Chapitre 2 Les ondes mécaniques

Chapitre 2
Les ondes mécaniques
Objectif intermédiaire 2.2
Connaître les ondes progressives et stationnaires, puis les employer pour décrire les ondes
mécaniques dans une corde.
Ondes
Une onde est une perturbation se propageant de
proche en proche dans l'espace. Lors du passage de
l'onde en un point, le milieu subit la perturbation. La
perturbation du milieu en un point peut être une
oscillation harmonique simple.
λOndes
longitudinales
Ondes
transversales
Dans le cas des ondes mécaniques, la perturbation est produite par une oscillation de la matière. Si la
matière se déplace parallèlement à la direction de propagation de l'onde, c'est une onde longitudinale. Si la
matière se déplace perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde, c'est une onde
transversale.
Principe de superposition
Lorsque plusieurs ondes se déplacent dans un milieu, la perturbation totale est la somme des perturbations
produites par chaque onde individuelle comme si elle se propageait seule. Ceci est le principe de
superposition linéaire. Pour une onde mécanique, on a
(x,t)
y
+ ... + (x,t)
y
+ (x,t)
y
+ (x,t)
y
= (x,t)y = y(x,t) N321
i
N
i
Σ
=1
où y(x,t) est le déplacement du milieu de propagation (à la position x et à l’instant t)en mètres,
(x,t)yiest le déplacement de la
i
ème
ondes (à la position x et à l’instant t) en mètres,
(x,t)y1est le déplacement de l’onde no1 (à la position x et à l’instant t) en mètres,
(x,t)y2est le déplacement de l’onde no2 (à la position x et à l’instant t) en mètres,
(x,t)y3est le déplacement de l’onde no3 (à la position x et à l’instant t) en mètres
et (x,t)yNest le déplacement de la
N
ième
ondes (à la position x et à l’instant t) en mètres.
Note: Le principe de superposition linéaire d'une onde mécanique est valide seulement si les
perturbations sont petites afin que la force de rappel soit proportionnelle au déplacement selon la loi
de Hooke.

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Vitesse d'une onde sur une corde
Une corde tendue entre deux extrémités peut laisser
se propager des ondes mécaniques transversales.
Le passage de l'onde en un point produit un
déplacement transversal. Une force de rappel est
exercée sur la corde en ce point.
s
θ
F//
F⊥
F
Note : F// = F cos θ
F⊥ = F sin θ
θ
→
→
→F⊥
→
F
→
F//
→
θ
θ
La force de rappel en un point est exercée par la tension dans la corde qui tire de chaque côté du point.
Pour un élément de longueur de corde en ce point, la déformation a approximativement la forme d'un petit
arc de cercle. Dans ce cas la force de rappel est
θ F 2 =
FRsin
où R
Fest la force de rappel en newtons,
Fest la tension dans la corde en newtons
et θ
2est l'angle sous-tendu par l'élément de corde en radians.
Note: La force de rappel sur un élément de longueur de corde est également la force résultante sur cet
élément considéré.
En se déplaçant à la vitesse de l'onde, c'est la déformation qui semble immobile et c'est la corde qui semble
se déplacer. Dans le référentiel (système de coordonnées) en mouvement, la force de rappel devient égale
à une force centripète exercée sur la corde se déplaçant à la vitesse de l'onde. Par l'égalité de la force
centripète et de la force de rappel, on a
R
v
m
= F 2 2 θ
sin
où Fest la tension dans la corde en newtons,
θ2est l'angle sous-tendu par l'élément de corde en radians,
mest la masse de l'élément de corde en kilogrammes,
vest la vitesse de l'onde en mètres par seconde
et Rest le rayon de courbure l'élément de corde en mètres.
La densité de masse linéique est utilisée plus tard pour simplifier cette expression. Par définition de la
densité de masse linéique d'une longueur d'arc de cercle, on a
θµ⇒
θ
µ R 2 = m
R 2 = s s
m
=
où µest la densité de masse linéique en kilogrammes par mètre,
mest la masse de l'élément de corde en kilogrammes,
sest la longueur de l’élément de corde en mètres,
Rest le rayon de courbure de l'élément de corde en mètres

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et θ2est l'angle sous-tendu par l'élément de corde en radians.
L'approximation sinθ≈θ est valide dans ce cas puisqu'on considère un petit bout de corde. Avec
l'approximation sinθ≈θ et la densité de masse linéique, on a
()()
µ
⇒
θµ
θF = v
Rv
R 2
= F 2 2
où Fest la tension dans la corde en newtons,
θ2est l'angle sous-tendu par l'élément de corde en radians,
µest la densité de masse linéique en kilogrammes par mètre,
Rest le rayon de courbure de l'élément de corde en mètres
et vest la vitesse de l'onde en mètres par seconde.
1. Une corde de 30 g possède une longueur de 60 cm.
a) Quelle est la densité de masse linéique de la corde ?
b) Si la tension est de 1,8 N, quelle est la vitesse de propagation des ondes transversales dans la
corde ?
c) Si la tension est de 5 N, quelle est la vitesse de propagation des ondes transversales dans la corde ?
d) Si la vitesse de propagation des ondes transversales est de 5 m/s, quelle est la tension dans la
corde ?
Réflexion et transmission
La vitesse d'une onde dépend du milieu de propagation. Pour une corde, un changement de densité de
masse linéique provoque un changement de vitesse. De plus, si deux cordes différentes sont attachées
ensembles, l'onde incidente à la jonction sera en partie transmise et en partie réfléchie.
Si la corde est fixée à un mur, lorsqu'une impulsion vers le haut arrive à l'extrémité, la corde exerce une
force vers le haut sur le mur et le mur exerce une force de réaction vers le bas sur la corde (selon la 3e loi
de Newton). L'impulsion vers le haut incidente disparaît et l'impulsion vers le bas réfléchie se propage sur la
corde. L'impulsion réfléchie est produite par la force de réaction du mur.
L'impulsion réfléchie par une extrémité fixe peut être décrite par une impulsion identique à celle incidente
mais inversée voyageant en sens inverse à la même distance derrière le mur. En appliquant le principe de
superposition, l'extrémité fixe restera au repos durant la rencontre des deux impulsions.

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Éxtrémité fixe
v
→v →
v
→
v
→
Extrémité libre
v
→v →
v
→
v
→
Si la corde est fixée à un anneau glissant le long d'une tige, lorsqu'une impulsion vers le haut arrive à
l'extrémité, la corde exerce une force vers le haut sur l'anneau et, en l'absence de force de réaction, le
principe d'inertie explique le déplacement qui est deux fois plus grand que l'amplitude de l'impulsion.
L'impulsion réfléchie par une extrémité libre peut être décrite par une impulsion identique à celle incidente
voyageant en sens inverse à la même distance derrière le mur. En appliquant le principe de superposition,
l'extrémité libre subira un déplacement deux fois plus grand que l'amplitude de l'impulsion durant la
rencontre des deux impulsions.
v
Onde
incidente
Onde
réfléchie
Onde
transmise
→
v
→
v
→
Propagation vers la droite
sur une corde plus lourde :
v
→
Onde transmise
Onde
réfléchie
Propagation vers la gauche
sur une corde plus légère :
Onde
incidente
v
→
v
→
Si la corde est fixée à une autre corde, une onde identique est toujours transmise à une vitesse qui dépend
de la nature de la corde. Une onde identique est toujours réfléchie à la même vitesse mais elle sera
inversée si la densité de masse linéique de l'autre corde est plus grande.
Ondes progressives
Le profil d'une onde progressive avance à vitesse
contante vers les x positifs. L'équation de
transformation des coordonnées est
- v tx =
x
t v +
x
= x 00 ′′ ou
Perturbation à
l’instant t=0 Perturbation à l’instant t
déplacement
position
x
0
x
’
vt

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où 0
xest la position centrale initiale de la perturbation (à l’instant t=0) en mètres,
x′est la position centrale de la perturbation (à l’instant t) en mètres,
vest la vitesse de propagation (célérité) de l'onde en mètres par seconde
et test le temps en secondes.
Pour une onde mécanique progressive, si le profil ne change pas, on a
vt)-f(x = )
x
f( = t)y(x, 0
où y(x,t) est le déplacement du milieu de propagation (à la position x et à l’instant t) en mètres,
)f(x0est le profil initial de la perturbation (à l’instant t=0) en mètres
et vt)f(x −est le profil de la perturbation se propageant vers les x positifs (à la position x et à
l’instant t) en mètres.
Une onde progressive transversale est décrite par le déplacement transversal qui dépend de la position et
du temps. Pour le cas d'un profil sinusoïdal, on a
() ()
[]
()
φω φ
⇒φ + t - x k A =
+ t v - x k A = t)y(x,
+
x
k A = )
x
f( 00 sin
sin
sin
où )f(x0est le profil initial de la perturbation (à l’instant t=0) en mètres,
Aest l'amplitude de l'onde en mètres,
kest le nombre d'onde en mètres inverses,
0
xest la position centrale initiale de la perturbation (à l’instant t=0) en mètres,
φest la constante de phase en radians,
y(x,t) est le déplacement du milieu de propagation (à la position x et à l’instant t) en mètres,
xest la position en mètres,
vest la vitesse de propagation (célérité) de l'onde en mètres par seconde,
test le temps en secondes
et ωest la pulsation en radians par seconde.
λ
y
(x,0)
λφ
2π
x
Note : t=0
0<φ<
π
/2
y
(x,0)=Asin(kx+
φ
)
A
T
y
(0,t)
Tφ
2π
t
Note : t=0
0<φ<
π
/2
y
(x,0)=Asin(-
ω
t+
φ
)
=-Asin(
ω
t-
φ
)
-A
La pulsation présente dans l'équation précédante est le résultat de la multiplication du nombre d'onde et de
la vitesse; soit