EM-II Mosig CHAPITRE 8 La matière en Electrostatique

EM-II Mosig CHAPITRE 8
La matière en Electrostatique: Conducteurs et Diélectriques
8.1 INTRODUCTION: CORPS NEUTRES, CORPS CHARGES, CORPS ISOLES
Le formalisme développé jusqu'à maintenant s'applique à des charges électriques dans le vide.
La technologie nous a familiarisé avec ces situations qui se présentent par exemple à l’intérieur
du tube cathodique d’un poste de télévision ou d’un oscilloscope, où des électrons traversent
des espaces essentiellement vides.
Mais le plus souvent, les charges apparaissent dans la nature au sein d’un milieu matériel et
sous des formes bien différentes (électrons, protons, ions, molécules dipolaires...). Fidèles à
notre point de vue macroscopique, nous réduirons toutes ces manifestations à une fonction
continue "densité de charge", pouvant présenter des valeurs positives ou négatives.
L’état électrostatique naturel d’un corps matériel est l’état neutre, caractérisé par une densité
de charge nulle en tout point du corps (toujours du point de vue macroscopique). La charge
totale, intégrale de la fonction densité, est donc nulle aussi.
Cependant, sous l’effet d’agents externes (frottement mécanique, attaque chimique, effet
photoélectrique, connexion à une batterie, effet d'un champ électrique externe), certains corps
matériels peuvent devenir chargés. Ceci implique que soit ils acquièrent une charge totale non
nulle, soit ils restent globalement neutres (charge totale nulle) mais une densité de charge non
nulle apparaît en certains points.
Les possibles densités de chargé non nulles vont à leur tout générer un champ électrique. Une
situation particulièrement intéressante s'origine lorsque un corps initialement neutre est
immergé au sein d’un champ électrique. Sous l’effet de ce champ, une densité de charge non
nulle se manifeste dans certains points du corps, bien que la charge totale (l’intégrale
mathématique de la fonction densité) demeure nulle. D'un point de vue physique, plusieurs
effets peuvent être impliqués. Soit le corps contient des électrons libres qui peuvent se déplacer
sous l'effet du champ appliqué, détruisant ainsi au niveau macroscopique l'équilibre naturel des
charges positives et négatives. Ou alors, des molécules neutres vont se déformer et se distordre.
Ces phénomènes et d'autres semblables sont souvent décrits sous le nom générique de
phénomènes d'induction électrostatique ou de polarisation et sont largement étudiés dans les
textes de Physique. Ici, nous nous intéresserons aux effets plutôt qu'aux causes. Les nouvelles
densités de charge vont créer à leur tour un champ électrique, dit de polarisation, qui viendra
modifier le champ appliqué original, aussi bien à l'extérieur qu'à l'intérieur du corps matériel.
Electromagnétisme II, SE, EPFL 1-1

Il convient finalement de rappeler le principe de conservation de la charge électrique. Si on
peut accepter qu'un corps matériel est isolé (pas d'échange possible de charge avec le monde
extérieur), la charge totale de ce corps ne changera pas lorsqu'il est soumis à l'influence d'un
champ électrique appliqué. Mais ce champ peut modifier profondément la valeur de la densité
de charge en chaque point du corps.
Nous allons maintenant décrire plus en détail ces phénomènes pour deux types de corps
matériels : les conducteurs et les isolants, aussi appelés diélectriques..
8.2 LES CONDUCTEURS
Les conducteurs sont des corps qui contiennent des charges électriques “libres”, c’est à dire
des charges pouvant se déplacer facilement à l’intérieur du corps sous l'influence d'un champ
électrique. L'exemple classique est le conducteur métallique. Dans un métal, les atomes
constituent un réseau cristallin rigide. Néanmoins, ces atomes possèdent des électrons libres
capables de se déplacer sous l'effet d'un champ électrique. Leur facilité de déplacement est telle
qu’en fait on ne peut pas “identifier” à quel atome appartient un électron donné et il faut parler
d’une population collective d’électrons sans identité individuelle. On peut donc imaginer un
corps métallique comme un ensemble d'atomes chargés positivement (ions) et liés rigidement
par des forces chimiques en formant un réseau cristallin. Ce réseau se trouve “immergé dans
une mer d’électrons” qui neutralise les ions positifs. Dans un état d’équilibre, tout volume
macroscopique de métal possède une charge électrique totale nulle.
Toutefois, en présence d’un champ électrique appliqué et suite au déplacement des électrons
libres, des régions macroscopiques avec un défaut ou un excès d’électrons peuvent apparaître.
Aussi, on peut imaginer un corps conducteur à charge totale Q non nulle, suite à un apport ou
un prélèvement d’électrons (frottement, effet photoélectrique, contact avec une batterie...). Et si
après cette opération, on isole le corps conducteur, cette charge Q restera constante.
Considérons un c.e.p., neutre au départ et isolé. A un moment donné ( ) , on soumet ce
conducteur à l’action d’un champ électrique “appliqué”
0t=
appl
E
r
.
Ce champ peut être imaginé comme crée par un ensemble de sources (charges) extérieures au
c.e.p. qui se manifestent soudainement en 0t
=
(par exemple par enclenchement d'une batterie).
A l’instant même de sa création, le champ appl
E
r
“envahit” le conducteur et se fait sentir sur
tout son volume. Les charges libres (électrons) du conducteur réagissent alors en se déplaçant
sous l’effet de ce champ. L'éloignement des électrons de ses positions d'équilibre dans le
Electromagnétisme II, SE, EPFL 1-2

réseau cristallin conduit à l'apparition d'un système de charges internes positives et négatives
qui va créer son propre champ électrique. On l'appellera champ propre ou champ interne de
polarisation
p
ol
E
r, et il s’oppose au champ appliqué.
Ce champ de polarisation grandit jusqu'à qu'un nouveau équilibre, qui tient compte du champ
appliqué, s'établit en t
τ
=. Dans les conducteurs réels (les métaux type cuivre, argent…) ce
processus de re-équilibrage ne dure que quelques picosecondes. La durée
τ
dépend de la valeur
d'un paramètre physique, facilement mesurable qu'on appelle conductivité. Nous considérerons
par la suite le cas limite d'un conducteur électrique parfait (c.e.p.). Un tel corps a une
conductivité théoriquement infinie et réagit de façon instantanée à tout champ appliqué.
8.3 LE CONCEPT DE CONDUCTEUR ELECTRIQUE PARFAIT (c.e.p.)
Un conducteur électrique parfait (c.e.p.) est une idéalisation mathématique, obtenue par
extrapolation de la réalité physique. Dans un c.e.p. on admet que les charges libres réagissent
au champ électrique externe comme si elles étaient dans le vide, ses mouvements n’étant limités
que par la surface externe du conducteur. Dans un c.e.p., les électrons ne "voient" pas le réseau
cristallin et celui-ci n’interagit pas avec un champ appliqué. En pratique, la plupart des métaux
se comportent en électrostatique et à basse fréquence comme des c.e.p.
Le mouvement des charges libres est un processus “autolimité” (negative feedback) qui s’arrête
quand elles se redistribuent de façon à compenser parfaitement le champ appliqué.
Donc, à l’équilibre, le champ électrique total appl pol
EE E=+
r
rr
à l’intérieur d’un conducteur
électrique parfait est nul :
0
appl pol
EE E=+
rr r = (à l’intérieur d’un c.e.p) (8.3.1)
Autrement, tant qu’il resterait un champ non nul à l’intérieur, le mouvement des charges libres
ne cesserait pas.
La propriété est la caractéristique essentielle d’un c.e.p. et peut être considérée comme
sa définition mathématique.
0E=
r
Maintenant si on applique à cette situation le théorème de Gauss ou l'équation de la divergence
on doit arriver à la conclusion que la densité volumique de charge v
ρ
à l’intérieur d’un c.e.p.
est toujours nulle. Ce constat mathématique est en accord avec l'idée intuitive des électrons
essayant de se déplacer contre le champ appliqué et ne s'arrêtant qu'aux limites physiques du
conducteur, c'est-à-dire dans sa surface.
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Alors la seule densité possible, source du champ de polarisation
p
ol
E
r, est une densité de
surface
s
ρ
. Cette densité obéit aux conditions aux limites, avec la simplification que dans un
c.e.p. le champ électrique d'un coté interne de la surface est nul. Ceci implique le fait, bien
connu, que le champ électrique juste à l'extérieur d'un conducteur est perpendiculaire à la
surface de celui-ci
La charge totale du conducteur vient donnée par:
'
s
S
Qd ρ =∫s (8.3.2)
Si le conducteur demeure isolé pendant l’application du champ externe, cette charge totale
gardera sa valeur de départ et, en particulier, sera nulle si le conducteur était neutre au départ.
Finalement, un champ intérieur nul implique un potentiel constante V à l'intérieur et en
surface d'un conducteur. Cette valeur peut être imposée (le conducteur est connectée à une
batterie) ou inconnue, s'adaptant et réagissant au champ externe appliquée.
U=
8.4 PROPRIETES ELECTROSTATIQUES DES CONDUCTEURS PARFAITS
Le tableau suivant résume les propriétés essentielles toujours satisfaites par un c.e.p.:
Densite de charge volumique 0
v
ρ
=
Charge totale '
s
S
Qd ρ =∫s
Champ interne 0E
=
r
Champ externe dans sa surface 0
ˆˆ
0; /
s
nE nE
ρ
ε ×= =
r
r
Potentiel Vcste
=
Voici quelques situations pratiques pour les conducteurs et comment certaines quantités en sont
affectées:
Charge totale Densité surface Potentiel
Neutre et isolé,
soumis à un
champ appliqué
0Q= inconnue inconnu, depend du c
h
appliqué
Chargé et isolé
valeur donnée non
n
0Q≠ inconnue
inconnu, dépend
de la charge
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A potentiel nul
et soumis à un
champ appliqué
valeur inconnue inconnue 0
A potentiel constant valeur inconnue inconnue valeur donnée non nul
l
VU
=
D'autres situations, combinaisons des précédentes ou plus compliquées, sont aussi possibles.
8.5 EQUATION INTEGRALE POUR LA DENSITE DE CHARGE DE SURFACE
On voit donc que, sauf dans le cas trivial d'un conducteur neutre, isolé et pas soumis à l'effet
d'un champ, les conducteurs possèdent toujours une densité de charge de surface, et que celle-ci
est à priori inconnue.
Si par un quelconque moyen on arrive à déterminer le potentiel et le champ à l'extérieur d'un
conducteur, alors la valeur de la densité de charge de surface est donnée par la condition aux
limites:
0ˆ snE
ρε =r  (8.5.1)
Mais on peut aussi essayer de calculer directement la densité de charge en utilisant une
formulation intégrale. Dans un problème qui inclut un conducteur réagissant à un champ
appliqué, le champ total en tout point de l'espace est donné par:
3
0
(')(')
1
() () () () 4|'|
s
appl pol appl S
rr rds
ErErErEr rr
'
ρ
πε
−
=+=+ −
∫
r
rr
rr r r
rrrr
rr (8.5.2)
et de façon analogue, le potentiel vaut:
0
(') '
1
() () () () 4|'
s
appl pol appl S
rds
VrVrVrVr rr|
ρ
πε
=+=+ −
∫
r
rrrr
rr (8.5.3)
où se calcule de la façon standard à partir du champ appliqué
appl
Vappl
E
r
.
Le champ total doit s'annuler à l'intérieur du conducteur mais il est discontinu en surface. En
plus, si on veut étudier aussi des conducteurs théoriquement sans épaisseur, leur "intérieur" est
malaisé à définir. Donc, on préfère travailler avec le potentiel, qui est constante à l'intérieur et
continu en surface. L'équation (8.5.3) appliquée aux points de la surface donne:
0
(') '
1
( ) ;
4|'|
s
appl S
rds
Vr UrS
rr
ρ
πε
+=
−
∫
r
r
rr ∈
r
(8.5.4)
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