EM-II Mosig CHAPITRE 8 La matière en Electrostatique

EM-II Mosig CHAPITRE 8
La matière en Electrostatique: Conducteurs et Diélectriques
8.1 INTRODUCTION: CORPS NEUTRES, CORPS CHARGES, CORPS ISOLES
Le formalisme développé jusqu'à maintenant s'applique à des charges électriques dans le vide.
La technologie nous a familiarisé avec ces situations qui se présentent par exemple à l’intérieur
du tube cathodique d’un poste de télévision ou d’un oscilloscope, où des électrons traversent
des espaces essentiellement vides.
Mais le plus souvent, les charges apparaissent dans la nature au sein d’un milieu matériel et
sous des formes bien différentes (électrons, protons, ions, molécules dipolaires...). Fidèles à
notre point de vue macroscopique, nous réduirons toutes ces manifestations à une fonction
continue "densité de charge", pouvant présenter des valeurs positives ou négatives.
L’état électrostatique naturel d’un corps matériel est l’état neutre, caractérisé par une densité
de charge nulle en tout point du corps (toujours du point de vue macroscopique). La charge
totale, intégrale de la fonction densité, est donc nulle aussi.
Cependant, sous l’effet d’agents externes (frottement mécanique, attaque chimique, effet
photoélectrique, connexion à une batterie, effet d'un champ électrique externe), certains corps
matériels peuvent devenir chargés. Ceci implique que soit ils acquièrent une charge totale non
nulle, soit ils restent globalement neutres (charge totale nulle) mais une densité de charge non
nulle apparaît en certains points.
Les possibles densités de chargé non nulles vont à leur tout générer un champ électrique. Une
situation particulièrement intéressante s'origine lorsque un corps initialement neutre est
immergé au sein d’un champ électrique. Sous l’effet de ce champ, une densité de charge non
nulle se manifeste dans certains points du corps, bien que la charge totale (l’intégrale
mathématique de la fonction densité) demeure nulle. D'un point de vue physique, plusieurs
effets peuvent être impliqués. Soit le corps contient des électrons libres qui peuvent se déplacer
sous l'effet du champ appliqué, détruisant ainsi au niveau macroscopique l'équilibre naturel des
charges positives et négatives. Ou alors, des molécules neutres vont se déformer et se distordre.
Ces phénomènes et d'autres semblables sont souvent décrits sous le nom générique de
phénomènes d'induction électrostatique ou de polarisation et sont largement étudiés dans les
textes de Physique. Ici, nous nous intéresserons aux effets plutôt qu'aux causes. Les nouvelles
densités de charge vont créer à leur tour un champ électrique, dit de polarisation, qui viendra
modifier le champ appliqué original, aussi bien à l'extérieur qu'à l'intérieur du corps matériel.
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1-1
Il convient finalement de rappeler le principe de conservation de la charge électrique. Si on
peut accepter qu'un corps matériel est isolé (pas d'échange possible de charge avec le monde
extérieur), la charge totale de ce corps ne changera pas lorsqu'il est soumis à l'influence d'un
champ électrique appliqué. Mais ce champ peut modifier profondément la valeur de la densité
de charge en chaque point du corps.
Nous allons maintenant décrire plus en détail ces phénomènes pour deux types de corps
matériels : les conducteurs et les isolants, aussi appelés diélectriques..
8.2 LES CONDUCTEURS
Les conducteurs sont des corps qui contiennent des charges électriques “libres”, c’est à dire
des charges pouvant se déplacer facilement à l’intérieur du corps sous l'influence d'un champ
électrique. L'exemple classique est le conducteur métallique. Dans un métal, les atomes
constituent un réseau cristallin rigide. Néanmoins, ces atomes possèdent des électrons libres
capables de se déplacer sous l'effet d'un champ électrique. Leur facilité de déplacement est telle
qu’en fait on ne peut pas “identifier” à quel atome appartient un électron donné et il faut parler
d’une population collective d’électrons sans identité individuelle. On peut donc imaginer un
corps métallique comme un ensemble d'atomes chargés positivement (ions) et liés rigidement
par des forces chimiques en formant un réseau cristallin. Ce réseau se trouve “immergé dans
une mer d’électrons” qui neutralise les ions positifs. Dans un état d’équilibre, tout volume
macroscopique de métal possède une charge électrique totale nulle.
Toutefois, en présence d’un champ électrique appliqué et suite au déplacement des électrons
libres, des régions macroscopiques avec un défaut ou un excès d’électrons peuvent apparaître.
Aussi, on peut imaginer un corps conducteur à charge totale Q non nulle, suite à un apport ou
un prélèvement d’électrons (frottement, effet photoélectrique, contact avec une batterie...). Et si
après cette opération, on isole le corps conducteur, cette charge Q restera constante.
Considérons un c.e.p., neutre au départ et isolé. A un moment donné ( t = 0 ) , on soumet ce
r
conducteur à l’action d’un champ électrique “appliqué” Eappl .
Ce champ peut être imaginé comme crée par un ensemble de sources (charges) extérieures au
c.e.p. qui se manifestent soudainement en t = 0 (par exemple par enclenchement d'une batterie).
r
A l’instant même de sa création, le champ Eappl “envahit” le conducteur et se fait sentir sur
tout son volume. Les charges libres (électrons) du conducteur réagissent alors en se déplaçant
sous l’effet de ce champ. L'éloignement des électrons de ses positions d'équilibre dans le
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réseau cristallin conduit à l'apparition d'un système de charges internes positives et négatives
qui va créer son propre champ électrique. On l'appellera champ propre ou champ interne de
r
polarisation E pol , et il s’oppose au champ appliqué.
Ce champ de polarisation grandit jusqu'à qu'un nouveau équilibre, qui tient compte du champ
appliqué, s'établit en t = τ . Dans les conducteurs réels (les métaux type cuivre, argent…) ce
processus de re-équilibrage ne dure que quelques picosecondes. La durée τ dépend de la valeur
d'un paramètre physique, facilement mesurable qu'on appelle conductivité. Nous considérerons
par la suite le cas limite d'un conducteur électrique parfait (c.e.p.). Un tel corps a une
conductivité théoriquement infinie et réagit de façon instantanée à tout champ appliqué.
8.3 LE CONCEPT DE CONDUCTEUR ELECTRIQUE PARFAIT (c.e.p.)
Un conducteur électrique parfait (c.e.p.) est une idéalisation mathématique, obtenue par
extrapolation de la réalité physique. Dans un c.e.p. on admet que les charges libres réagissent
au champ électrique externe comme si elles étaient dans le vide, ses mouvements n’étant limités
que par la surface externe du conducteur. Dans un c.e.p., les électrons ne "voient" pas le réseau
cristallin et celui-ci n’interagit pas avec un champ appliqué. En pratique, la plupart des métaux
se comportent en électrostatique et à basse fréquence comme des c.e.p.
Le mouvement des charges libres est un processus “autolimité” (negative feedback) qui s’arrête
quand elles se redistribuent de façon à compenser parfaitement le champ appliqué.
r r
r
Donc, à l’équilibre, le champ électrique total E = Eappl + E pol à l’intérieur d’un conducteur
électrique parfait est nul :
r r
r
E = Eappl + E pol = 0 (à l’intérieur d’un c.e.p)
(8.3.1)
Autrement, tant qu’il resterait un champ non nul à l’intérieur, le mouvement des charges libres
ne cesserait pas.
r
La propriété E = 0 est la caractéristique essentielle d’un c.e.p. et peut être considérée comme
sa définition mathématique.
Maintenant si on applique à cette situation le théorème de Gauss ou l'équation de la divergence
on doit arriver à la conclusion que la densité volumique de charge ρv à l’intérieur d’un c.e.p.
est toujours nulle. Ce constat mathématique est en accord avec l'idée intuitive des électrons
essayant de se déplacer contre le champ appliqué et ne s'arrêtant qu'aux limites physiques du
conducteur, c'est-à-dire dans sa surface.
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r
Alors la seule densité possible, source du champ de polarisation E pol , est une densité de
surface ρ s . Cette densité obéit aux conditions aux limites, avec la simplification que dans un
c.e.p. le champ électrique d'un coté interne de la surface est nul. Ceci implique le fait, bien
connu, que le champ électrique juste à l'extérieur d'un conducteur est perpendiculaire à la
surface de celui-ci
La charge totale du conducteur vient donnée par:
Q = ∫ ρ s ds '
(8.3.2)
S
Si le conducteur demeure isolé pendant l’application du champ externe, cette charge totale
gardera sa valeur de départ et, en particulier, sera nulle si le conducteur était neutre au départ.
Finalement, un champ intérieur nul implique un potentiel constante V = U à l'intérieur et en
surface d'un conducteur. Cette valeur peut être imposée (le conducteur est connectée à une
batterie) ou inconnue, s'adaptant et réagissant au champ externe appliquée.
8.4 PROPRIETES ELECTROSTATIQUES DES CONDUCTEURS PARFAITS
Le tableau suivant résume les propriétés essentielles toujours satisfaites par un c.e.p.:
Densite de charge volumique
ρv = 0
Charge totale
Q = ∫ ρ s ds '
S
Champ interne
Champ externe dans sa surface
r
E =0
r
r
nˆ × E = 0 ; nˆ E = ρ s / ε 0
V = cste
Potentiel
Voici quelques situations pratiques pour les conducteurs et comment certaines quantités en sont
affectées:
Neutre et isolé,
Charge totale
Densité surface
Potentiel
Q=0
inconnue
inconnu, depend du ch
appliqué
soumis à un
champ appliqué
inconnu, dépend
valeur donnée non n
Chargé et isolé
Q≠0
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inconnue
de la charge
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A potentiel nul
et soumis à un
valeur inconnue
inconnue
0
valeur inconnue
inconnue
valeur donnée non null
champ appliqué
A potentiel constant
V =U
D'autres situations, combinaisons des précédentes ou plus compliquées, sont aussi possibles.
8.5 EQUATION INTEGRALE POUR LA DENSITE DE CHARGE DE SURFACE
On voit donc que, sauf dans le cas trivial d'un conducteur neutre, isolé et pas soumis à l'effet
d'un champ, les conducteurs possèdent toujours une densité de charge de surface, et que celle-ci
est à priori inconnue.
Si par un quelconque moyen on arrive à déterminer le potentiel et le champ à l'extérieur d'un
conducteur, alors la valeur de la densité de charge de surface est donnée par la condition aux
limites:
r
ρ s = ε 0 nˆ E
(8.5.1)
Mais on peut aussi essayer de calculer directement la densité de charge en utilisant une
formulation intégrale. Dans un problème qui inclut un conducteur réagissant à un champ
appliqué, le champ total en tout point de l'espace est donné par:
r r
r
r r
r
r
(r − r ') ρ s (r ') ds '
1
r r
r
r
E (r ) = Eappl (r ) + E pol (r ) = Eappl (r ) +
r r
4πε 0 ∫
| r − r ' |3
(8.5.2)
S
et de façon analogue, le potentiel vaut:
1
r
r
r
r
V (r ) = Vappl (r ) + V pol ( r ) = Vappl (r ) +
4πε 0
∫
S
r
ρ s (r ') ds '
r r
| r −r '|
(8.5.3)
r
où Vappl se calcule de la façon standard à partir du champ appliqué Eappl .
Le champ total doit s'annuler à l'intérieur du conducteur mais il est discontinu en surface. En
plus, si on veut étudier aussi des conducteurs théoriquement sans épaisseur, leur "intérieur" est
malaisé à définir. Donc, on préfère travailler avec le potentiel, qui est constante à l'intérieur et
continu en surface. L'équation (8.5.3) appliquée aux points de la surface donne:
r
ρ s (r ') ds '
1
r
r
Vappl (r ) +
=U ; r ∈S
r r
∫
4πε 0
| r −r '|
(8.5.4)
S
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Ceci est une équation intégrale pour le calcul de la densité de charge de surface. Soit le
potentiel U est connu (conducteur connecté à une batterie), soit il est inconnu mais on possède
alors une information globale sur la densité de charge (par exemple, la valeur de la charge
totale pour un conducteur isolé).
8.6 SOLUTION DE L'EQUATION INTEGRALE AVEC LES MATRICES DE GREEN
Une équation intégrale est la formulation mathématique d'un problème inverse où l'inconnue est
une distribution continue de charges. La méthode des matrices de Green s'adapte alors
naturellement bien à la discrétisation de ce type de problèmes.
Il suffit de diviser la surface du conducteur en N portions ∆S j et appliquer l'équation intégrale
r
(8.5.4) aux points ri aux centres de ces surfaces. On trouve:
N
r
ρ s (r ') ds '
1
∑ 4πε ∫
0
j =1
∆S
r r
| ri − r ' |
r
= U − Vappl (ri ) ; i = 1, 2...N
(8.6.1)
j
Maintenant, on suppose que la densité de charge est constante ρ s = ρ sj dans chaque portion
∆S j et on considère la charge totale q j = ρ sj ∆S j de chaque portion. Notre équation devient:
N
1
∑ [ 4πε
j =1
1
ds '
r
r r ] q j = U − Vappl (ri ) ; i = 1, 2...N
∫
0 ∆S j ∆S | ri − r ' |
(8.6.2)
j
où en version compacte:
N
∑
j =1
Gij q j = vi ; i = 1, 2...N
(8.6.3)
Les coefficients de la matrice de Green
Gij =
1
1
4πε 0 ∆S j
ds '
r r
| ri − r ' |
∫
∆S
(8.6.4)
j
peuvent être obtenus de façon approchée lorsque i ≠ j (éléments hors diagonale dans la
matrice). Il suffit d'appliquer le théorème de la moyenne. Ceci revient en termes physiques à
concentrer la charge totale q j existante dans la surface ∆S j dans le centre sous forme de
charge ponctuelle. On trouve alors
Gij =
1
1
; i≠ j
r r
4πε 0 | ri − r j |
Electromagnétisme II, SE, EPFL
(8.6.5)
1-6
Cette stratégie n'est pas valable pour les éléments de la diagonale i = j , qui doivent être
calculés de la façon la plus précise possible.
La solution du système linéaire mène au calcul approché de la densité de charge de surface.
Dans les problèmes où le potentiel du conducteur n'est pas connu, il faut enlever la quantité U
r
des termes indépendants vi = 4πε 0 [U − Vappl (ri )] (membres de droite dans les équations) et
l'ajouter au système comme inconnue supplémentaire. Dans ce cas, l'équation additionnelle
requise est fournie d'habitude par la valeur connue de la charge totale:
N
N
r
ρ s (r ') ds ' = ∑ q j = Q
∑ ∫
j =1 ∆S
j
(8.6.6)
j =1
LES CORPS ISOLANTS OU DIELECTRIQUES
Dans un corps isolant ou diélectrique, il n'y a pas de charges libres pour réagir à un champ
r
électrique externe appliqué Eappl . Mais les molécules des ces corps vont le faire. Soit des
molécules globalement neutres se déforment sous l'effet du champ et deviennent des dipôles de
faible intensité, soit des molécules naturellement dipolaires (l'eau) s'alignent sous l'éffet du
champ et y réagissent fortement. Dans tous les cas, il y aura aussi apparition d'une distribution
de charge interne ou de polarisation.
Mais dans un diélectrique la charge de polarisation peut non seulement apparaître en surface
r
ρ s, pol , mais aussi en volume ρv, pol . Et le champ électrique interne de polarisation E pol crée
r
par ces distributions s'oppose au champ appliqué Eappl mais sans l'annuler complètement.
Une formulation intégrale de l'Electrostatique en présence de diélectriques devient donc fort
compliquée et ne sera pas abordée ici.
Heureusement, dans beaucoup de corps diélectriques d'intérêt pratique, on peut accepter que le
champ de polarisation est toujours colinéaire avec le champ appliqué et directement
proportionnel à celui-ci. Cette linéarité permet de simplifier le traitement mathématique. Une
démarche classique, présentée dans la plupart de textes de Physique, conduit alors à accepter les
résultats suivants:
1) On peut obtenir une formulation différentielle pour les corps diélectriques sans faire
apparaître de forme explicite les densités de charge de polarisation ρv, pol et ρ s, pol .
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1-7
2) L'effet de ces charges est absorbé par la modification de la constante ε 0 . Cette constante,
dite "permittivité du vide", doit être remplacée par ε , la permittivité du corps diélectrique.
Lorsque les propriétés électrostatiques d'un corps diélectrique restent les mêmes en tout
point, le corps diélectrique est dit "homogène" et ε peut être considéré comme une
constante mathématique à l'intérieur du corps.
3) La permittivité relative d'un diélectrique ou "constante diélectrique" est définie comme:
ε r = ε / ε 0 . Pour les diélectriques courants, la constante diélectrique est toujours supérieure à
l'unité: ε r > 1 .
On a donc comme équations différentielles pour les diélectriques:
r
∇ × E = 0 (toujours)
(8.6.2)
et
r
∇ (ε E ) = ρv
(8.6.3)
ou en termes de potentiel: ∇ (ε∇V ) = − ρv
(8.6.4)
Dans ces dernières équations, les densités de charge intervenant sont seulement celles qui
existent indépendamment du diélectrique. On les appelle charges libres et ce sont les sources
du champ appliqué.
Mais maintenant la permittivité peut être une fonction de la position, soit parce qu'on a affaire à
un corps diélectrique dont les propriétés varient en continu, soit parce qu'on a affaire à plusieurs
corps diélectriques différents. En fait, à l'intérieur de chaque diélectrique homogène, on peut
écrire une équation de Poisson
∇ 2V = − ρv / ε
(8.6.5)
Mais cette équation n'est pas valable dans les surfaces du diélectrique ou dans les interfaces
entre deux diélectriques. Dans ces points, ce sont les conditions aux limites qui gouvernent le
comportement du champ et du potentiel.
Si on considère deux diélectriques #1 et #2 (le vide est un cas particulier) et deux points
r
r
infiniment proches r1 et r2 de deux cotés de la surface de séparation on peut écrire les
conditions aux limites suivantes:
r r
nˆ × [ E1 − E2 ] = 0
r
r
nˆ [ε1E1 − ε 2 E2 ] = ρ s
r
r r
avec la notation Ei = E (ri ) .Et et par intégration de (8.6.6)
r
r
V (r1 ) − V (r2 ) = 0
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(8.6.6)
(8.6.7)
(8.6.8)
1-8
Rappelons que les charges de polarisation n'interviennent pas dans ces formules. Donc pour la
situation fort courante où il n'y a pas de charges libres dans la surface du diélectrique, la
condition aux limites pour les composantes normales (8.6.7) dévient:
r
r
nˆ [ε1E1 − ε 2 E2 ] = 0
(8.6.9)
Une dernière remarque est de rigueur. Une formulation intégrale faisant apparaître une
permittivité différente de celle du vide n'est pas valable, sauf dans le cas fort théorique d'un
diélectrique homogène remplissant tout l'espace. Ceci s'explique par le fait que les formulations
r
r
intégrales donnent l'effet dans un point r d'une source placée dans un point différent r ' . On ne
r
r
saurait pas alors si utiliser ε ( r ) ou ε ( r ') !
En revanche, le théorème de Gauss reste valable pour les diélectriques même avec une
permittivité fonction de la position:
r r
ε
(
E
∫ ) ds = ∫ dq = charge enfermée dans D
∂D
(8.6.10)
D
r
On voit que dans les diélectriques, les grandeurs ε et E ne peuvent pas en général être
dissociées. D'ailleurs, une formulation rigoureuse de la théorie des diélectriques ne peut être
r
r
obtenue qu'en considérant la combinaison D = ε E comme un nouveau champ aux propriétés
spécifiques. Ce champ est couramment appelé pour des raisons historiques le champ de
déplacement électrique ou tout simplement le vecteur déplacement.
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