t), et la surface
externe en r1 (t) = r̂1 C(t) où r̂0 et r̂1 correspondent respectivement aux rayons initiaux
pour l’intérieur et l’extérieur de la coquille. La surface interne de la coquille est accélérée
par le vent du pulsar et est instable au sens de Rayleigh-Taylor.
L’analyse de stabilité de la coquille dans le repère du laboratoire est compliquée car l’écoulement de base est instationnaire. La vitesse, la densité et la
pression varient en temps et en espace. Cette analyse est beaucoup plus simple
dans le repère co-mouvant car alors la coquille est au repos. Dans cet espace, nous
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
114
définissons alors toute perturbation, δ q̂, d’une quantité physique q̂ quelconque par
q̂(r̂, θ̂, φ̂, t̂) = q̂0 (r̂) + δ q̂(r̂, θ, φ, t̂) (on se souvient que θ et θ̂ ainsi que φ et φ̂ coı̈ncident exactement) et la perturbation de position de chacune des surfaces (interne
et externe) de la coquille par δr̂ = η̂(θ, φ, t̂) (voir plus loin). Puisque Ω1 = Ω2 = 0
et γ = 5/3, les équations du mouvement (5.14) et (5.15) linéarisées en trois dimensions, en coordonnées sphériques sont :
1
1
1
∂r̂ (r̂2 ρ̂0 δv̂r̂ ) +
∂θ (sin θρ̂0 δv̂θ ) +
∂φ (ρ̂0 δv̂φ ) = 0,(5.45)
2
r̂
r̂ sin θ
r̂ sin θ
ρ̂0 ∂t̂ δv̂r̂ = −∂r̂ δ p̂ − τ −2 r̂ δ ρ̂,
(5.46)
∂t̂ δ ρ̂ +
r̂ ρ̂0 ∂t̂ δv̂θ = −∂θ δ p̂
(5.47)
r̂ sin θ ρ̂0 ∂t̂ δv̂φ = −∂φ δ p̂,
(5.48)
où
2
δ p̂ = Cs0
(r̂)δ ρ̂,
(5.49)
2/3
2
avec, Cs0
(r̂) = (5/3)K ρ̂0 (r̂) ≡ (r̂12 − r̂2 )/3τ 2 , le carré de la vitesse du son locale
dans le système physique statique de l’espace co-mouvant. Elle correspond aussi à
la vitesse du son initiale (à t = 0) en tout point de la configuration dans l’espace
physique (r, t).
Dès lors, il est nécessaire de définir les conditions aux limites aux deux interfaces
r̂0 et r̂1 . Nous allons supposer que chacune des interfaces subissent la perturbation :
η̂i (θ, φ, t̂), i = 0, 1. Alors, on doit satisfaire la continuité de la pression et de la
vitesse radiale à chaque interface, r̂ = r̂i + η̂i (i = 0, 1). Ces conditions s’écrivent :
∂t̂ η̂i = δv̂r̂ (r̂i ),
η̂i ∂r̂ p̂0 (r̂i ) + δ p̂(r̂i ) = 0, i = 0, 1.
(5.50)
Elles sont similaires à celles de Bernstein et Book [17] et correspondent aux
perturbations incompressibles de la surface. C’est la conséquence directe du fait
que les deux faces de la coquille soient en contact avec le vide. Nous reviendrons
sur ce point au cours de ce chapitre et dans le chapitre VI.
En introduisant la perturbation relative de densité (contraste de densité) ²̂ =
δ ρ̂/ρ̂0 , on peut réduire le système des équations (5.45), (5.46), (5.47), et (5.48) à
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
une seule équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre :
µ 2
¶
2
2Cs0
7r̂
2r̂2
2 2
2
− 2 ∂r̂ ²̂ + 4 2 ²̂ +
∂t̂ ²̂ + 2 ²̂ = Cs0 ∂r̂ ²̂ +
τ
r̂
3τ
3τ Cs0
2
Cs0
[sin θ ∂θ (sin θ ∂θ ²̂) + ∂φ2 ²̂].
2
r̂ sin2 θ
115
(5.51)
Dans cette équation, si nous conservons seulement le premier terme du membre
de gauche et le premier terme du membre de droite, on obtient une équation
2 2
∂r̂ ²̂, correspondant à l’équation des
aux dérivées partielles très simple : ∂t̂2 ²̂ = Cs0
ondes sonores. Dans l’équation (5.51), beaucoup d’autres termes apparaissent et
proviennent des effets de la dynamique dans l’espace initial (~r, t). Cependant, on
s’attend à des comportements beaucoup plus complexes que ceux décrits par des
ondes sonores.
À l’aide des équations du mouvement (5.46)–(5.50) et de la relation existant
entre δ p̂ et δ ρ̂, les composantes du champ de vitesse perturbé peuvent s’exprimer
en fonction du contraste de densité :
2
∂t̂ δv̂r̂ = −Cs0
∂r̂ ²̂ +
2r̂
²̂,
3τ 2
(5.52)
2
r̂∂t̂ δv̂θ = −Cs0
∂θ ²̂,
(5.53)
2
r̂ sin θ∂t̂ δv̂φ = −Cs0
∂φ ²̂.
(5.54)
La dépendance angulaire des quantités perturbées peut être écrite en terme
d’harmoniques sphériques, Ylm (θ, φ) :
²̂(r̂, θ, φ, t̂) = ζ̂(r̂, t̂) Ylm (θ, φ),
(5.55)
η̂i (θ, φ, t̂) = κ̂i (t̂) Ylm (θ, φ), i = 0, 1 ,
(5.56)
où ζ̂(r̂, t̂) et κ̂i (i = 0, 1) sont trois fonctions que l’on déterminera plus tard, l et
m sont deux entiers avec l ≥ 0 et m ∈ [−l, l]. L’équation (5.51) se réduit alors à
une équation aux dérivées partielles par rapport à t̂ et r̂ pour la fonction ζ̂(r̂, t̂) :
µ
·
µ
¶
¶ ¸
2r̂2
2
7r̂
l(l + 1)
2
2
2
2
−
∂r̂ ζ̂ +
−
ζ̂ . (5.57)
∂t̂ ζ̂ + 2 ζ̂ = Cs0 ∂r̂ ζ̂ +
2 2
4
τ
r̂ 3Cs0
τ
3τ 4 Cs0
r̂2
C’est une équation linéaire dont tous les coefficients sont indépendants du
temps t̂. Il est donc possible de considérer une solution avec une dépendance temporelle exponentielle. On note ω la quantité sans dimension représentant la valeur
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
116
propre et S(r̂) la fonction propre et nous posons :
ζ̂(r̂, t̂) = (â0 /r̂1 )S(r̂) exp(ω t̂/τ )
(5.58)
κ̂i (t̂) = âi exp(ω t̂/τ ), i = 0, 1
(5.59)
et
où, âi est l’amplitude initiale de la perturbation en position de la face interne
(i = 0) et de la face externe (i = 1), et nous supposons que : âi ¿ r̂i . On remarque
que ζ̂ s’exprime en fonction de â0 et de r̂1 . Les quantités des faces interne et
externe apparaissent ensemble mais c’est parce que les longueurs sont normalisées
par rapport au rayon extérieur de la coquille. L’équation (5.57) devient alors sous
une forme adimensionnée une équation différentielle ordinaire :
µ
¶
d2 S
2
7R
dS
+
−
2
2
dR
R 1−R
dR
µ
¶
2
6(2R − 1) l(l + 1)
3ω 2
+
−
−
S = 0,
(1 − R2 )2
R2
1 − R2
(5.60)
où R = r̂/r̂1 varie entre R0 = r̂0 /r̂1 et 1.
Cette équation peut se réduire à une forme canonique pour une fonction F par
la transformation S(R) = Rµ F (R2 )/(1 − R2 ) :
·
µ
¶¸
3
dF
d2 F
x(x − 1) 2 + x(µ + 3) −
+µ
dx
2
dx
µ 2
¶
2
µ + µ − l(l + 1) µ + 4µ − l(l + 1) + 3ω 2
+ −
+
F = 0,
4x
4
(5.61)
où x = R2 , et où µ est un paramètre qui va être déterminé tout de suite après.
Elle correspond à l’équation hypergéométrique [158] si le terme en F/x est nul,
c’est à dire si µ2 + µ − l(l + 1) = 0. On en déduit deux solutions pour le paramètre
µ : µ1 = l et µ2 = −(l + 1). En identifiant tous les termes de l’équation (5.61) avec
l’équation hypergéométrique [158], deux solutions linéairement indépendantes de
l’équation (5.61) peuvent être exprimées en terme de fonctions hypergéométriques
notées : F(α, β; γ; x) avec les paramètres α, β et γ calculés pour les deux valeurs µ1,2 trouvées plus haut et où x est l’argument. On en déduit la solution de
l’équation (5.60) :
S(R) =
R−(l+1)
Rl
2
C
F(α
,
β
;
γ
;
R
)
+
C2 F(α2 , β2 ; γ2 ; R2 ),
1
1
1
1
1 − R2
1 − R2
(5.62)
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
117
où C1 et C2 sont deux constantes arbitraires et où :
α1,2 =
µ1,2
+ 1 + ∆,
2
β1,2 =
µ1,2
+ 1 − ∆,
2
γ1,2 =
3
+ µ1,2 ,
2
(5.63)
avec :
∆=
p
l(l + 1) + 4 − 3ω 2 .
(5.64)
L’expression (5.62) donne la solution générale de l’équation (5.60) et donc englobe toutes les solutions possibles. On peut se demander si l’équation (5.61) a
des solutions pour d’autres valeurs que µ1,2 ? Dans ce cas, l’équation (5.61) ne se
réduit plus à une équation hypergéométrique et devient plus difficile à résoudre.
Néanmoins, cette solution peut être représentée par l’expression (5.62) avec un
choix approprié des constantes C1 et C2 . Les valeurs de µ telles que µ1 = l et
µ2 = −(l + 1) nous donnent rapidement et simplement accès à toutes les solutions de l’équation (5.60) développées sur des fonctions hypergéométriques, voir
l’expression (5.62).
Dans ce cas, pour chaque jeu de paramètres, F se réduit aux fonctions de
Legendre associées Pab et Qba [158] – voir l’annexe A.7.
Dans ces conditions (5.62) devient :
S(R) = √
1
[C1 P (R) + C2 Q(R)] ,
R(1 − R2 )3/2
(5.65)
où les fonctions P et Q sont reliées aux fonctions de Legendre associées [voir les
équations (A.14) et (A.15) dans l’annexe A.7].
Pour trouver les deux constantes C1 et C2 , il faut appliquer les conditions
limites (5.50) qui sont aux nombres de quatre. Ceci n’est pas surprenant car, en
plus de la détermination de C1 et C2 , nous avons besoin d’au moins une relation
supplémentaire. C’est grâce à elle que nous allons obtenir la relation de dispersion
que nous recherchons.
La quatrième et dernière contrainte nous indique que les amplitudes des perturbations sur chaque face de la coquille ne sont pas indépendantes. Tous les calculs
sont donnés dans l’annexe A.7. Cette dernière propriété provient des conditions
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
118
limites que nous imposons à la coquille étudiée. Sur sa face externe, la coquille est
en contact avec le vide et la pression sur cette surface (même si elle est perturbée par des modes arbitraires) doit toujours rester nulle. Par ailleurs, sur sa face
interne, la coquille est en contact avec la pression de la nébuleuse. Dans l’espace
co-mouvant cette pression reste constante et, en conséquence, la pression dans la
coquille, près de son bord intérieur, doit rester constante. Si nous raisonnions dans
l’espace (~r, t), la pression due au rayonnement du pulsar ne serait pas constante
mais, néanmoins, la façon dont elle devrait décroı̂tre avec le temps serait imposée
“extérieurement” par la loi de variation de la luminosité du pulsar.
Pour revenir à la solution générale (5.65), les constantes C1 et C2 sont respectivement données par les équations (A.29) et (A.30) de l’annexe A.7. La relation
de dispersion est donnée par l’équation (A.33), mais vu son importance, nous la
reportons ici :
ω 2 = −∆ −
2R02
∆ + l P (1)Q1 (R0 ) − Q(1)P1 (R0 )
−p
.
2
1 − R0
1 − R02 P (R0 )Q(1) − P (1)Q(R0 )
(5.66)
Ainsi, malgré le caractère instationnaire du problème étudié, nous avons été
capables de trouver une relation de dispersion là où d’autres personnes étudiant
ce même problème n’avaient pas réussi [17]. Par contre, ils étaient capables de
donner l’évolution exacte de la perturbation quelque soit le valeur de γ alors que
nous devons nous restreindre au cas γ = 5/3.
Soulignons qu’obtenir une relation de dispersion pour une situation instationnaire est assez rare et ce problème a été résolu grâce à l’utilisation du repère
co-mouvant où les phénomènes sont statiques.
De ce point de vue, ce chapitre se situe dans le prolongement logique du chapitre
IV dans lequel nous avions exhibé plusieurs relations de dispersion. Celle que nous
avons ici est beaucoup plus complexe que celle obtenue précédemment.
L’équation (5.66) défini ω à partir de deux paramètres sans dimension, le
”rayon” de la coquille R0 (on se souvient que R0 = r̂0 /r̂1 ) et le numéro du mode
l. Cette relation est indépendante du nombre azimutal m, car le système non perturbé est à symétrie sphérique. On montrera plus loin que cette relation ne dépend
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
119
pas de l’épaisseur de la coquille, L0 = r̂1 − r̂0 , qui peut s’exprimer en fonction du
rapport R0 (pour les perturbations incompressibles, voir plus loin).
Enfin, pour revenir au lien entre les deux faces de la coquille [voir Éq. (A.32) de
l’annexe A.7], on obtient une relation entre les déplacements â0 et â1 des surfaces
(interne et externe) de la coquille à l’aide de l’équation (A.32) :
â1
Γ[(∆ + l)/2 + 1]
= 2l+1
×
â0
Γ[(∆ − l)/2]
à r
!
r
π(∆ + l)
π(∆ + l)
2
π
× C1
sin
+ C2
cos
.
π
2
2
2
3
(5.67)
Cette relation sera utilisée ultérieurement pour l’analyse de l’évolution temporelle des instabilités.
5.5
Résolution numérique de l’équation de dispersion
L’équation de dispersion (5.66) est relativement compliquée et nous allons
d’abord chercher une solution numérique. Dans ce but, nous représentons cette
équation par une relation entre deux fonctions FL (∆) = FR (∆) – L est comme left
et R comme right, dépendant du paramètre ∆. Les deux fonctions sont données
par :
FL (∆) = [l(l + 1) + 4 − ∆2 ]/3,
(5.68)
2
2R0
∆ + l P (1)Q1 (R0 ) − Q(1)P1 (R0 )
FR (∆) = −∆ −
−p
, (5.69)
2
1 − R0
1 − R02 P (R0 )Q(1) − P (1)Q(R0 )
où, FR est le membre de droite de l’équation de dispersion (5.66). Pour le membre
p
de gauche, FL (∆), nous avons utilisé la relation ∆ = l(l + 1) + 4 − 3ω 2 [Éq. (5.64)]
pour exprimer ω 2 en fonction de ∆ et de l.
Sur la figure 5.5, on a représenté FL et FR en fonction de ∆ et nous avons
cherché les points d’intersection de ces deux fonctions pour un numéro de mode l
et différentes épaisseurs de coquille R0 .
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
120
Pour obtenir une solution instable (ω 2 doit être réel et positif), le point d’intersection de ces deux fonctions doit se produire dans la partie supérieure droite du
p
plan (FR,L ; ∆) : 0 < ∆ < l(l + 1) + 4 = ∆m et pour 0 < FR < [l(l + 1) + 4]/3. La
condition ∆ = 0 définit une valeur limite pour le taux de croissance pour l donné :
ω 2 < [l(l+1)+4]/3. Pour une solution stable, l’intersection doit se produire à l’intép
rieur du domaine inférieur droit du plan (FR,L ; ∆) : 0 < ∆ < l(l + 1) + 4 = ∆m
et pour FL < 0. Ces restrictions sont très utiles pour trouver une solution numérique à l’équation de dispersion.
Un exemple de courbes FR , FL est tracé sur la figure 5.5. Les deux courbes sont
plutôt simples. La fonction FL est juste une parabole qui atteint un maximum pour
∆ = 0 et devient négative pour ∆ > ∆m . Le membre de droite passe aussi par
un maximum pour ∆ = 0 et il décroı̂t avec ∆ lorsque ∆ augmente. Il y a deux
points d’intersection : un pour ω 2 > 0 (mode instable) et un autre pour ω 2 < 0
(modes oscillants pour ∆ = 6 dans le cas présent). La solution numérique indique
que les points d’intersection sont indépendants de l’épaisseur de la coquille R0 . En
particulier, le point d’intersection instable correspond à ∆ = 3 pour un numéro
de mode l = 4. On montre plus loin que c’est une conséquence de la nature de la
perturbation. Ce résultat est en accord avec la solution formulée par Bernstein et
Book [17], qui après l’analyse asymptotique ont conclu que seules les perturbations
incompressibles pouvaient croı̂tre et que le taux de croissance ne dépendait pas de
l’épaisseur de la coquille.
De plus, on peut vérifier facilement que l’écoulement général est irrotationnel.
Premièrement, l’écoulement non-perturbé est irrotationnel car le champ de vitesse
est purement radial [équation (5.42)]. Deuxièmement, la vorticité de l’écoulement
perturbé dans le repère du laboratoire est donnée par : rot δ~v = [rot δ~vˆ]/C(t)
puisque A(t) = C(t) [nous avons utilisé la relation (5.12) entre les vitesses δ~v
et δ~vˆ]. Comme rot δ~vˆ = 0, d’après les équations (A.17) (voir annexe A.7), alors
l’écoulement perturbé est par conséquent aussi irrotationnel dans l’espace physique.
Dans cette section, nous avons identifié sur la figure 5.5, les deux points d’in-
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
121
F( ∆ )
8
L
6
F(∆,l,R 0 )
R 0= 0.1
R
R 0= 0.5
4
R = 0.8
0
2
0
-2
0
1
2
∆
3
4
5
6
-4
Figure 5.5: Tracé des deux fonctions FL (∆) et FR (∆, l, R0 ) représentant les membres
de gauche et de droite de l’équation (5.66). L’intersection de ces deux courbes donne la
valeur de ∆, correspondant à la solution de l’équation de dispersion (5.66). Ces courbes
dépendent du numéro de mode l et FR dépend aussi de l’épaisseur de la coquille R0
(les courbes sont tracées pour R0 = 0,1 ; 0,5 et 0,8). Cependant, on constate que le
point d’intersection reste inchangé. Dans cet exemple, on a l = 4 et on trouve que
le point d’intersection s’effectue toujours pour ∆ = 3. Comme nous avons la relation
∆2 = l(l + 1) + 4 − 3ω 2 , nous obtenons 3ω 2 = 15, soit ω 2 = 5. On peut remarquer que
cette valeur correspond à l + 1. De même pour, ∆ = 6 (second point d’intersection),
nous obtenons 3 ω 2 = −12, soit ω 2 = −4, cette valeur correspond alors à −l.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
122
tersection comme étant des modes associés à une perturbation incompressible.
Cependant, nous pouvons prolonger les deux fonctions FL et FR pour des valeurs
de ∆ supérieures à six (toujours pour l = 4) et, par exemple, pour R0 = 0,8. Dans
ces conditions, d’autres points d’intersection entre FL et FR existent. Nous avons
vu que pour les modes incompressibles, l’intersection s’effectue pour les points
(ω 2 = 5, ∆ = 3) et (ω 2 = −4, ∆ = 6) [voir la figure 5.5]. En conséquence, les
autres points d’intersection pour R0 = 0,8 donnés par (ω 2 ∼ −28, ∆ ∼ 10) et
(ω 2 ∼ −68, ∆ ∼ 15) etc... sont tous stables et correspondent aux modes compressibles (ondes de gravité perturbées par l’accélération). Cet exemple montre
que seules les perturbations incompressibles sont instables. Bernstein et Book [17]
observent que seuls les modes incompressibles ont un comportement instable de
façon asymptotique. La relation de dispersion que nous trouvons nous permet de
séparer les modes incompressibles des modes compressibles.
5.6
Comportement de l’écoulement perturbé
Jusqu’à maintenant, nous avons recherché une solution générale à l’écoulement
perturbé, c’est à dire sans faire d’hypothèse sur la nature de l’écoulement. En
particulier, nous avons considéré un fluide compressible. Cependant, la solution
numérique plutôt simple pour la relation de dispersion, suggère qu’une propriété
spécifique de l’écoulement doit pouvoir émerger. Dans cette section, nous allons
étudier les propriétés de l’écoulement perturbé.
Puisque ∂θ (sin θ∂θ Ylm )/ sin θ + (∂φ2 Ylm )/ sin2 θ = −l(l +1)Ylm , et après injection
de la dérivée seconde de S, obtenue à partir de l’équation (5.60), la divergence de
la perturbation s’exprime par :
·
µ
¶¸¾
½
âω
2RS
R dS
ˆ
~
div δ V =
−
Ylm ,
−S − 2
r̂1 τ
ω dR
1 − R2
(5.70)
ˆ
où δ V~ est le champ de la vitesse perturbée [donnée par les équations (A.17) de
l’annexe A.7]. On peut noter que d’après la seconde condition aux limites (5.50), la
divergence de la vitesse perturbée est nulle aux bords de la coquille. Maintenant,
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
123
ˆ
nous allons poser l’hypothèse selon laquelle div δ V~ = 0 quelque soit R ∈ [R0 , 1].
Cette condition revient à dire que l’écoulement perturbé serait incompressible.
Cette hypothèse peut paraı̂tre hardie, mais, en fait, elle ne l’est pas. En effet,
lorsque nous avons étudié dans le chapitre IV, la relation de dispersion pour un
fluide compressible [Éq. (4.19)], nous avons noté que lorsque le nombre d’Atwood
vaut 1, cette relation de dispersion se réduit à celle d’un fluide incompressible,
√
ω = kg.
En conséquence, lorsqu’un fluide compressible se retrouve en contact avec le
vide, il “oublie” ses propriétés de compressibilité lorsqu’il est perturbé.
À propos du problème de la coquille, qui comporte à l’intérieur un fluide relativiste de densité nulle et, à l’extérieur, du vide, on s’attend donc à ce que les propriétés compressibles de la perturbation disparaissent. C’est l’objet du calcul qui
suit dans lequel nous montrons rigoureusement que la relation de dispersion (5.66)
se réduit à une relation de dispersion incompressible.
On peut exprimer les dérivées première et seconde de S(R) par :
µ
¶
2R
dS
ω2
=S
−
,
dR
1 − R2
R
"µ
¶ µ
¶2 #
d2 S
2(1 − R2 ) + 4R2
2R
ω2
ω2
=S
+ 2 +
−
,
dR2
(1 − R2 )2
R
1 − R2
R
(5.71)
(5.72)
ˆ
où l’équation (5.71) est obtenue à partir de l’équation (5.70) en posant div δ V~ = 0
pour R ∈ [R0 , 1]. De plus, l’équation (5.72) est la dérivée de (5.71) par rapport à
R.
Maintenant, on injecte ces deux relations dans l’équation différentielle (5.60)
qui gouverne la perturbation générale et on obtient une relation purement algébrique sur S :
"
µ
¶2
2(1 − R2 ) ω 2
2R
ω2
S
+
+
−
+
(1 − R2 )2
R
(1 − R2 )
R
¶µ
µ
¶
7R
2R
ω2
2
−
−
R 1 − R2
1 − R2
R
¸
2
l(l + 1)
3ω 2
2R − 1
−
−
= 0.
+6
(1 − R2 )2
R2
1 − R2
(5.73)
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
124
Après simplification, pour que (5.73) soit toujours satisfaite, une relation simple
entre ω et l doit être vérifiée :
ω 4 − ω 2 − l(l + 1) = 0.
(5.74)
En conséquence, cette relation est consistante avec les valeurs propres de l’équation (5.60) (elle est automatiquement satisfaite) et avec notre contrainte suppléˆ
mentaire provenant de l’équation (5.70), c’est à dire, imposant div δ V~ = 0 dans
toute la coquille. De plus, elle est cohérente avec les conditions aux limites données
par l’équation (A.24).
La solution de cette équation quartique est donnée par :
√
ω1,2 = ± l + 1,
√
ω3,4 = ±i l.
(5.75)
De plus, on insiste sur le fait que cette solution est en parfait accord avec la
solution générale de l’équation de dispersion (5.66) trouvée numériquement dans
la section précédente. En effet, pour l = 4, on trouve numériquement ω 2 = 5
√
et ω 2 = −4 conduisant à ω = ± 5 et ω = ±2i, respectivement. Ces valeurs
sont exactement celles obtenues à partir de (5.75) en remplaçant l par la valeur
spécifique l = 4.
En conséquence, la solution que nous avons trouvé, prouve que le profil de
vitesse perturbé est à divergence nulle, et n’est plus perçu comme un artifice
de calcul visant à satisfaire toutes les contraintes. Ce résultat est la preuve que
la perturbation de l’écoulement perturbé est incompressible et que le taux de
croissance est indépendant de l’épaisseur de la coquille. Ce résultat est nouveau,
bien que des études antérieures sur les coquilles minces et épaisses aient étés faites
(voir par exemple l’article de revue par Kull [121]). Tous les modes sont instables
pour toutes les valeurs de l et le taux de croissance le plus instable parmi ω1 (l) et
√
ω2 (l), à savoir ω(l) = l + 1 est tracé sur la figure 5.6.
Dans leurs travaux, Bernstein et Book [17] donnent l’expression de l’évolution
d’une perturbation incompressible pour γ quelconque et pour tous temps (voir
l’équation (46) dans [17]). Si on applique cette expression pour γ = 5/3, l’expres-
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
125
10
ω
8
6
4
2
0
20
40
60
80
l 100
Figure 5.6: Tracé du taux de croissance adimensionné ω en fonction de l. Tous les modes
sont instables et ω =
√
l + 1 [d’après l’Éq. (5.75)].
sion de l’évolution temporelle de la perturbation appelé F dans leur article s’écrit :
√
F ∝ f (t) cosh [ l + 1 arctan (t/τ )].
(5.76)
où f (t) est égale à C(t) pour β = 0 (i.e., sans vitesse initiale de la coquille).
On trouve la même expression en considérant la superposition linéaire des
modes ω1,2 donnés par la relation (5.75) et pour β = 0 [d’après l’équation (5.36)
qui donne le lien entre t et t̂], on obtient une évolution temporelle de la perturbation
de la forme :
√
C(t) cosh[ l + 1 arctan(t/τ )].
(5.77)
Le résultat que nous avons est strictement identique à celui obtenu dans [17].
Cependant, notre approche possède le mérite de faire intervenir une relation de dispersion et, lorsqu’on y fait At = 1, d’expliquer l’apparition de modes perturbatifs
purement incompressibles.
Une étude plus approfondie de la combinaison des quatre modes incompres-
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
126
sibles, ωi (i = 1, 4), est effectuée dans la section 5.8. Cette analyse permet de
définir différentes conditions initiales pour la coquille et d’en étudier la stabilité
ainsi que l’interaction entre la face interne et externe de la coquille.
5.7
Analyse qualitative de l’IRT
La relation de dispersion définie par l’équation (5.74) et les solutions (5.75)
sont en effet étonnamment simples et nous avons montré qu’elles correspondent
aux modes dont les perturbations sont incompressibles. En particulier, si l’on ne
√
considère que le mode instable ω1 = l + 1, alors la perturbation à une évolu√
tion temporelle de la forme, exp [ω1 t̂/τ ], c’est à dire, en exp [ l + 1 g(t)] [où g(t)
est donnée par l’équation (5.36)]. Ce comportement peut être comparé avec un
modèle simple, en supposant qu’à chaque instant le taux de croissance de l’IRT
√
soit donné par la formule classique ω = τ w0 k0 [10] (voir chapitre IV), où w0
est l’accélération de la face interne, définie par l’équation (5.38). Par conséquent,
l’évolution temporelle de la perturbation dans ce modèle s’écrit :
·Z t
¸
p
0
0
0
exp
k0 (t )w0 (t )dt ,
(5.78)
0
où k0 (t) est le nombre d’onde de la perturbation. Dans la géométrie sphérique,
la longueur d’onde de la perturbation λ évolue au cours du temps, 2π/λ(t) =
(l + 1)/[r̂0 C(t)] (où l est le numéro du mode de la perturbation). En injectant
l’expression de (5.38) dans l’équation (5.78) on obtient :
"Z s
#
·√
¸
Z
t
(l + 1) r̂0 C(t0 ) 0
l + 1 t dt0
,
exp
dt = exp
3γ−1
r̂0 C(t0 ) τ 2 C 3γ−1
τ
0
0 C 2
– Pour γ = 5/3, (5.79) devient :
¸
·√
Z
h√
i
l + 1 t dt0
= exp l + 1 g(t) .
exp
2
τ
0 C
(5.79)
(5.80)
Sachant que l’expression g(t) est donnée par (5.36), on retrouve alors pour γ = 5/3
le taux de croissance exact pour le mode le plus instable.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
127
Dans ce cas, on peut aller plus loin et calculer le taux de croissance pour γ
quelconque (γ > 1). En effet, l’expression de k0 (t), le nombre d’onde, ne change
pas, il suffit de calculer la nouvelle accélération w0 (t, γ).
– Pour γ 6= 5/3, le taux de croissance donné par l’expression (5.78) devient en
intégrant l’équation (5.22) :

Z
√

exp
l+1

C(t)
0
(1−3γ)/2
C
dC
q
¡
¢ .
2
1
2
β + 3(γ−1) 1 − C 3γ−3
(5.81)
À partir de cette expression on peut donner facilement le taux de croissance
asymptotique [C(t) → t pour t → +∞] avec β = 0 et la comparer à l’expression du
taux de croissance asymptotique fournie par Bernstein et Book pour γ quelconque
(voir expression (51) dans [17]).
γ
Notre modèle approché
Solution de Bernstein et Book [17]
4/3
21,63 – 2, 48 × 109
20,06 – 5, 20 × 108
5/3
15,09 – 3, 60 × 106
15,09 – 3, 60 × 106
2
12,19 – 1, 98 × 105
12,84 – 3, 78 × 105
Table 5.2: Comparaison du taux croissance et de l’amplification de la perturbation pour
t → ∞, donnés par l’Éq. (5.81) avec β = 0 et la solution de Bernstein et Book, i.e.,
l’Éq. (51) dans [17], pour γ = 4/3, 5/3, 2 et pour l = 100. On donne pour chaque valeur
de γ, le taux de croissance et ensuite l’amplification qui correspond à l’exponentielle du
taux de croissance.
Dans ce cas, pour l = 100 et pour trois valeurs de γ données dans l’article
de Bernstein et Book, soit γ = 5/3, 4/3 et 2, l’écart entre les deux taux de
croissance ne dépasse pas 8 % (voir Tableau 5.2). Donc, l’expression instantanée,
√
ω = τ w0 k0 , donne une bonne approximation du taux de croissance de l’instabilité, même pour γ 6= 5/3. Par contre, il existe une incertitude importante, jusqu’à
un facteur cinq, sur la valeur de l’amplification de la pertubation, puisque l’on
prend l’exponentielle du taux de croissance.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
5.8
128
Évolution de la surface interne et externe de
la coquille
L’effet de l’instabilité peut être analysé par l’étude du déplacement ξˆ de chaque
point de la coquille . Il peut être calculé à partir du champ de vitesse dans le re~ˆ t̂ = δ~vˆ qui nous donne ξ(r̂,
~ˆ θ, φ, t̂) =
père co-mouvant en utilisant la relation : dξ/d
ˆ
ˆ
(τ /ω)δ~vˆ = (τ /ω) exp(ω t̂/τ ) δ V~ (r̂, θ, φ), où δ V~ est donnée par (A.17) (voir l’annexe A.7). Puisque l’équation de dispersion a quatre racines (5.75), la solution
générale pour le déplacement est une superposition linéaire de quatre modes. En
particulier, le déplacement radial est donné par :
ξˆr (R, θ, φ, t̂) = â0
4
X
Λi ξˆi (R)eωi t̂/τ Ylm (θ, φ),
(5.82)
i=1
où,
·
¸
1
dS
i
2
ξˆi (R) =
−(1 − R )
+ 2R Si ,
3ωi2
dR
(5.83)
est le déplacement des modes propres i [pour cela nous avons utilisé la première
équation du système (A.17) de l’annexe A.7] et les Λi sont les amplitudes de ces
modes (Λ1,2 sont réels, Λ3 = Λ∗4 ).
Cependant, comme la fonction S dépend de ω 2 alors ξˆ1 = ξˆ2 et ξˆ3 = ξˆ4 .
Nous avons aussi ξˆi (R0 ) = 1. Cette égalité provient de la normalisation de ξˆi par
l’amplitude, â0 , de la perturbation sur la face interne â0 (voir section 5.4). Par
ailleurs, sur la face externe, le déplacement ξˆi (1) est donné par l’équation (5.67).
À partir de là, on peut calculer la déformation de la coquille dans l’espace initial
(R, θ, φ, t). À l’aide de la relation d’échelle sur les distances [première équation du
système des équations (5.9)] et d’après la relation (5.36) entre t et t̂, le déplacement
radial ξr (R, θ, φ, t) s’écrit :
ξr (R, θ, φ, t̂) = a0 C(t)Ylm (θ, φ)
4
X
Λi ξˆi (R)eωi g(t) ,
(5.84)
i=1
où a0 = C(0)â0 = â0 et où g(t) est donnée par (5.36). La perturbation de la vitesse
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
129
radiale est fournie par l’équation (5.12) sachant que A(t) = C(t) car γ = 5/3 :
δ~v =
ˆ
δ~vˆ
δ V~ ωg(t)
=
e
,
C(t)
C(t)
(5.85)
ˆ
où δ V~ est donnée par les équations (A.17) de l’annexe A.7.
La façon dont on obtient la relation (5.85) demandent quelques détails. Les
vitesses ~v (~r, t) et ~vˆ(~rˆ, t̂) dans l’espace (~r, t) et (~rˆ, t̂), respectivement, sont reliées
à travers l’équation (5.12). Dans (~rˆ, t̂), nous avons ~vˆ(~rˆ, t̂) = δ~vˆ, (car il n’y a pas
d’écoulement de base dans l’espace co-mouvant) tandis que l’équation correspondante est ~v (~r, t) = δ~v + ~v0 (~r, t) dans (~r, t) où δ~v est la vitesse perturbée et où
~v0 (~r, t) est la vitesse de l’écoulement de base donnée par ~v0 (~r, t) = Ċ(t)~r/C(t).
Après introduction de ces éléments dans (5.12), nous obtenons (5.85) immédiateˆ
ment. De plus, nous introduisons dans la suite la quantité δ V~ (~r, t) = δ V~ /C(t) par
ˆ
δ~v = δ V~ exp[ωg(t)] (cette expression est identique à la relation entre δ~vˆ et δ V~ ).
Il est maintenant possible d’exprimer les constantes Λi (i = 1, 4) à partir de
la connaissance des déformations sur chacune des faces ainsi que le profil de la
vitesse initiale perturbée dans l’espace physique. Dans l’espace chapeau, la vitesse radiale δv̂r est donnée par δ vˆr = dξˆr /dt̂. Autrement dit, puisque nous avons
δVr (R, 0) = δ V̂r (R, 0) à t = t̂ = 0 et, en réalisant une initialisation sur l’axe
θ = φ = 0, les Λi peuvent être calculés à partir des conditions aux limites, données
par ξr (R0 , 0) = a0 D0 , ξr (1, 0) = a0 D1 , δVr (R0 , 0) = a0 V0 , δVr (1, 0) = a0 V1 dans
l’espace physique. Les quantités D0 et D1 sont deux nombres sans dimension qui
donnent la valeur des déformations (mesurées par rapport à a0 ) sur la face interne
et la face externe de la coquille, respectivement. Ainsi pour une valeur de a0 donnée, on peut ne pas avoir de déformation sur l’une des deux faces si D0 ou D1
est nul. De façon similaire, les quantités V0 et V1 représentent les “déformations”
dans l’espace des vitesses. En conséquence, pour a0 donné les paramètres Di et
Vi (i = 0, 1) permettent de contrôler les perturbations en espace et en vitesse sur
chacune des deux faces de la coquille.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
Une fois résolu, le système d’équations correspondant s’écrit :
·
¸
1
τ
Λ1,2 =
D1 − D0 b2 ± √
(V1 − V0 b2 ) ,
2(b1 − b2 )
l+1
·
¸
1
τ
Λ3,4 =
D0 b1 − D1 ∓ i √ (V1 − V0 b1 ) ,
2(b1 − b2 )
l
130
(5.86)
(5.87)
où b1 = ξˆ1,2 (1) et b2 = ξˆ3,4 (1) et de plus les modes propres sont normalisés par
la condition ξˆi (R0 ) = 1 (i = 1, 4). Par la suite, nous allons étudier l’évolution de
la perturbation pour plusieurs cas spécifiques particulièrement intéressant à notre
sens.
Premièrement, nous allons étudier le mode le plus instable ω1 =
Λ1 = 1 et Λ2,3,4 = 0, ce qui correspond à D0 = 1, D1 = b1 et V0 =
√
√
l + 1 tel que
l + 1/τ, V1 =
b1 V0 . La courbe en trait plein sur la figure 5.7 représente l’évolution temporelle
du déplacement radial de la face interne (a) et externe (b) de l’interface, η0,1 ,
dans le repère du laboratoire (pour les angles θ = 0 et φ = 0). Il dépend de deux
paramètres : τ - le temps caractéristique d’expansion et β - la vitesse initiale de
la coquille.
La loi exponentielle pour la variation du déplacement est valable seulement si
t ¿ τ (phase d’accélération de la coquille). En effet, d’après (5.36), pour t ¿ τ
on a g(t) ' t/τ et cela implique que exp[ω1 g(t)] se comporte comme exp(ω1 t/τ ),
donc η0,1 /a0 = exp(t/τ ), avec C(t) restant proche de 1. Lorsque t À τ , exp[g(t)]
tend vers exp[ω1 (π/2 − arctan β)] et cela implique η0,1 /[(t/τ )a0 ] = exp[ω1 (π/2 −
arctan β)] avec C(t) tendant vers t/τ . La coquille est en vol pratiquement libre et
la perturbation croı̂t linéairement, c’est à dire, que η0,1 ∝ t/τ puisque le quotient
ηi /C(t), i = 0, 1, tend vers une constante pour t À τ . Cette propriété résulte du
fait que la fonction g(t) est bornée et C(t) devient une fonction linéaire du temps.
Sur la figure 5.7, le déplacement est divisé par la fonction d’échelle pour faire
apparaı̂tre seulement la perturbation due à l’IRT. Il est intéressant de noter que
dans ce cas, la vitesse initiale est nulle (β = 0) et le facteur d’amplification, eωπ/2 ,
ne dépend plus du temps d’expansion. Au contraire, l’amplification est beaucoup
plus forte pour une coquille convergente initialement (β < 0 mais | β |À 1).
Pour comparer évolution analytique et évolution numérique, nous avons uti-
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
131
30
PANSY
Analytical Model
(PANSY-Model)*100
η0/a0C(t)
25
(a)
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
t/τ
1
0.8
PANSY
Analytical Model
(PANSY-Model) *100
(b)
η1/a0C(t)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
2
4
6
8
10
t/τ
Figure 5.7: Comparaison entre l’évolution temporelle du déplacement de la face interne
(a) et externe (b) de la coquille pour le mode le plus instable : Λ1 = 1, Λ2,3,4 = 0, pour
le numéro de mode l = 4 avec une coquille d’épaisseur R0 = 0,5 et une vitesse initiale
nulle (β = 0). Le déplacement est divisé par la fonction d’échelle C(t) pour montrer la
croissance de la perturbation due seulement à l’IRT. Ces figures montrent un très bon
accord entre la solution analytique (trait plein) et les simulations effectuées avec le code
Pansy (tiret). Les différences entre les deux courbes (PANSY-Modèle) sont inférieures
au pourcent.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
132
lisé le code hydrodynamique Pansy [132]. Il permet de calculer le développement
temporel de perturbations tridimensionnelles. Il prend en compte la thermodynamique, les phénomènes de transport tels que le flux de chaleur et la viscosité. Ce
code est complètement linéarisé autour de l’ordre zéro pour la géométrie sphérique
ou cylindrique et pour un écoulement compressible. L’ordre zéro est calculé à une
dimension sur une grille lagrangienne de la forme f j (t), où les f sont toutes les
grandeurs hydrodynamiques nécessaires, et où j est un indice numérotant la zone
j
radiale. Au premier ordre, f s’écrit fl,m
(t)Yl,m (θ) exp (imφ) en géométrie sphé-
rique et les équations sont résolues une fois linéarisées autour de l’ordre zéro. Ce
code a été amélioré pour prendre en compte les phénomènes demandant une haute
résolution [133].
La solution analytique pour les déplacements interne et externe d’un mode
instable a été comparée avec les simulations réalisées avec le code Pansy. Un très
bon accord entre l’analytique et les simulations est obtenu puisque la différence
est inférieure au pourcent. On montre aussi sur la figure 5.7 que l’interface interne
croit rapidement car elle est instable, tandis que l’interface externe qui est en
contact avec le vide ne montre pas une croissance importante. Le quotient η1 /C(t)
varie peu. La déviation entre la théorie et les simulations est plus importante avec
la face externe qu’avec la face interne, car il est plus difficile pour le code de traiter
l’interface avec le vide.
D’après l’équation (5.36), le facteur d’amplification exp[ωg(t)], lorsque t tend
√
vers l’infini, est donné par exp[ l + 1(π/2−arctan β)]. Donc, l’amplification asymptotique dépend fortement de la vitesse initiale de la coquille, définie par le paramètre β [voir l’équation (5.42)]. Par exemple, pour le mode l = 60, si β = 1, c’est
à dire, lorsque la coquille est en phase d’expansion, le coefficient d’amplification
est diminué d’un facteur 103 par rapport au cas β = 0. Donc, la coquille est moins
fragilisée. Cependant, lorsque β = −1, c’est à dire, pour une coquille initialement
convergente, l’amplification atteint 108 . Il en résulte que la coquille devient plus
fragile. Si on se réfère à la FCI, on en conclu, par conséquent, que la phase la plus
dangereuse est la phase de stagnation, qui a été analysée notamment par Hattori
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
133
et al. [18].
La croissance d’un mode propre pur, que nous avons étudiée ci-dessus correspondant à un déplacement corrélé des deux interfaces de la coquille (interne et
externe), ne semble pas assez riche ou réaliste. Il est plus approprié de considérer des perturbations initiales sur les faces interne et externe indépendantes. À
l’aide des équations (5.86) et (5.87), à partir des quatre modes incompressibles, on
peut construire toutes sortes de perturbations initiales. On peut considérer le cas
pour lequel la face interne et externe ont une déformation initiale opposée, c’est à
dire, D0 = 1, D1 = −1, tandis que les vitesses sont nulles V0 = V1 = 0. Ce type
de perturbation sera dénommé par la suite : “sausage”. Cette perturbation peut
être produite dans les couches externes de la supernova par des mouvements de
convection juste avant son explosion et être “imprimée” ensuite dans les éjectas.
D’après les équations (5.86) et (5.87), on en déduit : Λ1 = Λ2 = (−1 −
b2 )/[2(b1 − b2 )] et Λ3 = Λ4 = (b1 + 1)/[2(b1 − b2 )]. La forme initiale de la coquille est représentée sur la figure 5.8a et le profil du déplacement radial initial est
donné sur la figure 5.8d. L’évolution temporelle du déplacement des faces d’une
telle coquille est donnée sur la figure 5.8c pour le mode l = 4. Nous avons normalisé
le déplacement ξr par la fonction d’échelle a0 C(t), ceci pour observer l’amplification due seulement à l’instabilité de Rayleigh-Taylor, en supprimant l’expansion
de la coquille. Nous observons clairement une croissance importante de la perturbation face interne due à l’IRT, tandis que la face externe devient sphérique car
elle est stable [figure 5.8b]. La perturbation croı̂t sur une période de temps telle
que t < τ , c’est à dire, lorsque la coquille est accélérée. De plus, on peut observer
qu’à t = τ le déplacement est plus important sur l’axe polaire θ = 0 [l’axe X sur
la figure 5.8b] (pour les angles θ = 0 et φ = 0). Par ailleurs, à cet instant, la face
externe de la coquille est redevenue sphérique ainsi que le montre la figure.
Il existe trois autres types de perturbations intéressantes à étudier : (i) la
perturbation “kink” ou “spaghetti” pour lesquelles les perturbations face interne
et externe ont la même amplitude avec une vitesse nulle, c’est à dire, lorsque
D0 = D1 = 1, V0 = V1 = 0 ; (ii) le mode “interne” pour lequel seule la position de
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
Y
Y
(a)
1.2
1.2
t=0
S
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1.2 1.4 X
1
ξ (R,t)/a 0C(t)
r
(c)
0
1
R=R 0
y 15
t=τ
0.2 0.4 0.6 0.8
y
10
(d)
ξ r(R,0)/a 0
0.5
0
0.5
0.6
0.7
0.8
R
5
2
4
6
T
t/τ
8
0.9
R
1
-0.5
R=1
0
1.2 1.4 X
1
R
R
20
0
(b)
1.4
1.4
S
134
10
-1
Figure 5.8: Perturbation initiale de la coquille pour le mode “sausage” (a) à t = 0 et (b)
pour t = τ . Dans (c) on trace l’évolution temporelle de la perturbation face interne et
externe et (d) donne le déplacement initial à l’intérieur de la coquille. Toutes les figures
sont tracées pour le mode l = 4, une épaisseur de coquille correspondant à R0 = 0,5 et
une vitesse initiale nulle β = 0. Dans la figure (a) nous avons volontairement exagéré
la perturbation initiale avec a0 = 0,1 (ceci pour bien visualiser la forme initiale de la
coquille).
la face interne est perturbée, alors D0 = 1, D1 = 0, V0 = V1 = 0 ; (iii) le mode
“vitesse” pour lequel les faces interne et externe ne sont pas perturbées, mais dont
seule la vitesse de la face interne est perturbée, dans ce cas D0 = D1 = 0, V0 = 1,
V1 = 0. Cette dernière configuration peut correspondre à une coquille soumise à
des fluctuations du vent provenant du pulsar.
Le poids relatif du mode instable pour chacune des perturbations est donné par
la constante Λ1 . Donc, ce paramètre peut être utilisé pour comparer les différentes
configurations. Pour le mode “sausage” dans le cas où R0 = 0,5 et l = 4, figure 5.8,
Λ1 = 0,56. Pour les trois autres perturbations, on obtient : Λ1 = 0,43 (“spaghetti”,
figure 5.9), Λ1 = 0,50 (“interne”, figure 5.10), et Λ1 = 0,22 dans le cas “vites-
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
135
se” (figure 5.11). Donc, les trois configurations avec une perturbation, “sausage”,
“spaghetti” et “interne” sont également instables. Cependant, le coefficient d’amplification pour ces trois modes est deux fois plus petit que le mode pur (Λ1 = 1
et Λj = 0, j = 2, 4). Ces modes peuvent probablement être excités naturellement
par les perturbations du progéniteur de la supernova. Finalement, la perturbation
en “vitesse” semble être moins instable. Son coefficient d’amplification est quatre
fois plus petit.
Y
(a)
Y
1.4
t=0
1.2
S
0.8
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
0
1.2 1.4 X
1
0
0.2 0.4 0.6 0.8
(c)
1
1.2 1.4 X
1
R
ξ r (R,t)/a 0C(t)
20
t=τ
1.2
S
1
0
(b)
1.4
R
ξ r (R,0) /a0
(d)
0.8
y 15
R=R 0
0.6
10
y
0.4
5
0.2
R=1
0
0
2
6
4
T
t/τ
8
10
0
0.5
0.6
0.7
R
0.8
0.9
1
Figure 5.9: Perturbation initiale de la coquille pour le mode “spaghetti” (a) à t = 0 et
(b) pour t = τ . Dans (c) on trace l’évolution temporelle de la perturbation face interne
et externe et (d) donne le déplacement initial à l’intérieur de la coquille. Nous utilisons
la même représentation que pour la figure 5.8.
Cependant, l’importance respective entre les différents types de perturbation
dépend de l’épaisseur de la coquille et du numéro du mode l. Par exemple, pour
R0 = 0, 9 et le même mode que précédemment (l = 4), on trouve : Λ1 = 1,41 pour
le mode “sausage”, Λ1 = 0,22 (“spaghetti”), Λ1 = 0,80 (“interne”), et Λ1 = 0,36
(“vitesse”). Dans ce cas, le mode “sausage” déforme le plus la coquille et il croı̂t
plus rapidement que le mode pur. La connaissance des coefficients d’amplification
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
Y
S
t=0
1
t= τ
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
(b)
1.2
1.2
S
Y
1.4
(a)
1.4
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.2 0.4 0.6 0.8
(c)
0
y 15
1
1.2 1.4 X
1
R
ξ r (R,t) /a C(t)
20
1.2 1.4 X
1
136
R
ξ r (R,0) /a 0
(d)
0.8
R=R 0
0.6
10
y
0.4
5
0.2
0
R=1
0
2
6
4
T
t/ τ
8
10
0
0.5
0.6
0.7
R
0.8
0.9
1
Figure 5.10: Perturbation initiale de la coquille pour le mode “interne” (a) à t = 0 et
(b) pour t = τ . Dans (c) on trace l’évolution temporelle de la perturbation face interne
et externe et (d) donne le déplacement initial à l’intérieur de la coquille. Nous utilisons
la même représentation que pour la figure 5.8.
peut nous renseigner sur la géométrie finale de la coquille et sur ses zones les
plus amincies. On peut alors, fournir un critère sur le risque de fragmentation
des éjectas dû à l’instabilité de Rayleigh-Taylor. On suppose que la fragmentation
de la coquille se produit lorsque l’amplitude de la perturbation et l’épaisseur de
la coquille deviennent comparables (mais de signes opposés) au même instant.
Ce critère définit une amplitude critique, acr , qui est l’amplitude initiale pour
laquelle la coquille risque de se fragmenter à un instant ultérieur. Nous obtenons
immédiatement ce critère dans l’espace “chapeau” (puisque dans cet espace la
coquille est statique avec une épaisseur constante r̂1 − r̂0 , à la perturbation près),
à partir de l’équation (5.82) pour θ = φ = 0. Le déplacement de la face interne sur
l’axe X pour le mode le plus instable s’écrit : ξˆr (R0 , 0, 0, t) = acr Λ1 exp[ω1 g(t)] et
le critère énoncé précédemment donne : acr Λ1 exp[ω1 g(t)] = r̂1 − r̂0 = r̂1 (1 − R0 ).
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
Y
Y
(a)
137
(b)
t= τ
t=0
X
ξ r (R,t) /a C(t)
(c)
0
X
ξ r (R,0) /a 0
R=R 0
(d)
R
R=1
t/ τ
Figure 5.11: Perturbation initiale de la coquille pour le mode “vitesse” (a) à t = 0 et
(b) pour t = τ . Dans (c) on trace l’évolution temporelle de la perturbation face interne
et externe et (d) donne le déplacement initial à l’intérieur de la coquille (il est nulle
initialement car D0 = D1 = 0). Nous utilisons la même représentation que pour la
figure 5.8.
Nous pouvons réécrire ce critère comme :
acr
1 − R0 −g(t)√l+1
≈
e
, t → +∞,
r̂1
Λ1
(5.88)
√
sachant que pour t À τ , d’après l’équation (5.36), g(t) → exp[ l + 1(π/2 −
arctan β)].
Cette amplitude critique dépend du numéro du mode l, de l’épaisseur de la
coquille et du type de perturbation. Cette formulation est valide pour les petits
modes l, tel que l < lM = 2πR0 /(1 − R0 ) lorsque la fragmentation se produit
en régime linéaire. Les modes plus élevés, l > lM , semblent moins fragilisant. En
effet, bien que leurs coefficients d’amplification soit plus élevés, la perturbation
évolue plus vite vers un régime non-linéaire et donc par la suite ces modes vont
croı̂tre moins vite qu’en régime linéaire. Par contre, les modes tels que l < lM
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
138
Y
(b) t =20 τ
20
S
15
10
5
(a) t =0
0
0
5
10
15
R
20 X
Figure 5.12: Représentation de la perturbation de la face interne à t = 0 [région près du
centre X = Y = 0, cas (a)] et à t = 20τ [cas (b)]. L’épaisseur de la coquille est telle que
R0 = 0,65 pour le mode l = 12 et le nombre azimutal m = 0. La perturbation relative
initiale est de 0,24 %.
restent dans le domaine linéaire et croissent moins vite que le mode lM car le
√
taux de croissance est proportionnel à l. La théorie linéaire permet donc de
prédire le mode de fragmentation lM ainsi que l’amplitude critique acr donnée par
l’équation (5.88) dans laquelle on remplace l par lM qui conduit au percement de
la coquille. Par exemple, pour R0 = 0,65 et β = 0 le mode de fragmentation est le
mode lM ∼ 12, avec la perturbation type “sausage” ou “interne” (Λ1 ≈ 0,5). Alors,
on obtient acr /r̂1 = 2,4×10−3 . La perturbation en “vitesse” est moins fragilisante
puisqu’elle correspond à Λ1 = 0,14.
Il en résulte qu’une amplitude aussi petite que 0,24 % sur le rayon interne peut
être assez importante pour briser la coquille. La figure 5.12 montre une perturbation de type “sausage” ayant l’amplitude critique acr [Fig. 5.12.a] et la même
coquille pour t = 20τ [Fig. 5.12.b]. De plus, la théorie prédit que le percement
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
139
a lieu d’abord sur l’axe des pôles (axe X). L’épaisseur devient en effet très faible
à cet endroit à t = 20τ . Ceci est dû aux conditions initiales de la perturbation.
En effet, initialement, dans cet exemple nous avons annulé le nombre azimutal m
(perturbation axisymétrique). Dans ce cas, la perturbation angulaire développée
en harmonique sphérique, s’écrit sous la forme d’un polynôme de Legendre dont
la valeur sur l’axe des pôles (axe X) est la plus importante. La figure 5.13 donne
Figure 5.13: Représentation tridimensionnelle de la perturbation angulaire : Ylm (θ, φ),
pour l = 20 et m = 10.
un exemple de perturbation angulaire en trois dimensions.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
5.9
140
Discussion et conclusion
Ce chapitre est constitué de plusieurs parties.
Dans la première partie, nous avons trouvé la solution d’un écoulement sphérique unidimensionnel. Cette solution non-stationnaire permet de décrire l’évolution d’une coquille dont l’épaisseur L0 est finie. L’évolution temporelle de cette
coquille dépend de deux paramètres : la vitesse initiale donnée par β et le temps
caractéristique d’expansion τ . Cette solution obtenue à l’aide de la méthode de
changement d’échelle [147] des équations d’Euler pour un gaz polytropique, peut
être considérée comme un modèle décrivant l’expansion instationnaire des éjectas
d’une supernova.
On verra dans le chapitre VI que cette solution est pertinente pour décrire
l’évolution des plérions, parce que le comportement temporel de la pression sur la
face interne des éjectas est en accord avec la loi classique de décroissance de la
luminosité des pulsars [79]. Le paramètre β prend en compte l’énergie cinétique
initiale de la coquille, qui est libérée lors de l’explosion, tandis que le temps τ est
relié à la durée de vie du pulsar situé au centre des éjectas.
Dans une deuxième étape, on montre que la transformation passant du repère
du laboratoire au repère co-mouvant, permet d’effectuer une étude analytique
tridimensionnelle en régime linéaire de la stabilité de l’écoulement dépendant du
temps, vis-à-vis de l’IRT. Les équations de l’hydrodynamique sont résolues pour
un gaz parfait mono-atomique (γ = 5/3) en utilisant une décomposition de la
perturbation en harmonique sphérique et le taux de croissance ω a été obtenu. La
relation de dispersion définissant le taux de croissance pour tous les modes l, est
donnée dans le repère co-mouvant et correspond à une amplification finie dans le
repère du laboratoire. De plus, on montre que le taux de croissance est indépendant
de l’épaisseur R0 de la coquille (pour une perturbation incompressible). Il n’est
fait aucune hypothèse sur le comportement de la perturbation, mais au final, on
trouve que la perturbation est incompressible et irrotationnelle. Une expression
analytique du taux de croissance est donnée pour tous les modes l et permet de
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
141
trouver quatre valeurs propres distinctes. De là, on définit quatre modes purs :
un mode instable, un mode évanescent et deux modes oscillants. L’expression
analytique du taux de croissance est comparée avec les simulations effectuées avec
le code Pansy [132, 133]. Les simulations sont en excellent accord avec l’approche
analytique.
Dans un troisième temps, il ressort que le signe et la grandeur de la vitesse
initiale jouent un rôle important dans le développement de l’IRT. Une vitesse
initiale positive stabilise la coquille alors que dans le cas convergent, β < 0, la
croissance de la perturbation est beaucoup plus rapide et atteint des valeurs plus
grandes.
En utilisant le critère de la fragmentation proposé à la fois par Bernstein et
Book [17] et par Chevalier [80], on peut définir le mode fragilisant le plus une coquille pour une épaisseur donnée. Le coefficient d’amplification dépend de la perturbation initiale. Il a été montré que la déformation de la face interne fragilisant le
plus la coquille, dans le cas d’une coquille épaisse, correspond à une amplification
deux fois plus petite que pour le mode pur le plus instable. En revanche, pour une
coquille fine, il semble que le mode ”sausage” soit le plus fragilisant.
La structure filamentaire observée par Hester et al. [5] et Sankrit et al. [23] dans
la nébuleuse du Crabe résulte très probablement du développement de l’IRT. La
vitesse de ces filaments montre qu’ils ont une origine commune : la coquille formée
par les éjectas est sphérique. On retrouve une telle structure dans les simulations
numériques effectuées par Jun [21] et il montre que l’instabilité de Rayleigh-Taylor
se développe lors de l’accélération d’une coquille fine et conduit à sa fragmentation.
Notre prédiction analytique pour le mode le plus fragilisant lM est en bon accord
avec ces observations et ces simulations numériques.
En considérant une coquille avec un rapport d’aspect de 10 (R0 = 0,9), identique à celui des travaux de Jun [21], on en déduit que le mode de fragmentation
est l = 60. De plus, cette valeur est en accord avec le mode ayant le taux de croissance le plus élevé observé par Jun. Par ailleurs, une perturbation d’amplitude
initiale de ∼ 1 % est utilisée par Jun, en utilisant l’équation (5.88) avec comme
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
142
paramètres : une vitesse initiale de la coquille de 500 km s−1 , un rayon initial de
0,2 pc ainsi qu’un temps caractéristique τ = 500 ans (c’est à dire, β = 1,3). Il
se trouve qu’on obtient approximativement cette valeur (1 % d’écart) pour l’amplitude initiale de la perturbation. Cette démonstration suggère que notre modèle
analytique peut être utile pour une analyse poussée de la stabilité des restes de
supernovae.
Il est important de remarquer, que l’étude effectuée dans ce chapitre permet
de montrer rigoureusement que seules les perturbations incompressibles sont instables, ceci malgré un écoulement de base de la coquille compressible (γ = 5/3).
On montre en particulier que les modes compressibles sont stables et ne participent
pas à l’IRT. En utilisant notre changement d’espace (“zooming coordinates”) on
retrouve le même résultat que Bernstein et Book [17]. Nous montrons que pour
γ = 5/3 les solutions données par Bernstein et Book s’expriment plus simplement.
C’est une avancée essentiellement formelle, appréciable dans la mesure où les fonctions hypergéométriques de Bernstein et Book sont complexes. Notre relation de
dispersion dans le repère co-mobile, nous permet de séparer les modes incompressibles des modes compressibles et rejoint l’analyse asymptotique effectuée par
Bernstein et Book [17].
Nous voudrions ajouter une remarque d’ordre général à propos de l’obtention
de la relation de dispersion pour les problèmes d’instabilités.
Ordinairement, les études de stabilité sont menées autour d’un état d’équilibre
initial. Dans ces conditions, les équations différentielles linéaires qui sont obtenues
ne contiennent aucun coefficient dépendant du temps et il est complètement légitime de chercher l’évolution de la partie temporelle de la perturbation sous la
forme exp(ωt). Cette opération permet de définir rigoureusement un taux de croissance, ω, et d’aboutir à une relation de dispersion qui relie ω au nombre d’onde k
d’un mode de perturbation.
Lorsqu’on étudie la stabilité d’un écoulement qui, est instationnaire (soit dépendant explicitement du temps), les équations différentielles linéaires contiennent
obligatoirement des coefficients dépendant, eux aussi, explicitement du temps.
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
143
Cette modification par rapport au cas d’un équilibre initial est importante car elle
empêche de chercher une évolution en temps de la forme exp(ωt) où ω est une
quantité indépendante du temps, comme dans le cas précédent. Dès lors, il n’est
pas envisageable de trouver une relation de dispersion et de prédire le taux de
croissance d’un mode donné à l’avance.
Pourtant, dans notre situation, nous avions un écoulement instationnaire et,
malgré tout, nous avons trouvé une relation de dispersion. Ce résultat surprenant
a été rendu possible par l’utilisation d’un référentiel qui absorbe l’écoulement de
base de la configuration étudiée. Dans ces conditions, dans ce nouvel espace, nous
pouvons travailler autour d’un état d’équilibre et tout ce que nous disions précédemment devient à nouveau applicable. Le résultat est, qu’en effet, une relation
de dispersion est obtenue.
Cette approche de redimensionnement a déjà été étudiée [148] pour une autre
instabilité que l’IRT. Il s’agit de celle de l’effondrement gravitationnel ou instabilité de Jeans bien connue en astrophysique. Dans ce cas, la gravité auto-consistante
d’un nuage interstellaire provoque un effondrement total (ou plus exactement l’effondrement de sous-structure). Cette dynamique est instable car plus l’objet devient compact, plus l’accélération gravitationnelle devient forte et, en réaction, elle
provoque une phase supplémentaire de l’effondrement. Nous sommes donc ici dans
un cas typique où l’écoulement de base est également instationnaire et instable.
Pour ce problème, les auteurs ont utilisé [148] l’approche du référentiel co-mouvant
et tout comme pour le cas d’IRT traité dans ce chapitre, ils ont également été capables de trouver une relation de dispersion. Cette méthode semble donc présenter
une certaine généralité dans ses domaines d’application.
Les résultats de ce chapitre sont aussi en accord avec l’étude sur les effets de
compressibilité effectuée au chapitre IV. Dans le chapitre IV, on montre que l’effet
de compressibilité dépend naturellement du nombre d’Atwood. Pour At = 1, c’est
à dire, pour un contraste de densité très grand, le taux de croissance du cas com√
pressible est proportionnel à k et seules les perturbations incompressibles sont
instables. Cette observation nous permet de mettre en lumière le rôle important
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
144
joué par la densité du vent du pulsar. Dans ce chapitre nous avons une densité du
vent du pulsar nulle (At = 1). L’étude réalisée dans le chapitre IV nous permet de
dire que les effets de compressibilité doivent être faibles si la densité du vent du
pulsar est petite devant la densité de la coquille . Les perturbations de la face interne de la coquille affectées par la compressibilité ont le nombre d’onde k, tel que
p
k ¿ 1 − At 2 w0 /Cs2 ' kc (w0 est l’accélération de la coquille et Cs la vitesse du
son). En posant, kc ∼ lc /r0 et en injectant les expressions de l’accélération et de la
p
vitesse du son, on obtient, lc ' 3R02 1 − At 2 /(1 − R02 ), avec R0 = r0 /r1 (rapport
des rayons interne et externe de la coquille). Donc, par exemple pour At = 0,9
et R0 = 0,9, c’est à dire avec une densité du vent du pulsar ∼ 5 % de la densité
de la coquille et pour une coquille relativement fine, on trouve lc ' 5. Sachant
que le mode fragilisant de cette coquille est lM = 60 [lM = 2πR0 /(1 − R0 )], on en
déduit alors, que les effets de compressibilité dans ce cas, ne sont pas importants
p
car lc ¿ lM . On peut réécrire cette relation comme, 1 − At 2 ¿ 2π(1 + R0 )/R0 .
Comme cette relation est toujours vérifiée. on en conclu que les effets de compressibilité sont négligeables.
Cette analyse des effets de compressibilité expliquent aussi le rôle très particulier joué par la condition limite sur la face interne de la coquille. Nous avons montré
qu’à partir de l’expression de l’accélération instantanée de l’interface interne de la
coquille, nous obtenions une bonne approximation du taux de croissance pour γ
quelconque. Ce résultat met en évidence le rôle négligeable joué par le gradient de
densité à l’intérieur de la coquille ainsi que son épaisseur, sur le taux de croissance
de la perturbation.
En ce qui concerne la condition limite au bord externe de la coquille, nous avons
fait l’hypothèse que la coquille était en expansion isentropique dans le vide. Donc,
cette analyse ne nous permet pas de traiter le choc qui pourrait se former entre
la coquille et le milieu interstellaire. Cette hypothèse ne permet pas non plus de
traiter le cas d’une onde de choc en expansion dans les éjectas. Ces aspects seront
abordés au début du chapitre VI. Par contre, l’approximation du taux de croissance
[par l’accélération locale instantanée, Éq. (5.78)] montre que la condition limite
V. Instabilité de Rayleigh-Taylor instationnaire : Expansion d’une coquille
145
sur la face externe n’a pas d’influence sur le taux de croissance. En effet, seule la
face interne de la coquille est instable. On peut conclure de façon qualitative que
la face externe de la coquille joue peu de rôle dans le développement de l’IRT et
de plus, que les effets de compressibilité sont peu importants (la densité du milieu
externe à la coquille étant très faible).
Finalement, ce travail peut être appliqué aussi dans le domaine de la fusion
par confinement inertiel, c’est à dire, à l’étude de l’IRT dans la conception de
cibles. On peut l’utiliser pour la conception de cibles appropriées pour examiner
l’IRT dans les RSN, en réalisant des expériences avec des lasers. Dans les chapitres
suivants nous allons nous focaliser sur l’application de ce modèle à l’astrophysique
et ensuite au dimensionnement d’une expérience laser.
CHAPITRE VI
Application du modèle instationnaire aux RSN
Dans ce chapitre, nous reprenons une partie des résultats du chapitre V pour
les appliquer à une description analytique de l’évolution des plérions. L’expansion radiale des plérions est donnée dans la section 6.2. Dans la section 6.3, nous
appliquons ce modèle à la nébuleuse du Crabe en considérant la relation entre
les paramètres du modèle et la loi de décroissance de la luminosité du pulsar. La
section 6.4 est dévolue à l’analyse du développement de l’IRT et nous discuterons
des conditions de fragmentation des éjectas. La validation du modèle est discutée
dans la section 6.5. Enfin, nous conclurons dans la section 6.6.
6.1
Contexte astrophysique
Bien que le problème astrophysique et le type d’objet que nous étudions dans
ce travail aient été mentionnés dans les chapitres précédents, nous voudrions faire
dans ce paragraphe une synthèse de l’évolution d’un plérion et rappeler les points
qui ont fait l’objet de travaux antérieurs ou font l’objet d’études actuelles.
Bien que cette synthèse ne prétende pas être exhaustive, elle peut avoir le mérite
de faire le lien entre l’objet astrophysique et le modèle développé au chapitre V.
De plus, elle permet d’éclaircir les déficiences de ce modèle tout en examinant
les conséquences du point de vue physique mais, en complément, elle permet,
nous semble t-il, de mettre en avant les points nouveaux et les éléments positifs
développés dans ce travail de thèse.
Un RSN résulte de l’interaction du gaz ambiant avec le plasma stellaire éjecté
par la SN. Le profil spatial de la densité, ρa , du milieu ambiant est ordinairement
décrite par [55, 159] :
ρa = ρa,0 r−s .
(6.1)
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
148
Pour s = 0, la densité est uniforme et ρa,0 correspond à la densité du MIS qui est
ρa,0 ' 10−24 g/cm3 dans le cas de la nébuleuse du Crabe [143]. La valeur de s = 2
est prise pour décrire le MCS (milieu circumstellaire) lorsque le progéniteur de la
SN émet un vent stationnaire à vitesse constante, ce qui est une approximation
raisonnable [82, 160].
Lorsqu’une supernova de type II vient d’éjecter la majeur partie de sa matière,
celle-ci est en phase d’expansion balistique avec une vitesse eulerienne donnée
par [77] :
v(r, t) = r/t.
(6.2)
C’est la phase qu’on appelle “étape dominée par les éjectas (EDE)” [86, 160].
Lors de cette phase, deux régimes coexistent simultanément pour le profil de densités des éjectas [8, 82] :
ρej,int (t) = At−3 ,
(6.3)
ρej,ext (t) = Btq−3 r−q ,
(6.4)
où q est un exposant constant et où A et B sont deux paramètres qui dépendent de
l’énergie de la SN et de la masse éjectée [79, 82]. La durée de l’EDE est typiquement
inférieure à 1000 ans. Au cours de cette période la vitesse d’expansion des éjectas
est beaucoup plus grande que la vitesse du son dans le milieu ambiant et, en
conséquence, les éjectas sont précédés par un choc dû à l’onde de souffle. Le milieu
ambiant est alors accéléré, comprimé et chauffé par le choc et, en retour, ce milieu
ambiant choqué décélère et provoque la compression des éjectas adjacents. Une
discontinuité de contact (DC) entre les éjectas et le milieu ambiant en même
temps qu’un choc retour (“reverse shock” ou RS) remonte l’écoulement des éjectas.
Pendant ce temps, le choc initial (choc avant ou “forward shock” - FS) continue sa
progression vers l’extérieur dans le milieu ambiant non perturbé [86]. Sans tenir
compte du pulsar et de la bulle qui l’entoure (nous allons en parler tout de suite
après), on assiste à une séquence de structure ordonnées de la manière suivante
(en se déplaçant vers l’extérieur en géométrie sphérique) : les éjectas non choqués,
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
149
le RS, les éjectas choqués, la DC, le milieu ambiant choqué, le FS et le milieu
ambiant non choqué [9, 59, 86].
Au cours de ce processus, le raccordement entre les deux types de milieu (6.1)
et (6.4) s’effectue selon une solution auto-semblable (SAS) [55, 159] et la DC évolue
selon (il est le même pour le FS) [8] :
ρDC (t) ∼ t(q−3)/(q−s) .
(6.5)
Rappelons que la condition d’un écoulement de masse et d’énergie finie entraı̂ne
les deux inégalités : q > 5 et s < 3 [8]. Notons que cette SAS est de type classique,
c’est à dire que les grandeurs physiques évoluent comme des puissances du temps
t.
En toute généralité, une SAS est telle que toute grandeur physique, g(r, t),
puisse s’exprimer sous la forme [148] :
g(r, t) = G1 (t)ĝ[r/G2 (t)],
(6.6)
où les fonctions G1 (t) et G2 (t) ne sont pas nécessairement des monômes du temps
[161]. C’est, en particulier, le cas pour la solution [17] ou celle que nous avons
obtenue dans le chapitre V.
Pour des temps supérieurs à 103 ans (intervalles de temps de 103 à quelques
104 ans), deux phénomènes nouveaux essentiels se produisent. Premièrement, les
éjectas sont ralentis et leur rayon évolue selon la loi de Sedov [Rej (t) ∼ t2/5 ], [104].
Nous en avons parlé dans le chapitre I. Deuxièmement, bien qu’initialement le RS
soit en expansion, ainsi que tout le reste de la structure, lorsque la masse balayé
du MIS augmente, la vitesse de la DC diminue et, au bout d’un certain temps
(103 à 104 ans), le RS se rapproche de l’origine (r = 0) de l’explosion et provoque
l’implosion de la partie centrale du RSN comprenant le pulsar ainsi que la bulle
qui l’entoure. Ce problème a été étudié en détail par Bucciantini et al. [143] et peu
de temps avant par Blondin et al. [79].
Dans notre cas, nous n’avons pas de matière à l’extérieur de la coquille qui entoure la bulle enveloppant le pulsar. Ainsi, nous ne pouvons pas obtenir et décrire
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
150
les phénomènes mentionnés juste avant. Cependant, ces phénomènes se produisent
très tardivement alors que le problème d’accélération de coquille que nous avons
examiné commence à intervenir dès 100 ans environ après l’explosion [144]. Grâce
à ce grand décalage en temps, on peut penser qu’en première approximation, il est
raisonnable de négliger la partie extérieure des RSN. Autrement dit, l’interaction
avec le MIS ne modifie pas l’analyse que nous avons menée dans le chapitre V, à
condition de ne pas examiner l’évolution non-linéaire de l’IRT sur la face intérieure
de la coquille à des temps supérieurs à 103 ans. Étant donné la phase d’évolution
dans laquelle se situe la nébuleuse du Crabe [5, 21, 22], il nous semble que l’approche développée ici est instructive pour comprendre sa structure observée à ce
jour [5, 23, 162].
Figure 6.1: Figure extraite de la Réf. [79]. Structure d’un RSN avec la bulle centrale
due au vent du pulsar. La coquille qui entoure cette bulle a pour rayon extérieur Rp .
Cette quantité a été notée r1 dans le chapitre V et la face interne de la coquille a pour
rayon r0 (non indiqué sur cette figure).
Dès que le pulsar central commence à rayonner, la nébuleuse (ou bulle) qu’il
produit s’expand dans les éjectas de la SN qui sont initialement en expansion libre.
Cependant, le vent du pulsar balaye les éjectas et une coquille se forme (voir
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
151
la figure 6.1) [79] dans la région centrale du RSN. Sur la figure 6.1 on observe la
structure radiale d’un RSN incluant la bulle due au pulsar (pulsar wind nebula–
PWN). Commençons par décrire la partie située autour de l’origine. Après une
décroissance rapide de la densité, nous avons un saut (discontinuité plus grande
à gauche) qui correspond au choc de terminaison du vent. À ce niveau, on peut
faire un parallèle avec la figure 1.8 du chapitre I. Ensuite, une région presque
homogène est bordée par une coquille dont le rayon extérieur est noté Rp . Cette
quantité correspond au rayon r1 introduit au chapitre V. La face interne de cette
coquille (dont la position n’est pas indiquée sur la figure) correspond au rayon
r0 défini en même temps que r1 . L’épaisseur instantanée de cette coquille est
L(t) = r1 (t) − r0 (t) et c’est elle qui est accélérée par le vent du pulsar. La distance
Rt correspondant au lieu où les deux types de densité (6.3) et (6.4) se raccordent
tandis que R2 et R1 donnent respectivement la position du RS et du FS. La
DC (non labelisée sur la figure), se décèle clairement par son pic orienté vers le
bas et situé entre ces deux positions – L’abréviation SSDW signifie “Self-Similar
Driven Wave” et est la solution qui permet le raccorder les éjectas (6.4) au milieu
ambiant (6.1). Nous en avons déjà parlé [voir l’équation (6.5)].
Il faut remarquer que sur la figure (6.1) le maximum de densité de la coquille
est 30 fois plus important que la densité à l’extérieur de la coquille. Donc il est
possible de négliger l’effet de la densité du milieu extérieur à la coquille et on
suppose qu’elle s’expand dans le vide. À posteriori on verra plus loin (section 6.5)
que cette hypothèse a peu d’importance sur la stabilité de la face interne de la
coquille.
Enfin, comme cette figure provient d’un calcul monodimensionnel, on ne peut
pas observer les IRT sur la face interne de la coquille mais on peut se reporter
aux schémas 1.8 ou 1.10 du chapitre I ou bien aux simulations numériques bidimensionnelles de la littérature (voir les travaux de Jun [21] et de Bucciantini et
al. [22]).
En supposant une puissance [ou luminosité L(t)] du pulsar qui varie comme
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
152
(voir plus loin dans ce chapitre) :
L(t) ∼ t−p ,
(6.7)
où p s’écrit traditionnellement comme le quotient :
p=
n+1
,
n−1
(6.8)
où n s’appelle l’indice de freinage [82, 91, 163] car il est lié au ralentissement de la
vitesse de rotation du pulsar, on montre que le rayon de la PWN varie comme [21]
(on peut utiliser l’analyse dimensionnelle) :
RP W N (t) ∼ t(6−p−q)/(5−q) .
(6.9)
La relation (6.4) qui pour le cas particulier q = 0 redonne (6.3) a été utilisée.
Comme au départ la bulle s’expand dans le milieu où le gradient de densité spatial
est faible [79], on peut faire q = 0 dans (6.9).
Par ailleurs, comme le suggère Chevalier [82], pour t ¿ τ (τ est le temps
caractéristique de décroissance de la luminosité du pulsar – voir plus loin), L(t)
est approximativement constant et, dans ces conditions, on obtient :
RP N W (t) ∼ t6/5 .
(6.10)
Si on désire garder un effet de gradient de densité, (6.9) devient alors [82, 164] :
RP N W (t) ∼ t(6−q)/(5−q) .
(6.11)
Dans les deux cas, l’exposant du temps est supérieur à un et la coquille est
accélérée. Ces lois temporelles sont ainsi valables pour le choc (dont la position
est notée Rp sur la figure 6.1) qui progresse dans les éjectas.
Parallèlement à cette dynamique, la masse de la coquille augmente avec le
temps et, au début [82], elle varie comme :
Mcoq ∼ t(q−3)/(q−5) .
(6.12)
Pour q = 0, la formule (6.12) se réduit à :
Mcoq ∼ t3/5 .
(6.13)
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
153
Mais lorsque t vérifie t > τ , les relations (6.12) et (6.13) ne sont plus valides. En
effet, la luminosité du pulsar chute de plus en plus et la vitesse du gaz balayé par
le vent tend vers une constante. Comme par ailleurs, les éjectas situés à l’extérieur
de la coquille sont aussi en expansion balistique, la masse de cette coquille tend
vers une valeur constante.
En conséquence, pour que le modèle que nous proposons soit pertinent, il doit
être appliqué à une période de l’évolution du plérion qui n’est pas trop proche de la
phase d’explosion, lorsque la coquille a déjà été formée et que sa masse n’évoluera
plus fortement. Des équations (6.10) et (6.11), il ressort clairement que la coquille
est accélérée (l’exposant du temps est supérieur à un) et elle est donc soumise à
l’IRT sur sa face interne.
Les simulations numériques de Jun [21] et de Bucciantini et al. [22] mettent
en évidence ce phénomène avec l’apparition d’une filamentation à petite échelle.
Bien que dans son travail Jun développe un modèle analytique auto-semblable
avec, en particulier, p = 1/2 (cette valeur est assez peu représentative car la
plupart des PWN satisfont 2 ≤ p ≤ 3, comme on l’a vu dans l’introduction du
chapitre V), ses simulations numériques ne prennent pas en compte la variation de
L avec t. Néanmoins, outre la dynamique des doigts de Rayleigh-Taylor, il examine
aussi celle du choc induit par le vent du pulsar et il trouve que sa position varie
approximativement comme :
RJun ∼ tm ,
(6.14)
où m ' 1,157. Cette valeur est très proche de celle donnée analytiquement par la
formule (6.10).
De leur coté, Bucciantini et al. [22] prennent l’influence du champ magnétique
~ sur la croissance de l’IRT en considérant également une luminosité constante
B
du pulsar. Ils observent une stabilisation du processus pour un rayon du PWN
donnée par (6.11) en initialisant leurs simulations numériques bidimensionnelles
sur une SAS. Ils disent que, contrairement à Jun [21], ils n’obtiennent pas de
solution transitoire mais, pour autant, il ne nous semble pas clair que l’évolution
ultérieure qu’ils calculent reste auto-semblable. Cependant, le rayon de la PWN
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
154
qu’ils simulent est tout à fait en accord avec celui obtenu par Jun [21] en faisant
~ = 0.
B
Dans notre situation, nous n’avons pas de champ magnétique et Chevalier [82]
pense que la stabilité de configurations magnétiques ainsi que leur polarisation
~ purement tangent à la surface de la bulle) ne sont pas des éléments dont
(champ B
on soit complètement certain. C’est pourquoi, il considère qu’un modèle purement
hydrodynamique est une première approche raisonnable et que, de plus, la pression
qui agit sur la face interne de la coquille ne dépend pas des propriétés détaillées
~ de la bulle en s’appuyant sur la Réf. [143]
(présence ou non de B)
C’est la démarche que nous avons adoptée en nous plaçant en régime hydrodynamique pur. En revanche, nous avons introduit une difficulté supplémentaire
en prenant en compte analytiquement la variation temporelle de la luminosité du
pulsar alors qu’elle est négligée dans [21] et [22]. Par ailleurs, notre étude donne
une évolution qui reste toujours auto-semblable, et elle conduit à des solutions
beaucoup plus générales que (6.10). Sur la figure 6.2 nous avons tracé la quantité
C(t) − 1 (nous retranchons 1 à la fonction d’échelle pour mieux faire apparaı̂tre le
comportement pour t ¿ τ ) en fonction de t en échelles logarithmiques ainsi que
la loi (6.10).
Notons tout d’abord que sur cette figure, la droite du haut n’est valide que pour
t/τ . 1. En effet, pour t/τ À 1, la coquille est en vol balistique et le rayon de la
bulle croı̂t comme t. C’est le cas pour les trois courbes inférieures qui convergent
vers la droite de pente 1 pour t/τ grand. C’est le comportement physique correct
attendu. Pour les petites valeurs du temps, on peut observer l’effet du paramètre
β. Pour β = 0,5, la courbe est pratiquement parallèle à la droite du haut. En
revanche, pour β = 0 (vitesse initiale nulle), la pente est nettement plus grande. Un
calcul indique qu’elle vaut 2. En conséquence, la fonction C(t) que nous utilisons
permet de décrire selon les valeurs de β, un continuum de phases d’accélération
dont la pente (exposant en temps) peut décroı̂tre de 2 (valeur maximale) à 6/5
[valeur donnée par la formule (6.10)] et de couvrir un domaine de comportements
différents pour la dynamique de la coquille et, par conséquent, sur la croissance
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
155
Log(C−1)
.1e3
C
.1e2
1.
.1
.5
1.
5.
t
.1e2
Log(t/ τ)
.1
.1e-1
Figure 6.2: Tracé de la grandeur C(t) − 1 en fonction de t/τ en échelles logarithmiques.
En allant de bas en haut, les trois courbes correspondent respectivement à β = 0,
β = 0,2 et β = 0,5. La quatrième courbe correspond à la droite donnée par RP W N (t) ∼
t6/5 (6.10).
de l’IRT.
L’existence d’une coquille dans une PWN a, par ailleurs, été montrée à partir
d’observations [165] dans un reste de supernova moins lumineux que la nébuleuse
Crabe. Le satellite Chandra montre que la bulle contenant le pulsar et incluant des
jets et des filaments émet fortement dans le domaine des X et cette émission décroı̂t
fortement lorsqu’on s’écarte de la position du pulsar. À l’inverse, la détection dans
une bande moins énergétique (500 eV à 1 keV) met en évidence une émission plus
forte sur le bord extérieur de la bulle.
En conséquence, la région externe de la PWN présente une thermalisation qui
semble indiquer la présence d’une coquille résultant du balayage des éjectas par le
vent du pulsar. L’émission provenant de l’intérieur de la bulle est non thermique
puisqu’elle provient d’un vent relativiste magnétisé que l’on pense essentiellement
constitué de paires électrons-positrons [22]. Ce milieu est de très faible densité et
son coefficient polytropique vaut γ = 4/3. Il est représenté par une pression dépendant du temps que nous imposons sur la face interne de la coquille en supposant
qu’elle contient du vide. Cette pression pourrait être identifiée à celle provoquée
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
156
par un rayonnement électromagnétique pur dont γ = 4/3.
L’hypothèse du vide intérieur peut se justifier par le fait que le vent du pulsar a
une très faible densité et apporte donc peut de matière à la coquille en expansion.
D’un autre coté, nous ne considérons pas l’effet de l’ablation de la face interne
de la coquille [124, 166, 167]. Bien que l’ablation soit possible, elle ne doit pas
avoir beaucoup d’effet puisque le rayonnement du pulsar est piégé en volume et
par conséquent, l’ablation et le dépôt de matière du vent sont en équilibre. De
plus, nous savons que l’ablation stabilise surtout les petites longueurs d’onde,
alors que nous nous intéressons aux longueurs d’onde plus grandes ou de l’ordre
de l’épaisseur de la coquille.
Enfin, revenons quelques instants sur notre hypothèse qui consiste à supposer
que le vide règne à l’extérieur de la coquille. Nous avons déjà abordé ce point dans
ce paragraphe mais nous désirons ajouter que nous avons vu au chapitre V que la
condition limite externe sur la coquille a peu d’influence sur le taux de croissance
de l’IRT [voir l’expression du taux de croissance (5.78) dans le chapitre V], car
seule la face interne de la coquille est instable. La vérification de l’hypothèse du
vide extérieur devrait peu influencer le développement de l’IRT.
6.2
Modèle hydrodynamique d’un plérion
Nous allons maintenant nous rapprocher davantage des caractéristiques de la
nébuleuse du Crabe. Les observations de la nébuleuse du Crabe, un plérion typique,
indiquent que les RSN sont en expansion instationnaire. Pour une position actuelle
des filaments de la nébuleuse, situés à environ r ' 1 pc du pulsar central et dont
l’âge est de t ' 930 ans (les données utilisées ici proviennent de mesures effectuées
en 1985 [168]), le rapport r/t est de 1050 km s−1 ; mais la vitesse actuelle de ces
filaments est plus grande de 10 % (∼ 1150 km s−1 ). Ceci indique que la nébuleuse
a été accélérée [24, 168].
Des modèles hydrodynamiques de l’évolution des plérions ont été récemment
développés [21, 79, 82] et comme nous l’avons vu, des études analytiques et nu-
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
157
mériques ont été menées sur l’interaction du vent d’un pulsar avec les éjectas de
la supernova. Reynolds et al. [81] ont étudié un modèle auto-semblable en supposant que l’expansion des éjectas était à symétrie sphérique et homologue (le
champ de vitesse radiale est proportionnel au rayon). Jun [21] considère un vent
de pulsar constant en interaction avec des éjectas. Il a effectué des simulations
bi-dimensionnelles en géométrie axisymétrique pour étudier le développement de
l’IRT d’une coquille en expansion sur une échelle de temps de mille ans. Par
ailleurs, Blondin et al. [79] étudient en particulier, la phase d’évolution supérieure
à 104 ans, lorsque le choc en retour dans les éjectas, suite à l’interaction des éjectas avec le milieu interstellaire, vient interagir avec le vent du pulsar. Récemment,
Bucciantini prend en compte l’influence du champ magnétique sur le développement de l’IRT [22] sur une échelle de temps d’environ 2000 ans.
Dans ce chapitre, nous allons nous baser sur le modèle développé dans le chapitre précédant, qui est similaire au modèle étudié par Bernstein et Book [17].
Dans ce modèle, le vent provenant du pulsar composé de particules et de photons
très énergétiques, est modélisé par une loi de pression qui décroı̂t en volume dans
la coquille en expansion. La phase d’évolution du plérion que nous considérons
correspond à celle étudiée par Jun [21], c’est à dire, sur une période de plus de
1000 ans après l’explosion.
Comme nous l’avons expliqué dans le paragraphe 6.1, nous rappelons les hypothèses de notre modèle :
– La masse apportée à la coquille en expansion est négligeable et par conséquent
la masse de la coquille est constante,
– Face interne : lors de l’interaction entre la coquille, on suppose que le vent
du pulsar est de densité très faible.
– Face externe : suite à l’interaction avec le milieu environnent, on suppose que
la densité de ce milieu est négligeable.
La première hypothèse est raisonnable si l’on considère une période d’évolution
du plérion pas trop proche de l’explosion, lorsque la coquille a déjà été formée et
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
158
en conséquence, sa masse n’évoluera plus fortement [82].
Dans ces conditions nous pouvons penser que le modèle développé au chapitre
V est applicable pour décrire l’évolution d’un plérion, tel que le Crabe. Ce modèle
d’expansion de coquille intègre naturellement une décroissance de l’intensité du
vent du pulsar. Cette décroissance peut être due à une perte d’énergie cinétique
de rotation du pulsar central, mais aussi à une interaction moins forte avec la
coquille.
La solution développée dans le chapitre V a été obtenue à partir des équations
d’Euler pour un polytrope tel que p = Kργ avec γ = 5/3. L’effet du vent du pulsar
est traité par une loi de pression agissant sur la face interne des éjectas et la bulle
peut être considérée comme un milieu avec γ = 4/3 [connaissant la pression, on
peut par exemple déterminer la température T sur l’intérieur de la bulle par une
loi radiative (γ = 4/3) avec p = σT 4 /3 où σ est la constante de Stefan-Boltzmann].
La solution instationnaire pour l’écoulement radial d’une coquille est décrit par
les équations (5.40) à (5.42) :
µ
¶3/2
r2
ρ(r, t) = ρ0 C (1 −
1− 2 2
,
C r1
µ
¶5/2
r2
5/3
2 −5/2 −5
,
p(r, t) = K ρ0 (1 − R0 )
C
1− 2 2
C r1
µ
¶
r
t
2
vr (r, t) = 2
β + (β + 1)
.
C τp
τp
−3
R02 )−3/2
(6.15)
(6.16)
(6.17)
où ρ(r, t), p(r, t), vr (r, t) sont respectivement la densité, la pression et la vitesse
radiale d’une coquille de rayon interne r0 et externe r1 avec R0 ≡ r0 /r1 et ρ0 ≡
ρ(r0 , 0) la densité à la face interne de la coquille. De plus, on appelle :
∆ = 1 − r0 /r1
(6.18)
le rapport d’aspect. La fonction d’échelle C(t) est définie par l’équation (5.24) :
sµ
¶2
t2
βt
+ 2.
C(t) =
(6.19)
1+
τp
τp
Le paramètre τp est le temps caractéristique d’expansion de la coquille et la
constante β ≡ τp Ċ(0) caractérise sa vitesse initiale v0 (r) = βr/τp . Il est noté
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
159
τ dans le chapitre V et nous avons ajouté ici l’indice “ p” comme “plérion”. De
plus, l’évolution temporelle de la face interne est donnée par : r0 (t) = C(t)r0 (0) et
l’évolution de la face externe est donnée par : r1 (t) = C(t)r1 (0).
ρ (r,t)
1
d
p(r,t)
(a)
(b)
0.035
0.8
0.03
0.025
0.6
0.02
0.015
0.4
0.01
0.2
0.005
0
0
0
0.4
0.8 r/r (0)1.2
1
r
1.6
0
0.4
v
1(0)
1.6
1.2
r
(c)
1
0.8 r/r
(d)
p(r0 ,t)
v(r,t)
0.035
0.8
0.03
0.025
0.6
0.02
0.4
0.015
0.01
0.2
0.005
0
0
0.4
0.8 r/r (0)1.2
1
r
1.6
0
0
0.5
1
t/τ p
1.5
2
Figure 6.3: Solution analytique pour l’évolution d’un plérion. Cette figure donne les
profils spatiaux de densité (a), de pression (b), de vitesse (c) pour t = 0, τp , 2τp . La loi
de pression sur la face interne des éjectas est donnée sur (d). Dans cette figure la densité
est normalisée par la densité ρ0 sur la face interne à t = 0.
L’équation (6.15) donne l’évolution de la densité dans la coquille, laquelle décroı̂t temporellement comme globalement C −3 (t). Asymptotiquement, pour t À
τp , la densité décroı̂t comme t−3 et l’équation (6.17) montre que la vitesse de
l’écoulement est proportionnelle au rayon, comme le suppose Reynolds et al. [81]
et Chevalier [169] dans ce type d’étude. La fonction d’échelle C(t) est monotone
pour β > 0, et lorsque t ¿ τp , la coquille est accélérée : C(t) ∝ t2 (voir la figure 6.2)
et pour t À τp la coquille est en expansion libre [C(t) ∼ t].
Sur la figure 6.3, on représente l’évolution temporelle du profil de densité (a),
de la pression (b) et de la vitesse (c) des éjectas. La figure 6.3a montre la densité
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
160
d’une coquille fine [∆ = 1 − R0 = 0,1 ; voir Éq. (6.18)] décroissant dans le temps et
tendant vers zéro sur la face externe tandis que l’épaisseur de la coquille augmente
avec le temps. La pression dans la coquille (b) décroı̂t avec le temps et la loi de
pression sur la face interne est donnée sur la figure 6.3d. La vitesse est linéaire en
fonction du rayon à l’intérieur de la coquille (d). La vitesse moyenne des éjectas
augmente, ceci est dû au fait que la coquille est accélérée mais elle tend vers une
phase d’expansion libre après un temps t À τp .
La masse des éjectas, Mej , est obtenue après intégration de l’équation (6.15)
sur le volume de la coquille :
Mej =
4πα1 3
r ρ0 ,
3 1
(6.20)
où le coefficient α1 est un facteur de forme défini par l’intégrale générique suivante,
αn , en posant n = 1 :
3
αn =
(1 − R02 )3/2
Z
1
(1 − R2 )3/2 R2n dR.
(6.21)
R0
Connaissant Mej , l’équation (6.20) permet de trouver la densité sur la face
interne des éjectas sachant que R0 est connu. Avec ce modèle, on peut trouver
l’expression de l’évolution temporelle de l’énergie cinétique Ec pour une coquille
sphérique :
Ec (t) = E0 + Ep (t)
(6.22)
r12 α2
,
2τp2 α1
(6.23)
où :
E0 = β 2 Mej
est l’énergie cinétique initiale et :
r2
Ep (t) = Mej 12
2τp
µ
1
1−
C(t)2
¶
α2
,
α1
(6.24)
est l’énergie cinétique acquise par la poussée de la pression du vent du pulsar dans
la phase d’expansion. La quantité α2 est obtenue en faisant n = 2 dans l’expression
de αn . Lorsque ∆ << 1 (pour une coquille fine), on obtient :
Z ∆
3
6
αn = 3/2 3/2
23/2 x3/2 (1 − x)2n dx ' ∆.
2 ∆
5
0
(6.25)
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
161
Cette relation permet de simplifier les calculs pour une coquille fine. Une fois
donnée l’expression de l’énergie cinétique Ec (t), la luminosité du pulsar Lp (t) peut
être exprimée de la façon suivante :
Lp (t) =
dEc
r2 Ċ α2
= Mej 12 3 ,
dt
τp C α1
(6.26)
où C(t) est donnée par l’équation (6.19). La luminosité initiale :
Lp0 =
βMej r12 α2
,
τp3 α1
(6.27)
s’exprime elle aussi à partir de l’équation (6.19). Dans le paragraphe 5.3.2 du
chapitre V, nous avions déterminé la luminosité L(t) par l’expression L(t) ∼
−dt (pr0 V ). Cette expression est équivalente à (6.26) car l’énergie cinétique est
acquise par le travail de la force de pression pr0 . Nous pouvons donner le temps
caractéristique τp par :
µ
τp =
βMej r12 α2
Lp0 α1
¶1/3
.
(6.28)
La vitesse du son sur la face interne à t = 0 est donnée par l’expression :
q
r1
Cs0 ≡ 1 − R02 √ ,
(6.29)
3τp
voir la formule (5.49) et l’expression de la vitesse du son qui suit. Nous avons
ainsi exprimé toutes les formules fondamentales permettant d’étudier l’évolution
des éjectas soufflés par un pulsar central. Une fois définis r0 , r1 , Mej , E0 ainsi que
Lp0 (la luminosité initiale du pulsar), nous pouvons trouver la densité des éjectas
sur la face interne ρ0 ainsi que les paramètres β, τp et Cs0 . Dans cette section, un
indice “p” apparaı̂t sur toutes les grandeurs liées à notre modèle. Dans la section
suivante, relatif au modèle observationnel, cet indice n’est plus utilisé.
6.3
Évolution temporelle de la luminosité du pulsar
Les modèles d’évolution des plérions [73] et l’estimation de l’énergie totale
contenue depuis le domaine radio jusqu’au domaine des X [74], montrent que la
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
162
majeure partie de l’émission d’énergie provient d’une étoile à neutrons magnétisée
en rotation rapide [68, 165]. L’énergie de rotation d’un pulsar peut s’exprimer
comme :
IΩ2
2π 2 I
=
,
2
P2
Er =
(6.30)
où I est le moment d’inertie du pulsar, Ω est sa fréquence de rotation et P = 2π/Ω
sa période de rotation. L’énergie de rotation initiale d’un pulsar Er peut être très
importante car son moment d’inertie est grand, I ∼ 1045 g cm2 . Par exemple, pour
un pulsar ayant une période de rotation initiale de 5 ms, Er est de l’ordre de ∼ 1051
ergs [79]. Cette énergie est comparable avec l’énergie cinétique mise en jeu lors de
l’explosion d’une supernova. Les observations montrent que la période de rotation
des pulsars croı̂t avec le temps. Ceci implique que le pulsar perd progressivement
son énergie initiale de rotation. La loi de freinage de la rotation des pulsars peut
être donnée par [69] :
Ω̇ = −Kl Ωn ,
(6.31)
où Kl est une constante, n est l’indice de freinage et Ω̇ est la dérivée temporelle
de la fréquence de rotation du pulsar (voir la fin du paragraphe 1.3 du chapitre I).
L’intégration de l’équation (6.31) donne l’évolution temporelle de la fréquence :
Ω(t) =
Ω0
(1 + t/τ )1/(n−1)
,
(6.32)
où Ω0 est la fréquence initiale, τ est le temps caractéristique de ralentissement
donné par :
τ=
Ω1−n
0
.
Kl (n − 1)
(6.33)
Nous pouvons utiliser la relation (6.32) pour trouver la fréquence ou la période
de rotation initiale du pulsar :
Ω0 = [Ω(t)1−n − Kl (n − 1)t]1/(1−n) .
(6.34)
Si les paramètres du pulsar sont connus à un instant t, on peut exprimer son
âge t [154] à partir de l’équation (6.34) :
"
"
µ ¶n−1 #
µ ¶n−1 #
Ω
Ω
P
P0
t=−
1−
=
1−
.
Ω0
P
Ω̇(n − 1)
Ṗ (n − 1)
(6.35)
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
163
Une approximation de cette expression est valable si une décélération importante s’est produite entre le temps actuel t et le temps initial t = 0, c’est à dire,
lorsque Ω0 À Ω ou P0 ¿ P . Alors, l’équation (6.35) devient :
t=−
Ω(t)
P (t)
=
.
(n − 1)Ω̇(t)
(n − 1)Ṗ (t)
(6.36)
À partir de cette expression, dans le cas d’un pulsar décrit par un dipôle magnétique pur, on a n = 3 [91] et on peut trouver dans ce cas le temps caractéristique
du pulsar défini par t = τc ≡ −Ω/2Ω̇ = P/2Ṗ . Cette dernière expression permet
d’estimer le temps pendant lequel le ralentissement du pulsar est important, si
nous connaissons la période de rotation P ainsi que sa dérivée temporelle Ṗ .
L’indice de freinage n peut être obtenu à partir de la dérivée temporelle de
l’équation (6.31) : n ≡ Ω̈Ω/Ω̇2 . Donc, la mesure de Ω, Ω̇ et Ω̈ à un instant donné
t, permet de trouver n, Kl et Ω0 à partir de l’équation (6.34), et l’équation (6.33)
permet d’obtenir le temps caractéristique de ralentissement τ .
Connaissant la fréquence initiale de rotation, on peut en déduire l’énergie cinétique de rotation initiale, E0 = IΩ20 /2. La dérivée par rapport au temps de la
relation (6.30) nous permet d’exprimer la puissance Ėr irradiée par le pulsar et
écrire :
1 d(IΩ2 )
Ėr =
= −L(t),
2 dt
(6.37)
où L(t) est la luminosité du pulsar. On obtient L = −IΩΩ̇ = 4π 2 Ṗ /P 3 . Partant
de l’équation (6.32) la luminosité temporelle du pulsar évolue alors comme :
L(t) =
L0
,
(1 + t/τ )p
(6.38)
où L0 = IΩ20 /τ (n − 1) est la luminosité initiale du pulsar et p est défini p ≡
(n + 1)/(n − 1) [79].
Par exemple, les mesures de pulsation du pulsar du Crabe donnent un indice
de freinage de n = 2,5 soit p = 2,3 [82, 89, 154], Ω = 190 s−1 et Ω̇ = −2,4×10−9
s−2 [170].
Ces valeurs sont mesurées à un certain temps t après l’explosion de la SN, et
dans le cas de la nébuleuse du Crabe, l’explosion est datée en l’an 1054. Sachant
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
164
que les mesures de Ω et de Ω̇ ont eu lieu en 1975, on en déduit t = 1975−1054 = 921
ans. Ensuite, en supposant que l’ordre de grandeur de I est I = 1045 g cm2 [80],
on peut estimer la période de rotation initiale à P0 ∼ 19 ms. Alors, il vient
E0 ∼ 5,3×1049 ergs, L0 ∼ 3×1039 erg s−1 , τ ∼ 733 ans et τc ∼ 1240 ans. Ces
valeurs sont en accord avec celles données dans [79], par exemple.
La luminosité L0 peut être comparée à l’émission du corps noir Ln de l’étoile
à neutrons. Si l’on considère une étoile à neutrons de 10 km de rayon avec une
température de surface de ∼ 2 MK [165, 171], alors on a Ln ∼ 1038 erg s−1 . Donc,
l’émission thermique de l’étoile à neutrons est plus faible et la luminosité du pulsar
est dominée par l’émission de particules relativistes qui ralentissent sa rotation.
Dans ce modèle, nous supposons que l’indice de freinage n est constant. En
réalité, ce paramètre évolue avec le temps, et la loi de freinage, donnée par la
relation (6.31) devient plus compliquée. En effet, les pertes dues au rayonnement gravitationnel quadrupolaire sont à prendre en compte [172]. Cependant,
elles sont considérées négligeables dans notre modèle, lequel reste plutôt qualitatif. D’ailleurs, la majorité des pulsars ont un indice de freinage compris entre 2
(p = 3) et 3 (p = 2) [82]. Ceci correspond au rotateur purement électrique ou
magnétique. Il existe cependant une exception, le pulsar de Vela X pour lequel
p = 6 soit n = 1,4 ! [173].
À partir des données d’entrée de Jun [21], on prend ∆ = 0,1, r1 = 0,22 pc
et une vitesse initiale de ∼ 500 km/s. De plus, on prend une masse de coquille
égale à Mej = 3 M¯ (M¯ est la masse du soleil) et, en conséquence, l’énergie
cinétique initiale des éjectas vaut E0 ' 1049 ergs. Enfin, la luminosité initiale est
Lp0 = 5×1039 erg s−1 [luminosité déduite de la formule (6.27) du modèle décrit
dans la section 6.2]. Ces paramètres initiaux sont proches de ceux de la nébuleuse
du Crabe [21].
Notre modélisation présentée dans la section 6.2 permet de donner la densité
initiale ρ0 = 4,3×10−20 g cm−3 , la vitesse initiale de 560 km s−1 (soit β = 0,55),
avec un temps caractéristique τp = 210 ans [voir Éq. (6.28)] et la constante
K = 3,3×1027 C.G.S. (voir le paragraphe 6.2) pour une vitesse du son de Cs0 = 260
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
165
km s−1 [voir Éq. (6.29)] correspondant à une température de ∼ 5 MK (400 eV) [174].
On retrouve le même ordre de grandeur que les paramètres initiaux utilisés par
Jun dans ses simulations [21].
Avec ces valeurs initiales, notre modèle fournit l’évolution temporelle des rayons
interne et externe des éjectas (voir la figure 6.4a). Ils sont en accord avec les observations [24] et les simulations numériques [21]. Sur une échelle de temps d’environ
5τp , c’est à dire ∼ 1000 ans, le rayon des éjectas varie entre 0,2 et 1,5 pc et la
vitesse des éjectas croı̂t de ∼ 500 à ∼ 1100 km s−1 (figure 6.4b).
Finalement, sur la figure 6.5, nous comparons la luminosité du pulsar (6.26)
donnée par notre modèle, avec la loi d’échelle donnée par l’équation (6.38) avec
L0 = 8,5×1039 erg s−1 , τ = τp = 210 ans. La valeur de n est fixée à 2 (p = 3) dans
le modèle, la luminosité décroı̂t alors en t−3 et cette valeur est un indice de freinage
réaliste pour les modèles de luminosité de pulsar [typiquement p = (n + 1)/(n − 1)
est compris entre 2 et 3 et il en est de même pour n].
Le bon accord entre les observations et les résultats analytiques de l’expansion
de la nébuleuse du Crabe nous permet de suggérer que ce modèle fournit une
description raisonnable pour l’expansion des RSN et des plérions.
6.4
Simulation numérique de l’instabilité de la
coquille
L’accord entre le modèle et les observations pour l’écoulement radial unidimensionnel moyen, nous permet de l’utiliser pour décrire une perturbation angulaire.
Le vent du pulsar peut être considéré comme un milieu léger poussant un milieu
lourd (la coquille). Cette configuration est instable et l’écoulement de base est
instationnaire. L’étude de sa stabilité a été traité lors du chapitre V.
Le développement de l’IRT semble être responsable de la filamentation de la
nébuleuse du Crabe [5], comme nous l’avons montré au cours du chapitre I puis ultérieurement. En utilisant la simulation numérique ainsi que la solution analytique
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
166
2.
r(t)
t
y 1.
1.
10
.1e2
100
.1e3
.1e41000
t
.5
(a)
.2
V(t)
1200
1100
1000
900
(b)
800
700
600
0
200
400
t
600
800
1000
t
Figure 6.4: Représentation (a) de l’évolution temporelle de la face interne (trait plein)
et externe (traits pointillés). Le rayon r(t) est en parcec (pc) et le temps t en années.
On note une évolution significative du rayon après t = τp = 210 ans. Après une phase
d’accélération, suit une phase d’expansion libre. Sur (b) on trace l’évolution temporelle
de la vitesse [V (t) est en km/s et t en années] de la face interne (trait plein) et la
vitesse de la face externe (traits pointillés). L’augmentation de l’épaisseur de la coquille
ne se voit pas en échelle Log-Log, par contre en échelle linéaire on se rend compte que
l’épaisseur augmente d’un facteur ∼ 15 pour t = 1000.
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
167
L(t)
1e+40
10
1e+39
10
1e+38
10
0
200
400
t
600
800
1000
Figure 6.5: Comparaison de la luminosité L(t) (L est en erg/s et t en années) du pulsar
donnée par le modèle standard c’est à dire l’équation (6.38), sachant que L0 = 8,5×1039
erg s−1 , τ = τp = 210 ans et n = 2 (p = 3) (en pointillés) avec la luminosité Lp (t)
donnée par notre modèle, l’équation (6.26) avec Lp0 = 5×1039 erg s−1 et τp = 210 ans
(trait plein). On observe un bon accord entre les deux modèles.
développée au cours du chapitre V, nous désirons étudier plus précisément la fragmentation de la coquille formée par les éjectas. Pour simuler la phase non-linéaire
de l’IRT d’une coquille perturbée et accélérée par le vent du pulsar, nous utilisons le code hydrodynamique CHIC (Code d’Hydrodynamique et d’Implosion du
Celia) [175, 176]. Ce code bidimensionnel, en géométrie axisymétrique, utilise une
formulation lagrangienne des équations d’Euler. Le solveur hydrodynamique est
basé sur les principes de conservation de l’impulsion et de l’inégalité entropique
(garantit une dissipation positive de l’entropie). C’est une extension du solveur
acoustique 2D de Godunov [175, 176, 177].
Dans le section 5.7, une perturbation arbitrairement petite :
~ θ, φ, t) =
ξ(r,
X
ξ~l,m (r, t)Ylm (θ, φ),
(6.39)
l,m
a été développée en harmoniques sphériques Ylm dans le référentiel associé à la
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
168
coquille en accélération. Chaque perturbation angulaire est développée sur quatre
modes propres. En particulier, l’évolution temporelle de la composante radiale de
la perturbation de la coquille ξr (r, t) peut être représentée par [voir Éq. (5.84)] :
ξr (r, t) = C(t)
4
X
Λi ξˆi (r)eωi g(t) ,
(6.40)
i=1
où g(t) est donné par : g(t) = arctan[β + (β 2 + 1) t/τp ] − arctan β. Les fonctions
ξˆi (r) donnent la distribution radiale de la perturbation pour un mode pur dont la
√
√
fréquence dépend seulement du nombre orbital l : ω1,2 = ± l + 1, ω3,4 = ±i l
(voir chapitre V). Seul le premier mode, ω1 est instable et parmi les trois autres,
deux oscillent et l’un est évanescent et ils dépendent des conditions initiales. On
définit a0 = ξˆi (r0 ) comme l’amplitude de la déformation initiale de la face interne
de la coquille.
La perturbation initiale est décomposée en harmoniques sphériques selon (6.39)
et on considère le cas axisymétrique pour un l donné avec m = 0. L’écoulement
radial de base a été donné dans la section 6.2. La loi de pression sur la face
interne est donnée par l’équation (6.16). Les paramètres initiaux de la coquille
sont définis dans la section 6.3, c’est à dire, Mej = 3 M¯ , r1 (0) = 0,22 pc, ∆ ≡
[r1 (0) − r0 (0)]/r1 (0) = 0,1 avec une énergie cinétique initiale des éjectas E0 = 1049
ergs et une luminosité initiale du pulsar Lp0 = 5×1039 erg s−1 .
La figure 6.6 montre l’amplification de la perturbation initiale ξr (r0 , 0) sur la
face interne en fonction du temps. Pour calculer cette amplification, deux simulations sont effectuées. La première simulation sans perturbation, donne la position
non perturbée du rayon interne r0,np (t). La seconde simulation est effectuée avec
une perturbation initiale du rayon interne de la forme rp (0) = r0,np (0) + a0 sur
l’axe θ = φ = 0 pour une mode l donné. Angulairement, cette perturbation initiale
s’écrit r0,p (0, θ, φ) = r0,np (0) + a0 Ylm (θ, φ).
La soustraction r0,p (t) − r0,np (t) donne l’évolution temporelle de la perturbation ξr (r0 , t) sur l’axe θ = φ = 0 et la quantité ξr (r0 , t)/[a0 C(t)] est tracé sur
la figure 6.6. Naturellement, à t = 0, ce rapport vaut 1 et nous avons normalisé
l’amplification par la fonction d’échelle a0 C(t) pour soustraire l’expansion de la
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
169
coquille et isoler seulement l’amplification due à l’IRT.
Les courbes sur la figure 6.6a montrent une comparaison entre la solution
analytique (6.40) pour le mode 60 et la simulation pour les modes l = 40 à 80 par
pas de 10. On observe un bon accord pour t < τp . Dans ce domaine, la solution
analytique ne diffère pas plus d’un facteur deux par rapport à la simulation (on
considère qu’on est encore en régime linéaire). Plus tard, la perturbation entre dans
le domaine non-linéaire lorsque t > τp et, comme on s’y attendait, la croissance
ralentie.
ξr/a0C(t)
(a)
Linear Theory : l = 60
l = 60
l = 40
l = 70
l = 50
l = 80
100
10
28.102
(b)
25.548
ξr/a0C(t)
23.225
21.114
19.194
17.449
15.863
14.421
1.2
1.4
1.6
t/τ
1
0
0.5
1
t/τ p
1.8
p
1.5
Figure 6.6: (a) Tracé en fonction du temps du calcul, par le code CHIC, de l’amplification
de la perturbation pour différents modes l compris entre 40-80 (il s’agit du faisceau de
cinq courbes qui sont rapprochées), avec a0 = 10−3 r1 . La courbe supérieure en trait
plein (notée Linear Theory : l = 60) est donnée par le modèle analytique linéaire. La
figure (b) est un agrandissement local du faisceau des 5 courbes où l’on met en évidence
que le mode l = 80 (trait plein) commence à saturer avant le mode 70 (− · ·−). En effet,
pour t > 1,4τp le mode l = 70 passe au dessus du mode l = 80.
2
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
170
Nous pouvons estimer le mode lM pour lequel la coquille peut se casser en
devenant trop fine. On définit lM comme le mode pour lequel est satisfait le critère
défini au chapitre V [17, 80, 145]. Il est évident que ce mode est dans un régime
linéaire marginal, puisque la non-linéarité ralentit la croissance. Donc, on suppose
que l’amplitude finale, af , de la perturbation est de l’ordre de sa longueur d’onde :
af ' λ (λ = 2πr0 /l) et que, de même, elle est du même ordre de grandeur que
l’épaisseur de la coquille r1 ∆. Alors, on obtient lM = 2π/∆, avec ∆ = 0,1 et
on trouve lM ' 60. Cette valeur est proche de celle obtenue par les simulations.
Pour démontrer que ce mode fragilise le plus la coquille, nous réalisons plusieurs
simulations avec des modes distribués autour de lM . Pour toutes ces simulations,
on a a0 /r1 = 10−3 et on trace sur la figure 6.6a l’amplification pour les modes :
l = 40, 50, 60, 70 et 80.
Nous observons que l’amplification pour le mode l = 80 commence à saturer
avant le mode l = 70 (Fig. 6.6b), car ce mode (l = 80) croı̂t initialement plus
rapidement et entre dans la phase non-linéaire avant les autres. L’agrandissement
effectué dans la figure 6.6b, montre que pour t > τp , le mode l = lM = 70 croı̂t
plus vite que les autres. Nous déduisons que ce mode fragilise le plus la coquille
et peut conduire à sa fragmentation.
Une fois ce mode trouvé, nous augmentons l’amplitude de la perturbation jusqu’à ce que la coquille se brise. Sur la figure 6.7, nous traçons la densité de la
coquille perturbée avec a0 /r1 = 5×10−3 et l = 70.
Pour mettre en évidence l’évolution de l’IRT, nous traçons la densité à trois
instants différents : t = 0, t = τp , t = 2τp . On distingue nettement que la déformation de la coquille est plus importante sur l’axe polaire (θ = 0), car la perturbation
initiale est développée en polynôme de Legendre. Avec cette perturbation particulière, on peut observer les différentes étapes de l’IRT en fonction de l’angle. Sur
l’axe équatorial (θ = π/2), la perturbation est encore en régime linéaire alors que
sur l’axe polaire, la perturbation est en régime non-linéaire, avec le développement
de structures bulles-aiguilles caractéristiques de l’IRT. On peut observer ce régime
caractéristique sur la figure 6.8, où l’on distingue un long filament et sur l’axe une
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
171
Figure 6.7: Représentation des simulations 2D pour le mode l = 70, fragilisant le plus
la coquille, avec a0 /r1 = 5×10−3 , β = 0,55 et R0 = 0,9 (voir sections 6.3 et 6.2) à trois
instants différents : t = 0, t = τp , t = 2τp . On observe que la coquille des éjectas devient
très fine au voisinage de t = 2τp . L’échelle en densité est logarithmique.
bulle dont la parois s’affine au cours du temps. Sur cette figure, on trace deux
profils de densité, en haut, à l’intérieur de l’aiguille et en bas à l’intérieur de la
bulle. On observe que le profil dans l’aiguille est environ quatre fois plus épais que
le profil dans la bulle, avec la même densité sur la face interne (la densité s’annule
sur la face externe de la coquille). Ce résultat montre que l’aiguille est plus massive
que la bulle. La masse surfacique de l’aiguille est plus de 10 fois plus grande que
la masse surfacique de la bulle. La coquille est donc proche de sa fragmentation
pour θ = 0, autour de t = 2τp . Dans la section 6.4, le temps caractéristique est
τp = 210 ans, alors la fragmentation des éjectas se produit donc autour de t ' 420
ans.
De plus, sur les figures 6.7 et 6.8, on observe que la densité pour t = 2τp est
maximale sur la face interne de la coquille comme on l’observe à l’intérieur de la
nébuleuse du Crabe [23]. Si l’on considère les filaments à un temps t = 2τp , alors le
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
172
Figure 6.8: Détail de la structure typique bulle-aiguille le long de l’axe x (θ = 0) à
t = 2τp . La densité est tracée en échelle linéaire. On trace deux profils de densité : en
haut le profil à l’intérieur de l’aiguille et en bas à dans la paroi de la bulle. L’origine des
abscisses dans ces deux tracés est située sur la surface interne de la coquille.
rayon de la coquille est de ∼ 0,5 pc et son épaisseur est de 0,06 pc, sachant qu’elle
est donnée par : [r1 (0) − r0 (0)]C(t). On en déduit que la longueur du filament le
plus long est d’approximativement deux fois l’épaisseur de la coquille, c’est à dire
∼ 0,1 pc. Après t = 2τp , la croissance de l’IRT est moins importante car la pression
initiale à l’intérieur de la bulle diminue. La coquille entre dans une phase de vol
libre et sa structure filamentaire se fige. La longueur moyenne des filaments est en
accord avec celle observée dans la nébuleuse du Crabe par Davidson et Fesen [168]
et Hester et al. [5].
On peut estimer la masse des filaments si l’on suppose que la fragmentation
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
173
se produit en géométrie 3D. La modélisation monomode 2D (l, m = 0) donne
des résultats qualitatifs. En réalité, les modes azimutaux peuvent être aussi excités. En faisant l’hypothèse d’une équirépartition des modes, c’est à dire, l ' m,
le nombre de filaments est de l’ordre de l2 . On peut en déduire directement la
masse moyenne des filaments qui est approximativement donnée par δM = Mej /l2
où δM est la partie de la masse de la coquille dans chacun des filaments. Pour
l = lM = 70 (le mode de fragmentation), on trouve une masse des filaments de
l’ordre de 6×10−4 M¯ . Cependant, la structure filamentaire réelle est beaucoup
plus complexe. Ceci suggère que l’IRT définit l’échelle mésoscopique (l’ordre de
l’épaisseur de la coquille) des éjectas et que la filamentation “chahutée” se développe par la suite.
Cette discussion concernant la masse des filaments est très approximative car
elle est effectuée pour un seul mode. Jun [21] a estimé l’évolution temporelle de
la distribution de masse et de densité dans les filaments à partir de simulations
numériques pour une perturbation donnée par un bruit numérique de son calcul
(Bucciantini et al. [22] ont pris, quand à eux, une perturbation monomode). On
constate un élargissement temporel de l’épaisseur de la coquille perturbée. Les
résultats de Jun [21] montrent que plus de 60 à 75 % de la masse totale se trouve
dans les filaments. Dans les simulations que nous présentons sur la Fig. 6.8, on
retrouve 90 % de la masse totale dans les filaments. Bien que nos simulations soient
réalisées en 2D en régime faiblement non-linéaire (on ne prend pas en compte les
petites échelles spatiales) tandis que Jun examine, dans le régime fortement nonlinéaire en 2D, les résultats sont assez proches.
Une fois que la coquille est fragmentée, sous l’influence de l’IRT, la dynamique
des éjectas est considérablement modifiée. Le vent du pulsar et les éjectas sont
découplés et le vent n’accélère que partiellement les filaments, comme le remarque
Kennel et al. [73] à partir des observations effectuée par Trimble [24]. Donc, le pulsar devient plus clairement visible et les éjectas de la SN entrent progressivement
dans la phase de vol libre.
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
6.5
174
Validité du modèle
La pertinence astrophysique de notre modèle ainsi que celui de Bernstein et
Book [17], par exemple, est limitée à une phase d’expansion intermédiaire, c’est à
dire, pas trop proche de l’explosion, car la masse d’éjecta choqué est susceptible
de varier fortement au début de l’expansion. Elle ne doit pas être trop tardive car
les phénomènes de refroidissement radiatif, magnétique et de ralentissement avec
le milieu interstellaire peuvent devenir prépondérants. De plus, notre modèle ne
considère pas l’ablation de la surface interne de la coquille par le vent du pulsar.
Il est important de remarquer que la coquille est supposée être en expansion
dans le vide et donc la condition aux limites sur la face externe n’est pas celle
d’un choc. En effet le rapport de densité entre la coquille et le milieu environnent
est de d’environ 1/30 (voir section 6.1). De plus nous avons montré précédemment
que le taux de croissance de l’IRT ne dépendait pas de l’épaisseur de la coquille.
Dans ce cas l’augmentation de la masse de la coquille lors de son expansion a peu
d’influence sur le développement de l’IRT. Par contre, elle peut avoir une incidence
sur le critère de fragmentation qui dépend de l’épaisseur de la coquille.
Nous avons aussi supposé que seule une perturbation monomode ensemençait
l’IRT. Une perturbation multimode, autour de l ∼ lM , peut modifier la hiérarchie
de la structure filamentaire [5]. En effet, pour ce type de perturbation, la saturation
non-linéaire est différente d’une perturbation monomode [124]. Cependant, c’est le
mode le plus instable, lM , qui aura tendance à surgir et à dominer naturellement
les autres modes. La comparaison entre notre approche analytique et nos simulations numériques non-linéaires et celles de Jun montre qu’on obtient presque la
même estimation pour le mode le plus fragilisant ainsi que pour la masse typique
des filaments. Cependant, nous réussissons, malgré tout, à prendre en compte la
variation temporelle de la luminosité du pulsar.
Notre modèle est basé sur les équations hydrodynamiques d’Euler. Ce système
est valide, seulement si les processus dissipatifs (la viscosité et le transport radiatif)
ainsi que le champ magnétique sont négligeables (voir le chapitre II). Ce dernier
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
175
peut contrôler la croissance de l’IRT [5] dans le domaine des petites longueurs
d’onde [22].
Nous allons estimer l’importance des effets de la viscosité, du champ magnétique ainsi que du refroidissement radiatif sur le développement de l’IRT.
Selon l’analyse effectuée dans le chapitre précédent, le taux de croissance de
√
l’IRT peut être estimé par ωIRT ' gk, où g ' r/τp2 est l’accélération de la
coquille à l’instant initial et k ' l/r donne la longueur d’onde associée λ ' 2π/k.
Les effets visqueux ajoutent un terme dissipatif dans la formule donnant le taux
de croissance de la façon suivante [26, 40, 118] :
ωIRT '
p
gk − 2νk 2 ωIRT ,
(6.41)
où, ν est la viscosité cinématique. Sachant que la valeur de km pour laquelle
ωIRT (k) atteint un maximum [voir l’Éq. (6.41)] est donnée par km = (g/ν 2 )1/3 ,
on en déduit que les effets visqueux peuvent être négligés pour les perturbations
telles que k ¿ (g/ν 2 )1/3 [40]. Ceci donne le critère l ¿ lν , où lν = Re2/3 et
Re = r2 /ντp est le nombre de Reynolds [26]. Le nombre de Reynolds, compte
tenu des paramètres de la section 6.3, Re ∼ 105 , avec r ∼ 0,2 pc, τp ' 200 ans
et ν ' 1020 cm2 /s (voir aussi chapitre II). Donc, pour le mode le plus fragilisant
lM ∼ 100, les effets visqueux sont négligeables car lν ' (105 )2/3 ' 5000.
De plus, on peut estimer l’effet du champ magnétique sur le développement de
l’IRT. Le champ magnétique a un rôle stabilisant important si sa direction est dans
le plan de la perturbation [5, 22, 118]. Le taux de croissance ω de la perturbation
s’écrit alors :
s
ω=
gk −
B 2k2
2πρ
.
(6.42)
On en déduit alors, que l’effet du champ magnétique B est négligeable si l < lB ,
avec lB = 2πrρg/B 2 pour une accélération initiale de la coquille g = r/τp2 , on
en déduit que lB = 2πr2 ρ/B 2 τp2 . On peut estimer lB ' 3000 pour r ' 0,2 pc,
τp ' 200 ans et B ' 500 µGauss [5] avec ρ = ρ0 = 3×10−20 g/cm3 . Comme
lM ' 100 ¿ lB , les effets du champ magnétique sur le développement de l’IRT
peuvent être négligés.
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
176
On peut lier le paramètre lB avec le rapport de la pression thermique de
la matière de la coquille PT sur la pression du champ magnétique PB , lB '
2
3R02 PT /[4PB (1−R02 )]. En effet, PB = B 2 /8π et PT ' ρCs0
' ρr2 (1−R02 )/3τp2 R02 car
p
dans le cadre de notre modèle la vitesse du son est donnée par Cs0 = r (1 − R02 )/
√
3R0 τ (chapitre V). Par conséquent dans la limite d’une coquille fine, ∆ ¿ 1,
notre approche est valable si PT /PB À 16π(1 + R0 )/3R0 ' 35.
Il faut rappeler que cette estimation est qualitative, car la valeur de lB n’est
en principe valable que pour le développement de l’IRT en régime linéaire [118].
Dans leurs travaux, Bucciantini et al. [22] étudient l’effet du champ magnétique
sur le développement de l’IRT, dans une phase fortement non-linéaire, c’est à dire
lorsque la coquille est fragmentée. Ils montrent que dans cette phase, le champ
magnétique peut avoir un effet stabilisant sur le développement des filaments. Ils
trouvent une valeur pour le mode critique lB ' 24-32. En effet, dans leur cas, la
densité initiale est 30 fois plus faible que la notre et comme l’accélération dépend
du temps en 6r/25τ 2 , leur accélération initiale est 4 fois plus faible que la notre [22].
Comme, lB est proportionnel au produit ρ g (voir ci-dessus), leur mode critique est
120 fois plus faible que la valeur de lB dans notre cas (lB = 3000, valeur calculée
auparavant), on retrouve leur valeur, soit lB ' 25.
Donc, dans notre cas les effets du champs magnétique peuvent être négligés,
dans la phase qui nous intéresse, c’est à dire, avant la fragmentation de la coquille.
Cependant, ils peuvent avoir un effet sur les filaments après la fragmentation. De
la même façon, on peut estimer la dissipation d’énergie suite au refroidissement
radiatif. Tout d’abord nous allons calculer le libre parcours moyen des photons lph
dans la coquille. Si lph ¿ r1 ∆ (r1 ∆ étant l’épaisseur de la coquille), le milieu est
optiquement épais et le refroidissement est celui donné par corps noir. Au contraire,
pour lph À r1 ∆ le milieu est optiquement transparent et le rayonnement quitte
très rapidement le milieu. Le libre parcours moyen est dû soit au bremsstrahlung
inverse lbr ' const T 7/2 /ρ2 où à la diffusion Thomson lT ' const/ρ, dans ce
cas lph = min(lbr , lT ). Pour un plasma entièrement ionisé (voir les Éqs. (16) et
(17) dans [26]), lph est dû à la diffusion Thomson et lph ∼ 30 pc, pour T ∼ 400
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
177
eV et ρ0 = 3×10−20 g/cm3 (voir la section 6.3). Sachant que l’épaisseur initiale
de la coquille est de r1 ∆ ∼ 0,02 pc, dans ce cas lph À r1 ∆, donc, le milieu est
optiquement mince.
Pour un tel milieu on peut estimer les pertes radiatives dues au rayonnement
bremsstrahlung Er par unité de masse et par unité de temps, on a Er ' σ T 4 /ρlbr .
D’autre part, l’énergie cinétique de la coquille Ec par unité de masse est donnée
par Ec ' V02 /2. Sachant que pour un plasma optiquement mince, l’énergie perdue
Er τp pendant τp divisée l’énergie cinétique Ec devient (page 79 [124]) :
√
Er
Ab ρ0 T τp
∼
,
Ec
V02
où : Ab = 9,5×1030 , avec la température T en keV, V0 en cm/s, τp en années et la
densité ρ0 en g/cm3 . Sachant que T ∼ 0,4 keV, ρ0 = 3×10−20 g/cm3 , τp = 200 ans
et V0 ∼ r0 /τp , on en déduit que Er /Ec ∼ 4 ×10−3 . Il s’en suit, que les effets radiatifs
ne sont pas importants au début de l’expansion de la coquille. Comme dans notre
modèle, la densité décroı̂t en t−3 et la température en t−2 (T ∝ Cs2 ), le rapport
Er /Ec diminue rapidement et donc les effets radiatifs deviennent négligeable.
On peut effectuer le même type d’analyse en ce qui concerne l’énergie interne,
u = 3p/2ρ (énergie par unité de masse), sachant que p est donné par p = Kρ5/3 .
On trouve que le rapport u/Ec ∼ 0,3, en début d’expansion. Pour les mêmes
raisons que pour le cas de l’énergie radiative, l’énergie interne décroı̂t en t−2 tandis que l’énergie cinétique de la coquille augmente (suite à l’accélération). Donc,
l’expansion de la coquille est dominée par les effets cinétiques.
On en conclu que ni les effets dissipatifs ni les champs magnétiques et ni les
effets radiatifs, ne sont prépondérants, dans ce cas les équations d’Euler fournissent
une description satisfaisante valide pour le développement de l’IRT des RSN.
6.6
Conclusion
Dans ce chapitre nous avons proposé un modèle analytique et qualitatif d’une
coquille accélérée dans un plérion. Ce modèle a été appliqué à la nébuleuse de
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
178
Crabe, laquelle est un plérion typique.
Dans nos simulations numériques ainsi que dans notre modèle analytique, la
luminosité du pulsar décroı̂t comme t−p avec p = 3, alors que les modèles précédents [21, 22] utilisent une luminosité constante. Dans ce sens, notre simulation est
plus réaliste car elle prend en compte la décroissance de la luminosité du pulsar de
façon proche des observations. En particulier, on retrouve des vitesses caractéristiques de coquille ∼ 1100 km/s, à une distance de ∼ 1 pc du pulsar, après ∼ 1000
ans d’évolution. Ces valeurs sont proches de celles que l’on peut observer dans la
nébuleuse du Crabe. Dans les simulations de Jun, l’accélération est plus forte et
au bout de cette même période, le rayon de sa coquille est supérieur à 7 pc. De
plus, dans notre cas la masse de la coquille est d’environ 3 M¯ , valeur proche de
celle formée dans la nébuleuse du Crabe, alors que Jun considère une coquille de
masse inférieure à une masse solaire.
Tous ces indices semblent montrer que notre modèle décrit de façon simple
l’expansion d’une coquille en interaction avec le vent d’un pulsar tout en étant
réaliste à notre sens.
Ce modèle a été aussi appliqué à l’étude de la stabilité d’une coquille en expansion. Il décrit l’IRT qui se développe sur la face interne de la coquille accélérée sous
la pression du vent du pulsar et il fournit le taux de croissance des perturbations et
donne aussi le mode lM pouvant conduire à la fragmentation de la coquille constituée des éjectas. Pour une épaisseur initiale de coquille correspondant à R0 = 0,9,
on obtient lM = 60. On peut remarquer, que dans ses simulations Jun [21] utilise la
même épaisseur initiale qui évolue pendant l’expansion sous l’effet d’une pression
du vent du pulsar plus forte que dans notre cas. On s’attend donc à ce que le mode
le plus fragilisant augmente pour Jun. Néanmoins, les simulations montrent que
ce sont les conditions initiales qui sont prépondérantes, car le mode qui émerge
dans [21] après 4000 ans d’expansion est proche du mode 60 prédit par l’analyse
linéaire.
Les simulations hydrodynamiques 2D non-linéaires que nous avons menées
confirment la condition pour laquelle la coquille peut se déchiqueter. Compte tenu
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
179
des paramètres initiaux de la coquille ainsi que de sa mise en mouvement, on peut
estimer que la fragmentation de la coquille se produit environ 400 ans après sa formation. Cette valeur est cohérente avec les observations de la nébuleuse du Crabe,
car le temps de fragmentation est nécessairement inférieur à son âge (∼ 940 ans).
Par ailleurs, cette analyse fournit les paramètres physiques pouvant être comparés avec l’observation ou à des simulations, c’est à dire, la masse des filaments,
leur taille et leur vitesse ainsi que leur forme. En effet, on montre que la répartition
de masse entre la coquille et les filaments est proche de celle obtenue par Jun [21].
Dans nos simulations, le schéma lagrangien du code CHIC ne nous permet pas
de poursuivre assez loin dans le domaine non-linéaire. Comme Jun [21] utilise un
code Eulérien, il peut s’engager plus loin dans cette phase et il obtient une forme
de filament plus réaliste. Néanmoins, nos estimations de la masse des filaments
sont comparables.
Enfin, nous montrons que le modèle de fluide idéal est valide, dans la phase
d’évolution de la coquille qui nous intéresse, c’est à dire, avant son éventuelle
rupture. En effet, dans cette phase, la viscosité, le rayonnement et le champ magnétique n’ont pas d’effet sur le développement de l’IRT.
Bien qu’ayant considéré une application de ce modèle à la nébuleuse du Crabe,
d’autres plérions ont été observés comme Vela X [178] et 3C 58 [165] et montrent
aussi une structure filamentaire avec un pulsar central. Il pourrait être instructif
d’essayer d’appliquer ce modèle à ces autres objets, dans le but de prédire la
taille et la masse des fragments de manière simple et rapide grâce à l’approche
analytique.
Par ailleurs, une direction inexplorée jusqu’à ce jour [179] pourrait être examinées grâce à ce modèle analytique en essayant de le rapprocher de celui de
Dwarkadas [160]. Il s’agit de l’instabilité de coquille qui s’appelle l’instabilité de
Vishniac [155, 156, 157] dans le cas de l’onde de souffle provenant d’une explosion
de SN et qui provoque une bulle dont l’intérieur est à très faible densité est dont
le bord comporte presque toute la masse des éjectas bien qu’étant très fin (faible
épaisseur par rapport au rayon). Pour une grande longueur d’onde une coquille
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
180
fine peut se déformer dans son ensemble en se tordant [22] tout en gardant ses
faces parallèles.
Comme dans la partie centrale de la nébuleuse du Crabe, on observe des structures à grande échelle, celles-ci pourrait résulter de la déformation initiale d’une
coquille fine contenant seulement quatre ou cinq modes et celle-ci se serait brisée
ultérieurement lors de son évolution [179].
Enfin, nous voudrions discuter d’un problème fréquent en astrophysique et qui
correspond à l’explosion d’un milieu dans le vide. Ordinairement, lorsqu’un milieu
s’expand dans le vide, la vitesse d’expansion asymptotique, vb du bord est reliée à
la vitesse du son initiale au centre de la configuration, Cs (0), par la relation (page
102-103 volume I dans [180]) :
vb =
2
Cs (0),
γ−1
(6.43)
où γ est le coefficient polytropique du milieu considéré. Pour γ = 5/3, on s’attend
à trouver :
vb = 3 Cs (0),
(6.44)
Cependant, si on reprend les formules données dans cette étude, on trouve :
vb = r1 (0)/τ,
(6.45)
√
Cs (0) = r1 (0)/( 3τ ).
(6.46)
et
On obtient alors :
vb =
√
3Cs (0),
(6.47)
qui ne correspond pas à (6.43). En fait, la relation (6.43) n’est valide qu’en géométrie plane et sa généralisation donne [181] :
vb = √
2
Cs (0),
1 + d (γ − 1)
(6.48)
VI. Application du modèle instationnaire aux RSN
181
où 1 + d est la dimensionalité du problème avec d qui vaut 0, 1 ou 2 selon qu’on
soit respectivement en géométrie plane, cylindrique ou sphérique.
Pour d = 0, (6.48) se réduit comme convenu à (6.43) et pour une explosion à
symétrie sphérique dans le cas γ = 5/3, elle donne bien (6.47).
Si nous nous permettons de rappeler ce point, c’est qu’à notre connaissance, il
est peu connu ou bien est peu diffusé d’une communauté à une autre.
CHAPITRE VII
Proposition expérimentale
7.1
But de l’expérience
Dans les deux chapitres précédents, nous avons vu que l’expansion et la fragmentation des RSN sous la pression du vent d’un pulsar, jouent un rôle important
dans la dynamique des plérions. Par conséquent, il est intéressant de valider expérimentalement à la fois le modèle hydrodynamique d’expansion ainsi que le critère
de fragilisation d’une coquille. Selon les lois d’échelle (voir chapitre II), une expérience laser peut fournir des informations instructives et en même temps confirmer
des parties de modèles de dynamique concernant certaines phases d’objets astrophysiques et aussi, de cibles utilisées pour la FCI. En effet, ce type d’expérience
permet de tester à la fois le modèle développé dans le chapitre V, ainsi que le
domaine de validité des équations d’Euler, discuté dans le chapitre II.
Cette approche a été utilisé avec succès aux USA pour l’étude, par exemple, de
l’IRT concernant les SN [99, 182, 183] et, en particulier la supernova SN1987A [6,
43, 100, 110, 184, 185]. En particulier, ils ont pu montrer, grâce à des simulations
numériques qu’aux échelles près, les profils de densité et de pression, d’une part,
pour une SN autour de l’interface He/H et, d’autre part pour une cible laser bicouche Cu/CH2 sont extrêmement similaires [26, 92]. L’un de leurs travaux typique
a été présenté dans le chapitre II.
En ce qui concerne, par exemple, la SN1987A, les IRT ont permis d’obtenir
une vitesse des éjectas de l’ordre de 10 000 km/s alors que le modèle à symétrie
sphérique sous estimait cette valeur d’un facteur 2. Maintenant, les observations
donnent une vitesse d’environ 15 000 km/s et, en conséquence, l’IRT n’est pas
VII. Proposition expérimentale
184
encore suffisante pour expliquer cette valeur très élevée [186]. Certains évoquent
un passage en régime turbulent [183, 187].
En conséquence, même s’il reste encore beaucoup d’effort à faire, les expériences
auprès des lasers permettent néanmoins de valider des hypothèses théoriques, le
bon fonctionnement de codes et au final, de progresser petit à petit d’une nouvelle
manière.
Pour cette raison nous proposons une expérience laser dédiée à l’étude du
développement de l’instabilité de Rayleigh-Taylor (IRT) sur la face interne d’une
coquille, accélérée par les faisceaux d’un laser de puissance. Cette instabilité peut,
sous certaines conditions discutées ci-dessus, conduire au percement de la coquille.
Le but de cette expérience est de montrer que pour une coquille donnée, une
certaine forme de perturbation favorise le percement. Lors des chapitres V et VI,
nous avons étudié, entre autres, cet aspect pendant le développement de l’IRT. La
connaissance de l’épaisseur de la coquille permet d’estimer la longueur d’onde de
la perturbation la fragilisant le plus.
Sur les installations lasers actuelles, il est possible de réaliser ce type d’expérience. Par exemple, la LIL (Ligne d’Intégration Laser) est composée actuellement
de quatre faisceaux laser délivrant chacun 8 kJ à 351 nm, pour des durées typique
de 3 ns avec une tache focale de 700 µm [188]. Sachant que la version finale de
la LIL comportera huit faisceaux, cette installation sera capable de délivrer 60 kJ
sur une cible dans le domaine UV (351 nm). De plus, cette installation dispose de
diagnostics comme l’imagerie X qui permet d’étudier le développement de l’IRT.
Sur la base de notre analyse, il semble réalisable de reproduire le développement de l’IRT dans une coquille en expansion. Cette nouvelle expérience s’effectue
en géométrie sphérique divergente (figure 7.1). Elle est dans la continuité de l’expérience ASTROLABE effectuée sur l’installation Phébus en 1999 [111, 189], qui a
permis d’étudier le développement de l’IRT mais en géométrie plane. Récemment,
une expérience en géométrie divergente a été réalisée par Drake et al. [110] (voir
chapitre II). Cette expérience consiste à étudier l’IRT sur la face externe d’une
coquille décélérée dans une mousse. Comme nous l’avons dit, le respect des lois
VII. Proposition expérimentale
185
d’échelle (voir chapitre II) permet de rendre pertinent ce type d’expérience pour
l’étude du développement de l’IRT dans les supernovae et de confronter l’expérience à la simulation [110]. L’expérience proposée dans ce chapitre, consiste au
contraire à accélérer une coquille dont la face interne est perturbée et observer
sa déformation et fragmentation due à l’IRT (figure 7.1). On pense que cette expérience permettrait de déterminer, pour une certaine épaisseur de coquille, la
longueur d’onde de perturbation conduisant à sa rupture, le temps auquel celle-ci
se produit ainsi que la masse caractéristique des fragments.
7.2
Schémas de l’expérience
On se propose d’accélérer une coquille constituée de deux milieux, en imposant
une pression sur l’interface interne de la coquille. On souhaite effectuer une accélération avec un nombre d’Atwood proche de 1 (ρ2 ¿ ρ1 ) et sans ablation. Sur
la figure 7.1, on a représenté le schéma envisagé. Une coquille extérieure de forte
densité, dont la face interne est perturbée est mise en mouvement par l’intermédiaire d’un pousseur de faible densité. L’interface entre le pousseur et la coquille
dense est instable. De cette manière, on peut exercer une pression P par ablation du pousseur, ceci permet de ne pas ablater l’interface perturbée et de laisser
la face externe libre. L’accélération de la coquille peut s’effectuer de deux façons
différentes :
– en attaque indirecte, à l’aide d’une source X,
– en attaque directe, à l’aide d’une source UV.
Par la suite, nous allons considérer ces deux processus d’attaque pour réaliser
cette expérience. Le schéma de l’expérience présenté sur la figure 7.2, permet de
mettre en mouvement la coquille à l’aide d’un flux de rayon X par l’intermédiaire
d’une cavité. Ce type de procédé est appelé attaque indirecte. L’attaque directe
déjà évoquée sur la figure 7.1 est représentée plus en détail sur la figure 7.3.
L’attaque indirecte doit permettre en principe une meilleure uniformité d’éclairement sur la coquille, donc une poussée plus isotrope en évitant la création d’un
VII. Proposition expérimentale
186
Coquille perturbée
Pousseur
P
Figure 7.1: Schéma de principe d’une expérience laser en attaque directe. La pression
P, peut être fournie, soit par un laser UV ou par une source X. Cette pression accélère
et ablate une coquille formée d’un pousseur (faible densité) et d’une coquille extérieure
(forte densité) perturbée sur sa face intérieure.
point chaud qui modifierait la dynamique locale de la coquille.
Les contraintes d’alignement du laser en attaque indirecte sont moins importantes que pour l’attaque directe, où le dépôt d’énergie est maximal dans l’axe du
laser et moins important dans le plan équatorial (voir la figure 7.3).
En ce qui concerne l’attaque indirecte, le dimensionnement et la simulation de
ce type de cavité est complexe.
Il faut maı̂triser la physique du rayonnement dans la cavité et éviter les problèmes de bouchage des trous par lesquels entrent les faisceaux à cause de la
détente de plasma sur le contour. Ceci impose des contraintes sur la durée de
l’impulsion laser.
Dans le cas de l’attaque directe, la cible est relativement plus simple et pour
un rayonnement laser donné (tache focale) la simulation de l’hydrodynamique de
la coquille est plus accessible comparée à l’attaque indirecte.
Après ces constatations, le schéma en attaque directe semble plus accessible.
VII. Proposition expérimentale
187
DIAGNOSTIC
COQUILLE PERTURBÉE
POUSSEUR
SOURCE X
LASER
CAVITÉ
Figure 7.2: Schéma de principe d’une expérience en attaque indirecte laser permettant
d’accélérer une coquille et d’observer sa fragmentation. Le laser entre dans la cavité et
produit des X, alors la pression d’ablation de ce rayonnement accélère la coquille. Celle-ci
est constituée d’un matériau dit pousseur et d’une coquille perturbée sur laquelle va se
développer l’IRT et mener à sa déformation. La rupture de la coquille peut être détectée
à l’aide d’un diagnostic X.
7.3
Dimensionnement de la coquille
La définition d’une expérience laser nécessite, au préalable, une analyse du
phénomène physique étudié, en même temps qu’une étude de la cible utilisée pour
la réalisation des expériences.
Ce travail se fait en réalisant des simulations numériques à l’aide de codes spécifiques d’interaction laser/matières. Ces simulations doivent prendre en compte
la géométrie réelle de la cible, les caractéristiques techniques du laser et décrire
convenablement la physique qui est supposée être examinée. De tels codes existent
à deux dimensions [190, 191, 192] et sont plus ou moins sophistiqués, et des versions 3D verront bientôt le jour [193]. Il s’agit de ceux qui sont utilisés pour étudier
VII. Proposition expérimentale
188
Cible double coquille
Backlighter
X−Rays
Camera
Coquille perturbée
Pousseur
Faisceau laser
(3)
Faisceau Laser
retardé (1)
Figure 7.3: Schéma de principe d’une expérience laser en attaque directe. Le faisceau
principal met en vitesse une coquille, tandis qu’un faisceau secondaire retardé est utilisé
pour effectuer une radiographie de la coquille en mouvement (backlighter).
la FCI. Ce travail est long, mais nécessaire afin d’assurer l’obtention de résultats
expérimentaux pertinents.
Cette étude numérique sort du cadre de cette thèse (elle pourrait constituer
l’objet d’une autre thèse, d’ailleurs). Cependant, avant de commencer ces travaux,
il est indispensable d’effectuer une première approche analytique dont l’objectif
est de donner les ordres de grandeurs des quantités physiques et de procurer des
“gardes fous”et des jalons pour obtenir, au préalable, des informations relatives aux
résultats numériques. C’est ce que nous présentons maintenant. Cette information
doit aussi servir pour définir les paramètres du laser ainsi que les diagnostics
pertinents.
Le modèle analytique développé dans les chapitres V-VI sur la mise en mouvement de la coquille, permet de déterminer la pression, pr0 , sur la face interne de
la coquille au début de l’impulsion laser en considérant un gaz parfait en détente
isentropique :
pr0 = Kρ5/3
r0 ,
(7.1)
où ρr0 est la densité initiale de la coquille et K une constante. Le modèle permet
VII. Proposition expérimentale
189
de déterminer la constante K et de la relier à la durée de l’impulsion laser par
l’équation (5.34) avec γ = 5/3 :
K=
r12 (1 − R02 )
2/3
5τ 2 ρr0
,
(7.2)
où r1 est le rayon externe de la coquille dense et R0 = r0 /r1 , r0 étant le rayon
interne de la coquille de lourd. La vitesse du son dans la coquille sur sa face interne
2/3
2
= 5Kρr0 /3 (voir Section 6.5), on obtient :
Cs0 est reliée à K, Cs0
2
Cs0
=
r12 (1 − R02 )
,
3τ 2
(7.3)
d’où on peut déduire la température de la coquille Tc [174] :
Tc ' 6, 3 × 10−13
r12 (1 − R02 )
eV,
3τ 2
(7.4)
où r1 et τ sont en centimètre et en seconde respectivement.
L’énergie cinétique Ec de la coquille devant être fournie après la fin de l’impulsion laser, est reliée au temps τ par l’équation (6.24), lorsque t À τ par :
Ec =
M0 α2 r12
,
2τ 2 α1
(7.5)
où M0 = 4πα1 ρr0 r13 /3 est la masse de la coquille dont le rayon externe serait r1 et
la densité moyenne, ρ0 , et α1 , α2 (voir équation 6.21) sont des facteurs de forme qui
dépendent de R0 . Ce modèle permet alors de déterminer à partir des paramètres
suivants : r1 , R0 , M0 et τ , la pression subie par la coquille pr0 ainsi que son énergie
cinétique Ec . On peut ensuite remonter à l’énergie du laser (voir plus loin).
En ce qui concerne les dimensions de la coquille, il semble raisonnable, compte
tenu des diagnostics, de choisir des rayons de l’ordre de plusieurs centaines de
microns. On prend, pour le rayon interne de la deuxième coquille (la plus dense),
r0 = 500 µm et pour le rayon externe, r1 = 600 µm. Ce qui donne R0 = 0,83. On
prend pour le milieu lourd, une coquille de cuivre de densité ρr0 = 8,9 g cm−3 ,
il faut remarquer que la masse M0 doit être divisée par deux dans le modèle, car
on accélère une demi coquille. C’est la face interne de cette coquille en contact
avec un milieu léger (plastique par exemple) que l’on perturbe. Pour le temps
caractéristique, nous sommes limités par la durée des impulsions lasers pouvant
VII. Proposition expérimentale
190
être fournies par les installations. Par exemple pour la LIL en impulsion carrée, il
semble raisonnable de prendre τ < 10 ns pour la durée pendant laquelle la coquille
est accélérée. Si l’on choisit une impulsion laser d’une durée de 8 ns et que l’on
prend une marge de 2 ns pour la mise en mouvement de la coquille, on a alors
τ = 6 ns.
À l’aide de tous ces paramètres, on obtient :
Ec ' 2, 5 kJ,
pr0 ' 50 Mbar et Tc ' 6 eV.
(7.6)
À partir de l’énergie cinétique de la coquille, il est possible de déduire l’énergie
laser nécessaire à sa mise en mouvement. On suppose que l’énergie cinétique de la
coquille est reliée à l’énergie laser El par la relation :
Ec = θEl ,
(7.7)
où θ est l’efficacité de transmission de l’énergie. On peut décomposer ce paramètre
en plusieurs contributions :
Dans le cas de l’attaque directe, on a une contribution liée à l’absorption de
l’énergie laser dans l’ablateur θabs et une contribution liée au transfert hydrodynamique de l’énergie absorbée dans le mouvement de la coquille θhydro . On estime :
θabs ∼ 60 % et θhydro ∼ 30%, donc, dans ce cas, θ = θabs θhydro ∼ 18 %. D’où en
attaque directe, on obtient : El ∼ 14 kJ.
En attaque indirecte le coefficient de transfert hydrodynamique est plus important (θhydro ∼ 40 %) mais l’absorption de l’énergie laser dans la paroi de la cavité
est d’environ θabs ∼ 90%. De plus, l’efficacité de l’utilisation de l’énergie absorbée
est faible car elle est de l’ordre du rapport de la surface de la cible sur la surface
de la paroi. Ce rapport ne peut pas être supérieur à 10 % pour des raisons d’homogénéité de l’éclairement et du bouchage du trou d’entrée. Par conséquent, on
peut considérer que l’énergie laser à fournir doit être supérieure au cas de l’attaque
directe.
En conclusion, il est nécessaire d’atteindre des énergies laser d’au moins 10 kJ
pour un durée de 8 ns. Il se trouve que ces caractéristiques sont accessibles sur des
installations du type de la LIL.
VII. Proposition expérimentale
7.3.1
191
Perturbation de la face interne de la coquille et IRT
Il s’agit de déterminer ici la longueur d’onde la plus fragilisante pour la coquille,
c’est à dire celle qui “percera” la première. Un premier modèle consiste à considérer
que cette longueur d’onde particulière λM est de l’ordre de l’épaisseur de la coquille
(chapitre V), c’est à dire, λM = r1 − r0 , ce qui correspond au numéro de mode
lM = 2πr0 /λM , d’où :
lM =
2πR0
.
1 − R0
(7.8)
Pour : r0 = 500 µm et r1 = 600 µm, alors R0 = 5/6 et lM = 30. La longueur
d’onde vaut λ ' 100 µm, comme convenu.
De là, on peut, à l’aide du modèle, remonter à l’amplitude de la perturbation
initiale acr , qui provoquera la rupture de la coquille après le temps caractéristique
τ , d’après l’équation (5.88) :
acr = r1
1 − R0 −π√lM +1/4
e
.
Λ1
(7.9)
Pour R0 = 0,83, lM = 30, le poids du mode le plus instable pour une configuration de coquille dont seule la face interne est perturbée (voir chapitre V, mode
“interne”) varie peu et vaut Λ1 = 0,5. Ce résultat est valide pour une coquille sans
vitesse initiale, c’est à dire, avec β = 0 (chapitre V).
Après application numérique, on obtient acr = 3 µm ou une amplitude totale
de la perturbation initiale de 6 µm . Pour vérifier que le mode 30 est le mode
correspondant au seuil de fragmentation, il est nécessaire de réaliser des coquilles
avec un mode 20 (plus stable) et un mode 40 qui passera en phase non-linéaire
avant le mode 30. Ceci correspond à trois longueurs d’onde de perturbations différentes : 80, 100 et 160 µm. Ces types de cibles semblent envisageables avec les
nouvelles techniques développées à Livermore [110].
Dans cette expérience le développement de l’IRT se fait après le passage d’un
choc dans la coquille. Dans ce cas l’instabilité de Richtmyer-Meshkov (IRM) [123]
peut se développer et changer les conditions initiales pour l’IRT. On peut estimer
VII. Proposition expérimentale
192
la croissance de la perturbation sur la face interne de la coquille après le passage
du choc. En connaissant la vitesse du choc vs , le nombre d’onde de la perturbation
k et ts la durée avant l’accélération de la coquille, l’amplitude de la perturbation
est donnée par ζ(ts ) = ζ0 (1 + σRM ts ) avec σRM = At kvS [124]. Pour le cas qui
nous intéresse ici, on a un nombre d’Atwood At proche de un et k = 2π/λ avec
λ = 100 µm, vs ' 2 × 106 cm/s, sachant que ts est de l’ordre de 2 ns, alors ζ(ts ) '
ζ0 (1 + 2, 4). Alors, ceci nous montre qu’on doit prendre en compte l’instabilité de
Richtmyer-Meshkov dans notre expérience.
7.3.2
Processus d’ablation et mise en mouvement de la
coquille
La mise en mouvement et, par conséquent, l’ablation nous semble être l’un des
processus au sujet duquel on doit porter une attention particulière. En effet, le
type d’expérience que nous désirons effectuer n’a pas encore été réalisé à ce jour.
Jusqu’à présent les études relatives à l’IRT ont toutes été menées autour d’un
état “d’équilibre” alors que de notre coté nous voulons un état de base instationnaire. Plus précisément, dans les travaux actuels, la mise en mouvement de
l’interface modulée est mise en mouvement simultanément avec l’excitation de la
perturbation. Autrement dit, le développement de l’IRT ne se produit pas sur un
milieu qui, au préalable, est mis en mouvement. La difficulté consiste à réaliser cet
enchaı̂nement de phénomène : mise en vitesse dans un premier temps, de la coquille
comprenant le perturbation initiale puis, dans une deuxième étape, excitation de
l’IRT et amplification par l’accélération de la coquille.
Dans la première phase, la coquille de léger (plastique) va être ablatée progressivement et il faut que son épaisseur soit réglée telle que la pellicule de plastique
soit évaporée avant la fin de l’impulsion laser. Pendant la deuxième phase, le laser
doit continuer à irradier la face interne de la coquille de lourd et continuer de
l’accélérer. C’est alors à ce moment que l’on verra évoluer la croissance de l’IRT
en phase instationnaire. Il faut noter que lors cette étape le milieu lourd devrait
VII. Proposition expérimentale
193
être peu ablaté car il est protégé par la pellicule de plastique intérieure et la température du milieu devrait avoir un peu augmentée au cours de la première phase.
De plus, comme par définition, le milieu lourd a une densité élevée comparativement au plastique, peu de masse sera ablatée sans pour autant diminuer “l’effet
fusée”. L’accélération de la coquille devrait alors avoir effectivement lieu même
après l’ablation de la coquille interne.
Par ailleurs, nous voudrions attirer l’attention sur un autre point qui, à première vue, pourrait paraı̂tre gênant. En effet, dès que le rayonnement attaque le
système constitué des deux coquilles concentriques emboı̂tées, un choc va être généré et se propager dans le milieu léger puis dans le lourd. On peut se demander
quel effet va subir l’interface modulée. En fait, ce choc produit une accélération
proche d’une fonction de Dirac et si instabilité il y a, nous aurions affaire avec
celle de Richtmyer-Meshkov (IRM) [123]. Cette instabilité croı̂t linéairement avec
le temps (voir section précédente), et, lorsque la coquille commence a être accélérée
c’est l’IRT qui va dominer avec au début une croissance exponentielle en temps
(l’écoulement est instationnaire).
Mais revenons à la pression d’ablation qui va agir sur la face interne de la
coquille. Cette pression peut être créée par ablation d’une couche légère de deux
manières différentes ; de façon directe, par le rayonnement laser ; ou de façon indirecte, par un rayonnement X. Le schéma de création de la pression par rayonnement X thermique produit par une cavité est représentée sur la figure 7.2 et le
schéma en attaque directe est donnée sur la figure 7.3.
En attaque indirecte, la température radiative, Tr , de la cavité dans laquelle
les faisceaux lasers sont focalisés, est estimée en faisant le bilan des flux de rayonnement [194, 195]. La cavité est supposée rayonner comme un corps noir et en
considérant les pertes de rayonnement par le trou d’entrée ainsi que le gain apporté par la cavité et par le laser (corrigé de l’albedo de la cavité), on obtient [195] :
½
Tr =
Pl
σSB [S + A(1 − βc )]
¾1/4
,
(7.10)
où Pl est la puissance laser incidente dans la cavité, S la surface du trou d’entrée
VII. Proposition expérimentale
194
de la cavité, A la surface totale de la cavité, βc est l’albedo de la cavité et σSB est
la constante de Stefan-Boltzmann.
La pression d’ablation en Mbar exercée par la source X créée dans la cavité est
donnée par Lindl [194] :
pab = 3 × 10−7 Tr7/2 Mbar
(7.11)
avec Tr en eV et pab définit par (7.6). Par conséquent, pour une pression d’ablation pab de l’ordre 50 Mbar, on obtient une température de cavité de ∼ 220 eV. Ce
résultat dépend en réalité de la géométrie de la cavité selon l’équation (7.10). Pour
effectuer le dimensionnement complet, il est nécessaire d’utiliser des codes permettant, à partir d’une géométrie de cavité, de donner Tr . Cependant, cette estimation
de 220 eV est compatible avec les températures obtenues dans les expériences en
cavité [124, 194].
En attaque directe, la pression d’ablation dépend de la longueur d’onde du
laser λ et de l’intensité Iabs absorbée par la cible. D’après Lindl [194] on a :
µ
pab = 40
Iabs
λ
¶2/3
Mbar,
(7.12)
où, Iabs = θabs I et I sont normalisée à 1015 W/cm2 , λ est en µm et I est normalisée
par 1015 W/cm2 .
Donc, pour θabs = 60 %, on a besoin d’une intensité laser de 8×1014 W/cm2
avec λ = 0,351 µm, pour arriver à la pression d’ablation calculée en (7.6), pab ' 50
Mbar. Sachant que l’impulsion laser est de l’ordre de 8 ns et la taille de la tache
focale d’environ un diamètre de 500 µm, on obtient une énergie laser de 13 kJ qui
est proche de celle estimée au début du paragraphe 7.3. Ces valeurs sont réalisables
sur une installation laser telle que la LIL.
Dans notre modèle, la loi de pression sur la face interne de la coquille décroı̂t
rapidement au cours du temps (chapitre V). Par conséquent, l’application de cette
pression implique une mise en forme temporelle spécifique de l’impulsion laser.
VII. Proposition expérimentale
7.3.3
195
Loi d’échelle
Lors du chapitre II, on a établi les lois d’échelle permettant de faire correspondre certaines quantités physiques pour deux systèmes différents de tailles différentes et, en l’occurence, une cible laser et une SN.
Ici on considère, d’une part, un reste de supernova dont la dimension caractéristique est r ' 6×1016 cm (0,02 pc), avec une densité ρ ' 3×10−20 g cm−3 , une
pression p ' 10−5 dyne cm−2 (' 10−11 bar), une vitesse v ' 5×107 cm s−1 (soit
500 km s−1 ) et une température T ' 5×106 K. Ces paramètres sont proches de
ceux utilisés par Jun [21], lors de ses simulations numériques de l’évolution d’un
plérion.
D’autre part, on considère une cible soumise à un rayonnement laser dont
r1 ' 10−2 cm (100 µm), de densité ρ1 ' 10 g cm−3 avec une pression p1 ' 30
Mbar, une vitesse v1 ' 5×106 cm s−1 (soit 50 km s−1 ) et une température T1 de
15 eV (' 175000 K).
En se reportant au chapitre II, on en déduit que le nombre d’Euler pour le
reste de supernova est Eu = 2,7 et Eu1 = 2,9 pour la cible. Il ressort que les deux
systèmes ont le même comportement hydrodynamique suivant la transformation
d’échelle définie. À partir des facteurs d’échelle a, b et e, on peut faire correspondre
les deux échelles de temps caractéristiques t et t1 , d’où l’on en déduit que 10
ns à l’échelle de la cible laser correspondent à environ 200 ans pour le reste de
supernova. Entre p et p1 , on retrouve bien un facteur 3×10−19 et pour p1 ' 30
Mbar on retrouve la pression p dans le RSN (voir Éqs. 2.7).
Ces deux valeurs sont très proches et on en déduit que la transformation (2.5)
peut être utilisée pour passer de la cible au RSN.
7.4
Diagnostics
Les différents diagnostics envisagés pour cette expérience sont :
Si on utilise l’attaque indirecte :
VII. Proposition expérimentale
196
– Une imagerie 2D, résolue en temps dans le domaine des X, de la coquille en
mouvement est nécessaire. Ce diagnostic utilisant le rayonnement passif de la cavité
peut être utilisé (voir Fig. 7.2). Il permet de mesurer la transmission de la coquille
en fonction du temps. Cette transmission dépend directement de l’épaisseur de la
coquille, qui elle-même, dépend du développement de l’IRT. Donc, ce diagnostic
peut nous permettre de déterminer le mode fragilisant le plus la coquille.
– La mesure de la température radiative de la cavité résolue en temps apporte
des informations importantes. En effet, ce diagnostic permet à l’aide de code de
simulation de remonter à la pression d’ablation sur la face interne de la coquille.
Si on utilise l’attaque directe :
– Radiographie X. En focalisant un faisceau laser supplémentaire sur une cible
annexe (voir Fig. 7.3, backlighter), on réalise une source X secondaire. Cette source
permet d’obtenir par radiographie (après imagerie sur une caméra), une vue de
profil de la perturbation. Ce diagnostic permet de remonter à la variation de
l’épaisseur de la coquille en fonction du temps, c’est à dire, au développement
de l’IRT. Ce moyen de mesure doit être capable de résoudre au moins 1/10 de la
longueur d’onde de perturbation, c’est à dire, ∼ 10 µm. C’est la résolution actuelle
des diagnostics standards sur la LIL. Cela justifie notre choix des longueurs d’onde
des perturbations, et par conséquent, la dimension de la coquille. L’impulsion du
faisceau laser supplémentaire est retardé de plusieurs nanosecondes pour capturer
différentes phases ultérieures dans le développement de l’IRT.
7.5
Conclusion
Cette étude donne les tous premiers éléments permettant de proposer une expérience sur une installation laser. Nous avons montré qu’une impulsion de l’ordre
de 10 ns avec une énergie d’environ 10 kJ est pour accélérer une demi-coquille de
500 µm de rayon et de 100 µm d’épaisseur. Une installation du type de la LIL
semble donc être préférable par rapport à des installations de plus faible énergie.
Par exemple, le laser du type LULI 2000 : 1 à 2 kJ, 1 ns, peut accélérer une
VII. Proposition expérimentale
197
coquille de moins de 100 µm de rayon. Ce qui demande une résolution au-delà
des diagnostics existants. Nous avons effectué un premier dimensionnement de la
coquille et proposé des diagnostics pour l’attaque directe ou indirecte. Il semble
que le schéma en attaque directe soit plus accessible à la fois expérimentalement
et par les codes de simulations. Cependant, une estimation plus précise, à l’aide
de codes de simulations permettra de mieux définir les caractéristiques du laser
ainsi que le besoin en cibles (géométrie, structure...) et en diagnostics.
Cette expérience doit permettre d’étudier le développement de l’IRT et la fragmentation d’une coquille en écoulement instationnaire à condition de surmonter
les difficultés mentionnées dans le paragraphe 7.3.2. Les résultats de cette expérience seront confrontés au modèle hydrodynamique développé au chapitre V, c’est
à dire, à un modèle développé à partir des équations d’Euler. Autrement dit, cette
expérience a aussi pour but de réaliser un écoulement sans effet dissipatif, tels
que la viscosité, le transport thermique et le rayonnement (chapitre II). D’après le
modèle développé au chapitre V, on devrait pouvoir vérifier les dimensions caractéristiques des fragments et leurs comportements ultérieurs. De plus, il sera possible
de valider les codes hydrodynamiques pour des conditions fortement non-linéaires
où des désaccords entre simulations et expérience peuvent survenir.
Enfin, des effets pourront être étudiés dans des expériences futures :
– Les effets de compressibilité sur l’IRT en faisant varier le nombre d’Atwood.
– L’IRT pour une coquille de masse variable, lorsque la coquille est accélérée
dans un milieu de densité non nulle.
– La maı̂trise de l’accélération de la coquille est importante et elle peut s’effectuer par une mise en forme temporelle appropriée de l’impulsion laser.
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
Ce travail de thèse entre dans le cadre des études nouvellement nommées “astrophysique de laboratoire”. Cette discipline consiste à reproduire au sein du laboratoire (à l’aide de laser, d’un Z-pinch,...) des conditions physiques supposées
se produire dans plusieurs phénomènes ou objets astrophysiques. Ainsi, après le
désaccord entre les observations de la supernova SN1987A et les prédictions théoriques, l’instabilité de Rayleigh-Taylor (IRT) est devenu un thème d’étude majeur
dans l’évolution des supernovae et de leurs restes.
Cette thèse est donc dédiée à l’étude du développement de l’IRT en milieu
compressible et à ses applications dans l’évolution des restes de supernovae ; en
particulier, celles des plérions.
Quatre sujets ont été étudiés :
– L’effet de compressibilité du milieu accéléré sur le taux de croissance et sur
la structure de l’écoulement produit par l’IRT (chapitre IV).
– Le développement de l’IRT dans une coquille sphérique accélérée par une
pression régnant à l’intérieur de celle-ci (chapitre V).
– Développement d’un modèle hydrodynamique de RSN et de son application
aux plérions (chapitre VI).
– Proposition d’une expérience dédiée à la vérification du modèle de l’IRT dans
la coquille à sa fragmentation (chapitre VII).
Dans notre étude (chapitre IV), nous avons considéré une stratification identique en densité ce qui permet de ne faire ressortir que la contribution liée à la
compressibilité et non à la différence de gradient de densité dans le fluide supérieur, ni à sa masse. Cette étude est effectuée pour un régime stationnaire, et pour
le cas où la perturbation est isotherme.
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
200
Nous avons pris quatre systèmes : une configuration uniforme incompressible
avec deux milieux de densité uniforme et de masse infinie – une configuration incompressible avec une masse finie pour le milieu supérieur – une configuration avec
un gradient de densité (stratification) et une masse finie pour le fluide supérieur,
enfin, une configuration compressible avec le même gradient et la même masse que
dans le cas précédent pour le fluide supérieur. Grâce à cette approche toutes les
relations de dispersion ont été représentées sous la même forme mathématique.
Dans notre étude, on a obtenu deux comportements caractéristiques pour la
relation de dispersion, ω(k), entre le taux de croissance d’instabilité ω et le nombre
d’onde k. D’une part, on a retrouvé le résultat antérieur de Vandervoort [11] qui
dit que pour des grandes longueurs d’onde de perturbation, le taux de croissance
de l’IRT se comporte linéairement (ω ∝ k). D’autre part, pour des longueurs
d’onde plus courtes, on retrouve le cas classique incompressible de densité uniforme
√
(ω ∝ k). On montre alors, que dans le cas compressible le taux de croissance
est toujours supérieur au cas incompressible stratifié. Ceci permet de déterminer
une longueur d’onde critique de perturbation au-delà de laquelle les effets de compressibilité apparaissent (voir chapitre IV). Par ailleurs, l’effet de compressibilité
(rapport des taux d’instabilité dans le cas compressible et incompressible stratifié)
est inversement proportionnel à la racine carrée du nombre d’Atwood, At , pour les
petits k. Aussi, l’effet est plus important lorsque le saut de densité entre les deux
milieux est faible [voir l’équation (4.53)]. Au contraire, lorsque le saut de densité
entre les deux milieux est très important (At = 1), les effets de compressibilité
√
disparaissent. Le taux de croissance se comporte alors comme kg. Ce résultat
explique ceux trouvés par Bernstein et Book [17] qui consistaient à constater que
seuls les modes incompressibles étaient instables pour une coquille en expansion
dans le vide et contenant aussi du vide (nous allons y revenir plus loin).
Enfin, lorsque nous appliquons notre approche à l’étude du ralentissement de
restes de supernovae par le milieu interstellaire, on montre que les effets de compressibilité peuvent dominer l’excitation de l’IRT.
Dans une deuxième étude (chapitre V), nous avons traité l’IRT d’une coquille
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
201
sphérique en expansion. Il s’agit du cas non-stationnaire, c’est à dire, lorsque l’accélération et la vitesse du milieu changent au cours du temps. Une transformation
de coordonnées originale a permis d’exhiber une solution analytique valable à tout
temps. Dans ce nouveau référentiel, le problème instationnaire initial peut se ramener à l’étude d’un cas statique. Une étude de stabilité autour de cet équilibre est
effectuée et permet d’aboutir à une relation de dispersion dans le régime linéaire
pour une constante polytropique γ = 5/3.
Grâce à cette relation analytique, on peut pousser davantage l’analyse physique
des résultats et elle permet de montrer que la variation temporelle (dans l’espace
physique ordinaire) de la perturbation de l’écoulement instationnaire n’est pas
triviale. De plus comme cette relation de dispersion est de “type incompressible”,
elle permet de comprendre d’une autre manière pourquoi seuls des modes incompressibles sont instables. C’est donc aussi une autre vision pour comprendre les
résultats de Bernstein et Book [17] qui ont été obtenus quelque soit la valeur de γ.
Comme on l’a dit, notre approche n’est valide que pour γ = 5/3. Cependant,
si on s’attache à calculer le taux d’instabilité instantané pour toutes les valeurs de
γ, on retrouve bien ceux de [17]. De plus, en ce qui nous concerne, nous avons un
paramètre libre supplémentaire, β, qui est directement proportionnel à la vitesse
du fluide à t = 0.
La relation de dispersion explicite nous permet de séparer les modes incompressibles des modes compressibles. On en déduit que seul un mode parmi les quatre
modes incompressibles est instable, les autres sont évanescents ou oscillants et
dans ce cas le taux de croissance ne dépend pas de l’épaisseur de la coquille. Cette
propriété permet de construire un jeu de perturbations dans la coquille correspondant à différentes situations physiques initiales : par exemple perturber une
coquille en mode “sausage”, peut simuler de la convection dans les éjectas avant
explosion. En ce qui concerne les modes compressibles, ils sont tous stables et
nous exhibons la relation de dispersion générale, mais elle est implicite et ne peut
être résolue que numériquement (c’est seulement pour les modes incompressibles
qu’elle se simplifie remarquablement). Il ressort que, dans ce cas ils dépendent de
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
202
l’épaisseur.
Enfin, l’expression analytique du taux de croissance instationnaire est comparée
avec celle obtenue de simulations numériques effectuées avec un code de perturbations. L’approche analytique permet de valider le code. Ensuite, grâce au code,
nous avons la possibilité d’effectuer l’analyse de l’instabilité pour des écoulements
radiaux beaucoup plus complexes pour lesquels nous n’avons pas de solutions
analytiques. D’ailleurs, cette approche devrait permettre de montrer d’éventuelles
propriétés d’attracteur de la solution unidimensionnelle instationnaire (solution
auto-semblable, SAS). Nous voulons dire qu’il se peut qu’en partant d’un certain
ensemble de conditions initiales (CI) ne correspondant pas nécessairement à celles
de la SAS, nous tendons vers celles-ci asymptotiquement pour les grands temps.
Cette propriété n’est pas rare et elle se produit, par exemple, pour l’effondrement
gravitationnel dans un milieu ambiant à pression constante [148].
Ce modèle a été appliqué à la nébuleuse du Crabe, laquelle est un plérion
typique (chapitre VI). Un bon accord entre le modèle et les paramètres mesurés
lors d’observations a été obtenu. Dans nos calculs analytiques la luminosité du
pulsar décroı̂t comme t−3 en complément aux résultats numériques de Jun [21]
ou de Bucciantini et al. [22] qui ont utilisé une luminosité constante. En effet,
une luminosité de la forme L(t) ∝ t−µ pour 2 ≤ µ ≤ 3 reproduit convenablement
certaines données observationnelles utilisées dans Blondin et al. [79], ainsi que celles
reprises par Chevalier [80]. Dans ce sens, notre approche comporte un aspect plus
réaliste car elle prend en compte la décroissance de la luminosité du pulsar.
Le modèle décrit dans le chapitre V a été aussi appliqué à l’étude de la stabilité
des éjectas en expansion dans le chapitre VI. En s’appuyant principalement sur
les travaux de Jun, nous avons appliqué notre modèle analytique pour étudier le
développement de l’IRT qui se développe sur la face interne des éjectas. Ce modèle
fournit le taux de croissance des perturbations et donne aussi le mode fragilisant le
plus la coquille formée par les éjectas, menant à sa fragmentation. On peut estimer
la masse des filaments, leur taille et leur vitesse ainsi que leur forme.
La simulation numérique bidimensionnelle a permis d’observer le passage dans
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
203
le domaine non-linéaire de l’IRT et de mieux comprendre la rupture de la coquille. Nos simulations effectuées avec le schéma lagrangien sont complémentaires
de celles de Jun qui a utilisé un code Eulerien. De plus, que ce soit dans les simulations de Jun ou dans les nôtres, il n’a pas été pris en compte le rôle stabilisant du
champ magnétique [22]. En outre, comme le souligne Jun [21], les larges structures
filamentaires ont pu se former à partir d’une coquille d’éjectas très inhomogène en
densité. Ce facteur n’est pas non plus pris en compte.
Toutes les considérations analytiques de cette thèse sont basées sur les équations hydrodynamiques d’Euler pour un écoulement isentropique. Selon la loi
d’échelle [26], ce système d’équations est valide à partir du moment où l’on néglige
les effets dissipatifs, tels que la viscosité, le transfert de chaleur, le rayonnement
et les aspects magnétiques. Ceci est possible si l’on conserve, en particulier, un
nombre sans dimension (nombre d’Euler) entre le plérion et la cible laser. Nous
montrons que le modèle de fluide idéal est valide pour la nébuleuse du Crabe et que
les effets dissipatifs peuvent être négligés. L’expérience d’astrophysique de laboratoire (chapitre VII) que nous proposons permettra d’étudier la fragmentation due
à l’IRT d’une coquille mince perturbée et accélérée sous l’action d’un faisceau laser. Les résultats de cette expérience seront confrontés au modèle hydrodynamique
développé au chapitre V. Cette expérience permettra notamment de vérifier le scénario de fragmentation de la coquille par l’IRT, les dimensions caractéristiques des
fragments ainsi que leurs comportements ultérieurs. Ce sera aussi la possibilité de
valider les codes hydrodynamiques pour des conditions fortement non-linéaires en
géométrie divergente.
En ce qui concerne les perspectives, il est possible de poursuivre l’étude analytique de l’IRT en hydrodynamique pure ou en incluant de nouveaux phénomènes.
À propos du premier volet, deux points méritent d’être examinés, à notre sens.
Le premier est relatif à la phase non-linéaire de l’IRT. Elle a été abordée dans
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
204
le chapitre VI et le prolongement de son étude peut être mené soit, de façon
analytique, soit de façon numérique. En effet, comme l’approximation At = 1
est valide pour la coquille, une approche de la phase linéaire jusqu’à la phase
hautement non-linéaire peut être réalisée grâce à une extension [106, 126] de la
méthode initiale de Layzer [125]. Elle permet de donner la forme asymptotique
des aiguilles et des bulles qui composent la coquille pour t → +∞. Dans ces
conditions, on peut estimer de façon précise la structure des filamentations ainsi
que leurs masses, en même temps que la taille des bulles de vide qui s’incrustent
dans la matière. Dans la réalité le nombre d’Atwood ne vaut pas strictement un,
et cette propriété a pour conséquence de produire des vortex de Kelvin-Helmholtz
à l’extrémité des doigts produits par l’IRT [123]. Ces structures ne peuvent pas,
à notre connaissance, être décrites analytiquement jusqu’à ce jour et dans ces
conditions, seules les simulations numériques sont capables de prendre en compte
ce phénomène. C’est une voie qui a été étudiée à deux dimensions [21, 22] et l’étape
suivante serait de se placer en géométrie tridimensionnelle.
Bien que le code CHIC [175] soit écrit en coordonnées lagrangiennes et qu’il ne
puisse donc pas décrire des structures trop complexes et enchevêtrées, il pourrait,
néanmoins, permettre de calculer une évolution similaire à celle donnée sur les
figures 6.7 et 6.8, mais à trois dimensions.
Dans l’approche hydrodynamique pure un point essentiel reste encore inexpliqué, jusqu’à ce jour dans la nébuleuse du Crabe [179]. Les “petites” structures
filamentaires sont relativement bien expliquées par l’IRT à condition de prendre
des longueurs d’onde beaucoup plus petites que la taille de la nébuleuse. Si on se
reporte à la figure 1.5 du chapitre I, outre les petites structures, on peut discerner quatre lobes (en forme de trèfle à quatre feuilles) dont le centre serait situé
très proche de la position du pulsar. De plus, comme on peut le voir, chacun
des lobes a une extension de l’ordre de grandeur du rayon de la nébuleuse. Ces
quatre lobes ont des axes perpendiculaires. L’un des lobes part du centre et son
contour constitue la partie de la nébuleuse située dans le coin supérieur droit de
l’image ; un deuxième lobe est de direction opposée au premier et décrit le contour
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
205
de la nébuleuse localisée dans le coin inférieur gauche de la figure. Les deux autres
lobes sont perpendiculaires aux deux premiers et ils sont légèrement plus courts
étant donné la forme de la nébuleuse. Ils partent dans deux directions opposées
et sont respectivement situés dans les coins supérieur gauche et inférieur droit de
la figure 1.5. Ces lobes pourraient être les reliques d’une coquille apparue très tôt
après l’explosion de la SN et qui aurait été perturbée initialement par un mode
bas (l ' 4). Cette coquille aurait été soumise à l’instabilité de coquille fine [ou
instabilité de Vishniac [155, 156, 157]. Cette instabilité entre en compétition avec
l’IRT comme l’indique Bucciantini et al. [22], mais ils n’abordent pas ce problème
des structures à grande échelle qui reste donc ouvert.
Pour sortir du volet hydrodynamique, on peut examiner l’influence du champ
~ Cet aspect a été étudié en 1995 par Jun et Norman [144] et très
magnétique B.
récemment par Bucciantini et al. [22]. Bien que Chevalier [82] indique qu’à ce
jour on a très peu de connaissances sur la configuration des lignes de champ par
~
rapport à la coquille du pulsar, l’étude de la Réf. [22] montre qu’un champ B
tangent à l’interface interne de la coquille réduit la croissance des modes sensibles
~
à l’IRT. Récemment, des études analytiques bidimensionnelles, avec un champ B
parallèle à l’interface entre deux milieux et pouvant être présent dans chacun de
ces milieux, ont été développées en phase linéaire [146, 196]. Cette approche per~ sur l’IRT trouvés dans [22]
mettrait de quantifier les effets de stabilisation de B
et, de plus, d’examiner les modifications de comportement lorsqu’on passe d’un
fluide incompressible à un fluide compressible. La relation de dispersion prise par
Bucciantini et al. [22] est celle qui est donnée pour un fluide incompressible par
Chandrasekhar [118]. Or, nous avons vu dans le chapitre IV que les effets de compressibilité peuvent être importants. C’est donc cette situation qu’il faut examiner
en présence d’un champ magnétique.
Une autre extension de l’aspect hydrodynamique peut être effectuée en incluant
les effets radiatifs. Hester et al. [5] ont déduit que le refroidissement radiatif jouait
un rôle important pour la nébuleuse du Crabe. Il est bien connu que les pertes
d’énergie radiative provoquent une densification du milieu qui subit ces pertes [59].
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
206
Par exemple, pour un milieu avec γ = 5/3, les pertes de rayonnement font que la
compression derrière une onde de choc est estimée par l’expression (γ + 1)/(γ − 1),
on passe de la valeur 4 (γ = 5/3) à la valeur 7 (γ = 4/3) [197]. Si le rayonnement
est très important γ → 1 et le taux de compression peu dans ce cas être très élevé.
Dans le cas de la nébuleuse du Crabe, on s’attend à ce que l’apparition des doigts
de l’IRT soit favorisée. La compressibilité (due au rayonnement) devrait conduire
à des doigts plus minces et plus longs. On s’attend donc à des régimes linéaires et
non-linéaires différents de ceux que l’on trouve dans le chapitre VI. Par ailleurs,
avec cet ingrédient supplémentaire, il deviendra nécessaire de prendre en compte,
en plus, l’instabilité de Vishniac ainsi qu’elle est considérée dans les RSN dès que
le rayonnement devient significatif [56].
Enfin, et il s’agit du point le plus urgent et le plus impératif. Il concerne la
simulation, avec des codes d’interaction laser/matière, de l’expérience d’astrophysique de laboratoire détaillée dans le chapitre VII. Cette étape est difficile car
l’expérience “réelle” avec le laser fera probablement intervenir le refroidissement
radiatif des plasmas ainsi qu’un éventuel champ magnétique. Celui-ci peut être dû,
par exemple, à l’existence de gradients croisés de densité et de température. Les
simulations devront donc être suffisamment réalistes en espérant que, d’un autre
coté, elles ne s’écartent pas significativement du modèle hydrodynamique développé dans cette thèse, afin qu’il joue un rôle de fil conducteur et que le scénario
qu’il propose reste à la base de la démarche qui devra être réalisée avec les codes
de calcul (comme le code CHIC, par exemple).
En parallèle, une étude des diagnostics plasmas disponibles est primordiale
pour effectuer des mesures pertinentes (on peut penser, par exemple, à la modélisation de l’imagerie X de la coquille perturbée).
ANNEXES
A
Liste des annexes
A.1
La masse de Chandrasekhar
Dans cette annexe, nous décrivons comment une sphère de matière peut s’effondrer sous les forces de gravité. Le corps considéré est assimilable à un gaz
d’électrons dégénérés. Dans un premier temps les électrons sont considérés comme
non-relativistes, ensuite, on abordera le cas des électrons relativistes [198, 28].
A.1.1
Cas non-relativiste
Les électrons sont considérés comme étant dégénérés et non-relativistes. L’énergie des électrons est proche de l’énergie de Fermi EF :
EF =
p2F
,
2me
où me est la masse de l’électron, et pF l’impulsion des électrons. Les électrons sont
très proches les uns des autres et la mécanique quantique prévoit que : pF = ~/λ
(~ est la constante de Planck divisée par 2π) et λ la distance entre les électrons.
Soit n le nombre d’électrons dans le volume R3 , on obtient :
EF '
~2 n2/3
.
2me R2
L’énergie des n électrons s’écrit alors : Ec ' nEF . Donc, l’énergie cinétique des
électrons s’écrit :
~2 n5/3
Ec '
.
2me R2
207
ANNEXES
208
D’autre part l’énergie gravitationnelle potentielle s’écrit :
EP ' −G
(Zmp + N mn )2
,
R
où G est la constante de gravitation, mp et mn sont respectivement la masse du
proton et du neutron. On considère que mp ' mn , et Z + N = A = 2n, on suppose
que le nombre de protons et de neutrons sont les mêmes. D’où :
4n2 m2p
EP ' −G
.
R
L’énergie totale du système s’écrit, ET = Ec + EP . On recherche le rayon R = Re
qui assure un équilibre. C’est à dire si l’énergie totale est minimum :
dET
= 0,
dR
pour un rayon particulier, R = Re . La réponse est que cette possibilité existe, et
on obtient :
Re '
~2 (2mp )1/3 −1/3
M
' 2, 45 1019 M −1/3 ,
4Gme m2p
où M = 2nmp est la masse de l’objet. On peut simplifier la relation et écrire :
µ
Re ' 0, 3RT
M
M¯
¶−1/3
,
où RT est le rayon de la Terre et M¯ est la masse du soleil.
Cette dernière relation est importante puisqu’elle donne le rayon d’équilibre Re
d’une masse M dont les électrons sont dégénérés mais non-relativistes. On trouve
alors que le rayon Re pour une masse solaire est proche du rayon terrestre RT , soit
une densité de ∼ 106 g cm−3 . Cette valeur est caractéristique d’une naine blanche.
A.1.2
Cas relativiste
Une fois le stade de naine blanche atteint, que devient ce corps lorsque les
électrons deviennent relativistes. L’énergie cinétique des électrons s’écrit alors :
Ec =
p
p2 c2 + m2e c4 − me c2 ,
ANNEXES
209
où me est la masse au repos des électrons et p son impulsion. Si les électrons sont
ultra-relativistes : Ec = p c, et comme ils sont dégénérés, on Ec = pF c (voir cas
non-relativiste pour la définition de pF ). L’énergie cinétique des électrons relativistes devient :
Ec ' ~c
n4/3
.
R
L’énergie potentielle gravitationnelle garde la même forme que pour le cas nonrelativiste. L’énergie totale ET s’exprime maintenant par :
ET =
~cn4/3 4Gm2p n2
−
.
R
R
On remarque que la relation d’équilibre ne dépend plus du rayon R. L’équilibre
existe si l’énergie totale est positive. Après calcul, on obtient un critère sur la masse
M . L’équilibre existe si :
µ
M < 2mp
~c
4Gm2p
¶3/2
≡ Mch ,
où Mch ' 0, 5 M¯ .
Ce calcul donne un ordre de grandeur de la masse de Chandrasekhar, Mch .
Si une naine blanche dépasse cette masse, elle est instable et s’effondre sous la
force de gravitation. Un calcul plus approfondi donne Mch = 1,6-5 M¯ [105] p. 438
et dans l’article célèbre de 1931, Chandrasekhar donne Mch ' 0,91 M¯ [27]. Des
calculs plus précis permettent d’obtenir : Mch ' 1,65 M¯ [1] p. 180.
ANNEXES
A.2
210
Évolution des restes de supernovae : phase
de Sedov
On considère un reste de supernova de masse M en expansion dans le milieu
interstellaire de densité ρmis . On peut écrire l’équation de conservation de l’énergie
cinétique totale en supposant que tous les profils de densité soient uniformes. Dans
ces conditions, on obtient :
1
1
M v02 =
2
2
µ
4πρmis r3
M+
3
¶
v2,
où v0 est la vitesse initiale des éjectas, r est le rayon de l’interface sphérique entre
les éjectas et le milieu interstellaire et v est la vitesse de la matière (supposée
uniforme) à l’intérieur de cette sphère. Sachant que v = dr/dt, on en déduit :
µ ¶2
dr
v02
=
,
dt
1 + (r/rs )3
où rs = (4πρmis /3M )−1/3 . On peut en déduire dt en fonction de dr. Alors, pour
dt > 0 on tire une relation intégrale entre le temps et le rayon des éjectas de la
forme :
t = ts
Z r√
1 + α3 dα,
(A.1)
0
dans laquelle, ts = rs /v0 et α = r/rs . Cette relation peut être étudiée dans deux
cas limites : lorsque α ¿ 1, alors on trouve r = v0 t et les éjectas sont en phase de
vol libre. Si α À 1, l’intégrale se simplifie et on obtient :
µ ¶2/5
5
r = rs
t2/5 .
2ts
Donc l’évolution temporelle du rayon est de la forme r ∝ t2/5 . On entre dans
la phase dite de Sedov concernant l’évolution des éjectas [104]. En particulier, en
posant E0 = M v 2 /2, on obtient :
µ
µ
¶1/5
¶1/5
¶2/5 µ
E0
5
E0
2/5
√
t '
t2/5 ,
r(t) =
ρ
ρ
2 2π
mis
mis
µ
¶1/5
¶1/5
µ
¶2/5 µ
2
E0
5
E0
−3/5
√
v(t) =
t
'
t−3/5 .
5 2 2π
ρmis
ρmis
ANNEXES
211
On retrouve les relations classiques d’évolution du rayon et de la vitesse d’une
forte explosion dans un milieu peu dense (voir l’ouvrage de Sedov [104] p. 234 ou
aussi les références [59] p. 303 et [72] p. 116). On peut noter que l’équation (A.1)
permet de passer continuement d’un vol libre à la phase de Sedov, c’est à dire, à
un ralentissement avec une expression proportionnelle à t2/5 .
ANNEXES
A.3
212
Évolution des restes de supernovae : phase
isotherme
On considère les éjectas d’une supernova dont la masse totale est M et dont
la vitesse moyenne est v0 (voir l’annexe A.2). Les éjectas sont en expansion dans
le milieu interstellaire dont la densité est ρmis . D’après la loi de conservation de
l’impulsion, on a [199, 200] :
µ
¶
4πρmis 3
M v0 = M +
r v,
3
où r et v sont respectivement, le rayon et la vitesse moyenne des éjectas au temps
t. En utilisant la définition v = dr/dt, et en intégrant par quadrature, on obtient la
vitesse et le rayon des éjectas en fonction du temps (nous supposons que la vitesse
est uniforme dans les éjectas) :
r
1
t
=
+
ts
rs 4
µ
r
rs
¶4
,
v=
v0
,
1 + (r/rs )3
où rs = (3M/4πρmis )1/3 et ts = rs /v0 .
Comme on peut le deviner, rs est le rayon d’une sphère dans le milieu interstellaire de densité ρmis dont la masse est égale à celle des éjectas. On peut en déduire
deux cas limites : lorsque r ¿ rs , il vient immédiatement que r ∝ t. Ce régime
a déjà été trouvé dans l’annexe A.2 en utilisant une autre approche. Á l’inverse,
lorsque r À rs , on en déduit que r ∝ t1/4 . À l’aide des équations ci-dessus on
obtient l’accélération g et le nombre d’Atwood At en fonction du rayon :
g(r) =
(r/rs )2
3v02
,
rs [1 + (r/rs )2 ]3
At (r) =
1 − (r/rs )3
.
1 + (r/rs )3
L’instabilité de Rayleigh-Taylor à la surface des restes de supernovae ne peut
se développer que si r < Rs car le nombre d’Atwood doit rester positif.
ANNEXES
A.4
213
Commentaire par D. Livescu à propos de
l’article : “Compressible Rayleigh-Taylor instabilities in Supernova remnants” par Ribeyre, X., Tikhonchuk, V. T. et Bouquet S.
et la réponse au commentaire de D. Livescu.
Dans cette annexe, on trouve le texte du commentaire de D. Livescu [135]
concernant l’article de Ribeyre et al. [134] ainsi que la réponse au commentaire de
Livescu que nous avons effectué [136]. De plus, nous avons ajouté la réponse de
Livescu [137] suite à notre réponse [136].
ANNEXES
214
ANNEXES
215
ANNEXES
216
ANNEXES
217
ANNEXES
218
ANNEXES
A.5
219
Transformation de coordonnées
On considère une fonction η(x, y, t) qui définie la position de l’interface zint = η.
Nous introduisons une nouvelle variable, z̃ donnée par z̃ = z − zint = z − η(x, y, t).
Dans le nouveau système de coordonnées, une quantité physique f (x, y, z, t)
est notée f˜(x, y, z̃, t). Nous avons alors f (x, y, z, t) = f˜(x, y, z̃, t). En conséquence,
les dérivées totales des deux fonctions sont identiques. Et on obtient la relation
suivante entre les dérivées partielles :
∂i f = ∂i f˜ − ∂i η ∂z̃ f˜,
i = x, y, t;
(A.2)
∂z f = ∂z̃ f˜.
(A.3)
Pour simplifier, par la suite on ne tient pas compte du tilde sur toutes les
quantités physiques. Les équations de l’hydrodynamique s’écrivent après la transformation :
∂t ρ + div (ρ~v ) − ∂t η ∂z ρ − [∂z (ρ~v )] (grad η) = 0,
(A.4)
ρ∂t~v + ρ (~v · grad )~v − ρ (∂t η + vx ∂x η + vy ∂y η)∂z~v
−(∂z p) (grad η) = ~g ρ − grad p,
(A.5)
p = Kρ.
(A.6)
Pour une solution statique à l’ordre zéro, on obtient : ~v0 = 0, grad p0 = ρ0~g ,
η0 = 0, et p0 = Kρ0 . Après linéarisation du système autour de cet état, on obtient
au premier ordre :
∂t ρ1 + div (ρ0~v1 ) − (∂z ρ0 ) (∂t η1 ) = 0,
(A.7)
ρ0 ∂t v~1 − (∂z p0 ) (grad η1 ) = ~g ρ1 − grad p1 ,
(A.8)
p1 = Kρ1 .
(A.9)
Cette linéarisation est valide si le terme du second ordre est petit en comparaison
du premier ordre, c’est à dire si :
∂t~v À (~v · grad )~v .
(A.10)
ANNEXES
220
On pose a l’amplitude de la perturbation, τ la période d’oscillation des particules de fluide dans cette perturbation, et λ la longueur d’onde de l’oscillation.
Alors v ∼ a/τ , la dérivée de la vitesse par rapport au temps devient ∼ v/τ et la dérivée par rapport à l’espace devient ∼ v/λ. La condition (A.10) implique alors que
a/τ 2 À 1/[λ(a/τ )2 ] ce qui revient à écrire a ¿ λ. Autrement dit, l’amplitude de
la perturbation doit être petite comparée à la longueur d’onde de la perturbation
pour que la linéarisation soit valide.
Les équations dans le nouveau système de coordonnées fournissent aussi les
conditions de saut à l’interface z̃ = 0. Par intégration de l’équation (A.7) à travers
+
−
−
+
l’interface, on obtient : ρ+
0 (0)[∂t η1 −v1z (0)] = ρ0 (0)[∂t η1 −v1z (0)]. Puisque ρ0 (0) 6=
ρ−
0 (0), les conditions suivantes doivent être satisfaites au voisinage de l’interface :
+
−
v1z
(0) = v1z
(0) = ∂t η1 .
(A.11)
À l’aide de la composante z de l’équation d’Euler (A.8), on obtient la condition
−
+
−
de continuité de la pression à l’interface : p+
0 (0) = p0 (0) et p1 (0) = p1 (0) comme
il se doit.
Finalement, on se restreint à une perturbation 2D, zint = η(x, t). Dans ces
conditions, la composante suivant y n’a pas besoin d’être traitée, et le système
d’équations linéarisées prend la forme suivante :
∂t ρ1 + ∂x (ρ0 v1x ) + ∂z (ρ0 v1z ) − (∂z ρ0 ) (∂t η1 ) = 0,
ρ0 ∂t v1x − (∂x η1 )(∂z p0 ) = −∂x p1 ,
ρ0 ∂t v1z = −gρ1 − ∂z p1 .
ANNEXES
A.6
221
Simplification de la relation de dispersion
dans le cas d’un fluide stratifié
Introduisons la valeur du taux de croissance ω obtenue à partir de la relation
de dispersion (4.39) dans l’équation (4.35), nous pouvons trouver une expression
pour m+
s :
s
m+
s =
+
β
−
2
−
β+ 2
ρ+ m+ − ρ−
0 ms
+ k 2 − β + 0 s+
.
4
ρ0 − ρ−
0
Cette expression peut être représentée de la façon suivante :
+
2
m+
s +β
ρ+
0
+
−
2
− (ms − ms ) = k .
ρ+
−
ρ
0
0
Une expression similaire peut être obtenue pour m−
s :
2
−
m−
s +β
ρ−
0
+
−
2
− (ms − ms ) = k ,
ρ+
−
ρ
0
0
et après soustraction des deux équations précédentes on a :
2
m+
s
−
2
m−
s
=
(m+
s
−
β
m−
s)
+ −
ρ0
ρ+
0
− β − ρ+
0
.
−
− ρ0
−
Ayant à l’esprit que m+
s et ms sont de signes opposés et que la condition aux
+ −
+
−
limites à l’équilibre s’écrit : β − ρ+
0 = β ρ0 , alors ms = −ms = −ms . En conclu-
sion, dans le chapitre IV, nous pouvons réécrire la relation de dispersion (4.39)
sous la forme de (4.40).
ANNEXES
A.7
222
Annexe du chapitre V
Pour chaque jeu de paramètres, F se réduit aux fonctions de Legendre associées [158], avec :
R−l−1/2 P (R)
F(α1 , β1 ; γ1 ; R ) ∝ √
,
1 − R2
(A.12)
Rl+1/2 Q(R)
F(α2 , β2 ; γ2 ; R ) ∝ √
,
1 − R2
(A.13)
√
l+1/2
P (R) ≡ P∆−1/2 ( 1 − R2 )
(A.14)
√
l+1/2
Q(R) ≡ Q∆−1/2 ( 1 − R2 )
(A.15)
2
et
2
où
et
où Pab et Qba avec a = ∆ − 1/2 et b = l + 1/2 sont les deux fonctions de Legendre
associées [158].
Alors la solution (5.62) prend la forme suivante :
S(R) = √
1
[C1 P (R) + C2 Q(R)] .
R(1 − R2 )3/2
(A.16)
ˆ
Les composantes de la vitesse perturbée δ~vˆ = δ V~ exp (ω t̂/τ ) peuvent s’exprimer
en fonction de S [on utilise les équations (5.52) à (5.54) en intégrant sur le temps] :
·
¸
â0
2 dS
δ V̂r =
−(1 − R )
+ 2R S Ylm ,
3ωτ
dR
â0
(1 − R2 ) S ∂θ Ylm ,
δ V̂θ = −
(A.17)
3ωτ R
â0
(1 − R2 ) S ∂φ Ylm .
δ V̂φ = −
3ωτ R sin θ
On peut montrer que le rotationnel de δ~vˆ est nul.
Revenons à l’équation (A.16) pour obtenir la solution S(R). Les constantes C1
et C2 sont déduites des conditions aux limites (5.50). Sans considérer la dépendance exponentielle en temps ainsi que la dépendance angulaire, la condition de
ANNEXES
223
continuité pour r̂ = r̂0 sur la pression dans (5.50) s’écrit :
η̂0 ∂r̂ p̂0 (r̂0 ) + δ p̂(r̂0 ) = 0.
(A.18)
À l’aide de la condition à l’équilibre (5.25), la définition de la vitesse du
son (5.49) ainsi que la relation (5.58) qui permet d’introduire S(R), cette condition
devient :
S(R0 ) =
3R0
.
1 − R02
(A.19)
La même étude menée sur la face externe de la coquille, c’est à dire, pour
r̂ → r̂1 (R → R1 ≡ 1) donne :
¯
3R ¯¯
â0 S(R1 ) = â1
,
1 − R2 ¯R=R1
(A.20)
Maintenant, à partir la condition de continuité pour r̂ = r̂0 (R = R0 ) sur la
vitesse radiale dans (5.50) devient :
∂t̂ η̂0 = δv̂r̂ (r̂0 ).
(A.21)
Sachant que la vitesse perturbée est donnée par la première équation du système (A.17) et que la perturbation de la face interne de la coquille est obtenue
avec (5.59), il vient :
¯
dS ¯¯
R (1 − R )
= S(R0 ) [2R02 − ω 2 (1 − R02 )].
dR ¯R=R0
2
En ce qui concerne la face externe R → R1 ≡ 1, on obtient :
¯
¯
2 dS ¯
= S(R1 ) [2R12 − ω 2 (1 − R12 )].
R (1 − R )
dR ¯R=R1
(A.22)
(A.23)
Finalement, on peut regrouper les conditions aux limites de la façon suivante :
¯
3R ¯¯
,
â0 S(R) = âi
1 − R2 ¯R=Ri
¯
¯
2 dS ¯
R (1 − R )
= S(R) [2R2 − ω 2 (1 − R2 )], i = 0, 1 .
(A.24)
dR ¯R=Ri
ANNEXES
224
La dérivée de S dans la seconde équation de (A.24) peut être déterminée de
façon analytique à partir de l’expression de la dérivée de la solution de l’équation
différentielle (A.16) :
√
√
l+1/2
l+1/2
S(R) = H(R)[C1 P∆−1/2 ( 1 − R2 ) + C2 Q∆−1/2 ( 1 − R2 )],
√
où H(R) = 1/[ R(1 − R2 )3/2 ].
√
En appliquant le changement de variable : x = 1 − R2 on a :
(A.25)
S(R) = H(x)[C1 Pab (x) + C2 Qba (x)],
(A.26)
où H(x) = 1/[x3 (1 − x2 )1/4 ], a = ∆ − 1/2 et b = l + 1/2. On peut exprimer dS/dx
comme :
·
µ
¶¸
dS
7x2 − 6
dPab
dQba
b
b
= H(x)
[C1 Pa (x) + C2 Qa (x)] + C1
+ C2
,
dx
2x(1 − x2 )
dx
dx
(A.27)
avec :
dPab
1
b
= 2
[xaPab (x) − (a + b)Pa−1
(x)],
dx
x −1
on obtient une relation similaire pour la fonction Q [158].
(A.28)
Finalement, on trouve l’expression suivante pour la dérivée de la solution S(R) :
dS
−S(R)
∆+l
=
[(1 − R2 )(4 − ∆) − 3] −
[C1 P1 (R) + C2 Q1 (R)],
2
dR
R(1 − R )
(1 − R2 )2 R3/2
l+1/2 √
l+1/2 √
où P1 (R) ≡ P∆−3/2 ( 1 − R2 ) et Q1 (R) ≡ Q∆−3/2 ( 1 − R2 ).
Les équations (A.24) pour la limite sur la face interne R = R0 donnent deux
relations linéaires entre C1 et C2 :
3/2
q
C1 P (R0 ) + C2 Q(R0 ) = 3R0
3/2
1 − R02 ,
3R0 (1 − R02 )
C1 P1 (R0 ) + C2 Q1 (R0 ) =
∆+l
µ
2R02
ω +∆+
1 − R02
2
¶
.
Ce jeu de relations définit complètement les expressions pour les constantes C1
et C2 :
#
"
p
¶
µ
2
1 − R02
1 − R02
−
1
2R
0
C1 =
Q(R0 )
− Q1 (R0 ) ,(A.29)
ω2 + ∆ +
B
∆+l
1 − R02
#
"
p
p
¶
µ
3/2
2
3R0
1 − R02
1 − R02
−
1
2R
0
C2 =
P (R0 )
− P1 (R0 ) ,(A.30)
ω2 + ∆ +
B
∆+l
1 − R02
3/2
3R0
p
ANNEXES
225
où B = P1 (R0 )Q(R0 ) − P (R0 )Q1 (R0 ). D’après Abramovitz et Stegun [158], on
peut montrer que B est une constante égale à −Γ(∆ + l)/Γ(∆ − l) où Γ est la
fonction classique gamma.
Avec les constantes C1 et C2 données par les équations (A.29) et (A.30), la
solution (A.16) est complètement définie. Elles dépend du numéro du mode l, de
la position de la face interne R0 et d’un paramètre libre ω. Ce dernier paramètre
peut être déduit des conditions aux limites restantes sur la face externe R = R1 .
Les perturbations de déplacement des deux interfaces (R = R0 et R = R1 ≡ 1)
ne peuvent pas être données initialement indépendantes, et donc ne peuvent pas
évoluer indépendamment. En effet, à partir de l’équation (A.20), sur la face externe
R = R1 ≡ 1, on trouve :
â1 =
1
â0 lim S(R) (1 − R2 ).
3 R→1
(A.31)
Comme le terme 1−R2 tend vers zéro pour R → R1 = 1, cette relation ne force
pas la fonction S à converger au voisinage de l’interface externe, car la densité
et la vitesse du son de l’écoulement non perturbé tendent vers zéro pour cette
position. Puisque dans l’équation (A.16) P et Q sont des fonctions rationnelles
√
de y = 1 − R2 , on peut développer S en série de Taylor autour de y → 0 et
exprimer l’équation (A.31) par :
(·
¯
¯ )
¸
C1 P (1) + C2 Q(1)
â1
dP ¯¯
dQ ¯¯
3
= lim
+ C1
+ C2
.
â0 y→0
y
dy ¯y=0
dy ¯y=0
(A.32)
Le premier terme du membre de droite diverge si le numérateur est différent de zéro. La seule façon de satisfaire cette condition aux limites est d’obtenir
un déplacement fini sur la face externe et d’annuler le numérateur. La condition
C1 P (1) + C2 Q(1) = 0 impose la relation de dispersion pour la coquille instable.
En utilisant les deux constantes C1 et C2 , on peut exprimer cette relation par :
ω 2 = −∆ −
2R02
∆ + l P (1)Q1 (R0 ) − Q(1)P1 (R0 )
−p
.
2
1 − R0
1 − R02 P (R0 )Q(1) − P (1)Q(R0 )
(A.33)
On montrera dans la section 5.6 (chapitre V) que dans ce cas, la seconde
condition aux limites sur la face externe est satisfaite automatiquement.
Liste des travaux et publications
Publications
1. Ribeyre X., Tikhonchuk V. T. and Bouquet S., “Compressible Rayleigh-Taylor
Instabilities Relevant to Astrophysics”, IFSA 2003, proceeding, Eds. Hammel et
al., p. 970.
2. Ribeyre X., Tikhonchuk V. T. and Bouquet S., “Compressible Rayleigh-Taylor
Instabilities in Supernova Remnants”, Phys. of Fluids, 16, 4661, (2004).
3. Ribeyre X., Tikhonchuk V. T. and Bouquet S., Response to ”Comment on
’Compressible Rayleigh-Taylor instabilities in supernova remnants’ ” [Phys. Fluids
17, 069101 (2005)], Phys. of Fluids, 17, 069102 (2005).
4. Ribeyre X., Tikhonchuk V. T. and Bouquet S., “Analytical Study of Supernova
Remnant Non-Stationnary Expansions”, Astrophysics and Space Science, 298, 75
(2005).
5. Ribeyre X., Hallo, L., Tikhonchuk V. T. and Bouquet S., “Non stationnary
Rayleigh-Taylor Instability in plerion”, Journal de Physique IV France 133 (2006)
1055-1057 (EDP sciences) IFSA 2005, proceedings.
6. Ribeyre X., Hallo L., Tikhonchuk V. T., Bouquet S. and Sanz, J., “Nonstationnary Rayleigh-Taylor instabilities in pulsar wind interaction with a supernova shell”, soumis à Astrophysics and Space Science (2006). (proceedings HEDLA
2006)
7. Ribeyre X., Hallo L., Tikhonchuk V. T., Bouquet S. and Sanz J.,“Non-stationnary
Rayleigh-Taylor instability in supernova ejecta”, en préparation Astronomy and
Liste des travaux et publications
228
Astrophysics (2006).
8. Ribeyre X., Tikhonchuk V. T. and Bouquet S., “Rayleigh-Taylor Instability in
plerions”, en préparation pour ApJ.
Conférences et colloques
- IFSA 2003, Monterey : “Compressible Rayleigh-Taylor Instabilities Relevant
to Astrophysics”, Poster.
- HEDLA, Tucson 2004, High Energy Density Laboratory Astrophysics 2004,
“Analytical Study of Supernova Remnant Non-Stationnary Expansions”, Oral.
- Séminaire, ILP Autrans 2004, “Le rôle de l’instabilité de Rayleigh-Taylor dans
les restes de supernovae”, Oral.
- IFSA 2005, Biarritz, “Non stationnary Rayleigh-Taylor Instability in plerions”, Poster.
- HEDLA, Houston 2006, High Energy Density Laboratory Astrophysics 2006,
“Non stationnary Rayleigh-Taylor Instability in pulsar wind nebula”, Poster.
BIBLIOGRAPHIE
[1] W. D. Arnett. Supernovae and nucleosynthesis. Princeton, 1996.
[2] T. Dotani et al. Discovery of an unusual hard X-ray source in the region of
supernova 1987A. Nature, 330 :230, 1987.
[3] R. Sunyaev et al. Discovery of hard X-ray emission from supernova 1987A.
Nature, 330 :227, 1987.
[4] D. Arnett and B. Fryxell. Instabilities and nonradial motion in SN 1987A.
ApJ, 341 :L63, 1989.
[5] J. J. Hester et al. WFPC2 studies of the crab nebula. III. Magnetic RayleighTaylor instabilities and the origin of the filaments. ApJ, 456 :225, 1996.
[6] B. Fryxell et al. Instabilities and clumping in SN 1987A. I - early evolution
in two dimensions. ApJ, 367 :619, 1991.
[7] K. Kifonidis et al. Non-spherical core collapse supernovae. A&A, 408 :621,
2003.
[8] R. A. Chevalier et al. Hydrodynamic instabilities in supernovae remnants :
self similar driven waves. ApJ, 392 :118, 1992.
[9] J. M. Blondin and D. C. Ellison. Rayleigh-Taylor instabilities in young supernova remnants undergoing efficient particule acceleration. ApJ, 560 :244,
2001.
[10] Lord Rayleigh. Investigation of the character of the equilibrium of an incompressible heavy fluid of variable density. Proc. Lond. Math. Soc., 14 :170,
1883.
[11] P. O. Vandervoort. The character of the equilibrium of a compressible,
inviscid fluid of varying density. ApJ, 134 :699, 1961.
[12] I. B. Bernstein and D. L. Book. Effect of compressibility on the RayleighTaylor instability. Phys. Fluids, 26(2) :543, 1983.
[13] G. M. Blake. Fluid dynamic stablity of double radio sources. MNRAS,
156 :67, 1972.
229
BIBLIOGRAPHIE
230
[14] D. H. Sharp. An overview of Rayleigh-Taylor instability. Physica D, 12 :3,
1984.
[15] M. S. Plesset and D. Hsieh. General analysis of the stability of superposed
Fluids. Phys. Fluids, 7(7) :1099, 1964.
[16] D. Livescu. Compressiblility effect on the Rayleigh-Taylor instability growth
between immiscible fluids. Phys. Fluids, 16(1) :118, 2004.
[17] I. B. Bernstein and D. L. Book. Rayleigh-Taylor instability of a self-similar
spherical expansion. ApJ, 225 :633, 1978.
[18] F. Hattori et al. Rayleigh-Taylor instability in a spherical stagnation system.
Phys. Fluids, 29(5) :1719, 1986.
[19] D. L. Book and I. B. Bernstein. Soluble model for the analysis of stability
in an imploding compressible liner. Phys. Fluids, 22(1) :79, 1979.
[20] A. Munier and M. R. Feix. QUIPS : time-dependent properties of quasiinvariant self-graviting polytropes. ApJ, 267 :344, 1983.
[21] B.-I. Jun. Interaction of a pulsar wind with the expanding supernova remnant. ApJ, 499 :282, 1998.
[22] N. Bucciantini et al. Magnetic Rayleigh-Taylor instability for pulsar wind
nebulae in expanding supernova remnants. A&A, 423 :253, 2004.
[23] R. Sankrit et al. WFPC2 studies of the Crab Nebula. II. Ionization structure
of the Crab filaments. ApJ, 504 :344, 1998.
[24] V. Trimble. Motions and structure of the filamentary envelope of the Crab
nebula. AJ, 73(7) :535, 1968.
[25] A. Cadez et al. Spectroscopy and three-dimensional imaging of the Crab
nebula. ApJ, 609 :797, 2004.
[26] D. D. Ryutov et al. Similarity criteria for the laboratory simulation of
supernova hydrodynamics. ApJ, 518 :821, 1999.
[27] S. Chandrasekhar. The maximum mass of ideal white dwarf. ApJ, 74(1) :81,
1931.
[28] L. D. Landau. Statistical physics. Pergamonn Press, 1959.
BIBLIOGRAPHIE
231
[29] J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff. On massive neutron cores. Physical
Review, 55 :374, 1939.
[30] J. R. Oppenheimer and H. Snyder. On continued gravitational contraction.
Physical Review, 56 :455, 1939.
[31] S. Hawking et al. 300 years of gravitation. Cambridge University Press,
1987.
[32] K. Schwarzschild. On the gravitational field of a mass point according to
Einstein’s theory. Sitzungsberichte der Koeniglich Preussischen Akademie
der Wissenschaften zu Berlin, (translation and foreword by S. Antoci and
A. Loinger), page 189, 1916.
[33] A. Einstein. Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Ann. der
Physik, 49 :769, 1916.
[34] A. Hewish et al. Observation of a rapidly pulsating radio source. Nature,
217 :709, 1968.
[35] K. S. Thorne. Black holes and time warps : Einstein’s outrageous legacy.
Papermac, 1994.
[36] J. C. Wheeler. Observations and theory of supernovae. Am. J. Phys., 71 :11,
2003.
[37] V. Trimble.
Supernovae. Part I : the events.
Rev. of Mod. Physics,
54(4) :1183, 1982.
[38] V. Trimble. Supernovae. Part II : the aftermath. Rev. of Mod. Physics,
55(2) :511, 1983.
[39] E. M. Reynoso et al. A VLA study of the expansion of Tycho’s supernova
remnant. ApJ, 491 :816, 1997.
[40] P. F. Velázquez et al. Study of the Rayleigh-Taylor instability in Tycho’s
supernova remnant. A&A, 334 :1060, 1998.
[41] J. P. Hughes. The expansion of the X-ray remnant of Tycho’s supernova
(SN 1572). ApJ, 545 :L53, 2000.
BIBLIOGRAPHIE
232
[42] S. A. Falk and D. Arnett. A theoretical model for type II supernovae. ApJ,
180 :L65, 1973.
[43] W. D. Arnett. Supernova theory and supernova 1987A. ApJ, 319 :136, 1987.
[44] W. D. Arnett et al. Supernova 1987A. ARA&A, 27 :629, 1989.
[45] R. Lehoucq et al. The radioactivity of SN 1987 A. A&A, 224 :117, 1989.
[46] A. P. Pinto and S. E. Woosley. X-ray and gamma-ray emission from supernova 1987A. ApJ, 329 :820, 1988.
[47] S. Matz et al. Gamma-ray line emission from 1987A. Nature, 331 :416, 1988.
[48] T. Shigeyama and K. Nomoto. Theoritical light curve of SN 1987A and
mixing of hydrogen and nickel in the ejecta. ApJ, 360 :242, 1990.
[49] S. Blinnikov et al. Radiation hydrodynamic of SN1987A. I. Global analysis
of the light curve for the first 4 months. ApJ, 532 :1132, 2000.
[50] E. Müller et al. Instability and clumping in SN1987A. A&A, 251 :505, 1991.
[51] I. Hachisu et al. Rayleigh-Taylor instabilities and mixing in the Helium star
models for Type Ib/Ic supernovae. ApJ, 368 :L27, 1991.
[52] M. Herant and W. Benz. Hydrodynamical instabilities and mixing in SN
1987A : Two-dimensional simulations of the first 3 months. ApJ, 370 :L81,
1991.
[53] H.-Th. Janka and E. Müller. Neutrino heating, convection, and the mechanism of type-II supernova explosions. A&A, 306 :167, 1996.
[54] K. W. Weiler and N. Panagia. Vela X and the evolution of plerions. A&A,
90 :269, 1980.
[55] R. A. Chevalier. Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta
with an external medium. ApJ, 258 :790, 1982.
[56] R. A. Chevalier and J. M. Blondin. Hydrodynamic instabilities in supernova
remnants early radiative cooling. ApJ, 444 :312, 1995.
[57] L. Woltjer. Supernova remnants. ARA&A, 10 :129, 1972.
[58] S. F. Gull. A numerical model of the structure and evolution of young
supernova remnants. MNRAS, 161 :47, 1973.
BIBLIOGRAPHIE
233
[59] J. Lequeux. Le milieu interstellaire. CNRS Editions, 2002.
[60] E. Amato. Understanding pulsar wind nebulae : recent progress and open
questions. Chin. J. Astron. Astrophys. Suppl., 3 :316, 2003.
[61] M. F. Bietenholz et al. The expansion of the Crab nebula. ApJ, 373 :L59,
1991.
[62] W. Baade. The Crab nebula. ApJ, 96 :188, 1942.
[63] J. C. Duncan. Second report on the expansion of the Crab nebula. ApJ,
89 :482, 1939.
[64] R. J. Nugent. New measurement of the expansion of the Crab nebula.
PASP (The Publication of the Astronomical Society of the Pacific), 110 :831,
1998.
[65] J. P. Ostriker and J. E. Gunn. Do pulsars make supernovae ? ApJ, 164 :L95,
1971.
[66] P. Bodenheimer and J. P. Ostriker. Do pulsars make supernovae ? II. Calulations of light curves for type II events. ApJ, 191 :465, 1974.
[67] J. Arons. Theory of pulsar winds. Advances in Space Research (COSPAR
publication), 33 :466, 2004.
[68] P. Goldreich and W. Julian. Pulsar electrodynamics. ApJ, 157 :869, 1969.
[69] J. H. Taylor and R. N. Manchester. Recent observations of pulsars. ARA&A,
15 :19, 1977.
[70] S. S. Lawrence et al. Three-dimensional Fabry-Perot imaging spectroscopy
of the Crab nebula, Cassiopeia A, and nova GK Persei. ApJ, 109 :6, 1995.
[71] P. Slane. The devil is in the details : Compact structures in pulsar wind
nebulae. Advances in Space Research (a COSPAR pulblication), 35 :1092,
2005.
[72] A. R. Choudhuri. The physics of fluids and plasmas. An introduction for
astrophysicists. Cambridge University Press, 1998.
[73] C. F. Kennel and F. V. Coroniti. Confinement of the Crab pulsar’s wind by
its supernova remnant. ApJ, 283 :694, 1984.
BIBLIOGRAPHIE
234
[74] A. M. Atoyan. Radio spectrum of the Crab nebula as an evidence for fast
initial spin of its pulsar. A&A, 346 :L49, 1999.
[75] M. C. Weisskopf et al. Discovery of spatial and spectral structure in the
X-ray emision from the crab nebula. ApJ, 536 :L81, 2000.
[76] J. J. Hester et al. Hubble space telescope and Chandra monitoring of the
Crab synchrotron nebula. ApJ, 577 :L49, 2002.
[77] R. A. Chevalier. The interaction of supernovae with the interstellar medium.
ARA&A, 15(175), 1977.
[78] A. Decourchelle et al. Thermal X-Ray emision and cosmic-ray production
in young supernova remnants. ApJ, 543 :L57, 2000.
[79] J. M. Blondin et al. Pulsar wind nebulae in evolved supernova remnants.
ApJ, 563 :806, 2001.
[80] R. A. Chevalier. In Supernovae. Eds. D.N. Schramm (Dordrech : Reidel),
p.53, 1977.
[81] S. P. Reynolds and R. A. Chevalier. Evolution of pulsar-driven supernova
remnants. ApJ, 278 :630, 1984.
[82] R. A. Chevalier. Young core-collapse supernova remnants and their supernovae. ApJ, 619 :839, 2005.
[83] B. M. Gaensler. Shocks and wind bubbles around energetic pulsars. In
F. Camilo and B.M. Gaensler, editors, Young Neutron Stars and Their Environments, IAU Symposium, Vol. 218, page 1, 2004.
[84] E. van der Swaluw et al. An evolution model for pulsar-driven supernova
remnants. A hydrodynamical model. A&A, 420 :937, 2004.
[85] E. V. Gotthelf et al. CHANDRA detection of the forward and reverse shocks
in Cassiopeia A. ApJ, 552 :L39, 2001.
[86] J. K. Truelove and C. F. McKee. Evolution of non-radiative supernova
remnants. ApJS, 120 :299, 1999.
[87] J. S. Warren et al. Cosmic ray acceleration at the forward shock in Tycho’s supernova remnant : Evidence from Chandra X-ray observations. ApJ,
634 :376, 2005.
BIBLIOGRAPHIE
235
[88] X. Ribeyre et al. Non-stationary Rayleigh-Taylor instability in supernova
ejecta. A&A, 2005 (submitted).
[89] E. J. Groth. Timing of the Crab pulsar III. The slowing down and the nature
of the random process. ApJS, 29(293) :453, 1975.
[90] H. C. Goldwire and F. C. Michel. Analysis of the slowing-downn rate of NP
0532. ApJ, 156 :L111, 1969.
[91] M. J. Rees and J. E. Gunn. The origin of the magnetic field and relativistic
particles in the Crab nebula. MNRAS, 167 :1, 1974.
[92] D. D. Ryutov et al. Magnetohydrodynamic scaling : from astrophysics to
the laboratory. Phys. Plasmas, 8(5) :1804, 2001.
[93] D. D. Ryutov et al. Criteria for scaled laboratory simulations of astrophysical
MHD phenomena. ApJS, 127 :465, 2000.
[94] B. A. Remington et al. Modeling astrophysical phenomena in the laboratory
with intense lasers. Science, 284 :1488–1493, 1999.
[95] N. G. Basov and O. N. Krokhin. The conditions of plasma heating by the
optical generator radiation. Soviet Physics JETP, 19(1) :123, 1964.
[96] J. M. Dawson.
On the production of plasma by giant pulse lasers.
Phys. Fluids, 7(7) :981, 1964.
[97] N. Tsuchimori et al. A simulation of space plasma by laser produced plasma.
Japan J. Appl. Phys., 7 :84, 1968.
[98] B. A. Remington et al. Single-mode and multimode Rayleigh-Taylor experiments on Nova. Phys. Plasmas, 2(1) :241, 1995.
[99] B. A. Remington et al. Supernova hydrodynamics experiments on the Nova
laser. Phys. Plasmas, 4(5) :1944, 1997.
[100] J. Kane et al. Supernova-relevant hydrodynamic instability experiments on
the Nova laser. ApJ, 478 :L75, 1997.
[101] B. A. Remington et al. A review of astrophysics experiments on intense
lasers. Phys. Plasmas, 7(5) :1641, 2000.
BIBLIOGRAPHIE
236
[102] S. V. Lebedev et al. Radiatively cooled supersonic plasma jets generated
in wire array Z-pinches. IFSA 2001 Proceedings, Eds. K.A. Tanaka, D. D.
Meyerhofer, J. Meyer-ter-Vehn, page 1034, 2001.
[103] National Research Council. Frontiers in high energy density physics. The
National Academies Press Washington, D.C., 2003.
[104] L. Sedov. Similitude et dimensions en mécanique. Eds. MIR (Moscou), 1997.
[105] S. Chandrasekhar. An introduction to the study of stellar structure. Dover
Publications, inc. (réedition), 1957.
[106] M. Tricottet. Les instabilités de Rayleigh-Taylor : effets de la compressibilité, des non-linéarités et apllications à une expérience d’astrophysique de
laboratoire. PhD thesis, Université Paris VII, 2004.
[107] S. I. Braginskii. Transport process in a plasma. Reviews of Plasma Physics
(New York : Consultant Bureau), (205), 1965.
[108] D. Galmiche and S. Gauthier. On the reynolds number in laser experiments.
Jnp. J. Appl. Phys., 35(8) :4516, 1996.
[109] D. C. Ellison and S. P. Reynolds. Electron acceleration in a nonlinear shock
model with applications to supernova remnants. ApJ, 382 :242, 1991.
[110] R. P. Drake et al. Experiment to produce a hydrodynamically unstable,
spherically diverging system of relevance to instabilities in supernovae. ApJ,
564 :896, 2002.
[111] A. Benuzzi-Mounaix et al. Supernovae Rayleigh-Taylor instability experiments on CEA-Phébus laser facility. Ap&SS, 277 :143–146, 2001.
[112] A. Miles et al. Numerical simulation of supernova-relevant laser-driven hydro
experiment on Omega. Phys. Plasmas, 11(7) :3631, 2004.
[113] G. Taylor. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction
perpendicular to their planes. I. Proc. Roy. Soc., A. 201 :192, 1950.
[114] Lord Kelvin. Hydrokinetic solutions and observations. Phil. Mag., 42(4) :362,
1871.
BIBLIOGRAPHIE
[115] H. von Helmholtz.
237
On discontinuous movement of fluids.
Phil. Mag.,
36(4) :337, 1868.
[116] R. D. Richtmyer. Taylor instability in shock acceleration of compressible
fluids. Commun. Pure Appl. Math., 13 :297, 1960.
[117] E. E. Meshkov. Instability of a shock wave accelerated interface between
two gases. NASA Tech. Trans., F-13 :074, 1970.
[118] S. Chandrasekhar. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford University Press, 1968.
[119] S. Nakai and H. Takabe. Principles of inertial confinement fusion - physics of
implosion and concept of inertial fusion energy. Rep. Prog. Phys., 59 :1071,
1996.
[120] M. P. Brenner et al. Bubble shape oscillations and the onset of sonoluminescence. Phys. Rev. Lett., 75(5) :954, 1995.
[121] H. J. Kull. Theory of the Rayleigh-Taylor instability. Physics Repports,
206(5) :197, 1991.
[122] M. Vandenboomgaerde et al. Efficient perturbation methods for RichmyerMeshkov and Rayleigh-Taylor instabilities : Weakly nonlinear stage and
beyond. Laser and Particle Beams, 21 :321, 2003.
[123] N. A. Inogamov. The role of Rayleigh-Taylor and Richtmyer-Meshkov instabilities in astrophysics : an introduction. Astrophys. Space Phys., 10 :1–335,
1999.
[124] S. Atzeni and J. Meyer-Ter-Vehn. The physics of inertial fusion. Oxford
University Press, 2004.
[125] D. Layzer. On the instability of superposed fluids in gravitational field. ApJ,
122(1) :1, 1955.
[126] M. Tricottet et al. On RT and RM single-mode solution. IFSA Proceedings,
Eds. K.A. Tanaka, D.D. Meyerhofer, J. Meyer-ter-Vehn, page 76, 2001.
[127] S. F. Gull. The X-ray, optical and radio properties of young supernova
remnants. MNRAS, 171 :263, 1975.
BIBLIOGRAPHIE
238
[128] L. Baker. Compressible Rayleigh-Taylor instability. Phys. Fluids, 26 :950,
1983.
[129] Y. Elbaz et al. Compressibilty effects on the Rayleigh-Taylor instability. In
Workshop on Physics of Compressible Turbulent Mixing. 8th, 2001.
[130] R. A. Chevalier and T. R. Gull. The outer structure of the Crab nebula.
ApJ, 200 :399, 1975.
[131] V. V. Dwarkadas. Interaction of type Ia supernovae with their surroundings :
the exponential profile in two dimensions. ApJ, 541 :418, 2000.
[132] R. L. McCrory et al. Growth and saturation of the instability of spherical
implosions driven by laser or charged particle beams. Nucl. Sci. and Eng.,
64 :163, 1977.
[133] D. B. Henderson et al.
Ablation stability of laser-driven implosions.
Phys. Rev. Lett., 33(4) :205, 1974.
[134] X. Ribeyre et al. Compressible Rayleigh-Taylor instabilities in supernova
remnants. Phys. Fluids, 16(12) :4661, 2004.
[135] D. Livescu. Comment on ”Compressible Rayleigh-Taylor instabilities in supernova remnants [Phys. Fluids 16(12), 4661 (2004)]. Phys. Fluids, 17 (6),
2004.
[136] X. Ribeyre et al. Response to Comment on ”Compressibility Rayleigh-Taylor
instabilities in supernova remnants”. Phys. Fluids, 17 :1, 2005.
[137] D. Livescu. Reply to ”Response to ’Comment on ”Compressible RayleighTaylor instabilities in supernova remnants’ ””[Phys. Fluids 17, 069102
(2005)]. Phys. Fluids, 17 (8)(089101), 2005.
[138] W. G. Mathews and G. R. Blumenthal. Rayleigh-Taylor stability of compressible and incompressible radiation-supported surfaces and slabs : application
to QSO clouds. ApJ, 214 :10, 1977.
[139] P. G. Drazin and W. H. Reid. Hydrodynamic stability. Cambridge University
Press, 1981.
[140] C. L. Gardner et al. The dynamics of bubble growth for Rayleigh-Taylor
unstable interface. Phys. Fluids, 31(3) :447, 1988.
BIBLIOGRAPHIE
239
[141] S. J. Han. Stability of an imploding spherical shell. Phys. Rev. A, 44(9) :5784,
1991.
[142] V. N. Goncharov et al. Modeling hydrodynamic instabilities in inertial confinement fusion targets. Phys. Plasmas, 7(12) :5118, 2000.
[143] N. Bucciantini et al. Spherically symmetric relativistic MHD simulations of
pulsar wind nebulae in supernova remnants. A&A, 405 :617, 2003.
[144] B.-I. Jun and M. L. Norman. A numerical study of Rayleigh-Taylor instability in magnetic fluids. ApJ, 453 :332, 1995.
[145] S. P. Reynolds. Filamentary structure in Crab-like supernova remnants.
ApJ, 327 :853, 1988.
[146] S. Liberatore and S. Bouquet. Linear study of the Rayleigh-Taylor instability in a compressible magnetized fluid. IFSA 2003 Proceedings, Eds. B.A.
Hammel, D. D. Meyerhofer, J. Meyer-ter-Vehn, H. Azechi, page 201, 2003.
[147] S. Bouquet et al. Density bifurcation in a homogeneous isotropic collapsing
star. ApJ, 293 :494, 1985.
[148] P. Blottiau et al. An asymptotic self-similar solution for the gravitational
collapse. A&A, 207 :24, 1988.
[149] T. Hanawa and T. Matsumoto. Growth of a vortex mode during gravitational
collapse resulting in type II supernovae. ApJ, 540 :962, 2000.
[150] P. Hennebelle.
Exact solutions of the aspherical axisymmetric gravito-
magnetic condensation. A&A, 378 :214, 2001.
[151] M. Shadmehri and J. Ghanbari. Radiative cooling flows of self-graviting
filamentary clouds. Ap&SS, 278 :347, 2001.
[152] X. Ribeyre et al. Analytical study of supernova remnant non-stationary
expansion. Ap&SS, 298 :75, 2005.
[153] R. A. London and M. D. Rosen. Hydrodynamics of exploding foil X-ray
lasers. Phys. Fluids, 29(11) :3813, 1986.
[154] F. Camilo et al. Discovery of two high magnetic field radio pulsars. ApJ,
541 :367, 2000.
BIBLIOGRAPHIE
240
[155] E. T. Vishniac. The dynamic and gravitational instabilities of spherical
shocks. ApJ, 274 :152, 1983.
[156] D. Ryu and E. T. Vishniac. The dynamic instability of adiabatic blast waves.
ApJ, 368 :411, 1991.
[157] D. Ryu and E. T. Vishniac. The growth of linear perturbations of adiabatic
shock waves. ApJ, 313 :820, 1987.
[158] M. Abramovitz and I. A. Stegun. Handbook of mathematical functions. Washington : Government Printable Office, 1972.
[159] D. K. Nadyozhin. On the initial phase of interaction between expanding
stellar envelopes and surrounding medium. Ap&SS, 112 :225, 1985.
[160] V. V. Dwarkadas. The evolution of supernovae in circumtellar wind-blown
bubbles. I. Introduction and one-dimensional calculations. ApJ, 630 :892,
2005.
[161] S. Bouquet. Intégrales premières, symétries et intégrabilité. Applications aux
systémes hamiltoniens, à l’astrophysique et à la physique des plasmas. HDR,
Commissariat à l’Energie Atomique, Centre d’Etudes de Vaujours, 1993.
[162] R. Sankrit and J. J. Hester. The shock and extended remnant around the
Crab nebula. ApJ, 491 :796, 1997.
[163] F. Pacini and M. Salvati. On the evolution of supernova remnants. I. Evolution of the magnetic field, particles, content, and luminosity. ApJ, 186 :249,
1973.
[164] R. A. Chevalier and C. Fransson. Pulsar nebulae in supernovae. ApJ,
395 :540, 1992.
[165] P. Slane et al. New constraints on the structure and evolution of the pulsar
wind nebula 3C 58. ApJ, 616 :403, 2004.
[166] J. Sanz and R. Betti. Analytical model of the ablative Rayleigh-Taylor
instability in deceleration phase. Phys. Plasmas, 12 :042704–1, 2005.
[167] L. Masse et al. Direct drive ablation front stability : numerical prediction
against flame front model. IFSA 1999 Proceedings, Eds. C. Labaune, W. J.
Hogan, K. A. Tanaka, page 220, 1999.
BIBLIOGRAPHIE
241
[168] K. Davidson and R. A. Fesen. Recent developments concerning the Crab
nebula. ARA&A, 23 :119, 1985.
[169] R. A. Chevalier. Pulsar wind nebulae : theoritical aspects and observational
constraints. Advances in Space Research (a COSPAR Publication), 33 :456,
2004.
[170] J. H. Taylor and R. N. Manchester. Observed properties of 147 pulsars. AJ,
80(10) :794, 1975.
[171] D. G. Yakovlev et al. Neutron star cooling : theoritical aspect and observational constraints. Advances in Space Research (a COSPAR publication),
33 :523, 2004.
[172] J. P. Ostriker and J. E. Gunn. On the nature of the pulsar. I. Theory. ApJ,
157 :1395, 1969.
[173] R. Bandiera et al. The supernova remnant G11.2-0.3 and its central pulsar.
ApJ, 465 :L39, 1996.
[174] J. D. Huba. NRL : plasma formulary. Naval Research Laboratory, 2004.
[175] R. Abgrall et al. Un schéma centré pour l’hydrodynamique Lagrange bidimensionnelle. LRC-04-10 (Mathématiques Appliquées de Bordeaux), 2004.
[176] R. Abgrall et al. Lagrangian scheme for multidimensional compressible flow.
To appear in SIAM, SISC., 2006.
[177] E. F. Toro. Godunov methods. Theory and applications. Edited by E. F.
Toro, Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, 2001.
[178] V. Gvaramadze. The nature of the Vela X-Ray ”Jet”. The Rayleigh-Taylor
instability and the origin of filamentary structure. A&A, 352 :712, 1999.
[179] J. J. Hester. Communication privée, HEDLA’06, Houston (USA), 11-14
mars 2006. 2006.
[180] Ya. B. Zel’dovitch and Yu. P. Raiser. Physics of shocks waves and hightemperature hydrodynamic phenomena. Volume I et II. Academic Press,
New york and London, 1966.
[181] E. Falize and S. Bouquet. Communication privée. 2006.
BIBLIOGRAPHIE
242
[182] R. P. Drake et al. Laser experiments to simulate supernova remnants.
Phys. Plasmas, 7(5) :2142, 2000.
[183] H. F. Robey et al. An experiment testbed for study of hydrodynamic issues
in supernovae. Phys. Plasmas, 8(5) :2446, 2001.
[184] J. Kane et al.
Scaling supernova hydrodynamics to the laboratory.
Phys. Plasmas, 6(5) :2065, 1999.
[185] T. Ebisuzaki et al. Rayleigh-Taylor instabity and mixing in SN 1987A. ApJ,
344 :L65, 1989.
[186] C. C. Kuranz et al. Progress toward the study of laboratory scale, astrophysically relevant, turbulent plasmas. Ap&SS, 298 :9, 2005.
[187] H. F. Robey et al. The time scale for the transition to turbulence in high
Reynolds number accelerated flow. Phys. Plasmas, 10(3) :614, 2003.
[188] J.-M. Di-Nicola et al. The LIL facility start-up : first high power energy
laser experimental results at 1053 nm and 351 nm. IFSA 2003 Proceedings,
Eds. B. A. Hammel, D. D. Meyerhofer, J. Meyer-ter-Vehn, H. Azechi, page
558, 2003.
[189] M. Tricottet and S. Bouquet. Simulation and modeling of Rayleigh-Taylor
and Richtmyer-Meshkov instabilities relevant to Type II supernovae. IFSA
Proceedings, Eds. B. A. Hammel, D.D. Meyerhofer, J. Meyer-ter-Vehn, H.
Azechi, page 930, 2003.
[190] R. Ramis et al. MULTI - A Computer Code for One-Dimensional Multigroup
Radiation Hydrodynamics. Comput. Phys. Comm., 49 :475, 1988.
[191] R. Dautray and J. P. Watteau. La fusion thermonucléaire inertielle par
laser. Eds. Eyrolles, séries synthèse, 1993.
[192] S. Atzeni. Review article : The physical basis for numerical fluid simulations
in laser fusion. Plasma Phys. Controlled Fusion, 29 :1535, 1987.
[193] G. Weirs et al. Validating the Flash code : Vortex-dominated flows. Ap&SS,
298 :341, 2005.
BIBLIOGRAPHIE
243
[194] J. Lindl. Development of the indirect-drive approach to inertial confinement fusion and target physics basis for ignition and gain. Phys. Plasmas,
2(11) :3933, 1995.
[195] W. A. Stygar et al. Analytical models of high-temperature hohlraums.
Phys. Rev. E, 64 :0226410–1, 2001.
[196] S. Liberatore and S. Bouquet. Analytical modeling of magnetic RayleighTaylor instabilities in compressible fluids. A&A, to be subbmitted (2006).
[197] S. Bouquet et al. Analytical study and structure of a stationary radiative
shock. ApJS, 127 :245, 2000.
[198] L. Valentin. Physique subatomique : noyaux et particules. Hermann : enseignemant des sciences, 1975.
[199] V. Sobolev. Cours d’astrophysique théorique. Eds. Mir Moscou, 1975.
[200] Y. P. Zakharov. Collisionless laboratory astrophysics with lasers. IEEE
Transaction Plasma Science, 31(6) :435, 2003.